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Cours de construction Structures – module T21 Statique des structures compos´ ees de poutres – efforts int´ erieurs Maurizio Brocato Ann´ ee scolaire 2007-08 eance du 15 novembre 2007 Table des mati` eres 1 Introduction 1 2 Efforts int´ erieurs 1 2.1 efinition ............................................. 1 2.2 Approfondissement ........................................ 3 2.3 Calcul ............................................... 7 2.3.1 Principe des travaux virtuels .............................. 7 2.3.2 ´ Equations d’´ equilibre ................................... 7 2.4 Lignes d’influence ......................................... 10 1 Introduction Comme les r´ eactions, les efforts int´ erieurs, qu’on ´ etudie dans ce chapitre, apparaissent en r´ eponse ` a un syst` eme de forces ext´ erieures. Par cons´ equent, comme les r´ eactions, elles d´ ependent de la g´ eom´ etrie du syst` eme de poutres, des liaisons cin´ ematiques de ce syst` eme et des efforts ext´ erieurs appliqu´ es. 2 Efforts int´ erieurs 2.1 efinition Le point courant d’une poutre peut ˆ etre vu comme le point de contact entre deux poutres reli´ ees par une liaison cin´ ematique int´ erieure de type encastrement. En particulier, le point courant d’une poutre droite peut ˆ etre vu comme un point dans lequel deux poutres align´ ees sont mises en continuit´ e par un encastrement. Par d´ efinition d’encastrement, entre deux poutres encastr´ ees l’une dans l’autre il n’y a aucun mouve- ment relatif possible, ni de translation ni de rotation. Admettons que ces deux poutres aient la mˆ eme ligne d’axe, c’est le cas lorsque on analyse le point courant d’une poutre droite. En d´ ecomposant le mouvement relatif de translation sur les deux directions orthogonales identifi´ ees par l’axe des deux poutres et par sa normale, on peut dire que la liaison de deux poutres par encastrement bloque les mouvements relatifs de translation axiale, les mouvements relatifs de cisaillement (translation relative dans la direction normale ` a l’axe de la poutre) et les rotations relatives (voir figure 1). On sait alors que cette liaison transmet une force et un moment, qu’on appelle efforts int´ erieurs car ils sont g´ en´ er´ es par une liaison int´ erieure, dont l’intensit´ e d´ ependra des efforts ext´ erieurs : d’autant plus les efforts ext´ erieurs agirons dans le sens de donner lieu aux mouvements relatifs bloqu´ es par l’encastrement, d’autant plus celui-ci r´ eagira en mettant en place des efforts int´ erieurs qui bloqueront ces mouvements. En d´ ecomposant la force int´ erieure sur l’axe des poutres et sur l’axe orthogonal `a celui-ci on obtient 1

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Cours de construction

Structures – module T21

Statique des structures composees de poutres – efforts interieurs

Maurizio Brocato

Annee scolaire 2007-08

Seance du 15 novembre 2007

Table des matieres

1 Introduction 1

2 Efforts interieurs 1

2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Equations d’equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Lignes d’influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Introduction

Comme les reactions, les efforts interieurs, qu’on etudie dans ce chapitre, apparaissent en reponse aun systeme de forces exterieures. Par consequent, comme les reactions, elles dependent de la geometriedu systeme de poutres, des liaisons cinematiques de ce systeme et des efforts exterieurs appliques.

2 Efforts interieurs

2.1 Definition

Le point courant d’une poutre peut etre vu comme le point de contact entre deux poutres reliees parune liaison cinematique interieure de type encastrement. En particulier, le point courant d’une poutredroite peut etre vu comme un point dans lequel deux poutres alignees sont mises en continuite par unencastrement.

Par definition d’encastrement, entre deux poutres encastrees l’une dans l’autre il n’y a aucun mouve-ment relatif possible, ni de translation ni de rotation. Admettons que ces deux poutres aient la meme ligned’axe, c’est le cas lorsque on analyse le point courant d’une poutre droite. En decomposant le mouvementrelatif de translation sur les deux directions orthogonales identifiees par l’axe des deux poutres et par sanormale, on peut dire que la liaison de deux poutres par encastrement bloque les mouvements relatifs detranslation axiale, les mouvements relatifs de cisaillement (translation relative dans la direction normalea l’axe de la poutre) et les rotations relatives (voir figure 1).

On sait alors que cette liaison transmet une force et un moment, qu’on appelle efforts interieurs car ilssont generes par une liaison interieure, dont l’intensite dependra des efforts exterieurs : d’autant plus lesefforts exterieurs agirons dans le sens de donner lieu aux mouvements relatifs bloques par l’encastrement,d’autant plus celui-ci reagira en mettant en place des efforts interieurs qui bloqueront ces mouvements.En decomposant la force interieure sur l’axe des poutres et sur l’axe orthogonal a celui-ci on obtient

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Fig. 1 – La section A d’une poutre droite vue comme un point dans lequel deux poutres sont encastreesl’une dans l’autre : (a) poutre analysee, (b) deux poutres idealement encastrees au point A (le carresymbolise l’encastrement interieur ; notez que ce symbole n’est pas d’usage general, car normalement iln’est pas necessaire d’indiquer une telle liaison), (c) mouvement relatif de translation axiale, (d) mouve-ment relatif de cisaillement, (e) rotation relative. Ces trois types de mouvement relatif sont bloques parl’encastrement interieur.

deux composantes, qu’on appelle respectivement effort normal et tranchant. En conclusion, en tout pointcourant de la poutre il peut exister (en fonction du chargement) trois efforts interieurs :

– l’effort normal N , force dirigee suivant l’axe de la poutre et donc normale a la section droite de lapoutre,

– l’effort tranchant T , force dirigee normalement a l’axe et donc dans le plan de la section,– le moment flechissant M .Par convention on prend N positif s’il agit dans le sens d’un ecartement des sections normales (on dit

alors que la poutre est tendue), T positif s’il agit sur les sections de la poutre de sorte qu’elles glissentdans le sens des aiguilles d’une montre, M positif s’il agit sur la poutre de facon que la partie a droitetourne par rapport a la partie a gauche dans le sens contraire aux aiguilles d’une montre (on verra que celaimplique que les fibres inferieures sont tendues. les superieures comprimees). Ces efforts sont representesen figure 2.

En figure 2 on montre les efforts interieurs suivant la convention des signes, en regardant les effortsque les deux parties de la poutre exercent sur la section qui les separe. En figure 6 qui sera introduiteplus tard, on dessine les efforts opposes, c’est a dire ceux qui agissent sur la poutre de part et d’autre dela section, en placant a gauche de la liaison l’effort qui agit de ce cote et a droite celui qui agit a droite.Il s’agit des memes efforts et de la meme convention, mais on inverse le point de vue, selon qu’n veutetudier l’effet des efforts sur la section (figure 2) ou leur effet sur la poutre (figure 6).

Comme les reactions, qui sont associees aux mouvements interdits par les liaisons cinematiques, chaqueeffort interieur est associe a un mouvement relatif entre sections voisines – ou deformation – de la poutre.On considere une glissiere placee a l’interieur d’une poutre et parallele a son axe : aucun effort normal nepourra se transmettre au travers de cette liaison, alors que le mouvement relatif de translation suivantl’axe de la poutre – ou deformation axiale – sera libre (voir figure 3 (c)). L’effort normal est donc l’effortqui apparaıt par consequent de la liaison qui relie les sections voisines de la poutre dans la direction deson axe.

Si on considere une glissiere orthogonale a l’axe de la poutre, c’est l’effort tranchant qui ne pourrapas etre transmis, avec un mouvement relatif de glissement des sections de part et d’autre de la glissiere– ou deformation de cisaillement – arbitraire (voir figure 3 (d)). L’effort tranchant est donc l’effort quiapparaıt a cause de la liaison entre sections voisines dans le sens orthogonal a l’axe de la poutre.

Si, finalement, la liaison interieure que l’on considere est une rotule, il n’y aura aucun momentflechissant transmis par la rotule et on pourra observer une rotation relative arbitraire entre les deuxparties de la poutre liees par la rotule (voir figure 3 (e)). Le moment flechissant est donc l’effort quiapparaıt par effet de la liaison qui empeche la rotation relative des sections voisines de la poutre.

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Fig. 2 – Efforts interieurs dans la section A d’une poutre selon la convention des signes universellementacceptee. On considere une poutre et une section quelconque, A, de cette poutre (a) ; on coupe idealementla poutre en deux a la section A (b) ; on reunit les deux parties de la poutre par un encastrement (c). Lesactions que les deux parties de la poutre exercent sur la piece qui le relie sont representees en (d) selon laconvention des signes (les fleches indiquent la direction positive des efforts). L’action que le joint exercesur la partie de droite est representee en (e) : ces efforts sont egaux et contraires aux efforts que la partiede droite exerce sur le joint, representes en bleu en (d). Egalement, l’action du joint sur la partie a gaucheest representee en (f) ; il s’agit de l’oppose de l’action que cette partie exerce sur le joint, representee enrouge en (d).

On peut donc aussi affirmer que l’effort normal peut apparaıtre en reponse aux efforts exterieurs dansles sections de la poutre dans lesquelles la deformation axiale est empechee, l’effort tranchant dans lessections avec deformation de glissement empechee et le moment flechissant dans les sections avec rotationempechee.

2.2 Approfondissement

Si on coupe une poutre dans une section quelconque et on redonne ensuite continuite a la structure nonpas par un encastrement – liaison triple –, mais par une liaison cinematique double (rotule ou glissiere), ona introduit une rupture de la continuite de la poutre : la rotule libere le mouvement de rotation relative,la glissiere celui de translation relative dans la direction qu’elle identifie (parallele ou orthogonale a l’axede la poutre).

Une rotule interieure libere la rotation relative et n’est donc pas capable de transmettre aucun momentflechissant a son travers (1). Une glissiere interieure libere une translation relative, suivant son axe, etne transmet donc aucune force interieure suivant la meme direction (une glissiere parallele a l’axe de lapoutre ne transmet pas d’efforts normaux, une glissiere orthogonale a cet axe ne transmet pas d’effortstranchants).

1Il faut faire attention a que cela ne signifie pas que la poutre est forcement non sollicite par un moment flechissant de

part et d’autre de ladite rotule, car un moment exterieur pourrait etre applique a cet endroit, donnant lieu a flexion pres

de la rotule sans que celle-ci ne transmet aucun moment. La meme precaution est a prendre vis-a-vis de l’effort normal et

de l’effort tranchant respectivement au travers d’une glissiere axiale ou orthogonale a l’axe

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Fig. 3 – Efforts dans la section A d’une poutre droite vue comme un point dans lequel deux poutres sontmises en continuite, en fonction de la liaison cinematique : (a) poutre analysee ; (b) le point A est unpoint courant de la poutre que l’on considere comme un encastrement interieur : trois efforts interieurssont transmis : l’effort normal, l’effort tranchant et le moment flechissant ; (c) si au point A on place uneglissiere dont l’axe de glissement est parallele a l’axe de la poutre il n’y aura plus d’effort normal transmisau travers de A ; (d) si l’axe de la glissiere est normal a celui de la poutre c’est l’effort tranchant qui nesera pas transmis ; (e) une rotule au point A ne permet pas la transmission du moment flechissant.

En introduisant une telle rupture de continuite, l’equilibre potentiel de la poutre sous n’importe quelchargement se trouve modifie. Par exemple si la poutre etait l’element d’un systeme isostatique, ce systemedeviendra potentiellement instable (voir figure 4).

L’equilibre statique avant rupture de continuite pourra etre retabli par l’introduction d’un systemede forces qui joue le role de l’effort interieur efface par la mise en place de la liaison double. Par exempleon peut retablir l’equilibre de la poutre de figure 4 (b) en appliquant un moment de part et d’autre de larotule, celui de la poutre de figure 4 (c) en appliquant une force orthogonale a l’axe de part et d’autre dela glissiere et celui de la poutre de figure 4 (d) par deux forces axiales de part et d’autre de la glissiere(voir figure 5).

Sous un chargement donne l’intensite de ces efforts sera a priori inconnue, mais leur nature et directionsera determine par le type de rupture de continuite introduite. Cette condition est l’analogue a celle desreactions, dont l’intensite depend des efforts exterieurs, alors que leur nature ne depend que du type deliaison cinematique qui les generes.

En resume, on peut dire que la condition statique de la poutre sous un chargement donne est inchangeesi on introduit en meme temps une rupture de continuite de type glissiere parallele a l’axe et deuxd’efforts diriges suivant l’axe, avec resultante nulle et dont l’intensite sera telle que le systeme ainsiobtenu est en equilibre sous ce chargement. Egalement le systeme sera inchange si on introduit uneglissiere orthogonale a l’axe et deux efforts diriges comme la glissiere de meme nature que les precedents.Finalement l’introduction d’une rotule et de deux moments opposes en equilibre avec les forces exterieureslaisse aussi les conditions statiques du systeme inchangees (voir figure 6).

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Fig. 4 – Rupture de continuite d’une poutre isostatique (a) en un point A quelconque par introductiond’une rotule (b), d’une glissiere qui libere le cisaillement (c) ou d’une glissiere qui libere les translations re-latives axiales (d). Dans les trois cas la structure perd sa propriete d’isostaticite et devient potentiellementinstable.

Fig. 5 – Rupture de continuite d’une poutre isostatique chargee par une force exterieure et retablissementde la condition d’equilibre sous l’action de cette force par la mise en place d’efforts exterieurs sur les facesde la liaison double introduite : moments exterieurs de part et d’autre de la rotule (b) ; forces orthogonalesa l’axe de part et d’autre de la glissiere qui libere le cisaillement (c) ; forces axiales de part et d’autre de laglissiere qui libere les translations relatives axiales (d). Dans les trois cas les efforts exterieurs introduitspour retablir l’equilibre sont egaux et opposes sur les deux faces de la liaison double.

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Fig. 6 – Efforts interieurs dans la section A d’une poutre. Les efforts N , T et M permettent de re-obtenir la continuite une fois que celle-ci a ete idealement interrompue par la mise en place de la liaisoncinematique double indiquee. On montre les efforts interieurs positifs selon la convention des signes, enplacant a gauche de la deconnexion fictive l’effort qui agit de ce cote et a droite celui qui agit a droite.

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2.3 Calcul

Pour determiner les efforts interieurs on peut suivre les memes demarches que pour les reactions :– principe des travaux virtuels (ce qui ne demande pas le calcul prealable des reactions),– application directe des equations d’equilibre (une fois determinees les reactions).

2.3.1 Principe des travaux virtuels

Comme pour le calcul des reactions, on peut calculer un effort interieur en un point quelconqued’une structure isostatique en y introduisant une rupture de continuite fictive qui autorise le mouvementcorrespondant a l’effort que l’on veut determiner (une glissiere parallele a l’axe de la poutre pour calculerl’effort normal, une glissiere orthogonale a l’axe pour l’effort tranchant et une rotule pour le momentflechissant) et des efforts exterieurs fictifs, dont l’amplitude est inconnue, qui permettent de retablir lacondition d’equilibre avant rupture. L’application du principe des travaux virtuels permet de calculerl’amplitude de ces efforts fictifs en fonction du chargement impose.

La structure etant initialement isostatique, la rupture de sa continuite la transforme en un mecanismeet on peut evaluer les deplacements virtuels de ce mecanisme par la meme methode qu’on utilise pourles reactions. Ensuite il faut ecrire l’expression du travail virtuel de tout les efforts exterieurs agissantssur la structure (donc du chargement impose et des efforts fictifs places de part et d’autre de la rupturede continuite) et faire appel au postulat : le travail virtuel des efforts exterieurs est nul quelque soitle mouvement virtuel de la structure. L’ecriture de cet axiome conduit a la determination de la valeurinconnue.

Par exemple en figure 7 on montre le calcul de l’effort tranchant et du moment flechissant au point D

de la structure. Le premier demande la mise en place d’une glissiere fictive au point D, dont la direction deglissement est celle de l’effort tranchant qu’on doit determiner : la valeur de l’effort tranchant est deduitea partir de la condition demandee par le principe des travaux virtuels (le symbole ∀ signifie « quelque

soit », la double fleche indique une consequence ; on s’en servira pour abreger)

−T d + F d = 0 ∀d ⇒ T = F .

Le calcul du moment flechissant se fait en introduisant une rotule en D, d’ou le travail virtuel et lasolution

Mϑ + Faϑ

3= 0 ∀ϑ ⇒ M = −

Fa

3.

2.3.2 Equations d’equilibre

Le calcul statique des efforts interieurs dans une section S d’une structure se base sur la proceduresuivante (voir figure 8) :

1. on controle que la structure soit isostatique et on procede seulement si ceci est vrai (si la structuren’est pas isostatique on ne peut obtenir les efforts interieurs par les seules equations de la statiqueque dans certains cas) ;

2. on calcule les reactions ;

3. on considere la structure sans liaisons cinematiques exterieures, soumise aux forces exterieures etaux reactions (qui remplacent donc desormais les liaisons cinematiques exterieures) et on la coupeidealement en deux parties au point S : ce point est le lieu d’une liaison encastrement entre les deuxstructures ainsi obtenues ; la structure entiere etant en equilibre sous l’action des forces exterieureset des reactions, il en est ainsi pour chacune des deux parties dans lesquelles elle se trouve separee ;on peut donc considerer n’importe laquelle des deux parties comme si elle etait encastree en S ;

4. la structure obtenue en regardant une seule partie de la structure initiale comme encastree en S estisostatique et on connaıt son chargement ; on peut alors calculer les reactions de l’encastrement enS ; ces reactions sont les efforts interieurs au point S de la structure initiale.

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Fig. 7 – Calcul des efforts interieurs T et M dans la section D par le principe des travaux virtuels : (I)structure et chargement, (II) calcul de T , (III) calcul de M .

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Fig. 8 – Calcul des efforts interieurs N , T et M dans la section D par application directe des equationsd’equilibre : (I) structure et chargement, (II) calcul des reactions, (III) calcul des efforts interieurs.

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2.4 Lignes d’influence

Le calcul des efforts interieurs par le principe des travaux virtuels montre un resultat interessant : ladeformee de la structure obtenue par une rupture de continuite donnee en un point S (et donc utile aucalcul de l’effort interieur correspondant a cette rupture au point S) peut etre utilisee pour calculer letravail virtuel de n’importe quel systeme d’efforts exterieurs. Cette observation permet l’etude des effortsinterieurs au point S pour n’importe quel systeme d’efforts exterieurs ou, plus precisement, nous donnele moyen d’evaluer la sollicitation en ce point en fonction du chargement.

On considere un chargement donne par une seule force, d’intensite 1, dirigee normalement a l’axe dela poutre au point P (voir figure 9). Le moment flechissant au point S sous l’effet de cette force vaut, parle principe des travaux virtuels :

−MSϑ + 1a

6ϑ = 0 ∀ϑ ⇒ MS =

a

6.

Si on trace la deformee virtuelle pour ϑ = 1 on peut donc lire directement au point P de ce diagrammela valeur de MS donnee par l’application d’une force unitaire au point P .

Fig. 9 – Calcul de MS par le principe des travaux virtuels : (I) structure et chargement, (II) structureavec deconnexion fictive et moment inconnu MS , (III) diagramme du deplacement virtuel, (IV) calcul deMS sous le chargement donne par le theoreme des travaux virtuels. On observe que le resultat peut etrelu directement sur le diagramme (IV) si on trace ce diagramme avec ϑ = 1.

On appelle ligne d’influence de Ms la deformee du mecanisme auxiliaire obtenu en placant une rotuleen S et en imposant une rotation relative au travers de la rotule egale a 1. Cette rotation est positive sila partie a droite tourne par rapport a la partie a gauche dans le sens oppose aux aiguilles d’une montre ;on peut aussi dire que l’angle (eventuellement plat) en dessous de la rotule grandit dans une rotationrelative positive, alors que l’angle au dessus se reduit.

Si l’intensite de la force appliquee en P est F , on obtient la valeur de MS simplement en multipliant leresultat precedent par F . Si d’autres forces agissent sur la structure, il suffit de multiplier le deplacementde leur point d’application lit sur la ligne d’influence de MS par l’intensite de la force correspondante, en

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donnant a ce produit le signe du travail de cette force par ce deplacement, pour obtenir le travail virtuelde tous les efforts exterieurs et determiner MS par consequent.

En figure 10 on trace la ligne d’influence du moment au point S de la structure : il s’agit de la deformeedu mecanisme obtenu de la structure en placant une rotule au point S et en imposant une rotation relativede 1 entre les deux parties de la poutre a cote la rotule. Pour le chargement donne on obtient la valeur :

MS = FdP + F′dP ′ = −F

a

3− F

′2b

3

.

Fig. 10 – Calcul de MS par le principe des travaux virtuels : (a) structure et chargement, (b) mecanismeauxiliaire pour le calcul de MS , (c) ligne d’influence de MS .

Un resultat analogue s’obtient pour la determination de l’effort tranchant au point S (voir figure 11).On appelle ligne d’influence de Ts la deformee du mecanisme auxiliaire obtenu en placant une glissiere

en S avec axe de glissement orthogonal a l’axe de la poutre, tracee pour un deplacement relatif sur laglissiere egal a 1. Ce deplacement relatif est positif si les deux parties de la poutre a cote de la glissieretournent dans le sens des aiguilles d’une montre.

Finalement un resultat de meme type peut etre enonce pour l’effort normal (voir figure 12) : on appelleligne d’influence de Ns la deformee du mecanisme auxiliaire obtenu en placant une glissiere en S avecaxe de glissement parallele a l’axe de la poutre, tracee pour un deplacement relatif sur la glissiere egal a1. Ce deplacement relatif est positif si les deux parties de la poutre a cote de la glissiere s’eloignent.

En general, la deformee construite a partir d’une rupture de continuite du type associee a un effortinterieur donne ce qu’on appelle la ligne d’influence de cet effort : lorsque une force d’intensite 1 se trouvea un point quelconque de la structure (par exemple au point P ou au point P ′ dans la structure de figure10) on peut lire la valeur qui prend l’effort en objet directement sur la ligne d’influence en ce point (lavaleur est donc dP ou dP ′ dans l’exemple). Si la force est d’intensite F , il suffit de multiplier par F lavaleur lue sur la ligne d’influence au point d’application de la force pour obtenir l’effort generee par cetteforce au point S.

A cote de la convention des signes des efforts exterieurs presentee en figure 2 il est pratique de serappeler des signes conventionnellement positifs pour les mouvements relatifs : une rotation relative estpositive si l’angle en dessous de la rotule croıt et celui au dessus decroıt (voir figure 13 (a)) ; un deplacementrelatif de type cisaillement est positif si la rotation suit les aiguilles d’une montre (voir figure 13 (b)) ; undeplacement relatif de type axial est positif s’il donne un ecartement (voir figure 13 (c)).

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Fig. 11 – Calcul de TS par le principe des travaux virtuels : (I) structure et chargement, (II) structureavec rupture de continuite fictive de type glissiere qui libere le cisaillement et effort tranchant inconnuTS , (III) diagramme du deplacement virtuel, (IV) calcul de TS sous le chargement donne par le theoremedes travaux virtuels. On observe que le resultat peut etre lu directement sur le diagramme (IV) si ontrace ce diagramme avec d = 1.

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Fig. 12 – Calcul de NS par le principe des travaux virtuels : (I) structure et chargement, (II) structureavec rupture de continuite fictive de type glissiere qui libere la translation axiale et effort normal inconnuNS , (III) diagramme du deplacement virtuel, (IV) calcul de NS sous le chargement donne par le theoremedes travaux virtuels. On observe que le resultat peut etre lu directement sur le diagramme (IV) si on letrace avec d = 1.

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Fig. 13 – Convention des signes pour les deplacements relatifs : (a) rotation, (b) cisaillement, (c)deplacement axial.

Fig. 14 – Un autre exemple de ligne d’influence : (I) structure, (II) deformee sous l’effet d’une rotation−1 au point S qui donne la ligne d’influence de MS .

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Fig. 15 – Calcul de MS par la ligne d’influence une fois le chargement donne : (I) structure et chargement,(II) ligne d’influence et contributions au moment MS par des forces unitaires, (III) calcul de MS .

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