0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

elec

tron e

ner

gy d

istr

ibuti

on

4035302520151050electron energy [eV]

SSHOS

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

elec

tron e

ner

gy d

istr

ibuti

on

4035302520151050

electron energy [eV]

SSHOSsample value

average value

2-1. 高次のサンプリング(Higher Order Sampling:HOS)

これらの技術を適切に制御して使用するためには，放電の性質の理解が必要

気体放電プラズマの応用分野

ガスレーザ，プラズマディスプレイ，プラズマCVD，半導体プラズマプロセシング，有害化学物質の除去など

背景

気体放電プラズマ中には様々な種類の粒子が存在し，これらの粒子によって放電が維持されるが，特に，電子群の性質が放電の性質を決定付ける

放電の性質

理由① 電子は気体放電プラズマを構成する粒子（中性気体分子（原子），励起分子，

正イオン，ラジカル，光子等）の中で最も質量が小さく，電界によって容易に加速され高エネルギー状態になり，他の粒子に大きな影響を及ぼすため

理由② 気体放電プラズマを構成する各粒子は，中性気体分子（原子）に電子が衝突することによって生成されるため

気体放電プラズマ中の電子群の性質は，電子スオームパラメータによって表され，これは電子エネルギー分布から計算される

電子群の性質

電子エネルギー分布を知ることは放電の性質を知ることに等しい

コンピュータを用いたシミュレーション方法の一つであるモンテカルロシミュレーションによって，電子のエネルギーをサンプリングし，電子エネルギー分布を得る

電子エネルギー分布の計算方法

エネルギーの範囲を微小区間(bin)に区切り，各bin内のエネルギー

を持った電子数をカウントし，そのヒストグラムを作成して電子エネルギー分布を表現する

詳細な電子エネルギー分布を求めるためには，binを密にしなければならない

統計変動を低減させるには追跡電子数の増加が必要となる

高次のサンプリングと平滑化スプライン[2]を用い，オーバーラップサンプリングを行わずに計算時間の増加を抑えつつ，詳細な電子エネルギー分布を求める方法を開発した

本研究で開発した方法は，高次のサンプリングと平滑化スプラインとの2つの部分から構成される

ここでは，第9項目までを考慮したLegendre多項式を用いて電子の密度勾配を表現している

Legendre多項式

221100 )()()( fPfPfPfi

10 P 1P 2/)13( 22 P

2/)(

2/)(

1

1

ii

ii

iN

j

Pf

1

002

1

iN

j

Pf

1

112

3

iN

j

Pf

1

222

5

iはbinの番号を表す

Niは区間i ～i+1 に含まれる電子数を表す

平滑化スプラインを用いて，全てのbinに対する電子エネルギー分布が連続性を持つようにつなぐ

HOSでは，bin毎に独立して多項式を求めるため，binの境界では電子エネルギー分布の連続性が保証されない

データ点の補間を行う関数式

n点のデータ点に対する(2m-1)次の平滑化スプライン

mn

i

iim xNbxpxf

1

1 )()()(

mi

ij jji

mj

ixP

xxxN

)(

)()(

,

12

Pm-1(x)はm-1次以下の多項式を表す

biはデータ点の座標および優先度の設定によって定まる係数

)()(

)(0)(

12

12

jm

j

jmj

xxxx

xxxx

)()(

)())(()(

1

11,

mjjj

jjijijjji

xxxx

xxxxxxxP

本シミュレーションは下記の条件を用いて行い，SST(steady state Townsent)実験の平衡条件における電子エネルギー分布を求めた

対象ガス CF4 （0 ℃, 1 Torr）

換算電界E/p 400 Td

初期電子数n0 103 個および106 個

電極 2.0 cm間隔, 電子の完全吸収壁

サンプリングのbin幅D HOS → 10 eV, SS → 0.02 eV

サンプリングのエネルギー範囲 0～40 eV

HOSによって得られた電子エネルギー分布は，SSによって得られた

電子エネルギー分布の存在する範囲から大きく外れることがないため，矛盾しない値であることがわかる

多数の点に対して平滑化スプラインを求めることは難しいので，各bin当り20点の標本値(sample value)

を抽出して平滑化スプラインを求める

拡大図から，binの境界においては，不連続になっていることがわかる

今回得られた結果を，n0 =106に増加させたときのSSによって得られた電

子エネルギー分布（統計変動が十分小さい）と併せて示す

両者の曲線が非常に良く一致していることがわかる

HOSとスプライン関数を用いることにより，計算時間の増加を抑えつつ，詳細な電子エネルギー分布が得られることがわかった

binの境界においては，各binでサ

ンプリングされる電子数の重みをつけて平均した値(average value)を境界での標本値としている

全エネルギーにわたって連続した電子エネルギー分布が得られることがわかる

HOSと平滑化スプラインの組合わせによる電子エネルギー分布の新しいサンプリング技法を開発した

Legendre多項式を用いることによって，各binにおける電子数の密度勾配を詳細に表現することができた

各bin毎に20点の電子エネルギー分布の値を標本値として抽出し，この標本値に対して平滑化スプラインを適用することで，全エネルギー範囲にわたって連続した電子エネルギー分布が得られた

今回の方法によって得られた結果を，追跡電子数を増加させ統計変動が十分小さい場合のSSによって得られた電子エネルギー分布と比較すると，非常に良く一致することがわかった

（ はHOSにおけるbin幅（D =10

eV））

1. はじめに

目的

2. 計算方法

3. 計算条件

2-2. 平滑化スプライン

SSと異なり，bin内における電子エネルギー分布の詳細な変化を表現できるので，bin幅を広げることが可能

bin幅を広く設定することができるので，1つのbin当りにサンプリングされる電子数が減尐せず，統計変動は増加しない

4. 計算結果

4-1. HOSおよびSSで得られた電子エネルギー分布

4-2. HOSの標本値抽出

滑らかさを考慮しているため，全ての標本値を忠実に通過しているわけではないことがわかる

4-3. 標本値に対する平滑化スプライン(present)の適用

4-4. SSとの比較

5. まとめ

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

elec

tron e

ner

gy d

istr

ibuti

on

4035302520151050electron energy [eV]

present

SS (D=0.02eV n0=106 )

[2] 吉村和美他：「パソコンによるスプライン関数」，東京電機大学出版局 (1988)[1] Peter L. G. Ventzek et al. : J. Appl. Phys. 75. 15. 3785 (1994)

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

elec

tron

ener

gy d

istr

ibut

ion

4035302520151050

electron energy [eV]

sample value

average value

present

統計変動が増加する 計算時間が増加する

問題点

従来のサンプリング技法(Standard Sampling:SS)

Ventzek[1]らが提案したサンプリング技法であり，高次のサンプリングとそのオーバーラップサンプリングによって，計算時間の増加を抑えつつ詳細な電子エネルギー分布を求める方法

LPWS(Legendre Polynomial Weighted Sampling)法

高次のサンプリングを使用することで，計算時間の増加を抑えることができるが，binの境界で電子エネルギー分布が不連続になるので，binを

オーバーラップさせながらサンプリングして重ね合わせることにより，全エネルギー範囲にわたって連続した電子エネルギー分布を得る

したがって，追跡電子数を増やす必要がなくなるため，計算時間の増加を抑えることができる

高次のサンプリングとスプラインを用いた電子エネルギー分布のサンプリングDevelopment of novel sampling technique of electron energy distribution using higher order sampling and spline

木村 太朗* ，佐藤 孝 紀，伊藤 秀 範 （室蘭工業大学）

オーバーラップさせることによって，計算に無駄が生じること サンプリングされる電子数の差によって，bin毎に電子エネルギー分布の信頼性が異なるの

だが，その点が考慮されていないこと

問題点

多項式を用いて各bin内における電子数の密度勾配を表現する方法

「データ点を忠実に通過すること」および「得られる関数が滑らかであること」のうち，どちらを優先するかについて，自由に設定することができるという特徴をもつ