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香港中學文憑考試

數學 延伸部分

單元二(代數與微積分)

2020年11月

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內容簡介

考試形式

題目介紹

評卷參考

考生表現

答卷示例

一般建議

3

考試形式

考試時間 : 2小時30分鐘

本單元只考一卷

本卷分為兩部，全部題目均須作答

考生須具必修部分及初中課程基礎部分與非基礎部分的知識

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題目介紹 – 題 3

(a) 設 x 為一非 的倍數的角。 證明

(i) ，

(ii) 。

(b) 利用 (a)(ii)， 證明

。

30

x

xxx

2

3

tan31

tantan33tan

xxxx 3tan)60(tan)60(tantan

85tan75tan65tan55tan

5

題目介紹 – 題 3（續）

需運用複角公式

需認識特殊角的三角比的準確值

需對三角恆等式的運算有較佳的掌握

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題目介紹 – 題 8

定義 及 。 設

使得 及 ， 其中 a 、 b

及 c 均為實數。

(a) 求 a 、 b 及 c 。

615

25P

00

01Q

cb

aM

1

1|| M QMPM

需運用矩陣的性質

7

題目介紹 – 題 8（續）

(b) 定義 。

(i) 計算 。

(ii) 利用 (b)(i) 的結果， 證明對任意實數

及實數 ， 。

需計算逆矩陣

運用矩陣的乘法結合律求矩陣的乘方

515

26R

MRM1

RPRP999999

)(

8

題目介紹 – 題 9

對所有實數 ， 設 。

將 的圖像記為 H 。

(a) 求 H 的漸近線。

(b) 求 。

需對漸近線有較深入認識

需對求導法的運算有較佳的掌握

4x2

3

)4(

)4()(f

x

xx

)(f xy

)(f x

9

題目介紹 – 題 9（續）

(c) 某人宣稱 H 有兩轉向點。 你是否同意？

解釋你的答案。

(d) 求 H 的拐點。

(e) 求 H 、 x 軸與 y 軸圍成的區域的面積。

需對轉向點及拐點有較深入認識

需運用定積分求面積

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題目介紹 – 題 12

設 及 ，

其中 O 為原點。 R 為 PQ 上的一點使得

。

(a) 求 。

需對向量有基本認識

需計算向量積

k4ji OP k4j7i5 OQ

3:1: RQPR

OROP

11

題目介紹 – 題 12（續）

(b) 定義 。 求四邊形 OPSR

的面積。

(c) 設 N 為一點使得 ，

其中 為一實數。

(i) 是否垂直於 ？ 解釋你的答案。

需利用向量計算四邊形的面積

需對純量積的幾何應用有較深入認識

OROPOS

)( OROPON

NR PQ

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題目介紹 – 題 12（續）

(ii) 設 為一實數使得 平行於 。

(1) 求 及 。

(2) 將 OPQ 與 NPQ 間的交角記為 。

求 tan 。

需對三維空間的向量有較深入認識

需具備必修部分的知識

NQ k10ji11

評卷參考 – 題 3

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(a)(i) 1M : 給正確運用複角公式

或二倍角公式

1 : 給正確的證明

(ii) 1M : 給正確特殊角的三角比的值

1 : 給正確的證明

(b) 1M : 給代入正確的 x 值

1 : 給正確的證明

評卷參考 – 題 12

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(a) 1M : 給正確應用向量分點公式

1A : 給正確的向量積

(b) 1M : 給計算四邊形面積

1A : 給正確的四邊形面積

評卷參考 – 題 12（續）

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(c) (i) 1M : 給

1A : 給正確的結論，並顯示理由

(ii)(1) 1M : 給運用向量的平行性

1A : 給 的值

1A : 給 的值

ONORNR

評卷參考 – 題 12（續）

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(c)(ii)(2) 1M : 給確定所求的角

1M : 給正確運用 (c)(ii)(1) 的結果

1A : 給 tan 的值

考生表現

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級別 2019百分率 2020百分率

第5**級 3.9% 4.1%

第5*級或以上 15.5% 15.1%

第5級或以上 38.5% 36.5%

第4級或以上 59.6% 58.3%

第3級或以上 79.6% 80.5%

第2級或以上 92.3% 92.0%

第1級或以上 97.8% 97.9%

考生表現 – 題 3

18

在(a)(i)，整體表現甚佳。超過 80%

考生能完成證明。

在(a)(ii)，整體表現良好。很多考生

能利用 (a)(i) 的結果完成本部。

考生表現 – 題 3 （續）

19

在(b)，整體表現平平。 很多考生

未能把一合適的 x 值代入 (a)(ii) 的

結果來完成證明。

考生表現 – 題 8

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在(a)，整體表現甚佳。超過 75%

考生熟悉矩陣的運算，因此他們能 求得 a 、 b 及 c 。

在(b)(i)，整體表現良好。很多考生 能計算 M ̶ 1RM 。惟部分考生未能

正確地求得 M ̶ 1 。

考生表現 – 題 8 （續）

21

在(b)(ii)，整體表現甚差。 大部分

考生未能利用 (b)(i) 的結果推證

，

他們因此未能完成證明。

1

0

0

MMRP

考生表現 – 題 9

22

在(a)，整體表現甚佳。大部分考生能

寫出 H 的垂直漸近線及斜漸近線。

在(b)，整體表現良好。很多考生能

求得 f (x) 。

考生表現 – 題 9（續）

23

在(c)，整體表現平平。 很多考生誤以

為 H 於 x = ̶ 4 處有轉向點。

在(d)，整體表現平平。 部分考生能

求得 H 的拐點，但其中很多未能

顯示檢驗的步驟。

考生表現 – 題 9（續）

24

在(e)，整體表現平平。 部分考生能

寫出所求面積的定積分。惟很多考生

未能利用代換積分法計算定積分。

考生表現 – 題 12

25

在(a)，整體表現甚佳。 大部分考生能

求得 。

在(b)，整體表現良好。 很多考生能

得出所求的面積。

OROP

考生表現 – 題 12（續）

26

在(c)(i) ，整體表現平平。 很多考生

未能以 及 表 ， 因此

他們未能求得 。

OR ON NR

PQNR

考生表現 – 題 12（續）

27

在(c)(ii)(1)，整體表現平平。 部分考生

能利用 平行於

這條件去建立方程，因此他們能求得

及 。

在(c)(ii)(2)，整體表現甚差。 只有少數

考生能確定 。

NQ k10ji11

ORN

答卷示例

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http://www.hkeaa.edu.hk/tc/hkdse/hkdse_subj.html?A1&1&4

一般建議

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考生應注意下列各點：

列出所有步驟

多做變率的練習

多做積分的練習，包括代換積分法、

分部積分法

寫出適當的向量記號，例如向量符號、

純量及向量乘法符號

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謝謝!