산업공학 개론

제 10 장 대기행렬 분석제 10 장 대기행렬 분석

제10장 대기행렬 분석

대기행렬

� 대기행렬– 고객의 불규칙한 도착과 서비스 시간의 불균형으로 인하여 기다리는 상

태를 초래– 은행창구, 매표소, 터미널, …

2

� 대기행렬의 분석법– (1) 물리적 관찰을 통한 결과 분석법

� 비용이 많이 들지만 가장 보편적으로 이용되는 방법

– (2) 시뮬레이션을 이용한 분석법√� 현실적 모형을 만들어서 실험 및 결과 예측에 이용

� 복잡한 문제의 분석에 자주 이용되는 방법

– (3) 대기행렬의 수학적 분석법 √� Queuing Theory

� 확률이론과 수리적 모델을 이용한 분석법

제10장 대기행렬 분석

대기행렬 모형

� 모형의 요소

(1) 고객의 도착 형태: 도착시간의 확률 분포

(2) 봉사자의 서비스 형태: 서비스시간의 확률 분포

(4) 서비스 규칙: FCFS, LCFS, RANDOM,...

(5) 대기행렬 용량: 대기행렬의 최대 길이

3

…..

봉사자

봉사자

봉사자

.…...

도착고객대기행렬

서비스시설

떠나는고객

분석시스템

: 서비스시간의 확률 분포(3) 봉사자의 수

: 대기행렬의 최대 길이(6) 투입요소의 수

: 도착고객의 한계

제10장 대기행렬 분석

대기행렬 모형

� Kendall-Lee의 기호 (1/2/3):(4/5/6)

1, 2 : 고객 도착 및 서비스 형태M: 지수분포

D: 일정시간간격을 두고 발생

E: Erlang 분포

4

E: Erlang 분포

G: 일반 분포

3: 종사자의 수

4: 서비스 규칙FCFS, LCFS, SIRO(Service In Random Order) …

5: 대기행렬 용량

6: 투입요소 한계

예) (M/M/1):(FCFS/∞/∞)

제10장 대기행렬 분석

분포의 가정

� 도착 시간(간격)의 분포

빈도a

bc

무작위도착=> 지수분포: f(t) = λe-λt

5

� 지수 분포

– 다음 고객의 도착은 이전 고객의 도착과 무관하다.

– 다음 고객의 서비스 시간은 이전 고객의 서비스 시간과 무관하다.

도착시간간격

=> 지수분포: f(t) = λe-λt

2

2

1분산 ,

1평균 ,: ,)(

1분산 ,

1평균 ,도착률: ,)(

µµµµ

λλλλ

µ

λ

===

===

−

−

서비스율t

t

etg

etf<정의>도착률: 단위시간당 도착하는 평균인원수서비스율: .. 서비스할 수 있는 능력

제10장 대기행렬 분석

지수분포의 특성� 지수분포의 도착형태

– [0,T] 동안 고객이 하나도 도착하지 않을 확률

= 첫 고객이 T시간 이후에 도착할 확률

– [0,T] 동안 고객이 도착하지 않은 상태에서 [0, T+h] 동안 고객이 아무도

∫∞ −− ==≥T

Tt edteTtP λλλ)(0

6

도착하지 않을 확률

=> 임을 알 수 있고, 이것은 T라는 시점과 무관

하게 시간 간격 h에만 관계됨을 의미함.(memoryless)

– 매우 작은 시간 간격 h 동안 도착이 없을 확률

=> h 동안 1명이 도착할 확률

h

T

hT

T

t

hT

t

ee

e

dte

dteTthTtP λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ−

−

+−

∞ −

∞

+

−

===≥+≥

∫∫ )(

0 )|(

hhh

hehP h λλλ

λλ −≅+−

+−

+−+== − 1...!3

)(

!2

)()(1)(

32

0

)()|( 00 htPTthTtP ≥=≥+≥

∑∞

=

=0 !

)(

k

kax

k

axe

hhPhP λ=−≅ )(1)( 01

제10장 대기행렬 분석

순수 탄생 모형

� 순수 탄생 모형

– 시스템을 떠나는 사람이 없이 도착만 발생하는 모형

– T시간 동안 n명이 도착할 확률 P(n,T) = ?

� “시스템 내에 T시간이 지나 n명이 존재할 확률”

)()]([),1()](1[),(),( hohohTnPhohTnPhTnP ++⋅⋅−++⋅−⋅=+ λλ

7

)()]([),1()](1[),(),( hohohTnPhohTnPhTnP ++⋅⋅−++⋅−⋅=+ λλ

!

)(),(

n

eTTnP

Tn ⋅−⋅=

λλ

),1(),(),( : 0

)(),1(),(

),(),(

TnPTnPTnPdT

dh

h

hoTnPTnP

h

TnPhTnP

−⋅+⋅−=→

+−⋅+⋅−=−+

λλ

λλ

이면

통해서 귀납법을 수학적 ,때 일 ),0(

이라면 0)0,( 대해서 에 정수 양의 ,이고1)0,0( 만약TeTP

nPnP

⋅−=

==λ

Poisson 분포 TT λλ == 분산 ,평균

제10장 대기행렬 분석

[예] 순수 탄생 모형

휴일의서울대공원에는사람과자동차로뒤덮힌다. 공원측은앞으로자동차가늘어날것에대비하여, 현재 8,000대가주차할수있는공간의확장여부를결정하고자한다. 보통휴일에는입장객이 8시부터들어오기시작하여, 오후 1시이후에는거의들어오지않는다. 이때까지는입장객만있을뿐공원을떠나는사람이거의없다. 지금까지의자료에의하면시간당평균 1000대씩입장하는데, 공원측은현재의주차공간이포화될확률이 5% 이하가되도록확장하고자한다.

주차공간을 1000대단위로증가시킨다면, 몇대수준으로확장하여야하는가?

단위를 1000대로하면, 도착률 λ=1, 기간은 T=5시간이된다.

8

단위를 1000대로하면, 도착률 λ=1, 기간은 T=5시간이된다.

따라서 5시간동안의입장객수에대한확률분포는

!

5

!

)51()5,(

551

n

e

n

enP

nn −⋅−

=⋅

=

032.0)5,( ,068.0)5,( ,133.0)5,(1098

=== ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

= nnn

nPnPnP

시스템내에 10000대이상의자동차가있을확률이 0.032로 5%보다작기때문에주차공간을 2000대더확장하면원하는수준을맞출수있게된다.

입장객이 10000명이상일확률(n=10 이상)이고,

제10장 대기행렬 분석

포아송 분포

� 예– 특정도시의 1주일동안 교통사고로 인한 사망자수,

– 대기업의 교환대에서 한 시간동안 걸려오는 전화의 수,

– 시험발사된 인공위성이 한번의 궤도를 운행 중에 부딪치는 운석

9

의 수,

– 제조품 중 불량품의 수 등

제10장 대기행렬 분석

(M/M/1):(FCFS/∞/∞)

� 확률의 유도– (M/M/1):(FCFS/∞/∞)

� 도착/봉사 지수모델, 봉사자 1명, FCFS, 대기행렬 ∞, 도착고객 ∞

– 도착률 λ, 봉사율 µ의 지수분포 모델 (임의의 T 시점에서 매우 작은 시간 t가 흐르는 동안의 상태전이)

10

0 1 2 n-1 n n+1….

λ·t λ·t λ·t λ·t λ·t λ·t λ·t

µ·t µ·t µ·t µ·t µ·t µ·t µ·t

….

)1()()()1()()( 100 ttTPtTPtTP λµλ −⋅⋅+−⋅=+

)1()()()1()1()()1()()()( 11 ttTPttTPttTPtTP nnnn λµλµµλ −⋅⋅+−⋅−⋅+−⋅⋅=+ +−

제10장 대기행렬 분석

정리해서, t→0으로보내면

만약위의식들이 T값에영향받지않는통계적평형(statistical equilibrium)

상태, 즉아래의조건을만족한다고가정하면, 다음과같이변형된다.

때일 0 ),()()()()(

)()()(

11

100

>⋅+⋅+−⋅=

⋅+⋅−=

+− nTPTPTPTPdT

d

TPTPTPdT

d

nnnn µµλλ

µλ

11

TdT

TdPPTPTP nnnn

T ,0

)( ,)( ,)(lim ∀==∞<

∞→

때일 0 ,)(0

0

11

10

>⋅+⋅+−⋅=

⋅+⋅−=

+− nPPP

PP

nnn µµλλ

µλ0PP

n

n ⋅

=

µλ

µλ

−==∑∞

=

1 1 0

0

PPn

n 이므로

−⋅

=∴

µλ

µλ

1

n

nP

라면 1<µλ

이용률(ρ = λ/µ)

제10장 대기행렬 분석

(M/M/1):(FCFS/∞/∞) 분석

� (M/M/1):(FCFS/∞/∞)의 분석– 시스템 내부의 평균 인원수

– 대기행렬에서 기다리는 평균 인원수

λµλ

µλ

µλ

−=

−⋅

⋅=⋅= ∑∑

∞

=

∞

= 00

1n

n

n

n nPnL

12

– 시스템 내에서 보내는 평균 시간

– 대기행렬에서 기다리면서 보내는 평균 시간

)()1(0

2

101

0 λµµλ

µλ

−⋅=−=−⋅=⋅−+⋅= ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

LPPnPnPLn

n

n

n

n

nq

λµλ −==

1LW

)(

1

λµµλ

µ −⋅=−=WWq

제10장 대기행렬 분석

[예] (M/M/1):(FCFS/∞/∞)

고속버스매표소의줄이점점더길어지고있다는느낌이들어서, 현재매표소의서비스에대한수리적분석을해보고자한다. 조사해본결과매표소에는평균 1분당 8명꼴로도착하고있으며, 매표소는 1분에 10명까지표를팔수있는용량이된다고한다. 이매표소에서표를구입하기까지의전체시간(W), 줄을서서기다리는데보내는평균시간(Wq), 매표소에평균적으로있는사람(L)과줄서서기다리는사람의수(Lq)를파악하여라.

λ=8, µ=10이므로

13

분

분

명

명

4.010

15.0

1

5.0810

11

2.310

84

4810

8

=−=−=

=−

=−

=

=−=−=

=−

=−

=

µ

λµ

µλλµ

λ

WW

W

LL

L

q

q

제10장 대기행렬 분석

(M/M/1):(FCFS/N/∞)

� 확률의 유도

– 도착율 λ, 봉사율 µ의 지수분포 모델

– 대기행렬의 용량이 N까지 제한됨

– (M/M/1):(FCFS/ ∞/∞)에서 n=N일 때의 제약 추가

14

– (M/M/1):(FCFS/ ∞/∞)에서 n=N일 때의 제약 추가

– (M/M/1):(FCFS/∞/∞)와는 달리 이용률(ρ = λ/µ)이 1보다 작지 않더라도 항상 정상해가 존재한다.

때일

때일

때일

,0

1,....,2,1 ,)(0

1 ,0

1

11

10

NnPP

NnPPP

nPP

NN

nnn

=⋅−⋅=

−=⋅+⋅+−⋅=

=⋅+⋅−=

−

+−

µλ

µµλλ

µλ

추가

제10장 대기행렬 분석

PNN −

−=

−

−=

++1

1

1

1

110 ρρ

µλ

µλ

이므로이고경우일 1 , : 1 ]1[0

0 =⋅

=≠= ∑

=

N

n

n

n

n PPPµλ

µλ

ρ

15

NnPPP n

n

n ≤≤⋅=⋅

= 1 ,00 ρ

µλ

NnN

Pn ≤≤+

= 0 ,1

1

이므로경우일 1 , : 1 ]2[0

1 =∀=== ∑=

+

N

n

nii PiPPµλ

ρ

제10장 대기행렬 분석

(M/M/1):(FCFS/N/∞) 분석

� (M/M/1):(FCFS/N/∞)의 분석

– 시스템 내부의 평균 인원수

때일

때일

1 ,

1 ,1

)1(1

1 1

1

0

==

≠−

++−⋅

−=⋅= +

+

=∑

ρ

ρρ

ρρρρ

N

NNPnL

N

NNN

n

n

16

– 대기행렬에서 기다리는 평균 인원수

� 실제 입력되는 부분 vs. 실제 처리되는 부분

때일 1 ,2

== ρN

' (1 ) 'q NL L a L P a real process loadρ= − = − − =

(1 ) :

, ' (1 ) ( .)

e N

N

P effective arrival rate

a a P blocking prob

λ λ

λρ ρµ

= −

= = = − ∵

제10장 대기행렬 분석

– 시스템 내에서 보내는 평균 시간

– 대기행렬에서 기다리면서 보내는 평균 시간

(1 )e N

L LW

Pλ λ= =

−

17

– 대기행렬에서 기다리면서 보내는 평균 시간

1

(1 )

q q

q

e N

L LW W

Pµ λ λ= − = =

−

제10장 대기행렬 분석

[예] (M/M/1):(FCFS/N/∞)

학교이발관은이발사한사람이일을하고있다. 이발하는데에는평균 20분이소요되며, 한시간에 2명꼴로손님이오고있다. 이발소에는의자가 5개있는데, 손님들은빈의자가없으면이발을다음기회로미룬다고한다. 이이발소에갔을때평균적인손님의수, 의자에서기다리는손님의평균수, 이발을받고나올때까지의시간및기다리는데소비되는시간을구하여라. 단, 손님의도착시간간격과봉사시간은지수분포를따른다고한다.

N = 5

단위를 1시간으로하면 λ=2, µ=3 이므로 ρ = 2/3 ≠ 1이다.

18

단위를 1시간으로하면 λ=2, µ=3 이므로 ρ = 2/3 ≠ 1이다.

제10장 대기행렬 분석

ρ

ρρρ

q

S

L

LL

PSS

L

−=

+−⋅−

=+

02

1

)!1()(

(M/M/S):(FCFS/∞/∞)

� (M/M/S):(FCFS/∞/∞)의 분석

)/1(!!

11

0

0

SSn

PSS

n

n

ρρρ−⋅

+=

∑−

=

nρ

cf.

19

λ

λ

q

q

LW

LW

=

=

봉사자 수 L W Lq Wq

10 15.0 1.6 6.0 0.7

20 9.0 1.0 0.01 0.0001

∞ 9.0 1.0 0 0

– 봉사자 수의 효과

� 봉사자 수에 따라 대기 행렬이 급격히 줄어든다.

단, ρ=9일때

Snn

PPn

n≤= ,

!0

ρ

SnS

SPP

nSn

n≥=

−

,!

0

ρ

제10장 대기행렬 분석

[예] (M/M/S):(FCFS/∞/∞)

공대식당이새로만들어져학생식당의고객을빼앗길위험이발생했다. 현재학생식당에서는 1개의배식대로 1분에약 25명의학생에게배식을하고있다. 학생들은매분 20명씩식당을찾는다고한다. 만약기다리는줄이길면학생들이공대식당으로옮길가능성이커서, 식당주인은배식대의개수를늘려서줄을서서기다리는학생의수를평균 1명이하로떨어뜨리고자한다. 이시스템을분석해서몇개의배식대를추가로설치해야될지결정하시오.

λ=20, µ=25 이므로 ρ = 20/25 = 0.8 < 1이다.

20

분16.02.3

분2.020

4

명2.38.04

명42025

20

===

===

=−=−=

=−

=−

=

λ

λ

ρ

λµλ

q

q

q

LW

LW

LL

L

현재 1개의배식대로운영할때

제10장 대기행렬 분석

배식대를 2개로할때

명97.08.046.08.0

46.0

2

25/201!2

25

20

25

201

1

)/1(!!

1

3

0

1

21

0

0

≅+⋅=+=

≅

−⋅

++

=

−⋅+

=

+

−

=∑

ρρ

ρρρ

S

SS

n

n

PL

SSn

P

21

분01.020

17.0

분05.020

97.0

명17.08.097.0

명97.08.046.0!1)8.02()!1()( 202

≅≅=

≅≅=

=−=−=

≅+⋅⋅−

=+−⋅−

=

λ

λ

ρ

ρρ

q

q

q

LW

LW

LL

PSS

L

배식대를 2개만운영해도평균대기인수가 1명이하로떨어지므로 배식대를1개만더설치하면된다.