平面図形・空間図形の計量 - Amazon Web Services...174 第4 章平面図形・空間図形の計量である．すなわち，左右どちらの場合でも高さはh =

173

第 4章

平面図形・空間図形の計量

前章で学んだ三角比は，図形の長さ・面積を求めるために有効である．そこ

で，この章の前半では，三角比を用いた平面・空間図形の計量を主に考える．

また，章の後半では，図形の面積比・体積比と，球を取り上げる．

§ 4.1

三角比の応用

ここでは，三角形の分析を行うための基本ツールである，正弦定理や余弦定理

などを学ぶ．

4.1.1　三角形の面積と三角比　

ここでは，4ABCの面積を，2辺の長さ a，bと，その間の角度 θ を用いて表すことを

考えてみよう．左の図は θが鋭角の場合，右の図は θが鈍角の場合を表している．

h h

a

b

a

b

A

BC

A

BCH H′θ

θ180◦−θ

上の図の三角形において，底辺を aとすれば高さは hであるから，三角形の面積 Sは

どちらも S =ah2である．

ここで高さ hは，左の図では，4ACHに着目すれば h = bsinθである（『三角比と辺の長

さ』(p.156)を利用）．また，右の図でも 4ACH′ に着目して

h = bsin(180◦ − θ) = bsinθ ←『180◦ − θの三角比』(p.167)

174 第 4章平面図形・空間図形の計量

である．すなわち，左右どちらの場合でも高さは h = bsinθとなり

S =（底辺）×（高さ）

2=

ah2

=a · bsinθ

2=

12

absinθ

と 1つの式で表すことができる（これは，θ = 90◦ の直角三角形の場合も含んでいる）．

a

b

a

b

θθ

三角形の面積

右図の三角形の面積 Sは

S =12

absinθ

で表せる．

aを底辺とみれば bsinθが高さを表し，bを底辺とみれば asinθが高さを表す．

4.1.2　正弦定理　

三角形の 3つの頂点を通る円を，その三角形の外接円 (circumscribed circle)という*1．

1つの三角形に対し，外接円は 1つに定まる．

いま，右図のような三角形とその外接円を考える．

a

A

このとき，外接円の半径を Rとすると

asinA

= 2R

が成り立つ．これを，正弦定理 (sine theorem)という．

この式が成り立つことを，Aが鋭角，直角，鈍角の場合

に分けて，以下に見ていこう．

i) Aが鋭角のとき

右図は 4ABCとその外接円Oである．円Oに直径 BD a

A B

C

O

Aを引くと，右下図のようになる．

このとき，線分 BD は円の直径なので，∠BCD = 90◦．

a2R

A B

C

O

D

A

Dつまり，右図の 4DBCは直角三角形となるから sinD =

a2Rである．円周角の定理より A = Dであるから

sinA =a

2R⇔ a

sinA= 2R

となり成立．

*1 詳しくは，FTEXT数学 B で取り扱う．

– www.ftext.org –

4.1 三角比の応用 175

ii) Aが直角のとき

sinA = 1，a = 2Rであるから

a = 2R

A B

C

O

asinA

=a1

= 2R

となり成立．

iii) Aが鈍角のとき

4ABC に外接する円に，直径 BD を引くと，

a

2R

A B

C O

D

A

D右欄外の図のようになる．

いま，右図の 4DBCは直角三角形となるから

sinD =a

2R· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1©

である．さらに

A = ∠DAC + ∠DAB

= ∠DBC + ∠DCB （いずれも，円周角の定理）

= 180◦ − D （4DCBに着目）

である*2ので，『180◦ − θの三角比』(p.167)から，sinA = sin(180◦ − D) = sinDとわ

かる．これと 1©から

sinA =a

2R⇔ a

sinA= 2R

となり成立．

正弦定理

4ABCにおいて

a

c

b

A B

C

A

C

B

asinA

=b

sinB=

csinC

= 2R

が成り立つ．

ただし，Rは 4ABCの外接円の半径とする．

正弦定理の使い方は主に 2つある．

1つは， asinA

=b

sinBの関係から，辺の長さや角度を求めることである．た

とえば，2つの角と 1つの辺がわかれば，この関係式からもう 1つの辺の長さ

が計算できる．

そしてもう 1つの使い方は，三角形の・外・接・円・の半径 Rを求めることである．内

接円ではないので注意しよう（内接円の半径については p.193を参照のこと）．

*2 一般に，円に内接する四角形においては，向かい合う 2角の和は 180◦ となる．この性質については，『円に内接する四角形』(p.194)において別証明も与え，より詳しく学ぶ．



【例題：正弦定理の利用～その 1～】¶ ³

4ABCにおいて，a = 12，A = 45◦，B = 60◦ のとき，bの値を求めよ．また，4ABC

の外接円の半径を求めよ．

µ ´【解答】

正弦定理より，a

sinA=

bsinB

であるから J　A

BC12

60◦

45◦

b =asinBsinA

=12 sin 60◦

sin 45◦=

12×√

32√

22

= 6√

6

同じく正弦定理より，2R =a

sinAであるから

R =a

2 sinA=

122 sin 45◦

=12

2×√

22

=12√

2= 6√

2

上の問題は計算するだけで答えを導けるが，あくまで図形問題である．図形の

問題では，図を描いてから問題を解くと，ミスがあっても発見しやすい．

【例題：正弦定理の利用～その 2～】¶ ³

4ABCにおいて，各辺の長さが a : b : c = 2 : 4 : 5であるとき，sinA : sinB : sinC

の値を求めよ．

µ ´【解答】

4ABCの外接円の半径を Rとすると，正弦定理より J

B

A

C

5

2

4a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC

であるから

2RsinA : 2RsinB : 2RsinC = 2 : 4 : 5

∴ sin A : sin B : sin C = 2 : 4 : 5

4.1.3　第 1余弦定理　

右図のような三角形の 2つの角と 2辺の長さの間に次の関係式が成り立つ．

c

ab

A B

c = bcosA + acosB

これを，第 1余弦定理 (first cosine theorem)という．

この式が成り立つことを，Aが鋭角，直角，鈍角の場

合に分けて，以下に見ていこう．




線分 AB 上に，右図のように垂線 CHをひくと

c

ab

A B

C

H

（右辺）= bcosA + acosB

= AH + BH

= AB = c =（左辺）

となり成立．


A = 90◦ より，cosA = 0となるので

c

ab

A B

C

（右辺）= b

0︷︸︸︷cosA +acosB

= acosB

= c =（左辺）

となり成立．

【暗記：第 1余弦定理の導出】¶ ³

上の続きとして，Aが鈍角のときも第 1余弦定理が成り立つことを証明せよ．µ ´【解答】

直線 AB 上に，右欄外の図のように垂線 CHをひくと J

c

a

b

A B

C

H

（右辺）= bcosA + acosB

= − bcos(180◦ − A) + acosB

= − AH + BH

= BH − AH = AB = c =（左辺） �

第 1余弦定理

4ABCにおいて

c

ab

A B

C

A

C

B

c = bcosA + acosB

b = acosC + ccosA

a = ccosB + bcosC

が成り立つ．

この定理は，ある角から見たときに左右 2

bcosA acosB

ab

A B

つの辺を向かいの辺に押しつぶす感じで覚

えると良い．

また，上の暗記例題のように自分で垂線の

引けるならば，公式を覚えなくてもよい．



4.1.4　第 2余弦定理（余弦定理）　

三角形の 1つの角と 3辺の長さの間に次の関係式が成り立つ．

c

ab

θ

a2 = b2 + c2 − 2bccosθ

これを，第 2余弦定理 (second cosine thorem)と

いい，単に余弦定理 (cosine thorem)というときに

はこちらを指す．この式が成り立つことを，Aが

鋭角，直角，鈍角の場合に分けて，以下に見てい

こう．


線分 AB 上に，右図のように垂線 CHをひき，

c

ab

A B

C

H

4BCHに三平方の定理を用いると

（左辺）= a2 = BC2 = CH2 + BH2

= (bsinA)2 + (c− bcosA)2

= b2 sin2 A + c2 − 2bccosA + b2 cos2 A

= b2(sin2 A + cos2 A) + c2 − 2bccosA

= b2 + c2 − 2bccosA =（右辺）

となり成立．


A = 90◦ より，cosA = 0となるので

c

ab

A B

C

（左辺）= a2 = BC2 = CA2 + AB2

= b2 + c2

= b2 + c2 − 2bccosA︸︷︷︸0

=（右辺）

となり成立．

【暗記：余弦定理の導出】¶ ³

上の続きとして，Aが鈍角のときも余弦定理が成り立つことを証明せよ．µ ´【解答】

直線 AB 上に，右欄外の図のように垂線 CHをひき， J

c

a

b

A B

C

H

4BCHに三平方の定理を用いると

（左辺）= a2 = BC2 = CH2 + BH2



= {bsin(180◦ − A)}2 + {c + bcos(180◦ − A)}2

= (bsinA)2 + (c− bcosA)2 J『180◦ − θ の三角比』(p.167)

= b2 sin2 A + c2 − 2bccosA + b2 cos2 A

= b2(sin2 A + cos2 A) + c2 − 2bccosA J『三角比の相互関係 ii)』(p.163)

= b2 + c2 − 2bccosA

となり成立． �

c

ab

A B

C

A

C

B

第 2余弦定理（余弦定理）

4ABCにおいて

a2 = b2 + c2 − 2bccosA

b2 = c2 + a2 − 2cacosB

c2 = a2 + b2 − 2abcosC

が成り立つ．

ここから次の事実が導かれる．

Aが鋭角 ⇔ cosA > 0 ⇔ a2 < b2 + c2

Aが直角 ⇔ cosA = 0 ⇔ a2 = b2 + c2

Aが鈍角 ⇔ cosA < 0 ⇔ a2 > b2 + c2

特に，Aが直角のときは，三平方の定理に一致する．

余弦定理の主な使い方は，a2 = b2 + c2 − 2bccosAなどの関係式から，辺の長

さや角度を求めることである．余弦定理は・3・辺・と・1・角・に・つ・い・て・成・り・立・つ・関・係・式

であることに注意しよう．たとえば，2つの辺と 1つの角がわかれば，この関

係式からもう 1つの辺の長さが計算できるという具合である．

【例題：余弦定理の利用～その１～】¶ ³

4ABCにおいて，b = 3，c = 4√

2，A = 45◦ のとき，aの値を求めよ．µ ´【解答】

点 A からみる余弦定理より J

A B

C

45◦

a3

4√

2a2 = b2 + c2 − 2abcosA

= 32 +(4√

2)2 − 2 · 3 · 4

√2 cos 45◦

= 9 + 32− 24√

2×√

22

= 17

よって，a =√

17である．



■余弦定理で角（の余弦）を求める

この（第 2）余弦定理は，3つの辺から 1つの角度を求めるためによく用いられる．たと

えば，角 Aの大きさを求めるには，公式 a2 = b2 + c2 − 2bccosAを用いればよい．

また，公式 a2 = b2 + c2 − 2bccosAを cosAについて解けば，

2bccosA = b2 + c2 − a2 ⇔ cosA =b2 + c2 − a2

2bc

となる．同様に

cosB =c2 + a2 − b2

2ca, cosC =

a2 + b2 − c2

2ab

である．この式は，角度を求めるときに便利である．

この形で余弦定理を覚えてもよい．各自の覚えやすい方で覚え，もう一方へ変

形できれば十分である．

【例題：余弦定理の利用～その２～】¶ ³

4ABCにおいて，a =√

21，b = 4，c = 5のとき，Aの値を求めよ．また，cosBを

求めよ．

µ ´【解答】

4ABC に点 A からみる余弦定理を用いると，cosA =

b2 + c2 − a2

2bc．これより J A

B C√21

5 4cosA =

42 + 52 −(√

21)2

2 · 4 · 5 =12

よって，A = 60◦ となる．

同じく余弦定理を用いると，cosB =c2 + a2 − b2

2ca．こ

れより

cosB =52 +

(√21

)2 − 42

2 · 5 · √21

=30

10√

21=

√217

Jちなみに，√

217; 0.655である

ので，p.229の表より B ; 49◦ である．


4.2 平面図形の計量 181

§ 4.2

平面図形の計量

ここではまず，三角形の形状や大きさが決まるための条件を整理し，その後，

今まで学んできたことの実地訓練として，平面図形の具体的な計量を行う．こ

のセクションの終わりには，平面図形に関する有名な定理も紹介する．

4.2.1　三角形の決定　

■三角形の合同

2つの図形が合同 (congruence)であるとは，「空間的な回転・平行移動によって 2つの

図形が完全に重なる」ことである．

2つの三角形の場合は，3辺と 3つの内角がすべて一致すれば合同である．しかし，実

際には，中学校でも学習したように，三角形の合同条件 (conditions of congruence)

1) 1辺とその両端の角が等しい（2角きょう

夾辺相等）

2) 2辺とその間の角が等しい（2辺きょう

夾角相等）

3) 3辺が等しい（3辺相等）

のいずれかが成り立てば十分である．

■三角形の決定条件

「三角形が決定する」とは，「3辺と 3つの内角が決まった値をもつこと」である．

たとえば，三角形の 3つの内角が 40◦，60◦，80◦ と与えられても，辺の長さはわからな

いので，この三角形は決定しない．しかし，さらにどこか 1辺の長さが与えられれば，こ

の三角形は決定する．

三角形を決定するための条件は，上の合同条件 1)～3)に対応して，3つの場合がある．

i) 1辺とその両端の角が与えられた場合

ii) 2辺とその間の角が与えられた場合

iii) 3辺が与えられた場合

たとえば，i) の条件で三角形を 2つ描けば，その 2つの三角形は合同条件 1)によって合

同であり，3辺と 3つの内角において違いはありえない．ii), iii) も同様である．

また，常にではないが

iv) 2辺とその間でない角が与えられた場合

でも，三角形を決定する場合がある．



以下では，これらの情報が与えられ三角形が決定したとき，残りの辺と角を求める方法

を考えてみよう．

【例題：1辺とその両端の角が与えられた場合】¶ ³

(1) A = 60◦，B = 75◦，AB = 2である三角形において，C，a，bを求めよ．

(2) A = 60◦，B = 45◦，AB = 2である三角形において，C，a，bを求めよ．µ ´【解答】

(1) 三角形の内角の和は 180◦ なので J

2

ab

A B

C

60◦ 75◦

CC = 180◦ − (60◦ + 75◦) = 45◦

また，正弦定理a

sinA=

csinC

を用いて

a =csinAsinC

=2 sin 60◦sin 45◦

=2 ·

√3

2√2

2

=2√

3√2

=√

6 J『複分数*3』(p.4)

また，点 Bからみる第 1余弦定理 b = acosC + ccosAを J　

2

√6b

A B

C

60◦

45◦用いて

b =√

6 cos 45◦ + 2 cos 60◦ =√

3 + 1

【別解：75◦ の三角比 (p.171参照)を覚えている場合】

正弦定理b

sinB=

csinC

より

b =2 sin 75◦sin 45◦

=2 ·

√6+√

24√

22

=√

3 + 1

(2) 三角形の内角の和は 180◦ なので J

2

ab

A B

C

60◦ 45◦

CC = 180◦ − (60◦ + 45◦) = 75◦

また，正弦定理a

sinA=

bsinB

を用いて

asin 60◦

=b

sin 45◦⇔ a√

32

=b√2

2

⇔ a =

√3

2√2

2

b =

√3√2

b · · · · · · 1©

また，点 Cからみる第 1余弦定理 c = acosB+ bcosAを J

2

ab

A B

C

60◦ 45◦用いて

*3 §4.2『平面図形の計量』，§4.3『空間図形の計量』においては，複雑な式計算が必要なこともある．これを正確に行うために参照すべきページを，このように記しておく．学習にあたって活用してほしい．



2 = bcos 60◦ + acos 45◦ ⇔ 2 =b2

+

√2a2

⇔ 4 = b +√

2a · · · · · · 2©

1©を 2©に代入して

4 = b +√

2 ·√

3√2

b ⇔ 4 =(1 +√

3)b

⇔ b =4

1 +√

3= 2√

3− 2 J『分母の有理化』(p.21)

1©に代入して，a = 3√

2−√

6となる．

【別解：75◦ の三角比 (p.171参照)を覚えている場合】

正弦定理a

sinA=

bsinB

=c

sinCより

a =csinAsinC

=2 sin 60◦sin 75◦

=2 ·

√3

2√6+√

24

=4√

3√6 +√

2= 3√

2−√

6

b =csinBsinC

=2 sin 45◦sin 75◦

=2 ·

√2

2√6+√

24

=4√

2√6 +√

2= 2√

3− 2

【例題：2辺とその間の角が与えられた場合】¶ ³

(1) A = 45◦，b =√

6，c =√

3 + 1である三角形において，a，B，Cを求めよ．

(2) A = 75◦，b =√

6，c = 2である三角形において，a，B，C を求めよ．ただし，

cos 75◦ =

√6− √2

4である．

µ ´【解答】

(1) 点 A からみる余弦定理 a2 = b2 + c2 − 2bccosAを用 J　

√3 + 1

a√

6

A B

C

45◦ B

C

いて

a2 =√

62 +(√

3 + 1)2 − 2

√6(√

3 + 1)cos 45◦

= 6 + 4 + 2√

3− 2√

6(√

3 + 1)·√

22

= 10+ 2√

3− 2√

3(√

3 + 1)

= 4

より，a = 2となる．

また，点 Bからみる余弦定理 b2 = c2 + a2 − 2cacosB



を用いて J正弦定理を用いた場合は

sinB =bsinA

a=

√6 sin 45◦

2

=

√6 ·√

22

2=

√3

2

より，B = 60◦ または 120◦ となり，Bが 1つに定まらない．

cosB =c2 + a2 − b2

2ca=

(√3 + 1

)2+ 22 −

(√6)2

2(√

3 + 1)· 2

=4 + 2

√3 + 4− 6

4(√

3 + 1) =

2(√

3 + 1)

4(√

3 + 1) =

12

より，B = 60◦ となる．

三角形の内角の和は 180◦ なので

C = 180◦ − (45◦ + 60◦) = 75◦

(2) 点 A からみる余弦定理 a2 = b2 + c2 − 2bccosAを用 J

2

a√6

A B

C

75◦ B

Cいて

a2 =√

62 + 22 − 2√

6 · 2 cos 75◦

= 10− 2√

6 · 2 ·√

6− √24

= 10−√

6(√

6−√

2)

= 4 + 2√

3 =(√

3 + 1)2

J『2重根号』(p.33)

より，a =√

3 + 1となる．

また，点 B からみる余弦定理 b2 = c2 + a2 − 2cacosB

を用いて J正弦定理を用いた場合は

sinB =bsinA

a=

√6 sin 75◦√

3 + 1

=

√6 ·√

6 +√

24√

3 + 1=

√3

2

より，B = 60◦ または 120◦ となるが，B = 120◦ とすると，三角形の内角の和が 180◦ であることに矛盾するので，B = 60◦

とわかる．

cosB =22 +

(√3 + 1

)2 −(√

6)2

2 · 2(√

3 + 1) =

2(√

3 + 1)

4(√

3 + 1)

=12



C = 180◦ − (75◦ + 60◦) = 45◦

(1)，(2)のいずれの場合も，角 Bを求めるときに正弦定理・余弦定理のどちら

も使えた．しかし，正弦定理においては，右欄外の注のように 2つの角度が答

えとして現れ，一方，余弦定理においては 1つの角度が答えに定まった．

つまり，正弦定理・余弦定理の・両・方・が・使・え・る・場・合は，余弦定理を用いるとよい．

【例題：3辺が与えられた場合】¶ ³

(1) a = 2，b =√

6，c =√

3 + 1である三角形において，A，B，Cを求めよ．

(2) a = 2，b =√

6 +√

2，c =√

6 +√

2である三角形において，A，B，Cを求めよ．µ ´



【解答】

(1) 点 A からみる余弦定理 a2 = b2 + c2 − 2bccosAを用いて J　

√3 + 1

2√

6

A B

C

A B

C

cosA =b2 + c2 − a2

2bc=

(√6)2

+(√

3 + 1)2 − 22

2 · √6(√

3 + 1)

=6 + 4 + 2

√3− 4

2(3√

2 +√

6)

=6 + 2

√3

2(3√

2 +√

6) =

3 +√

3

3√

2 +√

6Jもし

3 +√

3

3√

2 +√

6=

3 +√

3√2(3 +√

3)

に気がつけば計算は易しい

が，気がつくのは難しい．

気がつかない場合は，こ

のように『分母の有理化』

(p.21)を行うしかない．

=

(3 +√

3) (

3√

2− √6)

18− 6

=9√

2− 3√

6 + 3√

6− 3√

212

=6√

212

=

√2

2

よって，A = 45◦ となる．

また，点 Bからみる余弦定理 b2 = c2 + a2 − 2cacosBを用

いて

cosB =c2 + a2 − b2

2ca

=

(√3 + 1

)2+ 22 −

(√6)2

2(√

3 + 1)· 2

=4 + 2

√3 + 4− 6

4(√

3 + 1) =

2(√

3 + 1)

4(√

3 + 1) =

12

J分母の 4(√

3 + 1) は展開しない方がよい．この問

いのように約分できるこ

ともあるし，そうでなくて

も，分母の有理化を容易に

行える．



C = 180◦ − (45◦ + 60◦) = 75◦

(2) 点 A からみる余弦定理 a2 = b2 + c2 − 2bccosAを用いて J　

√6 +√

2

2

√6 +√

2

A B

C

A B

CcosA =b2 + c2 − a2

2bc

=

(√6 +√

2)2

+(√

6 +√

2)2 − 22

2(√

6 +√

2) (√

6 +√

2)

=2(√

6 +√

2)2 − 4

2(√

6 +√

2)2

= 1− 2(√6 +√

2)2

J2(√

6 +√

2)2 − 4

2(√

6 +√

2)2

の分母・分子にある 2乗を展開しても良いが，計算は

ややこしくなる．



= 1− 28 + 4

√3

= 1− 14 + 2

√3

= 1− 4− 2√

316− 12

=

√3

2

より，A = 30◦ となる．

ここで，b = c =√

6+√

2より 4ABCは二等辺三角形であ

るから，B = Cなので

B = C =180◦ − A

2= 75◦

■2辺とその間でない角が与えられた場合

2辺とその間でない角が与えられた場合は，三角形がただ 1つ決定するとは限らない．

たとえば，b，cと Bが与えられている場合を考えてみよう．

Bを鋭角としたとき*4，bの値によって次の 4つの場合があるとわかる．このとき，点

A を中心とする半径 bの円を考えるとわかりやすい．

i) c 5 bの場合

4ABCは 1つだけ存在する．

c

b

A B

C

B

ii) csin B < b < cの場合

2つの 4ABCが存在する．

c

b

A B

C

C

B

iii) csin B = bの場合

4ABCは 1つだけ存在する．

このとき，4ABC は C = 90◦ の直角三

角形となる．

c

b

A B

C

B

iv) b < csin Bの場合

このような三角形は存在しない．

cA BB

以上の条件に注意しながら，次の例題をみてみよう．

*4 Bが鈍角のときは，b > cであれば常に 4ABC は 1つに定まり，b 5 cであれば存在しない．余力のある人は考えてみよう．



解く前に図を必ず描き，答えが何通りありそうか，見通しを立てるようにし

よう．

【例題：2辺とその間でない角が与えられた場合】¶ ³

(1) A = 30◦，a =√

2，b = 2である三角形において，B，C，cを求めよ．

(2) A = 45◦，a = 2，b =√

2である三角形において，B，C，cを求めよ．µ ´【解答】

(1) 正弦定理 asinA

=b

sinBを用いて

J　

c

√22

A B

C

30◦ B

CsinB =2 sin 30◦√

2=

2 · 12√2

=

√2

2

より，B = 45◦または 135◦ となる．

i) B = 45◦ のとき Jこのときは，下の図のようになっている．

c

√22

A B

C

30◦ 45◦

C


C = 180◦ − (30◦ + 45◦) = 105◦

また，点 Cからみる第 1余弦定理

c = bcosA + acosBより

c = 2 cos 30◦ +√

2 cos 45◦

= 2 ·√

32

+√

2 ·√

22

=√

3 + 1

ii) B = 135◦ のとき Jこのときは，下の図のようになっている．

c

√2

2

A B

C

30◦135◦

C


C = 180◦ − (30◦ + 135◦) = 15◦

また，点 Cからみた第 1余弦定理

c = bcosA + acosBより

c = 2 cos 30◦ +√

2 cos 135◦

= 2 ·√

32

+√

2 ·(−√

22

)=√

3− 1

この問では，下図のように 2つ

√22

A B

C

B30◦ 45◦

135◦

|| ||

の場合がある．



(2) 正弦定理 asinA

=b

sinBを用いて J　

c

2√

2

A B

C

45◦ B

CsinB =

√2 sin 45◦

2=

√2 ·

√2

2

2=

12

より，B = 30◦ または 150◦ となるが，B = 150◦ のと

きは，A+ B = 45◦ + 150◦ > 180◦ となって不適．よっ

て，B = 30◦ となる．


C = 180◦ − (45◦ + 30◦) = 105◦

また，点Cからみる第 1余弦定理 c = bcosA+acosB

より

c =√

2 cos 45◦ + 2 cos 30◦ =√

2 ·√

22

+ 2 ·√

32

= 1 +√

3

【例題：四角形の計量】¶ ³

四角形 ABCD において，AB = 5，BC = 8，

5

8

5

A

B C

D

60◦

45◦CD = 5，∠ABC = 60◦，∠CAD = 45◦ のとき，次

の問に答えよ．

(1) ACの長さを求めよ．

(2) AD の長さを求めよ．

(3) 四角形 ABCDの面積を求めよ．µ ´【解答】

(1) 4ABCに ∠ABCからみる余弦定理 J 2辺とその間の角が与えられている

5

8

A

B C

60◦

AC2 = AB2 + BC2 − 2 · AB · BC cos∠ABCを用いて

AC2 = 52 + 82 − 2 · 5 · 8 cos 60◦

= 25+ 64− 80 · 12

= 49

よって，AC = 7である．

(2) 4CADに ∠CADからみる余弦定理 J 2辺とその間でない角が与えられている

75

A

C

D

45◦

DC2 = AD2 + AC2 − 2 · AD · AC cos∠CADを用いて

52 = AD2 + 72 − 2 · AD · 7 cos 45◦

⇔ 25 = AD2 + 49− 2 · 7 ·√

22

AD



⇔ AD2 − 7√

2AD + 24 = 0

2次方程式の解の公式より

AD =7√

2±√(

7√

2)2 − 4 · 24

2

=7√

2± √98− 962

=7√

2± √22

= 3√

2 または 4√

2

(3) 4ABCの面積を S1，4CADの面積を S2とすると

S1 =12· AB · BC sin∠ABC

=12· 5 · 8 ·

√3

2= 10

√3

S2 =12

AC · AD sin∠CAD

=12· 7 · AD ·

√2

2

つまり，AD = 3√

2のときは S2 =212，AD = 4

√2

のときは S2 = 14．

四角形 ABCDの面積は S1 + S2に等しいので，

AD = 3√

2のときは 10√

3 +212

AD = 4√

2のときは 10√

3 + 14

が求める答えになる．

この問では下の図のように 2つの場合がある．

5

8

3√

24√

2

5

A

B C

DD

60◦

45◦



4.2.2　平面図形におけるいくつかの定理　

ここでは，平面図形に関して覚えておくべき定理を紹介する．三角形の決定条件を頭に

浮かべながら，以下の例題を見てみよう．

【例題：二等辺三角形を分割する線の長さ】¶ ³

右図のような二等辺三角形 ABC において

a a

b c

A

B CD

次の問に答えよ．ただし b > cとする．

(1) AD の長さを求めよ．

(2) cos∠ABD の値を求めよ．µ ´【解答】

(1) ∠ABD = ∠ACD = θとおき，AD = xとおく．4ABD J　

a a

b c

x

A

B CDθ θ

に ∠ABD からみる余弦定理を用いると

cosθ =a2 + b2 − x2

2ab· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1©

4ACDに ∠ACDからみる余弦定理を用いると

cosθ =a2 + c2 − x2

2ac· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2©

1©， 2©より

a2 + b2 − x2

2ab=

a2 + c2 − x2

2ac

⇔ c(a2 + b2 − x2) = b(a2 + c2 − x2)

⇔ (b− c)x2 = ba2 + bc2 − ca2 − cb2

⇔ (b− c)x2 = a2(b− c) − bc(b− c)

⇔ (b− c)x2 = (a2 − bc)(b− c)

b > cより b , cなので，両辺を (b− c)で割って Jこの問題の結果は，b = c のとき

も成立する．ただし，解答の方法

ではうまくいかず，三平方の定理

などを使うことになる．x2 = a2 − bc ∴ x =

√a2 − bc

(2) (1)で求めた x =√

a2 − bcを 1©に代入して J別解として，以下のように補助線を引いて，導くこともできる．

a

a

b + c

θ

A

B C

cosθ =a2 + b2 − (a2 − bc)

2ab=

b2 + bc2ab

=b + c2a



【暗記：角の 2等分線の定理】¶ ³

4ABCにおいて，∠A の 2等分線と辺 BCとの交点を Dとする．A

B CD

θ θ(1) 4ABD と 4ACD の面積を考えることによって，

AB：AC = BD : DCが成り立つことを証明せよ．

(2) AB = a，AC = b，BD = c，CD = dとするとき，

AD =√

ab− cdと表せることを示せ．µ ´【解答】

(1) 4ABD，4ACDの面積をそれぞれ S1，S2とすると

S1 =12

AB · AD sinθ , S2 =12

AD · AC sinθ J『三角形の面積』(p.174)

と表せるので，S1：S2 = AB：AC · · · · · · · · 1©また，A から辺 BCに下ろした垂線 AH の長さを hとおくと J

A

B CD HS1 =

12

BD · h , S2 =12

DC · h

と表せるので，S1：S2 = BD：DC · · · · · · · · 2©1©， 2©より AB：AC = BD : DC � Jこれは S1 : S2 にも等

しい．(2) まず a , bとする．AD = xとおき，4ABD と 4ACDに余弦

定理を用いると

(cosθ =) x2 + a2 − c2

2xa=

x2 + b2 − d2

2xb

⇔ b(x2 + a2 − c2) = a(x2 + b2 − d2)

⇔ (a− b)x2 = ab(a− b) − (bc2 − ad2)

⇔ (a− b)x2 = ab(a− b) − (adc− bcd) J (1) より a : b = c : d，つまり ad = bc がいえる⇔ (a− b)x2 = ab(a− b) − cd(a− b)

x2 = ab− cd ∴ x =√

ab− cd J両辺を (a−b)で割った

a = bのときは c = d，∠ADC = 90◦ となる．4ABD に三平方

の定理を用いて AD =√

a2 − c2 =√

ab− cd �

角の 2等分線の定理

4ABCにおいて，∠A の 2等分線と辺 BCとの A

B CD

• •交点を Dとするとき

AB：AC = BD : DC (= 4ABD : 4ADC)

が成り立つ．

つまり，角の 2等分線によって，上の 2辺の比と下の線分の比が一致する．



【暗記：四角形の対角線と面積の関係】¶ ³

2つの対角線の長さが a，bで，そのなす角が θA

B

C D

Pa b

θ

である，右図のような四角形の面積 Sを求めよ．

µ ´【解答】

4ABP，4BCP，4CDP，4DAPの面積を，それぞれ S1，

S2，S3，S4とおくと

S1 =12

AP · BP sinθ J『三角形の面積』(p.174)

S2 =12

BP · CP sin(180◦ − θ)

=12

BP · CP sinθ J『180◦ − θ の三角比』(p.167)

S3 =12

CP· DP sinθ

S4 =12

DP · AP sin(180◦ − θ)

=12

DP · AP sinθ

となるから

S = S1 + S2 + S3 + S4

=12

(AP · BP+ BP · CP+ CP· DP+ DP · AP) sinθ

=12

{BP · (AP + CP)+ DP · (CP+ AP)

}sinθ

=12

(AP + CP) (BP+ DP) sinθ

=12

AC · BD sinθ =12

absinθ �

四角形の対角線と面積の関係

右図のような四角形の 2つの対角線の長さが a，b，

a bθ

そのなす角が θのとき，この四角形の面積 Sは

S =12

absinθ

となる．

この例題は，等積変形を駆使して解くこともできる．



【暗記：内接円の半径を求める】¶ ³

三角形の 3つの辺すべてに接する円を，その三角形の内接円 (inscribed circle)とい

A B

C

I

r

ab

c

う．1つの三角形に対し，内接円は 1つに定まる*5．

b = 4，c = 5，A = 60◦ である 4ABCについて，内接円

の半径を r とする．

(1) aの値を求めよ． (2) 4ABCの面積を求めよ．

(3) 4ABCの内接円の半径を求めよ．µ ´【解答】

(1) 点 A からみる余弦定理より

a2 = b2 + c2 − 2abcosA

= 42 + 52 − 2 · 4 · 5 cos 60◦

= 16+ 25− 40× 12

= 21

よって，a =√

21である．

(2) S =12

bcsinA =12· 4 · 5 sin 60◦ = 5

√3 J『三角形の面積』(p.174)

(3) 内接円の中心を I とすると，4ABI，4BCI，4CAI の面積は

それぞれ12

cr，12

ar，12

brとなるから，4ABCの面積 SはJそれぞれ，AB，BC，CAを底辺とみて，内接円の

半径を高さにとった．S =12

ar +12

br +12

cr =12

r(a + b + c) · · · · · · 3©

とも表せる．よって (2)と 3©より

r =2S

a + b + c=

2 · 5√3√21+ 4 + 5

=10√

3√21+ 9

=3√

3−√

72

三角形の内接円と面積の関係

三角形の面積 Sは，内接円の半径 r を用いて

A B

C

I

r

ab

c

S =12

r(a + b + c)

と表すことができる．ここで a，b，cは各辺の

長さを表す．

この公式は，必要なときに導くことができれば十分である．ただし，三角形と

その内接円を見たら「三角形の面積は計算できる」と連想できるようにしよう．

*5 内接円については，FTEXT数学 B で詳しく取り扱う．



【暗記：円に内接する四角形】¶ ³

円に内接する四角形 ABCDにおいて，AB = 4，A

B C

DBC = 5，CD = 3，DA = 3とする．

(1) A + C = 180◦ を示せ．

(2) cosA = − cosCを示せ．

(3) 対角線 BDの長さを求めよ．

(4) 四角形 ABCDの面積を求めよ．µ ´【解答】

(1) 中心角は円周角の 2倍なので J『正弦定理』(p.175)の証明 iii) の中で，別の方法で証明した．

A

B C

D

α

β

Aは右欄外の図の 12αと等しく，

Cは右欄外の図の 12βと等しい．

よって，A + C =12

(α + β) = 180◦ �

(2) (1)より，A = 180◦ −Cであるので

cosA = cos (180◦ − A) = − cosC � J『180◦ − θ の三角比』(p.167)

(3) 4ABD に点 A からみる余弦定理を用いて

BD2 = 42 + 32 − 2 · 4 · 3 cosA

= 25− 24 cosA · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1©

4CBDに点 Cからみる余弦定理を用いて

BD2 = 52 + 32 − 2 · 5 · 3 cosC

= 34− 30 cosC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2©

1©， 2©，cosA = − cosCより

25− 24 cosA = 34+ 30 cosA

⇔ cosA = − 954

= − 16

これを 1©に代入して

BD2 = 25− 24 ·(− 1

6

)= 29

BD > 0であるので，BD =√

29と分かる．

(4) sinA =√

1− cos2 A =

√356より

4ABD =12· 4 · 3 ·

√356

=√

35 J『三角形の面積』(p.174)



また，sinC = sin (180◦ − A) = sinAより J『180◦ − θ の三角比』(p.167)

4CBD =12· 5 · 3 ·

√356

=54

√35 J『三角形の面積』(p.174)

よって，求める面積は√

35+54

√35 =

94

√35

円に内接する四角形の向かい合う角

円に内接する四角形において，以下が成立する． A

B C

D• A + C = 180◦ (⇔ ∠A =（∠Cの外角）)

• cosA = − cosC

• sinA = sinC

B, Dについても同様である．

四角形が円に内接している場合は，たいてい，次の関係のうちいくつかを使う．

• 円周角の定理• 中心角が円周角の 2倍（特に，直径に対する円周角は 90◦）

• 上で学んだ，向かい合う角の関係

【暗記：トレミーの定理】¶ ³

右図のように，四角形 ABCDが円に内接している．

A

B

C D

AB = a，BC = b，CD = c，DA = dとするとき，以

下の式を示せ．

(1) (ad+ bc)BD2 = (ab+ cd)(ac+ bd)

(2) AC · BD = ac+ bdµ ´【解答】

(1) 4ABD に ∠BAD からみる余弦定理を用いると

cos∠BAD =a2 + d2 − BD2

2ad· · · · · · 1©

4CBDに ∠BCDからみる余弦定理を用いると

cos∠BCD =b2 + c2 − BD2

2bc· · · · · · 2©

− cos∠BAD = cos∠BCDであるので， 1©， 2©より

− a2 + d2 − BD2

2ad=

b2 + c2 − BD2

2bc

⇔ bc(BD2 − a2 − d2) = ad(b2 + c2 − BD2) J両辺に 2ad · bcをかけた



⇔ (ad+ bc)BD2 = ad(b2 + c2) + bc(a2 + d2)

= ab(bd+ ac) + cd(ac+ bd)

= (ab+ cd)(ac+ bd) �

(2) cos∠ABC = − cos∠ADCより

− a2 + b2 − AC2

2ab=

c2 + d2 − AC2

2cd

(1)と同じように整頓すれば

(ab+ cd)AC2 = cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)

⇔ (ab+ cd)AC2 = (ad+ bc)(ac+ bd)

これと (1)の結果より J左辺どうし，右辺どうしを掛け合わせた

(ad+ bc)BD2 × (ab+ cd)AC2

= (ab+ cd)(ac+ bd) × (ad+ bc)(ac+ bd)

⇔ BD2 · AC2 = (ac+ bd)2

∴ BD · AC = (ac+ bd) �

§ 4.3

空間図形の計量

空間図形は，自分が求めたい長さ・角度に関連する面だけを取り出し，平面図

形の問題へと帰着させて考える．時には，立体の切り口を考える必要がある．

この際，p.181などに注意しながら三角形を選ぶことが重要になってくる．

以下では，代表的な空間図形について考えてみよう．

4.3.1　直角が 1つの頂点に集まった四面体　

四面体の頂点の 1つに，2つ以上直角を含む場合は比較的簡単である．図形を切ること

なく，どれかの面を取り出して考えればたいていうまくいくからである*6．

1 つの頂点に直角が 3 つ集まった三角錐のことを直角三角錐 (rectangular triangular

pyramid)という．

*6 平面に対し，異なる 2方向から直角である線分は，平面に対し垂線になっていることに注意すればよい．


4.3 空間図形の計量 197

【例題：直角三角錐の計量】¶ ³

右の図のように，∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90◦ の

2

3

6O

A

B

C

直角三角錐 OABCにおいて，次の問に答えよ．ただ

し，OA = 2，OB = 3，OC = 6とする．

(1) 辺 AB，BC，CAの長さをそれぞれ求めよ．

(2) ∠ACB = θとするとき，cosθの値を求めよ．

(3) 4ABCの面積 Sを求めよ．µ ´【解答】

(1) 4OAB，4OBC，4OCAそれぞれに，三平方の定理を

用いて

AB =√

13 , BC = 3√

5 , CA = 2√

10

(2) 4ABCに ∠ACBからみる余弦定理を用いて

cosθ =CA2 + CB2 − AB2

2CA · CB

=40+ 45− 13

2 · 2√10 · 3√5=

3√

25

(3) (2)より

sinθ =√

1− cos2 θ

=

√1−

(3√

25

)2

=

√1− 18

25=

√7

5

だから，(1)より 4ABCの面積 Sは

S =12

CA · CB sinθ

=12· 2√

10 · 3√

5 ·√

75

= 3√

14

この問において，4OAB，4OBC，4OCAの面積をそれぞれ S1，S2，S3とお

くと

S12 + S2

2 + S32 = S2

が成り立っているのが確認できる．この関係は，一般の直角三角錐で成り立

ち，三平方の定理の空間版といえるものである．



【例題：山の高さを求める】¶ ³

ある山から真北の地点 A と，真東の地点 Bがあり，この 2点は 4 km離れており，共

に標高 200 mである．地点 A から山の頂上を見上げると 45◦の高さであった．次に，

地点 Bから山の頂上を見上げると 30◦ の高さであった．この山の高さは何 kmか．µ ´

方角に注意しながら，文章の内容を図で表そう．

【解答】

山の頂上を T，山の頂上から真下にある標高 200 mの

点を Oとして問題を図に描けば，右欄外のようになる． J

4kmx km

O

A

B

T

30◦

45◦山の高さを求めるには，OTの長さを求めればよい．

OTの高さを x kmとおく．4OTAを点 A から見ると

tan 45◦ =x

OA⇔ OA = x · · · · · · 3©

4OTBを点 Bから見ると

tan 30◦ =x

OB⇔ OB =

√3x · · · · · · 4©

4AOB における三平方の定理 AO2 + BO2 = AB2 に 3©，4©，AB = 4を代入して

x2 +(√

3x)2

= 42 ⇔ x = 2

と解ける．つまり，山の高さは 2 km+ 200 m= 2.2 kmで

ある．

【例題：三角錐の計量】¶ ³

右図のような三角錐 OABCにおいて，次の問に答

6

O

A

B

C60◦ 75◦

45◦

えよ．

(1) 辺 OBの長さを求めよ．

(2) 辺 OAの長さを求めよ．

(3) 辺 ACの長さを求めよ．

(4) ∠ABC = θとするとき，cosθの値を求めよ．µ ´【解答】

(1) 4OBCに正弦定理を用いて J

B

O

C75◦ 45◦

60◦

6

OBsin 45◦

=6

sin 60◦

⇔ OB =sin 45◦sin 60◦

× 6 =

√2

2√3

2

× 6 = 2√

6



(2) OA = OB sin 60◦ = 2√

6 ·√

32

= 3√

2

(3) まず，4OBCに ∠OBCからみる第 1 余弦定理を用 J　62

√6

O C

B

60◦ 45◦

70◦いて

OC = BO cos∠BOC+ BC cos∠BCO

= 2√

6 cos 60◦ + 6 cos 45◦

= 2√

6 · 12

+ 6 ·√

22

=√

6 + 3√

2

これより，4OACに三平方の定理を用いて

AC =√

OC2 −OA2 =

√(√6 + 3

√2)2 −

(3√

2)2

=

√6 + 12

√3 J

√6 + 12

√3 はこれ以上簡単にな

らない

(4) まず，AB = OB cos 60◦ = 2√

6· 12

=√

6．これより，

4ABCに ∠ABCからみる余弦定理を用いて J

B

A

C

6

√6

√6 + 12

√3

cosθ =AB2 + BC2 − AC2

2AB · BC

=6 + 36−

(6 + 12

√3)

2 · √6 · 6=

√6−√

22

4.3.2　正多面体　

空間図形において，全ての面が合同な正多角形からなり，各頂点に集まる辺の数が全て

等しい多面体のことを正多面体 (regular polyhedron)という*7．

正多面体は

i) 正四面体

ii) 正六面体（立方体）

iii) 正八面体

iv) 正十二面体

v) 正二十面体

の 5つしかないことが知られている*8．

*7 たとえば，正四面体は正多面体であるが，正四面体 2つを重ねてできる六面体は，頂点に集まる辺の数が3つの場合と 4つの場合があるので，正多面体ではない．

*8 輪郭がへこんでいる多面体は，おう

凹多面体 (concave polyhedron)といい，

普通の多面体であるとつ

凸多面体 (convex polyhedron)とは区別する．凹多面体も多面体に含めると，正多面体は全部で 9つあることが知られている．右の図は，正凹多面体の 1つである．



正多面体にはたくさんの二等辺三角形がある．それを上手に生かした切り口を

考えよう．

【例題：正四面体の計量】¶ ³

右下図のように，1辺の長さが 1である正四面体 ABCDについて以下の問に答えよ．

1

A

B

C

D

(1) 4BCDの面積 Sを求めよ．

(2) 頂点 A から 4BCDに下ろした垂線の足を H を

するとき，AH の長さを求めよ．

(p.214に，この問題の続きがある．)µ ´【解答】

(1) ∠CBD = 60◦ であるから

S =12

BD · BC sin 60◦ J『三角形の面積』(p.174)

=12· 1 · 1 ·

√3

2=

√3

4

(2) まず，辺 BC の中点を M とおくと，AM ⊥ BC， J

1

A

B

C

D

MDM ⊥ BCとなり，H は，A から MD におろした垂

線の足であるとわかる．

まず，4ABM に三平方の定理を用いて J

1

A

B

C

D

M

AM2 = AB2 − BM2 = 12 −(

12

)2=

34

よって，AM =

√3

2．同様に，DM =

√3

2である．

次に，∠AMD = θ とおくと，4AMD に点 M からみ

る余弦定理 J

√3

21||

||

A

M D

AD2 = MA2 + MD2 − 2MA ·MD cosθを用いて

cosθ =MA2 + MD2 − AD2

2MA ·MD

=

34 + 3

4 − 12

2( √

32

)2=

13

であり，sin2 θ + cos2 θ = 1より J『三角比の相互関係』(p.163)

sinθ =√

1− cos2 θ =

√1−

(13

)2=

2√

23



よって，AH の長さは J

1

A

B

C

D

MH

AH = AM sin θ =

√3

2· 2√

23

=

√6

3

【別解：Hが 4BCDの重心であることを使う】

まず，辺 BCの中点を M とおくと，AM ⊥ BCとな

るので，4ABM に三平方の定理を用いて

AM2 = AB2 − BM2 = 12 −(

12

)2=

34

よって，AM =

√3

2．同様に，DM =

√3

2である． Jここまでは上の解答と共通

次に，正四面体の対称性から，点 Hは 4BCDの重心

となるので MH : HD = 1 : 2，つまり

MH =13

DM =

√3

6

最後に，4AMH に三平方の定理を用いて J

1

A

B

C

D

MH

AH2 = AM2 −MH2 =34− 3

36

=27− 3

36=

23

よって，AH =

√23

=

√6

3となる．

4.3.3　正多角錐　

空間図形において，底面が正多角形で，側

面が二等辺三角形で作られ，側面の頂点が

一点に集まっている多面体のことを正多角

錐 (regular pyramid)という（正角錐ともい

う）．底面が正 n角形の正多角錐のことを正

n角錐といい，nは 3以上の自然数をとり

うる．

右の図は正三角錐と正四角錐である．底面の形状がわかり易いように底面を上にして

ある．



【例題：正四角錐の計量】¶ ³

右図のように，底面の 1辺の長さが 2，高さ OHが 1である正四角錐 OABCDにつ

1

2

O

A

B

C

D

H

いて以下の問に答えよ．

(1) 底面と側面のなす角 αを求めよ．

(2) A から辺 OBに下ろした垂線 AE の長さを

求めよ．

(3) 隣り合う 2つの側面のなす角 βを求めよ．

µ ´【解答】

(1) 辺 AB の中点を M とおくと，4OAB，4HAB は共 J　

1

2

O

A

B

C

D

M H

に二等辺三角形であるから，OM ⊥ AB，HM ⊥ AB

である．よって，∠OMHが底面と側面のなす角 αで

ある．

いま，直角三角形 OMHにおいて，OH = HM = 1よ

り，α = 45◦ となる．これは，他の側面についても同

様である．

(2) ∠OBA = θとおくと，三平方の定理より J　

E

θ

O

A

B

C

DOB =

√OH2 + BH2 =

√12 +

(√2)2

=√

3

OM =√

2

である．4OBMに着目して，sinθ =OMOB

=

√2√3

=

√6

3となる．ここで，4ABE に着目すれば，AE =

AB sinθ = 2 ·√

63

=2√

63である．

(3) 4OAB ≡ 4OCBであり，AE ⊥ OBより，CE⊥ OB． J　

E

O

A

B

C

D

よって，∠AECが求める角 βである．

4AECに ∠AECからみる余弦定理を用いると

cosβ =AE2 + CE2 − AC2

2AE · CE=

2AE2 − AC2

2AE2

= 1−(2√

2)2

2(

2√

63

)2= − 1

2

よって，β = 120◦ となる．

正多角錐においては，頂点からの垂線の足が，底面の中心（対角線の交点）にく

る．よって，底面の対角線を通る平面などに着目するとよい．


4.4 図形の面積比・体積比 203

§ 4.4

図形の面積比・体積比

三角比は，計算という側面から図形問題を扱うことを可能にする，強力な道具

である．しかし，その道具に頼りすぎると，合同・相似など，図形の視覚的な

側面が見えにくくなる．

この節では，図形の視覚的な側面に注目するため，一旦三角比を離れ，平面・

空間図形の面積比・体積比を中心に考える．

4.4.1　相似について　

2つの図形が相似 (similar)であるとは，「一方の図形を，ある 1点に対して拡大・縮小

すれば，他方の図形と合同*9になる」関係のことをいった．

これらの定義は，空間図形の相似についても当てはまる．

O

A

B

C

D

S

T

O S T

A

B

C

D

O

STA

B

C

D相似な二つの図形の，対応する辺の長さの比を相似比 (ratio of similitude)という*10．

たとえば，上の図において，図形 Sと図形 Tはいずれも相似である．また，Sと Tの

相似比はいずれも AB : CDに等しい．というのも，S上の線分 AB を Oについて拡大す

ると，いずれも T上の線分 CDに一致するからである．

*9 合同については，p.181を参照のこと．*10 三角形の相似については，中学校でも学習したように，次のいずれかが成り立てばよい．

• 対応する三辺の長さの比が，全て等しい．• 対応する二辺の長さの比が等しく，その間の角の大きさも等しい．• 対応する二角の大きさが等しい．



【例題：相似について】¶ ³

以下の，相似に関する文章は正しいか，間違いか．図を描いて考えなさい．

また，(1)～(3)が正しい場合は，2つの図形の何の比が相似比に一致するか答えな

さい．

(1) どのような 2つの正方形も，相似である．

(2) どのような 2つの円も，相似である．

(3) どのような 2つの直方体も，相似である．

(4) 2つの立体 Sと Tが相似ならば，Sの表面と Tの表面は互いに相似である．µ ´【解答】

(1) 正しい．また，1辺の長さの比が相似比に一致する．

(2) 正しい．また，半径の比が相似比に一致する．

(3) 間違い．たとえば，右

の直方体２つは相似で

はない（高さのみが異

なっている）．

(4) 正しい．Sの全体が拡大・縮小されて Tになるのだから，S J前ページのうち，立体図形のものを参考にするこ

と．の一部分を拡大・縮小しても Tのある一部になる．



4.4.2　平面図形の面積比　

■相似でない２つの三角形の面積比

まず，右の三角形 M，Nの面積比を考えてみよう．

面積を考えるときは，どこを底辺におくかに

M NB

A

CD

E

= =

1©

2© 2

3

よって，難易度が大きく変わってくる．

この場合は，M の底辺を BD，Nの底辺を CD

とおけば，M，Nの底辺の長さは等しくなり，簡

単になる．

底辺をこのようにおけば，M の高さの 32倍

が，Nの高さになる．

つまり，M の面積を 32倍

MB

D

E

=

2©

底辺は同じ

高さは32倍

=⇒面積は

32倍

N

A

CD =

3©

すると Nの面積に等しい．

よって，M，Nの面積比は

2 : 3である．

B

A

CD

E3©

4©

1 2

MN

次に，右の三角形 M，N の面積比を考え

てみよう．M の底辺を BD，Nの底辺を CD

とすると，

M の底辺の長さを 21倍すると Nの底

辺の長さ

M の高さを 47倍すると Nの高さ

になる．

B

A

D

7©

1

M

底辺は21倍

高さは47倍

=⇒面積は

21× 4

7倍

CD

E

4©2

N

つまり，Mの面積を 21× 4

7=

87倍すると Nの面積に等しい．

よって，M，Nの面積比は 8 : 7

である．

【例題：平面図形の線分の比】¶ ³

ABCD において，辺 BC上に Eを，辺 CD上に Fをとり，BE : EC = 1 : 2，

DF : FC= 2 : 1とする（は「平行四辺形」を表す）．

(1) 問題を図示せよ． (2) 4FECと 4DECの面積比を求めよ．

(3) 4FBCと 4DECの面積比を求めよ．

(4) 4FECと ABCDの面積比を求めよ．µ ´



【解答】

(1) A

B C

D

E

F

1© 2©

2

1

(2) 底辺を ECとすれば， J DCと ECを底辺と考えた場合は，高さ

が等しくなる．

C

D

E

F

2

1

底辺は同じ

高さは31倍

=⇒面積は

31倍

C

D

E

3

なので，面積比は 1 : 3である．

(3) 4FBCの底辺を BC，4DECの底辺を ECとすれば， J 4FBC の底辺を

FC，4DEC の底辺を DC としてもよい．

B C

F

3©1

底辺は23倍

高さは31倍

=⇒面積は

23× 3

1倍 C

D

E 2©

3

なので，面積比は 1 : 2である．

(4) 4FEC3倍−→ 4DEC

((2)より

)32倍

−→ 4DBC

底辺を EC，BCにとれば，底

辺は32倍，高さは等しい

2倍−→ ABCD J 4FEC

32倍

−→ 4FBC3 倍−→ 4DBC2 倍−→ ABCD

でもよい．

よって 4FECの 3× 32× 2 = 9倍が ABCDの面積になるの

で，4FECと ABCDの面積比は 1 : 9である．

■相似な平面図形の面積比

相似比がm : nである，２つの三角形の面積比を考

M Nm©

n©えてみよう．

左の図からわかるように，

M の底辺の長さを nm倍すれば Nの底辺の長さ

M の高さを nm倍すれば Nの高さ

当然ながら，底辺・高さの比はいずれも等しい．



つまり，Mの面積を nm× n

m=

M

底辺はnm倍

高さはnm倍

=⇒面積は

nm× n

m倍

N

(nm

)2倍すると N の面積に等し

い．

よって，M，Nの面積比は

1 :(

nm

)2= m2 : n2である．

一般に，どんな平面図形においても，次のことが成り立つ．

相似な平面図形の面積比

相似比が m : nである２つの平面図形について，その面積比は m2 : n2である．

【例題：相似な図形の相似比】¶ ³

右の図において，AD : DB = 1 : 2，AE : EC = 1 : 2で

B

A

C

D E

F

あるとする．

(1) 相似な三角形の組を 2つ見つけ（証明は無くてよい），

それぞれについて面積の比を求めよ．

(2) 4DEFと 4ABCの面積比を求めよ．µ ´【解答】

(1) 4ADEと 4ABCについて， J念のため，証明をつけておく．

AD : AB = AE : AC = 1 : 3，∠A は共通

であるので，4ADE∽4ABC．

相似比は 1 : 3，面積比は 12 : 32 = 1 : 9である． J相似比が m : nのとき，面積比は

m2 : n2また，4ADE∽4ABC より ∠ADE = ∠ABC である

ので DE // BC，ここから 4FDE∽4FBC． J 4ADE∽4ABC を証明せず

AD : DB = AE : ECから DE //

BCを導いても構わない．相似比は DE : BC = 1 : 3，面積比は 12 : 32 = 1 : 9

である．

(2) 4DEF の面積を S とおく．このとき，(1) より

4FBC = 9Sである．また

EF : FB= 1 : 3より 4DBF = 3S

DF : FC= 1 : 3より 4EFC= 3S Jどちらも，高さが等しいので，底辺の比がそのまま面積比になる．であるので，四角形 DECB = S+3S+3S+9S = 16S．

ここで，(1)より 4ADE : 4ABC = 1 : 9より

四角形 DECB :4ABC = 8 : 9

となるので，4ABC = 16S × 98

= 18S．

よって，4DEF と 4ABC の面積比は S : 18S =

1 : 18．



4.4.3　空間図形の表面積・体積の比　

■相似な空間図形

相似比が m : nである，２つの相似な三角錐 S，Tについて，表面積比と体積比を考え

てみよう．

p.4で考えたように，２つの立体が相似な

O

STA

B

C

D

m©n©

らば，その表面の図形は互いに相似である．

左の Sと T について考えれば，Sのどの

表面の図形をとっても，Tの表面のある図形

と相似比が m : nであり，面積比は m2 : n2

に等しい．

つまり，Sの４つの表面の図形の面積を S1，S2，S3，S4とおけば，Tの４つの表面の

図形の面積はn2

m2S1，

n2

m2S2，

n2

m2S3，

n2

m2S4となるので

( Sの表面積 ) : ( Tの表面積 ) = (S1 + S2 + S3 + S4) :{

n2

m2(S1 + S2 + S3 + S4)

}

= 1 :(

n2

m2

)= m2 : n2

となる．

次に体積比を考えよう．

STA

B

C

D

底面はn2

m2倍

高さはnm倍

=⇒体積は

n2

m2× n

m倍

上で考えたように，Sの底面積の n2

m2倍

が Tの底面積になる．

また，Sの高さの nm倍が Tの高さ．

体積は，13×（底面積）×（高さ）で求めら

れるので，Sの体積を n2

m2× n

m=

n3

m3倍す

ると Tの体積に等しい．よって，S，Tの体積比は m3 : n3である．

一般に，どんな空間図形においても，次のことが成り立つ．

相似な立体図形の表面積比・体積比

相似比が m : nである２つの立体図形について，

(1) それぞれの表面をなす図形は相似であり，その相似比は m : nである．

(2) 表面積比は m2 : n2である．

(3) 体積比は m3 : n3である．



【例題：相似な図形の相似比】¶ ³

右図のような円錐 T を切り，上にできた円錐

を Sとする．

(1) Sと Tは相似である．相似比を求めよ．

(2) Sと Tの表面積比を求めよ．

(3) T から Sを除いた図形を U とする．Sと

Uの体積比を求めよ．

ST

3©

2©

µ ´【解答】

(1) 母線の長さの比から，3 : 5

(2) (1)より，表面積比は 32 : 52 = 9 : 25 J相似比が m : nのとき，表面積比

は m2 : n2

(3) (1)より，Sと Tの体積比は 33 : 53 = 27 : 125 J相似比が m : nのとき，体積比はm3 : n3．また，Sと U は相似ではないことに注意．

つまり，Sと Uの体積比は 27 : (125− 27) = 27 : 98

【例題：空間図形の表面積比と体積比】¶ ³

正四面体のそれぞれの辺の中点を結ぶと，正八面

体ができる．このとき，つぎの問に答えよ．

(1) この正四面体と正八面体の表面積比を求めよ．

(2) この正四面体と正八面体の体積比を求めよ．

A

B

C

D

µ ´【解答】

(1) まず，正四面体の 1つの面も，正八面体の 1つの面も正三角

形であり，互いに相似である．相似比は 2 : 1であるから，

面積比は 22 : 12 = 4 : 1である． J相似比が m : n のとき，

面積比は m2 : n2正四面体の 1つの面の面積を Sとすると，正四面体の表面

積は 4S，正八面体の表面積は 8×(

S4

)= 2Sである． J正八面体は，その名の通

り 8 枚の正三角形から成っている．

よって，求める比は 4S : 2S = 2 : 1である．

(2) 正八面体は，もとの正四面体から 4つの小さい正四面体を

除いたものである．

もとの正四面体と小さい正四面体の相似比は 2 : 1だから，

体積比は 23 : 13 = 8 : 1，つまり，正四面体の体積を Vとす J相似比が m : n のとき，体積比は m3 : n3

ると小さい正四面体の体積はV8．

よって，正八面体の体積は V − 4×(

V8

)=

V2となり，求め

る比は V : V2

= 2 : 1である．



§ 4.5

球

円を空間に広げたものが球，と考えてよい．

球は，最も美しい図形の 1つとして，古来から人々の興味を惹いてきた．

4.5.1　球の性質　

球には以下の性質がある．

• 球を平面で切れば，その切り口は必ず円である．

• 中心を通るどの直線，平面に対しても，球は対称である．

• Oを中心とする球が，球面上の点 Tで平面・直線と接するとき，直線 OTはその平

面・直線と直交する．

T

OO

T

これらは，球の定義*11と三平方の定理から証明することができる（ここでは省略する）．

*11「点 Oを中心とする半径 r の球」は「点 Oから距離 r にある空間上の点を全て集めてできる図形」と定義できる．また，FTEXT数学 II において球面の方程式を学ぶ．


4.5 球 211

【例題：球と円柱】¶ ³

右の図において，円柱から半球 Tを除いた

図形を Sとする．0 < x < r のとき

(1) 高さ xの平面で半球 T を切ったとき

の，切り口の円の半径を求めよ．

(2) 高さ xの平面による，Sの断面積を求

めよ．r

xr

S

Tµ ´【解答】

(1) 底面に垂直な平面で立体を半分に切れば，左 J

r

xr

x r

H

O

A

r

xr

x r

の断面図となる．

高さ x の平面によ

る半球 T の切り口

は，左図の線分 HA

を半径とした円に

なるので，線分 HA の長さを求めればよい．

よって，求める長さは J 4OHA に三平方の定理を用いる．

HA =√

OA2 −OH2 =√

r2 − x2

(2) 求める面積は， J

r

xr√

r2 − x2

「高さ xの平面による円柱の切り口の面積」

（これは半径 r の円）

から

「高さ xの平面による半球 Tの切り口の面積」

（これは半径√

r2 − x2の円）

を引けばよいので，求める面積は

πr2 − π(√

r2 − x2)2

= πr2 − π(r2 − x2)

= πx2

「どの高さでも断面積が等しい⇔体積が等しい」という事実*12と上の例題か

ら，半径 r の球の体積を求めることができる．

上の例題において，底面の半径 r，高さ r の円錐を Uとすると，高さ xにおけ

る Uの断面積は Sと等しく πx2になる，つまり，Sと Uは体積が等しく

（半球 Tの体積）=（円柱の体積）−（Uの体積）= πr3 − 13πr3 =

23πr3

と計算できる．この Tの体積を 2倍して，半径 r の球の体積 43πr3を得る．

*12 FTEXT数学 III で学ぶ積分によって証明される．



4.5.2　球の表面積と体積　

半径 r の球の体積，表面積は次のようになる*13．

球の表面積・体積

半径 r の球について，表面積は 4πr2，体積は43πr3 である．

「表面積を表す 4πr2 の r2 をr3

3におきかえると，体積を表す

43πr3 になる」

と覚えると良い．

【例題：球の表面積，体積】¶ ³

(1) 半径 4 cmの球の，表面積と体積をそれぞれ求めよ．

(2) 1辺 8 cmの立方体の表面積と直径 10 cmの球の表面積では，どちらが大きいか．

(3) 1辺 10 cmの立方体に高さ 9 cmまで水を入れてある．この水の中に半径 3 cmの

球を静かに入れると，何 cm3の水があふれるか．ただし，表面張力は考えない．

µ ´【解答】

(1) 表面積は 4π · 42 = 64π cm2

体積は43π · 43 =

2563

π cm3

(2) 1辺 8cmの立方体の表面積は，6× 82 = 384 cm2 J 1辺 8cmの立方体の表面は，1辺8cmの正方形 6枚でできている．直径 10 cmの球の半径は 5 cmなので，表面積は

4π · 52 = 100π ; 100× 3.14 = 314 cm2 J π = 3.14159265· · ·

よって，1辺 8 cmの立方体の表面積の方が大きい．

(3) 水中に入れた球の体積は

43π · 33 = 36π cm3

なので，水の体積と球の体積の和は

10 · 10 · 9 + 36π = 900+ 36π cm3

である．実際には 103 = 1000 cm3 しか入らないの

で，あふれる水の体積は

(900+ 36π) − 1000= 36π − 100 cm3

*13 FTEXT数学 III の微積分を用いて，これらの計算ができる．体積については，前のページのようにして計算できる．


4.5 球 213

4.5.3　球を含んだ空間図形　

空間図形に球を含む場合も，§4.3「空間図形の計量」で学んだように，ある平面のみに

着目して考えるとよい．

このとき，特に，「球と他の図形の接点」を結んだ平面に着目するとよい．

【例題：円錐と内接球】¶ ³

底面の半径が 4，母線の長さが 10の円錐がある．

O1

O2

10

4

(1) この円錐に内接する球 O1の半径を求めよ．

(2) 球 O1 の上に外接し，さらに円錐に内接する球

O2の半径を求めよ．

ただし，球 O1，O2 とも，半径はできるだけ大きく

なるようにする．

µ ´【解答】

円錐の頂点を A，球 O1，O2の中心をそれぞれ P，Qと

し，A から底面に下ろした垂線の足を Hとする．このと

き，線分 AH は P，Qを通る．

(1) 直線 AH を含むように，この立体図形を縦に垂直に

切る．すると，断面図は右欄外の図のようになり，球 J

A

B CH

Q

P

1010

8

r1

O1の断面は，4ABCの内接円になる．

4ABCの面積を S，球 O1の半径 r1とすると

S =12

(10+ 10+ 8)r1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1©

が成り立つ． J『内接円の半径 (p.193)』

面積 Sは，AH =√

102 − 42 = 2√

21より

S =12· 8 · 2

√21 = 8

√21

であるので，これを 1©に代入して

8√

21 =12

(10+ 10+ 8)r1

∴ r1 =814

√21 =

47

√21



(2) (1)と同じ断面を考え，右欄外の図のように Eをとる JA

B CH

Q

P

E

r1

10

4

r2

と 4AQE∽4ACHである．

よって，球 O2の半径を r2とすれば

AQ : QE = AC : CH

(AH − 2r1 − r2) : r2 = 105 : 42

2(2√

21− 87

√21− r2

)= 5r2

127

√21 = 7r2

∴ r2 =1249

√21

この問題の (2)には次のような別解がある．

A

H′

Qr2

A

B CH

H′

Pr1

球 O1，O2の接点を H′ とし，右のように

断面図を 2つ考える．すると，左図を A

について拡大したものが右図になる．

2つの断面図の相似比は

AH′ : AH =

(2√

21− 87

√21

): 2√

21

= 3 : 7

である．ここから，r2 =37

r1 =1249

√21．

ここでは断面が相似であることを使っているが，2つの断面図のもとになる立

体をそれぞれ考えても，やはり互いに相似である．

【例題：正四面体と内接球・外接球】¶ ³

p.200と同じく，四面体 ABCDを 1辺の長さが 1の正四面体とするとき

(3) 正四面体 ABCDに内接する球の半径を求めよ．

(4) 正四面体 ABCDに外接する球の半径を求めよ．

ただし，p.200の (1)，(2)の結果は用いてよい．

4BCDの面積 S =

√3

4

頂点 A から 4BCDに下ろした垂線の足を Hをするとき，AH=

√6

3µ ´


4.5 球 215

【解答】

(3) 内接球の中心の点をOとし，その半径を r とおく．こ

のとき，正四面体は 4つの正三角錐 OABC，OACD，

OADB，OBCDに分けることができる．これらの正 J　

1

A

B

C

DO

三角錐の体積は，どれも13×S× r であるから，正四

面体 ABCDの体積 Vは

V = 4× 13·√

34

r =

√3r3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2©

また，(1)，(2)より正四面体 ABCDの体積 Vは

V =13× S × AH =

13·√

34·√

63

=

√2

12· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3©

よって， 2©， 3©より Jこのやり方は，平面上の三角形における，内接円の半径の導き方

(p.193)と同じ発想である．√

3r3

=

√2

12⇔ r =

√6

12

(4) M を辺 BCの中点にとり，H，H′ を右図のようにと

る．図形の対称性から，外接球の中心 Oは AH 上お J　

1

A

B

C

DH′

HM

Oよび DH′ 上にあるのがわかる．

Hは 4BCDの重心だから

DH = DM × 23

=

√3

2× 2

3=

√3

3

となる．同様に，AH′ =

√3

3である． J MH =

√AM2 −MH2 から計算し

てもよい．ここで，AO= r とおくと，4AH′O∽4AHM より J

MD

A

H

OH′

√3

3

√3

3

AH : AO = AH : AM

∴√

33

: r =

√6

3:

√3

2

⇔√

63

r =12

⇔ r =3

2√

6=

√6

4


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平面図形・空間図形の計量 - Amazon Web Services...174 第4 章 平面図形・空間図形の計量 である．すなわち，左右どちらの場合でも高さはh =

平面図形・空間図形の計量 - Amazon Web Services...174 第4 章平面図形・空間図形の計量である．すなわち，左右どちらの場合でも高さはh =