EEL001-Apostila Cap 2.pdf

EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB

EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS ENGENHARIA DA COMPUTAO

CAPTULO 2 CIRCUITOS DE CORRENTE CONTNUA

1 FONTES DE TENSO E FONTES DE CORRENTE

Fontes de Tenso

E

Ri

REAL

(b)

SIMBOLOGIA

(USUAL)

IDEAL

CONVENO PARA FONTE CC

+-

E

(a)

v(t) =E

IDEAL Ri 0

Fig. 1 -

Fontes de Corrente

REAL

i(t) = I

IDEAL

(a)

R i

(b)

I

v(t)

i(t)

t

(c)

(d)

IDEAL Ri 00

Fig. 2


Corrente i dq Ci(t) Adt S

= = [1]

Coulomb carga agregada 6,24 * 1018 eltrons. 1 eltron carga de 1,6021 x 10-19 [C]

q carga [C]

t tempo [s]

i convencionado como correspondente ao movimento de cargas positivas.

Tenso v

+

-vAB

I

E

vB

vA

Fora Contra Eletromotiz (FCEM)

Receptor

N'o A

N'o B

(b)

+-

vABI

E

vB

vA

Fora Eletromotiz (FEM)Fonte

N'o A

N'o B

(a)

Fig. 3 -

Da Fig. 3, obtm-se que a diferena de potencial entre os ns A e B dada por,

AB A BV V V E [V]= = [2]

Na Fig. 4 a corrente sai pelo maior potencial

de tenso e retorna pelo menor potencial de

tenso.

+-

A

B

vAB = E 1

I I

R

(a) I

50[V]

100[V] + 100 [V]

- 50[V]

+

+-

-

(b)

I

I

Fig. 4


2 LEI DE OHM

I

+-E

15[V]

V1

V2

R1K+

-

V12

I

Fig. 5 -

No circuito da Fig. 5 tem-se que,

I.RVV 21 = [3]

A Eq. 3 conhecida como Lei de Ohm.

Da Fig. 5 nota-se que,

21 VV > A corrente flui do maior para o menor potencial.

EVV 21 = [4.1] 21 VV > [4.2]

Da Eq. 3 e da Eq. 4.1,

RE

RV- V I 21 == [5]

Para valores mostrados na Fig. 5,

[mA] 1510 x 1

15 I 3 ==

i(t)

I1

(d)

v(t)

E

(c)

(a)

R

I

VR

+

-

Sentido

Polaridade

V 1

V 2

V12

I[A](b)

V12 +V R

Fig. 6 -

Para o circuito da Fig. 6.a, considerando-se

as formas de ondas da Fig. 6.c e da Fig.

6.d, tem-se que:

Valor Eficaz

Como os sinais so contnuos,

EVV AVRMS == [6]

Valor Mdio

Analogamente,


1AVRMS III == [7]

Potncia Entregue pela fonte (tenso e corrente na fonte no mesmo sentido)

I.EPPS == [8]

Potncia consumida pela fonte (tenso e corrente na fonte em sentidos opostos. Este

caso no se aplica ao circuito da Fig. 5.

I.EPrec = [9]

Potncia consumida pela carga

2R I.RP = [10]

Logo, pelo balano de potncia, de acordo

com a Eq. 8 e a Eq. 10,

Rs PP =

Portanto, 2I.RI.E =

2I.RI*)I.(R = 22 I.RI.R = Esta ltima equao comprova o balano de

potncia.

3 OPERAO SRIE LEI DAS TENSES DE KIRCHOFF

Exemplo 1

O somatrio das tenses em uma malha fechada igual a zero. A Eq. 11 sistematiza este enunciado que conhecido

como Lei das Tenses de Kirchoff (KVL Kirchoff Voltage Law)

0 VN

1ii

== [11]

+

+

+

-

-

-

100[V]

50[V]

100[V]

E1

E2

E3

I

I I

+-

-

+

-+

VR2

V R3

V R1

R 1

R 2

R 3

10

10

5

sentido depercorrer a malha

Fi

Fig. 7 -

Aplicando a Eq. 11 no circuito da Fig. 7,

obtm-se que,

0VVVEEE R3R2R1123 =++ [12]

Substituindo valores,

0Ix10 -Ix5 - Ix10-10050 100 =++


[A]1025

250 I ==

Deste modo,

[V] 100 10 . 10 V[V] 50 10 . 5 V[V] 100 10 . 10 V

R3

R2

R1

======

Tambm,

[V] 250EEE 321 =++ [V]250VVV R3R2R1 =++

Pelo balano de potncia,

[W] 2500 .1010) 5 (10 P P P

[W] 2500 10 x 100)50(100 P P P2

R3R2R1

E3E2E1

=++=++=++=++

Logo,

= 0i P P [13.1]

ou ainda,

= RECEBIDAENT P P [13.2]

Exemplo 2

+

++

-

-

-

100[V]

50[V]

100[V]

E1

E2

E3

I

I I

+-

-

+

-+

VR2

VR3

VR1

R 1

R 2

R 3

10

10

5

Fig. 8 -

Aplicando-se a Eq. 11 na Fig. 8 vem que,

0VVVEEE R3R2R1123 =+ [14]

Logo,

321

321

RRREE-E I ++

+=

Substituindo-se os valores,

[A]625

15010510100 50 - 100 I ==++

+=

Portanto, em cada resistor, a

correspondente tenso ser dada por,

[V]606.10VR1 == [V]306.5VR2 == [V]066.10VR3 ==


Logo,

[V]1506030 60VVV R3R2R1 =++=++

Para se comprovar a Eq. 14 da Fig. 8 vem

que,

[V]15010050100EE-E 321 =+=+

O balano de potncia fornecida pelas

fontes E1 e E3 igual a:

[W]12006*100)(100PP E3E1 =+=+

Potncia recebida pela fonte E2:

[W]3006*50PE2 ==

Potncia consumida (dissipada) pelas

cargas:

[W]9006x10)5(10PPP 2R3R2R1 =++=++

Logo,

][300][900][1200PPP ERREf

WWW +=+=

4 DIVISOR DE TENSO

II

+

+

+

-

-

-VR3

V R2

VR1

15[V]

10

10

10

E

Terra/Referncia(Ground Potential)

Fig. 9 -

Da Fig. 9, atravs da Eq. 11, obtm-se que,

321 RRRE I ++=

A correspondente tenso em cada resistor

dada por,

E.RRR

RI.R V321

33R3 ++== [15]

E.RRR

RI.R V321

22R2 ++== [16]

E.RRR

RI.R V321

11R1 ++== [17]

Substituindo valores, a tenso na

resistncia R3, por exemplo, ser igual a,

[V]515.101010

10 VR3 =++=


5 MEDIDAS DE TENSES

Exemplo 3

II A B

VR2

+

-

R 240

VAB =V R1

R 110

VA VB

+ -

100V E

Fig. 10 -

Aplicando a Eq.11 na Fig. 10, obtm-se a

corrente I de acordo com,

[A]24010

100 I =+=

A tenso na resistncia R2 dada por,

[V]80 2.40 I.RV 2R2 ===

A tenso do n B para o potencial do terra

obtido como,

[V]80 V VV R2BB1 === [18]

Analogamente para o n A, o potencial em

relao ao terra e dado por,

[V]100 E VV AA1 === [19]

A diferena de potencial entre os ns A e B

igual a,

[V]2008100 VV V-VV BAB1A1AB ==== [20]

A diferena de potencial entre os ns A e B

tambm pode ser calculada por,

[V]20210 I.RV 1AB ===

Exemplo 4

II

VR2

R 25

V R1

R 1

100V E1

A

VA

B

VB

5E2 50V

+ +- -

Fig. 11 -

Aplicando a Eq. 11 na Fig. 11 vem que,

[A]510

50575

50100RREE I

21

21 ===+=

A corrente I tambm poderia ser obtida pela

DDP (Diferena de Potencial) entre os ns

A e B em relao ao potencial do terra.

Deste modo se obtm que,

[A]55550100

RRV - V

I21

BA =+=+=

Os potenciais dos ns A e B em relao ao

potencial do terra so calculados como:

[V]100 E VV 1A1A === e [V]50 E VV 2B1B ===

EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 6 FONTE COM RESISTNCIA INTERNA

ILI

R L

5Ri

120VE VL

25

FONTE CARGA

Referncia Terra(a)

R.I

V L [V]

120

0 V L

Caractersticade Regulao

4IL(b)

Fig. 12 -

Aplicando a Eq. 11 na Fig. 12 vem que,

[A]4255

120RR

E ILi

L =+=+=

A tenso na carga dada por,

[V]1004.52I.R V LLL ===

A tenso na carga obtida tambm do

seguinte modo,

[V]100I.RE V LiL ==

Balano de Potncia

O balano de potncia obtido do seguinte

modo:

[W]4004.52I.R P 22LLL ===

[W]4004x5-4.120I.RI.EP 22LiLS ===

Logo,

SL P P =

7 OPERAO PARALELA LEI DAS CORRENTES DE KIRCHOFF

R 3R 2R 1

I1 I2 I

10 1020E

0[V]

Req

It

(a)

R3R2R 1

I3

I2

I1

I t

E

(b)

Fig. 13 -


A segunda lei de Kirchoff, conhecida como

Lei das Correntes (KCL Kirchoff Current Law) sistematizada pela Eq. 21, ou seja,

I entra no n = [21]

I sai no n

A resistncia equivalente obtida da Fig. 13.a

igual a,

] [4Req205

202

201

202

101

201

101

Req1

==++=++=

Logo, da Fig. 13.a a corrente It tambm

pode ser calculada por:

[A]254

100ReqEI t === [22.1]

A corrente em cada ramo calculada como,

[A]1010100

RE I

[A]520

100RE I

[A]1010100

RE I

33

22

11

===

===

===

No n da Fig. 13.b, que o prprio circuito

da Fig. 13.a re-arranjado, aplicando-se a

Eq. 21 obtm-se que:

321t IIII ++= [22.2]

Substituindo-se os valores vem que,

[A]2510510I t =++=

Portanto a Eq. 22.2 comprovada pela

Eq. 21.1.

Exemplo 5

a) Calcular as correntes e tenses indicadas

nos circuitos abaixo;

b) Fazer o balano de potncia.

5.1:

1010[A] 20[V]

I2I1

2

V21

1

Fig. 14 -

Da Fig. 14 vem que,

a) [A]21020 I1 ==

2KCL/N[A]8210 I2 ==

Portanto a corrente possui o sentido do n 2

para o n 1.

Logo,

[V] 20 V21 =


b) Potncia recebida

tensodefonte[W]1608x20 =

Potncia dissipada

aresistnci[W]402x10 2 =

Potncia fornecida

correntedefonte[W]20020x10 =

Portanto o total de potncia fornecida

igual ao total da potncia recebida mais o

total da potncia dissipada.

5.2:

10[A]

2

1020[V]

I2I1

V21

1

Fig. 15 -

Da Fig. 15, vem que,

a)

[A]21020I1 ==

2 N / KCL [A]21210I2 =+= Observa-se que a corrente possui o sentido

do n 1 para o n 2.

[V]20V21 =

b) Potncia recebida

correntedefonte[W]20020x10 =

Potncia dissipada

aresistnci[W]042x10 2 =

Potncia fornecida

tensodefonte [W]24012x20 =

Logo o total da potncia fornecida igual ao

total da potncia recebida mais o total da

potncia dissipada.

8 DIVISOR DE CORRENTE

A

B

R 1 R 2

I1

I I

ReqVAB VAB

A

B

I2

(a) (b)

Fig. 16 -

Da Fig. 16.a vem que,

21 III += e

2211AB I .R I . RV ==

A Fig. 16.b mostra o respectivo circuito

equivalente no qual obtm-se que,

I.ReqVAB = e


21

21

RRR.R

Req +=

Logo, igualando os potenciais no circuito da

Fig. 16.a obtm-se:

I.R

ReqR

VI

11

AB1 == [23]

I.RReq

RV

I22

AB2 == [24]

Genericamente:

I.RReqI

XX = [25]

I corrente total;

IX corrente no ramo X;

RX resistncia do ramo X.

Exemplo 6

VA I

6[A]

E20V

R 1

R 2

2

1

I1

I2 6[A]

6[A]

Fig. 17 -

Da Eq. 25:

[A]26.3x2

26.2

1)1/(22I.R

ReqI1

1 ==+==

e

[A]46.1/32I.

RReqI

22 ===

Logo,

6426III 21 =+=+=

O potencial do n A em relao ao potencial

do terra (GND Ground) dado por,

[V]242*220

I.REI.REV 2211A=+=

+=+=

Balano de Potncia

- Fonte de corrente

[W]1446.24I.VP AI ===

- Fonte de tenso

[W]1206.20I.EPV ===

- Resistncias:

[W]244 x1 2 x2P 22R

=+=

Logo,

+= RVI PPP

ou seja,

[W]24120144 +=


9 CONVERSO ENTRE FONTES

A

CARGA

ISVAB2 RL

2RS2

A

B

IL2

RL2

IL1

RS2

VAB1

B

+

-Es

100[v]

(a)

(b)

Fig. 18 -

Da Fig. 18.a,

LS

S1L RR

EI += [26]

SLS

2L1LAB1 E.RR

RI.RV +== [27]

Da Fig. 18.b,

+== SLSLS

L2LAB2 I.RRR.R

I.RV [28.1]

Portanto,

SLS

SL2 I.RR

RI += [28.2]

Igualando a Eq. 26 com a Eq. 28.2,

LS

SS

LS

S

RRE

I.RR

R+=+

Logo,

S

SS R

EI = [29]

A Eq. 29 define a forma como a fonte de

tenso deve ser transformada em uma fonte

de corrente.

Da Fig. 28.1 obtm-se o novo potencial

entre os ns A e B na Fig. 18.b.

Logo,

SLS

SLAB2 I.RR

R.RV += [30]

Como a carga permaneceu inalterada, os

potenciais de VAB1 definido pela Eq. 27 e

VAB2 definido pela Eq. 30 devem ser iguais


Tambm as correntes IL1 (Eq. 26) e IL2 (Eq.

28.2) devem ser iguais.

Substituindo-se os valores numricos:

Na Eq. 26:

[A]2522

100IL1 =+=

Na Eq. 27:

[V]50100.22

2VAB1 =+=

Na Eq. 29:

[A]502

100IS ==

Da Eq. 28.2,

[A]2550.22

2IL2 =+=

Da Eq. 28.1,

[V]5025.2R.RV L2LAB2 ===

Logo:

[A]25II[V]50VV

L2L1

AB2AB1

====

Exemplo 7

5[A] 8/3[]

(c)

I1-I2 ReqR1.R2R1+R2

(b)

I1

5[A]

R14

I210[A]

R28

(a)

Fig. 19 -

A Fig. 19 auto-explicativa em relao aos

clculos desenvolvidos para a obteno da

fonte de corrente equivalente.


Exemplo 8:

R1I26[A]

R2824

RL6

ILIR2

IE1E1

32[V]

2

1

(a)

Carga

I1+I2

10[A]

Req6[] RL

IL

6[]

2

1

(c)

R1 I2 R2I1

RL

(b)

Fig. 20

Aplicando a Eq. 29 para transformar a fonte

de tenso da Fig. 20.a para a fonte de

corrente da Fig. 20.b vem que,

[A]4832I1 ==

Da Fig. 20.b obtm-se o circuito com a fonte

de corrente equivalente,

[A] 1064II 21 =+=+

A resistncia equivalente na Fig. 20.c

igual a,

] [ 63224.8

RRR.RReq

21

21 ==+=

Pelo balano de potencial entre os ns 1 e 2

na Fig. 20.c vem que,

( )L

L21LL RReq

R .Req.IIR.I ++=

Logo,

[A]566

6 . 6)(4 IL =++=

Portanto, o potencial entre os ns 1 e 2

dado por,

[V]305*6I.RV LL21 ===

Retornando a Fig. 20.a com o potencial de

V21 vem que no ramo R2,

[A]1.252430

RV

I2

21R2 ===

Tambm no ramo de E1 e R1,

21E111 VI.RE =

Logo, substituindo valores,

[A].2508

30- 32IE1 ==


Aplicando KCL no n 2 da Fig. 20.a, vem

que:

LR22E1 IIII +=+

Substituindo-se os valores obtidos

anteriormente obtm-se que,

[A]6.256.2551.2560.25

=+=+

Exemplo 9

2[A]

R224

(c)

R18I1-I2

I'R2

4[A]

R224I1

(b)

I'R2

R18

I22[A]

IR2

4[A]

R18 R224I1

2

1

(a)

IR2

VR2

+

-

E2

48[V]

2

1

2

1

Fig. 21

Das Figs. 21.a e 21.b, a nova fonte de

corrente I2 calculada baseada na Eq. 29,

[A]22448 I2 ==

Na Fig. 21.c:

[A]224I I 21 ==

3224*8.224*I'R2 =

Logo,

[A]0.5I 'R2 =

Aplicando KCL na Fig. 29.b considerando-

se o valor de 'R2I calculado anteriormente,

[A]2.50.52II I R22R2 =+=+=

Da Fig. 21.a, no ramo 4 de E2, vem que,

[V]122.5*2448I.RE V R22221 ===

A corrente no ramo da resistncia R1 dada

por,

[A]1.58

12RV I

1

21R1 ===

Logo, o sentido real da corrente IR1 o do

n 1 para o n 2.


Aplicando-se KCL no n 2 da Fig. 21.a vem

que, considerando-se que os sentidos reais

das correntes,

[A]441.52.54III R1R21

=+=+=

Exemplo 10

[A]

R 18 24I1

2

1

(a)

IR2E 2

48[V]R 2

+

-IR1

R 224

(b)

IR2

R 18

ES1+

-VR

E2

48[V]

+

-

32V

Fig. 22 -

Transformando-se o circuito da fonte de

corrente da Fig. 22.a para o circuito da fonte

de tenso da Fig. 22.b vem que,

[V]324.8I.RE 11S1 ===

Substituindo o valor de ES1 na Fig. 22.b, e

aplicando KVL na Fig. 22.b, obtm-se que,

[A]2.53280

2484832

RREEI

21

2S1R2 ==+

+=++=

Retornando ao circuito da Fig. 22.a com o

valor de IR2, obtm-se a DDP (diferena de

potencial) entre os ns 1 e 2 atravs do

ramo de E2 e R2,

[V]125.2*2448 V21 ==

Aplicando-se KCL no n 2 da Fig. 22.a

obtm-se que,

R11R2 II I +=

Logo,

[A]1.542.5 IR1 ==

Isto significa que o sentido real da corrente

IR1 do n 1 para o n 2.

A corrente IR1 poderia tambm ser calculada

na Fig. 22.a por,

[A] 1.5 8

12RV

I1

21R1 ===


10 MTODO DAS MALHAS

O mtodo das malhas consiste na obteno

dos valores das correntes e tenses em um

circuito eltrico atravs das correntes de

malhas. Define-se genericamente que o

circuito tenha b ramos e n ns. Como em

cada ramo existe uma tenso e uma

corrente desconhecidas, tem-se um total de

2b incgnitas.

Existe uma relao direta entre a corrente e a respectiva tenso no ramo

dada por,

ib.Rbvb =

Deste modo so equacionadas b incgnitas.

As restantes outras b incgnitas so obtidas ao se estabelecer (b n+1),

equaes independentes baseadas na

da 1a Lei de Kirchoff (1). Para n ns

pode-se aplicar (n-1) vezes a 2a Lei de

Kirchoff (Lei das correntes).

Estas equaes so suficientes para se determinar as b incgnitas.

Seqncia para Aplicar o Mtodo:

P1 Definir as correntes nas diferentes

malhas. Defina estes sentidos de acordo

com as fontes de tenses nos diferentes

ramos.

P2 Indicar as polaridades das tenses em

cada resitor;

P3 Aplicar a 1a Lei de Kirchoff ao longo

das malhas estabelecidas. Calcular as

correntes de malhas.

P4 Aplicar a 2a Lei de Kirchoff para (n 1)

ns, para calcular as correntes dos ramos.

Aplicar o P4 somente aps P3.

Exemplo 11

I1

(a)

E2

+

-

R 14

R 34

+

-

-+ 24[V]

VR24R 2

I'2

0

I' 3+

-

E1I'1

12V

1

1 2

I2

Referncia

(b)

+

-

4 4+

-

-+ 24[V]

4+

-

I' 1

1

16[V]

12[V]+-

4[A]

1[A]4[V]

0

4[V]

20[V]

-

+

5[A]

4[V]

-

+

I1

4[A] 5[A]

I2

Fig. 23 -

Seja o circuito da Fig. 23.a que possui:

n = 2 ns

b = 3 ramos

Logo pode-se calcular o nmero de

equaes de malhas, nas quais deve-se

aplicar KVL:


21231nb =+=+

Por sua vez o nmero de equaes com

KCL ser igual a:

1121n ==

A seguir aplica-se P1 e P2 como indicados na Fig. 23.a para duas malhas

escolhidas, obtendo-se a Fig. 23.b.

A seguir aplicar P3 e obter as duas equaes (KVL) de malhas.

Malha 1:

0)I(IRI.RE 213111 = [31]

Malha 2:

0)I(IRI.RE 213222 =+ [32]

21 I,I correntes das malhas.

Aplicar P4 e obter a equao que relaciona

as correntes (KCL) no n 1.

3

2

1 III += [33.1]

321 I,I,I correntes nos ramos.

Deve-se observar da Fig. 23.a que,

22

11

II

II

==

[33.2]

Logo da Eq. 33.1 e da Eq. 33.2,

213 III = [33.3]

A seguir deve-se substituir os valores nas Eqs. 31 e 32 de modo que,

0)I4(II.4 12 211 = 0)I4(II.424 212 =+ [34]

Agrupando-se convenientemente as

equaes de [34] obtm-se que,

12I.4I.8 21 = 24I.8I.4 21 =

A correspondente matriz est indicada na

Eq. 35.

=

2412

II

8448

2

1 [35]

Logo, a corrente de malha I2 dada por,

[A]416649696

8448

824412

I1 =+=

=

E por sua vez a corrente de malha I2

obtida como,


[A]5166448192

8448

244128

I2 =+=

=

A seguir deve-se retornar ao circuito original da Fig. 23.a e modific-lo de

acordo com a Fig. 23.b, de modo a se

determinar as b-1 (3-1=2) correntes de

ramos (vide Eq. 33.2):

[A] 4II 11 ==

[A] 5II 22 ==

Ainda no circuito da Fig. 23.b, no n 1, calcular a corrente

'3I (vide Eq. 33.3):

[A] 1I

54III3

213

===

A Fig. 24 ilustra a situao final do circuito da Fig. 23.a com as tenses e

correntes indicadas.

16[V]

I'1=4[A]

+

-+

--+

24[V]

+

-1

12[V]+

0-

R1 R3I'2=5[A]

R2I2I1

4 4 1I'3=-1[A]

20V

-

+

-

+

4V

Fig. 24 -

Aps o clculo das correntes de ramos 3

2

1 IeI,I , calcular a DDP entre os ns 1

e 0.

0110 VVV =

No ramo 1,

[V]44.412VV124.4V

10

01

===+

Retornar ao circuito original aps calcular as

correntes dos ramos e obter o balano de

potncia:

[W]168120485*244x12Ptotforn =+=+=

[W]168541*44x4P 222totreceb =++= x

Exemplo 12

+

-+

-

1

0

R 3

R 2

R 11[ ] VR1

E 1

3[ ]VR3+

-

V R2+ -

2[ ]

I' 6

I' 1

I' 2

I' 3

I' 5

2 3

1 2

i1-i 3

I1 I2

R 55[ ]

R 5

R 44[ ]

VR4+ -

I' 4

i2-i 3

56[V]i1-i 2

R 6 10[ ]+ -

VR6

I33

Fig. 25 -


Da Fig. 24,

n 4 ns b 6 ramos

Nmero Eq. KVL 6 4 + 1 = 3 (3 equaes e 3 incgnitas, i1, i2, i3).

Nmero Eq. KCL 41 = 3 (ns 1, 2, 3)

Aplicar P1 e P2 (vide Fig. 25).

Obter as equaes (KVL) de malha (P3).

Malha 1

0)I(IR)I(IRI.RE 213312111 = [36.1]

Malha 2

0)(IR)I(IR - )II(R 25324213 = [37.1]

Malha 3

)I-(IRI. R - )II(R 32436312 + [38.1]

Reagrupando-se:

132231321 EI.RI.RI.)RR(R =++ [36.2]

0I.R)RR(RII.R 34543213 =+++ [37.2]

0)RR(RI-R.II.R 64234212 =++ [38.2]

Substituindo-se valores obtm-se que,

1321 E2I3I6I = [36.3] 0I4I123I 321 =+ [37.3] 0I16I42I 321 = [38.3]

A correspondente matriz ser dada por,

=

00E

III

16424123236 1

3

2

1

[39]

O determinante igual a,

( )816721681056

2412)(2()2.416.3)(3)(1()4.416.12616424123236

==++=

=

=

A seguir calculam-se as correntes de

malhas,

[A]12.0956.816176

81616)(12.16E

1640412023E

I 1

1

1

==

==

=

[A]3.8456.81656

8168)-(48E-

16024032E6

I 1

1

2 ===

=


[A]2.4781686.56

81624)(12E

0420123E36

I 1

1

3 ==+=

=

Retorna-se ao circuito original e indicam-se os valores das correntes de ramos

que so iguais as respectivas correntes

de malhas.

[A]12.09II 11 ==

[A]2.47II 36 ==

[A].843II 25 ==

Aplicar a 2a Lei de Kirchoff (KCL nos ns 1, 2 e 3)

N 1:

[A] 62.947.209.12I III 26

2

1 ==+=

N 2:

[A] 05.837.162.9I III 34

3

2 ==+=

N 3:

[A] 37.143.289.3I III 45

6

4 ===+

Conferindo pelas correntes das malhas:

[A] 62.947.209.12III 312 ===

[A] 37.147.284.3III 324 ===

[A] 25.884.309.12III 213 ===

Adotando o potencial do n 0 como referncia (0LV), calcula-se o potencial

de cada n atravs das tenses nos

respectivos ramos.

Ramo 1:

[V]43.9112.09x156V1 ==

Ramo 3:

[V]75.248.25x3V2 ==

Para os ns 1 e 2 no Ramo 2,

[V]43.9919.2424.75 9.62 x 2VV 21 =+=+= O que confere com o valor calculado

anteriormente.

Ramo 5:

[V]2.1984.3x5V3 ==

Para os ns 1 e 3 no Ramo 6,

[V]43.902.47x1019.2 I.RVV '6631 =+=+= Tambm este valor calculado confere com o

valor de V1 calculado inicialmente.


Exemplo 13

2[] 21

0

24[V] 12[V]48[V]

2I2

2[] 4[]8[]

4[]

V20V10

I'1 I'2

I'3

I'4

10[A]

(a)

+

+ +

+

-

- -

-

21

0

24[V] 12[V] 80[V] 48[V]

2.I1 4(I1-I2) 8(I2+I3) 4.I3

I1 I2I3

2I2

2[]

2[]

4[] 8[] 4[]

V20V10

(b)

Fig. 26 -

A Fig. 26.a ilustra o circuito original que

possui uma fonte de corrente no ramo entre

os ns 2 e 0. Utilizando-se a tcnica de

converso de fonte de corrente para fonte

de tenso obtm-se o novo ramo como

mostrado na Fig. 26.b.

As equaes para a obteno das correntes

e tenses, segundo a sistemtica j

apresentada, sero obtidos do novo circuito

da Fig. 26.b.

Nmero de equaes de malhas KVL31351nb =+=+

Nmero de equaes de ns KCL213 =

Obteno das equaes de malhas

Malha 1 012)I(I4I.224 211 = [40]

Malha 2 0)I(I8.I2)I(I41280 32221 =+++ [41]

Malha 3 0)I(I8I.44880 323 =+ [42]

Operando algebricamente:

0I4I6-12 21 =+ 0)8(I8)-2-(-4II492 321 =+++

0I12-I8-32 32 =

Logo,

12I 0I4I6 321 =+ 92I8-I14I4 321 = [43]

32 I12I8I0 321 =++

Portanto,

4321280

8144046

=

=

As correspondentes correntes de malhas

sero dadas por,


[A]10.744324640

43212832

814920412

I1 ==

=

[A]13.11432

5564432

1232089240126

I2 ==

=

[A]07.6432

2624432

3280921441246

I3 ==

=

Como a corrente de malha I3 resultou

negativa, o sentido real oposto ao adotado

originalmente na Fig. 26.b.

A seguir com base no circuito original da

Fig. 26.a deve-se obter o circuito da Fig. 27,

calculando-se as respectivas correntes de

ramos de acordo com a sequncia abaixo.

21

0

24[V] 12[V] 48[V]

2[ ]

2[ ] 4[ ]8[ ]

4[ ]

I' 1 I' 2

I' 3

I' 4

10[A]

I' 12I'' 4

+

-

+

- +

-

Fig. 27 -

Correntes nos ramos independentes:

[A] 074.6II

[A] 10.74II

[A] 13.11II

33

11

212

======

Aplicando KCL nos respectivos ns,

N 1: [A]37.210.74- 13.11III 112

2 ===

N 2: [A]7.0313.116.074III 12 '3

4 =+=+=

No ramo entre os ns 2 e 0,

[A]2.977.0310I"4 ==

Atravs do ramo da fonte de 24 [V] pode-se

calcular o potencial de V1. Logo,

[V]2.5210.74*224V10 ==

Analogamente pelo ramo da fonte de 12 [V],

[V]2.522.37*412V10 ==

Atravs do ramo da fonte de 48 [V] calcula-

se o potencial do n 2,

[V]23.706.074*448V20 =+=

A tenso entre os ns 1 e 2 dada por,

23,70)(2.52VVV 201012 == [V]26,22V12 =


Exemplo 14 2o Mtodo de Clculo para o

circuito da fig. 34.a.

malhas de correntesI,I,I 321 21

0

24[V]12[V]

48[V]

2[]

2[] 4[]8[]

4[]

I4

10[A]

I'4

+

- +

- +

-

I1

I2+ -

I3

+

-

(a)

I2 I3

I4

8[]10[A]

I4I2 I3

I'2+I'3-10=I'

(b)

2[] 2

I''4

Fig. 28 (a) e (b)

No n 2 por KCL, '432 I10II +=+ [44]

324 II10I ++= [45]

Malha 1 por KVL,

012)I(I4I2 - 24 211 = [46]

Malha 2 por KVL,

0)II8(-10-I2.)II4( 12 32221 =+++ [47]

Malha 3 por KVL,

0I4.)II(-108 48 332 =++++ [48]

Com base nas Eqs. 46, 47 e 48 vem que,

0I4I6- 12 21 =+ 0.(-8)I8)-2-.(-4I.(4)I80 12 321 =+++

0I.128.I 80-48 32 =++

Portanto, reagrupando convenientemente:

120.II4I6 321 =+ 928.I-14.I-I4. 321 = [49]

32 12.I8.I0.I 321 =+=+

Logo a Eq. 49 idntica a Eq. 43.

Equao Adicional

2NI10I "44 +=

Deixa-se como exerccio resolver este

exerccio de modo que os valores finais, de

correntes e tenses, sejam as mesmas do

Exerccio 13.


11 MTODO DOS NS

Define este mtodo n-1 equaes para

aplicao da 2a Lei de Kirchoff (KCL), de

modo a se calcular os potenciais dos (n-1)

ns. Adota-se sempre um dos ns como

tendo o potencial do terra (Ground) que

admitido igual a 0 [V].

Exemplo 15:

1 2 3

0

I1

IR1 IR2 IR3

IR4 IR5

4[ ] 4[ ] 4[ ]R 1 R 2 R 310[A] 20[A]

R 4 R 5

2 2

I2

Fig. 29 -

n = 4 ns

4 - 1 = 3 equaes para a 2a Lei de Kirchoff.

No aplicar equao no n do ground.

Logo nos respectivos ns vem que,

N 1

14

21

1

1R4R11 IR

VVRVIII =++= [50]

N 2

2

2

5

23

4

21R2R5R4 R

VR

VVR

VVIII =+=+ [51]

N 3

25

23

3

32R5R3 IR

VVRV

III =+=+ [52]

As equaes 50, 51 e 52 representam trs

equaes a trs incgnitas V1, V2, V3.

Operando nas Equaes 50, 51 e 52, vem

que:

1211 4I2V-2VV =+ 22321 V2V2V2V2V =+

2233 4I2V-2VV =+

Reagrupando de modo que em cada

equao apaream as incgnitas V1, V2 e

V3, vem que:

40V02V3V 321 =+ 02V5V2V 321 =+ 803VV20V 321 =+

A correspondente matriz definida pela

Eq. 53,

=

08040

VVV

320252023

3

2

1

[53]


[V]36.19

21160)1)(2)((4)15(40

32025202332802500240

V1

=

=++=

=

21)06)(1)(2()415(3 =++=

[V]34,2821

40(6)-160)(321

3800 2020403

V2

==

=

=

[V]52,4921

50(240)-80)160(2-21

8020 0520423

V3

==

+=

=

Retornando ao circuito principal, calcula-se

as correntes dos ramos de acordo com:

N 1

[A]9.054

39.19RV

I1

1R1 ===

Ns 1 e 2

[A]0.955 2

34.28-36.19R

VVI4

21R4 ===

Para conferir estes resultados basta apenas

aplicar KCL no n 1, ou seja,

(cqd)I[A]100.9559.05II 1R4R1 =+=+

N 3

[A]12.384

49.52RV

I3

3R3 ===

N 2 e 3

[A]7.622

34.28-49.52R

VVI

5

23R5 ===

Aplicando KCL no n 3,

(cqd)IA][2062.738.12II 2R5R3 =+=+


N 2

[A]8.574

34.28RV

I2

2R2 ===

Aplicando KCL no n 2,

[A]8.577.620,955III R2R5R4 =+==+


ANEXO 1

Determinante

=

333231

232221

131211

aaa

aaaaaa

)..()..()..(

)..()1(

)..()1(

)..()1(

2231322113

33213123123223332211

2231322131

13

3123332121

12

3223332211

11

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

aaaaa

+++=

=++++=

+

+

+

tedeterminan.Ca.Ca.CacofatoresA.1)(C

131312121111

ijji

ij

++== +


ANEXO 2

Resistncia

Simbologia / Construo

S

Simbologia R

Fig. II.1 -

S.R A= [1]

Onde:

R resistncia [] resistividade [.m] A comprimento [m] S rea reta [m2]

R1G = [S Siemens] [2]

Onde:

G condutncia

Materiais

Cobre 36 10*3,9310*1.723 =

Alumnio 36 10*3,9310*825.2 =

Nquel 610*81123.7 =

Ferro 336 10*5,510*3,9310*12.299 =

Carbono 610*3.500 =

Efeito da temperatura

T).(1S

R += A [3]

Onde:

coeficiente de variao da temperatura [/oC]

25(oC) C)25(TT o0 = T0 temperatura de operao


Resistores Variveis

Ro

RbR

Fig. II.2 -

Potncia

2rmsI*RP = [4]

ba R RR += [5]

Cdigo de cores

1/8 [W] a 2[W]F1 F2 F3 F5F4

Resistor deCarbono

Fig. II.3 -

PLPGERADORSINCRONO

f

PCH'S

Pmec

n1 n2

Cargas

Fig. II.4 -

Estufa T L [oC]

t

Histerese

TLM

TLM [oC]

Fig. II.5 -

Documents

EEL001-Apostila Cap 2.pdf