45
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Řešené příklady ze stavební fyziky Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu doc. Dr. Ing. Zbyněk Svoboda Ing. Jiří Novák, Ph.D. Praha 2014 Evropský sociální fond Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Řešené příklady ze stavební fyziky - cvut.czkps.fsv.cvut.cz/upload/files/sf01_skripta_vyber.pdf · 2016. 10. 3. · ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

    Fakulta stavební

    Řešené příklady ze stavební fyziky

    Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu

    doc. Dr. Ing. Zbyněk Svoboda

    Ing. Jiří Novák, Ph.D.

    Praha 2014

    Evropský sociální fond

    Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti

  • Obsah

    1 Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu ..................................................4

    1.1 Základní teorie ............................................................................................................. 4

    1.1.1 Šíření tepla vedením .......................................................................................................................... 4 1.1.2 Šíření tepla prouděním ...................................................................................................................... 5 1.1.3 Šíření tepla sáláním ........................................................................................................................... 6 1.1.4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles .............................................................................................. 8 1.1.5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze ............................................................................................. 10 1.1.6 Sluneční záření ................................................................................................................................. 10 1.1.7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách ........................................................................... 11 1.1.8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla .............................. 12 1.1.9 Vliv tepelných mostů ....................................................................................................................... 14 1.1.10 Teplo procházející konstrukcí ...................................................................................................... 14 1.1.11 Rozložení teploty v konstrukci ..................................................................................................... 14 1.1.12 Elektrická analogie ...................................................................................................................... 16

    1.2 Komplexní modelové příklady .................................................................................. 21

    1.2.1 Obvodová stěna 1 ............................................................................................................................ 21 1.2.2 Obvodová stěna 2 ............................................................................................................................ 26 1.2.3 Obvodová stěna 3 ............................................................................................................................ 30 1.2.4 Obvodová stěna 4 ............................................................................................................................ 35

    Přílohy ................................................................................................................ 44

    Příloha 1 – Emisivita vybraných materiálů a povrchových úprav (dlouhovlnné tepelné

    záření) ................................................................................................................................... 44

    Příloha 2 – Pohltivost slunečního záření pro vybrané materiály a povrchové úpravy ......... 45

  • 1 Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu

    1.1 Základní teorie

    1.1.1 Šíření tepla vedením

    Hustota tepelného toku vedením je obecně definována Fourierovým zákonem

    zyxq zyxcd

    ,, [W/m2] (1.1)

    kde λ je součinitel tepelné vodivosti ve W/(m.K)

    θ teplota ve ˚C.

    Pro jednorozměrné šíření tepla vedením přechází rovnice (1.1) na tvar

    dx

    dqcd

    [W/m2] (1.2)

    přičemž samotnou velikost hustoty tepelného toku lze vyjádřit vztahem

    dqcd

    [W/m2] (1.3)

    kde Δθ je rozdíl teplot na obou površích materiálu (Obr. 1-1) ve ˚C

    d tloušťka materiálu ve směru tepelného toku v m.

    Obr. 1-1: Tepelný tok materiálem s rozdílnými povrchovými teplotami

    Časové a prostorové rozložení teploty je popsáno rovnicí vedení tepla v obecném tvaru

    tcQ

    zzyyxx

    (1.4)

    kde Q je velikost vnitřního zdroje tepla (produkce tepla v materiálu) ve W/m3

    ρ objemová hmotnost materiálu v kg/m3

    c měrná tepelná kapacita materiálu v J/(kg.K)

    θ1

    θ2

    d

    směr tepelného

    toku pro

    θ1 > θ2

  • t čas v s

    x,y,z souřadnice bodu, v němž se určuje teplota θ v m.

    Pro nejjednodušší jednorozměrné šíření tepla v ustáleném stavu přechází rovnice (1.4) na tvar

    02

    2

    dx

    d (1.5)

    který lze vyřešit pro homogenní oblast analyticky a získat rovnici pro lineární průběh teploty

    v materiálu

    d

    xx 211)(

    [˚C] (1.6)

    kde θj je teplota na j-tém povrchu homogenního materiálu (Obr. 1-2) ve ˚C

    d celková tloušťka homogenního materiálu ve směru tepelného toku v m

    x vzdálenost od povrchu s teplotou θ1 v m.

    Obr. 1-2: Lineární průběh teploty v homogenním materiálu v ustáleném stavu

    1.1.2 Šíření tepla prouděním

    Pro analýzu šíření tepla stavební konstrukcí je významné především šíření tepla prouděním mezi po-

    vrchem konstrukce a okolním vzduchem. Hustotu tepelného toku prouděním z povrchu konstrukce do

    okolí lze určit vztahem

    ascc hq [W/m2] (1.7)

    kde hc je součinitel přestupu tepla prouděním ve W/(m2K)

    θs teplota povrchu konstrukce ve ˚C

    θa teplota okolního vzduchu ve ˚C.

    Rozlišují se dva případy proudění vzduchu při povrchu konstrukce:

    přirozené proudění

    vynucené proudění

    Přirozené proudění je vyvoláno rozdílem hustoty vzduchu v důsledku rozdílné teploty. Pokud je např.

    teplota vzduchu nižší než teplota povrchu, bude se vzduch při povrchu ohřívat, jeho hustota bude kle-

    sat a vzduch začne v tenké vrstvě při povrchu proudit směrem vzhůru. K přirozenému proudění do-

    θ2

    d x

    θ1

    θ

  • chází především na vnitřních površích konstrukcí. Součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním

    povrchu hci se v technických výpočtech obvykle uvažuje hodnotami 2,5 W/(m2.K) pro vodorovný

    tepelný tok; 5,0 W/(m2.K) pro tepelný tok nahoru a 0,7 W/(m2.K) pro tepelný tok dolů. V případě

    potřeby (např. pokud očekáváme neobvyklý rozdíl mezi teplotou povrchu a okolního vzduchu) mů-

    žeme pro odhad součinitele přestupu tepla přirozeným prouděním na vnitřním povrchu konstrukcí

    použít zjednodušený vztah:

    1

    42c a sh [W/(m2.K)] (1.8)

    Obr. 1-3: Přestup tepla přirozeným prouděním. s je teplota povrchu konstrukce a je teplota vzduchu

    Vynucené proudění není vyvoláno rozdílem teplot, ale např. větracím zařízením, větrem apod. Pro

    výpočty ve stavební tepelné technice je důležité proudění větru na vnějším líci konstrukce. Součinitel

    přestupu tepla pro vnější povrch konstrukce hce je možné vypočítat v závislosti na rychlosti větru tak-

    to:

    4 4ceh v [W/m2] (1.9)

    kde v je rychlost větru v m/s.

    Obvykle se uvažuje rychlost větru v = 4 m/s a součinitel přestupu tepla hce = 20 W/m2.K. K přiroze-

    nému proudění na vnějším líci konstrukce by mohlo dojít při úplném bezvětří, takový předpoklad je

    ovšem pro technickou praxi nereálný.

    1.1.3 Šíření tepla sáláním

    Hustota tepelného toku sáláním emitovaného (vyzářeného) povrchem tělesa se obecně stanoví ze Ste-

    fanova-Boltzmannova zákona

    4Tqr [W/m2] (1.10)

    kde ε je emisivita povrchu tělesa

    σ Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67.10-8 W/(m2K4))

    T absolutní (termodynamická) teplota povrchu tělesa v K.

    Při dopadu na povrch tělesa může být část dopadajícího sálavého toku odražena, část pohlcena a část

    může tělesem procházet (Obr. 1-4):

    r ref a tq q q q [W/m2] (1.11)

    kde qr je hustota tepelného toku sáláním dopadající na povrch tělesa ve W/m2

    směr

    tepelného

    toku

    směr

    proudění

    a < s s

    směr

    tepelného

    toku

    směr

    proudění

    a > s s

  • qref odražená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2

    qa pohlcená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2

    qt procházející složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2

    Velikost jednotlivých složek závisí na pohltivosti, odrazivosti a propustnosti:

    ref rq q [W/m2] (1.12)

    a rq q [W/m2] (1.13)

    t rq q [W/m2] (1.14)

    kde je odrazivost (bezrozměrná)

    pohltivost (bezrozměrná)

    propustnost (bezrozměrná)

    Ze vztahu (1.10) vyplývá, že pro odrazivost, pohltivost a propustnost vždy platí:

    1 [W/m2] (1.15)

    Obr. 1-4: Rozklad tepelného toku sáláním při dopadu na povrch tělesa

    Emisivita, odrazivost a pohltivost jsou vlastnostmi povrchu tělesa, propustnost je vlastností materiálu.

    Emisivita a odrazivost závisí na vlnové délce záření (sálání). Povrchy s vysokou teplotou emitují zá-

    ření s krátkou vlnovou délkou, povrchy s nízkou teplotou emitují záření s delšími vlnovými délkami.

    Ve stavební tepelné technice proto rozlišujeme:

    krátkovlnné sluneční záření (Slunce má teplotu přibližně 5 800 K)

    dlouhovlnné sálání, které emitují povrchy při běžných teplotách, které jsou o řád nižší než teplota Slunce (okolo 300 K)

    Pro dlouhovlnné sálání ve výpočtech stavební tepelné techniky platí:

    emisivita povrchu je rovná jeho pohltivosti ( = )

    emisivita (tedy i pohltivost) se pro většinu stavebních materiálů uvažuje 0,9 - výjimkou jsou např. leštěné kovy bez povrchové úpravy, jejichž emisivita může být nižší než 0,1

    stavební materiály nepropustné pro dlouhovlnné sálání ( = 0)

    Pro krátkovlnné sluneční záření platí:

    s emisivitou se nepracuje (jediným zdrojem slunečního záření je Slunce; intenzita slunečního záření se měří, není potřeba ji počítat pomocí vztahu (1.10)

    pohltivost slunečního záření a pohltivost (emisivita) při dlouhovlnném sálání se pro stejný povrch často liší

    pohltivost slunečního záření dobře koreluje s barvou povrchu (emisivita ne) - světlejší povrchy mají menší pohltivost slunečního záření než tmavší

    qr

    qa = ·qr

    qref = ·qr

    qt = ·qr

    povrch

    materiál těleso

  • Při výpočtech tepelné výměny dlouhovlnným sáláním je potřeba důsledně dávat pozor na to, jaká

    teplota se má dosadit do výpočetních vztahů – zda teplota v Celsiově stupnici (v této publikaci se zna-

    čí a udává se ve °C) nebo tzv. absolutní (termodynamická) teplota (v této publikaci se značí a udává se v K). Pro absolutní teplotu platí:

    273,15T [K] (1.16)

    1.1.4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles

    V reálné situaci dochází ke vzájemnému sálání povrchů několika těles. Vzájemná sálavá výměna závi-

    sí nejen na teplotě a emisivitě povrchu těles, ale také na jejich prostorovém uspořádání. Výpočet hus-

    toty tepelného toku sáláním je v obecných případech komplikovaný. Pro výměnu tepla sáláním mezi

    dvěma povrchy platí:

    1,2 1 1 2( )rΦ A h T T [W] (1.17)

    kde 1,2 je tepelný tok sáláním z povrchu 1 na povrch 2 ve W A1 plocha povrchu 1 v m2

    hr součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K)

    Tj absolutní teplota j-tého povrchu v K.

    Součinitel přestupu tepla sáláním mezi dvěma povrchy se vypočítá takto:

    3

    1,2

    1 2 1

    1 1,2 2 2

    4

    1 11rT

    hA

    F A

    [W/(m2.K)] (1.18)

    kde 1,2T je střední absolutní teplota sálajících povrchů v K

    εj emisivita j-tého povrchu

    F1,2 poměr sálání z povrchu 1 na povrch 2

    Aj plocha j-tého povrchu

    Střední absolutní teplota sálajících povrchů se vypočítá takto:

    1 21,2

    2

    T TT

    [K] (1.19)

    Poměr sálání F1,2 vyjadřuje, jaká část sálavého toku vyzářeného z plochy A1 (povrch 1) dopadá přímo

    (bez odrazů) na plochu A2 (povrch 2). Poměr sálání je geometrická veličina, její hodnota může být

    nanejvýše rovná 1. Závisí na velikosti, tvaru, vzdálenosti a úhlu, který svírají sálající povrchy. Výpo-

    čet poměru sálání pro obecné případy je složitý, v literatuře je však možné nalézt vztahy pro typické

    situace, které se v praxi často opakují. Např. pro rovinný povrch 1 na Obr. 1-5, který je zcela obklopen

    povrchem 2, a dohromady s ním vytváří uzavřenou plochu, platí F1,2 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok

    vyzářený povrchem 1 dopadá bez odrazu na povrch 2). Totéž platí pro dva rovnoběžné, rovinné po-

    vrchy.

    Výměna tepla sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy je zvláštním a důležitým případem. Tepel-

    ný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se stanoví obecně jako

    42412,12,1 TTA [W] (1.20)

    kde A je plocha povrchů v m2 (platí A = A1 = A2)

    Tj teplota j-tého povrchu v K

    ε1,2 emisivita vzájemného sálání obou povrchů, která se určí ze vztahu

  • 111

    1

    21

    2,1

    [-] (1.21)

    kde εj je emisivita j-tého povrchu.

    Obr. 1-5: Zvláštní případy dvou povrchů, pro které je poměr sálání F1,2 = 1. Vlevo – dva povrchy, které tvoří

    uzavřenou plochu. Vpravo – dva rovnoběžné povrchy.

    V technické praxi se místo obecného vztahu (1.20) používá častěji upravený vztah

    212,1 Ahr [W] (1.22)

    kde hr je součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K)

    θj teplota j-tého povrchu ve C.

    Součinitel přestupu tepla sáláním hr lze obecně vyjádřit jako

    21

    4

    2

    4

    12,1

    TThr [W/(m

    2.K)] (1.23)

    ale obvykle se v technických výpočtech uvažuje zjednodušeně konstantní hodnotou 4,6 W/(m2.K),

    která je použitelná pro povrchy s běžnou emisivitou 0,9.

    Tepelný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se můžeme pochopitelně vypočítat také po-

    mocí vztahů (1.17) a (1.18). Pro dva rovnoběžné povrchy platí:

    1,2 1F [-] (1.24)

    1 2A A A [m2] (1.25)

    Když dosadíme (1.24) a (1.25) postupně do (1.18) a (1.17), dostáváme po úpravách:

    3

    1,21,2 1 2 1,2 1 2( ) 4rΦ A h T T A T T T [W] (1.26)

    kde ε1,2 je emisivita vzájemného sálání obou povrchů podle (1.21)

    1,2T střední absolutní teplota sálajících povrchů v K podle (1.19).

    A1

    A2

    A1

    A2

  • 1.1.5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze

    Při jasné, bezoblačné obloze mohou tělesa na zemském povrchu emitovat sálavý tepelný tok proti

    vrchním vrstvám atmosféry. Jasnou oblohu si tedy můžeme představit jako fiktivní povrch s velmi

    nízkou teplotou. Zdánlivou teplotu jasné oblohy sky je možné odhadnout v závislosti na teplotě ven-

    kovního vzduchu a takto:

    1,2 14sky a pro vodorovný povrch [°C] (1.27)

    1,1 5sky a pro svislý povrch [°C] (1.28)

    Při zatažené obloze se teplota oblohy uvažuje shodná s teplotou venkovního vzduchu (oblačnost brání

    sálavé výměně mezi tělesy na zemském povrchu a vrchními vrstvami atmosféry):

    sky a [°C] (1.29)

    1.1.6 Sluneční záření

    Sluneční záření je rovněž formou sálavého tepelného toku. Hustotu tohoto sálavého toku budeme

    v této publikaci nazývat intenzitou slunečního záření I [W/m2]. Sluneční záření se skládá z přímé a

    difuzní složky. Intenzitu obou složek je možné změřit, jejich součet se nazývá celková (globální) in-

    tenzita slunečního záření. V této publikaci se pracuje pouze s celkovou intenzitou slunečního záření

    jako s okrajovou podmínkou převzatou např. z meteorologických záznamů.

    Sluneční záření se po dopadu na povrch nepropustného tělesa částečně odrazí a zbývající část je na

    povrchu tělesa pohlcena ve formě tepla ( = 0; stavební materiály kromě skla a průsvitných plastů). Absorbované teplo se může dále šířit:

    vedením uvnitř tělesa

    prouděním a dlouhovlnným sáláním z povrchu tělesa do okolního prostředí

    Po dopadu slunečního záření na vnější povrch tělesa z propustného materiálu (sklo, průsvitné plasty)

    je část sálavého toku odražena, část propuštěna přímo a část pohlcena ve formě tepla. Absorbované

    teplo se může dále šířit:

    prouděním a dlouhovlnným sáláním z vnějšího povrchu tabule do venkovního prostředí

    vedením od vnějšího povrchu tabule k vnitřnímu a z vnitřního povrchu dále prouděním a dlouho-vlnným sáláním do vnitřního prostředí

    Energie slunečního záření se tedy skrz skleněnou tabuli šíří (Obr. 1-6):

    přímo, ve formě krátkovlnného sálání (propuštěné sluneční záření)

    nepřímo, ve formě tepla předaného z vnitřního povrchu tabule

    Obr. 1-6: Rozklad slunečního záření při prostupu propustným prvkem (např. skleněnou tabulí)

    propustný prvek

    sálavý tok

    teplo

    I [W/m2]

    qa = ·qr

    qref = ·qr

    qt = ·qr

    qai

    qae

  • Poměr mezi intenzitou slunečního záření dopadajícího na vnější povrch tabule a hustotou tepelného

    toku předanou přímo i nepřímo do vnitřního prostředí se nazývá celková propustnost slunečního záře-

    ní g [-]:

    t aiq qgI

    [-] (1.30)

    kde g je celková propustnost slunečního záření

    qt hustota tepelného toku sáláním (sluneční záření), které prostupuje přímo

    qai hustota tepelného toku, prostupující nepřímo

    I intenzita slunečního záření dopadající na vnější povrch

    Stejným způsobem se definuje celková propustnost slunečního záření pro zasklívací jednotky (dvoj-

    sklo, trojsklo), rozklad slunečního záření je složitější. Celková propustnost slunečního záření je závis-

    lá na vlastnostech skla, jeho povrchu, úhlu dopadu slunečního záření a podmínkách, které ovlivňují

    přestup tepla z vnitřního povrchu do vnitřního prostředí. Výrobci průsvitných prvků uvádějí hodnoty g

    stanovené pro standardizované podmínky.

    1.1.7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách

    V nevětraných vzduchových dutinách se teplo šíří vedením, prouděním i sáláním. Celkovou hustotu

    tepelného toku z jednoho povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu na druhý lze určit jako součet

    dílčích hustot tepelných toků

    rccd qqqq [W/m2] (1.31)

    kde qcd je hustota tepelného toku vedením ve W/m2

    qc hustota tepelného toku prouděním ve W/m2

    qr hustota tepelného toku sáláním ve W/m2.

    Jednotlivé hustoty tepelných toků jsou definovány jako

    21

    d

    qcd [W/m2] (1.32)

    1 2c cq h [W/m2] (1.33)

    1 2r rq h [W/m2] (1.34)

    takže celkovou hustotu tepelného toku nevětranou vzduchovou dutinou lze vyjádřit také vztahem

    21

    rc hh

    dq [W/m2] (1.35)

    kde je součinitel tepelné vodivosti nehybného vzduchu (obvykle se uvažuje hodno-tou 0,025 W/(mK))

    d tloušťka vzduchové dutiny ve směru tepelného toku v m

    θj teplota j-tého povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu ve C.

  • 1.1.8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla

    Prostup tepla konstrukcí standardně zahrnuje jednak šíření tepla vedením samotnou konstrukcí (resp.

    šíření tepla vedením, sáláním a prouděním v nevětraných vzduchových dutinách v konstrukci) a jed-

    nak dvojí přestup tepla mezi povrchem konstrukce a okolním vzduchem (Obr. 1-7).

    Obr. 1-7: Průběh teploty v jednovrstvé konstrukci s vyznačením přestupu a vedení tepla

    Na vnitřním i vnějším povrchu konstrukce dochází k přestupu tepla prouděním a sáláním. Pro vnitřní

    povrch lze hustotu tepelného toku prouděním a sáláním vyjádřit jako

    siisisi hq [W/m2] (1.36)

    kde hsi je součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu konstrukce ve W/(m2.K)

    i teplota vnitřního vzduchu ve C

    si teplota vnitřního povrchu konstrukce ve C.

    Pro hustotu tepelného toku na vnějším povrchu se použije analogický vztah

    esesese hq [W/m2] (1.37)

    kde hse je součinitel přestupu tepla na vnějším povrchu konstrukce ve W/(m2.K)

    e teplota vnějšího vzduchu ve C

    se teplota vnějšího povrchu konstrukce ve C.

    Hustotu tepelného toku vedením uvnitř konstrukce lze vyjádřit vztahem

    sesicdd

    q

    [W/m2] (1.38)

    který platí v této formě pro jednovrstvou konstrukci. V ustáleném stavu je hustota tepelného toku ve

    všech místech konstrukce (tedy i na jejím povrchu) shodná. Platí tedy

    sesicd qqq [W/m2] (1.39)

    i si

    se e

    přestup přestup vedení

    d x

  • Do vztahu (1.38) lze proto dosadit vyjádření povrchových teplot ze vztahů (1.36) a (1.37) a získat

    vyjádření hustoty tepelného toku konstrukcí ve tvaru

    sesi

    ei

    h

    d

    h

    q11

    [W/m2] (1.40)

    Obrácené hodnoty součinitelů přestupu tepla se obvykle nahrazují tepelnými odpory při přestupu tepla

    na vnitřním a na vnějším povrchu konstrukce:

    si

    sih

    R1

    [m2K/W] (1.41)

    se

    seh

    R1

    [m2K/W] (1.42)

    a vztah (1.40) pak přechází do tvaru

    sesi

    ei

    Rd

    R

    q

    [W/m2] (1.43)

    Tepelné odpory při přestupu tepla Rsi a Rse se v technické praxi uvažují smluvními hodnotami.

    Pro odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi se používají hodnoty 0,13 W/(m2.K) pro vodo-

    rovný tepelný tok; 0,10 W/(m2.K) pro tepelný tok vzhůru a 0,17 W/(m2.K) pro tepelný tok dolů. Pro

    odpor při přestupu tepla na vnějším povrchu Rse se používají hodnoty 0,04 W/(m2.K) pro povrchy

    v kontaktu s venkovním vzduchem; 0,13 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťo-

    vých stěnách; 0,10 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťových střechách a

    0,0 W/(m2.K) pro povrchy v kontaktu se zeminou.

    Podíl tloušťky a součinitele tepelné vodivosti definuje tepelný odpor konstrukce, který lze pro obecně

    vícevrstvou konstrukci vyjádřit jako

    dR [m2K/W] (1.44)

    kde d je tloušťka vrstvy konstrukce v m

    součinitel tepelné vodivosti vrstvy konstrukce ve W/(m.K).

    Součet tepelného odporu a tepelných odporů při přestupu tepla se označuje jako tepelný odpor při

    prostupu tepla

    sesiT RRRR [m2K/W] (1.45)

    Jeho obrácená hodnota vyjadřuje základní tepelně technický parametr stavební konstrukce - součinitel

    prostupu tepla, pro který se standardně používá vztah

    sesiT RRRRU

    11 [W/(m2.K)] (1.46)

    Dosadíme-li odvozené veličiny do vztahu (1.40), můžeme hustotu tepelného toku konstrukcí vyjádřit

    také jako

  • eiT

    ei

    sesi

    ei URRRR

    q

    [W/m2] (1.47)

    1.1.9 Vliv tepelných mostů

    Obsahuje-li konstrukce vrstvy, v nichž se vyskytují pravidelně se opakující (systematické) tepelné

    mosty, je nutné jejich vliv zohlednit. Pro ruční výpočet je vhodné orientační zohlednění vlivu tepel-

    ných mostů s pomocí váženého průměru, kterým se vypočte součinitel prostupu tepla vrstvy

    s tepelnými mosty

    j

    jj

    eqA

    A [W/(m.K)] (1.48)

    kde Aj je průřezová plocha j-tého materiálu v charakteristickém výseku v m2

    j součinitel tepelné vodivosti j-tého materiálu v charakteristickém výseku ve W/(m.K).

    1.1.10 Teplo procházející konstrukcí

    Množství tepla procházející konstrukcí (tepelná ztráta či zisk) se stanoví ze vztahu

    eiUA [W] (1.49)

    kde A je plocha konstrukce v m2.

    Množství tepla, které projde konstrukcí za určitý časový úsek, se určí jako

    ttUAQ ei [Wh] (1.50)

    kde t je délka časového úseku v h.

    Zadá-li se délka časového úseku v sekundách, vyjde množství tepla ve Ws, tedy v J.

    1.1.11 Rozložení teploty v konstrukci

    Průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu lze stanovit buď graficky, nebo výpočtem.

    Grafická metoda vyžaduje vytvoření grafu, na jehož svislou osu se vynášejí teploty a na vodorovnou

    osu tepelné odpory jednotlivých vrstev konstrukce a tepelné odpory při přestupu tepla. Průběh teploty

    je reprezentován přímkou spojující známou teplotu vnitřního vzduchu i a známou teplotu venkovního

    vzduchu e. Teplota v libovolném místě konstrukce se odečte přímo z grafu (Obr. 1-8).

    Pro analytické řešení se vyjde z již jednou použitého pravidla o shodné hustotě tepelného toku ve

    všech místech konstrukce. Hustota tepelného toku celou skladbou musí být tedy stejná jako hustota

    tepelného toku přes část konstrukce od interiéru k bodu x:

    xqq [W/m2] (1.51)

    což lze vyjádřit také ve tvaru

    sesi

    ei

    xsi

    xi

    RRRRR

    [W/m2] (1.52)

  • kde Rx je tepelný odpor od vnitřního povrchu k místu x v m2.K/W.

    Obr. 1-8: Grafické stanovení průběhu teploty v konstrukci o 3 vrstvách

    Úpravou vztahu (1.52) lze získat rovnici pro průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu

    xsieiixsisesi

    eiix RRURR

    RRR

    [C] (1.53)

    z níž lze odvodit i vztah pro přímý výpočet vnitřní povrchové teploty

    eisiisisesi

    eiisi RUR

    RRR

    [C] (1.54)

    a vnější povrchové teploty

    RRURRRRR

    sieiisi

    sesi

    eiise

    [C] (1.55)

    kde R je celkový tepelný odpor konstrukce v m2.K/W.

    Na závěr zbývá upozornit, že pro výpočty vnitřní povrchové teploty se v technické praxi používá od-

    por při přestupu tepla na vnitřní straně konstrukce Rsi = 0,13 m2.K/W pro výplně otvorů a Rsi = 0,25

    m2.K/W pro ostatní konstrukce.

    Rsi Rse R1 R2 R3

    R

    x

    i

    e

    Rx

  • 1.1.12 Elektrická analogie

    Všimněme si podobnosti mezi vztahy pro výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sálá-

    ním:

    1 21

    cdqR

    [W/m2] (1.56)

    1 21

    cc

    qR

    [W/m2] (1.57)

    1 21

    rr

    qR

    [W/m2] (1.58)

    kde R je tepelný odpor vrstvy nebo konstrukce v m2.K/W

    Rc tepelný odpor při přestupu prouděním v m2.K/W

    Rs tepelný odpor při přestupu sáláním v m2.K/W

    Pro tepelné odpory při přestupu platí:

    1c

    c

    Rh

    [m2.K/W] (1.59)

    1r

    r

    Rh

    [m2.K/W] (1.60)

    kde hc je součinitel přestupu tepla prouděním v W/m2.K

    hr součinitel přestupu tepla sáláním v W/m2.K

    Vztahy (1.56) až (1.58) jsou podobné Ohmovu zákonu pro elektrický obvod (Obr. 1-9):

    1 21U

    I G UR R

    [A] (1.61)

    kde I je intenzita elektrického proudu v A

    G elektrická vodivost v S (Siemens, S = m−2·kg−1·s3·A2 = Ω−1)

    U elektrické napětí (rozdíl elektrických potenciálů) ve V

    R elektrický odpor v Ω

    j elektrický potenciál v uzlu j ve V

    Obr. 1-9: Schéma elektrického obvodu, Ohmův zákon

    Analogie mezi elektrickým proudem v elektrickém obvodu a šířením tepla je zřejmá. Intenzita elek-

    trického proudu mezi dvěma uzly elektrického obvodu závisí na odporu a rozdílu potenciálu mezi

    uzly. Čím větší je rozdíl potenciálu (napětí), tím větší je intenzita elektrického proudu. Se zvyšujícím

    se odporem intenzita elektrického proudu klesá. To samé platí pro vztah mezi tepelným tokem (nebo

    hustotou tepelného toku), rozdílem teploty a tepelným odporem (Tab. 1-1).

    U

    I R

  • Tab. 1-1: Elektrická analogie

    Elektrická veličina Tepelná veličina

    elektrický potenciál [V] teplota [°C], T [K]

    elektrické napětí U = 1 - 2 [V] rozdíl teplot = 1 – 2 [°C], T = T1 – T2 [K]

    elektrický odpor R [Ω] tepelný odpor R [m2.K/W] (tepelný odpor vrstvy,

    souvrství, konstrukce, odpor při přestupu tepla nebo

    odpor při prostupu tepla)

    elektrická vodivost 1

    GR

    [S] obrácená hodnota tepelného odporu K [W/(m2.K)]:

    obrácená hodnota tepelného odporu vrstvy, sou-

    vrství nebo konstrukce 1

    KR

    součinitel přestupu tepla (obrácená hodnota od-

    poru při přestupu tepla) 1

    K hR

    součinitel prostupu tepla (obrácená hodnota od-

    poru při prostupu tepla) 1

    T

    K UR

    intenzita elektrického proudu

    1 21U

    I G UR R

    [A]

    hustota tepelného toku

    1 2 1 21

    q KR

    [W/m2]

    tepelný tok

    1 2 1 21

    A A KR

    [W]

    Elektrická analogie pomáhá při řešení tepelných problémů. Umožňuje přehledné, schématické zobra-

    zení problému a zápis matematického modelu pro jeho řešení. Tepelný problém si můžeme představit

    jako elektrický obvod sestavený z větví, které se spojují v uzlech. Větve s tepelnými odpory a dalšími

    prvky podle Tab. 1-2 se uspořádají tak, že každá reprezentuje určitý způsob šíření tepla nebo „cestu“

    pro šíření tepla (např. přestup tepla sáláním na vnitřním povrchu v modelu stěny nebo prostup tepla

    oknem v modelu budovy – Obr. 1-10). Uzly reprezentují „místa“ se známou (předepsanou) nebo ne-

    známou teplotou - např. povrch konstrukce, rozhraní mezi vrstvami konstrukce nebo teplotu vzduchu

    v místnosti.

    Pro uzel v elektrickém obvodu platí, že součet intenzit elektrického proudu, které vstupu jí do uzlu je

    rovný součtu intenzit vystupujících v uzlu (první Kirchhoffův zákon). To samé platí v ustáleném stavu

    pro tepelné toky vstupující a vystupující z uzlu – jejich součet je rovný nule a teplota v uzlu se nemě-

    ní. V neustáleném stavu1 nemusí být součty vstupujících a vystupujících tepelných toků navzájem

    sobě rovné. V uzlu se akumuluje teplo, což se projeví změnou teploty v čase. Změna teploty je úměrná

    tepelné kapacitě, kterou je potřeba uzlu přiřadit. Tato pravidla jsou klíčová pro řešení tepelných pro-

    blémů, protože umožňují sestavit tepelné bilance v jednotlivých uzlech.

    1 Řešení problémů v neustáleném stavu není do této publikace zařazeno. Informace je zde uvedena pro

    úplnost.

  • Obr. 1-10: Příklady tepelných problémů zobrazených pomocí elektrické analogie. Vlevo – prostup tepla stěnou.

    Vpravo – tepelná bilance budovy.

    Tab. 1-2 Základní prvky elektrické analogie

    Prvek Matematický vztah Grafická značka

    uzel 0jj

    Φ

    uzel s kapacitou (pro výpočty

    v neustáleném stavu) d

    dj

    j

    Φ Ct

    odpor/vodivost 1 2 1 2

    1Φ A A K

    R

    předepsaná teplota = 0

    předepsaný tepelný tok (do

    uzlu) = 0

    Složitá schémata tepelných problémů s více odpory zapojenými sériově nebo paralelně je možné po-

    stupně zjednodušovat podle pravidel známých z teorie elektrických obvodů (Tab. 1-3). To umožňuje

    zjednodušit matematický model složitých problémů.

    C

    R,K

    0

    si se i e

    vedení

    stěnou

    přestup

    tepla

    přestup

    tepla

    Rsi R Rse

    si se i e

    e

    RT1

    RT2

    RT3

    RT4

    i

    Qsol

    1

    2

    3

    4

    Qsol

  • Tab. 1-3: Pravidla pro úpravy obvodů

    Případ Schéma před úpravou Schéma po úpravě

    Odpory/vodivosti zapojené

    sériově

    N

    n

    n

    R R

    1 2

    1 1 1 1...

    NK K K K

    Odpory/vodivosti zapojené

    paralelně

    1 2

    1 1 1 1...

    NR R R R

    N

    n

    n

    K K

    Více předepsaných teplot

    N

    n

    n

    K K

    1 N

    ekv n n

    n

    KK

    1R

    K

    Více předepsaných tepelných

    toků do jednoho uzlu

    N

    ekv n

    n

    Φ Φ

    Předepsaná teplota s vodivostí a

    předepsaný tok do jednoho uzlu

    00

    0

    ekv

    Φ

    K

    V tepelných problémech řešených ve stavební tepelné technice je často potřeba vypočítat neznámé

    teploty. Při výpočtu v ustáleném stavu je možné postupovat např. takto:

    určí se známé veličiny

    určí se neznámé teploty

    analyzuje se tepelné chování řešeného systému a jeho součástí

    pokud je to potřeba, zavedou se zjednodušující předpoklady pro řešení problému

    R1,K1

    1

    R2,K2

    2

    RN,KN

    N 1

    R,K

    N

    R1,K1

    1 2

    RN,KN

    R2,K2 1

    R,K

    2

    1

    2

    R1,K1

    RN,KN

    R2,K2

    N

    ekv

    R,K

    1

    N

    ekv

    R0,K0

    0

    0

    ekv

    R0,K0

  • sestaví se schéma (model) problému pomocí elektrické analogie – je-li to možné, schéma se zjed-noduší pomocí známých pravidel, každá neznámá teplota však má mít ve schématu svůj uzel

    pro každý uzel s neznámou teplotou se sestaví bilance tepelných toků - rovnice, která říká, že součet tepelných toků do uzlu se rovná součtu tepelných toků z uzlu

    z bilančních rovnic se sestaví soustava rovnic, jejímž řešením jsou neznámé teploty

    výsledek řešení se zkontroluje dosazením vypočítaných teplot zpět do bilančních rovnic

    Podobným způsobem se může postupovat i v případech, kdy neznámá není teplota, ale jiná veličina,

    např. tepelný tok nebo tepelný odpor nějakého prvku. Bilanční rovnice se sestaví pro vhodně zvolené

    uzly tak, aby v nich figurovaly všechny neznámé veličiny.

    Příklad použití elektrické analogie

    Pro obvodovou stěnu z Obr. 1-10 se mají vypočítat povrchové teploty si a se. Známé veličiny:

    vnitřní teplota i = 20°C

    odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi = 0,13 m2.K/W

    tepelný odpor stěny R = 3 m2.K/W

    odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rse = 0,04 m2.K/W

    venkovní teplota e = -10°C

    Neznámé veličiny:

    teplota vnitřního povrchu si

    teplota vnějšího povrchu se

    Sestavíme bilanci tepelných toků pro uzly, které reprezentují vnitřní a venkovní povrch stěny. Bilance

    tepelných toků pro vnitřní povrch – hustota tepelného toku z uzlu i do uzlu si, q1, se musí rovnat

    hustotě tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2:

    1 2

    1 1( ) ( )i si si se

    si

    q qR R

    Bilance tepelných toků pro venkovní povrch – hustota tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2, se musí

    rovnat hustotě tepelného toku z uzlu se do uzlu e, q3:

    2 3

    1 1( ) ( )si se se e

    se

    q qR R

    Soustava rovnic:

    1 1( ) ( )i si si se

    siR R

    1 1( ) ( )si se se e

    seR R

    Soustava rovnic po úpravě:

    si si si se iR R R R

    se si se se eR R R R

    Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot známých veličin:

    3,13 0,13 60si se

    3,13 0,13 60si se

    Řešení:

    si = 18,8 °C, se = -9,6 °C

  • 1.2 Komplexní modelové příklady

    1.2.1 Obvodová stěna 1

    Zadání

    Uvažujte obvodovou stěnu s touto skladbou (od interiéru):

    železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K

    tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K

    pohledové zdivo z plných cihel tl. 150 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K

    Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je noc, obloha je zatažená.

    Fouká vítr o rychlosti 4 m/s.

    Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete

    průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.

    Řešení

    Známé veličiny:

    tloušťky jednotlivých materiálových vrstev d3 až d3

    součinitele tepelné vodivosti pro materiál každé vrstvy 1 až 3

    teplota vnitřního vzduchu i = 20°C

    teplota venkovního vzduchu e = -5 °C

    rychlost větru v = 4 m/s

    Neznámé veličiny:

    teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových

    vrstev 1,2 a 2,3

    tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]

    Další potřebné informace:

    nejsou

    Analýza problému:

    Teplo se šíří skrz stěnu z vnitřního prostředí do vnějšího. Z vnitřního prostředí se teplo šíří na povrch

    konstrukce prouděním a sáláním. Uvnitř konstrukce, mezi vnitřním a vnějším povrchem, se teplo šíří

    vedením. Z vnějšího povrchu se teplo může do vnějšího prostředí šířit těmito způsoby:

    prouděním (vítr)

    sáláním proti obloze (oblohu si představujeme jako fiktivní povrch, jehož teplota závisí na oblač-nosti)

    sáláním proti povrchu země (terénu)

    sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)

    Kromě toho může výměnu tepla na vnějším povrchu ovlivnit také sluneční záření. Protože uvažujeme

    noční zataženou oblohu, můžeme rovnou říci, že se slunečním zářením počítat nebudeme.

    Hustota tepelného toku prouděním z vnějšího povrchu stěny závisí na rychlosti větru. Pro výpočet

    hustoty každého z výše uvedených tepelných toků sáláním je potřeba dopředu odhadnout teploty sála-

    jících povrchů (včetně teploty vnějšího povrchu řešené stěny) a jejich vzájemné poměry sálání. Poměr

    sálání Fi,j dvou povrchů přitom závisí na jejich vzájemném prostorovém uspořádání.

    Schéma problému:

  • Obr. 1-11: Schéma problému

    Předpoklady řešení:

    ustálený stav

    předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)

    protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =

    0,13 m2·K/W

    přestup tepla z vnějšího povrchu by bylo možné, při zadaných podmínkách, přibližně započítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla Rse = 0,04 m2·K/W (tato hodnota byla stanovena

    pro podobné podmínky jako v tomto příkladu. My však pro výpočet přestupu tepla sestavíme po-

    drobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup

    tepla prouděním a sáláním

    pro odhad součinitele přestupu tepla prouděním použijeme vztah hce = 4 + 4·v (kap. 1.1.2) a bu-deme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s

    budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota zatažené oblohy je stejná, jako teplota venkovního vzduchu (rozumný předpoklad běžně používaný pro podobné případy)

    teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles při zatažené obloze budeme zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplota venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mezi tělesy na

    zemském povrchu a jasnou oblohou – viz následující příklad). Všechna tělesa, vůči kterým může

    vnější povrch stěny sálat, můžeme tedy souhrnně chápat jako jediný povrch s jedinou (sálavou)

    povrchovou teplotou r = e. Problém se zjednodušuje na případ sálání dvou povrchů se vzájem-ným poměrem sálání F12 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok z povrchu 1 (vnější stěna) dopadá přímo,

    bez odrazů na povrch 2 („náhradní“ povrch), což v tomto případě platí). Navíc, plocha stěny A1

    je zanedbatelně malá oproti ploše tohoto „náhradního“ povrchu A2 a jejich vzájemný poměr A1/ A2

    můžeme považovat za rovný nule.

    tento předpoklad nám podstatně zjednoduší výpočet – především proto, že nebudeme muset sta-novovat poměry sálání povrchu stěny a každého dalšího sálajícího povrchu. Takový výpočet je

    3 2 1

    qsi q1 q2 q3

    i

    povrch země r = e

    r = e okolní povrchy

    qre

    si 1,2 2,3 se

    e qce

    qre

    qre

    zatažená

    obloha

    r = e

    Rsi R1 R2 R3

    si 1,2 2,3 se i

    hre

    hce

    e

  • obecně komplikovaný a v našem případě nemožný, neboť nemáme informace o poloze okolních

    těles a povrchu země.

    pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu stěny musíme dopředu odhad-nout jeho teplotu – budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota vnějšího povrchu je rovná tep-

    lotě vnějšího vzduchu se = e

    Postup řešení:

    sestavíme bilanci tepelných toků pro všechna místa v konstrukci, kde chceme zjistit teplotu – pro vnitřní povrch, vnější povrch a obě rozhraní materiálových vrstev

    předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k libovolnému místu v konstrukci a směrem z tohoto místa musí být rovný nule

    získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev

    řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3

    správnost výsledku zkontrolujeme

    vypočítáme tepelnou ztrátu konstrukce

    vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární

    Bilance tepelných toků:

    vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q

    rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q

    rozhraní vrstev 2, 3: 2 3q q → 2 3 0q q

    vnější povrch: 3 ce req q q → 3 0ce req q q

    Hustoty tepelných toků:

    1( ) ( )si i si si i si

    si

    q hR

    1 1.2 1 1,2

    1

    1( ) ( )si siq K

    R

    2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

    2

    1( ) ( )q K

    R

    3 2,3 3 2,3

    3

    1( ) ( )se seq K

    R

    ( )ce ce se eq h

    ( )re re se eq h

    Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-počítají):

    1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K

    1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K

    2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K

    3 2,3( ) ( ) ( ) 0se ce se e re se eK h h

    Po roznásobení:

  • 1 1 1,2 0si i si si sih h K K

    1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K

    2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K

    3 2,3 3 0se ce se ce e re se re eK K h h h h

    Po úpravách:

    1 1 1,2( )si si si ih K K h

    1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K

    2 1,2 2 3 2,3 3( ) 0seK K K K

    3 2,3 3( ) ( )ce re se se re eK K h h h h

    Vyčíslení:

    Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí jednotlivých vrstev je uspořádán do tabulky:

    Tab. 1-4: Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí

    Vrstva

    i [ - ]

    Materiál Tloušťka

    di

    [m]

    Tepelná vodivost

    i

    [W/m·K]

    Tepelný odpor

    Ri = di /i

    [m2·K/W]

    Tepelná vodivost

    Ki = 1/ Ri

    [W/m2·K]

    1 železobeton 0,2 1,6 0,125 8

    2 tepelná izolace 0,15 0,05 3 0,333

    3 zdivo z plných cihel 0,15 1 0,15 0,667

    Tepelný odpor konstrukce R = ΣRi 3,275 0,305

    21 1 7,692 W/(m K)0,13

    si

    si

    hR

    Součinitel přestupu tepla prouděním na vnějším povrchu vypočítáme z rychlosti větru v = 4 m/s (viz

    Předpoklady řešení):

    24 4 4 4 4 20 W/(m K)ceh v

    Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z obecného vztahu pro sálání mezi

    dvěma povrchy:

    3

    1,2

    1 2 1

    1 1,2 2 2

    4

    1 11reT

    hA

    F A

    Protože uvažujeme F1,2 = 1 a A1/A2 = 0, zjednoduší vztah takto (indexem 1 se značí vnější povrch stě-

    ny, indexem 2 souhrnně všechny ostatní sálající povrchy s teplotou r = e – viz Předpoklady výpo-

    čtu):

    3 3

    1,2 1,2 3

    1 1,21 2 1 1

    1 2 1 1

    4 44

    1 1 110 0

    1

    re

    T Th T

    Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e (viz Předpoklady řešení) a r = e:

  • 1 21,2

    ( 273,15) ( 273,15) ( 5 273,15) ( 5 273,15)268,15 K

    2 2 2

    se rT TT

    Po dosazení do vztahu pro hre:

    3 8 3 2

    1 1,24 4 5,67 10 0,9 268,15 3,94 W/(m K)reh T

    Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:

    1,215,692 8 153,846si

    1,2 2,38 8,333 0,333 0si

    1,2 2,30,333 7 6,667 0se

    2,30,667 30,602 119,678se

    Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.

    Výsledky:

    Teploty (po zaokrouhlení):

    si = 19,1 °C

    1,2 = 18,2 °C

    2,3 = -3,6 °C

    se = -4,7 °C

    Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:

    Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-

    krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost

    dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).

    21 ( ) ( ) 7,692 (20 19,1) 7,253 W/msi i si si i sisi

    q hR

    2

    1 1.2 1 1,2

    1

    1( ) ( ) 8 (19,1 18,2) 7,253 W/msi siq K

    R

    2

    2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

    2

    1( ) ( ) 0,333 (18,2 3,6) 7,253 W/mq K

    R

    2

    3 2,3 3 2,3

    3

    1( ) ( ) 6,667 ( 3,6 4,7) 7,253 W/mse seq K

    R

    21 ( ) ( ) 25 ( 4,7 5) 7,257 W/mse se e se se ese

    q hR

    Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme

    dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce q:

    2

    1 2 3

    1 1( ) (19,1 4,7) 7,253 W/m

    3,275si seq

    R R R

    Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,3 W/m2.

    Průběh teploty je vynesen do grafu:

  • Obr. 1-12: Výsledný průběh teploty

    1.2.2 Obvodová stěna 2

    Zadání

    Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a

    teplota venkovního vzduchu -5°C. Uvažujte jasnou noc a vítr o rychlosti 4 m/s.

    Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete

    průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.

    Řešení

    Známé veličiny:

    tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnos-ti K1 až K3 (z předchozího příkladu)

    teplota vnitřního vzduchu i = 20°C

    teplota venkovního vzduchu e = -5 °C

    rychlost větru v = 4 m/s

    Neznámé veličiny:

    teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových

    vrstev 1,2 a 2,3

    tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]

    Další potřebné informace:

    emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny

    Pro povrch zdiva z červených cihel můžeme použít hodnotu emisivity = 0,9 (viz Přílohu 1).

    Analýza problému:

    Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozím

    příkladu. Na vnějším povrchu dochází k přestupu tepla z povrchu do vnějšího prostředí těmito způso-

    by:

    prouděním (vítr)

    sáláním proti jasné obloze (obloha není zakryta oblačností, na rozdíl od předchozího příkladu je teplota jasné oblohy výrazně nižší než teplota vnějšího vzduchu)

    sáláním proti povrchu země (terénu)

    sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)

    Schéma problému:

  • Obr. 1-13: Schéma problému

    Předpoklady řešení:

    ustálený stav

    předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)

    protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =

    0,13 m2·K/W

    přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze

    pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním

    součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejným způsobem jako v předchozím příkla-du

    teplotu jasné oblohy sky [°C] odhadneme v závislosti na teplotě vnějšího vzduchu e [°C] takto (platí pro případ svislého povrchu stěny, kap. 0):

    1,1 5 1,1 ( 5) 5 10,5 Csky e

    součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme podobně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět

    zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy (tentokrát jako teplotu jasné oblohy sky). Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnější-

    ho vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.

    Postup řešení:

    sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny

    předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule

    Rsi R1 R2 R3

    si 1,2 2,3 se i

    e

    hre

    hce

    sky

    3 2 1

    qsi q1 q2 q3

    i

    povrch země r = sky

    r = sky okolní povrchy

    qre

    si 1,2 2,3 se

    e qce

    qre

    qre

    jasná

    obloha

    r = sky

  • bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozího příkladu – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad

    získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev

    řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se

    správnost výsledku zkontrolujeme

    z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí

    vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární

    Bilance tepelných toků:

    vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q

    rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q

    rozhraní vrstev 2, 3: 2 3q q → 2 3 0q q

    vnější povrch: 3 ce req q q → 3 0ce req q q

    Hustoty tepelných toků:

    Pro výpočet hustot tepelných toků qsi a q1 až q3 platí vztahy uvedené v předchozím příkladu. Pro hus-

    toty tepelných toků z vnějšího povrchu stěny platí:

    ( )ce ce se eq h

    ( )re re se skyq h

    V hustotě tepelného toku qre je souhrnně započítáno sálání vnějšího povrchu stěny proti obloze, okol-

    ním povrchům i povrchu země (viz Předpoklady řešení)

    Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-počítají):

    1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K

    1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K

    2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K

    3 2,3( ) ( ) ( ) 0se ce se e re se skyK h h

    Po roznásobení:

    1 1 1,2 0si i si si sih h K K

    1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K

    2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K

    3 2,3 3 0se ce se ce e re se re skyK K h h h h

    Po úpravách:

    1 1 1,2( )si si si ih K K h

    1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K

    2 1,2 2 3 2,3 3( ) 0seK K K K

  • 3 2,3 3( )ce re se ce e re skyK K h h h h

    Vyčíslení:

    Tepelné odpory a tepelné propustnosti vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro

    tento příklad zůstávají stejné. Stejná zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla hsi a hce.

    Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z upraveného vztahu (odvození z

    obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy – viz předchozí příklad):

    3

    1 1,24reh T

    Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e a sky = -10,5 °C (viz Předpoklady řešení):

    3 31 21,2

    ( 273,15) ( 273,15) ( 5 273,15) ( 10,5 273,15)265,4 K

    2 2 2

    se skyT TT

    Po dosazení do vztahu pro hre:

    3 8 3 2

    1 1,24 4 5,67 10 0,9 265,4 3,82 W/(m K)reh T

    Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:

    1,215,692 8 153,846si

    1,2 2,38 8,333 0,333 0si

    1,2 2,30,333 7 6,667 0se

    2,30,667 30,482 140,066se

    Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.

    Výsledky:

    Teploty (po zaokrouhlení):

    si = 19 °C

    1,2 = 18,1 °C

    2,3 = -4,4 °C

    se = -5,6 °C

    Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:

    Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-

    krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost

    dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).

    21 ( ) ( ) 7,692 (20 19) 7,508 W/msi i si si i sisi

    q hR

    2

    1 1.2 1 1,2

    1

    1( ) ( ) 8 (19 18,1) 7,508 W/msi siq K

    R

    2

    2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

    2

    1( ) ( ) 0,333 (18,1 4,4) 7,508 W/mq K

    R

    2

    3 2,3 3 2,3

    3

    1( ) ( ) 6,667 (4,4 5,6) 7,508 W/mse seq K

    R

  • 2( ) ( ) 20 ( 5,6 5) 3,816 ( 5,6 10,5) 7,508 W/mse ce re ce se e re se skyq q q h h

    Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme

    dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce:

    2

    1 2 3

    1 1( ) (19 5,6) 7,508 W/m

    3,275si seq

    R R R

    Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,5 W/m2.

    Průběh teploty je vynesen do grafu:

    Obr. 1-14: Výsledný průběh teploty

    1.2.3 Obvodová stěna 3

    Zadání

    Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a

    teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na stěnu dopadá sluneční záření s celkovou

    intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m2 povrchu stěny). Fouká vítr o rychlosti 4 m/s.

    Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete

    průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.

    Řešení

    Známé veličiny:

    tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnos-ti K1 až K3 (z předchozích příkladů)

    teplota vnitřního vzduchu i = 20°C

    teplota venkovního vzduchu e = -5 °C

    emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu)

    teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C, sky = -10,5 °C (z předcho-zího příkladu)

    celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W

    Neznámé veličiny:

    teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si a se, a teploty na rozhraní materiálových

    vrstev 1,2 a2,3

    tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]

  • Další potřebné informace:

    pohltivost slunečního záření pro vnější povrch sol [ - ]

    Pro povrch přizdívky z plných cihel můžeme použít hodnotu sol = 0,75 (viz Přílohu 2)

    Analýza problému:

    Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozích

    dvou příkladech. V tomto příkladu je ovšem tepelná bilance vnějšího povrchu navíc ovlivněna sluneč-

    ním zářením. Část energie slunečního záření dopadajícího na vnější povrch stěny je pohlcena – pře-

    mění se na teplo. Povrch stěny se ohřeje, jeho teplota bude vyšší než teplota vnějšího vzduchu. Do-

    chází k šíření (přestupu) tepla z vnějšího povrchu do vnějšího prostředí:

    prouděním (vítr)

    dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu

    dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou obloha si představujeme jako povrch s velmi nízkou teplotou)

    Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme

    postupovat obdobně.

    Teplota vnějšího povrchu bude záviset na vzájemném poměru tepelných zisků (tepelný tok stěnou

    z vnitřního prostředí a pohlcená energie slunečního záření) a ztrát (tepelný tok prouděním a sáláním

    do vnějšího prostředí). Pokud bude výsledná teplota vnějšího povrchu vyšší, než teplota vnitřního

    povrchu (se > si), bude se teplo z vnějšího povrchu šířit také směrem k vnitřnímu povrchu. Pokud

    bude (se < si), bude se teplo šířit konstrukcí z vnitřního povrchu směrem k vnějšímu – podobně jako v případě bez slunečního záření, který jsme zvyklí uvažovat v běžných výpočtech. Zatím budeme

    předpokládat, že se < si.

    Schéma problému:

    Schéma problému je uvedeno na Obr. 1-15

    Předpoklady řešení:

    ustálený stav

    předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)

    protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =

    0,13 m2·K/W

    přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv sluneč-

    ního záření

    pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního

    záření

    součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejně jako v předchozím příkladu (opět bu-deme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s)

    součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět

    zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět

    zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou

    podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.

    Předpoklad, že teplota povrchu země a ostatních okolních povrchů se shoduje s teplotou jasné oblohy

    je konzervativní. V případě jasné oblohy s poměrně intenzivním slunečním zářením bude skutečná

    povrchová teplota terénu a těles na zemském povrchu pravděpodobně vyšší, možná bližší teplotě ven-

    kovního vzduchu. Naší volbou pravděpodobně opět nadhodnotíme tepelnou ztrátu stěny, tentokrát

    významněji, než v předchozím příkladu.

  • Obr. 1-15: Schéma problému

    Postup řešení:

    sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny

    předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule

    bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozích příkladů – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad

    získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev

    řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se

    správnost výsledku zkontrolujeme

    z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí

    vykreslíme průběh teploty

    Bilance tepelných toků:

    vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q

    rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q

    rozhraní vrstev 2, 3: 2 3q q → 2 3 0q q

    vnější povrch: 3 sol ce req q q q → 3 0sol ce req q q q

    Hustoty tepelných toků:

    Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi , q1 až q3, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako

    v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Hustota tepelného toku ze slunečního záření se vypočítá

    takto:

    3 2 1

    qsi q1 q2 q3

    i

    povrch země r = sky

    r = sky okolní povrchy

    qre

    si 1,2 2,3 se

    e qce

    qre

    qre

    jasná

    obloha

    rsky

    qsol

    sluneční

    záření

    Rsi R1 R2 R3

    si 1,2 2,3 se i e

    hce

    hre

    sky

    qsol

  • sol sol solq I

    Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-počítají):

    1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K

    1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K

    2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K

    3 2,3( ) ( ) ( ) 0se sol ce se e re se skyK I h h

    Po roznásobení:

    1 1 1,2 0si i si si sih h K K

    1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K

    2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K

    3 2,3 3 0sol se ce se ce e re se re skyK I K h h h h

    Po úpravách:

    isisisi hKKh 2,111)(

    0)( 3,222,1211 KKKK si

    0)( 33,2322,12 seKKKK

    skyreecesolserece hhIhhKK )( 33,23

    Vyčíslení:

    Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a

    pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním

    povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre.

    Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:

  • 1,215,692 8 153,846si

    1,2 2,38 8,333 0,333 0si

    1,2 2,30,333 7 6,667 0se

    2,30,667 30,482 159,934se

    Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.

    Výsledky:

    Teploty (po zaokrouhlení):

    si = 19,5 °C

    1,2 = 19,0 °C

    2,3 = 7,5 °C

    se = 6,9 °C

    Průběh teploty je vynesen do grafu:

    Obr. 1-16: Výsledný průběh teploty

    Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:

    Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-

    krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost

    dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).

    21 ( ) ( ) 7,692 (20 19,5) 3,854 W/msi i si si i sisi

    q hR

    2

    1 1.2 1 1,2

    1

    1( ) ( ) 8 (19,5 19) 3,854 W/msi siq K

    R

    2

    2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

    2

    1( ) ( ) 0,333 (19 7,5) 3,854 W/mq K

    R

    2

    3 2,3 3 2,3

    3

    1( ) ( ) 6,667 (7,5 6,9) 3,854 W/mse seq K

    R

    Hustota tepelného toku mezi povrchy konstrukce:

  • 2

    1 2 3

    1 1( ) (19,5 6,9) 3,854 W/m

    3,275si seq

    R R R

    Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Liší se ovšem hodnota

    hustoty tepelného toku z vnějšího povrchu stěny do vnějšího prostředí:

    2( ) ( ) 20 (6,9 5) 3,816 (6,9 10,5) 303,854 W/mse ce re ce se e re se skyq q q h h

    Rozdíl hustoty tepelného toku qse a hustoty tepelného toku v jiných místech konstrukce je přesně 300

    W/m2 = qsol = sol · Isol. Rovnováha tepelných toků na vnějším povrchu je tedy zachována:

    3 3 3,854 300 303,854 0sol ce re sol seq q q q q q q

    Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 3,9 W/m2.

    1.2.4 Obvodová stěna 4

    Zadání

    Uvažujte podobnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Vnější přizdívka z pohledových

    cihel se však nahradí stejně tlustou neprovětrávanou vzduchovou mezerou. Ta je z vnitřní strany vy-

    mezena povrchem tepelné izolace a z vnější strany skleněnou tabulí. Na povrchu tepelné izolace (smě-

    rem do vzduchové dutiny) je z výroby nanesena tenká difuzní fólie černé barvy. Skladba konstrukce

    (od interiéru):

    železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K

    tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K

    difuzní fólie, černá barva, tl. 0,3 mm, tepelná vodivost 0,2 W/m·K

    neprovětrávaná vzduchová mezera, tl. 150 mm

    čiré sklo, tl. 4 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K

    Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na

    stěnu dopadá sluneční záření s celkovou intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m2 povrchu stěny). Fou-

    ká vítr o rychlosti 4 m/s.

    Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete

    průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.

    Řešení

    Známé veličiny:

    tepelné vlastnosti materiálových vrstev 1 a 2: tepelné odpory R1 a R2, tepelné propustnosti K1 a K2 (z předchozích příkladů)

    tloušťka vzduchové mezery (vrstva 4): d4

    tloušťky materiálových vrstev 3 a 5: d3 a d5

    součinitele tepelné vodivosti pro materiál vrstev 3 a 5: 3 a 5

    barva vnějšího povrchu vrstvy 3: černá

    emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu)

    teplota vnitřního vzduchu i = 20°C

    teplota venkovního vzduchu e = -5 °C

    rychlost větru v = 4 m/s

    teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C sky = -10,5 °C (z předchozí-ho příkladu)

    celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W

  • Neznámé veličiny:

    teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových

    vrstev 1,2, 2,3, 3,4 a 4,5

    tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]

    Další potřebné informace:

    emisivita vnějšího povrchu stěny – povrchu skleněné tabule vymezující vzduchovou vrstvu

    pohltivost slunečního záření pro vnější povrch stěny – pro povrch skleněné tabule

    propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli

    emisivita vnějšího povrchu difuzní fólie

    pohltivost slunečního záření pro vnější povrch difuzní fólie

    Emisivita skla je velmi podobná jako emisivita ostatních stavebních materiálů. Použijeme hodnotu = 0,92 podle Přílohy 1. Sklo je propustné pro sluneční záření, proto je pohltivost slunečního záření po-

    vrchu čirého skla nízká. Použijeme hodnotu sol = 0,05. Propustnost slunečního záření pro sklo tl. 4 mm je při kolmém dopadu slunečních paprsků přibližně 0,85. Propustnost slunečního záření je sice

    závislá na úhlu dopadu slunečních paprsků, ale v rozmezí 0° (kolmo na povrch) a 45° se příliš nemění.

    Propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli budeme tedy uvažovat konzervativně = 0,8.

    Emisivitu povrchu difuzní fólie odhadneme – použijeme hodnotu pro střešní lepenku = 0,93. Pro

    povrch difuzní folie můžeme použít hodnotu pohltivosti slunečního záření sol = 0,92 (černý, nekovo-vý povrch, Příloha 2).

    Analýza problému:

    Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu difuzní fólie je stejný jako

    v předchozích dvou příkladech. Vnější povrch difuzní fólie vymezuje vzduchovou mezeru. Z vnějšího

    povrchu difuzní fólie se teplo šíří skrz vzduchovou mezeru na vnitřní povrch skleněné tabule všemi

    třemi způsoby:

    vedením

    prouděním

    sáláním.

    Z vnitřního povrchu skleněné tabule (směrem do vzduchové mezery) se teplo šíří vedením k vnějšímu

    povrchu tabule (směrem do venkovního prostředí). Na vnějším povrchu skleněné tabule (vnější po-

    vrch konstrukce) dochází k přestupu tepla do venkovního prostředí:

    prouděním (vítr)

    dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu

    dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou oblohu si představujeme jako povrch s velmi nízkou teplotou)

    Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme

    postupovat obdobně.

    Tepelné chování stěny je jako v předchozím příkladu ovlivněno slunečním zářením, ovšem tentokrát

    je situace složitější. Sluneční záření dopadá na vnější povrch skleněné tabule:

    část dopadajícího slunečního záření se odráží zpět do venkovního prostředí

    malá část je pohlcena skleněnou tabulí a šíří se dále ve formě tepla

    největší část prochází skleněnou tabulí

    Část slunečního záření, která prošla skleněnou tabulí, dopadá na vnější povrch difuzní fólie. Většina

    tohoto sálavého toku je na povrchu fólie pohlcena a dá se předpokládat, že zvýší jeho teplotu. Uvolně-

    né teplo se šíří z povrchu fólie dále (předpokládejme, že směrem do vzduchové mezery). Zbývající

    část slunečního záření se od povrchu fólie odrazí (propustnost = 0) zpět směrem ke skleněné tabuli, na jejímž vnitřním povrchu se opět malá část odrazí zpět, malá část pohltí a většina projde skrz tabuli

    do venkovního prostředí. Hustota sálavého toku odraženého od difuzní fólie bude velmi malá a její

    vliv na tepelné chování stěny zanedbáme.

  • Vraťme se ještě k šíření tepla skrz skleněnou tabuli a difuzní fólii. Skleněná tabule je tenká a má vy-

    sokou tepelnou vodivost. To znamená, že rozdíl teploty na vnitřním a vnějším povrchu tabule bude

    zanedbatelný. Skleněnou tabuli budeme proto uvažovat jako nekonečně tenkou vrstvu s jedinou teplo-

    tou. Vlastnosti, které ovlivňují šíření tepla sáláním, zůstanou beze změn (emisivita, propustnost a

    pohltivost slunečního záření). Podobně budeme uvažovat i v případě difuzní fólie. Její vliv na šíření

    tepla vedením zanedbáme, to znamená, že s ní ve výpočtu nebudeme vůbec uvažovat a pohltivost

    slunečního záření vnějšího povrchu fólie budeme chápat jako vlastnost povrchu tepelné izolace.

    Samostatným problémem je výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sáláním mezi po-

    vrchy vzduchové mezery (kap. 1.1.7,). Klíčová je správná volba součinitele přestupu tepla prouděním,

    a sáláním. Jejich hodnota ve výpočtu ovlivní mimo jiné ztráty tepla ze slunečního záření pohlceného

    na povrchu difuzní fólie. Chyba v hodnotách těchto veličin proto může mít relativně významný vliv na

    výsledné rozložení teploty v konstrukci. Součinitel přestupu tepla prouděním závisí na tloušťce meze-

    ry a na teplotě povrchů, které dopředu neznáme. Přesný výpočet je příliš složitý, použití obvyklé hod-

    noty 2,5 W(m2·K) pro součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním povrchu svislých konstrukcí

    také není příliš vhodné řešení (platí pro relativně malý rozdíl teploty povrchu a teploty vzduchu), pro-

    to použijeme zjednodušený vztah z kap. 1.1.2. Pro výpočet potřebujeme znát teplotu povrchů mezery

    a teplotu vzduchu v mezeře – tyto neznámé teploty odhadneme takto:

    vnitřní povrch mezery (povrch difuzní fólie): teplota o 15 °C vyšší než teplota vzduchu (odhad na základě výsledků předchozího příkladu – venkovní povrch stěny vystavený větru se vlivem slu-

    nečního záření ohřál o 10°C nad teplotu venkovního vzduchu, povrch chráněný proti větru vzdu-

    chovou mezerou a skleněnou tabulí by se měl ohřát o něco více)

    vnější povrch mezery (vnitřní povrch skleněné tabule): teplota stejná, jako teplota venkovního vzduchu

    teplota vzduchu v mezeře: průměr teplot na vnitřním a vnějším povrchu mezery

    Takto odhadnuté teploty použijeme i pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním mezi povrchy

    mezery.

    Schéma řešení:

    Schéma řešení je uvedeno až za oddíly Předpoklady řešení a Postup řešení

    Předpoklady řešení:

    ustálený stav

    předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení nosné konstrukce skleněné stěny k železobetonové stěně)

    zanedbáme vliv nosné konstrukce (rámu), do které by ve skutečnosti byla zasazena skleněná tabu-le (rám nepropouští sluneční záření a má jiné tepelné vlastnosti než tabule skla)

    difuzní fólii jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu a pohltivost slunečního záření) přiřadíme povrchu tepelné izolace – rozhraní vrstev 2,3

    skleněnou tabuli jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu, pohltivost a propustnost slunečního záření) přiřadíme fiktivnímu vnějšímu povrchu vzduchové mezery, kte-

    rý bude současně vnějším povrchem konstrukce

    v neprovětrávané vzduchové mezeře budeme uvažovat šíření tepla prouděním, sáláním a vedením

    tepelnou vodivost nehybného vzduchu budeme uvažovat hodnotou 3 = 0,025 W/m·K

    součinitel přestupu tepla prouděním mezi povrchy mezery stanovíme orientačně z odhadnuté teploty povrchu a teploty vzduchu v mezeře

    teploty povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla

    sáláním budeme uvažovat takto: 2,3 = e +15 = 10 °C, se = e = -5 °C

    teplotu vzduchu v mezeře odhadneme jako průměr povrchových teplot: a,3 = (2,3 + se)/2 = (15 – 5)/2 = 5 °C

    emisivity povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla

    sáláním budeme uvažovat hodnotami 2,3 = 0,93 (…) a se = 0,92 (skleněná tabule)

  • pro vnější povrch konstrukce reprezentující skleněnou tabuli požijeme hodnoty sálavých vlastnos-

    tí pro čiré sklo (se = 0,92, sol,se = 0,05, sol,se = 0,8)

    zanedbáme vliv zašpinění povrchu skleněné tabule na jeho sálavé vlastnosti

    pohltivost slunečního záření pro rozhraní vrstev 2,3 (reprezentuje difuzní fólii) budeme uvažovat

    hodnotou sol,2,3 = 0,92 (černý nekovový povrch)

    vliv části slunečního záření odraženého na rozhraní vrstev 2,3 zpět do vzduchové mezery zane-dbáme

    protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =

    0,13 m2·K/W

    přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv sluneč-

    ního záření

    pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního

    záření

    součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme z rychlosti větru stejně jako v předchozích příkladech

    součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět

    zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět

    zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou

    podrobněji vysvětleny v příkladu 1.2.2.

    Postup řešení

    sestavíme bilanci tepelných toků pro vnitřní povrch stěny, pro jednotlivá rozhraní mezi vrstvami konstrukce a pro vnější povrch (bilanční rovnice pro vnitřní povrch a rozhraní vrstev 1 a 2 může-

    me převzít z předchozích příkladů)

    předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule

    získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev

    řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3

    správnost výsledku zkontrolujeme

    vypočítáme hustotu tepelného toku na vnitřním povrchu konstrukce, určíme jeho směr a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo zisk pro vnitřní prostředí

    vykreslíme průběh teploty

    Schéma problému

    Obr. 1-17: Skladba stěny a její zjednodušení

    žele

    zob

    eto

    n

    tep

    eln

    á iz

    ola

    ce

    dif

    uzn

    í fó

    lie

    vzd

    uch

    ov

    á m

    ezer

    a

    skle

    něn

    á ta

    bu

    le

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    si 1,2 2,3 se 2,3 sol,2,3

    se sol,se

    sol,se

    žele

    zob

    eto

    n

    tep

    eln

    á iz

    ola

    ce

    vzd

    uch

    ov

    á m

    ezer

    a

  • Obr. 1-18:Tepelné chování neprovětrávané vzduchové mezery a jeho zjednodušení (model)

    Obr. 1-19: Celkové schéma problému

    Isol

    sol·Isol

    so

    l· s

    ol·I

    sol

    so

    l·Iso

    l

    sálání

    vedení

    proudění

    vedení

    proudění

    sálání

    vedení

    q2 qc,3

    qcd,3

    qr,3

    qsol,2,3

    qce

    qre

    qsol,se

    se

    R2

    2,3

    qsol,se

    e

    hce

    hre

    sky

    qsol,2,3

    hc,3

    hr,3

    hcd,3

    se

    R2

    2,3

    qsol,se

    e

    hce

    hre

    sky

    qsol,2,3

    h3

    3 2 1

    qsi q1 q2 q3

    i

    povrch země r = sky

    r = sky okolní povrchy

    qre si 1,2 2,3 se

    e qce

    qre

    qre

    jasná

    obloha

    rsky qsol,se

    sluneční

    záření

    qsol,2,3

    Rsi R1 R2 h3

    si 1,2 2,3 se i e

    hce

    hre

    sky

    qsol,se qsol,2,3

  • Bilance tepelných toků:

    vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q

    rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q

    rozhraní vrstev 2, 3: 2 ,2,3 3solq q q → 2 3 ,2,3 0solq q q

    vnější povrch: 3 ,sol se ce req q q q → 3 , 0sol se ce req q q q

    Hustoty tepelných toků:

    Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi, q1, q2, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako

    v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Ostatní hustoty tepelného toku se vypočítá takto:

    3 3, 3, 3, 3, 2,3 3, 2,3 3, 2,3cd c r cd se c se c seq q q q h h h

    3 3, 3, 3, 2,3 3 2,3cd c r se seq h h h h

    , ,sol se sol se solq I

    ,2,3 ,2,3 ,sol sol sol se solq I

    Soustava rovnic:

    Neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se dopočítají

    1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K

    1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K

    2 1,2 2,3 3 2,3 ,2,3( ) ( ) 0se solK h q

    3 2,3 ,( ) ( ) ( ) 0se sol se ce se e re se skyh q h h

    Po roznásobení:

    1 1 1,2 0si i si si sih h K K

    1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K

    2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 ,2,3 0se solK K h h q

    3 2,3 3 , 0se sol se ce se ce e re se re skyh h q h h h h

    Po úpravách:

    1 1 1,2( )si si si ih K K h

    1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K

    2 1,2 2 3 2,3 3 ,2,3( ) se solK K h h q

    3 2,3 3 ,( )ce re se sol se ce e re skyh h h h q h h

    Vyčíslení:

    Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a

    pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním

    povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre.

  • Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:

    1,215,692 8 153,846si

    1,2 2,38 8,333 0,333 0si

    1,2 2,30,333 7,897 7,564 294,4se

    2,37,564 31,379 120,066se

    Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.

    Výsledky:

    Teploty (po zaokrouhlení):

    si = 21 °C

    1,2 = 22 °C

    2,3 = 44,9 °C

    se = 7 °C

    Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:

    Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-

    krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost

    dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).

    21 ( ) ( ) 7,692 (20 21) 7,653 W/msi i si si i sisi

    q hR

    2

    1 1.2 1 1,2

    1

    1( ) ( ) 8 (21 22) 7,653 W/msi siq K

    R

    2

    2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

    2

    1( ) ( ) 0,333 (22 44,9) 7,653 W/mq K

    R

    2

    3 3 2,3( ) 7,564 (44,9 7) 28