ETN - 501 FSICA DEL ESTADO SOLIDO

Nombre: Amrico Alvarez

Surci

Docente: Ing. Teodoro Buch

30 De Noviembre De 2011

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA

1.- INTRODUCCION Christian Doppler fue un matemtico austraco que vivi entre 1803 y 1853. A Doppler se le conoce por el principio que propuso en el ao 1842, en su trabajo En relacin con las luces coloridas de estrellas dobles. Este principio es conocido como Efecto Doppler. La hiptesis de Doppler estableca que el tono de los sonidos cambiaba si la fuente del sonido se mova. Consideremos el caso de las ondas en la superficie del agua: supongamos que en el centro de un estanque hay un bicho moviendo sus patas peridicamente. Si las ondas se originan en un punto, se movern desde ese punto en todas direcciones. Como cada perturbacin viaja por el mismo medio, todas las ondas viajarn a la misma velocidad y el patrn producido por el movimiento del bicho sera un conjunto de crculos concntricos como se muestra en la figura. Estos crculos alcanzarn los bordes del estanque a la misma velocidad. Un observador en el punto A (a la izquierda) observara la llegada de las perturbaciones con la misma frecuencia que otro B (a la derecha). De hecho, la frecuencia a la cual las perturbaciones llegaran al borde sera la misma que la frecuencia a la cual el bicho las produce. Si el bicho produjera, por ejemplo, 2 perturbaciones por segundo, entonces cada observador detectara 2 perturbaciones por segundo. Ahora supongamos que el bicho estuviera movindose hacia la derecha a lo largo del estanque produciendo tambin 2 perturbaciones por segundo. Dado que el bicho se desplaza hacia la derecha, cada perturbacin se origina en una posicin ms cercana a B y ms lejana a A. En consecuencia, cada perturbacin deber recorrer una distancia menor para llegar a B y tardar menos en hacerlo. Por lo tanto, el observador B registrar una frecuencia de llegada de las perturbaciones mayor que la frecuencia a la cual son producidas. Por otro lado, cada perturbacin deber recorrer una distancia mayor para alcanzar el punto A. Por esta razn, el observador A registrar una frecuencia menor. El efecto neto del movimiento del bicho (fuente de las ondas) es que el observador hacia el cual se dirige

observe una frecuencia mayor que 2 por segundo y el observador del cual se aleja perciba una frecuencia menor que 2 por segundo. 2.- EFECTO DOPPLER EN LAS ONDAS SONORAS Las ondas sonoras son ondas mecnicas, se propagan en el espacio utilizando cierta propiedad del medio, y su velocidad depende de la elasticidad del material. En el caso del aire, esta propiedad ser la presin. Es decir, que las ondas sonoras se propagan en el aire mediante variaciones de la presin. La velocidad de las ondas sonoras en presin constante, y a 20C se la acepta como de unos 340 m/s. 2.1 Efecto Doppler Movimiento De La Fuente.- Consideraremos al observador en reposo respecto del medio, solo la fuente de seal sonora se mover.

vv

ffs

so

1

1 (1) donde: of = Frecuencia observada sf = Frecuencia de la fuente sv = Velocidad de la fuente v = Velocidad del Sonido = + si la fuente se acerca y - si la fuente se aleja 2.2 Efecto Doppler Movimiento Del Observador.- Tenemos ahora una fuente sonora estacionaria y un observador que se mueve respecto a la fuente.

vvff oso 1 (2)

Donde: of = Frecuencia observada sf = Frecuencia de la fuente ov = Velocidad del observador v = Velocidad del Sonido = + si el observador se acerca y - si el observador se aleja

2.3 Efecto Doppler movimiento combinado.- Aplicando el principio de superposicin a a las ecuaciones (1) y (2) tendremos:

vvvv

ffs

o

so

1

1 (3) 3.- EFECTO DOPPLER EN LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS En el caso de las ondas electromagnticas, no existe un medio en el cual estas se propaguen, ergo no puede hacerse diferenciacin respecto de quin se mueve con respecto al medio, y el efecto se produce por la velocidad relativa fuente-observador. Si estas ondas electromagnticas pertenecen a un espectro de luz visible, observaremos un corrimiento de ese espectro hacia el azul (aumento de frecuencia) si nos acercamos a la fuente, y un corrimiento hacia el rojo (disminucin de frecuencia) si nos alejamos. Esto se conoce como desplazamiento relativo Doppler o Doppler shift. 3.1 Anlisis con Fsica Clsica.- Segn la mecnica clsica, si el observador se acerca a una fuente de ondas electromagnticas, ver a las ondas venir con velocidad vc , y si la fuente se acerca al observador, las ondas se desplazarn con velocidad vc , por lo que siempre tendremos ondas esfricas concntricas, contrariamente al grfico de Doppler shift. Tenemos entonces que, considerando que un observador se acerca con velocidad relativa v a una fuente que emite ondas electromagnticas con frecuencia sf , observar una seal de frecuencia:

cvff

ccvfvfvcvcf sssso

Teniendo en consecuencia

cvff so 1 (4)

Donde : cvfff sso cv

fff

ff

s

so

(5)

Evidentemente, esto expresa que el observador ve a las ondas electromagnticas viajar ms rpido que la luz

c

ffvc , lo cual, segn hemos visto en la teora de la relatividad, no

es posible. Sin embargo, a velocidades fuente-observador no muy elevadas, es decir, a velocidades no relativistas, es posible utilizar esta versin simplificada. La ecuacin (4) y (5), se consideran si no hay una compresin de ondas como en la figura del doppler-shift. Ahora bien, si suponemos que hay una compresin de los frentes de ondas y que la velocidad c es una constante tendremos una ecuacin similar a la ecuacin (1)

vv

ffs

so

1

1 cambiando las variables tendremos que:

cv

ff so1

1 (6) En un periodo unitario la onda recorre:

cv

cv

fvc

o 1 entonces teniendo la diferencia de longitudes de ondas cv

o cvo

(7)

Esta ultima formula es ampliamente utilizada para aproximaciones de astronoma y algunas otras aplicaciones. 4. EFECTO DOPPLER RELATIVISTA En relatividad, las ondas electromagnticas viajan con velocidad c para todo observador, e independientemente del movimiento de ste o de la fuente. Esto nos lleva a hacer el planteo del efecto Doppler relativista desde ambos puntos de vista: el de la fuente, y el del observador. Veremos que a pesar de desarrollar ecuaciones distintas, ambas resultan equivalentes con una mayor consistencia matemtica an, que lo desarrollado para la mecnica clsica 4.1 Visto Desde El Observador.- Consideremos una fuente que emite ondas de frecuencia sf y que se mueve con velocidad v hacia un receptor "en reposo" (al menos para su sistema de referencia). En su unidad de tiempo propio, la fuente emite N ondas, tal que: ss tfN Si la fuente se mueve hacia el receptor, la primera onda recorrer una distancia rtc y la fuente recorrer una distancia rtv en el tiempo rt medido en el sistema del receptor. La longitud de onda observada en el sistema del receptor ser entonces:

s

r

s

r

ss

rrro t

tcv

tt

cvc

tfvct

Ntvtc

1 Siendo

s

r

tt entonces quedara de la forma:

cv

o 1 (8) Entonces la frecuencia observada ser

cv

ccfo

o

1

1

1

1

cv

ff so (9)

Si la fuente se aleja entonces cambiamos el signo menos por ms. 4.2 Visto Desde La Fuente.- Hagamos ahora el clculo en el sistema de referencia de la fuente. sta se halla ahora "en reposo" y el observador se mueve con velocidad v . En el intervalo de tiempo st , medido en el sistema de la fuente, el receptor encuentra todas las ondas situadas a la distancia stv , adems de las situadas a la distancia stc , El nmero de ondas que encuentra es

ss tvtcN , similar a como viramos para el caso de las ondas sonoras, slo que el observador sigue viendo a las ondas viajar a velocidad c, porque hace su medicin en un intervalo de tiempo diferente. En este caso, el observador es quien mide el tiempo propio, que es el intervalo de tiempo que transcurre entre que cruza a cada una de las ondas, luego rs tt . La frecuencia y longitud de onda observadas en el receptor sern entonces:

r

ss

r

rs

ro tc

fvctt

tvtct

Nf

cvff so 1 (10)

cvf

co

o

1

(11)

Si el observador se aleja invertimos el signo

4.3 Efecto Doppler Relativista.- Las frmulas deducidas parecen llevar a una incongruencia. Segn la teora de relatividad especial, su postulado establece que, es indiscernible el movimiento relativo, es decir, no interesa quin se mueva respecto de quin el movimiento relativo ser el mismo; pero desarrollamos frmulas que parecen expresar lo contrario (formulas 8 y 11; 9 y 10), ya que resultan ecuaciones diferentes si partimos del movimiento de la fuente o del observador. Sin embargo, desarrollando la expresin de y operando matemticamente, se llega a que ambas ecuaciones expresan lo mismo, consistentemente con nuestros principios relativistas. Ejemplo: Verificacin, sea la ecuacin (9) demostrar que es la misma que la ecuacin (10) Recordamos que:

2

2

1

1

cv

1

1

1

cv

ff so ; Ecuacin (9)

cv

cv

cv

f

cv

cvcv

f

cvcv

cvcv

fcv

cv

ff sssso1

11

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cvff so 1 ; Ecuacin (10)

Entonces demostramos que estas ecuaciones 9 y 10 son equivalentes. Ahora presentaremos la formula que representa el efecto Doppler relativista (ya sea con movimiento de observador, movimiento de fuente emisora o ambos), est dada por: = ( )( ) (12) Que es la que se encuentra en libros de fsica moderna, y que es fcilmente deducible ya sea con la ecuacin 9 o 10.

5.- APLICACIONES El efecto Doppler resulta de suma utilidad para realizar mediciones de velocidad, sobre todo en casos en los que no es posible utilizar mtodos directos como la medicin por tiempo de desplazamiento en una longitud conocida. 5.1 Radares para medicin de velocidad.- Son los conocidos radares que utiliza la polica en las rutas de alta velocidad. El principio de funcionamiento consiste en enviar una seal de microondas, altamente direccional, contra el auto que se acerca. Dado que hay dos trayectos, el de ida y el de vuelta, y que la velocidad del automvil ms rpido es ms de 1.000.000 de veces ms chica que la velocidad de propagacin de las microondas. Podemos usar la forma aproximada (ecuacin 5):

cv

ff 2 se pone 2 por lo dicho antes 2

trayectos: el de ida y el de vuelta. Entonces tendremos que:

s

so

fffc

ffcv

22teniendo como datos, la frecuencia de emisin de

microondas sf , adems de la frecuencia de rebote por la trayectoria de regreso. 5.2 Medicin De Velocidades En Astronoma.- En astronoma, resulta imposible medir la velocidad de las estrellas o galaxias lejanas. Sin embargo, observando el corrimiento relativo Doppler de los espectros caractersticos de elementos conocidos, podemos calcular indirectamente esta velocidad. En astronoma es un fenmeno denominado corrimiento al rojo y al azul. Que el corrimiento sea hacia el rojo o hacia el azul nos da una idea de si la estrella se acerca o se aleja de nosotros, dado que el rojo es el color de frecuencia ms baja (descenso de frecuencia) y el azul el de frecuencia ms alta (aumento de frecuencia), es decir, las estrellas que se alejan de nosotros presentarn un corrimiento al rojo proporcional a la velocidad de escape:

cv

(ecuacin 7) de donde calculamos

cv , para velocidades no relativistas. La ecuacin

relativista para el clculo de la velocidad es entonces: 22 22 oov Donde o corresponde a la

longitud de onda observada proveniente del espectro de absorcin de la estrella, y es la longitud de onda conocida, observada en un espectro de emisin en laboratorio. 5.3 Constante de Hubble, Expansin y Edad del Universo.- El efecto Doppler en astronoma es una herramienta esencial, ya que ste suministra informacin para investigar el movimiento y la composicin qumica de las estrellas lejanas. Para entender cmo el efecto Doppler nos da esta informacin, considere los siguientes hechos: i. Los tomos emiten y absorben luz en cantidades discretas de energa ii. Cuando la luz emitida por una estrella pasa por sus capas de gas ms externas, las ondas de determinadas longitudes de onda son absorbidas por estos tomos. iii. En el espectro de la luz emitido por la estrella aparecen estas lneas de absorcin como bandas oscuras. iv. Cuando una estrella se aleja de nosotros o se acerca, el efecto Doppler cambia las longitudes de onda percibidas, haciendo que las lneas en los espectros cambien de lugar

La grfica muestra un ejemplo del espectro de absorcin de la luz de una estrella. Las dos lneas negras corresponden a luz que fue absorbida por tomos en la atmsfera de la estrella. El primer espectro corresponde a una estrella en reposo relativo a nosotros que observamos desde la Tierra. El segundo espectro corresponde a una estrella que se aleja de nosotros. Note como las lneas del espectro se corren hacia el rojo. Finalmente, el ltimo espectro corresponde a una estrella que se acerca a nosotros. Note como las lneas del espectro se corren hacia el violeta. Una de las principales observaciones astronomas que hemos de tener en cuenta es la del corrimiento al rojo de la luz observada en las galaxias lejanas, que se debe al alejamiento de las galaxias de nosotros, se trata de la expansin del Universo. Hubble dedujo para esta expansin la ecuacin:

Donde v= velocidad de separacin, d= distancia de separacin, H= constante de proporcionalidad de Hubble. Aun ahora se trata de obtener un dato preciso de la constante de hubble, el ltimo dato obtenido por Florian Beutler el 25 de Julio de 2011 nos da una valor de = 67.0 3.2

Dado que la expansin determina la edad del Universo y la constante de Hubble mide la rapidez con que el Universo se est expandiendo = se observa claramente que:

= 1

El tiempo de Hubble que mide el tiempo transcurrido desde el instante en que ocurri el Big Bang, hasta la poca actual y que se puede interpretar como la edad del Universo. As, y de acuerdo con el valor numrico de H tendremos que

167.0 kms Mpc = s Mpc67.0 km Siendo,1 = 3.085 10km y 1 = 0.32 10aos

0.32 10 3.085 1067.0 14734 10 En otras palabras, la edad actual del Universo es igual a catorce mil setecientos treinta y

cuatro millones de aos, aproximadamente. 6.- BIBLIOGRAFIA

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA - Heber Gabriel Pico Jimenez CORRIMIENTO AL ROJO EN RELATIVIDAD ESPECIAL - Hugo A. fernandez RELATIVISTIC DOPPLER EFFECT AND THE PRINCIPLE OF RELATIVITY - W. Engelhardt - http://redshift.vif.com - http://www.cosmologia.relatividad.org/ - http://www.relatividad.org/