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Efeitos Não Lineares em Fibras Ópticas de Dispersão Deslocada por José Manuel Chávez Boggio Orientação: Prof. Dr. Hugo L. Fragnito Tese de Doutorado apresentada ao Instituto de Física ‘Gleb Wataghin’ da Universidade Estadual de Campinas. Campinas, 04 de Maio de 2001

Efeitos Não Lineares em Fibras Ópticas de Dispersão Deslocadarepositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/277954/1/ChavezBoggio... · 1.2 Efeitos lineares e não lineares em sistemas

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Efeitos No Lineares em Fibras pticas de

Disperso Deslocada

por

Jos Manuel Chvez Boggio

Orientao: Prof. Dr. Hugo L. Fragnito

Tese de Doutorado apresentada ao Instituto de Fsica Gleb Wataghin da

Universidade Estadual de Campinas.

Campinas, 04 de Maio de 2001

III

IV

Agradecimentos

Ao Professor Hugo L. Fragnito pela orientao desta tese.

A Stefan e Paulo pelo trabalho em equipe.

Aos companheiros no laboratrio: Walter, Martin, Andr, Diego, Claudio, Andrs, e Rai.

Ao pessoal do DEQ: Simone, Julio e Virgo (uma caixinha).

Aos Profs. C. Aslangul e P. Juncar pelo exemplo e pelo apoio.

Aos amigos e companheiros aqui no Brasil: os Gmeos (Lobo-Gandhi), el prezi, Andrs

(pichica), Keila, Walter (uma partidinha), Antnio Maia, Renata, Ana Mrcia,

Mnica, Raul, Lzaro, Ana Melva, Nelson, Chico, Nahom, Juan Carlos, Cristiane,

Alberto, Carola, Pepe.

Ao pessoal da secretria da Ps: Armando e Maria Ignez.

s instituies: CAPES e IFGW-Unicamp.

Aos meus pais e irmos.

A todos, obrigado.

V

Resumo

Pesquisamos, terica e experimentalmente, interaes por mistura de quatro ondas entre

lasers e rudo, em fibras pticas de disperso deslocada.

apresentada uma modelagem, no domnio da freqncia, para propagao do campo do

rudo na presencia de um ou dois lasers. Comparamos os nossos resultados numricos

com os experimentais encontrando bom acordo. Comparamos ainda a nossa modelagem

com outras modelagens.

Apresentamos medidas de vrios efeitos novos: a gerao de um buraco no espectro do

rudo induzido por um laser de alta potncia; a amplificao catastrfica de rudo em

larga banda; a formao de lbulos de rudo amplificado ao redor de um laser que se

propaga na regio de disperso normal na presena de um laser na regio anmala; a

gerao de pares de picos-buracos no espectro do rudo induzidos por dois lasers de alta

potncia.

Todos esses efeitos so devidos a processos de mistura de quatro ondas casados em fase

at a terceira ordem na disperso.

VI

Abstract

We present a theoretical and experimental study of four-wave mixing interactions

between one or two lasers and noise in dispersion-shifted fibers, near the zero dispersion

wavelength.

We develop a simple frequency domain model of noise propagation in the presence of

one or two lasers. We obtain good agreement between numerical and the experimental

results. We also compare our model with other models that describe laser-noise

interactions.

We observed and explain new effects: 1) the formation of a dip in the noise spectrum

induced by a strong laser through four-wave mixing; 2) the broadband catastrophic noise

amplification pumped by two strong lasers symmetrically located relative to the zero

dispersion wavelength; 3) the formation of sidelobes of amplified noise around a laser

that propagates in the normal dispersion region in the presence of a second laser

propagating in the anomalous region; and 4) the formation of pairs of dips and peaks in

the noise spectrum induced by two strong lasers.

All theses effects are due to four-wave mixing processes phase matched up to third order

dispersion.

VII

ndice

Agradecimentos III

Resumo IV

Abstract V

ndice VI

Captulo 1: INTRODUO ........ 1

1.1 Introduo histrica. 1

1.2 Efeitos lineares e no lineares em sistemas WDM. 6

1.2.1 Efeitos lineares: atenuao e disperso. 6

1.2.2 Efeitos no lineares. 8

1.3 Justificativa. 10

Referncias 15

Captulo 2: TEORA: MISTURA DE QUATRO ONDAS E CASAMENTO DE

FASE .... 17

2.1 Introduo. 17

2.2 Interao por mistura de quatro ondas entre um laser e rudo. 19

2.2.1 Campo do laser e do rudo. 19

2.2.2 Polarizao no linear. 19

2.2.3 Equaes de propagao do rudo. 21

2.2.4 Forma do espectro do rudo aps propagao na fibra. 24

2.3 Interao por mistura de quatro ondas entre dois lasers e rudo. 24

VIII

2.4 Condio de casamento de fase. 26

2.5 Concluso. 27

Apndice A.- Propagao de um laser. 31

Apndice B.- Equaes de propagao do rudo no domnio da freqncia: mtodo de

soluo. 32

Apndice C: Anlise de Estabilidade 34

Apndice D: Comparaes experimento-simulao 37

Referncias 39

Captulo 3: INTERAO DE UM LASER COM O RUDO 41

3.1 Introduo. 41

3.2 Instabilidade Modulacional (MI). 42

3.2.1 Introduo. 42

3.2.2 Descrio da montagem experimental. 44

3.2.3 Parametros da fibra utilizada. 45

3.2.4 Resultados gerais. 46

3.2.4.1 Espectro de MI e comparao experimento-teoria. 46

3.2.4.2 Clculo da freqncia de MI. 47

3.2.4.3 MI em funo da frequncia do laser 48

3.2.4.4 MI em funo da potncia do laser. 49

3.2.4.5 Amplificao catastrfica do rudo. 50

3.2.5 Espectro de MI com flutuaes do zero de disperso ao longo da fibra. 51

3.2.5.1 Mudanas aleatrias do zero de disperso. 52

3.2.5.2 Mudanas peridicas do zero de disperso. 56

IX

3.2.6 Mudanas peridicas da potncia do laser. 58

3.2.7 Efeitos da Polarizao. 59

3.3 -Laser se propagando na regio de disperso normal. 61

3.3.1 Introduo. 61

3.3.2 Resultados. 62

3.4 Penalidades produzidas em sistemas de comunicaes pticas devido interao

entre um laser e rudo. 64

3.5 Gerao de um buraco no espectro do rudo induzido por um laser de alta potncia. 66

3.5.1 Introduo. 66

3.5.2 Resultados. 67

3.5.3 Processos de FWM. 69

3.6 Concluso. 74

Referncias 76

Captulo 4: INTERAO DE DOIS LASERS COM O RUDO 81

4.1 Introduo. 81

4.2 Montagem experimental. 82

4.3 Amplificao catastrfica do rudo. 82

4.3.1 Casamento de fase. 84

4.3.2 Clculo de . 85

4.3.3 Equaes de propagao. 86

4.3.4 Comparao experimento simulao. 87

X

4.3.5 Dependncia com a potncia. 89

4.3.6 Dependncia com a posio. 90

4.3.7 Amplificao catastrfica em enlaces com e sem amplificadores. 91

4.3.8 Influencia das flutuaes do zero de disperso. 93

4.3.9 Amplificao de sinais coerentes. 94

4.4 Instabilidade Modulacional na regio de disperso normal. 95

4.4.1 Introduo. 95

4.4.2 Anlise de estabilidade. 96

4.4.3 Coeficiente de ganho. 97

4.4.4 Experimentos. 98

4.4.5 Domnio do tempo. 102

4.5 Gerao de pares de picos e buracos no espectro do rudo. 102

4.5.1 Introduo. 102

4.5.2 Resultados: comparao experimento-teoria. 103

4.5.3 Invertendo os extremos da fibra. 104

4.5.4 Processos de FWM. 106

4.5.5 Casamento de fase. 108

4.5.6 Pares pico-buraco em uma fibra com grande flutuao de 0. 110

Referncias 112

Captulo 5: CONCLUSES 115

5.1 Interao de um laser com o rudo. 115

5.2 Interao de dois lasers com o rudo. 115

XI

5.3 Contribuies deste trabalho. 116

Referncias 118

1

Captulo 1

Introduo

1.1.- Introduo histrica.

O primeiro sistema de comunicao ptica, no sentido moderno do termo, foi

desenvolvido por Claude Chappe em 1790 [1]. O sistema consistia de uma serie de torres

onde, braos mveis controlados por uma pessoa, serviam para sinalizar certas

mensagens. A transmisso destas mensagens era feita sobre longas distncias (~ 100 km),

onde cada torre era uma estao regeneradora ou repetidora. O uso da luz consistia em

que estes sinais codificados fossem visveis para a pessoa na torre seguinte. Estes

sistemas de comunicao eram muito lentos, a taxa de transmisso era inferior a 1 bit por

segundo.

Com o advento da telegrafia em 1830 o uso da luz foi substitudo pela eletricidade, dando

comeo era das comunicaes eltricas. A taxa foi incrementada at 10 bits/segundo

devido ao uso de novas tcnicas de codificao como o cdigo digital Morse (o ponto e o

trao eram dois pulsos eltricos de diferente durao). O uso de estaes repetidoras

permitiu comunicaes sobre distncias de 1000 km [2].

Em 1876 foi inventado o telefone que consistia em transmitir sinais eltricos analgicos.

As tcnicas de comunicao eltricas analgicas iriam dominar os sistemas de

comunicao por mais de um sculo.

2

O desenvolvimento de redes telefnicas no sculo 20 conduziu a grandes avanos no

desenho de sistemas de comunicao eltrica. O uso de cabos coaxiais aumentou a

capacidade dos sistemas consideravelmente. O primeiro sistema utilizando cabos coaxiais

entrou em servio em 1940 com capacidade de transmitir 300 canais de voz ou um nico

canal de televiso.

A largura de banda destes sistemas limitada principalmente pelas perdas dos cabos

metlicos, as quais so muito grandes para freqncias acima de 10 MHz. Esta limitao

conduziu ao desenvolvimento de sistemas de comunicao de microondas nos quais uma

portadora de 1~10 GHz usada para transmitir a informao pelo ar, usando tcnicas de

modulao adequadas. O primeiro sistema de comunicao de microondas de 4 GHz

comeou a operar em 1948 [3]. Desde ento, os sistemas eltricos e de microondas tem

evoludo consideravelmente e so capazes de operar em taxas de 100 Mb/s. Uma grande

limitao deste sistema a pequena distncia entre estaes repetidoras (~1 km) que faz

com que seja relativamente caro de operar.

Na segunda metade do sculo 20, j era bem conhecido que um incremento em vrias

ordens de grandeza na capacidade dos sistemas de comunicao, poderia ser conseguido

se luz fosse usada como portadora. Porm, em 1950 no se dispunha de fontes de luz

adequadas nem um meio suficientemente transparente para a transmisso da luz. A

inveno e demonstrao do laser em 1960 abriram novas perspectivas de aplicaes da

luz laser para comunicaes pticas. Em 1966 foi sugerido o uso de fibras pticas de

slica para confinar a luz e transmitir informao [4], porm as perdas das fibras pticas

disponveis em 1960 eram muito grandes (~ 1000 dB / km) para serem utilizadas em

comunicaes.

3

Em 1970, nos laboratrios da Corning Inc., mtodos mais sofisticados na fabricao da

fibra levou as perdas para valores em torno de 20 dB / km para comprimentos de onda na

regio de 0.8 m; nesse ano tambm foram desenvolvidos, nos Laboratrios Bell, os

primeiros lasers semicondutores de GaAs emitindo continuamente, na temperatura

ambiente, luz em 0.8 m. Surgiu assim a primeira gerao de sistemas de comunicao

ptica operando na regio de 0.8 m e que comeou a ser instalada em 1978 (esta regio

de 0.8 m chamada hoje, de primeira janela das comunicaes pticas). Estes

sistemas operavam em taxas de 50 a 100 Mb/s com um espaamento entre estaes

repetidoras da ordem de 10 km.

Nos anos 70 ficou evidente que este espaamento entre estaes repetidoras poderia ser

aumentado se o sistema pudesse operar na regio de 1.3 m (segunda janela das

comunicaes), onde a perda das fibras menor que 1 dB/km e a fibra apresenta o

mnimo de disperso. As fibras que apresentam o mnimo de disperso em 1.3 m so

chamadas de fibras convencionais ou fibras padro (standard fibers, STD), nestas fibras o

alargamento temporal dos pulsos de luz (bits), devido disperso cromtica, o menor

possvel (ver depois uma explicao mais detalhada).

Um grande esforo foi desenvolvido em diversos laboratrios do mundo para

desenvolver lasers e detectores neste comprimento de onda, que culminou com a

demonstrao dos lasers InGaAsP em 1977. No inicio dos anos 80 esteve pronta uma

nova gerao de sistemas de comunicao nos quais a separao entre estaes

repetidoras era da ordem de 20 km. A taxa era inferior a 100 Mb/s devido disperso

modal, pois as fibras disponveis nessa poca eram multimodo. Esta limitao foi

4

superada com a fabricao das fibras monomodo (em 1981 um experimento de

laboratrio mostrou taxas de 2 Gb/s em 44 km deste tipo de fibras [5].

A distncia entre repetidoras nestes sistemas est limitada pela atenuao da fibra, da

ordem de 0.5 dB/km. Porm, os avanos na tecnologia da fabricao das fibras pticas

levou a quase alcanar o nvel atual de mnimo de perdas de 0.2 dB/km, que se encontra

em torno de 1.55 m.

Devido grande disperso cromtica que as fibras apresentam na regio de 1.55 m (que

conhecida como a terceira janela das comunicaes pticas) a introduo de sistemas

operando em 1.55 m no foi simples. Os lasers convencionais de InGaAsP tinham um

espectro muito largo o que produzia um grande alargamento temporal levando a

interferncia entre bits consecutivos. Este problema pode ser resolvido de duas formas,

empregando fibras que tenham o mnimo de disperso mais prximo de 1.55 m (fibras

de disperso deslocada, dispersion shifted fibers (DSF)) ou usando lasers com espectro

mais finos.

No fim dos anos 80, a fibra DSF j era comercialmente disponvel e a terceira gerao de

sistemas de comunicaes pticas (em torno de 1.55 m), com uma taxa de 2.4 Gb/s

comeou a operar em 1990. Nesses sistemas de um s canal o melhor desempenho

obtido com fibras DSF e lasers de um s modo longitudinal (lasers DFB, distributed

feedback).

Fazendo um pequeno resumo, encontramos que no fim dos anos 80 se dispunham de

sistemas com fibras DSF operando em 1.55 m onde a atenuao e a disperso so

mnimas. Nestes sistemas as taxas alcanadas eram de 2.5 Gb/s.

5

Porm, j no ano 1986 comeava uma revoluo na rea das comunicaes pticas: as

primeiras demonstraes de amplificadores pticos a fibra dopada com rbio (AFDE)

que amplificavam na regio de 1.55 m [6]. A grande vantagem deste tipo de

amplificadores que permitem amplificar um sinal ptico sem precisar convert- lo em

um sinal eltrico; isto facilitou uma rpida passagem da demonstrao no laboratrio para

o desenvolvimento industrial.

A introduo destes amplificadores cuja largura de banda de amplificao era

inicialmente de 35 nm desencadeou uma outra revoluo: os sistemas a multiplexao de

comprimento de onda (Wavelength Division Multiplexing, WDM). At o incio dos anos

90, numa fibra ptica era transmitido um nico canal, um nico comprimento de onda,

que era modulado a uma taxa de vrios gigabits/segundo. A tcnica WDM, que permite

aproveitar a largura de banda de amplificao dos AFDE, consiste na multiplexao (em

uma nica fibra) de vrios lasers de diferentes comprimentos de onda cada um modulado

a uma taxa de vrios gigabits/segundo, para assim obter uma taxa agregada que pode

chegar a alguns terabits/segundo.

Na Figura 1 mostramos trs parmetros fundamentais dos sistemas de comunicaes de

incio dos anos 90: a atenuao da fibra (em dB/km), o coeficiente de disperso para as

fibras standard e de disperso deslocada (em ps/nm-km), em funo do comprimento de

onda (em nm), e o espectro de ganho de um AFDE. Observe-se que o mnimo de

atenuao e o mnimo de disperso para a fibra DSF coincidem em torno de 1550 nm,

regio onde os AFDE operam.

6

Figura 1.- Em 1.55 m a fibra apresenta o mnimo de atenuao. Nesta regio operam os AFDE e a fibra DSF apresenta o mnimo de disperso.

O que diferencia os sistemas WDM com AFDE operando com fibras de disperso

deslocada dos sistemas a um nico canal, que os efeitos no lineares entram agora no

jogo [7]. Na seo a seguir, ns faremos uma descrio de alguns efeitos no lineares e

dos efeitos lineares que penalizam um sistema de comunicao WDM com fibra DSF.

1.2 Efeitos lineares e no lineares em sistemas WDM.

1.2.1 Efeitos lineares: atenuao e disperso.

a) Atenuao. A penalidade que induz a atenuao num sistema de comunicao a fibra

ptica est ligada ao nmero mnimo de ftons que tem de atingir o receptor para que

tenhamos uma probabilidade de erro menor que 109. Os receptores so fotodiodos que

na prtica precisam de uns 1000 ftons por bit de informao para ter essa taxa de erro.

Dis

per

so

(ps/

mn

/km

)

sistemas WDM com DSF

Ate

nu

ao

(dB

/km

)

0.1

0.2

0.4

0.81.0

Comprimento de onda (nm)

Standard Fiber

Dispersion Shifted Fiber (DSF)-10

0

20

10

1300 1400 1500 1600

Zero Dispersion (0)

Gai

n (d

B) EDFA Gain spectrum

Dis

per

so

(ps/

mn

/km

)

sistemas WDM com DSF

Ate

nu

ao

(dB

/km

)

0.1

0.2

0.4

0.81.0

0.1

0.2

0.4

0.81.0

Comprimento de onda (nm)

Standard Fiber

Dispersion Shifted Fiber (DSF)-10

0

20

10

-10

0

20

10

1300 1400 1500 1600

Zero Dispersion (0)

Gai

n (d

B) EDFA Gain spectrum

7

Isto faz com que, dadas uma potncia do canal na entrada da fibra (P0) e uma taxa de

transmisso (B), limita o comprimento (L) mximo de fibra onde a propagao ocorre

com erro menor que 109. A atenuao da fibra, a taxa de transmisso, a potncia na

entrada da fibra e o comprimento mximo de fibra esto relacionados pela seguinte

expresso:

)/log(10

0 NBhcPL

= , (1)

onde o coeficiente de atenuao da fibra em km1, o comprimento de onda, h a

constante de Planck, N o nmero de ftons e c a velocidade da luz no vcuo.

A limitao introduzida pela atenuao superada com a introduo dos AFDEs.

b) Disperso.- A disperso est relacionada dependncia do ndice de refrao com a

freqncia. Quando uma onda eletromagntica interage com os eltrons de um dieltrico,

a resposta do mdio depende da freqncia ptica . Isto faz com que as diferentes

componentes espectrais contidas no pulso se propagam com diferentes velocidades

c/n(). Isto produz um alargamento temporal do bit e, se muito grande pode produzir a

chamada interferncia entre bits adjacentes ou intersmbolos.

Na figura 2 esquematizado o efeito da disperso. Ao propagar dois pulsos com

diferentes comprimento de onda ( e + ), um vai se retrasar em relao ao outro. Este

atraso () proporcional a L e e a constante de proporcionalidade define o parmetro

de disperso (D). No caso de D() > 0, falamos de propagao na regio de disperso

anmala da fibra (caso mostrado na figura) e dizemos que as freqncias vermelhas

(freqncias menores) viajam mais devagar que as azuis (freqncias maiores). No caso

8

D < 0 temos propagao na regio normal e o oposto ocorre. No caso de D = 0 dizemos

que temos propagao no zero de disperso da fibra (0).

Figure 2.- A disperso faz com que ondas de diferentes freqncias viajem a distintas velocidades. A conseqncia um alargamento temporal dos pulsos (bits) de luz.

1.2.2 Efeitos no lineares.

Estes efeitos so, principalmente: espalhamento Raman estimulado (stimulated Raman

scattering, SRS), espalhamento Brillouin estimulado (stimulated Brillouin scattering,

SBS), automodulao de fase (self phase modulation, SPM), modulao de fase cruzada

(cross phase modulation, XPM), e a mistura de quatro ondas (four wave mixing, FWM).

Ns estamos interessados nesta tese nos efeitos originados pelo efeito Kerr ptico, isto

devido dependncia do ndice de refrao com a intensidade do campo incidente: n = n0

+ n2I. A automodulao de fase, a modulao de fase cruzada e a mistura de quatro ondas

so devidas a este efeito. SPM consiste na modulao da fase quando um laser se

propaga em uma fibra ptica:

= nk0L = (n0 + n2I)2L/ (2)

pulsos de diferentescomprimentos de

onda

tempo

Fibra monomodo Comprimento L

+

+

DL

=1

[ps/nm/km]

pulsos de diferentescomprimentos de

onda

tempo

Fibra monomodo Comprimento L

+

+

DL

=1

[ps/nm/km]

9

onde k0 = 2/. A fase introduzida por SPM a parte no linear desta fase, i.e., SPM =

2n2IL/.

XPM consiste na modulao da fase de um laser (em ) induzida pela co-propagao de

outros lasers (em j) em uma fibra ptica, onde XPM = 2Ln2 (2j

jI )/.

Por FWM, trs canais WDM em freqncias 1, 2 e 3 so misturados gerando ondas

nas freqncias 1 2 3. Estas novas freqncias roubam energia dos canais

incidentes e interferem com os canais WDM provocando cross-talk. Este efeito maior

quando se utilizam fibras de disperso deslocada, nas quais a disperso baixa e o

casamento de fase necessrio para que o FWM seja eficiente obtido.

O casamento de fase para a gerao de novas ondas um conceito central que nesta tese

ns iremos utilizar freqentemente. Para exemplificar ele, na figura 3 apresentamos dois

espectros de sada, em preto e azul, correspondentes a duas situaes em que acontece

mistura de quatro ondas entre dois lasers. Os lasers (com freqncias 1 e 2 e potncias

na entrada da fibra de 10 dBm) esto perto do zero de disperso (preto) ou mais afastados

de 0 (azul). Observamos que as ondas geradas (112 e 221) so menos intensas no

espectro azul do que no preto. Esta diferencia devida a que no primeiro caso o

casamento de fase e melhor que no segundo caso. Como mostraremos ao longo da tese, o

casamento de fase (ou casamento dos vetores de onda) est estreitamente relacionado

com a posio das ondas me e pai em 1 e 2, em relao- ao zero de disperso

(mostrado em trao vermelho na figura 3).

10

Figura 3.- Espectro de sada aps propagao em 25 km de fibra DSF. Em trao vermelho est indicada a posio de 0.

1.3 Justificativa.

Num sistema de transmisso real ou em um experimento, a disperso e todos os efeitos

no lineares esto presentes ao mesmo tempo e podem at interagir entre eles. Porm,

dependendo dos parmetros do sistema pode-se considerar que alguns efeitos incidem

mais na performance que outros, ou que um efeito no linear domina sobre os outros. No

caso de sistemas WDM operando em fibras a disperso deslocada, aceito por muitos

pesquisadores que o FWM o mais importante efeito no linear e nesse efeito que o

nosso estudo ser focalizado.

Para o caso de FWM envolvendo diferentes canais WDM, isto FWM entre sinais

coerentes, existem numerosos estudos tanto tericos como experimentais na literatura [7-

12]. Nesses estudos quantificada a penalidade introduzida por FWM entre os canais j

que levam a informao. Entretanto, a interao entre um laser (sinal coerente) e o rudo

(campo incoerente) tem sido comparativamente pouco estudada.

1550 1555 1560-40

-30

-20

-10

0

10P

otn

cia

(dB

m)

1565 15751570

w1l0w1 w2 w2

w112 w221w221w112

Comprimento de onda (nm)

112 = 21 2; 221 = 22 1

1550 1555 1560-40

-30

-20

-10

0

10P

otn

cia

(dB

m)

1565 15751570

w1l0w1 w2 w2

w112 w221w221w112

Comprimento de onda (nm)1550 1555 1560

-40

-30

-20

-10

0

10P

otn

cia

(dB

m)

1565 15751570

w1l0w1 w2 w2

w112 w221w221w112

Comprimento de onda (nm)

112 = 21 2; 221 = 22 1

11

A interao por FWM entre lasers e rudo pode levar a mudanas do espectro do rudo, e

modificar esta relao sinal-rudo. Como conhecido, a performance de um sistema de

comunicaes determinada pela probabilidade de erro, (isto confundir um 0 com um

1 e vice-versa) a qual depende diretamente da relao sinal-rudo e da distoro do

pulso.

O foco principal desta tese o estudo de mudanas no espectro do rudo devido a

processos de FWM entre um ou dois lasers com o rudo. Nos concentramos na fsica

envolvida nestas interaes no lineares, porm sempre tendo em mente as implicaes

em sistemas de comunicaes pticas.

Os nossos experimentos foram feitos inteiramente com fibras DSF, as quais tem o zero de

disperso coincidindo com o mnimo de atenuao da fibra em torno de 1550 nm. Esta

escolha tem dois motivos: 1) mais interessante do ponto de vista dos fenmenos fsicos

estudar este tipo de fibra, pois a mistura de quatro ondas mais intensa devido ao

casamento de fase; 2) no Brasil e outros pases (Itlia, Japo, Mxico) h centenas de

milhares de km destas fibras j instaladas. No Brasil, por exemplo (ver figura 4), somente

no anel de fibras pticas do Estado do Paran (1500 km de cabo de 72 vias) h mais de

100000 km de fibra DSF, e no cabo submarino costeiro (2600 km de cabo com 18 fibras)

h outros 50000 km deste tipo de fibra. Estes so enlaces de longa distancia para um s

canal, que foram projetados h vrios anos quando ainda no se dispunha de sistemas

WDM comerciais.

Em alguns enlaces no cabo submarino brasileiro, a distancia entre regeneradores da

ordem de 250 km e necessrio injetar muita potncia ptica (~50 mW por canal em

12

taxas de alguns Gb/s) para que cheguem ftons em quantidade suficiente para serem

detectados sem erro no receptor.

Figura 4.- Fibras pticas de disperso deslocada (DSF) instaladas no Brasil at 1996 [13].

Para estudar a interao por mistura de quatro ondas entre lasers e rudo, comearemos

com um sistema simples. Isto a interao de um laser com rudo, pois para esse caso j

temos alguns estudos na literatura [14-17].

A interao por FWM mais conhecida entre um laser e rudo o fenmeno de

instabilidade modulacional (MI). Mediante este efeito, certas componentes espectrais do

rudo so amplificadas, s expensas do laser, aps propagao numa fibra ptica.

Na figura 5 apresentamos espectros experimentais de sada (preto) aps 25 km de

propagao de um laser (com potncia na entrada de 18.5 dBm) numa fibra DSF, para

propagao 1) na regio normal (figura b) e 2) na regio anmala (figura a). Para

comparao mostramos tambm os espectros de entrada (vermelho). Observamos que no

SubmarineRoadOPGWRailroad

SubmarineRoadOPGWRailroad

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13

caso de propagao na regio normal o laser atenuado em 6 dB e o rudo tambm. Isto

uma propagao completamente linear.

Figura 5.- Espectros de entrada e sada para a interao no linear entre um laser e rudo. Note que no espectro de sada o rudo amplificado no caso em que o laser se propaga na regio anmala (D > 0).

No caso de propagao na regio anmala, no espectro de sada a potncia do laser e a

potncia das componentes espectrais do rudo afastadas da posio do laser so atenuadas

~6dB em relao ao espectro de entrada. Porm certas componentes espectrais do rudo

prximas posio do laser so amplificadas. Esta amplificao do rudo (de 18 dB para

a freqncia de rudo de maior amplificao) conhecida como instabilidade

modulacional.

Ns fizemos um estudo em detalhe deste fenmeno. Primeiro, no captulo 2, apresento a

deduo da equao de propagao do campo do rudo na presencia de um laser; a nossa

0

1556 1560

-30

-20

-10

0

1020

Po

tn

cia

(dB

m)

, (nm)

1D > 0

1

1544 1548 1552

-30-20-10

01020

Po

tn

cia

(dB

m)

Comprimento de onda (nm)

D < 0

P01 = 20 dBmL = 25 km

1552

entradasaida

0

1556 1560

-30

-20

-10

0

1020

-30

-20

-10

0

1020

Po

tn

cia

(dB

m)

, (nm)

1D > 0

1

1544 1548 15521544 1548 1552

-30-20-10

01020

-30-20-10

01020

Po

tn

cia

(dB

m)

Comprimento de onda (nm)

D < 0

P01 = 20 dBmL = 25 km

1552

entradasaidaentradasaidaentradasaida

14

modelagem no domnio da freqncia. No captulo 3 comparamos nossos espectros

experimentais com os numricos obtidos da resoluo das equaes de propagao. O

acordo entre eles muito bom. Discutimos as diferenas entre a nossa modelagem e a

modelagem geralmente usada atravs da equao no linear de Schrdinger (no domnio

do tempo).

No final do captulo 3, apresentamos um efeito novo de interao por mistura de quatro

ondas entre um laser e rudo. Mostramos como este efeito nos permite determinar a

posio do zero de disperso da fibra.

No captulo 4 estudamos experimental e numericamente a interao entre dois lasers e

rudo. Apresentamos trs efeitos novos e explicamo-los em detalhe. Mostramos como

todos esses fenmenos so devidos a processos de mistura de quatro ondas, casados em

fase, entre lasers e diferentes componentes espectrais do rudo. Um desses efeitos, que

chamamos de amplificao catastrfica de rudo, ns conseguimos simular bastante

bem com a nossa modelagem.

No captulo final apresentamos nossas concluses.

Referncias: [1] Diego F. Grosz, Tese de Doutoramento, IFGW-Unicamp, 1998.

[2] G.P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems, Wiley, New York, 1992.

[3] Claudio Mazzali, Tese de Doutoramento, IFGW-Unicamp, 1997.

15

[4] K.C. Kao e G.A. Hockman, Proc. IEE, 113, 1151-1154, 1966.

[5] J.I. Yamada, S. Machida, and T. Kimura, 2 Gbit-s optical- transmission experiments

at 1.3 mu-m with 44km single-mode fiber, Electron. Lett., 17, 479-480, 1981.

[6] R.J. Mears, L. Reekie, S.B. Poole, and D.N. Payne, Low-threshold, tunable cw and

Q-Switched fibre laser operating at 1.55 m, Electron. Lett., 23, 159-160, 1986.

[7] R.W.Tkach, A. R. Chraplyvy, F. Forghieri, A. H. Gnauck, and R. M. Derosier, Four-

photon mixing and high-speed WDM systems, J. of Lightwave Technol., 13, 841-849,

1995.

[8] D. Marcuse, A.R. Chraplyvy, and R.W. Tkach, Effect of fiber nonlinearity on long-

distance transmission, J. of Lightwave Technol., 9, 121-128, 1991.

[9] K. Inoue, Four-wave mixing in an optical fiber in the zero-dispersion wavelength

region, J. of Lightwave Technol., 10, 1553-1561, 1992.

[10] N. Shibata, R.P. Braun, and R.G. Waarts, Phase-mismatch dependence of

efficiency of wave generation through four-wave mixing in a single-mode optical fiber,

J. of Quantum Electron., QE-23, 1205-1210, 1987.

[11] F. Forghieri, R.W. Tkach, and A.R. Chraplyvy, Fiber Nonlinearities and Their

Impact on Transmission Systems, Optical Fiber Telecommunications III, I. P. Kaminow

and T.L. Koch, Ed. New York: Academic, 1997.

[12] D. F. Grosz, C. Mazzali, S. Celaschi, A. Paradisi, and H. L. Fragnito, Modulation

instability induced resonant four-wave mixing effects in WDM systems, IEEE Photon.

Technol. Lett., 11, 379-381, 1999.

[13] http://www.embratel.net.br/tecnologia/index

16

[14] A. Hasegawa and W.F. Brinkman, Tunable coherent IR and FIR sources utilizing

modulation instability, IEEE J. Quantum Electron., QE-16, 694-697, 1980.

[15] M. Midrio, F. Matera, and M. Settembre, Reduction of amplified spontaneous

emission noise impact on optically amplified systems in normal dispersion region of

fibre, Electron. Lett., 33, 1066-1068, 1997.

[16] K. Kikuchi, Enhancement of optical-amplifier noise by nonlinear refractive index

and group-velocity dispersion of optical fibers, Phot. Technol. Lett., 5, 221-223, 1993.

[17] A. Carena, V. Curri, R. Gaudino, P. Poggiolini, and S. Benedetto, New analytical

results on fiber parametric gain and its effects on ASE noise, IEEE Photon. Technol.

Lett., 9, 535-537, 1997.

17

Captulo 2

Teoria : Mistura de Quatro Ondas e

Casamento de Fase

2.1 Introduo.

A propagao de ondas eletromagnticas numa fibra ptica descrita atravs das

equaes de Maxwell. A equao de propagao para um campo ptico E

)t,(e

1)t,(

c1

TOT2

2

20

2

2

22

2

zPtc

zEtz

=

, (1)

onde t o tempo, z a posio na fibra, c a velocidade da luz no vcuo e 0 a

permissividade eltrica no vcuo. A polarizao induzida (PTOT ) nas molculas de slica

da fibra ptica a fonte para a propagao do campo eletromagntico E.

A resposta dos meios dieltricos a campos intensos no linear. Isto acontece no caso

das fibras pticas. No domnio da freqncia, a relao constitutiva entre a polarizao

induzida no meio e o campo polarizante se escreve,

...][ )3()2()1(0 +++= EEEEEEPTOT , (2)

onde (n) a susceptibilidade de ordem n e um tensor de ordem n + 1, e indica

produto tensorial. A susceptibilidade linear ((1)) representa a contribuio dominante a

PTOT . A origem da resposta no linear (termos em (2), (3), etc) do meio relacionado ao

movimento anarmnico dos eltrons quando influenciados por um campo intenso.

18

Os efeitos de (1) esto includos atravs do ndice de refrao linear n0 e do coeficiente

de atenuao , atravs da relao de disperso escrita no domnio da freqncia.

( )2

)1(2

2

2)(i

)(1c?

=+ , (3)

onde () = n0()/c a constante de propagao na freqncia .

A equao de onda (1), em uma dimenso, no domnio da freqncia tem a forma

)?,(e?

)?,(c?

20

2

2

2

2

2

zPc

zEz

TOT=

+

. (4)

A relao constitutiva

),(),()(),( )1(0 += zPzEzP NLTOT , (5)

e a relao de disperso em (3) so usadas na equao (4), e obtemos:

)?,(e?

)?,(2

)()(

20

22

2

2

zPc

zEi

zNL=

+

. (6)

A fibra ptica, por ser um material centrossimtrico, no possui no linearidade de

segunda ordem, i.e. (2) = 0. A polarizao no linear (PNL) de mais baixa ordem dada

pela relao constitutiva de terceira ordem [1]:

++

= )?,()?,()?,(),,()????(???4

432432)3(

43243220 zEzEzEdddPNL

.(7)

A equao (6) a equao de propagao de um campo E na freqncia , a polarizao

no linear PNL na freqncia a fonte para a propagao no linear do campo E e para

a gerao de novas ondas. Ela o ponto de partida para toda anlise. Existem

basicamente dois caminhos a serem seguidos, o mais empregado , partindo da Eq. 6,

19

fazer um desenvolvimento em Taylor de () em torno de alguma freqncia de

referncia r, e tomar a transformada de Fourier deixando a equao de propagao no

domnio do tempo; o outro caminho, (que ns utilizaremos aqu) fazer todas as

dedues sempre no domnio da freqncia.

Primeiro estudaremos teoricamente a interao por mistura de quatro ondas entre um

laser e o rudo, e posteriormente, a interao de dois lasers com o rudo.

2.2 Interao por mistura de quatro ondas entre um laser e rudo.

2.2.1 Campo do laser e do rudo.

Consideremos um laser com potncia na entrada da fibra P01 e freqncia 1. Se a banda

de modulao do laser razoavelmente pequena, podemos aproximar o campo coerente

(laser) como sendo um campo monocromtico. Fazendo a transformada de Fourier do

campo eltrico do laser E(z,t) = A1cos(1t + ) obtemos:

E(z,) = [A1( 1) + A1*( + 1)], (8)

onde A1 = A1 ie .

Levando em conta a parte incoerente do campo (rudo) o campo total fica:

E(z,) = [A1( 1) + A1*( + 1)] + (z,). (9)

2.2.2 Polarizao no linear.

A polarizao fonte para amplificao do rudo na freqncia dada por aquela parte

da equao (7) que contem (z,) seja em E(z,2), E(z,3) ou E(z,4), onde 2, 3 e 4

so freqncias arbitrrias. Como o campo do rudo (z,) muito menor que A1

20

podemos ento desprezar todos os termos que so quadrticos ou cbicos em (z,).

Vamos considerar a susceptibilidade eltrica e o coeficiente de atenuao como

constantes e independentes da freqncia, i.e., (3)(2,3,4) = (3) e () = , temos

ento:

=

= ++= 432 ????4322)3(

0NL ),z(),z(),z(

4),z( EEEP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++++

314124131241312

21

22

)3(0 ????????????[{4

A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++++ ]???????????? 214132141331412

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++++++ ]????????????[ 2141331412413122*

12 A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]}????????????[ 214133141241312212 ++ A ,(10)

onde j = (z,j).

Analisando o segundo membro da equao (10), vemos que o primeiro termo (2

1~ A ) s

ser diferente de zero se o argumento de j for j = ; para o termo com 2*

1A o

argumento dever ser j = 21 + e, para o termo com 2

1A , dever ser j = 21.

Portanto, a polarizao no linear na freqncia dada por:

)]2(z,

21

? )(z,2?21

)(z,[2

3),z( 1

211

2*1

21

)3(0

NL +++

= AAAP . (11)

O termo proporcional a 2*

1A s importante quando o espectro do rudo plano

entretanto, em comunicaes pticas, a forma do espectro corresponde ao de emisso dos

amplificadores a fibra dopada com rbio, cuja largura aproximadamente 35nm,

21

centrado em = 1,55 m (vide figura 3 no captulo anterior). Todo campo fora dessa

regio pode ser desconsiderado. Se 1 = 1,55 m (laser) e = 1,65 m (rudo) ento o

comprimento de onda correspondente 21 + = 527 nm, que est fora da regio de

amplificao. Assim, podemos desprezar o segundo termo da polarizao e obtemos,

finalmente:

? )]?2,(

21

? ),([2

e3)?,( 1

*21

21

)3(0 += zAzeAzPNL

,

(12)

onde usamos o fato de que (z, 21) = *(z,21 ).

2.2.3 Equaes de propagao do rudo.

A susceptibilidade de terceira ordem e o ndice de refrao no linear n2 esto

relacionados atravs de (3) = 34

0 20n cn2, e a amplitude no domnio da freqncia est

relacionada potncia P1 por P1(z) = 0n0cA1(z)2Aeff, onde Aeff a rea efetiva da

fibra.

Mostramos no apndice A que a fase campo do laser ao longo da fibra pode ser escrita

como: (z) = (1)z + iz/2 + )(~ z , onde (1)z a fase que o laser adquire devida

disperso, iz/2 devida atenuao da fibra e )(~ z = P01[1 exp(z)]/ a fase

devida automodulao de fase. Escrevemos o campo do laser A1(z) =

A1(z)exp(i(z)).

Usando a equao para a potncia do laser e a equao (12) tem-se que

( ) ( )]2z,z,2)[(2),z( 1*)(21200NL +

= zieff

ezPA

nnP . (13)

Substituindo a Eq. (13) na equao de onda (6) chegamos equao para o rudo

22

])2,(),(2)[(?n2n

),(2

)( )(21*

12

220

2

2

2zi

eff

ezzzPAc

zi

z+=

+

(14)

Se a polarizao no linear nula (i.e. n2 = 0), a soluo para o campo uma constante

multiplicada por [ ]zie 2/)( + , assim, no caso no linear supomos que a soluo

[ ]ziezz 2/)(),(~),( += e, substituindo na Eq. (14), obtemos

])2,(~),(~2)[(?n2n

),(~2

)(2 ])(~

2[1

*12

220

2

2zzi

eff

ezzzPAc

zz

ii

z++=

,

(15)

onde = () + (21 ) 2(1) a diferena dos vetores de onda das ondas

envolvidas. Podemos desprezar a derivada de segunda ordem (aproximao do envelope

lentamente varivel) e fazer a aproximao

1eff

2

eff2

220

eff2

220

)(?

]2i

)([2

1?cAn

Acnn

Acn2n

. (16)

Onde = n21/cAeff o coeficiente no linear da fibra em (W-km)1. Assim temos

])2,(~),(~2)[(),(~ ])(~

2[1

*1

zziezzzPizz

++=

. (17)

Na equao (17) o primeiro termo do membro da direita descreve a modulao de fase

cruzada, e o segundo o processo de mistura de quatro ondas 21 = .

Para ter uma forma mais compacta para a eq. (17) fazemos a manipulao algbrica

)(~

2),(),(~ ziezrz = , e obtm-se o par de equaes

)2,(),( 1* =

zarzrz

(18a)

),()2,( *1 =

zarzrz

, (18b)

23

onde )](~

2[)(),( zziezPizaa == .

As equaes (18) nos dizem que o campo eltrico do rudo na freqncia depende do

campo na freqncia em 21 (simtrico com relao ao laser) e vice-versa. Estes so

dois processos acoplados de FWM em que so geradas as ondas nas freqncias = 21

e = 21 (ver figura 1).

Estas equaes acopladas descrevem a fsica envolvida na propagao de rudo na

presena de um laser intenso para esses dois processos de FWM.

Figura 1.- Interao de um laser com rudo atravs de dois processos acoplados de FWM.

Desacoplando as equaes (18) tem-se

02

2

2

=

+

rar

zbr

z, (19)

onde )](2[)(ln 1 zPiaz

b +=

= . As condies iniciais so

02),0(),0( = ier (20a)

Rudo

po

tn

cia

frequncia

1

a) = 21

b) = 21

Dois processos acoplados de FWM

Rudo

po

tn

cia

frequncia

1

a) = 21

b) = 21

a) = 21

b) = 21

Dois processos acoplados de FWM

24

e

021* )2,0(),0( +=

iearz

. (20b)

A eq. 19 e o principal resultado terico de nossa anlise e descreve o fundamental da

interao entre um laser e rudo para o processo de FWM considerado. Se 0 os

coeficientes a e b dependem de z. A equao (19) s pode ser resolvida analiticamente

se = 0.

2.2.4 Forma do espectro do rudo aps propagao na fibra.

A eq. 19 uma equao diferencial de segunda ordem cuja soluo pode ser escrita como

uma combinao linear dos valores iniciais de r (r(0,) = (0,)) e de sua primeira

derivada z

r(0,) = a(0) r(0,21 ), isto

)2,0(),z(H),0(),z(F),z(r 1* += , (21)

onde F e H so funes determinsticas da posio e da freqncia que no dependem dos

detalhes dos processos randmicos que descrevem o campo do rudo. Mostraremos no

apndice B que F e H satisfazem tambm a nossa equao fundamental (19). Porm, a

vantagem de trabalhar com F e H (em lugar de () e ()) que essas funes so

determinsticas (em quanto que () e () so estocsticas). O espectro de sada, N(),

dado por

)exp()2,(),()exp(),0(),(),()( 1222

LzzHLLFLN +>==

25

Se consideramos uma fibra com atenuao nula ( = 0), a soluo analtica da equao

19 pode ser facilmente obtida:

)]?()? `()[2/(sinh?4

)?()?( 002

2

201

2

0 NNgLgP

NN ++= , (23)

onde

g = (4P01 2)1/2. (24)

2.3 Interao por mistura de quatro ondas entre dois lasers e rudo.

A lgebra envolvida no caso de dois lasers praticamente a mesma em relao ao caso de

um laser, com a diferena de que agora teremos mais termos na expresso da polarizao

no linear.

Novamente, se a banda de modulao dos lasers razoavelmente pequena, podemos

aproximar os campos coerentes (lasers) como sendo campos monocromticos. Fazendo a

transformada de Fourier do campo eltrico do laser E(z,t) = A1cos(1t + 1)

+A2cos(2t + 2) obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2*2221*111 ????????)?,( +++++= AAAAzE , (25)

onde Aj = Aj ji

e

.

Adicionando a parte incoerente do campo (rudo) o campo total fica:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ),(????????)?,( 2*2221*111 ++++++= zAAAAzE . (26) A polarizao fonte para amplificao do rudo dada por aquela parte da equao (7)

que contem (z,) seja em E1(z,3), E(z,4) ou E(z,5). Como (z,) muito menor

que A1 e A2, podemos ento desprezar todos os termos que so quadrticos ou

cbicos em (z,). Novamente consideramos (3)(1,2,3) = (3), temos ento:

26

)](z,21

)(z,21

? )?(z,21

)(z,221

? ) (z,2?21

)(z,)[(2

3),z(

12*

2112*21212

*1

2*2

21*2

121

)3(0

NL

+++++

++++

=

AAAAAA

AAPPP

. (27)

A polarizao no linear consta de seis termos: o primeiro descreve a modulao de fase

cruzada. Os outros 5 correspondem a 5 diferentes processos de mistura de quatro ondas:

(a) FWM entre o laser 1 e rudo em a = 21 , gerando uma onda em via 21

a = ; (b) entre laser 2 e rudo em b = 22 (via 22 b = ); e entre os dois

lasers e rudo em (c) c = 2 1 + ou (d) d = 1 2 + e (e) ' = 1 + 2 (

= 1 + 2 ').

Figura 2.- Interao de dois lasers com rudo atravs de 5 processos de FWM.

Rudo

po

tn

cia

f requncia

1

a) a = 2 1

b) b = 2 2

Cinco processos acoplados de FWM

2

c) c = 2 1 +

d) d = 1 2 +

e) e = 1 + 2

Rudo

po

tn

cia

f requncia

1

a) a = 2 1

b) b = 2 2

Cinco processos acoplados de FWM

2

c) c = 2 1 +

d) d = 1 2 +

e) e = 1 + 2

27

A equao de propagao para o rudo na freqncia fica sendo:

)](z,)](exp[2

)(z,)](exp[2

? )?(z,)](exp[2

)2(z,)2exp(

)2? ?(z,)2exp()(z,)(2[),z(

21*

2121

211221

122121

222

11121

+++

+++

+++

++

++++=

iziPP

iziPP

iziPP

iziP

iziPPPiz

e

d

c

b

a

,

(28)

onde 1 = 1(0) (P01 + 2P02)[1 exp(z)]/, e 2 = 2(0) (P02 + 2P01)[1

exp(z)]/. As diferenas dos vetores de onda so definidas como: a = () + (21

) 2(1), b = () + (22 ) 2(2), c = () (2 1 + ) + (2)

(1), d = () (1 2 + ) + (1) (2), e e = () + (1 + 2 )

(1) (2).

2.4 Condio de casamento de fase.

Falamos no captulo 1 que a eficincia de gerao de novas ondas por mistura de quatro

ondas depende fundamentalmente da condio de casamento de fase. Para mostrar a

origem deste fato, examinemos o sistema de equaes (18). Elas descrevem dois

processos de FWM acoplados: a evoluo da amplitude do campo em depende da

amplitude em (e vice-versa), e temos que essas equaes dependem de , P(z) e uma

fase exp[i(z 2 )(~ z )]. O teorema da fase estacionria [2], mostra que o mximo

crescimento do campo () (ou ()) ocorre quando a fase estacionria, isto , quando:

0)](~

[2)](~

2[T =

=

= zz

zzz

. (29)

28

Quando a derivada dessa fase zero (i.e. T = 0), dizemos que h casamento de fase ou

que a condio de casamento de fase foi satisfeita. a diferencia dos vetores de onda

das ondas envolvidas no processo de FWM, e (z) a fase no linear introduzida pela

dependncia do ndice da refrao com a potncia dos lasers. Isto , na condio de

casamento de fase temos duas contribuies: da disperso () e da no linearidade da

fibra.

A condio de casamento de fase a principal indicao para saber se o processo de

FWM eficiente ou no. O calculo de T ser, ento, muito ocorrente ao longo deste

trabalho. Na maioria dos casos estudados nesta tese fizemos um desenvolvimento em

Taylor do vetor de onda () at a quarta ordem [3], isto :

() = 0(r) + 1(r)( r) + 2(r)( r)2 +

1/63(r)( r)3 + 1/244(r)( r)4, (30)

onde n(r) = n/ n = r. Aqui 0 = n0/c est relacionada com a velocidade de fase

da onda na freqncia , 1 = 1/vg (vg a velocidade de grupo), 2 o coeficiente de

disperso de segunda ordem (2 = 2D/2c), 3 o coeficiente de disperso de terceira

ordem e assim por diante.

Fazendo a expanso em Taylor dos vetores de onda em torno de uma freqncia arbitrria

r temos que = 2 + 3 + , onde 2 o descasamento devido disperso de

segunda ordem, etc.

Um processo de FWM eficiente desde que o descasamento de fase | Leff| < (onde o

comprimento efetivo, Leff = [1 exp(L)]/, indica o comprimento de fibra onde os

processos no lineares so mais importantes). Em fibras compridas, Leff 1/

29

tipicamente 20 km. Isto significa que, tipicamente, a largura de banda de um processo de

FWM determinada por | | < /Leff ~ 0.15 km1.

2.5 Concluso.

Temos apresentado uma deduo, a partir de primeiros princpios, da equao de

propagao para o rudo quando este interage com um ou dois lasers atravs de mistura

de quatro ondas. Esta anlise no domnio da freqncia ser chamada por ns de FDM

(de Frequency Domain Model).

No caso da interao do rudo com um laser, conclumos que atravs de dois processos

acoplados de FWM, onde uma componente do rudo em e acoplada a uma componente

do rudo em ` = 21 atravs de um processo de FWM. Outros processos podem

existir (como mostrado no captulo 3), mas os dois processos acoplados estudados

descrevem o fundamental da interao de um laser com rudo.

No caso de dois lasers interagindo com rudo, ns mostramos que 5 processos de FWM

entram no jogo. Isto , uma componente do rudo em acoplada a 5 componentes do

rudo em diferentes freqncias atravs de 5 processos de FWM. Isto resulta numa

equao de propagao complicada para o campo do rudo em ; porm, como veremos

no captulo 4, dependendo do casamento de fase (que depende das frequncias dos lasers

1 e 2), algum(uns) processo(s) de FWM ser(o) mais importante(s) que os outros e

uma simplificao na Eq. 28 poder ser feita. Isto nos levar a equaes mais

simplificadas que sero facilmente resolvidas numericamente.

A vantagem de trabalhar com o FDM em comparao a um estudo com a anlise de

estabilidade (que baseia-se na equao no linear de Schrdinger no domnio do tempo,

30

vide apndice C) que a atenuao automaticamente includa, assim como a disperso

at quaisquer ordem e a natureza estocstica do campo do rudo. Outra vantagem a fcil

implementao de flutuaes do zero de disperso (0).

31

Apndice A.- Propagao de um laser.

Para achar a equao de propagao do laser em 1 temos de considerar a polarizao

no linear PNL(z,1). Na equao (6) ns conservamos somente os termos com

A1(z)2A1(z):

)]?(z,[

4?3

)?,( 112

1

)3(0

1 AAzPNL

= .

(A1)

A equao de propagao para este laser ento:

)2,z()z(?

),z(2i

)(z

111eff

2

220

1

2

2

2

=

+

APAcn2n

A . (A2)

Se escrevermos A1(z) = 1(z)exp[i((1)i/2)z + )z(~ ] temos que a equao de

propagao para o laser de bombeio em 1 fica sendo:

)?,()(?)?,( 11111 zzPizz

=

, (A3)

onde temos assumido que 1(z) uma funo suave 1121

2

2A~

A~i

)(zA~

32

= )1(

)0()(~ 01

zePz , (A6)

onde (0) a fase do laser na entrada da fibra. )(~ z descreve a automodulao de fase.

Apndice B.- Equaes de propagao do rudo no domnio da freqncia: mtodo

de soluo.

Como mostrado na Eq. 21, podemos escrever o campo estocstico no domnio da

freqncia como A z FE HE( , ) ( , ) ( , )* = + 0 0 . Substituindo nas Eqs. 17, produz o

par de equaes

=Fz

aH* e

=Hz

aF* , que podem ser facilmente desacopladas

obtendo-se,

LNM

OQP =

22 0

zb

za F2 + | | . (B1)

A equao (B1), que coincide com a eq. (18) para r, tambm satisfeita por H. As

condies iniciais para resolver a Eq. (B1) so: F(0,) = 1 e F(0,)/z = 0 (e H(0,) =

0, H(0,)/z = 1).

Se considerarmos um pequeno comprimento de fibra z ( az /1

33

zz ezHezHzzH +

+ +=+ )()(),( , (B2)

onde

+=

22421

bab . (B3)

Aplicando as condies iniciais para este intervalo podemos determinar os coeficientes

+H e H . Assim,

=

+

+

+

)(')(1

* zHzH

aa

HH

, (B4)

onde )2(' 1 = HH . Portanto

=

=

+

+)('

)()(

)(')(

)(')(

***** zHzH

zlzH

zHJKKJ

zzHzzH

, (B5)

onde

+

++

+

+

=

=

)()(

)(

zz

zz

eeazK

eezJ

. (B6)

Assim, para uma fibra de comprimento L, a soluo final ser

=

=

)0('

)0()0('

)0()0(...)2()(

)(')(

*** HH

THH

tzLtzLtLH

LH (B7)

Vale observar que a matriz T tem a forma

= ** AB

BAT e, portanto, num clculo

iterativo, s necessrio calcular dois de seus quatro elementos. O espectro de sada

dado por

2

0*2 )2,0(),0(),(),( +== HBHAeLHeLP LL (B8)

34

Assim

+=

2

0*2 )2,0(),0(),( HBHAeLP L (B9)

Para ter uma noo da forma da soluo analtica, vamos considerar uma fibra curta de

modo que possamos usar um nico z = L. Fazendo isso a soluo geral

+= )2/()2/cosh(2/ gLsinh

gb

gLeA Lb (B10)

e

)2/(2 2/ gLsinhega

B Lb= , (B11)

onde

( )[ ] 2/122 )2(24 PiPg +== + . (B12)

Apndice C: Anlise de Estabilidade

Como mencionado no captulo 1, a interao de um laser com o rudo (ou com uma

pequena modulao de amplitude) foi estudado na maioria das vezes atravs da anlise de

estabilidade na equao no linear de Schrdinger (ENLS) [4-10]. O ponto de partida

desse tipo de anlise a equao de propagao, no domnio do tempo, para a amplitude

complexa do campo eltrico, A(z,t), propagando-se ao longo de uma fibra. Esta equao

[11]:

35

),(),(/),(24

/),(61

/),(2

),(21

/),(1

/),(

2444

333

222

tzAtzAittzAi

ttzAttzAi

tzAttzAv

ztzAg

+

+

+

=++

(C1)

As unidades do campo so tais que a potncia ptica instantnea (em Watts) na posio z

P1(z,t) = A(z,t)2.

Se desprezarmos a atenuao e a disperso de terceira e quarta ordem, isto , = 0 e 3 =

4 = 0, e fizermos a mudana de varivel = t z/vg (onde 1 = 1/vg) nos temos a

equao no linear de Schrdinger (o nome devido a similaridade desta equao com a

equao de Schrdinger de mecnica quntica):

AA/Az/Ai 22222

1= .

(C2)

A soluo para o estado estacionrio (onda contnua) da equao (2) dada por:

A(z) = A(0)exp(i 21A z). (C3)

A estabilidade desta soluo examinada assumindo que

A1(z) = (A1(0) + m)exp(iP01), (C4)

Onde m uma modulao de amplitude muito fraca (m

36

onde K e so a constante de propagao e a freqncia da modulao, temos as

equaes para u e v

0

222 =

iiKu

(C7a)

e

0)

22( 220 =

+ iKuP .

(C7b)

Estas eqs. tem soluo no trivial se a relao de disperso satisfaz:

K = (22/2)(1 + 4P0/22)1/2. (C8)

Da equao (C8) pode observar-se que se 2 < 0 para uma freqncia de modulao tal

que < c = [(4P0/2)]1/2 ento K puramente imaginria e a perturbao cresce

exponencialmente. c a chamada freqncia de corte e limita o espectro de freqncia

onde a perturbao experimenta ganho . O coeficiente de ganho dado por gest = 2 Im(K);

ento

gest2 = (22/4)( 22 + 4P0). (C9)

Escrevendo = 22, este coeficiente de ganho coincide com o conhecido:

gest2 = ( /4)( + 4P0). (C10)

Para MI = c / 2 = [(2P0/2)]1/2 temos o ganho mximo gestmax = 2 P0. MI a

chamada freqncia de instabilidade modulacional.

Este resultado indica que o rudo em 0 MI tem o maior crescimento exponencial.

Temos, ento

N(,L) = N(,0)exp(2gestL). (C11)

37

O resultado da equao (C11) tem de ser comparado com aquele (que exato) da

resoluo numrica da equao 19, e com a soluo analtica na Eq. 23 (que ns

chamaremos de FDM, com = 0).

Apndice D: Comparaes experimento-simulao

Uma relao entrada-sada mais conveniente pode ser derivada notando que, das Eqs.

(18), 0))2()(( 212 =

rrz

, o que implica que a diferena

)()()()( 0022

>=< NNrr (D1)

permanece constante durante a propagao. Usando (D1) na Eq. (22), obtemos,

R() N N LN N L

F| H( ) ( )exp( )( ) ( ) exp( )

+

= + 012 0 0

2 2 1| | | , (D2)

Note que N0()exp(L) o espectro de sada medido na ausncia de FWM. Em geral,

um espectro de entrada assimtrico N0() produz uma sada assimtrica N(). Porm, a

Eq. (D2) estabelece que a diferena entre os espectros do rudo em com e sem o laser

de bombeio, normalizada com a mdia dos espectros de sada do rudo em e quando

o laser de bombeio desligado, independente das assimetrias do espectro do rudo na

entrada da fibra. Isto faz com que R() seja muito conveniente para comparaes entre

teoria e experimento. Todos os termos que definem R() na Eq. (D2) so facilmente

medidos, em quanto as funes F(L,) e H(L,) podem ser calculadas.

No caso especial de = 0, R() dada, para o caso da interao do rudo com um laser

38

por

2

201

2 )2/(sinh4)(ggL

PR = , (D3)

onde g foi definido na eq. (29).

39

Referncias:

[1] K.O. Hill, D.C. Johnson, B.S. Kawasaki, and R.I. MacDonald, CW three-wave

mixing in single-mode optical fibers, J. Appl. Phys., 49, 5098-5106, 1978.

[2] Mandel, Coherent Quantum Optics, 1995.

[3] G.P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 2nd Ed., Academic Press, New York, 1995.

[4] A. Hasegawa and W.F. Brinkman, Tunable coherent IR and FIR sources utilizing

modulation instability, IEEE J. Quantum Electron., QE-16, 694-697, 1980.

[5] M. Karlsson, Modulation instability in lossy optical fiber, J. Opt. Soc. Am. B, 12,

2071-2077, 1995.

[6] G.P. Agrawal Modulation instability induced by cross-phase modulation, Phys.

Rev. Lett., 59, 880-883, 1987.

[7] M.J. Potasek and G.P. Agrawal, Self-amplitude modulation of optical pulses in

nonlinear dispersive fibers, Phys. Rev. A, 36, 3862-3867, 1987.

[8] A. Carena, V. Curri, R. Gaudino, P. Poggiolini, and S. Benedetto, New analytical

results on fiber parametric gain and its effects on ASE noise, IEEE Photon. Technol.

Lett., 9, 535-537, 1997.

[9] K. Kikuchi, Enhancement of optical-amplifier noise by nonlinear refractive index

and group-velocity dispersion of optical fibers, IEEE Photon. Technol. Lett., 5, 221-223,

1993.

[10] R. Hui, D. Chowdhuri, M. Newhouse, M. OSullivan, and M. Poettcker, Nonlinear

amplification of noise in fibers with dispersion and its impact in optically amplified

systems, IEEE Photon. Technol. Lett., 9, 392-394, 1997.

40

[11] A. Hasegawa and F. Tappert, Transmission of stationary nonlinear optical pulses in

dispersive dielectric fibers. I. anomalous dispersion, Appl. Physics Lett., 23, 142-144,

1973.

[12] M. Yu, C.J. McKinstrie, and G.P. Agrawal, Pump-wave effects on the propagation

of noisy signals in nonlinear dispersive media, J. Opt. Soc. Am. B, 12, 1126-1132, 1995.

41

Captulo 3

Interao por Mistura de Quatro Ondas

entre um Laser e o Rudo

3.1 Introduo.

Na primeira seo deste captulo faremos uma descrio detalhada do fenmeno de

instabilidade modulacional (MI). Apresentaremos alguns espectros experimentais que

comparamos com os numricos obtidos a partir de nossa modelagem (FDM) apresentada

no captulo anterior. Dado o bom acordo ent re o experimento e o modelo, usaremo-lo

para estudar o MI em condies que no so possveis experimentalmente com o material

disponvel atualmente no nosso laboratrio, por exemplo, enlaces de 200 km com

compensao da disperso. Comparamos tambm os resultados obtidos usando o FDM

com aqueles resultantes da anlise de estabilidade.

Depois estudaremos a interao sinal-rudo, no caso em que o laser se propaga na regio

de disperso normal.

Uma discusso ser feita sobre como a interao entre um laser e rudo afeta o

desempenho de um sistema de comunicao ptica.

42

No final deste captulo apresentamos o estudo de um novo efeito observado por ns: a

gerao de um buraco no espectro do rudo, induzido por um laser de alta potncia

atravs de FWM.

3.2 Instabilidade Modulacional (MI).

3.2.1 Introduo.

Mostramos no captulo 1 que a instabilidade modulacional consiste na amplificao de

certas componentes espectrais do rudo, devido a dois processos acoplados de mistura de

quatro ondas entre um laser e o rudo [1]. Esta descrio da MI leva a perguntarmos sobre

a relao entre o fenmeno fsico e o nome que lhe atribudo. De fato, inicialmente a

MI foi estudada no domnio do tempo, e este nome devido justamente s caractersticas

que apresentava nesse domnio [2,3]. MI caracterizada pela instabilidade de ondas

contnuas, quando se propagam em um meio dispersivo e no linear, frente a

perturbaes (de certas freqncias) na amplitude, as quais crescem exponencialmente.

Estas perturbaes podem ser devidas ao rudo [4]. Em outras palavras, a propagao de

uma onda intensa contnua se propaga num meio dispersivo e no linear pode ser instvel

frente a pequenas modulaes, ou seja, modulacionalmente instvel. Este um

fenmeno que se observa em vrias reas da fsica e foi estudado primeiro no contexto da

ptica no linear em lquidos por Bespalov e Talanov em 1966 [5] e, quase simultnea e

independentemente em estudos de dinmica de fluidos por Benjamin e Feir [6]. O

primeiro estudo matemtico detalhado sobre o crescimento exponencial de uma

modulao de amplitude, em uma onda monocromtica que se propaga num meio no

linear e dispersivo, foi feita por Karpman e Krushkal em 1968 [7].

43

O desenvolvimento terico da propagao de ondas em meios no lineares e dispersivos

ganhou um grande impulso em 1973, quando Hasegawa e Trapper mostraram que a

equao pertinente para a propagao de luz em fibras era a Equao No Linear de

Schrdinger (ENLS) [8]. Este trabalho ficou famoso aps a demonstrao experimental

por Mollenauer et al. [9] da existncia de slitons em fibras, previstas pela ENLS [8]. O

efeito de MI em fibras, por exemplo (e que nos interessa nesta tese), foi previsto em 1980

por Hasegawa e Brinkman [1], analisando instabilidades da ENLS (ver apndice C no

captulo 2). Esses autores mostraram que um laser de alta potncia que se propaga na

regio de disperso anmala deveria induzir a criao de dois lbulos de amplificao de

rudo (ver Figura 5 do captulo 1). O campo do rudo na entrada da fibra quem faz o

papel das pequenas modulaes em amplitude.

A primeira observao experimental de MI foi feita nos Laboratrios Bell em 1986 por

Hasegawa e colaboradores [10]. Pouco depois, outros estudos tericos e experimentais

deste fenmeno [11-15], levaram ao entendimento das principais caractersticas

espectrais do fenmeno de MI.

A maioria dos estudos tericos de MI so baseados na anlise de estabilidade (AE).

Porm, este tipo de anlise acarreta grandes dificuldades matemticas quando se aplica ao

caso realista de fibras com perdas [16] e/ou com disperso de terceira ordem [17].

Nesta tese utilizaremos o nosso modelo FDM desenvolvido no captulo 2 e que

consideravelmente mais simples que o mtodo AE. Alm disto, como mostraremos, d

um excelente acordo com os experimentos, enquanto que o AE apresenta grandes

discrepncias.

44

3.2.2 Descrio da montagem experimental.

MI devido a dois processos acoplados de mistura de quatro ondas: 1) 21 ' = , e

2) 21 = '. Onde 1 a freqncia do laser, e ' e correspondem a ftons do

rudo (ver figura 1). Estes dois processos levam a uma transferncia de energia do laser

para o rudo e so descritos pela equao 19 do captulo 2.

Figura 1.- MI: A energia transferida do laser para o rudo mediante dois processos acoplados de FWM.

Para estudar experimentalmente este fenmeno, precisamos basicamente de um laser com

alta potncia e de fibra com disperso adequada (o laser deve estar na regio de disperso

anmala). Na figura 2 apresentamos a montagem experimental tpica que utilizamos. A

luz de um laser semicondutor sintonizvel passa atravs de um modulador de fase (400

MHz), para alargar a largura de linha do laser e assim eliminar o retro espalhamento

Brillouin, e depois por dois AFDEs (o segundo amplificador age como booster). A

potncia do laser aps o segundo AFDE pode chegar at 22.7 dBm (150 mW) em regime

contnuo. Um acoplador 22 utilizado para monitorar o efeito Brillouin e para obter os

Rudo

po

tn

cia

frequncia

1

a) = 21

b) = 21

Energia transferida do laser para o rudo

Rudo

po

tn

cia

frequncia

1

a) = 21

b) = 21

a) = 21

b) = 21

Energia transferida do laser para o rudo

45

espectros de entrada (10%) e sada (90%). A fibra usada do tipo fibra de disperso

deslocada (DSF, de Dispersion Shifted Fiber) com 25 km de comprimento. Os espectros

so visualizados em um analisador de espectro ptico (OSA, de Optical Spectrum

Analyzer) com uma resoluo de 0.1 nm.

Figura 2.- Montagem experimental. LD: laser a diodo, OSA: analisador de espectro ptico.

3.2.3 Parametros da fibra utilizada.

Os parmetros desta fibra foram completamente medidos em [18]: coeficiente de

atenuao = 0.05 km1, coeficiente no linear = 2.3 (W km)1, zero de disperso 0 =

1551.35 nm, e S0 = 0.073 ps/nm-km. Este ltimo o coeficiente angular de disperso (S

= dD/d) para = 0 e se relaciona com 3 atravs de S0 = (2c/ 20 )23(0).

conhecido que o parmetro de disperso, perto do zero de disperso, pode ser escrito

como D() = S0(1 30 /3)/3. Escrevendo esta relao de disperso como funo de

temos que 2() = (2c)2S0(1/3 1/ 30 )/3. Substituindo os valores de 0 e S0 medidos

obteremos que 3(0) = 0.11 ps3/km e 4(0) = 0.00039 ps4/km.

Uma relao simples entre 2() e 3(0) quando e 0 so freqncias prximas a

aproximao: 2(r) = 3(0)(r 0).

10 %DSF

90 %OSA

Moduladorde fase

AFDE1

MonitorBrillouin

AFDE

LD

10 %DSF

90 %OSA

Moduladorde fase

AFDEAFDE1

MonitorBrillouin

AFDEAFDE

LD

46

Todos os nossos experimentos, apresentados nesta tese, foram feitos com esta fibra. Os

poucos que foram feitos com outra fibra sero assinalados.

3.2.4 Resultados gerais.

3.2.4.1 Espectro de MI e comparao experimento-teoria.

Injetamos na fibra a luz de um laser cw com freqncia 1 e com potncia de entrada P01

= 75 mW (~18.7 dBm). Na figura 3(a) mostrado um espectro experimental de entrada

(verde) e de sada (preto).

Figura 3.- (a) Espectro experimental de MI (preto) comparado com o espectro terico (azul). (b) Comparao dos espectros de ganho do rudo obtidos com o FDM (azul), com o FDM com = 0 (vermelho) e com a anlise de estabilidade (preto).

Observamos ao redor do pico do laser a presena de dois lbulos de rudo amplificado,

com os mximos de amplificao (~ 17 dB) localizados em dois pontos, 1 MI onde

MI a assim chamada freqncia de instabilidade modulacional. O rudo deixa de ser

amplificado para componentes espectrais afastadas do laser em ~ 2 MI ou mais.

1554 1556 1558 1560

0

10

20

30

40

FDM

FDM ( = 0)

anlise deestabilidade

Comprimento de onda (nm)

b)

Gan

ho

(dB

)

1

Po

tn

cia

(dB

m)

Comprimento de onda (nm)

entrada

saidateoria (FDM)

1

MI MI

1554 1556 1558 1560-30

-20

-10

0

10

20 a)

1554 1556 1558 1560

0

10

20

30

40

FDM

FDM ( = 0)

anlise deestabilidade

Comprimento de onda (nm)

b)

Gan

ho

(dB

)

1

1554 1556 1558 1560

0

10

20

30

40

FDM

FDM ( = 0)

anlise deestabilidadeanlise deestabilidade

Comprimento de onda (nm)

b)

Gan

ho

(dB

)

1

Po

tn

cia

(dB

m)

Comprimento de onda (nm)

entrada

saidateoria (FDM)

1

MI MI

1554 1556 1558 1560-30

-20

-10

0

10

20 a)

Po

tn

cia

(dB

m)

Comprimento de onda (nm)

entrada

saidateoria (FDM)saidateoria (FDM)

1

MI MI

1554 1556 1558 1560-30

-20

-10

0

10

20

-30

-20

-10

0

10

20 a)

47

Resolvemos numericamente a equao 19 do captulo 2, que descreve estes processos de

FWM, com os parmetros que correspondem nossa fibra.

Para simplificar o nosso clculo numrico, consideramos um espectro do rudo plano na

entrada e calculamos o espectro de sada do rudo. O espectro de ganho obtido mostrado

em azul (FDM). O acordo entre os espectros de sada experimental e numrico

excelente.

Na figura 3(b) mostramos em preto o espectro obtido usando a anlise de estabilidade

(equao C11) e em azul o espectro usando o FDM. Note que a anlise de estabilidade

indica um ganho de 0 dB na posio do laser, em discrepncia com os 12 dB do FDM e

do experimento. Tambm, o ganho mximo 20 dB maior em comparao do FDM. Isto

verifica o carter qualitativo dos espectros obtidos utilizando a anlise de estabilidade.

Para comparao, na mesma figura, mostrado em vermelho o espectro de ganho do

rudo obtido com a frmula analtica para o caso de uma fibra sem atenuao (Eq. (26) do

captulo 2).

3.2.4.2 Clculo da freqncia de MI.

Voltando na figura 3(a), o mximo de amplificao do rudo ocorre quando os processos

de FWM so mais eficientes, isto , quando a condio de casamento de fase satisfeita.

Para mostrar isto, calculemos T = + z /NL = () + () 2(1) + z /NL ,

onde NL a fase no linear. Teremos que

= 2(1)(1 )2 + 2P1, (1)

48

onde 2(1) a disperso de segunda ordem na freqncia do laser 1 e P1 a potncia

do laser em z. Dado que e P1 so valores sempre positivos, s no caso em que 2(1) <

0, podemos ter T = 0, quando

MI = (1 )=)(

2

12

1

P

. (2)

O interesse no clculo da freqncia de MI (MI) que indica as posies do mximo de

amplificao (1 MI, 1 + MI) e a regio de amplificao do rudo (1 2 MI, 1

+ 2 MI) com largura de banda 2 2 MI. Notamos que para valores de 2(1)

pequenos, isto , quando o laser se propaga perto de 0, a largura de banda de

amplificao do rudo pode ser muito grande. Da Eq. 2, substituindo os valores de , P1 =

P01 e 2 no experimento, obtemos MI/2 = 118 GHz. O valor medido no espectro da

figura 3(a) (MI)/2 = 95 GHz. A discrepncia devida a que a Eq. 2 no leva em

considerao a atenuao da fibra.

Se pode verificar da equao 23 do captulo 2 que o valor do ganho mximo

proporciona l a exp(2P) e independe de 2(1).

3.2.4.3 MI em funo da freqncia do laser.

Para verificar a proporcionalidade da MI com )(/1 12 , propagamos agora um laser

com P01 = 19 dBm para trs posies distintas de 1. Na figura 4 mostramos os espectros

de sada experimental (embaixo) e numrico (acima). Como previsto pode se observar

tanto nos espectros medidos como nos calculados, que o pico de ganho o mesmo (~19

49

dB) nos trs casos e que a largura de banda de amplificao diminui quando o laser se

afasta de 0.

Figura 4.- Espectros de sada para trs posies de 1: numrico (acima), experimental (embaixo).

3.2.4.4 MI em funo da potncia do laser.

Na mesma equao para MI, observamos tambm que para e P1 grandes a largura de

banda de amplificao grande. Na figura 5 mostramos o espectro de ganho de MI para 5

valores da potncia de entrada. Observamos nesta escala logartmica que o mximo do

ganho aumenta uniformemente com P01, o que implica um crescimento exponencial

entanto que a largura de banda onde o rudo amplificado aumenta com 01P .

1550 1555 1560 15650

5

10

15

20

Gan

ho

(d

B)

Comprimento de onda (nm)

1550 1555-30

-20

-10

0

10

Po

tn

cia

(dB

m)

1560 1565Comprimento de onda (nm)

0

1550 1555 1560 15650

5

10

15

20

Gan

ho

(d

B)

Comprimento de onda (nm)1550 1555 1560 1565

0

5

10

15

20

0

5

10

15

20

Gan

ho

(d

B)

Comprimento de onda (nm)

1550 1555-30

-20

-10

0

10

Po

tn

cia

(dB

m)

1560 1565Comprimento de onda (nm)

0

1550 1555-30

-20

-10

0

10

Po

tn

cia

(dB

m)

1560 1565Comprimento de onda (nm)

0

50

Figura 5.- Espectro de ganho de MI como funo de P01. A posio do laser marcada com os pontos pretos e a posio de 0 com o trao em azul.

3.2.4.5 Amplificao catastrfica do rudo.

Uma concluso interessante da frmula para a freqncia de MI que no caso em que o

laser se propague no zero de disperso a freqncia de MI ser infinita. Porm, nessa

situao, teramos de considerar os termos da disperso de ordem maior

= 2(1)(1 )2 + 1/124(1)(1 )4 + 2P1.

O termo em 4 vai ento limitar a banda de amplificao do rudo. Quando 1 0 ocorre

a maior banda de amplificao do rudo. Devido a este fato, Marcuse [19] introduziu o

termo de amplificao catastrfica do rudo quando o laser se propaga no zero de

disperso. Para ter uma idia desta amplificao catastrfica, na figura 6 mostramos o

clculo do espectro do ganho para um laser com P01 = 100mW (20 dBm) e 4 = 0.0004

ps4/km.

1552 1554 1556 1558

0

5

10

15

20

25

Gan

ho

(dB

)

Comprimento de onda (nm)

100 mW

80 mW

60 mW

40 mW

20 mW

0

1552 1554 1556 1558

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

Gan

ho

(dB

)

Comprimento de onda (nm)

100 mW

80 mW

60 mW

40 mW

20 mW

0

51

Figura 6.- Espectro calculado de ganho de MI para o caso de amplificao catastrfica de rudo (1 = 0).

Para este valor de P01, temos uma banda da ordem de 30 nm onde a amplificao maior

que 15 dB.

Na apresentao das caractersticas espectrais principais do espectro de MI, assumimos

que o 0 constante ao longo da fibra. Em uma fibra real isto no acontece. Estudaremos

a seguir a dependncia de MI com flutuaes de 0 ao longo da fibra.

3.2.5 Espectro de MI com flutuaes do zero de disperso ao longo da fibra.

Numa fibra ptica o zero de disperso (0) no constante ao longo do comprimento da

fibra. Observa-se uma flutuao de 0 devida a dois fatores: 1) o dimetro do ncleo de

uma fibra no constante mas muda aleatoriamente; 2) o perfil de ndices no constante

ao longo da fibra, o que tambm leva a mudanas de 0.

Em [20] foi feito um estudo detalhado da mudana de 0 ao longo da fibra devida a essas

duas contribuies. Nessa referncia se mostra que, para variaes do raio da fibra de 1%

e para diferenas de ndices entre o ncleo e a casca (nn nc) variando em 0.02% (tpicas

1540 1550 1560 1570

0

5

10

15

20

25

Gan

ho

(dB

)

Comprimento de onda (nm)1540 1550 1560 1570

0

5

10

15

20

25

Gan

ho

(dB

)

Comprimento de onda (nm)

52

no processo de fabricao de fibras), as flutuaes de 0 so de 2 a 6 nm em uma escala

de 0.1 a 1 metro (flutuaes rpidas). Porm, devemos notar que esse trabalho foi feito

em 1989 e melhoras no processo de fabricao da fibra tem acontecido desde essa data.

As flutuaes em escalas de 1 a 10 km (flutuaes lentas), que podem ser medidas com

diversos mtodos [21], variam de fibra a fibra e podem ser de 1