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Campus de Ilha Solteira PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA “Inclusão do Efeito Corona em Modelos de Linhas de Transmissão Bifásica Utilizando a Técnica de Variáveis de Estado” GERMANO FERREIRA WEDY Orientador: Prof. Dr. Sérgio Kurokawa Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação. Ilha Solteira – SP Julho/2009

Efeito Corona

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  • Campus de Ilha Solteira

    PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA

    Incluso do Efeito Corona em Modelos de Linhas de Transmisso Bifsica Utilizando a Tcnica de

    Variveis de Estado

    GERMANO FERREIRA WEDY

    Orientador: Prof. Dr. Srgio Kurokawa

    Dissertao apresentada Faculdade de

    Engenharia - UNESP Campus de Ilha Solteira, para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Eltrica.

    rea de Conhecimento: Automao.

    Ilha Solteira SP Julho/2009

  • FICHA CATALOGRFICA

    Elaborada pela Seo Tcnica de Aquisio e Tratamento da Informao/Servio Tcnico de Biblioteca e Documentao da UNESP-Ilha Solteira

    Wedy, Germano Ferreira. W392i Incluso do efeito corona em modelos de linhas de transmisso bifsica utilizando a tcnica de variveis de estado / Germano Ferreira Wedy. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2009 116 f. : il., color.

    Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. rea de conhecimento: Automao, 2009

    Orientador: Srgio Kurokawa Bibliografia: p. 113-116

    1. Energia eltrica Transmisso. 2. Corona (Eletricidade). 3. Linhas de transmisso Modelos. 4. Anlise de transitrios eletromagnticos. 5. Parmetros dependentes da frequncia. 6. Efeito corona. 7. Energia eltrica Distribuio Alta tenso.

  • Dedico aos meus pais, Adair e Maria Elzia, e as minhas irms, Glucia e Naiara.

  • Agradecimentos

    A Deus primeiramente, pois sem Ele nada disso teria se concretizado, pois foi Ele que estava presente nos momentos mais difceis.

    Aos meus pais, Adair Soares Wedy e Maria Elzia Ferreira Wedy, por serem meu porto seguro e por terem me dado todo o afeto amoroso e apoio estrutural que

    precisei em minha formao acadmica e de vida, por terem sempre acreditado em mim. As minhas irms Glucia Ferreira Wedy e Naiara Ferreira Wedy por minhas

    grandes amigas em todos os momentos em que prescisei. Aos meus familiares Vanderlei, Vnia, Thays, Tatiana e Douglas por serem

    minha famlia nos momentos que em a minha estava longe.

    Ao Prof. Dr. Srgio Kurokawa, por esses quatro anos de convivncia e trabalho,

    dois anos na graduao onde aprendi o que pesquisar com qualidade, e dois anos na ps-graduao, onde a pacincia dele foi um grande fator para a concluso dessa

    dissertao. Aos meus amigos de repblica, Gabriel (Buneko), Luis Fernando (Calango),

    Junior, Anderson (Cido), Caio (Capeta), Luiz e Augusto pela grande amizade e alegria que me proporcionaram.

    Aos grandes amigos de faculdade e ps, Fbio Norio, Renan, Joo Roberto (Deroco), Marco Aurlio (Nagai), pois foram grandes companheiros nos momentos de estudo e descontrao.

    Ao grande amigo Eduardo Costa, pela ajuda em algumas correes em artigos e na dissertao.

    Aos Prof. Dr. Jos Paulo Fernandes Garcia e Prof. Dr. Afonso J. Prado pela participao na banca e pelas sugestes e questionamentos para melhoria deste trabalho.

    E a Fundao de Amparo Pesquisa pela bolsa de Mestrado durante o

    desenvolvimento do trabalho.

  • O corao do homem pode fazer planos, mas a resposta certa vem do Senhor

    (Provrbios 16:1)

  • RESUMO

    O objetivo deste projeto o desenvolvimento de um modelo de linha de

    transmisso bifsica diretamente no domnio do tempo, que leve em considerao o

    efeito corona e o efeito da freqncia sobre seus parmetros longitudinais, utilizando os

    conceitos de variveis de estado. Os parmetros longitudinais de uma linha de

    transmisso dependentes da freqncia sero sintetizados por meio de funes racionais

    pelo mtodo do Vector Fitting. Em seguida, as funes racionais que descrevem o

    comportamento dos parmetros longitudinais sero associadas com um circuito eltrico

    equivalente, que ser inserido em cada um dos circuitos pi. Para a validao do modelo

    desenvolvido levando em considerao o efeito da freqncia o mesmo foi comparado

    com o programa de estudo de transitrios eletromagntico Micotran do tipo EMTP.

    Utilizando o modelo matemtico desenvolvido foi possvel inserir atravs das equaes

    de Gary e de Skilling-Umoto, o efeito corona nas simulaes de transitrios

    eletromagntico. Ao termino do projeto, apresenta-se um modelo matemtico de uma

    linha de transmisso que leva em conta o efeito da freqncia e o efeito corona. Tal

    modelo no necessita dos programas do tipo EMTP para simulao de transitrios em

    linhas de transmisso.

    Palavra-Chave: Transitrios eletromagnticos, efeito corona, parmetros dependentes

    da freqncia, domnio do tempo, linha de transmisso, parmetros da linha de

    transmisso, variveis de estado.

  • ABSTRACT

    The objective of this work is to implement a computational model of two-phase

    transmission line directly in the time domain, which takes into account the corona effect

    and the effect of frequency on its longitudinal parameters, using the concepts of state

    variables. The longitudinal parameters of a frequency dependent transmission line are

    synthesized by rational functions using the Vector Fitting method. Then, the rational

    functions that describe the behavior of the longitudinal parameters will be associated

    with an equivalent electrical circuit, which is inserted in very circuit pi. Validating the

    model developed taking into account the effect of frequency, this model was compared

    to the Micotran program, a EMTP (Electromagnetic Transient Program) type program

    that is used for transient analyses in electrical networks. Through the developed

    mathematical model, it enter, through the equations of Gary and Skilling-Umoto, the

    corona effect in simulations of electromagnetic transients. At the end of the project, it is

    obtained a mathematical model of a transmission line that takes into account the effect

    of frequency and the corona effect. This model does not need the EMTP type programs

    for transient simulations in transmission lines.

    Keywords: Electromagnetic transients, Corona effect, frequency dependent parameters,

    time domain, transmission lines, transmission line parameters, state-space methods.

  • SUMRIO

    Captulo 1 Efeito corona em linhas areas de transmisso de energia eltrica

    1.1 Consideraes gerais a respeito do efeito corona 11 1.2 Efeito corona em linhas de transmisso de energia eltrica 11

    1.3 Concluso 14

    Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    2.1 Introduo 15 2.2 Representao da linha de transmisso considerando os parmetros discretos 15

    2.2.1 Representao atravs de cascata de circuitos pi considerando os parmetros da linha constantes 16

    2.2.2 Insero do efeito da freqncia na cascata de circuitos pi 18 2.3 Representao por equaes de estado levando em considerao o efeito da

    freqncia. 20 2.3.1 Linha representada por um circuito pi 20 2.3.2 Linha representada por uma cascata com n circuitos pi 22

    2.4 Concluso 24

    Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    3.1 Introduo 26 3.2 Conceitos bsicos 26 3.3 Vector Fitting 27

    3.3.1 Clculo dos resduos e do termo d 28 3.3.2 Clculo dos plos de f(s) 31

    3.4 Ajuste das impedncias longitudinais 32 3.5 Aplicao do modelo 34 3.6 Concluso 39

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    4.1 Introduo 41

    4.2 Representao do efeito corona 42 4.3 Modelos de Gary e de Skilling-Umoto para o efeito corona 43

    4.4 Descrio do experimento desenvolvido por Wagner (WAGNER et al., 1954) 46 4.5 Incluso do efeito corona em uma linha monofsica: Efeitos durante as simulaes

    da energizao da mesma por uma fonte de tenso exponencial 48 4.5.1 Tenses a 685 metros do terminal de energizao 51 4.5.2 Tenses a 1295 metros do terminal de energizao 51 4.5.3 Tenses a 2200 metros do terminal de energizao 52

    4.6 Influncia do efeito corona nas sobretenses de linhas monofsicas durante a energizao das mesmas 54

    4.7 Concluso 56

    Captulo 5 Representao de Linhas de Transmisso no Domnio Modal

    5.1 Introduo 58 5.2 Decomposio Modal de Linhas de Transmisso 58

    5.2.1 Matrizes de impedncias e de admitncias modais exatas 62 5.2.2 Relao entre as matrizes [Tv] e [TI] 63 5.2.3 Relao entre as matrizes [m], [Zm] e [Ym] 65

    5.3 Obteno da Matriz de Transformao Modal Utilizando o Mtodo de Newton-Raphson 67

    5.4 Representao de uma Linha Bifsica no Domnio Modal 70 5.5 Concluso 77

    Captulo 6 Representao de linhas bifsicas por meio de variveis de estado considerando o efeito da freqncia sobre os parmetros longitudinais

    6.1 Introduo 78 6.2 Diagrama de Blocos do Programa 78 6.3 Clculo dos Parmetros da Linha de Transmisso Bifsica 80

  • 6.4 Representao da linha no Domnio Modal 84 6.5 Snteses dos Parmetros modais 87 6.6 Testes do modelo desenvolvido 90

    6.6.1 Energizao da linha em aberto 90 6.6.2 Energizao da linha em curto 95

    6.7 Concluso 98

    Captulo 7 Incluso do Efeito da Freqncia e do Efeito Corona em uma Linha Bifsica

    7.1 Introduo 99 7.2 Resultados Obtidos para uma linha Bifsica 99

    7.2.1 Energizao de uma fase 100 7.2.2 Energizao das duas fases 105

    7.3 Concluso 108

    Captulo 8 Concluses 109

    Referncias 113

  • 11

    1

    Efeito corona em linhas areas de transmisso de energia eltrica

    1.1 Consideraes gerais a respeito do efeito corona (LOPES, 2008)

    O Efeito Corona um mecanismo de descarga eletrosttica que acontece devido a ionizao em um material isolante, geralmente um gs, sujeito a um campo eltrico de intensidade acima de um nvel crtico.

    Descargas eltricas em gases so geralmente iniciadas por um campo eltrico que acelera eltrons livres a existentes. Quando esses eltrons adquirem energia suficiente do campo eltrico, os mesmos podem produzir novos eltrons a partir do choque com outros

    tomos. o processo de ionizao por impacto. Durante a sua acelerao no campo eltrico, cada eltron livre colide com tomos de oxignio, nitrognio e outros gases presentes,

    perdendo, nessa coliso, parte de sua energia cintica. Ocasionalmente, um eltron pode atingir um tomo com fora suficiente, de forma a excit-lo. Nessas condies, o tomo atingido passa a um estado de energia mais elevado. O estado orbital de um ou mais eltrons muda e o eltron que colidiu com o tomo perde parte de sua energia, para criar esse estado.

    Posteriormente, o tomo atingido pode reverter ao seu estado inicial, liberando o excesso de energia em forma de calor, luz, energia acstica e radiaes eletromagnticas. Um eltron

    pode igualmente colidir com um on positivo, convertendo-o em tomo neutro. Esse processo, denominado recombinao, tambm libera o excesso de energia.

    1.2 Efeito corona em linhas de transmisso de energia eltrica (SANTOS, 2008)

    A representao do efeito corona em linhas de transmisso de energia aumenta consideravelmente a complexidade das equaes de ondas. Em linhas de transmisso de

  • Captulo 1 Efeito Corona em Linhas Areas de Transmisso de Energia Eltrica

    12

    energia eltrica podem ocorrer descargas eltricas, devido ao efeito corona, entre o condutor fase e solo. Essas descargas ocorrem quando a diferena de potencial entre uma fase da linha e o solo excede o valor do gradiente crtico disruptivo do ar (GLSSIO et al., 1994).

    O valor do da tenso disruptiva funo de uma srie de fatores tais como a presso

    do ar, a quantidade de vapor dgua presente no ar, o tipo de tenso aplicada e tambm o divergente do campo eltrico. Esse ltimo fator faz com que a presena de qualquer partcula

    contaminadora, como poeira, por exemplo, transforme-se em fonte pontual de descargas. Considerando que a energia liberada ou irradiada pelas descargas deve provir do

    campo eltrico da linha, as mesmas representam perdas para as concessionrias de energia eltrica. Essas perdas e suas conseqncias econmicas tm sido objeto de pesquisas e estudos h mais de meio sculo. No obstante, s recentemente se alcanaram meios que permitem determinar, com razovel segurana, qual o desempenho que se poder esperar para

    as diversas solues possveis para uma linha de transmisso, no que diz respeito a essas perdas.

    De um modo geral, as perdas que ocorrem nas linhas esto relacionadas com a geometria dos condutores, tenses de operao, gradientes de potencial nas superfcies dos condutores e, principalmente, com as condies meteorolgicas locais. Constatou-se, por exemplo, que as perdas por corona em linhas em tenses extra-elevadas podem variar de alguns quilowatts por quilmetro at algumas centenas de quilowatts por quilmetro, sob condies adversas de chuva ou garoa. As perdas mdias, como se verificou, podem constituir apenas pequenas partes das perdas por efeito joule, porm as perdas mximas podem ter influncia significante nas demandas dos sistemas, pois a capacidade geradora para atender a essa demanda adicional dever ser prevista.

    Tanto as perdas com tempo bom como aquelas sob chuva dependem dos gradientes de potencial na superfcie dos condutores. As perdas sob chuva dependem no s do ndice de precipitaes, como tambm do nmero de gotculas dgua que conseguem aderir superfcie dos condutores. Esse nmero maior nos condutores novos do que nos usados, pois

    nos condutores novos as gotas dgua aderem mais facilmente geratriz inferior dos condutores.

    O advento da transmisso de energia eltrica em tenses extra-elevadas e as perspectivas de transmisso em tenses ultra-elevadas enfatizaram dois outros tipos de conseqncias provocadas pelo efeito corona que so a radiointerferncia (RI) e o rudo acstico (RA).

  • Captulo 1 Efeito Corona em Linhas Areas de Transmisso de Energia Eltrica

    13

    Descargas individuais de corona provocam pulsos de tenso e corrente de curta durao que se propagam ao longo das linhas, resultando em campos eletromagnticos em suas imediaes. Essas descargas ocorrem durante ambos os semiciclos da tenso aplicada, porm aquelas que ocorrem durante os semiciclos positivos que irradiam rudos capazes de

    interferir na radiorecepo nas faixas de freqncia das transmisses em amplitude modulada (AM), em particular nas faixas das ondas mdias. Eflvios de corona tambm ocorrem em outros componentes das linhas, tais como ferragens e isoladores. Porm a intensidade dos rudos gerados bastante inferior dos gerados pelos condutores. Ferragens defeituosas, pinos e contra pinos mal-ajustados ou soltos podem igualmente gerar pulsos eletromagnticos. Esses, no entanto, ocorrem nas faixas das freqncias de freqncia modulada (FM), provocando interferncia ou rudos nas recepes das ondas de FM.

    A gerao desses rudos interfere com os direitos individuais dos moradores das

    vizinhanas das linhas de transmisso, uma vez que os rudos podem se propagar alm das faixas de servido das linhas. Ainda no possvel projetar-se economicamente uma linha de transmisso area em tenses acima de 100 kV e que no produza radiointerferncia. No obstante, critrios corretos e ateno aos aspectos relevantes do projeto podem produzir um sistema que resulte pelo menos em nveis aceitveis de perturbao. O estudo do comportamento das linhas no que se refere RI bastante complicado em virtude dos inmeros fatores que afetam seu comportamento, muitos dos quais ainda so indefinidos e nem mesmo completamente entendidos, de forma que os efeitos cumulativos so considerados em bases estatsticas.

    Nos projetos de pesquisa sobre corona em tenses extra e ultra-elevadas, verificou-se, outrossim, que uma outra manifestao sua no mais poderia ser descurada nas linhas de

    500 kV ou tenses mais elevadas, dado o carter de poluio ambiental que apresenta. a poluio acstica causada pelo rudo caracterstico provocado pelos eflvios do corona. Esse aspecto tambm vem merecendo crescente ateno no dimensionamento das linhas, a fim de que o grau de perturbao seja mantido em nveis aceitveis. Tais estudos mostraram que o rudo auditivo funo dos mximos gradientes de potencial na superfcie dos condutores.

    Alternativamente, vm sendo pesquisados outros mtodos para a reduo da

    radiointerferncia e rudos audveis, como o seu envolvimento em capas de neoprene. A disposio dos subcondutores em forma de polgono irregular tambm vem sendo investigada como meio de reduzir os gradientes de potencial, e parece ser a forma mais promissora: possvel encontrar uma posio para cada subcondutor na periferia de um crculo, de forma

    que o gradiente em todos os subcondutores seja mnimo. O emprego dos condutores mltiplos

  • Captulo 1 Efeito Corona em Linhas Areas de Transmisso de Energia Eltrica

    14

    assimtricos tem apresentado problemas de estabilidade mecnica sob ao do vento, e a melhor soluo sob esse aspecto poder conflitar com o aspecto de distribuio de gradientes de potencial.

    O efeito corona tambm pode estar presente durante os surtos de sobretenses,

    presentes em linhas de transmisso durante a ocorrncia de descargas atmosfricas ou operaes de manobras e chaveamentos. Caso a sobretenso possua amplitude suficiente para

    desencadear o efeito corona, a magnitude da mesma ser atenuada enquanto que sua forma de onda sofrer distores. Uma vez que a atuao dos elementos de proteo da linha dependem do valor de pico e tambm da forma de onda da sobretenso que se propaga ao longo da mesma, conclui-se que extremamente importante levar em considerao o efeito corona

    durante o estudo das sobretenses que podem ocorrer em uma linha de transmisso de energia eltrica. Para que isso seja possvel necessrio que o efeito corona seja includo nos modelos utilizados para representar as linhas de transmisso nas simulaes de transitrios eletromagnticos.

    1.3 Concluso

    Neste captulo, foram descritas as caractersticas gerais do efeito corona, como ele pode se manifestar na natureza. Foi possvel entender o comportamento do efeito corona.

    Em linhas de transmisso de energia eltrica, o efeito corona pode manifestar-se entre os condutores fase e o solo e resulta em perdas de energia na linha, interferncia ou

    rudos nas recepes de FM e distores nas formas de ondas das sobretenses transitrias que ocorrem na linha. Apesar das dificuldades em sua modelagem, o efeito corona muito

    importante no clculo de transitrios eletromagnticos, causando atenuao e distoro nas sobretenses ao longo da linha.

    Para as linhas de transmisso em tenses extra e ultra-elevadas, o dimensionamento econmico das linhas est diretamente relacionado com a escolha do gradiente de potencial

    mximo admissvel na superfcie dos condutores das linhas de transmisso. Gradientes para uma mesma classe de tenso somente so reduzidos mediante o emprego dos condutores de

    dimetros maiores, ou maior espaamento entre fases, ou pelo emprego de condutores mltiplos, com nmero crescente de subcondutores, ou pela forma com que so distribudos sobre o crculo cujo centro o eixo do feixe.

  • 15

    2

    Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    2.1 Introduo

    A distribuio das correntes, diferenas de potencial e a transferncia de energia ao longo de uma linha de transmisso podem ser analisadas por diversos processos. Em problemas de Engenharia, no suficiente procurar uma frmula que possa ser aplicada indiscriminadamente na soluo de um nico problema, sem o conhecimento completo das limitaes e simplificaes admitidas em sua derivao. Tal circunstncia poderia levar ao uso indevido dessa formulao. As chamadas solues matemticas dos fenmenos fsicos exigem, normalmente, simplificaes e idealizaes (FUCHS et al., 1979).

    Neste captulo, ser mostrado um modelo matemtico para representar uma linha de transmisso por meio de um circuito eltrico. Com esse modelo, ser possvel fazer um estudo

    do comportamento de uma linha de transmisso durante manobras de energizao da mesma.

    2.2 Representao da linha de transmisso considerando os parmetros discretos

    Os modelos de linhas de transmisso de energia eltrica podem ser desenvolvidos no

    domnio do tempo ou no domnio da freqncia, sendo que tais linhas so mais facilmente representadas no domnio da freqncia, por serem formadas por elementos cujas caractersticas dependem da freqncia.

    No entanto, o sistema eltrico, no qual as linhas de transmisso esto inseridas, possui diversos elementos no lineares que so de difcil representao no domnio da freqncia. Desse modo, d-se preferncia por modelos de linha que so desenvolvidos

    diretamente no domnio do tempo, segundo (MARTI et al., 1988).

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    16

    Outro fato que faz com que os modelos de linhas desenvolvidos diretamente no domnio do tempo sejam mais utilizados, que a maioria dos programas para simulaes de transitrios eletromagnticos em sistemas eltricos utilizam os componentes do sistema representados no domnio do tempo.

    Um dos primeiros modelos a representar a linha de transmisso diretamente no domnio do tempo foi desenvolvido por H. W. Dommel. Baseou-se no mtodo das

    caractersticas ou mtodo de Bergeron e consiste em combinar o mtodo das caractersticas com o mtodo numrico de integrao trapezoidal. Resultou em um algoritmo capaz de simular transitrios eletromagnticos em redes cujos parmetros so discretos ou distribudos (DOMMEL et al., 1969). Esse algoritmo sofreu sucessivas evolues e atualmente conhecido como Eletromagnetic Transients Program, ou simplesmente EMTP (DOMMEL et al., 1986).

    Os modelos de linhas de transmisso tambm podem ser classificados quanto natureza de seus parmetros em modelos a parmetros constantes e modelos a parmetros variveis em relao freqncia. Os modelos a parmetros constantes so de fcil utilizao, mas no podem representar adequadamente a linha em toda a faixa de freqncias nas quais esto presentes os fenmenos de natureza transitria. Na maior parte dos casos esses modelos aumentam a amplitude das harmnicas de ordem elevada, distorcendo as formas de onda e produzindo picos exagerados (FARIA et al., 2002).

    Os modelos com parmetros variveis em relao freqncia so considerados mais precisos quando comparados aos modelos que consideram os parmetros constantes. A

    dependncia da freqncia pode ser representada por meio da associao srie e paralela de elementos R e L (TAVARES et al., 1999).

    2.2.1 Representao atravs de cascata de circuitos pi considerando os parmetros da linha constantes

    Uma linha de transmisso, cujos parmetros possam ser considerados independentes da freqncia, pode ser representada de maneira aproximada e obedecendo a uma srie de restries como sendo uma cascata de circuitos pi (NELMS et al., 1989; MCIAS et al., 2005).

    Cada segmento de circuito pi consiste em uma resistncia e uma indutncia em srie e

    um desvio de condutncia e capacitncia em paralelo, como mostra a figura 2.1.

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    17

    Figura 2.1 Segmento de circuito pi.

    Para representar uma linha de transmisso por meio desse modelo, conecta-se n circuitos pi em srie. Assim a figura 2.2 mostra um modelo de linha de transmisso monofsica de comprimento d representada por meio de n circuitos pi conectados em cascata.

    Figura 2.2 Linha representada por meio de uma cascata de circuitos pi.

    Na figura 2.2, os parmetros R e L so, respectivamente, a resistncia e a indutncia longitudinais da linha e os parmetros G e C so, respectivamente, a condutncia e a capacitncia transversais. Esses parmetros so escritos como sendo:

    n

    d'RR = (2.1)

    n

    d'LL = (2.2)

    n

    d'GG = (2.3)

    n

    d'CC = (2.4)

    L R

    2

    'G

    2

    'C

    2

    'G

    2

    'C

    R

    L

    L

    L

    R

    R

    C G C/2 G/2 G C C G/2 C/2 G

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    18

    Nas equaes (2.1) a (2.4), R e L so, respectivamente, a resistncia e a indutncia longitudinal da linha por unidade de comprimento enquanto que os termos G e C so a condutncia e a capacitncia transversal da linha por unidade de comprimento.

    Usando essa representao de linha, um modelo de estado formulado para o

    sistema de energia que usa as tenses no capacitor e correntes no indutor como as variveis de estado. O sistema que descreve as equaes de estado transformado em um conjunto de equaes diferenciais lineares pelo uso de integrao trapezoidal. As variveis de estado so encontradas por meio da resoluo do conjunto de equaes.

    Apesar da tcnica de variveis de estado ser bastante utilizada na representao de linhas de transmisso, aplicada apenas em representaes de linhas cujos parmetros longitudinais possam ser considerados constantes e independentes da freqncia.

    No entanto, reconhece-se atualmente que a utilizao de parmetros constantes para

    representar a linha em toda a faixa de freqncia, presente nos sinais durante a ocorrncia de distrbios na mesma, pode resultar em respostas em que as componentes harmnicas de alta freqncia possuam amplitudes maiores do que so na realidade (MARTI et al., 1982).

    2.2.2 Insero do efeito da frequncia na cascata de circuitos pi

    A representao de linhas de transmisso por meio de cascatas de circuitos pi, levando em considerao o efeito da freqncia, geralmente implementada em programas do

    tipo EMTP.

    Um inconveniente dos programas do tipo EMTP a limitao da quantidade de

    circuitos pi possvel de ser utilizados para representar a linha. Desse modo, dependendo do comprimento da linha a ser representada, a qualidade dos resultados obtidos a partir das simulaes podem ficar comprometidos.

    Os parmetros longitudinais de linhas de transmisso com retorno atravs do solo so

    fortemente dependentes da freqncia. A descrio do efeito solo foi desenvolvida por Carson e por Pollaczek (DOMMEL et al., 1986). Ambos os modelos apresentam resultados semelhantes quando aplicados em linhas areas. No entanto, em se tratando de cabos subterrneos, as equaes de Pollaczek apresentam melhores resultados (KUROKAWA et al., 2007).

    A impedncia interna ou impedncia devido ao efeito skin (ou efeito pelicular) est presente sempre que um condutor percorrido por uma corrente alternada. Quando percorrido

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    19

    por corrente alternada, ocorre uma distribuio no uniforme de corrente eltrica na rea da seo transversal do condutor que causa um aumento na resistncia efetiva do condutor e diminuio na indutncia interna medida que a freqncia aumenta (MARTI et al., 1983).

    Considerando diferentes filamentos longitudinais normais seco transversal do

    condutor, aqueles situados na superfcie no so concatenados pelo fluxo interno. O fluxo concatenado com um filamento prximo superfcie ser menor que o concatenado com um

    filamento mais interno. A no uniformidade do fluxo concatenado a causa do efeito pelicular. Em altas freqncias e para condutores de grande raio, o efeito pelicular altera completamente tanto a resistncia como a reatncia. Mesmo nas freqncias usuais em

    sistemas de potncia, esse efeito bastante acentuado em condutores com maior seco

    (STEVENSON et al., 1978). A impedncia externa devido ao campo magntico presente no ar, que envolve os

    condutores e em seu calculo considera-se o solo com condutividade infinita (FUCHS et al., 1979).

    Quando se leva em conta o efeito da freqncia sobre os parmetros longitudinais por unidade de comprimento, a impedncia da linha de transmisso pode ser representada pelo circuito da figura 2.3 (KUROKAWA et al., 2007).

    Figura 2.3 Circuito relativo a funo F().

    Considerando que os parmetros de uma linha de transmisso podem ser sintetizados por meio de um circuito do tipo mostrado na figura 2.3, pode-se utilizar uma cascata de circuitos pi para representar uma linha de transmisso levando em conta o efeito da freqncia

    sobre os parmetros longitudinais da mesma. Nesse caso, cada um dos circuitos pi ter o

    aspecto mostrado na figura 2.4:

    Figura 2.4 Cascata de circuitos pi considerando o efeito da freqncia.

    R1

    L1

    R2

    L2

    Rm

    Lm

    R0 L0

    R1

    L1

    R2

    L2

    Rm

    Lm

    R0 L0

    G/2 C/2 G/2 C/2

    A

    B

    u(t) v1(t)

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    20

    Na figura 2.4, as associaes RL paralelas so tantas quantas forem necessrias para

    representar a variao dos parmetros em cada dcada de freqncia que ser considerada. Inicialmente, sero mostradas as matrizes de estado para uma linha representada por

    um nico circuito pi, considerando que o efeito da freqncia sintetizado por meio de n

    associaes RL conforme mostrado na figura 2.3. Em seguida, os resultados sero estendidos para uma linha representada por meio de uma cascata de n circuitos pi, considerando n

    associaes RL para sintetizar o efeito da freqncia.

    2.3 Representao por equaes de estado levando em considerao o efeito da freqncia.

    Antes de serem determinadas as equaes de estado para uma linha representada por uma cascata de n circuitos pi considerando o efeito da freqncia, ser mostrado detalhadamente o desenvolvimento das equaes de estado considerando somente um circuito pi. Em seguida, o desenvolvimento feito para um nico elemento pi poder ser estendido para uma cascata com uma quantidade genrica de circuitos pi.

    2.3.1 Linha representada por um circuito pi

    A figura 2.4 mostra uma linha de transmisso representada por meio de um nico circuito pi, onde o efeito da freqncia sobre os parmetros longitudinais representado por

    meio de m associaes RL. No circuito da figura 2.4, as tenses nos terminais A e B so u(t) e v1(t),

    respectivamente. Considere que nos indutores L0, L1, L2,..., Lm circulam as correntes i10(t), i11(t),..., i1m(t), respectivamente.

    A partir das correntes e tenses existentes no circuito da figura 2.4 pode-se determinar:

    )t(vL1)t(u

    L1iR.

    L1R

    Li

    dtdi

    100

    m

    1jj1j

    0

    m

    1jj

    0

    1010+

    +

    =

    ==

    (2.5)

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    21

    111

    110

    1

    111 iLRi

    LR

    dtdi

    = (2.6)

    122

    210

    2

    212 iLRi

    LR

    dtdi

    = (2.7)

    m1m

    m10

    m

    mm1 iLRi

    LR

    dtdi

    = (2.8)

    )t(vCGi

    C2

    dt)t(dv

    1101

    = (2.9)

    Nas equaes (2.5) a (2.9), os termos i10, i11, ..., i1m so notaes simplificadas para as correntes i10(t), i11(t), ..., i1m(t), respectivamente.

    As equaes (2.5) a (2.9), que descrevem o circuito mostrado na figura 2.4, podem ser escritas na forma:

    [ ] [ ][ ] [ ] ( )tuBXAX +=& (2.10)

    sendo,

    [ ]

    =

    =

    =

    CG000

    C2

    0LR00

    LR

    00

    00LR0

    LR

    000LR

    LR

    L1

    LR

    LR

    LR

    L

    R

    A

    m

    m

    m

    m

    2

    2

    2

    21

    1

    1

    100

    m

    0

    2

    0

    1

    0

    mj

    0jj

    L

    L

    OMMM

    L

    L

    L

    (2.11)

    [ ]

    = 0000

    L1B0

    TL (2.12)

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    22

    [ ] [ ])t(viiiiX 1m1121110T L= (2.13)

    [ ] [ ]

    ==

    dt)t(dv

    dtdi

    dtdi

    dtdi

    dtdi

    dtXdX 1m1121110 L&

    (2.14)

    Nas equaes (2.12) e (2.13), [B]T e [X]T correspondem a [B] e [X] transpostos, respectivamente.

    Os resultados obtidos mostram que o vetor [X] possui (m + 2) elementos e que a matriz [A] uma matriz quadrada de ordem (m + 2).

    2.3.2 Linha representada por uma cascata com n circuitos pi

    Os resultados obtidos para a linha representada por um nico circuito pi podem ser estendidos para a linha representada por uma cascata de n circuitos pi. Nesse caso, a matriz [A] ser uma matriz de ordem n(m + 2) e o vetor [X] ter dimenso n(m + 2) e sero escritos na forma:

    [ ]

    =

    ]Q[]Z[]Z[]Z[]P[]Z[]J[]J[]Z[]Z[]Z[]Z[]Z[]J[]Z[]J[]Z[]Z[]Z[]J[]J[]F[]H[]H[]H[]E[

    A

    mm

    22

    11

    m21

    L

    OMM

    OMM

    L

    L

    L

    (2.15)

    [ ] [ ] [ ] [ ][ ]n21T XXXX L= (2.16)

    Na equao (2.15), [A] uma matriz tridiagonal e [Z] uma matriz nula. As matrizes [E], [F], [P] e [Q] so representadas como sendo:

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    23

    [ ]

    nxn0

    mj

    0jj

    0

    mj

    0jj

    L

    R

    L

    R

    E

    =

    =

    =

    =

    =

    O (2.17)

    [ ])1n(xn00

    0

    0

    L/1L/1

    L/1L/1

    F

    =

    OO

    O (2.18)

    [ ]nx)1n(C/1

    C/1

    C/1C/1

    P

    =

    O

    OO (2.19)

    [ ])1n(x)1n(C

    G

    CG

    Q

    = O (2.20)

    As matrizes [Hm] e [Jm] so matrizes diagonais e so dadas por:

    [ ]

    nxn0

    m

    0

    m

    m

    LR

    LR

    H

    = O (2.21)

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    24

    [ ]

    nxnm

    m

    m

    m

    m

    LR

    LR

    J

    = O (2.22)

    Considerando que a linha representada por uma cascata de n circuitos pi, o vetor [B] possui dimenso n(m + 2). Para o caso de u(t) ser uma fonte de tenso conectada no incio da linha, [B] possui um nico elemento no nulo, sendo o primeiro elemento do vetor, e possuindo valor (1/L0).

    Um vetor [Xk] genrico, na equao (2.16), escrito como sendo:

    [ ] [ ]1kkm2k1k0kTk viiiiX L= (2.23)

    Os elementos do vetor explcito em (2.23) so descritos como:

    ik0 a corrente no indutor L0, no k-simo circuito pi;

    ik1 a corrente no indutor L1, no k-simo circuito pi;

    ik2 a corrente em L2, no k-simo circuito pi;

    ikm a corrente em Lm, no k-simo circuito pi;

    vk1 a tenso no capacitor no lado direito do k-simo circuito pi.

    A equao de estado, que descreve uma linha representada por uma cascata de n circuitos pi, pode ento ser resolvida por meio de mtodos numricos (KUROKAWA et al., 2007). O presente trabalho utiliza o mtodo da integrao trapezoidal, conhecido como regra trapezoidal (RUGGIERO et al., 1998), para a soluo numrica das equaes de estado.

    2.4 Concluso

    Neste captulo, foi descrita a representao de linhas de transmisso por meio de parmetros discretos, cascata de circuitos pi, e respectiva representao no espao de estado.

  • Captulo 2 Modelagem de linhas areas de transmisso de energia eltrica

    25

    Primeiramente, foi descrita a sntese de uma cascata de circuitos pi com parmetros fixos. Ou seja, sem considerar o efeito da frequncia sobre os parmetros longitudinais da linha. Posteriormente, descreveu-se o procedimento utilizado (SARTO et al., 2001) para insero da impedncia longitudinal varivel Z() na cascata de circuitos pi, a partir do circuito equivalente ilustrado pela figura 2.3. Logo ento, as equaes diferenciais que representam as correntes e tenses sobre toda a extenso da linha foram descritas como um sistema composto por n(m+2) equaes de estado.

    Por sua vez, as equaes de estado so solucionadas a partir do mtodo numrico da regra trapezoidal, baseado na metodologia desenvolvida por Euler e Heun, facilmente encontrada na bibliografia bsica relativa a clculo numrico e clculo integral e diferencial (RUGGIERO et al., 1998).

  • 26

    3

    Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    3.1 Introduo

    Os parmetros longitudinais das linhas de transmisso so variveis em relao freqncia, fazendo com que a impedncia longitudinal da linha possa ser representada, de maneira aproximada, por meio de uma funo racional.

    Uma vez que os parmetros longitudinais da linha sejam aproximados por funes racionais, os mesmos podem ser representados por meio de associaes srie e paralelo de elementos de circuitos eltricos, resistores e indutores variveis em funo da freqncia, que

    representam o efeito solo e o efeito pelicular (TAVARES et al., 1999). Esse modelo, que desenvolvido diretamente no domnio do tempo, implementado em softwares do tipo

    EMTP.

    Para validar o modelo de linha proposto, os resultados de simulaes obtidos com o mesmo sero comparados com os resultados obtidos com o EMTP (Eletromagnetic Transients Program).

    A linha de transmisso ser representada por meio de uma cascata de circuitos Pis. Em seguida as correntes e tenses nesta cascata sero obtidas por meio das equaes de

    estado desenvolvidas no captulo 2. A cascata tambm ser inserida no EMTP, que tambm ir calcular as correntes e tenses nos terminais da mesma.

    3.2 Conceitos bsicos

    Considere uma funo f(s), cujos valores so tabulados, que pode ser aproximada por uma funo racional constituda de n plos. Ento, a funo f(s) pode ser escrita como sendo:

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    27

    =

    +

    N

    1n n

    n das

    c)s(f (3.1)

    Na equao (3.1), cn e an so o n-simo resduo e o n-simo plo da funo f(s), respectivamente. O termo independente d um nmero real positivo enquanto que os plos

    so nmeros reais negativos. A equao (3.1) tambm pode ser escrita como sendo:

    =

    =

    N

    1nn

    N

    1nn

    )as(

    )zs(d)s(f (3.2)

    Em (3.2), zn o n-simo zero de f(s), portanto, para aproximar a funo tabulada f(s) por uma funo racional deve-se, a partir de (3.1), determinar os elementos cn, an e d ou, a partir de (3.2), determinar os elementos zn, an e d.

    A obteno da funo racional que descreve a funo tabulada f(s) ser feita por meio do mtodo de ajuste denominado vector fitting. Esse mtodo de ajuste baseia-se no mtodo dos mnimos quadrados.

    3.3 Vector Fitting (GUSTAVSEN et al., 1999)

    O vector fitting necessita de uma estimativa inicial para os plos de f(s). Considere, ento, que os elementos 1a , 2a , ..., na so uma aproximao inicial para os plos de f(s). Define-se uma equao racional (s) do tipo:

    =

    +

    N

    1n n

    n 1as

    c~)s( (3.3)

    Na equao (3.3), nc~ o n-simo resduo de (s), sendo que os plos de (s) so as estimativas iniciais para os plos de f(s).

    A funo (s) tambm pode ser escrita como sendo:

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    28

    =

    =

    N

    1nn

    N

    1nn

    )as(

    )z~s(d)s(

    (3.4)

    Considere tambm que vlida a seguinte aproximao:

    =

    +

    N

    1n n

    n das

    c)s(.)s(f (3.5)

    Escrevendo a equao (3.5) de outra forma, tem-se:

    =

    =

    N

    1nn

    N

    1nn

    )as(

    )zs(d)s().s(f

    (3.6)

    A partir de (3.4) e (3.6), tem-se:

    =

    =

    N

    1nn

    N

    1nn

    )z~s(

    )zs(d)s(f

    (3.7)

    A equao (3.7) mostra que os plos da funo f(s) so os zeros da funo (s).

    3.3.1 Clculo dos resduos e do termo d

    A partir de (3.3) e (3.5) possvel escrever:

    ==

    +

    +

    N

    1n n

    nN

    1n n

    n das

    c)s(f1as

    c~

    (3.8)

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    29

    Portanto, a partir de (3.8), tem-se:

    ==

    +

    N

    1n n

    nN

    1n n

    n

    as

    c~)s(fdas

    c)s(f (3.9)

    Os valores de f(s) so conhecidos para diversos valores de (s). Considerando que f1, f2, ..., fn so valores de f(s) nas freqncias s1, s2, ..., sm e aplicando os valores tabulados de f(s) na equao (3.9), tm-se:

    ++

    ++

    +

    das

    c

    as

    c

    as

    cfn1

    n

    21

    2

    11

    11 L

    n1

    n1

    21

    21

    11

    11

    as

    c~fas

    c~fas

    c~f

    L (3.10)

    ++

    ++

    +

    das

    c

    as

    c

    as

    cfn2

    n

    22

    2

    12

    12 L

    n2

    n2

    22

    22

    12

    12

    as

    c~fas

    c~fas

    c~f

    L (3.11)

    ++

    ++

    +

    das

    c

    as

    c

    as

    cfnm

    n

    2m

    2

    1m

    1m L

    nm

    nm

    2m

    2m

    1m

    1m

    as

    c~fas

    c~fas

    c~f

    L (3.12)

    O conjunto de equaes mostradas anteriormente consiste em um sistema de m equaes e zn+1 incgnitas, onde as incgnitas so os resduos de f(s)(c1, c2,...cn) e o termo d o resduo de (s)( 1c~ , 2c~ , ..., nc~ ).

    Escrevendo na forma [A][x] = [b], tem-se:

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    30

    =

    n

    2

    1

    n

    1

    n

    1

    nm

    m

    1m

    m

    nm1m

    n2

    2

    12

    2

    n212

    n1

    1

    11

    1

    n111

    f

    ff

    c~

    c~dc

    c

    as

    fas

    f1as

    1as

    1

    as

    fas

    f1as

    1as

    1as

    fas

    f1as

    1as

    1

    M

    M

    M

    LL

    MOMMMOM

    LL

    LL

    (3.13)

    Devido ao fato de [A] possuir dimenso m x (2n+1) com m > (2n+1), o sistema descrito em (3.13) no possui soluo. No entanto, pode-se encontrar um vetor [x], tal que:

    ]b[]x[]A[][ += (3.14)

    O vetor [] contm os erros associados ao sistema descrito em (3.14). Desenvolvendo tem-se:

    =

    ++

    +

    +

    1n2

    2

    1

    )1n2(m2m1m

    )1n2(22221

    )1n2(11211

    m

    2

    1

    m

    2

    1

    x

    x

    x

    AAA

    AAAAAA

    b

    bb

    M

    L

    MOMM

    L

    L

    MM (3.15)

    A partir de (3.15) possvel obter:

    )xAxAxA(b 1n2)1n2(121111111 +++++= L (3.16)

    )xAxAxA(b 1n2)1n2(222212122 +++++= L (3.17)

    )xAxAxA(b 1n2)1n2(m22m11mmm +++++= L (3.18)

    Para minimizar o valor do erro [] em (3.15), pode-se utilizar o mtodo dos mnimos quadrados (RUGIERO et al., 1998). Definindo uma funo g(x1, x2,...,x2n+1) como sendo, tem-se:

    =

    + ==m

    1i

    2i1n221 g)x,,x,x(g K (3.19)

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    31

    Substituindo (3.16) a (3.18) em (3.19), tem-se:

    ++++= ++2

    1n2)1n2(12121111 )]xAxAxA(b[g L

    +++++ ++2

    1n2)1n2(22221212 )]xAxAxA(b[ L 2

    1n2)1n2(m22m11mm )]xAxAxA(b[ ++++++ L (3.20)

    A funo g mnima quando seu gradiente nulo, ou seja:

    0x

    gx

    gx

    gg1n221

    =

    ++

    +

    =+

    L (3.21)

    A equao (3.21) pode-ser escrita na forma matricial como sendo:

    0])x][A[]b([]A[ T = (3.22)

    Fazendo alguns ajustes na equao (3.22), tem-se:

    ]b[]A[])A[]A([]x[ T1T = (3.23)

    A matriz ([A]T [A])-1 [A]T denominada pseudo-inversa de [A]. O vetor [x], encontrado em (3.23) contm c1, c2,..., cn, d, 1c~ , 2c~ , ...., nc~ .

    3.3.2 Clculo dos plos de f(s)

    Os plos de f(s) so os zeros de (s), sendo que os plos de f(s) so os valores da matriz [H] definida por:

    ]c~][b[]A[]H[ 11 = (3.24)

    Em (3.24), [A1] uma matriz diagonal cujos elementos so estimados a partir de valores iniciais para os plos de f(s), [b1] um vetor coluna unitrio e ]c~[ um vetor linha

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    32

    contendo os resduos de (s). Para determinar a funo racional que ajusta uma funo tabulada f(s), tem-se o

    seguinte processo iterativo:

    i) Escolher uma estimativa inicial para os plos de f(s); ii) Determinar os resduos de f(s), (s) e o termo d por meio de (3.23); iii) Estruturar a matriz [H] utilizando (3.24), sendo que os plos de f(s) so os

    autovalores de [H]; iv) Considerar os plos obtidos em (iii) como sendo uma nova estimativa e voltar

    para (ii);

    3.4 Ajuste das impedncias longitudinais

    A impedncia interna resulta do efeito do campo eletromagntico no interior do condutor. A impedncia interna constituda de uma resistncia e de uma indutncia cujos comportamentos em funo da freqncia podem ser calculados por meio de frmulas derivadas das equaes de Bessel. Devido ao efeito pelicular, o valor dessa resistncia aumenta medida que a freqncia aumenta, enquanto que a indutncia diminui com o aumento da freqncia (MARTI et al., 1983).

    Quando se leva em conta os efeitos solo e pelicular, os parmetros longitudinais, por unidade de comprimento, de um segmento de uma linha de transmisso resultam em uma impedncia Z() escrita como sendo:

    )(Lj)(R)(Z += (3.25)

    Na equao (3.25), R() e L() so, respectivamente, a resistncia e a indutncia longitudinal do segmento de linha.

    Geralmente no existe uma funo que descreva a impedncia Z() pois os parmetros R() e L() so obtidos por meio de sries numricas. No entanto, a impedncia Z() pode ser descrita, de maneira aproximada, por meio de uma funo racional F() cujos plos so todos reais negativos e os resduos so nmeros reais positivos (KUROKAWA et al., 2007). Desse modo, a impedncia F() pode ser escrita como sendo (SARTO et al., 2001):

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    33

    = j

    R)(Z)(F dc (3.26)

    Na equao (3.26), Rdc o valor da resistncia para =0. A funo F(s), dada pela equao (3.26), pode ser ajustada por uma funo racional dada por:

    =

    +

    N

    1n n

    nfit

    ajcd)(F (3.27)

    Igualando a equao 3.26 com 3.27 tem-se:

    =

    ++

    m

    1i i

    idc

    ajcjdjR)(F)(Z (3.28)

    Na equao (3.28), ci e ai so os plos e os resduos, respectivamente, da funo racional F() (KUROKAWA et al., 2007).

    A impedncia descrita na equao (3.28) relativa ao circuito da Figura 3.1.

    Figura 3.1 Circuito relativo a funo F().

    A impedncia equivalente do circuito da Figura 3.1 dada por (SARTO et al., 2001):

    =

    ++=

    m

    1i

    i

    i

    i00

    LRj

    RjLjR)(Z (3.29)

    sendo:

    dc0 RR = (3.30)

    R1

    L1

    R2

    L2

    Rm

    Lm

    R0 L0

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    34

    dL0 = (3.31)

    ii cR = (3.32)

    i

    ii

    a

    cL = (3.33)

    Os resistores e indutores do circuito da Figura 3.1 representam os parmetros longitudinais da linha, ou seja, a impedncia longitudinal. Os valores dos resistores e indutores da Figura 3.1 podem ser obtidos a partir de diversos mtodos descritos por Sarto et al. (2001) e Lima et al. (2005), citados por Kurokawa et al. (2007).

    3.5 Aplicao do modelo

    Considerando um nico condutor representando uma linha monofsica conforme a Figura 3.2, ser usado o mtodo para o clculo de parmetros (YAMANAKA et al., 2009) e depois, ser usado o mtodo do vector fitting estudado, neste captulo, para sintetizar os parmetros longitudinais dessa linha.

    Figura 3.2 Representao de uma linha monofsica.

    A linha monofsica mostrada na Figura 3.2 possui um condutor com raio de 2,4 cm do tipo grosbeak (FUCHS et al., 1979).

    A partir dos dados da linha da figura 3.2 possvel calcular os parmetros longitudinais, resistncia e indutncia, levando em considerao o efeito da freqncia sobre os mesmos, ou seja, considerando os efeitos pelicular e solo (YAMANAKA et al., 2009).

    h=18 m

    solo

    condutor

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    35

    A Figura 3.3 mostra o comportamento da resistncia longitudinal da linha mostrada na Figura 3.2.

    Figura 3.3 Resistncia prpria.

    A Figura 3.4 mostra a indutncia longitudinal da linha mostrada na Figura 3.2.

    Figura 3.4 Indutncia prpria.

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    36

    A partir dos valores tabulados da impedncia longitudinal da linha, possvel aproximar os parmetros longitudinais da linha monofsica por meio de funes racionais, utilizando o mtodo de vector fitting, permitindo que o efeito da freqncia seja inserido nos modelos de parmetro discretos (cascata de circuitos pi).

    Utilizando o software MatLab, foi desenvolvida uma rotina que faz a sntese dos parmetros longitudinais utilizando o vector fitting.

    Inicialmente, considerou-se dez plos iniciais, um plo para cada dcada de freqncia, distribudos na faixa de freqncias compreendidas entre 10-2 Hz e 108 Hz. Com o vector fitting foi possvel calcular os novos plos e zeros. Aps o calculo foi necessrio um ajuste manual desses plos e zeros para que a funo racional representasse melhor os parmetros longitudinais da linha monofsica.

    A tabela 3.1 mostra os valores de resistncias e indutncias obtidos a partir dos valores dos plos e zeros obtidos pelo vector fitting.

    Resistncias (/km) Indutncias (mH/km) R0 0,02055 L0 1,4 R1 3588,4 L1 0,0433 R2 614,3293 L2 0,11804 R3 100,6367 L3 0,15383 R4 13,2296 L4 0,20010 R5 1,4379 L5 0,23387 R6 0,1447 L6 0,21873

    R7 0,0112 L7 0,47989 R8 5,9231x10-5 L8 0,25657 R9 4,5882x10-5 L9 0,76243

    Tabela 3.1 Valores dos elementos R e L utilizados na sntese dos parmetros unitrios da linha.

    A partir das resistncias e indutncias mostradas na tabela 3.1, possvel sintetizar os parmetros da linha por meio do circuito mostrado na Figura 3.5.

    Figura 3.5 Circuito utilizado na sntese dos parmetros da linha

    R0 L0 R3

    L3

    R1

    L1

    R2

    L2

    R4

    L4

    R5

    L5

    R6

    L6

    R7

    L7

    R8

    L8

    R9

    L9

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    37

    A Figura 3.6 mostra o comportamento da resistncia da linha sintetizada por meio de funes racionais.

    Figura 3.6 Resistncia sintetizada.

    Na Figura 3.6 pode-se observar que os valores de resistncia sintetizados representam bem a resistncia longitudinal da linha.

    A Figura 3.7 mostra a indutncia prpria da linha sintetizada por meio de funes racionais.

    Figura 3.7 Indutncia sintetizada.

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    38

    Nas Figuras 3.6 e 3.7, pode-se observar que o modelo desenvolvido neste captulo representa bem a impedncia longitudinal da linha de transmisso. Os valores de resistncia e indutncia da tabela 3.1 so sintetizados por meio do circuito da Figura 3.5 e pode ser inserido na cascata de circuitos pi.

    Considerando que a linha monofsica da figura 3.2 possui comprimento de 100 km e que ser energizada por meio de uma fonte de tenso constante de 20 kV, conforme mostrado na figura 3.8.

    Figura 3.8 Linha monofsica com o terminal em aberto

    O valor de capacitncia da linha de transmisso foi obtido por meio do clculo de parmetros (YAMANAKA et al., 2009) e obteve-se o valor de C = 11,11 nF/km.

    Aplicando o mtodo do vector fitting foi possvel sintetizar os parmetros longitudinais da linha em estudo e obter os valores de resistncia e indutncia sintetizados mostrados na tabela 3.1. Com os valores das resistncias e indutncias sintetizados, possvel obter a funo racional que representa os parmetros longitudinais da linha de transmisso e montar as equaes de estado que descrevem o comportamento das correntes e tenses ao longo da mesma.

    A mesma cascata de circuitos pi foi tambm inserida no Microtran. Desse modo foi possvel comparar os resultados obtidos do modelo proposto com os resultados obtidos a partir de um programa de referncia que o Microtran.

    As simulaes utilizando o modelo desenvolvido foram realizadas no ambiente Matlab, utilizando o mtodo de integrao trapezoidal (NELMS et al., 1989).

    A Figura 3.9 mostra a tenso no terminal da linha aberta durante o processo de energizao da mesma.

    Solo

    100 km

    V1= 20 kV

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    39

    Figura 3.9 Tenso do terminal da linha em aberta Modelo Proposto (1) e EMTP (2).

    A curva 1 mostra os resultados obtidos com o modelo proposto e a curva 2, tracejada, mostra os resultados obtidos com o EMTP.

    Observa-se que os resultados obtidos com o modelo proposto so praticamente coincidentes com o resultado obtidos com o EMTP. Deste modo pode-se concluir que o modelo proposto desenvolvido preciso e eficiente, configurando como uma modelagem para incluso de rotinas numricas capazes de representar o efeito da freqncia.

    3.6 Concluso

    Neste captulo, mostrou-se a aproximao dos parmetros longitudinais de uma linha de transmisso por meio de funes racionais que permite considerar o efeito da freqncia nos parmetros longitudinais de uma cascata de circuitos pi.

    Assim, os modelos com parmetros variveis em relao freqncia so mais precisos quando comparados aos modelos que consideram os parmetros constantes. A dependncia da freqncia pode ser representada por meio da associao srie e paralela de elementos R e L (TAVARES et al., 1999).

    (1)

    (2)

  • Captulo 3 Aproximao dos parmetros da linha de transmisso por meio de funes racionais

    40

    O mtodo estudado neste captulo para sintetizar parmetros longitudinais de uma linha de transmisso teve um bom resultado. Isso pode ser notado nas Figuras 3.6 e 3.7, onde so mostradas as resistncias e indutncias longitudinais, respectivamente, calculadas a partir das equaes estudada no captulo 2 e os parmetros sintetizados por m do mtodo do vector fitting.

    Neste captulo foi validado o modelo desenvolvido comparando os resultados obtidos por meio da simulao do modelo desenvolvido com os resultados obtidos por meio do EMTP, verificou-se que o modelo teve um comportamento coerente.

  • 41

    4

    Incluso do efeito corona em modelos de linhas com

    parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    4.1 Introduo

    Uma das reas da Engenharia Eltrica que merece uma ateno especial com relao ao efeito corona a rea de proteo de sistemas de potncia, pois as ondas de sobretenses, resultantes de descargas atmosfricas, que se propagam ao longo das linhas de transmisso de energia eltrica so significativamente afetadas pelo efeito corona. Portanto, essencial que os estudos referentes previso dos transitrios eletromagnticos que ocorram na linha levem em considerao a presena do efeito corona, pois desses estudos resultam os nveis de isolamento dos equipamentos conectados linha e tambm o projeto dos pra-raios instalados nas mesmas (MAMIS et al., 2005).

    Neste captulo ser mostrado como representar o efeito corona em um modelo matemtico de linha de transmisso utilizado no estudo de transitrios eletromagnticos.

    A linha ser representada por meio de uma cascata de circuitos pi levando em

    considerao o efeito da freqncia, como foi mostrado na figura 2.4 do captulo 2 e as correntes e tenses ao longo da linha sero obtidas por meio do uso de tcnicas de variveis de estado (NELMS et al., 1989).

    Quando o efeito corona ocorre em determinado ponto de uma linha de transmisso, uma onda ao viajar por essa linha sofre uma distoro e uma atenuao em sua forma. Isso devido ao aumento da capacitncia e a dissipao de energia da linha, em conseqncia da

    forte ionizao gerada ao redor do condutor (GLSSIO et al., 1994).

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    42

    4.2 Representao do efeito corona

    Aps o trabalho pioneiro de Peek et al., (1915), foram feitas vrias medies em linhas experimentais e em laboratrios para examinar a natureza do efeito corona e sua

    influncia na propagao das ondas nas linhas de transmisso. Esses trabalhos foram de fundamental importncia, pois contriburam para o entendimento do mecanismo bsico do

    efeito corona.

    Em 1954, Wagner et al. (1954) e em 1955, Wagner e Lloyd et al. (1955) publicaram dois artigos que seriam referncia para os futuros trabalhos em corona. Foram feitas medies de tenso de uma linha experimental, chamado projeto Tidd 500 kV e em laboratrio de um condutor sob efeito corona.

    Foram apresentados por Maruvada et al., (1988), os resultados das medies para tenses de 60 Hz e sobretenses temporrias (durao de 10 ciclos).

    Os testes desenvolvidos por Gary et al., (1978), na Eletricit de France (EDF), foram feitos em uma linha de transmisso de 220 kV. Nesse trabalho foi introduzido o conceito da capacitncia dinmica.

    Por meio desses resultados experimentais foram desenvolvidas frmulas e procedimentos empricos para se considerar os efeitos de atenuao e distoro na propagao de surtos. Essas frmulas e procedimentos so baseados no gradiente de tenso, nas curvas de tenso e atenuao obtidas de medies e na dissipao de energia devido ao efeito corona. A utilidade desses mtodos entretanto limitada, pois requer diversas aproximaes e bacos

    para sua utilizao.

    Os modelos de corona podem ser divididos em trs classes: modelos analgicos,

    modelos matemticos e modelos fsicos. Os modelos analgicos so circuitos eltricos projetados para reproduzir o aumento

    da capacitncia geomtrica do condutor ao atingir a tenso critica de ionizao. Da mesma forma que nos modelos analgicos, os modelos matemticos reproduzem

    de forma aproximada as caractersticas dos condutores sob efeito corona, porm por meio de equaes matemticas. Vrios outros autores apresentam formulaes empricas para a

    variao da capacitncia da linha baseadas em constantes e funes obtidas a partir de medies. A maioria dos modelos apresentam uma relao linear entre a capacitncia dinmica e a tenso.

    Os modelos fsicos tm como base a obteno das equaes diferenciais da linha,

    onde tambm considerado o efeito corona. Um modelo de base fsica do efeito corona deve

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    43

    conter um mnimo de coeficientes empricos que sejam determinveis com alguma facilidade. Alm disso, deve evitar o uso de aproximaes que limitem a sua utilizao em condies especificas de propagao.

    Devido complexidade em descrever matematicamente os fenmenos fsicos

    envolvidos bem como quantidade insuficiente de dados de propagao sob efeito corona, ainda no se dispe de modelos genricos dessa natureza.

    Neste captulo, sero estudados dois modelos matemticos para o efeito corona que so o modelo de Gary e o modelo de Skilling-Umoto (MAMIS et al., 2003).

    4.3 Modelos de Gary e de Skilling-Umoto para o efeito corona

    As equaes que descrevem o efeito corona no so de fcil implementao nas equaes diferenciais da linha de transmisso, de modo que se obtenha uma formulao de fcil soluo. Desse modo, para se obter respostas diretamente no domnio do tempo, utilizam-se modelos numricos tais como o mtodo das diferenas finitas e o mtodo das caractersticas. Essa ltima categoria de modelos so desenvolvidos para serem implementados em programas do tipo EMTP. Alguns desses modelos utilizam resistores e capacitores no lineares dependentes da tenso aplicada sobre os mesmos e outros modelos utilizam capacitores e resistores, de valores fixos, juntamente com diodos e fontes de tenso. Porm, a maioria dos modelos de corona existentes apresentam resultados satisfatrios

    somente para uma situao especfica (MAMIS et al., 2003). O mecanismo que representa o efeito corona tambm pode ser representado pelos

    modelos de Gary e de Skilling-Umoto, que utilizam uma capacitncia e uma condutncia no lineares para representar o acmulo e as perdas de cargas na linha (MAMIS et al., 2003). A capacitncia e a condutncia mencionadas anteriormente so variveis em relao a tenso aplicada sobre as mesmas e so denominadas capacitncia corona (Cc) e condutncia corona (Gc). Em Mamis et al., 2003, os elementos Cc e Gc so obtidos por meio de funes analticas conhecidas e, portanto, essa representao para o efeito corona denominada modelo

    analtico do efeito corona. Esse modelo para o efeito corona pode ser inserido em linhas

    representadas por uma cascata de circuitos pi, onde as correntes e as tenses ao longo da linha

    so descritas por meio de variveis de estado (MAMIS et al., 2003). De acordo com (MAMIS et al., 2003), se o efeito corona estiver presente no

    elemento diferencial de linha mostrado na figura 2.4, o mesmo pode ser representado nesse

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    44

    segmento, utilizando os modelos de Gary e de Skilling-Umoto. Desse modo, considerando a presena do efeito corona e do efeito da freqncia, um

    elemento diferencial de linha pode ser representado conforme mostra a figura 4.2.

    Figura 4.2 Elemento diferencial de uma linha, considerando o efeito corona

    Na figura 4.2, Cc e Gc so, respectivamente, a capacitncia e a condutncia que representam o efeito corona, R0 e L0 so os parmetros longitudinais da linha, R1, R2,...,Rm so as resistncias sintetizadas e L1, L2,...,Lm so as indutncias sintetizadas, enquanto que G e C so os parmetros transversais.

    Portanto, pode-se representar uma linha de transmisso levando em conta a presena

    do efeito corona e do efeito da freqncia por meio de uma cascata de circuitos pi como

    mostrado na figura 4.2. Para que a cascata seja representada por meio de variveis de estado, basta incluir os parmetros Cc e Gc na posio da matriz [A] referente ao elemento diferencial onde est ocorrendo o efeito corona.

    A capacitncia e condutncia de corona so introduzidas no circuito diferencial da linha de transmisso quando o valor crtico de tenso de corona no ponto que sendo analisado

    excedido. Assim, a capacitncia e condutncia de corona so somadas com a capacitncia e condutncia caracterstica da linha respectivamente.

    Conforme mostrado em (MAMIS et al., 2003), os valores de Cc e Gc so definidos em funo do valor da tenso aplicada sobre esses elementos. Portanto, para cada instante de

    tempo, a capacitncia Cc assumir valores distintos em cada ponto da linha. O mesmo acontecer com a condutncia Gc.

    Se a capacitncia corona for representada pelo modelo de Gary, a mesma definida como sendo (MAMIS et al., 2003):

    R1

    L1

    R2

    L2

    Rm

    Lm

    R0 L0 A

    B

    C/2 + Cc/2 G/2 + Gc/2 C/2 + Cc/2 G/2 + Gc/2

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    45

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    46

    2C

    CCv

    V1kG

    = (4.5)

    Os modelos de Gary e de Skilling-Umoto consideram que o efeito corona somente se manifesta se a tenso v maior que VC e se a taxa de variao de v em relao ao tempo

    positiva. Desse modo, para que o efeito corona se manifeste em um determinado ponto P da linha, a tenso Vp neste ponto deve obedecer as seguintes condies (MAMIS et al., 2003):

    Cp VV > e 0dtdVp

    > (4.6)

    Desse modo, para que o efeito corona esteja presente em um ponto genrico da linha representada por meio de uma cascata de circuitos pi, como mostrado na figura 4.2,

    necessrio que a tenso nesse ponto satisfaa as duas condies mostradas na equao (4.6). Caso uma das condies no seja atendida, esse ponto no ter acrescido a capacitncia e a condutncia que representam o efeito corona.

    Portanto, a matriz [A] mostrada na equao (3.18) dever ser alterada a cada iterao em funo da tenso transversal da linha.

    4.4 Descrio do experimento desenvolvido por Wagner (WAGNER et al., 1954)

    O experimento desenvolvido por Wagner et al., (1954), foi implementado em uma linha trifsica experimental de aproximadamente 2300 metros, situada em Brilliant, Ohio. Para que se obtivesse um circuito equivalente monofsico para utilizar nas simulaes digitais, foi considerada somente a seqncia zero da linha experimental. Assim, com os parmetros geomtricos dessa linha experimental, foi possvel obter os parmetros longitudinais da linha sem levar em considerao o efeito da freqncia.

    A linha experimental foi energizada com uma fonte de tenso e as medies foram feitas a 628 metros, 1280 metros e a 2200 metros. Essas medies so mostradas na figura 4.3 (WAGNER et al., 1954).

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    47

    Figura 4.3 Tenses do experimento com efeito corona.

    Por meio da figura 4.3 foi possvel levantar as formas de ondas das tenses levando em considerao o efeito corona, assim, possvel verificar se o modelo desenvolvido apresenta um bom comportamento.

    As formas de onda da figura 4.4 foram obtidas por meio da figura 4.3, foram levantados ponto a ponto das formas de onda da figura 4.3.

    Figura 4.4 Curvas levantadas ponto a ponto.

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    48

    4.5 Incluso do efeito corona em uma linha monofsica: efeitos durante as simulaes da energizao da mesma por uma fonte de tenso exponencial

    Nesta parte da simulao ser utilizada a linha monofsica, descrita por Mamis et al., (2003), com parmetros constantes e com parmetros dependentes da freqncia.

    A linha de transmisso mostrada na figura 4.5 um modelo de linha monofsica de 2,200 km de comprimento, que ser representada por meio de uma cascata de 110 circuitos pi.

    Figura 4.5 Linha de transmisso a ser simulada

    Os parmetros unitrios da linha monofsica sem levar em considerao o efeito da freqncia so mostrados na tabela 4.1, esses valores foram calculados para uma freqncia alta conforme (MAMIS et al., 2003).

    Parmetro Valor

    R 11,35 /km

    L 1,73 mH/km

    G 0,556 S/km

    C 7,8 nF/km

    Tabela 4.1 Parmetros unitrios da linha

    Para a simulao da linha de transmisso monofsica, a mesma ser energizada por uma fonte de tenso de dupla exponencial descrita pela equao (4.7) (MAMIS et al., 2003).

    )ee(101950)t(v t1015,0t103,03 76 = (4.7)

    18 m

    condutor

    2200 km Solo

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

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    A figura 4.6 mostra a forma de onda de tenso da fonte exponencial descrita na equao (4.7), obtida por meio de uma rotina desenvolvida no MATLAB. Considerou-se que a linha foi energizada durante 5 s.

    Figura 4.6 Forma de onda da fonte de tenso

    Para um melhor estudo das ondas viajantes de sobretenses, evitou-se as reflexes sucessivas das ondas de tenses e correntes na linha. Para isso foi conectada no terminal oposto ao da energizao uma carga idntica impedncia caracterstica da linha. Dessa maneira, a linha passa a comportar-se como uma linha infinita e no apresenta reflexes de ondas em seus terminais (MINEGISHI et al., 1994, FUCHS et al., 1979).

    A impedncia caracterstica da linha pode ser calculada como sendo (FUCHS et al., 1979, CHIPMAN et al., 1976):

    CjGLjRZc

    +

    += (4.8)

    sendo:

    f2pi= (4.9)

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    50

    Na equao (4.8), Zc a impedncia caracterstica da linha, os elementos R e L so os parmetros longitudinais, G e C os parmetros transversais da linha e na equao (4.9), f a freqncia.

    A impedncia Zc foi calculada para uma faixa de freqncias compreendidas entre 10 Hz e 1 MHz. Devido aos parmetros longitudinais serem calculados em altas freqncias (MAMIS et al., 2003), verificou-se que a impedncia Zc se comporta como uma resistncia para altas freqncias, com um valor aproximado de 470 .

    A figura 4.7 mostra o circuito equivalente da linha monofsica mostrada na figura 4.5, com a fonte de tenso e a impedncia caracterstica.

    Figura 4.7 Circuito que representa a linha submetida a uma descarga atmosfrica

    Conforme adotado em Mamis et al. (2003), utilizou-se os valores para as constantes c e G, de 30 e 107, respectivamente. No modelo de Gary e Skilling-Umoto considerou-se

    que a tenso disruptiva do ar kV550Vc = conforme adotado por Mamis et al., 2003.

    A cascata de 110 circuitos pi, utilizada para representar a linha, foi descrita por meio

    de equaes de estado (MAMIS et al., 2003). A equao de estado foi solucionada numericamente utilizando o mtodo de integrao trapezoidal (RUGGIERO et al., 1998), sendo adotado um passo de clculo de 0,05 s.

    Devido as formas de onda da figura 4.3 terem sido mostradas em um tempo de 5 s, o instante em que as tenses obtidas pela simulao so nulas no foram levados em considerao na comparao com os resultados do experimento de Wagner et al., (1954).

    Considerando que a linha monofsica mostrada na figura 4.7 possui as mesmas caractersticas geomtricas da linha da figura 3.2 apresentada no captulo 3 que j teve os parmetros longitudinais em funo da freqncia sintetizados e apresentados na tabela 3.1, esse procedimento no ser apresentado neste captulo.

    Zc = 470

    2,200 km

    s

    V(t)

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    51

    4.5.1 Tenses a 685 metros do terminal de energizao

    A figura 4.8 mostra as tenses das simulaes no ponto a 685 metros do terminal onde a linha foi energizada. Na figura 4.8 so mostradas as tenses com parmetros constantes e com parmetros dependentes da freqncia do modelo de Gary e do modelo de Skilling-Umoto e a forma de onda da tenso do experimento do Wagner et al., (1954).

    Figura 4.8 Tenso a 685 metros do terminal de energizao

    Na figura 4.8 o modelo que teve um comportamento mais prximo da forma de onda da tenso do experimento do Wagner et al., (1954), foi o modelo de Skilling-Umoto levando em considerao o efeito da freqncia sobre os parmetros longitudinais.

    4.5.2 Tenses a 1295 metros do terminal de energizao

    A figura 4.9 mostra as tenses das simulaes no ponto a 1295 metros do terminal onde a linha foi energizada. Na figura 4.9 so mostradas as tenses com parmetros constantes e com parmetros dependentes da freqncia do modelo de Gary e do modelo de Skilling-Umoto e a forma de onda da tenso do experimento do Wagner et al., (1954).

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    52

    Figura 4.9 Tenso a 1295 metros do terminal de energizao

    4.5.3 Tenses a 2200 metros do terminal de energizao

    A figura 4.9 mostra as tenses das simulaes no ponto a 1295 metros do terminal onde a linha foi energizada. Na figura 4.9 so mostradas as tenses com parmetros constantes e com parmetros dependentes da freqncia do modelo de Gary e do modelo de Skilling-Umoto e a forma de onda da tenso do experimento do Wagner et al., (1954).

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    53

    Figura 4.10 Tenso a 2200 metros do terminal de energizao

    Nas simulaes mostradas nas figuras 4.8 a 4.10, observou-se que o efeito da freqncia causa pouca influncia nas formas de ondas das tenses. Na posio a 685 metros de distncia do terminal energizado o modelo desenvolvido que teve melhor resultado quando comparado com o resultado do experimento de Wagner et al., (1954), foi o modelo que utilizou-se as equaes de Skilling-Umoto para representar o efeito corona. Nas posies a 1295 metros e 2200 metros de distncia do terminal energizado a freqncia causa uma influncia na amplitude das tenses e o modelo utilizando as equaes de Skilling-Umoto foi o que melhor se aproximou dos resultados do experimento de Wagner et al., (1954).

    Conforme analisado por Mamis et al., (2003), o modelo que melhor se aproxima dos valores obtidos nas medies feitas por WAGNER et al., (1954), o modelo que utiliza as equaes de Skilling-Umoto para representar o efeito corona e nas simulaes dos modelos desenvolvido nesse trabalho pode-se concluir o mesmo.

    Nas prximas simulaes deste trabalho ser considerado somente o modelo desenvolvido para uma linha monofsica utilizando as equaes de Skilling-Umoto, por

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    54

    apresentar um melhor resultado quando comparado com os resultados do experimento de Wagner et al., (1954).

    4.6 Influncia do efeito corona nas sobretenses de linhas monofsicas durante a energizao das mesmas

    Nesta parte da simulao, sero comparadas as tenses no terminal em aberto da linha com e sem a presena do efeito corona quando se leva em considerao os parmetros dependentes da freqncia.

    A figura 4.11 representa um modelo de linha de transmisso monofsica a ser simulada.

    Figura 4.11 Linha monofsica com o terminal em aberto

    A linha de transmisso da figura 4.11 foi energizada com uma fonte de tenso de 400 kV, considerando que o terminal onde as tenses sero medidas est em aberto. O modelo utilizado para representar o efeito corona ser o modelo de Skilling-Umoto por ter tido um melhor resultado nas simulaes anteriores.

    A figura 4.12 mostra a forma de onda viajante da tenso de energizao no terminal final sem o efeito corona e considerando os parmetros dependentes da freqncia.

    Solo

    100 km

    V1= 400 kV 18 m

    S

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    55

    Figura 4.12 Tenso no terminal da linha em aberto com parmetros dependentes da freqncia sem o efeito corona.

    A figura 4.13 mostra a forma de onda de tenso no terminal em aberto com parmetros longitudinais dependentes da freqncia e com o efeito corona.

    Figura 4.13 Tenso no terminal da linha a parmetros dependentes da freqncia e efeito corona.

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    56

    A figura 4.14 mostra a comparao das formas de onda das tenses no terminal em aberto sem efeito corona e com efeito corona considerando os parmetros longitudinais dependentes da freqncia.

    Figura 4.14 Comparao da tenso sem efeito corona e com efeito corona.

    Pode-se observar que considerando o efeito corona em linhas de transmisso, esse efeito causa influncia na forma de onda da tenso resultante no terminal oposto ao da energizao. O efeito corona diminui a amplitude da forma de onda da tenso.

    4.7 Concluso

    Neste captulo, foi feita uma breve discusso referente s caractersticas dos procedimentos utilizados para inserir o efeito corona em modelos de linhas de transmisso.

    Verificou-se que as equaes que descrevem o efeito corona no so de fcil implementao nas equaes diferenciais da linha de transmisso. Desse modo, para se obter respostas diretamente no domnio do tempo, utilizou-se modelos numricos tais como o mtodo das diferenas finitas e o mtodo das caractersticas. A maioria dos modelos de corona existentes apresentam resultados satisfatrios somente para uma situao especfica.

    Foram estudados dois modelos para o efeito corona que so o modelo de Gary e o

  • Captulo 4 Incluso do efeito corona em modelos de linhas com parmetros dependentes da freqncia utilizados para estudos de sobretenses

    57

    modelo de Skilling-Umoto. Esses modelos utilizam uma capacitncia e uma condutncia no lineares para representar, o acmulo e as perdas de cargas no modelo de linha monofsica, respectivamente, sendo que os valores da capacitncia e a condutncia so variveis em relao a tenso aplicada. Esses modelos podem ser implementados em modelos de linhas que

    so representadas por meio de uma cascata de circuitos pi e que as correntes e tenses ao

    longo da linha so descritas por meio de variveis de estado. Foi desenvolvido um modelo de linha monofsica que considera o efeito corona em

    linhas de transmisso. Isso foi possvel usando as equaes de Gary e de Skilling-Umoto que representam o efeito corona por de uma capacitncia e condutncia varivel em funo da tenso no ponto em que se est analisando.

    Com o modelo desenvolvido neste captulo e o modelo que considera o efeito da freqncia estudado nos captulos anteriores, foi possvel obter um modelo de linha monofsica mais completo para anlise de transitrio durante uma energizao.

    Ao analisar a influncia do efeito da freqncia e do efeito corona em manobras de energizao, verificou-se que devido ao efeito corona as tenses na linha, sofrem distores e atenuaes. Verificou-se que o efeito da freqncia tambm influencia nas formas de ondas.

    Observou-se que considerando o efeito da freqncia nas simulaes, o modelo que mais se aproxima dos valores do experimento desenvolvido por Wagner et al., (1954) o modelo de Skilling-Umoto. Essas informaes so importantes no momento em que se especifica o nvel de isolamento dos equipamentos conectados na linha e tambm devem ser levadas em considerao no momento em que se dimensionam os pra-raios da linha de transmisso de energia eltrica.

  • 58

    5

    Linhas de transmisso no domnio modal

    5.1 Introduo

    As equaes diferenciais de segunda ordem que descrevem uma linha de transmisso

    polifsica so de difcil soluo devido ao acoplamento entre as fases. Uma importante ferramenta de anlise de sistemas polifsicos a tcnica que desacopla as fases dos mesmos.

    Dessa maneira, um sistema que possui n fases acopladas pode ser representado por n sistemas monofsicos que so matematicamente idnticos ao sistema original.

    Para um sistema polifsico genrico, a matriz com os autovetores do produto matricial [Z][Y] desacopla as fases da linha. Existem, para um nico produto [Z][Y], diversos conjuntos de autovetores que desacoplam a linha. A definio de um conjunto especfico de autovetores feita por meio da imposio de uma restrio adicional, a de que cada um dos

    autovetores do conjunto possua mdulo unitrio. Aps ser mostrado neste capitulo que uma linha de n fases pode ser representada um

    modelo de n linhas monofsicas, ser deduzida a matriz de transformao [TV] para representar uma linha bifsica em seus modos para a simulao dos transitrios eletromagnticos.

    5.2 Decomposio Modal de Linhas de Transmisso

    As equaes diferenciais de primeira ordem para uma linha de transmisso com n fases so:

    )],x(I[)](Z[x

    )],x(V[=

    (5.1)

  • Captulo 5 Linhas de transmisso no domnio modal

    59

    )],x(V[)](Y[x

    )],x(I[=

    (5.2)

    As equaes diferenciais de segunda ordem para uma linha de transmisso com n

    fases, escritas no domnio da freqncia so:

    )],x(V[)](Y[)](Z[x

    )],x(V[2

    2=

    (5.3)

    )],x(I[)](Z[)](Y[x

    )],x(I[2

    2=

    (5.4)

    As matrizes [Z()] e [Y()] so, respectivamente, as matrizes de impedncia longitudinal e de admitncia transversal por unidade de comprimento da linha. Os vetores [V(x,)] e [I(x,)] so, respectivamente, os vetores com as tenses e correntes de fase.

    Nas equaes de (5.1) at (5.4), o termo corresponde freqncia angular. As matrizes de impedncia longitudinal e de admitncia transversal por unidade de comprimento da linha, assim como os vetores de corrente e tenso, so variveis em relao freqncia. Por questes de simplificao, o termo ser omitido dessas grandezas no restante deste captulo.

    A matriz [Z] leva em considerao o efeito do solo e o efeito pelicular (DOMMEL et al., 1969; Marti et al., 1983). Os vetores [V] e [I] so os vetores de tenses e correntes de fase, respectivamente.

    As equaes de (5.1) a (5.4) esto no domnio das fases e so de difcil resoluo, uma vez que os produtos matriciais [Z][Y] e [Y][Z] so, de maneira genrica, distintos. As matrizes [Z] e [Y] no so matrizes diagonais.

    Tais produtos podem ser transformados em matrizes diagonais a partir da utilizao de uma transformao de similaridade. Nesse caso, os produtos matriciais [Z][Y] e [Y][Z] resultaro em matrizes diagonais cujos elementos so os autovalores dos produtos matriciais.

    A matriz [V], que a matriz com os autovalores de [Z][Y] calculada por meio da seguinte relao:

    [ ] [ ] [ ][ ][ ]V1VV TYZT = (5.5)

  • Captulo 5 Linhas de transmisso no domnio modal

    60

    Os autovalores [I] do produto matricial [Y][Z] so:

    [ ] [ ] [ ][ ][ ]I1II TZYT = (5.6)

    Nas equaes (5.5) e (5.6), as matrizes [TV] e [TI] so, respectivamente, as matrizes cujas colunas so os autovetores das matrizes [Z][Y] e [Y][Z]. As matrizes [TV], [TI], [I] e [V] so complexas e variveis em relao freqncia.

    Os produtos matriciais [Z][Y] e [Y][Z], de maneira genrica, so distintos e portanto, as matrizes [TV] e [TI] so diferentes.

    No entanto, mesmo sendo [Z][Y] e [Y][Z] produtos matriciais distintos, seus determinantes e conseqentemente seus autovalores [V] e [I] so iguais:

    ][][ IV = (5.7)

    Denominando-se os autovalores dos produtos [Z][Y] e [Y][Z] de [m], obtm-se: [ ] [ ]Vm = (5.8)

    [ ] [ ]Im = (5.9)

    Substituindo-se as equaes (5.8) e (5.9) nas equaes (5.5) e (5.6), respectivamente, tm-se:

    [ ] [ ] [ ][ ][ ]V1Vm TYZT = (5.10)

    [ ] [ ] [ ][ ][ ]I1Im TZYT = (5.11)

    Fazendo a pr-multiplicao das equaes (5.10) e (5.11) por [TV] e [TI], respectivamente, obtm-se:

    ]T[]Y[]Z[][]T[ VmV = (5.12)

    ]T[]Z[]Y[][]T[ ImI = (5.13)

  • Captulo 5 Linhas de transmisso no domnio modal

    61

    Fazendo-se a ps-multiplicao das equaes (5.12) e (5.13) por [TV]-1 e [TI]-1, respectivamente, obtm-se:

    [ ][ ] [ ][ ][ ] 1VmV TTYZ = (5.14)

    [ ][ ] [ ][ ][ ] 1ImI TTZY = (5.15)

    Substituindo as equaes (5.14) e (5.15) nas equaes (5.2) e (5.3), respectivamente, tm-se:

    [ ] [ ][ ][ ] [ ]VTTx

    V 1VmV2

    2=

    (5.16)

    [ ] [ ][ ][ ] [ ]ITTx

    I 1ImI2

    2=

    (5.17)

    Pr-multiplicando as equaes (5.16) e (5.17) por [TV]-1 e [TI]-1, respectivamente, obtm-se:

    [ ] [ ] [ ][ ] [ ]VTx

    VT 1Vm2

    1V

    2

    =

    (5.18)

    [ ] [ ] [ ][ ] [ ]ITx

    IT 1Im2

    1I

    2

    =

    (5.19)

    Nas equaes (5.18) e (5.19), pode-se definir as correntes e tenses modais como sendo:

    [ ] [ ] [ ]VTE 1Vm = (5.20)

    [ ] [ ] [ ]ITI 1Im = (5.21)

  • Captulo 5 Linhas de transmisso no domnio modal

    62

    Manipulando-se as equaes (5.20) e (5.21), obtm-se:

    [ ] ]E[]T[V mV= (5.22)

    [ ] [ ][ ]mI ITI = (5.23)

    Nesse caso, [Em] e [Im] so os vetores com as tenses e as correntes modais da linha, respectivamente. Substituindo-se [V] e [I] das equaes (5.22) e (5.23) nas equaes (5.18) e (5.19), respectivamente, obtm-se:

    [ ] [ ][ ]mm2m2

    Ex

    E =

    (5.24)

    [ ] [ ][ ]mm2m2

    Ix

    I =

    (5.25)

    As expresses (5.24) e (5.25) so as equaes diferenciais dos modos exatos da linha. Devido ao fato de [m] ser uma matriz diagonal, as mesmas so idnticas s equaes diferenciais de n linhas monofsicas independentes cujas possveis tcnicas de resoluo j foram mostradas em captulos anteriores.

    5.2.1 Matrizes de impedncias e de admitncias modais exatas

    Substituindo os vetores [V] e [I] das equaes (5.22) e (5.23) nas equaes (5.1) e (5.2), tm-se:

    [ ][ ] [ ][ ][ ]mImV ITZx

    ET=

    (5.26)

    [ ][ ] [ ][ ][ ]mVmI ETYx

    IT=

    (5.27)

  • Captulo 5 Linhas de transmisso no domnio modal

    63

    Pr-multiplicando as equaes (5.26) e (5.27) por [TV]-1 e [TI]-1, respectivamente, obtm-se:

    [ ] [ ] [ ][ ][ ]mI1Vm ITZTx

    E

    =

    (5.28)

    [ ] [ ] [ ][ ][ ]mV1Im ETYTx

    I

    =

    (5.29)

    As equaes (5.28) e (5.29) podem ser escritas como sendo:

    [ ] [ ][ ]mmm IZx

    E=

    (5.30)

    [ ] [ ][ ]mmm VYx

    I=

    (5.31)

    Nas equaes (5.30) e (5.31), [Zm] e [Ym] so respectivamente, as matrizes de impedncias longitudinais e de admitncias transversais modais exatas da linha. Essas matrizes so escritas como sendo:

    [ ] [ ] [ ][ ]I1Vm TZTZ = (5.32)

    [ ] [ ] [ ][ ]V1Im TYTY = (5.33)

    As matrizes [Zm] e [Ym] so matrizes diagonais, como mostrado nos prximos itens.

    5.2.2 Relao entre as matrizes [Tv] e [TI]

    Considerando a impedncia mtua entre as fases i e j idntica impedncia mtua entre as fases j e i, pode-se afirmar que:

  • Captulo 5 Linhas de transmisso no domnio modal

    64

    [ ] [ ]TZZ = (5.34)

    [ ] [ ]TYY = (5.35)

    Nas equaes (5.34) e (5.35), as matrizes [Z]T e [Y]T so as matrizes transpostas de [Z] e [Y], respectivamente. Substituindo as equaes (5.34) e (5.35) na equao (5.10), obtm-se:

    [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]VTT1Vm TYZT = (5.36)

    Utilizando propriedades matriciais, pode-se escrever:

    [ ] [ ] [ ] [ ]( )TTT ZYYZ = (5.37)

    Substituindo a equao (5.37) na equao (5.36), fica:

    [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]VT1Vm TZYT = (5.38)

    Transpondo os dois lados da equao (5.11), obtm-se:

    [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )TI1ITm TZYT = (5.39)

    Reagrupando o lado direito da equao (5.39):

    [ ] [ ] [ ]( ) [ ][ ]( )TIT1ITm TZYT = (5.40)

    A equao (5.40) pode ser reescrita como sendo:

    [ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ]( )T1ITITm YTTZ = (5.41)

  • Captulo 5 Linhas de transmisso no domnio modal

    65

    Desenvolvendo o lado direito de (5.41) a partir do mesmo desenvolvimento feito na equao (5.40), obtm-se:

    [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )T1ITTTITm TYZT = (5.42)

    Considerando que [m] uma matriz diagonal, pode-se afirmar que:

    Tmm ][][ = (5.43)

    Com base na equao (5.43) pode-se afirmar que as equaes (5.38) e (5.42) so idnticas. Portanto, tem-se:

    [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )T1ITTTIVT1I TYZTT]Z[]Y[T = (5.44)

    Desenvolvendo o termo ( [Y] [Z] )T no lado esquerdo da equao (5.44), tem-se:

    [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )T1ITTTIVTT1I TYZ.TT]Z[]Y[T = (5.45)

    Da expresso (5.45), pode-se concluir que:

    TI

    1V ]T[]T[ = (5.46)

    A expresso (5.46) mostra que existe uma relao entre as matrizes [TV] e [TI]. Portanto, basta calcular uma das matrizes e, a partir de (5.46), obter a outra matriz.

    5.2.3 Relao entre as matrizes [m], [Zm] e [Ym]

    Fazendo o produto das equaes (5.32) e (5.33), tem-se:

    ]T[]Y[]T[]T[]Z[]T[]Y[]Z[ V1II1Vmm = (5.47)

  • Captulo 5 Linhas de transmisso no domnio modal

    66

    Desenvolvendo a equao (5.47), fica:

    ]T[]Y[]Z[]T[]Y[]Z[ V1Vmm = (5.48)

    Comparando as equaes (5.10) e (5.48), pode-se afirmar que a matriz [m] pode ser escr