谷口 金子 手塚 福本 若山谷口，金子，手塚，福本，若山

数学と産業数学と産業I

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数学

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物理・化学工学 産業

デジタル情報革命

数学

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II

制御理論，OR理論 → 数理ファイナンスにも

統計学，学習理論，最適化理論統計学，学習理論，最適化理論

・・・ 画像認識

ウェーブレット解析 → 指紋認識(FBI)ウェ ブレット解析 指紋認識(FBI) ラドン変換 → CT画像

整数論 → 暗号理論整数論 暗号理論

確率解析 → 数理ファイナンス

非線型方程式(渦)，スプライン非線型方程式(渦)，スプライン

→ 航空機

位相幾何学(結び目) → DNA解析位相幾何学(結び目) DNA解析

離散微分幾何学，PDE→ 映像，可視化（CG )→ 映像，可視化（CG…)

顕微鏡をのぞくと株価が！ブラウン運動の発見から数理ファイナンスまで

数理学研究院 谷口説男

株価とブラウン運動01

ブラウン運動

株価とブラウン運動

株価の変動（Yホ ルデ ングス）株価の変動（Yホールディングス）

ブラウン運動のｘ座標

1次元ブラウン運動 (数学的に)

02

1次元ブラウン運動 (数学的に)

原点から出発する連続関数の空間 W原点から出発する連続関数の空間 WW={ w:[0 ∞)→R | 連続 w(0)=0}：全事象W={ w:[0,∞)→R | 連続，w(0)=0}：全事象

座標関数 Bt:W→R (Bt(w)=w(t))座標関数 Bt:W→R (Bt(w)=w(t))時刻 t での位置

(i) Bt+s-Bs と {Bu:u≤s} は独立

時刻 位置

( ) { }

(ii)(ii)

幾何ブラウン運動03

幾何ブラウン運動

Louis Bacherier (1870-1946)

時刻 t での株価∝Bt時刻 t での株価∝Bt

P l S l (1915 2009 12 13)

時刻tでの株価

Paul Samuelson (1915-2009.12.13)

時刻tでの株価∝exp(σBt+νt)exp(σBt+νt)

Black-Sholesの価格公式

確率論小史04

確率論小史

1654 Blaise Pascal（1623 1662）1654 Blaise Pascal（1623-1662）Pierre de Fermat（1601-1665）

PascalFermat

往復書簡 ゲーム中断時の掛け金の配分

1812 19 Pi Si L l1812，19 Pierre-Simon Laplace統計・確率論の基礎概念

Laplace

統計 確率論の基礎概念

1932 Andreｙ Kolmogrov

伊藤清 確率積分 確率微分方程式

Foundations of the Theory of Probability

1942 伊藤清 確率積分・確率微分方程式

顕微鏡05

顕微鏡

発明 1590年頃オランダ人ヤンセン親子発明：1590年頃オランダ人ヤンセン親子(Hans, Zacharias Janssen)

Robert Hooke;1635-1703

Anton van Leeuwenhoek;1632-1723

ブラウン運動の発見(現象)06

ラウン運動の発見(現象)

Robert Brown;1773-18581828(1827年夏の観測)非生物現象（すす 岩石 鉱物

Adolphe Brongniart;1801-1876 1827年

非生物現象（すす,岩石,鉱物,スフィンクスの破片）

Jan Ingenhousz;1730-17991784年 アルコール上の炭素粒子

ユーロネクスト・パリ（旧パリ証券取引所

ブラウンの見たもの07

ラウンの見たもの

水の中に浮かぶ花粉にから出てき水の中に浮かぶ花粉にから出てきた微粒子が，止むことのない不規則でジグザグな運動を行うことを観察でジグザグな運動を行うことを観察

B.Ford

19世紀後半(なぜ動く？)08

世紀後半(なぜ動く )

～1880年代～1880年代(a)光による不規則な加熱，(b)溶液内の温度差，溶液の蒸発

1877年 J. Delsaux水分子との衝突による( )溶液内の温度差，溶液の蒸発

(c)溶液の表面張力(d)電気的な力 YES

1888年 L. Gouy(1)運動は非常に不規則，軌道は微分不可(1)運動は非常に不規則，軌道は微分不可(2) 粒子はお互いに独立に動く(3) 粒子が小さい，溶液の粘性が低い溶液 度が が 激 くな溶液温度が上がる，と運動は激しくなる

(4) 粒子の組成・濃度は運動に影響しない(5) 運動は止むことがない カルノーの原理？(5) 運動は止むことがない ル 原理

ポアンカレ

19世紀後半 原子は存在しない09

19世紀後半 原子は存在しない

電磁気学理論電磁気学理論「連続な微分方程式で

熱力学の成功（巨視的）

微分方程式で記述できる」 Lucretius;BC99年頃-BC55

実証主義

J.Maxwell物質はすべて原子から成りたつ部屋に差し込む光に浮かぶ微塵

実証主義

気体分子論

E.Mach F.Ostwald L.Boltzmann

気体分子論統計力学

1905年 奇跡の年 アインシュタイン10

1905年 奇跡の年 アインシュタイン

光量子仮説，ブラウン運動，特殊相対性理論

時刻 t に x の回り単位体積空間に時刻 t に x の回り単位体積空間に見つかるブラウン運動する

微粒子の数 f(x t)微粒子の数 f(x,t)

熱方程式

Albert Einstein, 1879-1955

核ガウス核

アインシュタインよりも先に

11

アインシュタインよりも先に

19061904 1906

William Sutherland (Austraria)1859 1911

Marian von Smoluchowski1872-1917

R：気体定数，T：絶対温度

1859-1911 1872-1917

気NA：アボガドロ数η：粘性率，a：粒子半径

歴史ー数学的に 1880年12

Thorvald Thiele;1838 1910Thorvald Thiele;1838-1910デンマーク人の天文学者・統計学者

1880年計器の時刻tにおける位置Btの推定計器の時刻tにおける位置Btの推定

観測値：Zt=Bt+εｔ（測定誤差あり）

Btは独立な増分を持つBtは独立な増分を持デンマーク語の論文

最小二乗法

歴史ー数学的に 1900年13

歴史 数学的に 900年

L i B h i 1870 1946Louis Bacherier;1870-1946Théorie de la spéculation, 投機の理論Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.17 (1900), 21--86

S 株価 S S S と仮定St：株価 St-Ss～St-s と仮定

熱方程式・ガウス核熱 式 核

数学的厳密性？学位論文 honorable

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ランダムウォーク14

中心極限定理・Donskerの不変原理

歴史ー数学的に 1905ｰ13年15

R：気体定数，T：絶対温度，NA：アボガドロ数， Les Atomes (1913)

直径1μm程度の球形微粒子を浮かべたコロイド溶液で精緻な観測

Jean Perrin;1870-1942η：粘性率，a：粒子半径

(i) ストークスの法則を『小さい』ブラウン粒子に適用してよい(ii) 浸透圧の公式を『大きい』ブラウン粒子に適用してよい(iii) 平均二乗変位σ＾2∝t(iii) 平均二乗変位σ 2∝t，

粒子の変位のヒストグラムは正規分布のグラフに一致する(iv) Dを力学的拡散係数と同一視して良い(iv) Dを力学的拡散係数と同 視して良い(v) 種々の方法によるアボガドロ数の計測

⇒Einsteinのアボガドロ数の計測法が正しい

歴史ｰ数学的に 1923年16

bNorbert Wiener;1894-19641923 Differential space, J. Math. Phys. 2

ブラウン運動の存在！連続性！連続性！

歴史ｰ数学的に 1931年17

Andrey Kolmogorov;1903 1987Andrey Kolmogorov;1903-1987Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Ann. 104

拡散過程の構成⇔偏微分方程式拡散過程の構成⇔偏微分方程式

コルモゴロフの拡張定理ル フ 拡張定理

コルモゴロフの連続性定理

歴史ｰ数学的に 1940年18

Paul Lévy;1886-1971Paul Lévy;1886 1971Le mouvement Brownien plan Amer Jour Math 62 (1940)Amer. Jour. Math., 62 (1940)

Haar関数Haar関数

(k+1)2-n+1k2-n+1