EF 2015 I y Sol

1

Curso: CALCULO VECTORIAL (MB148)

EXAMEN FINAL Periodo Académico 2015-I

PROBLEMA 1: Evalué 2 2( )E

x y dV+∫∫∫ ; donde E es el sólido limitado por el

paraboloide 2 2z x y= + ; los planos 1z = y z = 4.

SOLUCIÓN Usando coordenadas cilíndricas en el paraboloide: 22 yxz += se tiene 2rz =

El sólido E resulta de la reunión de E1 y E2 donde:

≤≤

≤≤

≤≤

41

20

10

:1

z

r

E πθ

≤≤

≤≤

≤≤

4

20

21

:2

2

zr

r

E πθ

( ) ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ +=+ππ

θθ2

0

2

1

4

2

2

0

1

0

4

1

222

2r

ddrrdzrddrrdzrdVyxE

( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∫∫ −+=+ππ

θθ2

0

2

1

53

2

0

1

0

322 4 ddrrrddrrdVyxE

( ) ∫∫∫∫∫ +=+ππ

θθ2

0

2

0

22

627

43 dddVyx

E

( ) ππ3

272322 +=+∫∫∫

E

dVyx

( ) π22122 =+∫∫∫

E

dVyx

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com

2

PROBLEMA 2: Evalúe ( )∫ +++C

dzxdyzydxzx , donde C es la curva suave

definida por 10)( 2: ≤≤++= − teeetC ttt kjir ;

SOLUCIÓN

( ) kjiF xzyxzzyx +++=),,(

( ) jiF 1),,( −+−= xzyxrot

El campo vectorial F(x, y, z) no es conservativo.

La curva C no es cerrada.

( ) ( )∫∫ ⋅=+++1

0

)()( dtttd

dtdzxdyzydxzxC

rrF

( ) ( )∫∫ −−−+=+++1

0

234 2 dteeeedzxdyzydxzx tttt

C

( )12

561283 234 −+−+=+++

−

∫ eeeedzxdyzydxzxC



3

PROBLEMA 3: Calcular 2 2(1 ) (1 4 )C

x ydx x y dy− + +∫Ñ , siendo C la curva cerrada

definida por: 2 24 4x y+ = . SOLUCIÓN:

2 2( (1 ); (1 4 ))F y x x y= − +ur

2 24rotF x y→ = +ur

2 24 4x y+ =2 cos

;0 2 ,0 1x r

ry rsen

θθ π

θ=

↔ ≤ ≤ ≤ ≤ =

Usando el teorema de Green

2 2(1 ) (1 4 )C

x ydx x y dy− + +∫Ñ ( )∫∫ +=R

dAyx 22 4

2 2(1 ) (1 4 )C

x ydx x y dy− + +∫Ñ ( ) ( ) πθθθπππ

4282422 12 1

00 0

3

0 0

2 ==== ∫∫ ∫∫ ∫ dddrrdrdrr

PROBLEMA 4: Calcular 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )

C

y z dx x z dy y x dz+ + + + +∫Ñ ;

a lo largo de la curva que resulta de la intersección del paraboloide: 2 22 1 ( 1)z x y− = + +

, y el plano: 1 0x y z+ − + = recorrida en sentido antihorario vista desde arriba.

Sugerencia: 83

22cos

84cos4 +−=

θθθsen

SOLUCIÓN:

2 2 2 2 2 2( ; ; )F y z x z y x= + + +ur

(2 2 ;2 2 ;2 2 )rotF y z z x x y= − − −ur

, tomamos como orientación de la superficie que es

parte del plano S: 1 0x y z+ − + = al vector ( )1; 1;1

3n

− −=

r.Además la región sombra de

S es 2 2: ( 1) 1 0 2 ,0x y r senθ θ πℜ + − ≤ ↔ ≤ ≤ ≤ ≤

Así pues por el Teorema de Stokes tenemos:

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )C

y z dx x z dy y x dz+ + + + +∫Ñ =S

rotF ndS•∫∫ur r

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )C

y z dx x z dy y x dz+ + + + +∫Ñ ( )∫∫∫∫ −=⋅=RR

dAyxdASgradrotF 4)(



4

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−=+++++

−=+++++

∫ ∫∫

∫ ∫∫π π

π θ

θθθθθ

θθθ

0 0

43222222

0 0

2222222

cos3

32

cos2

dsendsendzxydyzxdxzy

ddrsenrdzxydyzxdxzy

C

C

sen

( ) ( ) ( ) ππ 4830

332222222 −=

−=+++++∫

C

dzxydyzxdxzy

PROBLEMA 5: Sea F 2 2 2 2( ; cos ; )y xxy e senz x y e z x y− −= + + + el campo de velocidades de un fluido y S la superficie cerrada, orientada hacia el exterior formado por el paraboloide 2 2

1 :S z x y= + , los planos 2 : 1S z = ; 3 : 4S z = . Calcule el flujo a

través del paraboloide ∫∫ ⋅

1S

dSNF

Sugerencia: Considere el resultado obtenido en el PROBLEMA 1 SOLUCIÓN:

Por teorema de la divergencia

( )22),,( yxzyxdiv +=F

∫∫∫∫∫ ∪∪==⋅ES

SSSSdVdivdS321

;)(FNF

( )∫∫∫∫∫ +=⋅ES

dVyxdS 22NF

( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=⋅+⋅+⋅ESSS

dVyxdSdSdS 22

21 3

NFNFNF

Evaluando la integral de flujo a través de la superficie 2 : 1S z =

( )2

)1,0,0(2

0

1

0

322

2

πθ

π

−=−=+−=−⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ddrrdAyxdAdSRRS

FNF



5

Evaluando la integral de flujo a través de la superficie 3 : 4S z =

( ) ( ) πθπ

81,0,02

0

2

0

322

3

==+=⋅=⋅ ∫∫ ∫∫∫∫∫∫RRS

ddrrdAyxdAdS FNF

Considerando el resultado obtenido en el Problema 1: ( ) π22122 =+∫∫∫

E

dVyx

Reemplazando los valores obtenidos anteriormente para calcular el flujo a través del

paraboloide 2 21 :S z x y= +

( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=⋅+⋅+⋅ESSS

dVyxdSdSdS 22

21 3

NFNFNF

( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅−+=⋅

32

22

1 SSES

dSdSdVyxdS NFNFNF

πππ

π 3822

21

1

=−

−−=⋅∫∫

S

dSNF



Documents

EF 2015 I y Sol