1

Egy keveset a bolygók perihélium - elfordulásáról

Szép ábrákat / animációkat találtunk az interneten, melyek felkeltették érdeklődésünket.

Ilyen az 1. ábra is.

1. ábra – forrása:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Drehung_der_Apsidenlinie.

svg/600px-Drehung_der_Apsidenlinie.svg.png

Itt azt szemléltetik, hogy a mozgása során hogyan fordul el – lassan – egy bolygó pályája,

amit a napközeli pont elforgatásával mutatnak meg. Viszonylag kevesebb szó esik a pálya

alakjáról; igaz, ehhez már mélyebb matematikai és fizikai ismeretekre is szükség lehet.

Ugyanis ez a jelenség a perturbált Kepler - probléma nevet is viseli, melyből kiderül, hogy

bizonyos „zavarok” hatására alakul így a centrális erőtérben mozgó égitest pályája – [ 1 ].

A Naprendszer egyik bolygójára kifejtett zavaró hatások lehetnek – a Nap hatásán kívül – :

~ a többi bolygó ( Newton szerinti ) gravitációs vonzása ( többtest - probléma );

~ a Nap által meggörbített téridőben szabadon való ( Einstein szerinti ) mozgás.

A zavart bolygópályát nem ritkán egy lassan elforduló ellipszisnek nevezik.

Ennek az érdekes, ámde nem igazán közismert pályának megvan a polárkoordinátás

egyenlete is – [ 2 ] – ahol a pólus most is a vonzó - centrumban van:

( 1 )

Itt az ellipszis szokásos adataival:

( 2 )

( 3 )

2

ahol:

~ p: az ellipszis paramétere;

~ e: az ellipszis numerikus excentricitása;

~ a: az ellipszis fél nagytengelye;

~ b: az ellipszis fél kistengelye;

~ c: az ellipszis lineáris excentricitása;

~ κ: állandó tényező.

Itt a κ tényezőről kell néhány szót ejteni – [ 2 ].

~ Értéktartománya, amire a levezetése során kapott alakból következtetünk:

( 4 )

~ Értékének megválasztása:

ha azt akarjuk, hogy az ( 1 ) képlettel előállított síkgörbe záródjon, akkor így érvelhetünk.

A perihélium az ellipszis egyenletében a φ = 0 szögnek felel meg, ekkor rmin = p / ( 1 + e ).

Legközelebb akkor lesz a bolygó ilyen távolságra a ( vonzó - ) centrumtól, ha ( 1 ) - ben

( 5 )

A φ szöget – ld. az 1. ábrát is! –

( 6 )

alakban felírva – ahol Δφ két egymást követő napközeli bolygóhelyzet szögtávolsága – ,

( 5 ) és ( 6 ) szerint:

( 7 )

Most gondoljuk meg az alábbiakat is!

Ha 1 db perihélium - elfordulás létrehozásához szögelfordulást kell

teljesítenie a bolygónak, akkor n db perihélium - elforduláshoz

szögelfordulást, ami a pálya záródása esetén teljes szögelfordulást jelent.

Eszerint:

azaz:

3

( 8 )

Most ( 7 ) és ( 8 ) szerint zárt pálya esetén:

innen:

( 9 )

A szemléltetést szolgálja a 2. ábra is.

2. ábra – forrása: [ 3 ]

Az eddigieket egy mintafeladatban alkalmazzuk.

Adatok:

a = 5 ( cm ); b = 3 ( cm ); c = 4 ( cm ); m = 10; n = 9. ( A )

Most ( 10 ) és ( A ) szerint:

( a )

Majd ( 1 ), ( A) és ( a ) - val:

( b )

Ezután pl. ( 8 ) és ( A ) - val:

( c )

Eredményeinket a 3. ábra mutatja. Itt a zöld ellipszis a κ = 1 esetnek felel meg.

4

3. ábra

Megjegyzések:

M1. A ( 4 ) képlet előtt említettük, hogy a κ paraméter a alakban is felírható.

Erre az ad okot, hogy [ 3 ] - ban ( a 60. oldalon ) az ( 1 ) alakú megoldáshoz ezt a képletet

találjuk:

( d )

M2. [ 2 ] - ben a ( 7 ) képlet ellentettje olvasható. Máshol is találtunk benne „sajtóhibát”.

M3. Részletes ismertetés / levezetés található a relativisztikus Kepler - mozgásról például

[ 4 ] - ben. A szóban forgó pálya - alak elnevezése ott: rozetta - pálya. Az ottani vizsgála -

tok annyiban relativisztikusak, hogy a tömeg sebességfüggését is figyelembe veszik, de a

potenciálfüggvény ugyanaz, mint a nemrelativisztikus esetben. Vagyis ott egy speciális

relativitáselméleti modellel dolgoztak, nem az általános relativitáselméletivel. A fizikusok

szerint az utóbbi adja meg azt a perihélium - elfordulási különbözetet a Merkúr bolygó

esetében, ami a csillagászati megfigyelések és az addigi elméleti értékek között volt.

5

M4. Érdemes újfent megjegyezni, hogy ( 4 ) fennállása esetén a perihélium - elfordulás

szögére ( 7 ) általában, ( 8 ) pedig csak zárt pályagörbék esetén igaz. A [ 3 ] műben meg -

említik, hogy „ … általános esetben a véges mozgás pályája nem zárt; végtelen sokszor

átmegy a minimális és maximális távolságon ( mint pl. a 2. ábrán ), és végtelen idő alatt

betölti a két határ közötti egész körgyűrűt.”

M5. Most hasonlítsunk össze két, egymáshoz közeli zárt és nem zárt görbét – 4. ábra!

Ehhez adatok:

a = 5; b = 3; c = 4; n = 7 ; m = 10 ; κ = 0,7 . ( C1 )

a = 5; b = 3; c = 4; m = 10 ; κ = 1 / sqrt( 2 ) ≈ 0, 7071. ( C2 )

4. ábra

A ( C1 ) adatokkal bíró görbe záródik, mert pl. – a mértékegység cm – :

φ = 0 - ra: r = 1; x = 1; y = 0;

φ = 10 x 2π - re: r = 1; x = 1; y = 0;

a ( C2 ) adatokkal bíró görbe nem záródik, mert pl. – a mértékegység cm – :

φ = 0 - ra: r = 1; x = 1; y = 0;

φ = 10 x 2π - re: r = 1,045563 ; x = 1,045563 ; y = 0 .

6

M6. A pálya zártsága úgy értelmezhető, hogy a pályagörbének nem akármilyen, hanem a

kezdő és végpontjai egybeesnek, bizonyos számú fordulat megtétele után. Ugyanis a nem

zárt görbe is metszheti saját magát, vagyis két pontja egybeesik, ahogyan az pl. a 4. ábrán

is látható. A 4. ábra utáni adatok is éppen a kezdő és a végpontok egymáshoz viszonyított

helyzetéről szólnak.

M7. A [ 3 ] műben ezt olvastuk:

„A pálya zártságának feltétele, hogy e szög ( itt a 2. ábrán is berajzolt szögre utalnak )

és hányadosa racionális szám legyen, azaz

ahol m és n egész számok.”

Ezt hasonlítsuk össze a ( 8 ) - ból adódó

( 8 / 1 )

képlettel! Azt látjuk, hogy az m és n egész számok között többlet feltételként még kiróható

pl. az is, hogy

( 10 )

Ha előírjuk, hogy

( 11 )

akkor ( 8 ) és ( 11 ) egyenlővé tételével:

( 12 )

Vegyük figyelembe, hogy a rozetta egy „levele” akkor tér el csak keveset az ellipszistől,

ha egy kis pozitív ε - nal:

( 13 )

Majd ( 9 ) és ( 13 ) - mal:

( 14 )

Például a

λ = 1, N = 11, a = 5; b = 3; c = 4; ( D )

választással ( D ) és ( 14 ) szerint:

( e )

7

( f )

A ( D ), ( e ) és ( f ) - nek megfelelő rozettát az 5. ábra mutatja. Nagyítva jól látszik, hogy

az első „levél” kezdete, valamint az utolsó vége pontosan egybeesik: a görbe záródik.

Az 5. ábrán minden „levelet” más színnel rajzoltunk meg, a Graph ingyenes szoftverrel.

5. ábra

M8. A κ > 1 esetben is működik az ( 1 ) képlet, azonban ekkor ez már nem a mondott fizi -

kai feladat megoldását adja. Ez, persze, így egy kicsit pongyola megfogalmazás, hiszen

a fizikai problémát nem is nagyon rögzítettük; pl. [ 3 ] - ban egy

vagy

8

míg a [ 4 ] - ben egy

,

alakú potenciálfüggvényről van szó.

A részleteken, meglehet, még el kell merengenie az érdeklődő Olvasónak. Ide tartozik a

„sajtóhiba” kérdése is; megeshet, hogy az alaposabb vizsgálat kiderítené, hogy hol van

félreértés, és hol történt valóban tévesztés.

M9. Ha κ > 1 , akkor a ( 7 ) szerint Δφ < 0 . Egy ilyen esetet szemléltet a 6. ábra.

Itt

Ekkor ( 7 ) szerint:

Ez jól látszik is.

6. ábra

M10. Azt találtuk / az ábrák azt mutatják, hogy az

9

( 1 )

egyenlet a κ tényező különbözői értékeinél / érték - tartományaiban más - más viselkedést

mutat. Ezek ( 1 ) szerint, ( 7 ) - tel is, a κ < 0 tartománnyal nem foglalkozva:

( g )

( h )

( i )

( j )

A ( 7 ) szerinti kapcsolatát a 7. ábra szemlélteti κ > 0 - ra.

7. ábra

Úgy tűnik, hogy minket főleg csak a

( k )

érték - tartomány érdekelhet.

M11. A jelzett klasszikus mechanikai kérdéskör alaposabb vizsgálatához ajánlható még az

[ 5 ] munka tanulmányozása is. Ez komolyabb matematikai felkészültséget, esetleg elő -

tanulmányokat is igényelhet.

10

Irodalomjegyzék:

[ 1 ] – Főszerk.: Holics László: Fizika

Akadémia Kiadó, Budapest, 2009., 807 ~ 808. o.

[ 2 ] – Szerk.: Nagy Károly: Elméleti fizikai példatár I.

Tankönyvkiadó, Budapest, 1981., 151. o.

[ 3 ] – L. D. Landau ~ E. M: Lifsic: Elméleti fizika I.: Mechanika

Tankönyvkiadó, Budapest, 1974., 51 ~ 60. o.

[ 4 ] – Bernhard Schnizer: Analytische Mechanik – e - jegyzet

TU Graz, Inst. für Theoretische Physik, 2003., 172 ~ 176. o.

[ 5 ] – Herbert Goldstein ~ Charles Poole ~ John Safko: Classical Mechanics

3. kiadás, Addison Wesley, New York, 2000.

internet:

http://detritus.fundacioace.com/pub/books/Classical_Mechanics_Goldstein_3ed.pdf

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2017. augusztus 12.