Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta stavební
Řešené příklady ze stavební fyziky
Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu
doc. Dr. Ing. Zbyněk Svoboda
Ing. Jiří Novák, Ph.D.
Praha 2014
Evropský sociální fond
Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Obsah
1 Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu ..................................................4
1.1 Základní teorie ............................................................................................................. 4
1.1.1 Šíření tepla vedením .......................................................................................................................... 4 1.1.2 Šíření tepla prouděním ...................................................................................................................... 5 1.1.3 Šíření tepla sáláním ........................................................................................................................... 6 1.1.4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles .............................................................................................. 8 1.1.5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze ............................................................................................. 10 1.1.6 Sluneční záření ................................................................................................................................. 10 1.1.7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách ........................................................................... 11 1.1.8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla .............................. 12 1.1.9 Vliv tepelných mostů ....................................................................................................................... 14 1.1.10 Teplo procházející konstrukcí ...................................................................................................... 14 1.1.11 Rozložení teploty v konstrukci ..................................................................................................... 14 1.1.12 Elektrická analogie ...................................................................................................................... 16
1.2 Komplexní modelové příklady .................................................................................. 21
1.2.1 Obvodová stěna 1 ............................................................................................................................ 21 1.2.2 Obvodová stěna 2 ............................................................................................................................ 26 1.2.3 Obvodová stěna 3 ............................................................................................................................ 30 1.2.4 Obvodová stěna 4 ............................................................................................................................ 35
Přílohy ................................................................................................................ 44
Příloha 1 – Emisivita vybraných materiálů a povrchových úprav (dlouhovlnné tepelné
záření) ................................................................................................................................... 44
Příloha 2 – Pohltivost slunečního záření pro vybrané materiály a povrchové úpravy ......... 45
1 Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu
1.1 Základní teorie
1.1.1 Šíření tepla vedením
Hustota tepelného toku vedením je obecně definována Fourierovým zákonem
zyxq zyxcd
,, [W/m2] (1.1)
kde λ je součinitel tepelné vodivosti ve W/(m.K)
θ teplota ve ˚C.
Pro jednorozměrné šíření tepla vedením přechází rovnice (1.1) na tvar
dx
dqcd
[W/m2] (1.2)
přičemž samotnou velikost hustoty tepelného toku lze vyjádřit vztahem
dqcd
[W/m2] (1.3)
kde Δθ je rozdíl teplot na obou površích materiálu (Obr. 1-1) ve ˚C
d tloušťka materiálu ve směru tepelného toku v m.
Obr. 1-1: Tepelný tok materiálem s rozdílnými povrchovými teplotami
Časové a prostorové rozložení teploty je popsáno rovnicí vedení tepla v obecném tvaru
tcQ
zzyyxx
(1.4)
kde Q je velikost vnitřního zdroje tepla (produkce tepla v materiálu) ve W/m3
ρ objemová hmotnost materiálu v kg/m3
c měrná tepelná kapacita materiálu v J/(kg.K)
θ1
θ2
d
směr tepelného
toku pro
θ1 > θ2
t čas v s
x,y,z souřadnice bodu, v němž se určuje teplota θ v m.
Pro nejjednodušší jednorozměrné šíření tepla v ustáleném stavu přechází rovnice (1.4) na tvar
02
2
dx
d (1.5)
který lze vyřešit pro homogenní oblast analyticky a získat rovnici pro lineární průběh teploty
v materiálu
d
xx 211)(
[˚C] (1.6)
kde θj je teplota na j-tém povrchu homogenního materiálu (Obr. 1-2) ve ˚C
d celková tloušťka homogenního materiálu ve směru tepelného toku v m
x vzdálenost od povrchu s teplotou θ1 v m.
Obr. 1-2: Lineární průběh teploty v homogenním materiálu v ustáleném stavu
1.1.2 Šíření tepla prouděním
Pro analýzu šíření tepla stavební konstrukcí je významné především šíření tepla prouděním mezi po-
vrchem konstrukce a okolním vzduchem. Hustotu tepelného toku prouděním z povrchu konstrukce do
okolí lze určit vztahem
ascc hq [W/m2] (1.7)
kde hc je součinitel přestupu tepla prouděním ve W/(m2K)
θs teplota povrchu konstrukce ve ˚C
θa teplota okolního vzduchu ve ˚C.
Rozlišují se dva případy proudění vzduchu při povrchu konstrukce:
přirozené proudění
vynucené proudění
Přirozené proudění je vyvoláno rozdílem hustoty vzduchu v důsledku rozdílné teploty. Pokud je např.
teplota vzduchu nižší než teplota povrchu, bude se vzduch při povrchu ohřívat, jeho hustota bude kle-
sat a vzduch začne v tenké vrstvě při povrchu proudit směrem vzhůru. K přirozenému proudění do-
θ2
d x
θ1
θ
chází především na vnitřních površích konstrukcí. Součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním
povrchu hci se v technických výpočtech obvykle uvažuje hodnotami 2,5 W/(m2.K) pro vodorovný
tepelný tok; 5,0 W/(m2.K) pro tepelný tok nahoru a 0,7 W/(m2.K) pro tepelný tok dolů. V případě
potřeby (např. pokud očekáváme neobvyklý rozdíl mezi teplotou povrchu a okolního vzduchu) mů-
žeme pro odhad součinitele přestupu tepla přirozeným prouděním na vnitřním povrchu konstrukcí
použít zjednodušený vztah:
1
42c a sh [W/(m2.K)] (1.8)
Obr. 1-3: Přestup tepla přirozeným prouděním. s je teplota povrchu konstrukce a je teplota vzduchu
Vynucené proudění není vyvoláno rozdílem teplot, ale např. větracím zařízením, větrem apod. Pro
výpočty ve stavební tepelné technice je důležité proudění větru na vnějším líci konstrukce. Součinitel
přestupu tepla pro vnější povrch konstrukce hce je možné vypočítat v závislosti na rychlosti větru tak-
to:
4 4ceh v [W/m2] (1.9)
kde v je rychlost větru v m/s.
Obvykle se uvažuje rychlost větru v = 4 m/s a součinitel přestupu tepla hce = 20 W/m2.K. K přiroze-
nému proudění na vnějším líci konstrukce by mohlo dojít při úplném bezvětří, takový předpoklad je
ovšem pro technickou praxi nereálný.
1.1.3 Šíření tepla sáláním
Hustota tepelného toku sáláním emitovaného (vyzářeného) povrchem tělesa se obecně stanoví ze Ste-
fanova-Boltzmannova zákona
4Tqr [W/m2] (1.10)
kde ε je emisivita povrchu tělesa
σ Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67.10-8 W/(m2K4))
T absolutní (termodynamická) teplota povrchu tělesa v K.
Při dopadu na povrch tělesa může být část dopadajícího sálavého toku odražena, část pohlcena a část
může tělesem procházet (Obr. 1-4):
r ref a tq q q q [W/m2] (1.11)
kde qr je hustota tepelného toku sáláním dopadající na povrch tělesa ve W/m2
směr
tepelného
toku
směr
proudění
a < s s
směr
tepelného
toku
směr
proudění
a > s s
qref odražená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2
qa pohlcená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2
qt procházející složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2
Velikost jednotlivých složek závisí na pohltivosti, odrazivosti a propustnosti:
ref rq q [W/m2] (1.12)
a rq q [W/m2] (1.13)
t rq q [W/m2] (1.14)
kde je odrazivost (bezrozměrná)
pohltivost (bezrozměrná)
propustnost (bezrozměrná)
Ze vztahu (1.10) vyplývá, že pro odrazivost, pohltivost a propustnost vždy platí:
1 [W/m2] (1.15)
Obr. 1-4: Rozklad tepelného toku sáláním při dopadu na povrch tělesa
Emisivita, odrazivost a pohltivost jsou vlastnostmi povrchu tělesa, propustnost je vlastností materiálu.
Emisivita a odrazivost závisí na vlnové délce záření (sálání). Povrchy s vysokou teplotou emitují zá-
ření s krátkou vlnovou délkou, povrchy s nízkou teplotou emitují záření s delšími vlnovými délkami.
Ve stavební tepelné technice proto rozlišujeme:
krátkovlnné sluneční záření (Slunce má teplotu přibližně 5 800 K)
dlouhovlnné sálání, které emitují povrchy při běžných teplotách, které jsou o řád nižší než teplota Slunce (okolo 300 K)
Pro dlouhovlnné sálání ve výpočtech stavební tepelné techniky platí:
emisivita povrchu je rovná jeho pohltivosti ( = )
emisivita (tedy i pohltivost) se pro většinu stavebních materiálů uvažuje 0,9 - výjimkou jsou např. leštěné kovy bez povrchové úpravy, jejichž emisivita může být nižší než 0,1
stavební materiály nepropustné pro dlouhovlnné sálání ( = 0)
Pro krátkovlnné sluneční záření platí:
s emisivitou se nepracuje (jediným zdrojem slunečního záření je Slunce; intenzita slunečního záření se měří, není potřeba ji počítat pomocí vztahu (1.10)
pohltivost slunečního záření a pohltivost (emisivita) při dlouhovlnném sálání se pro stejný povrch často liší
pohltivost slunečního záření dobře koreluje s barvou povrchu (emisivita ne) - světlejší povrchy mají menší pohltivost slunečního záření než tmavší
qr
qa = ·qr
qref = ·qr
qt = ·qr
povrch
materiál těleso
Při výpočtech tepelné výměny dlouhovlnným sáláním je potřeba důsledně dávat pozor na to, jaká
teplota se má dosadit do výpočetních vztahů – zda teplota v Celsiově stupnici (v této publikaci se zna-
čí a udává se ve °C) nebo tzv. absolutní (termodynamická) teplota (v této publikaci se značí a udává se v K). Pro absolutní teplotu platí:
273,15T [K] (1.16)
1.1.4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles
V reálné situaci dochází ke vzájemnému sálání povrchů několika těles. Vzájemná sálavá výměna závi-
sí nejen na teplotě a emisivitě povrchu těles, ale také na jejich prostorovém uspořádání. Výpočet hus-
toty tepelného toku sáláním je v obecných případech komplikovaný. Pro výměnu tepla sáláním mezi
dvěma povrchy platí:
1,2 1 1 2( )rΦ A h T T [W] (1.17)
kde 1,2 je tepelný tok sáláním z povrchu 1 na povrch 2 ve W A1 plocha povrchu 1 v m2
hr součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K)
Tj absolutní teplota j-tého povrchu v K.
Součinitel přestupu tepla sáláním mezi dvěma povrchy se vypočítá takto:
3
1,2
1 2 1
1 1,2 2 2
4
1 11rT
hA
F A
[W/(m2.K)] (1.18)
kde 1,2T je střední absolutní teplota sálajících povrchů v K
εj emisivita j-tého povrchu
F1,2 poměr sálání z povrchu 1 na povrch 2
Aj plocha j-tého povrchu
Střední absolutní teplota sálajících povrchů se vypočítá takto:
1 21,2
2
T TT
[K] (1.19)
Poměr sálání F1,2 vyjadřuje, jaká část sálavého toku vyzářeného z plochy A1 (povrch 1) dopadá přímo
(bez odrazů) na plochu A2 (povrch 2). Poměr sálání je geometrická veličina, její hodnota může být
nanejvýše rovná 1. Závisí na velikosti, tvaru, vzdálenosti a úhlu, který svírají sálající povrchy. Výpo-
čet poměru sálání pro obecné případy je složitý, v literatuře je však možné nalézt vztahy pro typické
situace, které se v praxi často opakují. Např. pro rovinný povrch 1 na Obr. 1-5, který je zcela obklopen
povrchem 2, a dohromady s ním vytváří uzavřenou plochu, platí F1,2 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok
vyzářený povrchem 1 dopadá bez odrazu na povrch 2). Totéž platí pro dva rovnoběžné, rovinné po-
vrchy.
Výměna tepla sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy je zvláštním a důležitým případem. Tepel-
ný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se stanoví obecně jako
42412,12,1 TTA [W] (1.20)
kde A je plocha povrchů v m2 (platí A = A1 = A2)
Tj teplota j-tého povrchu v K
ε1,2 emisivita vzájemného sálání obou povrchů, která se určí ze vztahu
111
1
21
2,1
[-] (1.21)
kde εj je emisivita j-tého povrchu.
Obr. 1-5: Zvláštní případy dvou povrchů, pro které je poměr sálání F1,2 = 1. Vlevo – dva povrchy, které tvoří
uzavřenou plochu. Vpravo – dva rovnoběžné povrchy.
V technické praxi se místo obecného vztahu (1.20) používá častěji upravený vztah
212,1 Ahr [W] (1.22)
kde hr je součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K)
θj teplota j-tého povrchu ve C.
Součinitel přestupu tepla sáláním hr lze obecně vyjádřit jako
21
4
2
4
12,1
TThr [W/(m
2.K)] (1.23)
ale obvykle se v technických výpočtech uvažuje zjednodušeně konstantní hodnotou 4,6 W/(m2.K),
která je použitelná pro povrchy s běžnou emisivitou 0,9.
Tepelný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se můžeme pochopitelně vypočítat také po-
mocí vztahů (1.17) a (1.18). Pro dva rovnoběžné povrchy platí:
1,2 1F [-] (1.24)
1 2A A A [m2] (1.25)
Když dosadíme (1.24) a (1.25) postupně do (1.18) a (1.17), dostáváme po úpravách:
3
1,21,2 1 2 1,2 1 2( ) 4rΦ A h T T A T T T [W] (1.26)
kde ε1,2 je emisivita vzájemného sálání obou povrchů podle (1.21)
1,2T střední absolutní teplota sálajících povrchů v K podle (1.19).
A1
A2
A1
A2
1.1.5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze
Při jasné, bezoblačné obloze mohou tělesa na zemském povrchu emitovat sálavý tepelný tok proti
vrchním vrstvám atmosféry. Jasnou oblohu si tedy můžeme představit jako fiktivní povrch s velmi
nízkou teplotou. Zdánlivou teplotu jasné oblohy sky je možné odhadnout v závislosti na teplotě ven-
kovního vzduchu a takto:
1,2 14sky a pro vodorovný povrch [°C] (1.27)
1,1 5sky a pro svislý povrch [°C] (1.28)
Při zatažené obloze se teplota oblohy uvažuje shodná s teplotou venkovního vzduchu (oblačnost brání
sálavé výměně mezi tělesy na zemském povrchu a vrchními vrstvami atmosféry):
sky a [°C] (1.29)
1.1.6 Sluneční záření
Sluneční záření je rovněž formou sálavého tepelného toku. Hustotu tohoto sálavého toku budeme
v této publikaci nazývat intenzitou slunečního záření I [W/m2]. Sluneční záření se skládá z přímé a
difuzní složky. Intenzitu obou složek je možné změřit, jejich součet se nazývá celková (globální) in-
tenzita slunečního záření. V této publikaci se pracuje pouze s celkovou intenzitou slunečního záření
jako s okrajovou podmínkou převzatou např. z meteorologických záznamů.
Sluneční záření se po dopadu na povrch nepropustného tělesa částečně odrazí a zbývající část je na
povrchu tělesa pohlcena ve formě tepla ( = 0; stavební materiály kromě skla a průsvitných plastů). Absorbované teplo se může dále šířit:
vedením uvnitř tělesa
prouděním a dlouhovlnným sáláním z povrchu tělesa do okolního prostředí
Po dopadu slunečního záření na vnější povrch tělesa z propustného materiálu (sklo, průsvitné plasty)
je část sálavého toku odražena, část propuštěna přímo a část pohlcena ve formě tepla. Absorbované
teplo se může dále šířit:
prouděním a dlouhovlnným sáláním z vnějšího povrchu tabule do venkovního prostředí
vedením od vnějšího povrchu tabule k vnitřnímu a z vnitřního povrchu dále prouděním a dlouho-vlnným sáláním do vnitřního prostředí
Energie slunečního záření se tedy skrz skleněnou tabuli šíří (Obr. 1-6):
přímo, ve formě krátkovlnného sálání (propuštěné sluneční záření)
nepřímo, ve formě tepla předaného z vnitřního povrchu tabule
Obr. 1-6: Rozklad slunečního záření při prostupu propustným prvkem (např. skleněnou tabulí)
propustný prvek
sálavý tok
teplo
I [W/m2]
qa = ·qr
qref = ·qr
qt = ·qr
qai
qae
Poměr mezi intenzitou slunečního záření dopadajícího na vnější povrch tabule a hustotou tepelného
toku předanou přímo i nepřímo do vnitřního prostředí se nazývá celková propustnost slunečního záře-
ní g [-]:
t aiq qgI
[-] (1.30)
kde g je celková propustnost slunečního záření
qt hustota tepelného toku sáláním (sluneční záření), které prostupuje přímo
qai hustota tepelného toku, prostupující nepřímo
I intenzita slunečního záření dopadající na vnější povrch
Stejným způsobem se definuje celková propustnost slunečního záření pro zasklívací jednotky (dvoj-
sklo, trojsklo), rozklad slunečního záření je složitější. Celková propustnost slunečního záření je závis-
lá na vlastnostech skla, jeho povrchu, úhlu dopadu slunečního záření a podmínkách, které ovlivňují
přestup tepla z vnitřního povrchu do vnitřního prostředí. Výrobci průsvitných prvků uvádějí hodnoty g
stanovené pro standardizované podmínky.
1.1.7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách
V nevětraných vzduchových dutinách se teplo šíří vedením, prouděním i sáláním. Celkovou hustotu
tepelného toku z jednoho povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu na druhý lze určit jako součet
dílčích hustot tepelných toků
rccd qqqq [W/m2] (1.31)
kde qcd je hustota tepelného toku vedením ve W/m2
qc hustota tepelného toku prouděním ve W/m2
qr hustota tepelného toku sáláním ve W/m2.
Jednotlivé hustoty tepelných toků jsou definovány jako
21
d
qcd [W/m2] (1.32)
1 2c cq h [W/m2] (1.33)
1 2r rq h [W/m2] (1.34)
takže celkovou hustotu tepelného toku nevětranou vzduchovou dutinou lze vyjádřit také vztahem
21
rc hh
dq [W/m2] (1.35)
kde je součinitel tepelné vodivosti nehybného vzduchu (obvykle se uvažuje hodno-tou 0,025 W/(mK))
d tloušťka vzduchové dutiny ve směru tepelného toku v m
θj teplota j-tého povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu ve C.
1.1.8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla
Prostup tepla konstrukcí standardně zahrnuje jednak šíření tepla vedením samotnou konstrukcí (resp.
šíření tepla vedením, sáláním a prouděním v nevětraných vzduchových dutinách v konstrukci) a jed-
nak dvojí přestup tepla mezi povrchem konstrukce a okolním vzduchem (Obr. 1-7).
Obr. 1-7: Průběh teploty v jednovrstvé konstrukci s vyznačením přestupu a vedení tepla
Na vnitřním i vnějším povrchu konstrukce dochází k přestupu tepla prouděním a sáláním. Pro vnitřní
povrch lze hustotu tepelného toku prouděním a sáláním vyjádřit jako
siisisi hq [W/m2] (1.36)
kde hsi je součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu konstrukce ve W/(m2.K)
i teplota vnitřního vzduchu ve C
si teplota vnitřního povrchu konstrukce ve C.
Pro hustotu tepelného toku na vnějším povrchu se použije analogický vztah
esesese hq [W/m2] (1.37)
kde hse je součinitel přestupu tepla na vnějším povrchu konstrukce ve W/(m2.K)
e teplota vnějšího vzduchu ve C
se teplota vnějšího povrchu konstrukce ve C.
Hustotu tepelného toku vedením uvnitř konstrukce lze vyjádřit vztahem
sesicdd
q
[W/m2] (1.38)
který platí v této formě pro jednovrstvou konstrukci. V ustáleném stavu je hustota tepelného toku ve
všech místech konstrukce (tedy i na jejím povrchu) shodná. Platí tedy
sesicd qqq [W/m2] (1.39)
i si
se e
přestup přestup vedení
d x
Do vztahu (1.38) lze proto dosadit vyjádření povrchových teplot ze vztahů (1.36) a (1.37) a získat
vyjádření hustoty tepelného toku konstrukcí ve tvaru
sesi
ei
h
d
h
q11
[W/m2] (1.40)
Obrácené hodnoty součinitelů přestupu tepla se obvykle nahrazují tepelnými odpory při přestupu tepla
na vnitřním a na vnějším povrchu konstrukce:
si
sih
R1
[m2K/W] (1.41)
se
seh
R1
[m2K/W] (1.42)
a vztah (1.40) pak přechází do tvaru
sesi
ei
Rd
R
q
[W/m2] (1.43)
Tepelné odpory při přestupu tepla Rsi a Rse se v technické praxi uvažují smluvními hodnotami.
Pro odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi se používají hodnoty 0,13 W/(m2.K) pro vodo-
rovný tepelný tok; 0,10 W/(m2.K) pro tepelný tok vzhůru a 0,17 W/(m2.K) pro tepelný tok dolů. Pro
odpor při přestupu tepla na vnějším povrchu Rse se používají hodnoty 0,04 W/(m2.K) pro povrchy
v kontaktu s venkovním vzduchem; 0,13 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťo-
vých stěnách; 0,10 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťových střechách a
0,0 W/(m2.K) pro povrchy v kontaktu se zeminou.
Podíl tloušťky a součinitele tepelné vodivosti definuje tepelný odpor konstrukce, který lze pro obecně
vícevrstvou konstrukci vyjádřit jako
dR [m2K/W] (1.44)
kde d je tloušťka vrstvy konstrukce v m
součinitel tepelné vodivosti vrstvy konstrukce ve W/(m.K).
Součet tepelného odporu a tepelných odporů při přestupu tepla se označuje jako tepelný odpor při
prostupu tepla
sesiT RRRR [m2K/W] (1.45)
Jeho obrácená hodnota vyjadřuje základní tepelně technický parametr stavební konstrukce - součinitel
prostupu tepla, pro který se standardně používá vztah
sesiT RRRRU
11 [W/(m2.K)] (1.46)
Dosadíme-li odvozené veličiny do vztahu (1.40), můžeme hustotu tepelného toku konstrukcí vyjádřit
také jako
eiT
ei
sesi
ei URRRR
q
[W/m2] (1.47)
1.1.9 Vliv tepelných mostů
Obsahuje-li konstrukce vrstvy, v nichž se vyskytují pravidelně se opakující (systematické) tepelné
mosty, je nutné jejich vliv zohlednit. Pro ruční výpočet je vhodné orientační zohlednění vlivu tepel-
ných mostů s pomocí váženého průměru, kterým se vypočte součinitel prostupu tepla vrstvy
s tepelnými mosty
j
jj
eqA
A [W/(m.K)] (1.48)
kde Aj je průřezová plocha j-tého materiálu v charakteristickém výseku v m2
j součinitel tepelné vodivosti j-tého materiálu v charakteristickém výseku ve W/(m.K).
1.1.10 Teplo procházející konstrukcí
Množství tepla procházející konstrukcí (tepelná ztráta či zisk) se stanoví ze vztahu
eiUA [W] (1.49)
kde A je plocha konstrukce v m2.
Množství tepla, které projde konstrukcí za určitý časový úsek, se určí jako
ttUAQ ei [Wh] (1.50)
kde t je délka časového úseku v h.
Zadá-li se délka časového úseku v sekundách, vyjde množství tepla ve Ws, tedy v J.
1.1.11 Rozložení teploty v konstrukci
Průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu lze stanovit buď graficky, nebo výpočtem.
Grafická metoda vyžaduje vytvoření grafu, na jehož svislou osu se vynášejí teploty a na vodorovnou
osu tepelné odpory jednotlivých vrstev konstrukce a tepelné odpory při přestupu tepla. Průběh teploty
je reprezentován přímkou spojující známou teplotu vnitřního vzduchu i a známou teplotu venkovního
vzduchu e. Teplota v libovolném místě konstrukce se odečte přímo z grafu (Obr. 1-8).
Pro analytické řešení se vyjde z již jednou použitého pravidla o shodné hustotě tepelného toku ve
všech místech konstrukce. Hustota tepelného toku celou skladbou musí být tedy stejná jako hustota
tepelného toku přes část konstrukce od interiéru k bodu x:
xqq [W/m2] (1.51)
což lze vyjádřit také ve tvaru
sesi
ei
xsi
xi
RRRRR
[W/m2] (1.52)
kde Rx je tepelný odpor od vnitřního povrchu k místu x v m2.K/W.
Obr. 1-8: Grafické stanovení průběhu teploty v konstrukci o 3 vrstvách
Úpravou vztahu (1.52) lze získat rovnici pro průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu
xsieiixsisesi
eiix RRURR
RRR
[C] (1.53)
z níž lze odvodit i vztah pro přímý výpočet vnitřní povrchové teploty
eisiisisesi
eiisi RUR
RRR
[C] (1.54)
a vnější povrchové teploty
RRURRRRR
sieiisi
sesi
eiise
[C] (1.55)
kde R je celkový tepelný odpor konstrukce v m2.K/W.
Na závěr zbývá upozornit, že pro výpočty vnitřní povrchové teploty se v technické praxi používá od-
por při přestupu tepla na vnitřní straně konstrukce Rsi = 0,13 m2.K/W pro výplně otvorů a Rsi = 0,25
m2.K/W pro ostatní konstrukce.
Rsi Rse R1 R2 R3
R
x
i
e
Rx
1.1.12 Elektrická analogie
Všimněme si podobnosti mezi vztahy pro výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sálá-
ním:
1 21
cdqR
[W/m2] (1.56)
1 21
cc
qR
[W/m2] (1.57)
1 21
rr
qR
[W/m2] (1.58)
kde R je tepelný odpor vrstvy nebo konstrukce v m2.K/W
Rc tepelný odpor při přestupu prouděním v m2.K/W
Rs tepelný odpor při přestupu sáláním v m2.K/W
Pro tepelné odpory při přestupu platí:
1c
c
Rh
[m2.K/W] (1.59)
1r
r
Rh
[m2.K/W] (1.60)
kde hc je součinitel přestupu tepla prouděním v W/m2.K
hr součinitel přestupu tepla sáláním v W/m2.K
Vztahy (1.56) až (1.58) jsou podobné Ohmovu zákonu pro elektrický obvod (Obr. 1-9):
1 21U
I G UR R
[A] (1.61)
kde I je intenzita elektrického proudu v A
G elektrická vodivost v S (Siemens, S = m−2·kg−1·s3·A2 = Ω−1)
U elektrické napětí (rozdíl elektrických potenciálů) ve V
R elektrický odpor v Ω
j elektrický potenciál v uzlu j ve V
Obr. 1-9: Schéma elektrického obvodu, Ohmův zákon
Analogie mezi elektrickým proudem v elektrickém obvodu a šířením tepla je zřejmá. Intenzita elek-
trického proudu mezi dvěma uzly elektrického obvodu závisí na odporu a rozdílu potenciálu mezi
uzly. Čím větší je rozdíl potenciálu (napětí), tím větší je intenzita elektrického proudu. Se zvyšujícím
se odporem intenzita elektrického proudu klesá. To samé platí pro vztah mezi tepelným tokem (nebo
hustotou tepelného toku), rozdílem teploty a tepelným odporem (Tab. 1-1).
U
I R
Tab. 1-1: Elektrická analogie
Elektrická veličina Tepelná veličina
elektrický potenciál [V] teplota [°C], T [K]
elektrické napětí U = 1 - 2 [V] rozdíl teplot = 1 – 2 [°C], T = T1 – T2 [K]
elektrický odpor R [Ω] tepelný odpor R [m2.K/W] (tepelný odpor vrstvy,
souvrství, konstrukce, odpor při přestupu tepla nebo
odpor při prostupu tepla)
elektrická vodivost 1
GR
[S] obrácená hodnota tepelného odporu K [W/(m2.K)]:
obrácená hodnota tepelného odporu vrstvy, sou-
vrství nebo konstrukce 1
KR
součinitel přestupu tepla (obrácená hodnota od-
poru při přestupu tepla) 1
K hR
součinitel prostupu tepla (obrácená hodnota od-
poru při prostupu tepla) 1
T
K UR
intenzita elektrického proudu
1 21U
I G UR R
[A]
hustota tepelného toku
1 2 1 21
q KR
[W/m2]
tepelný tok
1 2 1 21
A A KR
[W]
Elektrická analogie pomáhá při řešení tepelných problémů. Umožňuje přehledné, schématické zobra-
zení problému a zápis matematického modelu pro jeho řešení. Tepelný problém si můžeme představit
jako elektrický obvod sestavený z větví, které se spojují v uzlech. Větve s tepelnými odpory a dalšími
prvky podle Tab. 1-2 se uspořádají tak, že každá reprezentuje určitý způsob šíření tepla nebo „cestu“
pro šíření tepla (např. přestup tepla sáláním na vnitřním povrchu v modelu stěny nebo prostup tepla
oknem v modelu budovy – Obr. 1-10). Uzly reprezentují „místa“ se známou (předepsanou) nebo ne-
známou teplotou - např. povrch konstrukce, rozhraní mezi vrstvami konstrukce nebo teplotu vzduchu
v místnosti.
Pro uzel v elektrickém obvodu platí, že součet intenzit elektrického proudu, které vstupu jí do uzlu je
rovný součtu intenzit vystupujících v uzlu (první Kirchhoffův zákon). To samé platí v ustáleném stavu
pro tepelné toky vstupující a vystupující z uzlu – jejich součet je rovný nule a teplota v uzlu se nemě-
ní. V neustáleném stavu1 nemusí být součty vstupujících a vystupujících tepelných toků navzájem
sobě rovné. V uzlu se akumuluje teplo, což se projeví změnou teploty v čase. Změna teploty je úměrná
tepelné kapacitě, kterou je potřeba uzlu přiřadit. Tato pravidla jsou klíčová pro řešení tepelných pro-
blémů, protože umožňují sestavit tepelné bilance v jednotlivých uzlech.
1 Řešení problémů v neustáleném stavu není do této publikace zařazeno. Informace je zde uvedena pro
úplnost.
Obr. 1-10: Příklady tepelných problémů zobrazených pomocí elektrické analogie. Vlevo – prostup tepla stěnou.
Vpravo – tepelná bilance budovy.
Tab. 1-2 Základní prvky elektrické analogie
Prvek Matematický vztah Grafická značka
uzel 0jj
Φ
uzel s kapacitou (pro výpočty
v neustáleném stavu) d
dj
j
Φ Ct
odpor/vodivost 1 2 1 2
1Φ A A K
R
předepsaná teplota = 0
předepsaný tepelný tok (do
uzlu) = 0
Složitá schémata tepelných problémů s více odpory zapojenými sériově nebo paralelně je možné po-
stupně zjednodušovat podle pravidel známých z teorie elektrických obvodů (Tab. 1-3). To umožňuje
zjednodušit matematický model složitých problémů.
C
R,K
0
si se i e
vedení
stěnou
přestup
tepla
přestup
tepla
Rsi R Rse
si se i e
e
RT1
RT2
RT3
RT4
i
Qsol
1
2
3
4
Qsol
Tab. 1-3: Pravidla pro úpravy obvodů
Případ Schéma před úpravou Schéma po úpravě
Odpory/vodivosti zapojené
sériově
N
n
n
R R
1 2
1 1 1 1...
NK K K K
Odpory/vodivosti zapojené
paralelně
1 2
1 1 1 1...
NR R R R
N
n
n
K K
Více předepsaných teplot
N
n
n
K K
1 N
ekv n n
n
KK
1R
K
Více předepsaných tepelných
toků do jednoho uzlu
N
ekv n
n
Φ Φ
Předepsaná teplota s vodivostí a
předepsaný tok do jednoho uzlu
00
0
ekv
Φ
K
V tepelných problémech řešených ve stavební tepelné technice je často potřeba vypočítat neznámé
teploty. Při výpočtu v ustáleném stavu je možné postupovat např. takto:
určí se známé veličiny
určí se neznámé teploty
analyzuje se tepelné chování řešeného systému a jeho součástí
pokud je to potřeba, zavedou se zjednodušující předpoklady pro řešení problému
R1,K1
1
R2,K2
2
RN,KN
N 1
R,K
N
R1,K1
1 2
RN,KN
R2,K2 1
R,K
2
1
2
R1,K1
RN,KN
R2,K2
N
ekv
R,K
1
N
ekv
R0,K0
0
0
ekv
R0,K0
sestaví se schéma (model) problému pomocí elektrické analogie – je-li to možné, schéma se zjed-noduší pomocí známých pravidel, každá neznámá teplota však má mít ve schématu svůj uzel
pro každý uzel s neznámou teplotou se sestaví bilance tepelných toků - rovnice, která říká, že součet tepelných toků do uzlu se rovná součtu tepelných toků z uzlu
z bilančních rovnic se sestaví soustava rovnic, jejímž řešením jsou neznámé teploty
výsledek řešení se zkontroluje dosazením vypočítaných teplot zpět do bilančních rovnic
Podobným způsobem se může postupovat i v případech, kdy neznámá není teplota, ale jiná veličina,
např. tepelný tok nebo tepelný odpor nějakého prvku. Bilanční rovnice se sestaví pro vhodně zvolené
uzly tak, aby v nich figurovaly všechny neznámé veličiny.
Příklad použití elektrické analogie
Pro obvodovou stěnu z Obr. 1-10 se mají vypočítat povrchové teploty si a se. Známé veličiny:
vnitřní teplota i = 20°C
odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi = 0,13 m2.K/W
tepelný odpor stěny R = 3 m2.K/W
odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rse = 0,04 m2.K/W
venkovní teplota e = -10°C
Neznámé veličiny:
teplota vnitřního povrchu si
teplota vnějšího povrchu se
Sestavíme bilanci tepelných toků pro uzly, které reprezentují vnitřní a venkovní povrch stěny. Bilance
tepelných toků pro vnitřní povrch – hustota tepelného toku z uzlu i do uzlu si, q1, se musí rovnat
hustotě tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2:
1 2
1 1( ) ( )i si si se
si
q qR R
Bilance tepelných toků pro venkovní povrch – hustota tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2, se musí
rovnat hustotě tepelného toku z uzlu se do uzlu e, q3:
2 3
1 1( ) ( )si se se e
se
q qR R
Soustava rovnic:
1 1( ) ( )i si si se
siR R
1 1( ) ( )si se se e
seR R
Soustava rovnic po úpravě:
si si si se iR R R R
se si se se eR R R R
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot známých veličin:
3,13 0,13 60si se
3,13 0,13 60si se
Řešení:
si = 18,8 °C, se = -9,6 °C
1.2 Komplexní modelové příklady
1.2.1 Obvodová stěna 1
Zadání
Uvažujte obvodovou stěnu s touto skladbou (od interiéru):
železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K
tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K
pohledové zdivo z plných cihel tl. 150 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K
Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je noc, obloha je zatažená.
Fouká vítr o rychlosti 4 m/s.
Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete
průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.
Řešení
Známé veličiny:
tloušťky jednotlivých materiálových vrstev d3 až d3
součinitele tepelné vodivosti pro materiál každé vrstvy 1 až 3
teplota vnitřního vzduchu i = 20°C
teplota venkovního vzduchu e = -5 °C
rychlost větru v = 4 m/s
Neznámé veličiny:
teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových
vrstev 1,2 a 2,3
tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]
Další potřebné informace:
nejsou
Analýza problému:
Teplo se šíří skrz stěnu z vnitřního prostředí do vnějšího. Z vnitřního prostředí se teplo šíří na povrch
konstrukce prouděním a sáláním. Uvnitř konstrukce, mezi vnitřním a vnějším povrchem, se teplo šíří
vedením. Z vnějšího povrchu se teplo může do vnějšího prostředí šířit těmito způsoby:
prouděním (vítr)
sáláním proti obloze (oblohu si představujeme jako fiktivní povrch, jehož teplota závisí na oblač-nosti)
sáláním proti povrchu země (terénu)
sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)
Kromě toho může výměnu tepla na vnějším povrchu ovlivnit také sluneční záření. Protože uvažujeme
noční zataženou oblohu, můžeme rovnou říci, že se slunečním zářením počítat nebudeme.
Hustota tepelného toku prouděním z vnějšího povrchu stěny závisí na rychlosti větru. Pro výpočet
hustoty každého z výše uvedených tepelných toků sáláním je potřeba dopředu odhadnout teploty sála-
jících povrchů (včetně teploty vnějšího povrchu řešené stěny) a jejich vzájemné poměry sálání. Poměr
sálání Fi,j dvou povrchů přitom závisí na jejich vzájemném prostorovém uspořádání.
Schéma problému:
Obr. 1-11: Schéma problému
Předpoklady řešení:
ustálený stav
předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)
protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =
0,13 m2·K/W
přestup tepla z vnějšího povrchu by bylo možné, při zadaných podmínkách, přibližně započítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla Rse = 0,04 m2·K/W (tato hodnota byla stanovena
pro podobné podmínky jako v tomto příkladu. My však pro výpočet přestupu tepla sestavíme po-
drobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup
tepla prouděním a sáláním
pro odhad součinitele přestupu tepla prouděním použijeme vztah hce = 4 + 4·v (kap. 1.1.2) a bu-deme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s
budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota zatažené oblohy je stejná, jako teplota venkovního vzduchu (rozumný předpoklad běžně používaný pro podobné případy)
teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles při zatažené obloze budeme zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplota venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mezi tělesy na
zemském povrchu a jasnou oblohou – viz následující příklad). Všechna tělesa, vůči kterým může
vnější povrch stěny sálat, můžeme tedy souhrnně chápat jako jediný povrch s jedinou (sálavou)
povrchovou teplotou r = e. Problém se zjednodušuje na případ sálání dvou povrchů se vzájem-ným poměrem sálání F12 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok z povrchu 1 (vnější stěna) dopadá přímo,
bez odrazů na povrch 2 („náhradní“ povrch), což v tomto případě platí). Navíc, plocha stěny A1
je zanedbatelně malá oproti ploše tohoto „náhradního“ povrchu A2 a jejich vzájemný poměr A1/ A2
můžeme považovat za rovný nule.
tento předpoklad nám podstatně zjednoduší výpočet – především proto, že nebudeme muset sta-novovat poměry sálání povrchu stěny a každého dalšího sálajícího povrchu. Takový výpočet je
3 2 1
qsi q1 q2 q3
i
povrch země r = e
r = e okolní povrchy
qre
si 1,2 2,3 se
e qce
qre
qre
zatažená
obloha
r = e
Rsi R1 R2 R3
si 1,2 2,3 se i
hre
hce
e
obecně komplikovaný a v našem případě nemožný, neboť nemáme informace o poloze okolních
těles a povrchu země.
pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu stěny musíme dopředu odhad-nout jeho teplotu – budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota vnějšího povrchu je rovná tep-
lotě vnějšího vzduchu se = e
Postup řešení:
sestavíme bilanci tepelných toků pro všechna místa v konstrukci, kde chceme zjistit teplotu – pro vnitřní povrch, vnější povrch a obě rozhraní materiálových vrstev
předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k libovolnému místu v konstrukci a směrem z tohoto místa musí být rovný nule
získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev
řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3
správnost výsledku zkontrolujeme
vypočítáme tepelnou ztrátu konstrukce
vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární
Bilance tepelných toků:
vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q
rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q
rozhraní vrstev 2, 3: 2 3q q → 2 3 0q q
vnější povrch: 3 ce req q q → 3 0ce req q q
Hustoty tepelných toků:
1( ) ( )si i si si i si
si
q hR
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( )si siq K
R
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( )q K
R
3 2,3 3 2,3
3
1( ) ( )se seq K
R
( )ce ce se eq h
( )re re se eq h
Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-počítají):
1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K
1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K
2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K
3 2,3( ) ( ) ( ) 0se ce se e re se eK h h
Po roznásobení:
1 1 1,2 0si i si si sih h K K
1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K
2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K
3 2,3 3 0se ce se ce e re se re eK K h h h h
Po úpravách:
1 1 1,2( )si si si ih K K h
1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K
2 1,2 2 3 2,3 3( ) 0seK K K K
3 2,3 3( ) ( )ce re se se re eK K h h h h
Vyčíslení:
Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí jednotlivých vrstev je uspořádán do tabulky:
Tab. 1-4: Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí
Vrstva
i [ - ]
Materiál Tloušťka
di
[m]
Tepelná vodivost
i
[W/m·K]
Tepelný odpor
Ri = di /i
[m2·K/W]
Tepelná vodivost
Ki = 1/ Ri
[W/m2·K]
1 železobeton 0,2 1,6 0,125 8
2 tepelná izolace 0,15 0,05 3 0,333
3 zdivo z plných cihel 0,15 1 0,15 0,667
Tepelný odpor konstrukce R = ΣRi 3,275 0,305
21 1 7,692 W/(m K)0,13
si
si
hR
Součinitel přestupu tepla prouděním na vnějším povrchu vypočítáme z rychlosti větru v = 4 m/s (viz
Předpoklady řešení):
24 4 4 4 4 20 W/(m K)ceh v
Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z obecného vztahu pro sálání mezi
dvěma povrchy:
3
1,2
1 2 1
1 1,2 2 2
4
1 11reT
hA
F A
Protože uvažujeme F1,2 = 1 a A1/A2 = 0, zjednoduší vztah takto (indexem 1 se značí vnější povrch stě-
ny, indexem 2 souhrnně všechny ostatní sálající povrchy s teplotou r = e – viz Předpoklady výpo-
čtu):
3 3
1,2 1,2 3
1 1,21 2 1 1
1 2 1 1
4 44
1 1 110 0
1
re
T Th T
Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e (viz Předpoklady řešení) a r = e:
1 21,2
( 273,15) ( 273,15) ( 5 273,15) ( 5 273,15)268,15 K
2 2 2
se rT TT
Po dosazení do vztahu pro hre:
3 8 3 2
1 1,24 4 5,67 10 0,9 268,15 3,94 W/(m K)reh T
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:
1,215,692 8 153,846si
1,2 2,38 8,333 0,333 0si
1,2 2,30,333 7 6,667 0se
2,30,667 30,602 119,678se
Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.
Výsledky:
Teploty (po zaokrouhlení):
si = 19,1 °C
1,2 = 18,2 °C
2,3 = -3,6 °C
se = -4,7 °C
Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:
Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-
krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost
dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).
21 ( ) ( ) 7,692 (20 19,1) 7,253 W/msi i si si i sisi
q hR
2
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( ) 8 (19,1 18,2) 7,253 W/msi siq K
R
2
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( ) 0,333 (18,2 3,6) 7,253 W/mq K
R
2
3 2,3 3 2,3
3
1( ) ( ) 6,667 ( 3,6 4,7) 7,253 W/mse seq K
R
21 ( ) ( ) 25 ( 4,7 5) 7,257 W/mse se e se se ese
q hR
Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme
dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce q:
2
1 2 3
1 1( ) (19,1 4,7) 7,253 W/m
3,275si seq
R R R
Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,3 W/m2.
Průběh teploty je vynesen do grafu:
Obr. 1-12: Výsledný průběh teploty
1.2.2 Obvodová stěna 2
Zadání
Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a
teplota venkovního vzduchu -5°C. Uvažujte jasnou noc a vítr o rychlosti 4 m/s.
Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete
průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.
Řešení
Známé veličiny:
tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnos-ti K1 až K3 (z předchozího příkladu)
teplota vnitřního vzduchu i = 20°C
teplota venkovního vzduchu e = -5 °C
rychlost větru v = 4 m/s
Neznámé veličiny:
teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových
vrstev 1,2 a 2,3
tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]
Další potřebné informace:
emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny
Pro povrch zdiva z červených cihel můžeme použít hodnotu emisivity = 0,9 (viz Přílohu 1).
Analýza problému:
Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozím
příkladu. Na vnějším povrchu dochází k přestupu tepla z povrchu do vnějšího prostředí těmito způso-
by:
prouděním (vítr)
sáláním proti jasné obloze (obloha není zakryta oblačností, na rozdíl od předchozího příkladu je teplota jasné oblohy výrazně nižší než teplota vnějšího vzduchu)
sáláním proti povrchu země (terénu)
sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)
Schéma problému:
Obr. 1-13: Schéma problému
Předpoklady řešení:
ustálený stav
předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)
protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =
0,13 m2·K/W
přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze
pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním
součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejným způsobem jako v předchozím příkla-du
teplotu jasné oblohy sky [°C] odhadneme v závislosti na teplotě vnějšího vzduchu e [°C] takto (platí pro případ svislého povrchu stěny, kap. 0):
1,1 5 1,1 ( 5) 5 10,5 Csky e
součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme podobně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy (tentokrát jako teplotu jasné oblohy sky). Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnější-
ho vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.
Postup řešení:
sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny
předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule
Rsi R1 R2 R3
si 1,2 2,3 se i
e
hre
hce
sky
3 2 1
qsi q1 q2 q3
i
povrch země r = sky
r = sky okolní povrchy
qre
si 1,2 2,3 se
e qce
qre
qre
jasná
obloha
r = sky
bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozího příkladu – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad
získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev
řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se
správnost výsledku zkontrolujeme
z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí
vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární
Bilance tepelných toků:
vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q
rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q
rozhraní vrstev 2, 3: 2 3q q → 2 3 0q q
vnější povrch: 3 ce req q q → 3 0ce req q q
Hustoty tepelných toků:
Pro výpočet hustot tepelných toků qsi a q1 až q3 platí vztahy uvedené v předchozím příkladu. Pro hus-
toty tepelných toků z vnějšího povrchu stěny platí:
( )ce ce se eq h
( )re re se skyq h
V hustotě tepelného toku qre je souhrnně započítáno sálání vnějšího povrchu stěny proti obloze, okol-
ním povrchům i povrchu země (viz Předpoklady řešení)
Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-počítají):
1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K
1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K
2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K
3 2,3( ) ( ) ( ) 0se ce se e re se skyK h h
Po roznásobení:
1 1 1,2 0si i si si sih h K K
1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K
2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K
3 2,3 3 0se ce se ce e re se re skyK K h h h h
Po úpravách:
1 1 1,2( )si si si ih K K h
1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K
2 1,2 2 3 2,3 3( ) 0seK K K K
3 2,3 3( )ce re se ce e re skyK K h h h h
Vyčíslení:
Tepelné odpory a tepelné propustnosti vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro
tento příklad zůstávají stejné. Stejná zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla hsi a hce.
Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z upraveného vztahu (odvození z
obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy – viz předchozí příklad):
3
1 1,24reh T
Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e a sky = -10,5 °C (viz Předpoklady řešení):
3 31 21,2
( 273,15) ( 273,15) ( 5 273,15) ( 10,5 273,15)265,4 K
2 2 2
se skyT TT
Po dosazení do vztahu pro hre:
3 8 3 2
1 1,24 4 5,67 10 0,9 265,4 3,82 W/(m K)reh T
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:
1,215,692 8 153,846si
1,2 2,38 8,333 0,333 0si
1,2 2,30,333 7 6,667 0se
2,30,667 30,482 140,066se
Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.
Výsledky:
Teploty (po zaokrouhlení):
si = 19 °C
1,2 = 18,1 °C
2,3 = -4,4 °C
se = -5,6 °C
Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:
Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-
krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost
dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).
21 ( ) ( ) 7,692 (20 19) 7,508 W/msi i si si i sisi
q hR
2
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( ) 8 (19 18,1) 7,508 W/msi siq K
R
2
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( ) 0,333 (18,1 4,4) 7,508 W/mq K
R
2
3 2,3 3 2,3
3
1( ) ( ) 6,667 (4,4 5,6) 7,508 W/mse seq K
R
2( ) ( ) 20 ( 5,6 5) 3,816 ( 5,6 10,5) 7,508 W/mse ce re ce se e re se skyq q q h h
Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme
dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce:
2
1 2 3
1 1( ) (19 5,6) 7,508 W/m
3,275si seq
R R R
Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,5 W/m2.
Průběh teploty je vynesen do grafu:
Obr. 1-14: Výsledný průběh teploty
1.2.3 Obvodová stěna 3
Zadání
Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a
teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na stěnu dopadá sluneční záření s celkovou
intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m2 povrchu stěny). Fouká vítr o rychlosti 4 m/s.
Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete
průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.
Řešení
Známé veličiny:
tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnos-ti K1 až K3 (z předchozích příkladů)
teplota vnitřního vzduchu i = 20°C
teplota venkovního vzduchu e = -5 °C
emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu)
teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C, sky = -10,5 °C (z předcho-zího příkladu)
celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W
Neznámé veličiny:
teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si a se, a teploty na rozhraní materiálových
vrstev 1,2 a2,3
tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]
Další potřebné informace:
pohltivost slunečního záření pro vnější povrch sol [ - ]
Pro povrch přizdívky z plných cihel můžeme použít hodnotu sol = 0,75 (viz Přílohu 2)
Analýza problému:
Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozích
dvou příkladech. V tomto příkladu je ovšem tepelná bilance vnějšího povrchu navíc ovlivněna sluneč-
ním zářením. Část energie slunečního záření dopadajícího na vnější povrch stěny je pohlcena – pře-
mění se na teplo. Povrch stěny se ohřeje, jeho teplota bude vyšší než teplota vnějšího vzduchu. Do-
chází k šíření (přestupu) tepla z vnějšího povrchu do vnějšího prostředí:
prouděním (vítr)
dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu
dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou obloha si představujeme jako povrch s velmi nízkou teplotou)
Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme
postupovat obdobně.
Teplota vnějšího povrchu bude záviset na vzájemném poměru tepelných zisků (tepelný tok stěnou
z vnitřního prostředí a pohlcená energie slunečního záření) a ztrát (tepelný tok prouděním a sáláním
do vnějšího prostředí). Pokud bude výsledná teplota vnějšího povrchu vyšší, než teplota vnitřního
povrchu (se > si), bude se teplo z vnějšího povrchu šířit také směrem k vnitřnímu povrchu. Pokud
bude (se < si), bude se teplo šířit konstrukcí z vnitřního povrchu směrem k vnějšímu – podobně jako v případě bez slunečního záření, který jsme zvyklí uvažovat v běžných výpočtech. Zatím budeme
předpokládat, že se < si.
Schéma problému:
Schéma problému je uvedeno na Obr. 1-15
Předpoklady řešení:
ustálený stav
předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)
protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =
0,13 m2·K/W
přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv sluneč-
ního záření
pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního
záření
součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejně jako v předchozím příkladu (opět bu-deme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s)
součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou
podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.
Předpoklad, že teplota povrchu země a ostatních okolních povrchů se shoduje s teplotou jasné oblohy
je konzervativní. V případě jasné oblohy s poměrně intenzivním slunečním zářením bude skutečná
povrchová teplota terénu a těles na zemském povrchu pravděpodobně vyšší, možná bližší teplotě ven-
kovního vzduchu. Naší volbou pravděpodobně opět nadhodnotíme tepelnou ztrátu stěny, tentokrát
významněji, než v předchozím příkladu.
Obr. 1-15: Schéma problému
Postup řešení:
sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny
předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule
bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozích příkladů – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad
získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev
řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se
správnost výsledku zkontrolujeme
z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí
vykreslíme průběh teploty
Bilance tepelných toků:
vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q
rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q
rozhraní vrstev 2, 3: 2 3q q → 2 3 0q q
vnější povrch: 3 sol ce req q q q → 3 0sol ce req q q q
Hustoty tepelných toků:
Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi , q1 až q3, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako
v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Hustota tepelného toku ze slunečního záření se vypočítá
takto:
3 2 1
qsi q1 q2 q3
i
povrch země r = sky
r = sky okolní povrchy
qre
si 1,2 2,3 se
e qce
qre
qre
jasná
obloha
rsky
qsol
sluneční
záření
Rsi R1 R2 R3
si 1,2 2,3 se i e
hce
hre
sky
qsol
sol sol solq I
Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-počítají):
1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K
1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K
2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K
3 2,3( ) ( ) ( ) 0se sol ce se e re se skyK I h h
Po roznásobení:
1 1 1,2 0si i si si sih h K K
1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K
2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K
3 2,3 3 0sol se ce se ce e re se re skyK I K h h h h
Po úpravách:
isisisi hKKh 2,111)(
0)( 3,222,1211 KKKK si
0)( 33,2322,12 seKKKK
skyreecesolserece hhIhhKK )( 33,23
Vyčíslení:
Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a
pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním
povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre.
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:
1,215,692 8 153,846si
1,2 2,38 8,333 0,333 0si
1,2 2,30,333 7 6,667 0se
2,30,667 30,482 159,934se
Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.
Výsledky:
Teploty (po zaokrouhlení):
si = 19,5 °C
1,2 = 19,0 °C
2,3 = 7,5 °C
se = 6,9 °C
Průběh teploty je vynesen do grafu:
Obr. 1-16: Výsledný průběh teploty
Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:
Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-
krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost
dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).
21 ( ) ( ) 7,692 (20 19,5) 3,854 W/msi i si si i sisi
q hR
2
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( ) 8 (19,5 19) 3,854 W/msi siq K
R
2
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( ) 0,333 (19 7,5) 3,854 W/mq K
R
2
3 2,3 3 2,3
3
1( ) ( ) 6,667 (7,5 6,9) 3,854 W/mse seq K
R
Hustota tepelného toku mezi povrchy konstrukce:
2
1 2 3
1 1( ) (19,5 6,9) 3,854 W/m
3,275si seq
R R R
Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Liší se ovšem hodnota
hustoty tepelného toku z vnějšího povrchu stěny do vnějšího prostředí:
2( ) ( ) 20 (6,9 5) 3,816 (6,9 10,5) 303,854 W/mse ce re ce se e re se skyq q q h h
Rozdíl hustoty tepelného toku qse a hustoty tepelného toku v jiných místech konstrukce je přesně 300
W/m2 = qsol = sol · Isol. Rovnováha tepelných toků na vnějším povrchu je tedy zachována:
3 3 3,854 300 303,854 0sol ce re sol seq q q q q q q
Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 3,9 W/m2.
1.2.4 Obvodová stěna 4
Zadání
Uvažujte podobnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Vnější přizdívka z pohledových
cihel se však nahradí stejně tlustou neprovětrávanou vzduchovou mezerou. Ta je z vnitřní strany vy-
mezena povrchem tepelné izolace a z vnější strany skleněnou tabulí. Na povrchu tepelné izolace (smě-
rem do vzduchové dutiny) je z výroby nanesena tenká difuzní fólie černé barvy. Skladba konstrukce
(od interiéru):
železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K
tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K
difuzní fólie, černá barva, tl. 0,3 mm, tepelná vodivost 0,2 W/m·K
neprovětrávaná vzduchová mezera, tl. 150 mm
čiré sklo, tl. 4 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K
Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na
stěnu dopadá sluneční záření s celkovou intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m2 povrchu stěny). Fou-
ká vítr o rychlosti 4 m/s.
Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete
průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.
Řešení
Známé veličiny:
tepelné vlastnosti materiálových vrstev 1 a 2: tepelné odpory R1 a R2, tepelné propustnosti K1 a K2 (z předchozích příkladů)
tloušťka vzduchové mezery (vrstva 4): d4
tloušťky materiálových vrstev 3 a 5: d3 a d5
součinitele tepelné vodivosti pro materiál vrstev 3 a 5: 3 a 5
barva vnějšího povrchu vrstvy 3: černá
emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu)
teplota vnitřního vzduchu i = 20°C
teplota venkovního vzduchu e = -5 °C
rychlost větru v = 4 m/s
teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C sky = -10,5 °C (z předchozí-ho příkladu)
celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W
Neznámé veličiny:
teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových
vrstev 1,2, 2,3, 3,4 a 4,5
tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]
Další potřebné informace:
emisivita vnějšího povrchu stěny – povrchu skleněné tabule vymezující vzduchovou vrstvu
pohltivost slunečního záření pro vnější povrch stěny – pro povrch skleněné tabule
propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli
emisivita vnějšího povrchu difuzní fólie
pohltivost slunečního záření pro vnější povrch difuzní fólie
Emisivita skla je velmi podobná jako emisivita ostatních stavebních materiálů. Použijeme hodnotu = 0,92 podle Přílohy 1. Sklo je propustné pro sluneční záření, proto je pohltivost slunečního záření po-
vrchu čirého skla nízká. Použijeme hodnotu sol = 0,05. Propustnost slunečního záření pro sklo tl. 4 mm je při kolmém dopadu slunečních paprsků přibližně 0,85. Propustnost slunečního záření je sice
závislá na úhlu dopadu slunečních paprsků, ale v rozmezí 0° (kolmo na povrch) a 45° se příliš nemění.
Propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli budeme tedy uvažovat konzervativně = 0,8.
Emisivitu povrchu difuzní fólie odhadneme – použijeme hodnotu pro střešní lepenku = 0,93. Pro
povrch difuzní folie můžeme použít hodnotu pohltivosti slunečního záření sol = 0,92 (černý, nekovo-vý povrch, Příloha 2).
Analýza problému:
Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu difuzní fólie je stejný jako
v předchozích dvou příkladech. Vnější povrch difuzní fólie vymezuje vzduchovou mezeru. Z vnějšího
povrchu difuzní fólie se teplo šíří skrz vzduchovou mezeru na vnitřní povrch skleněné tabule všemi
třemi způsoby:
vedením
prouděním
sáláním.
Z vnitřního povrchu skleněné tabule (směrem do vzduchové mezery) se teplo šíří vedením k vnějšímu
povrchu tabule (směrem do venkovního prostředí). Na vnějším povrchu skleněné tabule (vnější po-
vrch konstrukce) dochází k přestupu tepla do venkovního prostředí:
prouděním (vítr)
dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu
dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou oblohu si představujeme jako povrch s velmi nízkou teplotou)
Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme
postupovat obdobně.
Tepelné chování stěny je jako v předchozím příkladu ovlivněno slunečním zářením, ovšem tentokrát
je situace složitější. Sluneční záření dopadá na vnější povrch skleněné tabule:
část dopadajícího slunečního záření se odráží zpět do venkovního prostředí
malá část je pohlcena skleněnou tabulí a šíří se dále ve formě tepla
největší část prochází skleněnou tabulí
Část slunečního záření, která prošla skleněnou tabulí, dopadá na vnější povrch difuzní fólie. Většina
tohoto sálavého toku je na povrchu fólie pohlcena a dá se předpokládat, že zvýší jeho teplotu. Uvolně-
né teplo se šíří z povrchu fólie dále (předpokládejme, že směrem do vzduchové mezery). Zbývající
část slunečního záření se od povrchu fólie odrazí (propustnost = 0) zpět směrem ke skleněné tabuli, na jejímž vnitřním povrchu se opět malá část odrazí zpět, malá část pohltí a většina projde skrz tabuli
do venkovního prostředí. Hustota sálavého toku odraženého od difuzní fólie bude velmi malá a její
vliv na tepelné chování stěny zanedbáme.
Vraťme se ještě k šíření tepla skrz skleněnou tabuli a difuzní fólii. Skleněná tabule je tenká a má vy-
sokou tepelnou vodivost. To znamená, že rozdíl teploty na vnitřním a vnějším povrchu tabule bude
zanedbatelný. Skleněnou tabuli budeme proto uvažovat jako nekonečně tenkou vrstvu s jedinou teplo-
tou. Vlastnosti, které ovlivňují šíření tepla sáláním, zůstanou beze změn (emisivita, propustnost a
pohltivost slunečního záření). Podobně budeme uvažovat i v případě difuzní fólie. Její vliv na šíření
tepla vedením zanedbáme, to znamená, že s ní ve výpočtu nebudeme vůbec uvažovat a pohltivost
slunečního záření vnějšího povrchu fólie budeme chápat jako vlastnost povrchu tepelné izolace.
Samostatným problémem je výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sáláním mezi po-
vrchy vzduchové mezery (kap. 1.1.7,). Klíčová je správná volba součinitele přestupu tepla prouděním,
a sáláním. Jejich hodnota ve výpočtu ovlivní mimo jiné ztráty tepla ze slunečního záření pohlceného
na povrchu difuzní fólie. Chyba v hodnotách těchto veličin proto může mít relativně významný vliv na
výsledné rozložení teploty v konstrukci. Součinitel přestupu tepla prouděním závisí na tloušťce meze-
ry a na teplotě povrchů, které dopředu neznáme. Přesný výpočet je příliš složitý, použití obvyklé hod-
noty 2,5 W(m2·K) pro součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním povrchu svislých konstrukcí
také není příliš vhodné řešení (platí pro relativně malý rozdíl teploty povrchu a teploty vzduchu), pro-
to použijeme zjednodušený vztah z kap. 1.1.2. Pro výpočet potřebujeme znát teplotu povrchů mezery
a teplotu vzduchu v mezeře – tyto neznámé teploty odhadneme takto:
vnitřní povrch mezery (povrch difuzní fólie): teplota o 15 °C vyšší než teplota vzduchu (odhad na základě výsledků předchozího příkladu – venkovní povrch stěny vystavený větru se vlivem slu-
nečního záření ohřál o 10°C nad teplotu venkovního vzduchu, povrch chráněný proti větru vzdu-
chovou mezerou a skleněnou tabulí by se měl ohřát o něco více)
vnější povrch mezery (vnitřní povrch skleněné tabule): teplota stejná, jako teplota venkovního vzduchu
teplota vzduchu v mezeře: průměr teplot na vnitřním a vnějším povrchu mezery
Takto odhadnuté teploty použijeme i pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním mezi povrchy
mezery.
Schéma řešení:
Schéma řešení je uvedeno až za oddíly Předpoklady řešení a Postup řešení
Předpoklady řešení:
ustálený stav
předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení nosné konstrukce skleněné stěny k železobetonové stěně)
zanedbáme vliv nosné konstrukce (rámu), do které by ve skutečnosti byla zasazena skleněná tabu-le (rám nepropouští sluneční záření a má jiné tepelné vlastnosti než tabule skla)
difuzní fólii jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu a pohltivost slunečního záření) přiřadíme povrchu tepelné izolace – rozhraní vrstev 2,3
skleněnou tabuli jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu, pohltivost a propustnost slunečního záření) přiřadíme fiktivnímu vnějšímu povrchu vzduchové mezery, kte-
rý bude současně vnějším povrchem konstrukce
v neprovětrávané vzduchové mezeře budeme uvažovat šíření tepla prouděním, sáláním a vedením
tepelnou vodivost nehybného vzduchu budeme uvažovat hodnotou 3 = 0,025 W/m·K
součinitel přestupu tepla prouděním mezi povrchy mezery stanovíme orientačně z odhadnuté teploty povrchu a teploty vzduchu v mezeře
teploty povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla
sáláním budeme uvažovat takto: 2,3 = e +15 = 10 °C, se = e = -5 °C
teplotu vzduchu v mezeře odhadneme jako průměr povrchových teplot: a,3 = (2,3 + se)/2 = (15 – 5)/2 = 5 °C
emisivity povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla
sáláním budeme uvažovat hodnotami 2,3 = 0,93 (…) a se = 0,92 (skleněná tabule)
pro vnější povrch konstrukce reprezentující skleněnou tabuli požijeme hodnoty sálavých vlastnos-
tí pro čiré sklo (se = 0,92, sol,se = 0,05, sol,se = 0,8)
zanedbáme vliv zašpinění povrchu skleněné tabule na jeho sálavé vlastnosti
pohltivost slunečního záření pro rozhraní vrstev 2,3 (reprezentuje difuzní fólii) budeme uvažovat
hodnotou sol,2,3 = 0,92 (černý nekovový povrch)
vliv části slunečního záření odraženého na rozhraní vrstev 2,3 zpět do vzduchové mezery zane-dbáme
protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =
0,13 m2·K/W
přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv sluneč-
ního záření
pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního
záření
součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme z rychlosti větru stejně jako v předchozích příkladech
součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou
podrobněji vysvětleny v příkladu 1.2.2.
Postup řešení
sestavíme bilanci tepelných toků pro vnitřní povrch stěny, pro jednotlivá rozhraní mezi vrstvami konstrukce a pro vnější povrch (bilanční rovnice pro vnitřní povrch a rozhraní vrstev 1 a 2 může-
me převzít z předchozích příkladů)
předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule
získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev
řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3
správnost výsledku zkontrolujeme
vypočítáme hustotu tepelného toku na vnitřním povrchu konstrukce, určíme jeho směr a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo zisk pro vnitřní prostředí
vykreslíme průběh teploty
Schéma problému
Obr. 1-17: Skladba stěny a její zjednodušení
žele
zob
eto
n
tep
eln
á iz
ola
ce
dif
uzn
í fó
lie
vzd
uch
ov
á m
ezer
a
skle
něn
á ta
bu
le
3
3
2
2
1
1
si 1,2 2,3 se 2,3 sol,2,3
se sol,se
sol,se
žele
zob
eto
n
tep
eln
á iz
ola
ce
vzd
uch
ov
á m
ezer
a
Obr. 1-18:Tepelné chování neprovětrávané vzduchové mezery a jeho zjednodušení (model)
Obr. 1-19: Celkové schéma problému
Isol
sol·Isol
so
l· s
ol·I
sol
so
l·Iso
l
sálání
vedení
proudění
vedení
proudění
sálání
vedení
q2 qc,3
qcd,3
qr,3
qsol,2,3
qce
qre
qsol,se
se
R2
2,3
qsol,se
e
hce
hre
sky
qsol,2,3
hc,3
hr,3
hcd,3
se
R2
2,3
qsol,se
e
hce
hre
sky
qsol,2,3
h3
3 2 1
qsi q1 q2 q3
i
povrch země r = sky
r = sky okolní povrchy
qre si 1,2 2,3 se
e qce
qre
qre
jasná
obloha
rsky qsol,se
sluneční
záření
qsol,2,3
Rsi R1 R2 h3
si 1,2 2,3 se i e
hce
hre
sky
qsol,se qsol,2,3
Bilance tepelných toků:
vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q
rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q
rozhraní vrstev 2, 3: 2 ,2,3 3solq q q → 2 3 ,2,3 0solq q q
vnější povrch: 3 ,sol se ce req q q q → 3 , 0sol se ce req q q q
Hustoty tepelných toků:
Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi, q1, q2, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako
v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Ostatní hustoty tepelného toku se vypočítá takto:
3 3, 3, 3, 3, 2,3 3, 2,3 3, 2,3cd c r cd se c se c seq q q q h h h
3 3, 3, 3, 2,3 3 2,3cd c r se seq h h h h
, ,sol se sol se solq I
,2,3 ,2,3 ,sol sol sol se solq I
Soustava rovnic:
Neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se dopočítají
1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K
1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K
2 1,2 2,3 3 2,3 ,2,3( ) ( ) 0se solK h q
3 2,3 ,( ) ( ) ( ) 0se sol se ce se e re se skyh q h h
Po roznásobení:
1 1 1,2 0si i si si sih h K K
1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K
2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 ,2,3 0se solK K h h q
3 2,3 3 , 0se sol se ce se ce e re se re skyh h q h h h h
Po úpravách:
1 1 1,2( )si si si ih K K h
1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K
2 1,2 2 3 2,3 3 ,2,3( ) se solK K h h q
3 2,3 3 ,( )ce re se sol se ce e re skyh h h h q h h
Vyčíslení:
Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a
pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním
povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre.
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:
1,215,692 8 153,846si
1,2 2,38 8,333 0,333 0si
1,2 2,30,333 7,897 7,564 294,4se
2,37,564 31,379 120,066se
Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.
Výsledky:
Teploty (po zaokrouhlení):
si = 21 °C
1,2 = 22 °C
2,3 = 44,9 °C
se = 7 °C
Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:
Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-
krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost
dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).
21 ( ) ( ) 7,692 (20 21) 7,653 W/msi i si si i sisi
q hR
2
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( ) 8 (21 22) 7,653 W/msi siq K
R
2
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( ) 0,333 (22 44,9) 7,653 W/mq K
R
2
3 3 2,3( ) 7,564 (44,9 7) 28