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보험수리 총정리 추록분 note 주 미래보험교육원 ( ) www.mies.co.kr -1- 보험수리 총정리 NOTE 추록분 서강범 저 미래보험교육원 ( )

보험수리총정리NOTE 추록분³´험수리총정리...보험수리총정리 추록분note ()주미래보험교육원-8- ⅰ) 누적분포함수와확률밀도함수를다음의가정

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  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 1 -

    보험수리 총정리 NOTE

    추록분

    서강범 저

    주 미래보험교육원( )

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 2 -

    제 장 연습문제1

    1-26

    변액연금보험에 대한 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오 점. (15 )

    ∙피보험자 가입연령 세 세 연금개시40 , 45

    ∙일시납가입으로 영업보험료 원100,000

    ∙예정이율 ( 은) 5.0%

    ∙부가보험료는 일시납 영업보험료의 10%

    ∙가입즉시 특별계정으로 순보험료가 투입되며 특별계정 투자수익률을 적용하여 적립금

    이 계산된다.

    ∙연금개시 시 적립금은 일시납 영업보험료를 최저연금적립금으로 하여 최저보증된다.

    ∙연금개시 전 사망보장은 없다.

    최저 연금적립금 보증비용 산출가정< >

    ∙보증비용은 가입시점부터 년 회 매년 계약해당일에 적립금에서 적립금의 일정 비율만1

    큼 공제하며 연금개시 시에는 공제하지 않는다.

    ∙계약일로부터 연금개시 시까지 사망이나 해약은 없다.

    ∙특별계정 투자수익률 시나리오.

    시나리오 1 년간 이후 년간3 2%, 2 1%

    시나리오 2 년간 이후 년간2 1%, 3 1.5%

    ∙적립금은 특별계정 투자수익률을 연복리로 계산

    시나리오 에 의하여 산출한 최저연금적립금 보증비용 적립금대비율 을 계산하시오 최종(1) 1 ( ) . (

    계산은 소수점이하 다섯째자리에서 반올림 점) (5 )

    시나리오 에 의하여 산출한 최저연금적립금 보증비용 적립금대비율 을 계산하시오 최종(2) 2 ( ) . (

    계산은 소수점이하 다섯째자리에서 반올림 점) (5 )

    보험회사는 시나리오 과 시나리오 의 산출비용을 각각 로 가중평균하여 최저연금적립금(3) 1 2 3:7

    보증비용 적립금대비율 을 결정하기로 했다 그 보증비용을 계산하시오 최종계산은 소수점( ) . . (

    이하 다섯째자리에서 반올림 점) (5 )

  • 보험수리 총정리 추록분note

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    제 장 연습문제 풀이1

    1-26

    시나리오 에 의해 년간 그 후 년간 로 순보험료가 년간 부리적립되면(1) 1 3 2%, 2 1% 5

    원 이다 이 적립금은 최저연금적립금인 만원 보( ) . 10

    다 작게 되므로 이 경우 최저보증에 따른 년후 시점의 필요비용은5 원 이므로( ) ,

    가입시점에서 평가한 비용은 원 이다( ) .

    이 비용은 매년 초 적립금의 일정비율을 공제함으로써 충당하게 된다 보증비용의 적립.

    금 대비율을 이라고 하면,

    이므로 즉, 이다.

    시나리오 에 의한 경우 년간 그 후 년간 로 순보험료가 부리되므로(2) 2 2 1%, 3 1.5%

    원 이다 이 적립금은 최저연금적립금인 만원 보( ) . 10

    다 작게 되므로 이 경우 최저보증에 따른 년후 시점의 필요비용은5 원 이며 따( ) ,

    라서 가입시점에서 평가한 비용은 원 이며 이 금액은 다음 식으로 충당되어야 하( )

    므로,

    로부터 즉, 이다.

    시나리오 은 시나리오 과 을 로 가중평균한 경우이므로 순보험료는 다음과 같(3) 3 1 3 3:7

    이 적립된다.

    시점 적립금의 계산 적립금

    1 × 91,1702 × 92,3553 × 93,8794 × 95,1465 × 96,431

    유사한 방법으로 현가를 계산하면 비용현가는, 원 이며 적립금대비율은( )

    즉, 이다.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 4 -

    제 장 연습문제2

    2-26.

    흡연자의 사력이 비흡연자 사력의 두 배일 경우 흡연자의 잔존생존기간이 비흡연자의 잔존

    생존기간을 초과하게 되는 확률을 구하시오 단 흡연자와 비흡연자는 서로 독립이며 기타. ,

    다른 조건은 동일함 점. (2007, 5 )

    2-27

    사망률( 과 중앙사망률) ( 의 관계식이 다음과 같이 정의될 때 다음 물음에 답하시오) .

    점(7 )

    ・위 관계식이 성립되기 위한 생존함수(1) 를 정의하시오.

    단( , 점) (3 )

    위 의 결과를 이용하여 상기 관계식이 성립함을 증명하시오 점(2) (1) . (4 )

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 5 -

    제 장 연습문제 풀이2

    2-26.

    세 비흡연자의 생존기간을 , 세 흡연자의 생존기간을 로 정의하면 구하고

    자 하는 확률은 이며 이를 조건부 연생확률의 기호로 나타내면

    ∞ 이다 흡연자의 사력이 비흡연자의 사력의 배란 흡연자의 생존율이 비흡연자. 2

    의 생존율의 제곱배임을 의미하므로,

    ⋅ 이다 그런데.

    ⋅ 로부터

    이므로 ∞

    이다.

    2-27

    (1)

    (2)

    이므로

    이다 이 식을. 에 대해 전개하면

    가 된다.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 6 -

    제 장 연습문제3

    3-19

    피보험자 년 만기 전기납 생명보험상품에 대한 아래의 조건을 이용하여 다음 물음에(30), 3 ,

    답하시오 점. (13 )

    ∙피보험자 가 제 보험년도에 사망하던 당해 보험년도말에 사망보험금(30) 1 를 지급

    하고 제 보험년도에 사망하면 당해 보험년도말에 사망보험금, 2 제 보험년도에, 3

    사망하면 당해 보험년도말에 사망보험금 를 지급함.

    ∙피보험자 가 만기 시점에 생존해 있으면 생존축하금(30) 를 지급함.

    ∙적용된 예정이율은 임0%

    ∙적용된 생명표는 한계연령( 이 세인 드 므아브르 사망법칙에 의해) 100 (de Moivre)

    작성되었음.

    지급될 급부의 현가를 나타내는 확률변수(1) 를 정의하고 기댓값 를 구하시오 점. (7 )

    연납순보험료를 구하시오 점(2) . (3 )

    제 보험년도말 순보험료식 책임준비금을 구하시오 점(3) 2 . (3 )

    3-20

    생존기간 확률변수 의 확률밀도함수는 이다 이력.

    이 로 주어질 때 사망보험금 원 즉시급 종신보험의 보험금현가함수1 , 를 이용하여

    다음 물음에 답하시오.

    일시납 순보험료)ⅰ 를 구하시오.

    )ⅱ 를 구하시오.

    )ⅲ 의 차백분위수 를 구하시오90 (90th percentile) .

    3-21

    사망보험금 원 즉시급의 년거치 종신보험을 고려하자 피보험자의 연령은1 , 5 . 세이며

    이다 다음 물음에 답하시오. .

    주어진 보험의 보험금 현가함수의 기대치를 구하시오) .ⅰ

    주어진 보험의 보험금 현가함수의 분산을 구하시오) .ⅱ

    주어진 보험의 보험금 현가함수의 중위수 를 구하시오) (median) .ⅲ

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 7 -

    3-22.

    인 경우 사망보험금 원 즉시급의 년거치 종신보험의 보험금현가함수1 , 5

    누적분포함수)ⅰ 를 구하고

    )ⅱ 를 도해하시오.

    3-23.

    생명보험회사는 세 명으로 구성된 피보험단체에게 사망시 원을 사망년도말 지100 1000

    급하는 종신보험을 판매하고 일시납보험료를 수지상등의 원칙에 의해 계산하여 기금을 조,

    성하였다 그런데 사망이 차년도 차년도에 각각 건씩 발생하였고 매 년도의 투자수익률. 2 , 5 1

    은 다음 표와 같았다 차 보험년도말 실제기금이 보험료산출시 예상한 기금크기와 비교하. 5

    시오.

    )ⅰ

    보험년도 차1 차2 차3 차4 차5

    투자수익률 6% 6.5% 6.5% 7% 7%

    보험료산출에 관한 정보)ⅱ

    ∙예정이율은 ,

    3-24.

    가입연령 세 매년 회 원씩 누감되는 사망보험금 즉시급 년 누감정기보험의 일시50 , 1 , 1000 5

    납 순보험료를 구하시오 단. , 이며 보험료산출을 위한 계산기수는 다음과 같다, .

    50 4859.30 1210.1957 24280.7261

    51 4557.10 1183.0574 23070.5305

    52 4271.55 1155.4478 21887.7431

    53 4001.66 1127.3506 20732.0252

    54 3746.55 1098.7519 19604.6746

    55 3505.37 1069.6405 18505.9227

    56 3277.32 1040.0086 17436.2822

    3-25.

    보험금 원 즉시급 종신보험의 보험금현가함수1 에 대한 다음의 물음에 답하시오.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 8 -

    )ⅰ 누적분포함수와 확률밀도함수를 다음의 가정 에서 유도하시오.下

    의 사망법칙de Moivre①

    가입연령( 최종연령, 및 이력 의 함수로 나타내시오.)

    사망법칙 가입연령CFM (② 최종연령, 등의 함수로 나타내시오.)

    사력( 및 이력 의 함수로 나타내시오.)

    에서 유도한 결과를 이용하여) )ⅱ ⅰ ≤의 계산식을 나타내시오.의 사망법칙de Moivre①

    ( , , 및 의 함수로 나타내시오.)

    사망법칙CFM②

    ( , 및 의 함수로 나타내시오.)

    에서 유도한) )ⅲ ⅰ 의 확률밀도함수에 대한 그래프를 도해하시오.

    의 사망법칙de Moivre①

    사망법칙 단CFM ( ,② 를 가정하시오)

    3-26.

    , ⋯ 이며 이다 사망은 를 가정할. UDD

    때 으로 표현되는 보험의 종류를 기술하시오.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 9 -

    제 장 연습문제 풀이3

    3-19

    (1) 의 정의

    여기에서 이며

    연납순보험료를(2) 라하면,

    제 보험년도말 순보험료식 책임준비금을(3) 2 라하면,

    3-20

    )ⅰ

    )ⅱ

    차 백분위수) 90ⅲ 이란 ≤ 을 만족하는 값이므로 ≤ ≤ ≥

    이다. 의 확률밀도함수가 주어졌

    으므로 ≥

    로부터 이다.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 10 -

    3-21.

    )ⅰ

    ,

    )ⅱ

    이므로

    중위수를)ⅲ 라 하면,

    ≤ ≤ 이며

    이므로

    ≤ 로부터 이다.

    3-22.

    0 5

    는 에서

    정의되는 혼합형

    확 률 변 수 로 서

    에서 확률

    값이 존재하므로

    )ⅰ 인 경우의 분포함수

    )ⅱ ∊ 구간에서의 분포함수

    )ⅲ 구간에서의 분포함수

    따라서 의 분포함수의 그래프를 도해하면 다음과 같다.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 11 -

    3-23.

    보험계약시 조성된 기금은 원 이며 보험료산출시 예정된 년 후( ) , 5

    기금크기는 이다. 년도 말 실제기금의

    크기라 하면 는

    계산과정

    1

    2

    3

    4

    5

    즉 실제기금은 원 으로 예상기금에 비해 원 이 부족하다, 13,635.07( ) 682.11( ) .

    3-24.

    일시납 순보험료는

    이다 이산형 누감 사망보험금즉시급과 연말급과의 관.

    계식에 의거

    3-25.

    )ⅰ 의 누적분포함수와 확률밀도함수

    사망법칙de Moivre①

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 12 -

    , ∊

    , ∊

    사망법칙CFM②

    , ∊

    , ∊

    )ⅱ ≤

    이므로

    사망법칙de Moivre①

    사망법칙CFM②

    )ⅲ

    사망법칙de Moivre①

    , ∊ 이므로 확률밀도함수의 그래프는

    1

    사망법칙CFM②

     

    ,∊ 이다.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 13 -

    10

    3-26.

    이므로

    이다 따라서.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 14 -

    제 장 연습문제4

    4-13

    세 피보험자에게 판매할 종신연금의 연금현가확률변수에 대한 다음 물음에 답하시오 단. ,

    , 이다.

    )ⅰ 의 기대치를 구하시오.

    )ⅱ 의 표준편차를 계산하시오.

    )ⅲ ≤

    4-14

    연금연액 원의 연속형 종신연금의 연금현가함수1 에 대한 다음 물음에 답하시오.

    사망법칙하에서) de Moivreⅰ 의 확률밀도함수를 구하고 그래프를 도해하시오.

    가입연령( 최종연령, 및 이력 의 함수로 나타내시오.)

    사망법칙하에서) CFMⅱ 의 확률밀도함수를 구하고 그래프를 도해하시오.

    사력( 및 이력 의 함수로 나타내시오.)

    4-15

    세인 길동이는 연액 원의 연속지급 종신연금을 가입하고 수지상등의 원칙에 의한 일시납30 1

    보험료를 납입하였다 사망법칙은. 인 법칙을 따르며de Moivre 이다 보험.

    회사가 길동이가 납입한 일시납보험료로 연금지급의무를 충족시킬 확률을 계산하시오.

    4-16

    단( , ⋯ 이다) . 인 경우 의 보험의

    형태를 기술하시오.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 15 -

    제 장 연습문제 풀이4

    4-13

    )ⅰ

    사망법칙을 따르므로) CFMⅱ

    ,

    이다.

    따라서

    )ⅲ ≤ ≤

    4-14

    사망법칙) de Moivreⅰ

    ∼ 이며

    ≤ 이므로

    단, ( , ≤

    )

    0

    사망법칙) C.F.Mⅱ

    ∼ , ≤ ∞ 이므로

    단( , ≤

    ∞)

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 16 -

    4-15

    구하는 확률은 연금지급현가 가 일시납보험료 보다 작을 확률이므로

    이다.

    이다 그런데 하에서. de Moivre

    이므로

    4-16

    이므로 기말급연금의 재귀식을 표현하고 있으며 란

    연금이 세까지 지급되므로65

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 17 -

    제 장 연습문제5

    5-26.

    피보험자( 기말급 사망보험금 보험기간 년 보험료납입이 전기연납인 정기보험에 대), 1, 2 ,

    한 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오 점. (15 )

    ∙ 수지상등의 원칙에 의해 계산된 경우의 보험자손실을 나타내는 현가 확률변수를

    이라고 정의한다.

    ∙ 이 보험의 보험금 현가확률변수를 라고 정의한다.

    ∙ 사업비는 없다.

    (1) 의 값을 구하시오 점. (8 )

    (2) 의 값을 구하시오 점. (7 )

    5-27

    피보험자 보험기간, 년 납입기간, 년( 인 정기보험에 대하여 아래의 조건을)

    이용하여 다음 물음에 답하시오 점. (15 )

    ∙납입기간 ( 년 중 사망시는 사망시점까지 납입한 보험료를 즉시 지급하고 납입기) ,

    간 이후 사망시는 보험금 과 이미 납입한 보험료를 즉시 지급함1 .

    ∙사업비는 부가하지 않음

    연납순보험료를 계산기수를 이용하여 나타내시오 점(1) . (8 )

    제 보험연도말 순보험료식 책임준비금을 계산기수를 이용하여 나타내시오 단(2) t . ( , )

    점(7 )

    5-28

    홍길동의 총재산은 이며 그 중 도난위험에 노출된 재산은 이다 도난위험에40,000 30,000 .

    노출된 재산에 대하여 도난사고가 발생하면 을 지급하는 전부보험 에30,000 (full insurance)

    가입하려고 한다 도난사고발생의 경우를 제외하면 총재산에는 변동이 없고 도난사고가 발. ,

    생할 확률은 이다 도난사고가 발생하면 전손 으로 인하여 도난위험에 노출된1% . (total loss)

    재산가치가 이 되고 도난사고가 발생하지 않으면 현재 가치를 유지한다 홍길동이 기대효0 , .

    용 최대화 의 원칙에 의해 합리적인 의사결정을 하는 경(maximization of expected utility)

    우 아래의 조건을 이용하여 보험사가 홍길동에게 부과할 수 있는 최대 부가보험료를 구하,

    시오 점. (10 )

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 18 -

    ∙이자는 무시함.

    ∙순보험료는 임300 .

    여기에서 는 홍길동의 효용함수, 는 재산가치임.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 19 -

    제 장 연습문제 풀이5

    5-26

    (1)

    이다. 이므로

    로부터 를 구하면,

    ∴ ±

    은 음수가 될 수 없으므로 이다.

    (2)

    이며

    ≥ 이므로,

    5-27

    연납순보험료를(1) 라 하면,

    수입현가 :

    지출현가 : 이므로

    제 보험연도말 순보험료식 책임준비금(2) t 는

    장래지출현가( )① 장래수입현가( )②

    :①

    :②

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 20 -

    5-28

    길동이가 보험에 가입하지 않는 경우의 길동이의 효용의 기대치는

    × × 이다.

    반면 보험에 가입하는 경우는 보험료를 납입하여야 하므로 보험료를 라하면 가입시,

    길동이의 효용은 가 된다 길동이는 가입하는 경우의 기대효.

    용이 가입하지 않는 경우의 기대효용보다 더 커야 가입하게 되므로

    ≥ × ×

    의 식이 성립하여야 하며, 에 대해 풀면 ≤ 이다 즉 보험회사가 보험료로 원. , 399보다 더 크게 정하면 길동이는 보험에 가입하지 않게 되는 것이다 순보험료가 원이므. 300

    로 보험회사가 부과할 수 있는 최대 부가보험료의 수준은 원이다99 .

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 21 -

    제 장 연습문제6

    6-18

    보험료와 책임준비금이 다음 관계식을 만족할 때 각 물음에 답하시오 점.(10 )

    순보험료(1) ( 의 산출식을 계산기수를 이용하여 작성하시오 점) . (7 )

    에서 작성된 순보험료 산출식을 보고 보장내용을 설명하시오 점(2) (1) . (3 )

    6-19

    아래에 사용된 각 함수는 국제계리기호 에 의해 정의된 것이(international actuarial notations)

    다 다음 물음에 답하시오 점. . (15 )

    보험계약 경과기간(1) ( 에 대하여 다음 관계식이 성립함을 증명하시오 점) . (8 )

    단, ; 은 양의 정수

    다음 관계식이 성립함을 증명하시오 점(2) . (7 )

    ・ ̈ ・ ̈ ・

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 22 -

    제 장 연습문제 풀이6

    6-18

    주어진 관계식에(1) ⋯ 을 대입하여 계산기수로 나타내면,

    ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯ ①

    ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯ ②

    ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯ ③

    ⋯⋯⋯⋯⋯

    ⋅ ⋯⋯⋯ ⓝ

    위의 식의 양변에ⓣ

    을 곱하여 정리하고 모든 항을 합계하면, ,

    ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯ ‘①

    ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯ ‘②

    ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯ ‘③

    ⋯⋯⋯⋯⋯

    ⋅ ⋯⋯⋯ ‘ⓝ

    을 대입하면,

    이다.

    유도된 식은 세 가입 년 만기 양로보험의 연납평준 순보험료로서 보험기간 내 사망하는

    경우 사망년도말 보험금 원을 지급하며 보험기간 말 생존하는 경우 생존보험금 원을 지1 , 1

    급하는 양로보험임을 나타내고 있다.

    6-19

    준식(1)

    ⋅ 이다.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 23 -

    과거법 책임준비금 공식을 대입하면,

    ⋅ ,

    이므로 준식을 정리하면,

    이다.

    좌변(2)

    우변

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 24 -

    제 장 연습문제7

    7-6

    생명보험회사는 다음과 같이 종신연금보험을 개발하려고 한다 점ABC .(20 )

    ∙피보험자가 세에 가입하여 세에 기시급으로 연금이 개시된다.

    ∙연금은 세 생존시 회 보증지급되며 회차10 , 11 ( 세 부터는 매년 생)

    존시 지급된다 다만 보증지급기간 중 사망시는 잔여 보증지급분을 예정이율로 할인. ,

    하여 즉시 지급한다.

    ∙연금연액은 세에 이후 매년 씩 체증되며1, 0.1 , 세부터는 씩 정액2

    으로 지급한다.

    ∙연금개시전에 피보험자가 사망하면 사망시 까지 납입한 보험료납입횟수 을 사망“ ×1”

    보험금으로 즉시 지급한다.

    ∙보험기간은 종신 납입기간은, 년 납입주기는 연납이다, .

    ∙예정사업비 중 신계약비는 가입시에 초년도 영업보험료의 를 유지비는 보험료 납,

    입기간 중 매년 영업보험료의 이다.

    연납순보험료의 산출식을 계산기수를 이용하여 작성하시오 점(1) .(8 )

    연납영업보험료의 산출식을 계산기수를 이용하여 작성하시오 점(2) . (3 )

    순보험료식 책임준비금 산출식을 계산기수를 이용하여 작성하시오 점(3) . (9 )

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 25 -

    제 장 연습문제 풀이7

    7-6

    (1)

    수입현가 :

    지출현가:

    (2)

    수입현가 :

    지출현가:

    × ⋅ × ⋅

    × ×

    계약 후(3) 년 경과시점의 책임준비금을 라 하면,

    )ⅰ 인 경우 : 장래지출현가 장래수입현가

    장래지출현가 :

    ×

    장래수입현가 : ×

    )ⅱ ≤ 인 경우

    장래지출현가 장래수입현가

    장래지출현가 :

    ×

    장래수입현가 :

    )ⅲ ≥ 인 경우 장래지출현가 장래수입현가

    장래지출현가 : ×

    장래수입현가 :

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 26 -

    제 장 연습문제8

    8-16.

    여성의 사력은 ⋅ 이고 남성의 사력은

    이다 동일연령. 인 여성의 동시생존상태는 동일연령 의 남성의 동시생존상태와 동일하

    다 사망이 독립인 것을 가정할 때. 의 값을 구하시오 단. ( , )

    8-17.

    ( ⋅

    를 간략히 표현하시오 단) . , , 는 서로 독립이며 사망은

    매 연령구간에서 를 가정한다.

    8-18.

    가 보다 먼저 사망하는 경우 의 사망시점부터 의 사망시점까지 최대 년간 지5

    급되는 연속연금의 현가를 올바르게 표현한 것을 고르시오.

    ① ②

    ③ ⋅ ④ ⋅

    8-19.

    는 처음 년간은15 중 인 이상 생존시 연초에 원의 연금을 지급하며 년이1 1 , 15

    지난 후에는 두 피보험자 중 오직 인이 생존하는 경우 연초에 원의 연금을 지급하는 경1 1

    우의 연금현가 확률변수이다 다음의 정보를 이용하여. 를 계산하시오.

    )ⅰ )ⅱ )ⅲ )ⅳ

    8-20.

    는 두 명의 피보험자 중 첫 번째 사망이 발생하는 경우 사망년도말 원을 지급1

    하고 두 번째 사망이 발생하는 경우에도 사망년도말 원을 지급하는 형태의 보험금현가 확, 1

    률변수이다 다음의 정보를 이용하여. 를 구하시오.

    )ⅰ )ⅱ )ⅲ

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 27 -

    8-21.

    동일연령 세의 두 명의 피보험자를 대상으로 최종생존자가 사망하는 경우 사망년도 말 1

    원을 지급하는 최종생존자상태의 종신보험이다 보험료는 평준보험료로 연납이지만 첫 번째.

    사망 발생이후는 연납보험료가 감액된다 다음의 정보를 이용하여 가입시점에서 납입25% .

    하는 연납보험료를 계산하시오.

    )ⅰ )ⅱ )ⅲ

    8-22

    다음의 표의 내용을 이용하여 를 계산하시오 단. , 는 서로 독립이다.

    8-23.

    다음의 정보를 이용하여 의 값을 구하시오.

    사망은)ⅰ 인 법칙을 따른다de Moivre

    )ⅱ 는 서로 독립이다.

    )ⅲ 는 두 번째 사망이 지금부터 년 이상 경과한 후 발생될 확률이다5 .

    )ⅳ 는 첫 번째 사망이 지금부터 년 후부터 년 이내에 발생할 확률이다5 10 .

    8-24.

    는 과 중 인 이상 생존시 연금을 지급하지만 이 세 이전에 생존하는 경(30) (45) 1 (30) 40

    우에는 연금을 지급하지 않는 형태의 연금현가 확률변수이다 연금연액은 원이며 연속으로. 1

    지급한다. 를 종신연금과 거치종신연금의 일시납보험료의 함수로 나타내시오.

    8-25.

    와 는 최종생존자 사망 시 보험금 를 사망년도 말에 지급하는 종신보험에 가입하였

    다 연납 순보험료는 두 사람 모두 생존시 원이지만 첫 번째 사망 이후에는 원으로. 110 40

    감액된다 다음의 정보를 이용하여. 를 계산하시오.

    )ⅰ 1/19 )ⅱ )ⅲ )ⅳ

    8-26.

    와 에게 최종생존자 종신보험을 판매하였다 사망보험금은 즉시급이며 연속납 보험료.

    0 0.08 0.10

    1 0.09 0.15

    2 0.10 0.20

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 28 -

    는 첫 번째 사망 발생시점까지만 납입된다 다음의 정보를 이용하여 연납보험료의 연액을.

    계산하시오.

    )ⅰ 는 서로 독립이다.

    )ⅱ )ⅲ

    8-27.

    , 이다.

    의 값을 구하시오.

    8-28

    다음의 주어진 정보를 이용하여 아래 물음에 답하시오.

    )ⅰ ⋅ ≤≤ )ⅱ ⋅ ≤≤

    )ⅲ )ⅳ

    )ⅴ , 는 독립

    (1) 시점에서의 를 구하시오.

    (2) 시점에서의 를 구하시오.

    (3) 를 의 함수로 표현하시오.

    8-29

    의 결합확률밀도함수는 다음과 같다.

    (1) 를 계산하시오.

    (2) 를 계산하시오.

    (3) 를 구하시오.

    (4) 를 구하시오.

    8-30

    의 사력은

    ≤ 이고, 의 사력은

    이다 두 확률변수는 서로 독립이며. 의 사망시점에서 이 생존해 있는 경우 보험금

    원을 즉시 지급하는 종신보험의 보험금 현가함수를1000 라고 하자.

    (1) 를 계산하시오.

    (2) 를 계산하시오.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 29 -

    제 장 연습문제 풀이8

    8-16.

    주어진 사력의 형태는 사망법칙을 의미하며 주어진 조건은,

    이므로 사력의 관계식에 대입하면 다음과 같이 유도된다.

    ⋅ ⋅

    ⋅ ⋅

    즉,

    이다.

    8-17.

    이므로

    8-18

    연금은 의 사망 이후 가 생존시 최대 년간 연속지급 되므로5

    이다 그런데. ≤ 이므로

    ⋅ ⋅

    8-19

    시점지급방법에 의해 를 구하면

    ⋅ │

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 30 -

    8-20.

    이다 그런데 보험과 연금의 관계식에 의거.

    8-21

    연납보험료를 라고 하면 수입현가와 지출현가는 다음과 같다.

    ∙수입현가 ⋅ ⋅

    ∙지출현가

    그런데 이며

    로부터

    이므로

    ,

    따라서

    8-22

    ⋅ ⋅⋅

    혹은 ≤ 이며 , 가 독립인 경우 ⋅ ⋅ 이므로 대입하여 계산할 수 있다.

    그러나( ≠ ⋅ 임에 주의할 것)

    8-23

    사망사건이 독립이므로

    ≤ ⋅ ⋅ 이다.

    그런데 사망법칙은 법칙이므로de Moivre

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 31 -

    8-24

    ⋅⋅

    ⋅⋅

    ⋅⋅

    ⋅⋅

    ⋅⋅⋅

    8-25.

    란 최종생존자 인만 생존시 지급하는 종신연금의 일시납보험료이므로1

    ⋅ 로부터 를 구할 수 있다 그런데.

    따라서

    이다.

    8-26

    를 보험료의 연액이라고 할 때 보험료 및 급부의 보험수리적 현가의 관계는

    ⋅ 이다 또한 사망은 독립적으로 발생하며 사력을 각각. , 라 하면,

    ⋅⋅

    ⋅ ⋅

    이므로

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 32 -

    이다.

    8-27

    8-28.

    이다.

    즉,

    이므로

    (1) 를 대입하면

    이다.

    (2) 를 대입하면 이다.

    (3) 이다.

    8-29

    (1)

    이므로

    (2)

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 33 -

    이므로 ∴

    (3)

    ( ∞

    ∞∞

    )

    (4)

    8-30

    (1)

    (2)

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 34 -

    제 장 연습문제9

    9-1.

    탈퇴원인은 종류이다 탈퇴원인 한가지인 경우2 . (1) 이며 탈퇴는 연령구간내

    균등분포한다 탈퇴원인 한가지인 경우. (2) 이며 탈퇴는 시점에서 연

    간탈퇴의 가 발생하고2/3 시점에서 연간탈퇴의 이 발생한다1/3 . 를 구하시

    오.

    9-2.

    세 피보험자인 은 두가지 원인으로 사망할 수 있다 첫 번째 원인으로 인한 사력은20 .甲

    로 일정하며 두 번째 원인으로 인한 사망은0.01 , 인 사망법칙을 따른de Moivre

    다. 를 으로 표현하시오.

    9-3.

    ,

    로 주어질 때 와 의 결합확률밀도함수를

    구하시오.

    9-4.

    탈퇴의 원인이 가지인 탈퇴잔존표에서 다중탈퇴율이 매 연령구간에서 균등분포3 (를

    하는 경우 다음의 정보를 이용하여 의 값을 구하시오.

    )ⅰ )ⅱ )ⅲ

    9-5.

    다음 중 탈퇴잔존표의 주어진 값을 이용하여3 의 값을 구하시오 단 다중탈퇴율. ,

    의 탈퇴력은 매 연령구간에서 법칙을 따른다.

    )ⅰ

    )ⅱ ⋅

    )ⅲ

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 35 -

    9-6.

    다음의 다중탈퇴율을 이용하여 ⋅ 의 값을 계산하시오.

    )ⅰ )ⅱ

    단일탈퇴인 경우는 매 연령구간 내에서 균등분포) (ⅲ 가정)

    9-7.

    이중탈퇴모형에서

    )ⅰ ⋅ )ⅱ

    일 때 의 값을 계산하시오.

    9-8.

    다음의 이중탈퇴잔존표의 일부이다 다중탈퇴율은 매 연령구간내 균등분포 를 가정. (MUDD)

    할 때 의 값을 구하시오.

    35 1,000 39 41

    36 69

    37 828

    9-9.

    이중탈퇴모형의 ≥ 에서 , 이다.

    )ⅰ )ⅱ )ⅲ 의 값을 각각 구하시오.

    9-10.

    이중탈퇴모형에서 다음의 정보를 이용하여 의 값을 계산하시오.

    )ⅰ )ⅱ )ⅲ

    9-11.

    이중탈퇴의 요소는 재해로 인한 사망 재해이외의 원인으로 인한 사망의 두 가지이(1) , (2)

    다 각 탈퇴력은. , 로 주어질 때 가 재해로 인

    해 사망할 확률을∘

    의 함수로 표현하시오.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 36 -

    9-12.

    이중탈퇴모형의 원인별 탈퇴력이 다음과 같을 때 을 계산하시오.

    )ⅰ

    , ≤

    )ⅱ

    , ≤

    )ⅲ , ≤

    9-13.

    다음 정보를 이용하여 의 값을 구하시오.

    )ⅰ

    )ⅱ )ⅲ

    세 연령구간내 원인별 탈퇴력은 상수이다) 67 .ⅳ

    9-14.

    다음 중 탈퇴모형의 정보를 이용하여3 를 계산하시오.

    매 연령구간내 원인별 탈퇴력은 일정하다) .ⅰ

    )ⅱ

    9-15.

    중 탈퇴모형에서3

    각 원인 중 단일탈퇴만 고려할 때 매 연령구간내 탈퇴는 균등분포한다) .ⅰ

    )ⅱ )ⅲ )ⅳ

    ⋅ 의 값을 구하시오.

    9-16.

    탈퇴원인은 사망 해약 이다 원인 의 단일탈퇴만을 고려할 때 탈퇴는 균등분포(1) , (2) . (1)

    65 100

    66 3 13

    67 1 3

    1 0.2

    2 0.4

    3 0.6

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 37 -

    (가정 를 따르며 원인 의 탈퇴는 각 연령의 경과시점에서 한꺼번에 발생한다) , (2) 2/3 .

    연령구간 에서의 해약건수는 연령구간 에서의 해약건수의 배이라고 할 때[61,62) [60,61) 2

    다음의 표에서 주어진 정보를 이용하여 의 값을 계산하시오.

    9-17.

    이중탈퇴모형의 아래 정보를 이용하여 의 값을 구하시오.

    )ⅰ )ⅱ )ⅲ

    )ⅳ )ⅴ

    9-18.

    다음의 표를 이용하여 의 값을 계산하시오.

    9-19.

    중 탈퇴모형을 고려한다 아래의 정보를 이용하여3 . 을 계산하시오.

    원인 에 의한 탈퇴는 매 연령구간별 균등분포한다) (1) .ⅰ

    원인 에 의한 탈퇴는 연도 말에서만 발생된다) (2) .ⅱ

    원인 에 의한 탈퇴는 연도 초에서만 발생된다) (3) .ⅲ

    )ⅳ

    9-20.

    이중탈퇴모형의 탈퇴력의 정보는 다음과 같다.

    )ⅰ

    , ≤

    )ⅱ

    , ≤

    위 정보를 이용하여 피보험자 이 제 차년도에 원인 에 의해 탈퇴할 확률을 계산하6 (2)

    시오.

    60 0.01 0.05 0.02 10,000

    61 0.076

    62 0.023 0.033 0.990

    63 0.098

    60 100,000 0.14 0.10 0.10

    61 0.10 0.20

    62 45,516

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 38 -

    9-21.

    보험계리사 수험생 집단에 대한 탈퇴모형은 다음과 같다.

    )ⅰ

    )ⅱ 은 시험합격으로 인한 탈퇴율을 의미함.

    )ⅲ 는 시험합격 이외의 원인으로 인한 탈퇴율을 의미함.

    탈퇴는 매년 말 시점에서 발생)ⅳ

    시험합격 이후 사망위험에 대한 사력은 이다 현재 세인 보험계리사 수험생이. 21

    년 후 시점에서 시험합격 후 생존해 있을 확률을 계산하시오3 .

    9-22.

    탈퇴원인이 개인 탈퇴모형의 탈퇴력은 다음과 같이 정의된다.

    단, ( , 이며 )

    (1) 를 의 함수로 표현하시오.

    (2) 의 결합 확률밀도함수를 의 함수로 표현하시오.

    (3) 의 확률밀도함수를 의 함수로 표현하시오.

    (4) 일 때 를 계산하시오.

    9-23.

    다음은 이중 탈퇴모형에 관한 정보이다.

    )ⅰ

    , ≤

    )ⅱ

    , ≤

    )ⅲ 는 의 탈퇴시점까지의 경과년수를 의미하는 확률변수이다(40) .

    )ⅳ 는 의 탈퇴원인을 나타내는 확률변수이다(40) .

    (1) 의 값을 계산하시오.

    (2) 을 계산하시오.

    (3) 를 구하시오.

    (4) 을 계산하시오.

    21 0.008 0.15

    22 0.015 0.20

    23 0.025 0.25

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 39 -

    제 장 연습문제 풀이9

    9-1.

    탈퇴원인 의 경우는 분포를 따르지만 의 경우는 아니다 먼저 주어진 절대탈퇴(1) SUDD (2) .

    율을 이용하여 를 구하면,

    즉,

    이다.

    그런데 원인 은 분포를 따르므로(1) SUDD

    ⋅⋅

    이다.

    ∴ 이다.

    9-2.

    탈퇴원인 은(1) 이므로

    이며

    탈퇴원인 는 법칙을 따르므로(2) de Moivre ⋅

    이다 따라서.

    9-3.

    ,

    이다 그런데.

    따라서

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 40 -

    9-4.

    매 연령구간 내 원인별 탈퇴력은 법칙을 따르므로 관계식에 의거CF ,

    즉, 이다.

    9-5.

    탈퇴력은 법칙을 따르므로CF

    ⋅ 이므로

    이 성립한다.

    주어진 조건은 이며 이므로

    9-6.

    이며 탈퇴원인은 각각 가정을 따르므로SUDD

    ⋯⋯⋯ ①

    ⋯⋯⋯ ②

    의 식으로부터 연립방정식을 풀면,① ② 이다.

    즉,

    9-7.

    이므로

    으로부터

    이다.

    9-8.

    절대탈퇴율과 상대탈퇴율의 관계식

    은 단수부분의 가정이 가정이MUDD

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 41 -

    거나 혹은 가정인 경우에 성립한다 지문에서는CF .

    이 성

    립하는 경우의 을 구하는 문제이므로

    따라서

    이며 이므로

    이다.

    9-9.

    )ⅰ

    )ⅱ ⋅

    )ⅲ ∞

    9-10.

    와 으로부터 이 유도된다) ) .ⅱ ⅲ

    → 즉,

    또한

    이므로

    로부터 유도하면

    이다.

    9-11.

    이다 그런데. 이므로

    가 된다.

    9-12.

    결합확률변수 에 의한 주변확률밀도함수는

    이다.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 42 -

    이므로 주어진 정보를 이용하

    면,

    ,

    므로

    이 된다.

    9-13.

    세는 절대탈퇴율 세 및 세는 원인별 탈퇴인원이 주어졌으므로 연령별 생존인원은65 , 66 67

    이며

    이다.

    따라서

    이며 또한 연령구간의 탈퇴는 법칙이므로CF

    이다.

    9-14.

    연령구간 탈퇴는 법칙을 따르므로 관계식CF

    이 성립한다 이 식의 양변에.

    로그를 취하면

    이 된다 즉. ,

    이다.

    이므로

    이다.

    9-15.

    절대탙퇴율이 주어지고 연령구간내 탈퇴율은 가정을 따르므로SUDD

    ,

    ,

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 43 -

    9-16.

    이며

    이므로

    이다.

    따라서

    이다.

    ⋯⋯⋯ ①

    또한 탈퇴원인 은 가정을 따르므로(1) SUDD

    ⋅ ⋯⋯⋯ ②

    의 연립방정식을 풀면,① ② 이다.

    9-17.

    × 이므로

    로부터

    이다.

    따라서 ∴

    9-18.

    이다 따라서.

    이며

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 44 -

    9-19.

    이며

    이다.

    그런데 탈퇴원인 은 가정을 따르므로(1) SUDD

    이며,

    탈퇴원인 은 매년 초 는 매년 말 탈퇴가 발생하므로(3) , (2)

    ,

    9-20.

    전체탈퇴력은 원인별 탈퇴력의 합으로 계산되므로 원인 의 탈퇴력은 다음과 같다(2) .

    따라서

    이 차년도에 원인 에 의해 탈퇴할 확률은(10) 6 (2) 이며

    9-21.

    구하는 확률 ⋅

  • 보험수리 총정리 추록분note

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    9-22.

    전체탈퇴력은 원인별탈퇴력의 합으로 산출되므로(1)

    (2) 의 결합확률밀도함수는 다음과 같다.

    (3) 의 주변확률밀도함수는

    (4)

    이므로 이다.

    9-23.

    이므로

    (1) ⋅

    (2) ⋅

    (3)

    여기에서,

    따라서 이다.

    (4)

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    제 장 연습문제10

    10-3

    년 월 일 정기보험에 가입한 피보험자 가운데 년 월 일에 명이 남았다2004 1 1 2005 1 1 100 .

    이들 중 년 월 일에 생존하는 피보험자는 모두 종신보험으로 전환한다 점2007 1 1 . (15 )

    남자 세 가입 년만기 전기연납 사망보험금은 기말급- 30 , 5 ,

    ∙보험가입금액 원1,000

    ∙예정이율( 은) 10%

    ∙ 원 신계약비 보험가입금액의, = 10%

    전환가격은 전환당시 정기보험의 해약환급금이다- .

    종신보험의 사망보험금은 즉시급이며 사력은 일정하다- .

    -

    중도해약은 없는 것으로 한다- .

    종신보험 전환자 전체의 전환가격을 계산하시오 최종계산은 소수점 셋째자리에서 반올림(1) . ( )

    점(10 )

    전환된 종신보험의 인당 보험금액을 계산하시오 최종계산은 소수점 셋째자리에서 반올(2) 1 . (

    림 점) (5 )

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    제 장 연습문제 풀이10

    10-3.

    전환시점에서의 인당 해약환급금을 구하여 보자(1) 1 .

    0 1 2 3 4 5

    ×

    ×

    ×

    ( 이므로)

    일 잔존계약자수는2007.1.1 × 명( )

    이므로 전환자전체의 전환가격은 원 이다( ) .

    전환된 종신보험의 보험금액을(2) 라고 하면 계별계약의 수지는

    ∙수입현가 :

    ∙지출현가 : × 이며,

    사망법칙에서는CFM

    이므로

    원 이다( ) .

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    제 장 연습문제11

    11-9

    다음과 같은 종신연금보험을 가입하였다 이 보험은 연금개시 시에 기본연금 외에 연금개시.

    시점까지 적립된 위험률차 배당금을 재원으로 하여 증액연금을 지급하기로 되어있다 점.(15 )

    ∙가입연령은 세 연금개시 연령은 세52 , 55

    ∙보험료 납입은 년 연납 연납순보험료는 보험가입금액 만원당 원3 , 10 9,325

    ∙예정이율( 은 확정금리형 상품) 7.5%

    ∙배당금적립 시 적용하는 부리이율은 연복리 8.5%

    ∙매 보험연도말에 발생하는 위험률차 배당금은 해당 연령 자연위험보험료의 이25%

    며 그 외 배당은 없다, .

    경과 기간별 보험료 적립금 보험가입금액 만원 기준< > ( 10 )

    경과기간 연령 보험료적립금

    0 세52 원0

    1 세53 원8,291

    2 세54 원17,283

    3 세55 원26,051

    제 차 보험연도 말 발생한 위험률차 배당금을 계산하시오 최종 계산은 원미만 반(1) 1, 2, 3 . (

    올림 점) (5 )

    의 결과를 반영하여 연금개시시점의 배당적립금을 계산하시오 최종 계산은 원미만 반(2) (1) . (

    올림 점) (5 )

    의 결과를 반영하여 증액연금연액을 계산하시오 최종계산은 소수점 이하 다섯째자리에(3) (2) . (

    서 반올림 단) ( , 점) (5 )

    11-10

    사망을 보장하는 년만기 전기 연납보험이 판매 중에 있다 제 보험년도 초에 유효30 ( ) . 10全期

    한 계약 건에 대한 아래의 정보를 활용하여 제 보험년도 말의 기대수익1 10 (expected

    을 산출하시오 단 소수점 이하는 첫째자리에서 반올림 처리함 점profit) . ( , .) (10 )

    ∙보장내용은 사망시 보험년도 말에 기납입보험료를 지급함.

    ∙연납보험료는 원임150,000 .

    ∙제 보험년도 말의 책임준비금9 은 원임1,230,000 .

    ∙제 보험년도 말의 책임준비금10 은 원임1,340,000 .

    ∙제 보험년도 기간 중에 사망할 확률10 은 임0.05 .

    ∙제 보험년도의 투자수익률은 임10 10% .

    ∙투자 관련 비용과 기타 제반비용은 모두 무시함.

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    제 장 연습문제 풀이11

    11-9.

    보험가입금액 만원당 연납 순보험료를(1) 10 준비금을, 로 나타내어 준비금의 재귀식

    을 기술하면, 이다 이 식에. 를 순

    차적으로 대입하면,

    로부터 , , 이다.

    자연위험보험료는 이므로 매 보험년도말 위험율차 배당금은 다음과

    같이 산출된다.

    보험년도 보험년도 말 위험율차 배당금

    차1 × 원( )

    차2 × 원( )

    차3 × 원( )

    좀 더 간편한 방법으로 자연위험보험료는 ⋅ 이므로

    보험년도 보험년도 말 위험율차 배당금

    차1 × 원( )

    차2 × 원( )

    차3 × 원( )

    세시점의 배당적립금(2) 55 원( )

    증액연금연액을(3) 이라하면, 로부터

    원 이다( ) .

    11-10

    차년도의 책임준비금의 재귀식으로부터10

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    제 장 연습문제12

    12-1.

    확률변수 의 확률밀도함수는 ≤≤ 이다.

    )ⅰ 의 분포함수를 구하시오.

    )ⅱ 의 기대치와 분산을 구하시오.

    )ⅲ ∧의 기대치와 분산을 구하시오.

    )ⅳ 의 기대치와 분산을 구하시오.

    )ⅴ 의 기대치와 분산을 구하시오.

    12-2.

    확률변수 의 개 표본의 분포에 대한 내용은 다음 표와 같다80 .

    또한 ∧ 이다 구간에서의 개 표본으로 부터의 평균값을 구. (0,50] 4

    하시오.

    12-3.

    다음 각각의 손해액 확률변수 에 대하여 이deductible 로 설정되는 경우 보험금 지급건

    당 평균지급액 을 계산하시오(expected cost per payment) .

    )ⅰ 는 평균이 인 지수분포를 따르며 이다.

    )ⅱ 는 구간 에서 균등분포하며 이다.

    )ⅲ 의 경험분포에 따른 표본은 이며1, 2, 2, 3, 5, 6 이다.

    12-4.

    보험회사에서 판매하는 보험계약은 가지 종류이다 판매되는 전체계약의 는2 . 25% Type

    이며 는 이다 계약의 손실액 분포는 평균이 원인 지수분포1 , 75% Type 2 . Type 1 100年

    를 따르며 계약의 손실액 분포는, Type 2 年 인 분포를 따른다 전Pareto .

    체 계약으로부터 건의 계약을 임의로 선택할 때1

    손실액이 원 미만일 확률을 구하시오) 100 .年ⅰ

    손실액의 분산을 구하시오) .年ⅱ

    단 모수가, 로 주어지는 분포의Pareto , 및 차 적률식은 다음과 같다.

    구간 (0,50] (50,100] (100,200] (200,400] (400,1000] (1000,2000] (2000,5000]

    표본수 4 7 9 16 29 12 3

    평균 72 160 310 750 1600 4500

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    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 51 -

    12-5.

    사망법칙은 모든 정수연령에 대한 사력이 상수 이다 그런데 매 연령별. 는 구간

    사이에서 균등분포한다 이자율은 년 이다. 5% . 는 사망보험금 원의 보험금1,000

    연말급 년 정기보험의 보험금현가 확률변수이며1 는 연액 원의 연속형 종신연금의 연금현1

    가 확률변수이다 다음 물음에 답하시오. .

    )ⅰ 의 기대치와 표준편차를 구하시오.

    )ⅱ 의 표준편차를 구하시오.

    )ⅲ 가 이상일 확률을 계산하시오2 .

    12-6.

    손해액 확률변수 가 구간 에서 균등분포 단( , 를 따를 때 보험금 최고한도가)

    로 설정된 계약의 손해 건당 비용에 대한1 및 기대치와 분산을 계산하시오.

    12-7.

    손해액 확률변수 가 평균이 인 지수분포를 따를 때 보험금 최고한도가 로 설정된 계약

    의 손해 건당 비용에 대한1 및 기대치와 분산을 계산하시오.

    12-8.

    손해액 확률변수 가 구간 에서 균등분포를 따를 때 보험계약에서 이deductible

    원으로 설정된 경우50

    손해건당 비용 확률변수와) (Cost per Loss)ⅰ

    보험금지급건당 비용 확률변수) (Cost per Payment)ⅱ

    각각에 대하여 ① 기대치와 분산을 구하시오.② ③

    12-9.

    손해액 확률변수 는 모수가 인 로그정규분포를 따른다 보험계약은.

    로서 원이 설정되어 있으며 은franchise deductible deductible 50,000 policy limit 100,000

    원 이다 손해건당 비용의 기대치를 계산하시오. .

  • 보험수리 총정리 추록분note

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    12-10.

    손해액은 평균이 원 이다 으로 설정되는 경우의2,000 . deductible 1,000 은 이라고30%

    한다 손해발생건수의 은 원 미만의 손해라고 할 때 금액 미만 손해의. 60% 1,000 deductible

    평균을 계산하시오.

    12-11.

    은 원 은 원으로 설정된 보험계약의 손해액 확률변수deductible 5,000 , policy limit 25,000

    는 구간 에서 균등분포를 따른다 손해액이 이상인 경우 보상액. policy limit

    은 에서 을 차감한 금액이다 보험금지급건당 비용의 기대치policy limit deductible .

    를 구하시오(expected payment per payment) .

    12-12.

    물가상승률 를 가정할 때 다음년도의 손해액 확률변수의 확률밀도함수를 구하고 분포10%

    의 형태를 기술하시오 단 금년도의 손해액 확률변수. , 는 다음과 같다.

    구간)ⅰ 에서 연속형 균등분포

    평균이 인 지수분포) 1000ⅱ

    모수가)ⅲ 인 분포Pareto

    12-13.

    개인이 병원에 입원치료를 받는 경우 소요비용에 대한 정보는 다음과 같다.

    )ⅰ

    비용 평균 표준편차

    입원치료 1000 500

    기타 500 300

    입원치료비용과 기타비용의 공분산은 이다) 100,000 .ⅱ

    보험회사는 입원치료비용의 기타치료비용의 를 보상하는 보험계약을 판매하고100%, 80%

    있다 병원에 입원하는 인원은 평균이 명인 포아송분포를 따른다 이 보험계약과 관련한. 4 .

    회사의 총지급보험금의 분산을 계산하시오.

    12-14.

    보험계리사 홍길동은 실손보장형 건강보험을 개발하기 위하여 「 명으로 구성된 피보험자단체 의 관련 리스크를 측정하고자 한다 아래의 조건을 이용하여 다음 물음에 답하시오. .」점(20 )

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 53 -

    단위보험기간에 대하여,

    ∙피보험자 가 보험사고에 의해 보험금을 청구할 가능성을 나타내는 확률번수는

    이며 기댓값, 분산, 으로 설정함 단. ( ,

    또한) , 은 서로 독립이고 동질적인 확률분포

    를 따름(independent and identically distributed) .

    ∙피보험자 의 보험사고에 의한 보험금 청구액을 나타내는 확률변수는 이며,

    기댓값 분산, 으로 설정함.

    단( , 또한) , 은 서로 독립이고 동질적인 확률분포

    를 따름.

    ∙총 보험금 청구건수 를 나타내는 확률변수는(total number of claims) 로 설정함.

    ∙ 과 는 서로 독립임.

    (1) 명으로 구성된 피보험자 단체가 청구할 것으로 예상되는 총 보험금 청구액 (total amount

    을 나타내는 확률 변수를of claims) 라고 할 때 기댓값 와 분산 를

    등으로 표현하시오 점. (12 )

    위 의 결과를 이용하여 변동계수 을 구하고 피보험자 집단의(2) (1) (coefficient of variation) ,

    규모가 무한대로 커질 경우 변동계수의 수렴값이 의미하는 바를 간략히 기술하시오 점. (8 )

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 54 -

    제 장 연습문제 풀이12

    12-1.

    )ⅰ

    )ⅱ

    이므로

    )ⅲ ∧

    ∴ ∧ ∧ ∧

    )ⅳ

    )ⅴ

    12-2.

    구간의 평균을(0,50] 이라고 하면

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 55 -

    으로부터 계산하면 이다.

    12-3.

    보험금 지급건당 평균지급액 은 초과손해 의 기(expected cost per payment) (excess loss)

    대치 즉, 를 의미하므로

    )ⅰ

    )ⅱ

    )ⅲ

    12-4.

    주어진 정보를 정리하면 가중치는 각각 , 이며

    이므로 ,

    이므로 이다.

    )ⅰ 이므로

    )ⅱ

    이므로

    12-5.

    )ⅰ 이며

    이므로

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 56 -

    이므로

    )ⅱ 이므로 로 정의하면

    이다 그런데.

    , 이며 이므로

    )ⅲ

    12-6.

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 57 -

    ⋅ ⋅

    ⋅ ⋅

    12-7.

    ∵ ∧

    12-8.

    손해건당 확률변수)ⅰ

    이다.

    ② 의 기댓값의 산출은 여러 가지 방법이 가능하다.

    혹은

  • 보험수리 총정리 추록분note

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    또는

    또는

    ∧ 를 이용하여 산출할 수도 있다.

    차 적률값도 산출하는 방법이 여러 가지이다 여기에서는 그 중 첫 번째 방2 .③

    법을 적용하면,

    이므로

    보험금지급건당 비용 확률변수) (Cost per Payment)ⅱ

    즉,

    균등분포하는 확률변수이다. ∼

    ⋅ ⋅

    ⋅ ⋅

    12-9.

    ≤ ≤

    이므로

    ∧ ∧ 이다.

    분포로부터Lognormal

    ∧ ⋅

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 59 -

    이며

    에 대입하면

    12-10.

    ∧ 이다 그런데.

    으로부터 ∧ 이므로

    원 이다( ) .

    12-11.

    ∧ ∧

    12-12.

    내년도 손해액 확률변수 이라 하면, 은 이다.

    )ⅰ

    이므로 이다.

    즉, 은 구간 에서 연속형 균등분포를 따르는 확률변수이다.

    )ⅱ

    이므로 이다 즉. ,

    은 평균이 인 지수분포를 따르는 확률변수이다.

    )ⅲ

    이므로

    즉, 은 모수가 인 분포를 따르는 확률변수이다Pareto .

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    12-13.

    총지급보험금은 이다 여기에서.

    이므로 이며

    이므로

    12-14.

    (1) ⋅

    변동계수(2)

    ⋅이다.

    이 무한대로 커지면

    lim→∞

    lim→∞

    ⋅→

    변동계수는 으로 수렴한다 변동계수가 으로 수렴한다는 것은 총 손실에 대한 위험0 . 0

    도가 으로 수렴한다는 의미이며 이는 일시납보험료로서 총손실의 기대치인0 만

    으로 책정하여도 위험이 없어지게 된다는 의미이다.

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    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 61 -

    제 장 연습문제13

    13-1

    바구니에 두개의 공이 들어있다 하나는 적색공. 이며 또 하나는 청색공 이다 바구니.

    에서 무작위로 한 개의 공을 꺼낸 후 다른 공으로 대체한다 다른 공의 색상은 적색과 청색.

    중 하나로 임의로 대체된다.

    (1) 을 번째 대체 후 청색공의 개수라 할 때의 전이확률행렬을 구하시오.

    현재 청색공이 없는 경우 두 번의 대체시행 후에도 청색공이 하나도 없을 확률을 계산(2)

    하시오.

    의 극한확률(3) Markov Chain 를 구하시오.

    13-2

    보험회사의 보험금지급창구에 방문하는 시간당 계약자수는 평균 명인 포아송 를10 Procees

    따른다 보험금지급창구는 번 번 번의 종류의 창구로 구분되며 각 창구의 방문확률은. 1 , 2 , 3 3

    , 그리고 이다.

    분 내에 명 이상의 계약자가 방문하는 확률을 구하시오) 10 1 .ⅰ

    번 창구에 번째 계약자가 도착하기까지의 소요시간의 기대치를 구하시오) 2 3 .ⅱ

    번 및 번 창구 합하여 명이 도착하기 이전 번 창구에 명의 계약자가 방문할 확률) 2 3 2 1 2ⅲ

    을 구하시오.

    13-3

    갑 보험회사가 다음과 같은 상태 모형 을 채택한 질병보험을 개발한다3- (3-state model) .

    건강상태(H) →←

    질병상태(S)

    ↘ ↙

    사망상태(D) 화살표는 전이방향을 나타냄( )

    보험료산출을 위한 조건은 다음과 같다 점. (2004 #2, 15 )

    ∘유진단 계약으로 보험가입대상 피보험자는 세이며 가입 당시 피보험자가 건강상태40

    에 있어야 한다(H) .

    ∘보험기간은 년으로 보험료납입방법은 일시납이다3 .

    ∘피보험자가 매 보험년도 말에 질병상태 에 있으면 보험금 만원을 지급한다(S) 100 .

    ∘상태전이 에 관한 경험자료를 분석한 결과는 아래와 같다(state transition) .

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 62 -

    임의의 ∊ 에 대하여 피보험자가, 세 도달직전에서의 상태를 나타내는

    상태변수를 ∊ 라 하고 상태전이확률 을, (state-transition probability)

    라고 정의한다 분석결과로 주어진 정보는 다음과 같다 임. .

    의의 에 대하여,

    , ,

    ,

    제 보험년도에 보험금지급사유가 발생할 확률을 구하시오(1) 1 .

    제 보험년도에 보험금지급사유가 발생할 확률을 구하시오(2) 2 .

    제 보험년도에 보험금지급사유가 발생할 확률을 구하시오(3) 3 .

    예정이율이 일 때 수지상등의 원칙에 따른 일시납 순보험료를 구하시오(4) 5%

  • 보험수리 총정리 추록분note

    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 63 -

    제 장 연습문제 풀이13

    13-1

    (1)

    위의 단계 전이확률행렬 을 다음과 같이 나타낸다1 (1-step transition probability matrix) .

    구하는 확률을 기호로 나타내면(2) 이다 이를 행렬식으로 구.

    하면

    ×

    즉,

    이다 이를.

    로 표기한다.

    따라서 이다.

    (3)

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    주 미래보험교육원( ) www.mies.co.kr- 64 -

    극한확률은

    의 방정식으로부터 구해진다.

    의 개의 식으로부터 구하면4 ,

    ,

    이다.

    13-2

    분은) 10ⅰ시간 이므로 분당 도착계약자수10

    은 평균이

    인 포아송

    를 따른다 따라서 분 내에 명 이상 계약자의 방문확률은Process . 10 1

    또는 분 내에 명 이상의 계약자의 확률이란 명의 계약자의 도착소요시간이 분 미만10 1 1 10

    의 확률과 동일하므로 를 첫 번째 계약자도착까지의 소요시간이라 하면

    ≥ ≤

    이다.

    )ⅱ 를 시점까지 번창구에 방문한 계약자수라 하면2 ≥ 는 시간당 평균계약자수가 인 포아송 를 따른다 따라서 계약자 도착사이의Process .

    평균 소요시간은 평균이 시간인 지수분포를 따른다.

    번 창구에 번째 계약자가 도착하기까지의 소요시간을2 3 라고 하면

    이므로

    )ⅲ 시점까지 번 및 번 창구에로의 도착인원은 시간당 평균2 3

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    명인 포아송 를 따른다 따라서 이들 창구에 명Process . 2

    이 도착하기 이전 번 창구에 명의 계약자가 방문할 확률은 명의 방문자 중 명이상이1 2 3 2 1

    번 창구 방문자일 확률이므로 에 의거(13.2.3.1)

    명 중 명 이상이 번 창구 방문자3 2 1

    13-3.

    개의 간의 전이확률은3 States ,

    0.2

    0.7

    0.78 0.2

    0.10.02

    1

    Transition Probability

    로 부터(1) 1-Step Tansition Probability Matrix → 즉,

    H

    S

    H

    S

    S

    0.2

    0.780.2

    0.2

    H S : 0.2

    로부터(2) 2-Step Transition Probability Matrix 를 계산하면

    로부터(3) 3-Step Transition Probability Matrix 를 계산하면

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    H

    S

    H

    H

    S

    H

    S S

    S

    S

    S

    O.2

    O.78

    O.78

    O.2

    O.2

    O.7

    O.2

    O.2

    O.2

    O.2

    0.18888

    1 2

    (4) 만