2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 1 -

領域型メッシュレス法の開発

山形大学大学院理工学研究科

高倉　克幸

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 2 -

有限要素法 境界要素法

§ 1　はじめに○背景

有限要素法，境界要素法では事前の要素分割が不可欠

要素分割には多大な労力と時間を浪費

⇓要素分割を必要としない方法として，メッシュレス法が誕生

Fig. 1　有限要素法と境界要素法による要素分割の例．

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 3 -

○メッシュレス法の特徴

利点

・ 幾何学的構造をもった要素が不要

・ 節点の追加が容易 ⇒ アダプティブ法への拡張が容易

問題点

・ 連立一次方程式の構成に要する演算量が膨大

・ 入力パラメタの適切な値を決定する方法が不明

○本研究の目的

・ Element-Free Galerkin Method (EFGM)とMeshless Local Petrov-Galerkin

Method (MLPGM)の性能評価

・ 新たなメッシュレス法の開発

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 4 -

○近似関数 uh(x)の仮定近似多項式を仮定．

(1)

ただし，pT(x) = [1, x, y] .

○形状関数 φ(x)の導出

(1)と

J[a] = wi(x) pT(xi)a(x) – ui2Σ

i = 1

N

の停留条件

⇒

ただし，N : 全節点数， ，w(r) : 重み関数，ui ≡ u(x

i)，

§ 2　MLS近似

0

0 .5

1

-0.5 0 0 .5

φ(x)

x

Fig. 2　1次元形状関数φi(x)

の振る舞い．

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 5 -

○重み関数 w(r)とMLS近似のパラメタ

Gauss型 :

スプライン型 :

Table 1　MLS近似のパラメタ．

多項式の次数 1

サポート係数 c = h

サポート半径 R = 4h

重み関数(§ 5以外) Gauss型

ただし，h : 隣接する節点間の最短距離．

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 6 -

○ 2次元Poisson問題(2)

(3)

(4)

§ 3　Element-Free Galerkin Method

○基本境界条件を含む弱形式の離散化2次元Poisson問題 ⇔ 基本境界条件を含む弱形式 :

(5)

ただし，λ(s) : Lagrangeの未定係数(境界 ∂Ωに沿った弧長 sの関数)．

(5) ⇒ (6)

2次元Poisson問題は連立一次方程式(6)に帰着．

Fig. 3　領域Ωと境界 ∂Ω．

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 7 -

○解析条件

Table 2　解析条件．

対象領域 Ω = (−1, 1) × (−1, 1)境界条件 全周Dirichlet条件

既知関数 u = sinπx cosπy

p = 2π2sinπx cosπy1セルあたりの

積分点数1024

セル数 256 Fig. 4　領域のセル分割例．

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 8 -

10- 3

10- 1

101

103

101 102 103 104

CPU

Tim

e [s

]

Total Number of Nodes, N

○連立一次方程式の解法に要するCPU時間

Fig. 5　連立一次方程式(6)の解法に要する CPU時間．

Gaussの消去法

ICCG法

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 9 -

§ 4　Meshless Local Petrov-Galerkin Method○局所 2次元Poisson問題

2次元Poisson問題

⇒ 局所 2次元Poisson問題 :

○局所弱形式の離散化

局所 2次元Poisson問題 ⇔ 局所弱形式 :

(7)

ただし，α : ペナルティ係数．(7) ⇒ Ku = f . (8)

2次元Poisson問題は連立一次方程式(8)に帰着．

Fig. 6　対象領域と局所領域の関係．

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 10 -

○解析条件

Table 3　解析条件．

対象領域 Ω = (−1, 1) × (−1, 1)境界条件 全周Dirichlet条件

既知関数 u = sinπx cosπy

p = 2π2sinπx cosπy1局所領域あたりの

積分点数3200

Fig. 7　節点と局所領域．

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 11 -

Fig. 8　局所領域の重なり具合．

(a) rs = 0.5h (b) rs = h (c) rs = h

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 12 -

10- 3

10- 1

101

102 103 104

Rel

ativ

e E

rror

, ε

Total Number of Nodes, N

○局所領域の半径が解の精度に及ぼす影響

Fig. 9 相対誤差の全節点数依存性(α = 106)．● : rs = 0.5h，▼ : rs = 22

h，▲ : rs = h，

▲ : rs = 2h，▼ : rs = 4h，◇ : rs = 10h．

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 13 -

Fig. 10　相対誤差の全節点数依存性(rs = 4h)．● : α = 1.0 × 102，▲ : α = 1.0 × 104，

▲ : α = 1.0 × 106，▼ : α = 1.0 × 108，▼ : α = 1.0 × 1010，◇ : α = 1.0 × 1012．

○ペナルティ係数が解の精度に及ぼす影響

10- 3

10- 1

101

102 103 104

Rel

ativ

e E

rror

, ε

Total Number of Nodes, N

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 14 -

§ 5　領域型メッシュレス法の開発○EFGMとMLPGMの相違点

Table 4　EFGMとMLPGMの相違点．

弱形式を考える領域

弱形式に

基本境界条件を課す方法

試行関数uと試験関数 δuの関数空間

EFGM

全体領域

Lagrangeの未定係数法

等しい(Galerkin法)

MLPGM

局所領域

ペナルティ法

異なる(Petrov-Galerkin法)

⇓

他の組み合わせも考えられるのではないか．

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 15 -

○新たなメッシュレス法

全体領域を採用 ⇒ EFG型局所領域を採用 ⇒ MLPG型

Table 5　提案する方法．

弱形式 基本境界条件

EFG型 Lagrangeの未定係数法

EFG型 ペナルティ法

MLPG型 Lagrangeの未定係数法

MLPG型 ペナルティ法

上記方法に対して様々な試行関数と試験関数を適用し，

その性能を評価する

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 16 -

○試行関数と試験関数の形状関数

Table 7　試行関数と試験関数の形状関数．

方法 試行関数 試験関数

Galerkin(w) w w

Galerkin(σ) σ σGalerkin(φ) φ φ

Petrov-Galerkin(φ, w) φ wPetrov-Galerkin(φ, σ) φ σPetrov-Galerkin(φ, ψ) φ ψ

Table 6　形状関数の計算方法．

形状関数 計算方法

w Gauss型の重み関数

σ Shepard関数(0次のMLS近似)φ Gauss型の重み関数を用いたMLS近似ψ スプライン型の重み関数を用いたMLS近似

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 17 -

10-3

10-2

10-1

100

101

101 102 103 104

Rel

ativ

e E

rror

, ε

Total Number of Nodes, N

○ Lagrangeの未定係数法を採用したEFG型

Fig. 11　相対誤差の全節点数依存性．◆ : Galerkin(w)，▲ : Galerkin(σ)，▼ :Galerkin(φ)，◆ : Petrov-Galerkin(φ, w)，▲ : Petrov-Galerkin(φ, σ)，▽ : Petrov-Galerkin(φ, ψ)．

(a) Galerkin法 (b) Petrov-Galerkin法

10-3

10-2

10-1

100

101

101 102 103 104

Rel

ativ

e E

rror

, ε

Total Number of Nodes, N

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 18 -

Fig. 12　相対誤差の全節点数依存性．◆ : Galerkin(w)，▲ : Galerkin(σ)，▼ :Galerkin(φ)，◆ : Petrov-Galerkin(φ, w)，▲ : Petrov-Galerkin(φ, σ)，▽ : Petrov-Galerkin(φ, ψ)．

○ペナルティ法を採用したEFG型

10-3

10-2

10-1

100

101

101 102 103 104

Rel

ativ

e E

rror

, ε

Total Number of Nodes, N

(a) Galerkin法 (b) Petrov-Galerkin法

10-3

10-2

10-1

100

101

101 102 103 104

Rel

ativ

e E

rror

, ε

Total Number of Nodes, N

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 19 -

Fig. 13　相対誤差の全節点数依存性．◆ : Galerkin(w)，▼ : Galerkin(φ)，◆ : Petrov-Galerkin(φ, w)．

10- 4

10- 3

10- 2

10- 1

100

102 103 104

Rel

ativ

e E

rror

, ε

Total Number of Nodes, N

○ Lagrangeの未定係数法を採用したMLPG型

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 20 -

Fig. 14　相対誤差の全節点数依存性．◆ : Galerkin(w)，▼ : Galerkin(φ)，◆ : Petrov-Galerkin(φ, w)．

10- 3

10- 2

10- 1

100

101

102 103 104

Rel

ativ

e E

rror

, ε

Total Number of Nodes, N

○ペナルティ法を採用したMLPG型

2005年度　修士論文公聴会　2006.2.22 - 21 -

§ 6　結 論EFGM

・ 連立一次方程式のソルバーとして ICCG法を用いれば，Gaussの消去法と

比べて高速に解を得ることができる．

MLPGM

・ 入力パラメタである局所領域の半径とペナルティ係数には適切な値の範

囲が存在するが，その値の範囲を事前に特定するのは困難である．

領域型メッシュレス法

・ 新たに開発したメッシュレス法のうち，Lagrangeの未定係数法を用いた

MLPG型にPetrov-Galerkin(φ, w)を採用すれば，高精度な解を得られる．・ 試行関数と試験関数の組み合わせとして，Petrov-Galerkin(φ, w)はどの方法にも適合する組み合わせである．