EGZAMIN MATURALNY
MATEMATYKA Poziom podstawowy
ZBIR ZADA
Materiay pomocnicze dla uczniw i nauczycieli
Centralna Komisja Egzaminacyjna 2015
Publikacja opracowana przez zesp koordynowany przez Renat wirko
dziaajcy
w ramach projektu Budowa bankw zada realizowanego przez Centraln
Komisj
Egzaminacyjn pod kierunkiem Janiny Grzegorek.
Autorzy
Barbara Andrzejewska (kierownik zespou przedmiotowego)
Agnieszka Borowska
dr Wiktor Bartol (kierownik zespou przedmiotowego)
Henryk Dbrowski
dr Jacek Dymel
Anna Kleinschmidt
Marzena Mazur
Teresa Pype
Leszek Sochaski
dr Edward Stachowski
Komentatorzy dr Waldemar Pauba
Andrzej Daszke
Hanna Schulte-Noelle
Opracowanie redakcyjne Jakub Pochrybniak
Redaktor naczelny
Julia Konkoowicz-Pniewska
Zbiory zada opracowano w ramach projektu Budowa bankw zada,
Dziaanie 3.2 Rozwj systemu egzaminw zewntrznych,
Priorytet III Wysoka jako systemu owiaty,
Program Operacyjny Kapita Ludzki
Spis treci Wprowadzenie
............................................................................................................................
4
1. Zadania
................................................................................................................................
5
1.1. Liczby rzeczywiste i wyraenia algebraiczne. Rwnania i
nierwnoci ..................... 5
1.2. Funkcje
......................................................................................................................
11
1.3. Cigi
...........................................................................................................................
16
1.4. Geometria
..................................................................................................................
19
1.5. Teoria prawdopodobiestwa i kombinatoryka
.......................................................... 35
2. Komentarze do zada
........................................................................................................
41
2.1. Liczby rzeczywiste i wyraenia algebraiczne. Rwnania i
nierwnoci ................... 41
2.2. Funkcje
......................................................................................................................
46
2.3. Cigi
...........................................................................................................................
51
2.4. Geometria
..................................................................................................................
54
2.5. Teoria prawdopodobiestwa i kombinatoryka
.......................................................... 65
3. Rozwizania
......................................................................................................................
69
3.1. Liczby rzeczywiste i wyraenia algebraiczne. Rwnania i
nierwnoci ................... 69
3.2. Funkcje
......................................................................................................................
77
3.3. Cigi
...........................................................................................................................
88
3.4. Geometria
..................................................................................................................
94
3.5. Teoria prawdopodobiestwa i kombinatoryka
........................................................ 128
4. Wykaz umiejtnoci oglnych i szczegowych sprawdzanych zadaniami
................... 134
4.1. Liczby rzeczywiste i wyraenia algebraiczne. Rwnania i
nierwnoci ................. 134
4.2. Funkcje
....................................................................................................................
138
4.3. Cigi
.........................................................................................................................
142
4.4. Geometria
................................................................................................................
144
4.5. Teoria prawdopodobiestwa i kombinatoryka
........................................................ 151
Wprowadzenie
Prezentowany zbir zada jest przeznaczony przede wszystkim dla
osb zamierzajcych
zdawa egzamin maturalny z matematyki w formule obowizujcej od
2015 roku. Zbir ten
moe by rwnie wykorzystywany przez nauczycieli matematyki w
procesie dydaktycznym
jako materia uzupeniajcy, poniewa zawiera wiele zada w nowym
stylu, o interesujcej,
zmuszajcej do mylenia treci; take takie, ktrych nauczyciele nie
znajd w obecnych na
rynku publikacjach.
W zbiorze zamieszczono 134 zadania, ktre mog wspomc uczniw w
trakcie przygotowa
do zdawania obowizkowego egzaminu maturalnego na poziomie
podstawowym.
Zadania zostay pogrupowane tematycznie, zgodnie z nastpujc
klasyfikacj:
1. Liczby rzeczywiste i wyraenia algebraiczne. Rwnania i
nierwnoci;
2. Funkcje;
3. Cigi;
4. Geometria (planimetria, stereometria, geometria analityczna
paszczyzny, trygonometria);
5. Prawdopodobiestwo i kombinatoryka (wraz z elementami
statystyki).
Zgodnie z wymaganiami maturalnymi w zbiorze znajduj si zarwno
zadania zamknite,
w ktrych tylko jedna z podanych odpowiedzi jest prawdziwa, jak i
zadania otwarte, wymaga-
jce przedstawienia penego rozwizania, w tym zadania na
dowodzenie.
Ucze samodzielnie przygotowujcy si do egzaminu maturalnego, ktry
nie bdzie mia po-
mysu na rozwizanie zadania, moe liczy na pomoc w postaci
wskazwek oraz komentarzy
towarzyszcych kademu zadaniu, podpowiadajcych kolejne etapy
rozwizania
i uzasadniajcych przyjt strategi. Do wszystkich zada zamknitych
podano prawidowe
odpowiedzi, co pozwoli uczniowi sprawdzi poprawno ich
rozwizania. Do zada otwar-
tych przedstawiono pene rozwizania, niekiedy na kilka sposobw.
Tym samym ucze bez
pomocy nauczyciela, podajc za wskazwkami i ledzc poszczeglne
etapy rozwizania,
bdzie w stanie pokona zasadnicze trudnoci zadania lub w peni je
rozwiza.
Ponadto do kadego zadania podano wymagania egzaminacyjne oglne i
szczegowe
z obecnie obowizujcej Podstawy programowej dla III (gimnazjum) i
IV (szkoa ponadgim-
nazjalna) etapu ksztacenia.
Mamy nadziej, e proponowany zbir zada bdzie pomocny uczniom w
przygotowaniu si
do egzaminu maturalnego z matematyki, a nauczycielom pozwoli
wzbogaci proces naucza-
nia o ciekawe zadania i uatwi im realizacj najwaniejszego celu
ksztacenia matematyczne-
go: ucze koczcy kolejny etap edukacyjny bdzie zna i rozumia
pojcia matematyczne,
ale przede wszystkim bdzie umia stosowa wiedz teoretyczn w
rozwizywaniu proble-
mw, rwnie w zagadnieniach osadzonych w kontekcie
praktycznym.
Autorzy
1. Zadania 5
1. Zadania
1.1. Liczby rzeczywiste i wyraenia algebraiczne. Rwnania i
nierwnoci
Zadanie 1.
Na pocztku roku akademickiego mczyni stanowili 40% wszystkich
studentw. Na koniec
roku liczba wszystkich studentw zmalaa o 10% i wwczas okazao si,
e mczyni sta-
nowi 1
33 %3
wszystkich studentw. O ile procent zmienia si liczba mczyzn na
koniec
roku w stosunku do liczby mczyzn na pocztku roku?
Komentarz do zadania
Najpierw musisz ustali, jakim procentem (bd uamkiem) liczby
wszystkich studentw
przyjtych na pocztku roku jest liczba mczyzn na koniec roku.
Jeli liczba studentw na
pocztku roku wynosi x i wrd nich jest 40% mczyzn, to liczba
mczyzn w zalenoci
od x wynosi x4,0 . Na koniec roku liczba wszystkich studentw
zmniejszya si o 10%. Za-
tem ile wyniosa w zalenoci od x ? Mczyni stanowili wtedy %3
133 tej liczby studentw,
czyli ile w zalenoci od x ? Nastpnie musisz policzy, jakim
procentem (bd uamkiem)
liczby mczyzn na pocztku roku (100%) jest liczba mczyzn na
koniec roku. Teraz ju
mona odpowiedzie na pytanie, o ile procent zmienia si liczba
mczyzn na koniec roku
w stosunku do liczby mczyzn na pocztku roku.
Rozwizanie
Przeprowadzamy analiz zadania.
Liczba studentw Liczba mczyzn
Pocztek roku x x4,0
Koniec roku x9,0 xxx 3,0
10
9
3
19,0%
3
133
Ustalamy, jakim procentem liczby mczyzn na pocztku roku jest
liczba mczyzn na koniec
roku:
0,4 100%,
0,3 %.
x
x p
Zatem %75p .
Liczba mczyzn na koniec roku zmalaa o %25 w stosunku do liczby
mczyzn na pocztku roku.
6 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 2.
Funkcja f jest funkcj kwadratow. Zbiorem wszystkich rozwiza
nierwnoci 0f x
jest przedzia 1,5 . Rozwi nierwno ( 3) 0f x .
Komentarz do zadania
Czy wiesz, jak moe wyglda wykres funkcji kwadratowej, ktrej
zbiorem rozwiza nie-
rwnoci ( ) 0f x s liczby rzeczywiste z przedziau 1,5 ?
Aby rozwiza zadanie, naszkicuj wykres funkcji ( 3)y f x .
Z podanego wzoru wynika, e naley wykres funkcji f przesun w lewo
wzdu osi Ox o trzy
jednostki. Miejscami zerowymi bd odpowiednio liczby 2x i 2x
.
Drug czynnoci bdzie przeksztacenie wykresu funkcji ( 3)y f x
przez symetri
wzgldem osi Ox. Zauwa, e to przeksztacenie zmienia kierunek
ramion paraboli, ale nie
zmienia punktw lecych na osi Ox, wic liczby 2x i 2x s miejscami
zerowymi funkcji ( 3)y f x .
Zadanie 3.
Warto wyraenia 3 34 16
8
jest rwna
A.
1
32 B. 1
22 C. 12 D. 22
Zadanie 4.
Odwrotnoci liczby
4
312 2
8
jest liczba
A. 211
2 B. 211
2
C. 211
2
D. 211
2
Zadanie 5.
Liczba
113 1 344 2 16 jest rwna
A. 1
62 B. 1
42 C. 1
32 D. 11
122
1 5 x
f
1. Zadania 7
Zadanie 6.
Dane s liczby log3a , log 2b . Wyznacz logarytm dziesitny z
liczby 72 za pomoc
a i b.
Zadanie 7.
Liczba o 2 wiksza od liczby 5log 4 jest rwna
A. 5log 6 B. 5log 8 C. 5log 29 D. 5log 100
Zadanie 8.
Na lokacie zoono 1000 z przy rocznej stopie procentowej p%
(procent skadany). Odsetki
naliczane s co kwarta. Po upywie roku wielko kapitau na lokacie
bdzie rwna
A.
100
411000
pB.
4
10011000
pC.
40011000
p D.
4
40011000
p
Zadanie 9.
Dany jest trjkt o bokach dugoci a, b, c. Stosunek : :a b c jest
rwny 3:5: 7 . Ktre zdanie jest faszywe?
A. Liczba c jest o 12,5% mniejsza od liczby a b .
B. Liczba a stanowi 20% liczby a b c .
C. Liczba a stanowi 25% liczby b c
D. Liczba b to 60% liczby c.
Zadanie 10.
Nominalna stopa oprocentowania lokaty wynosi 3% w stosunku
rocznym (bez uwzgldnieniapodatku). Odsetki kapitalizowane s na
koniec kadego kolejnego okresu czteromiesicznego.
Oblicz, jak kwot wpacono na t lokat, jeli na koniec omiu miesicy
oszczdzania
na rachunku lokaty byo o 916,56 z wicej ni przy jej
otwarciu.
Zadanie 11.
W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniaa si liczba
uczniw. W pierwszym roku
liczba uczniw zmalaa i na koniec roku bya o 10% mniejsza ni na
pocztku. W drugim
roku wzrosa i ukoczyo go 20% wicej uczniw ni pierwszy. O ile
procent, w stosunku do
liczby uczniw koczcych drugi rok, zmniejszya si ich liczba w
nastpnym roku, jeli na
koniec trzeciego roku byo tyle samo uczniw co na pocztku
pierwszego? Wynik zaokrglij
do 0,1% .
Zadanie 12.
Autobus nazywamy przepenionym, jeeli w pewnym momencie znajduje
si w nim co naj-
mniej 50 pasaerw. Dwch inspektorw monitoruje liczb pasaerw w
tych samych dzie-
siciu autobusach. Jeden z nich obliczy, jaki procent wszystkich
autobusw stanowi autobu-
sy przepenione, a drugi jaki procent wszystkich pasaerw w 10
autobusach stanowili
pasaerowie podrujcy przepenionymi pojazdami. Wiadomo, e liczba
autobusw prze-
penionych naley do zbioru 1,2,...,9. Ktry z inspektorw otrzyma
wiksz liczb?
.
8 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 13.
Dane s liczby
3 33log 2 log 16a ,
3 32log 6 log 18b .
Wyka, e 0a b .
Zadanie 14.
Uzasadnij, e dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x
rnych od 1
3 warto wyrae-
nia 23 3log 3 log 9x xx x jest wiksza od 2.
Zadanie 15.
Na rysunku przedstawiono wykresy trzech parami przecinajcych si
prostych.
Te proste to
A.
1783
113
12
yx
yx
yx
B.
1783
113
12
yx
yx
yx
C.
1783
113
12
yx
yx
yx
D.
1783
113
12
yx
yx
yx
1. Zadania 9
Zadanie 16.
Dany jest trjkt ABC, ktrego boki zawieraj si w prostych o
rwnaniach: 1
12
y x ,
7y x oraz 0y . Oblicz pole trjkta ABC.
Zadanie 17.
Wyznacz takie liczby a i b, dla ktrych ukad rwna 2
4 2 0
0
x y
ax y b
jest sprzeczny, za
ukad rwna 2
4 2 0
0
x y
b x y a
ma nieskoczenie wiele rozwiza.
Zadanie 18.
Rozwizaniem ukadu rwna pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
jest para rnych
dodatnich liczb cakowitych. Jednym z rwna tego ukadu jest 2 6x y
. Wyznacz drugie
rwnanie ukadu, wiedzc, e jest to rwnanie prostej przechodzcej
przez pocztek ukadu
wsprzdnych.
Zadanie 19.
Wrd podanych poniej nierwnoci wska t, ktrej zbiorem rozwiza jest
przedzia
3,1 .
A. 32 xx B. 14 xx C. 13 xx D. 31 xx
Zadanie 20.
W tabelce podano wartoci funkcji kwadratowej 2( )f x ax bx c dla
wybranych trzech
argumentw.
x 0 1 6
f(x) 1
22
0 1
22
Rozwi nierwno ( ) 0f x .
Zadanie 21.
Rozwamy prostokt o polu mniejszym od 24, w ktrym jeden bok jest
od drugiego duszy
o 5. Oblicz dugo duszego boku prostokta, jeli jest ona liczb
cakowit parzyst.
10 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 22.
Rwnanie 3 2 34 3 2
x
x
nie ma takiego samego rozwizania, jak rwnanie
A. 6 2 3 4 3x x
B. 2
6 3 4 33
x x
C. 9 2 2 4 3x x
D. 3
3 2 4 32
x x
Zadanie 23.
Do wyraenia 1
1x okrelonego dla 1x dodano jego odwrotno. Oblicz x, dla
ktrego
otrzymana suma jest rwna 2.
Zadanie 24.
Do napeniania basenu su dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajno o
20% wiksz ni
druga. Napenienie pustego basenu tylko drug pomp trwa o 1 godzin
i 40 minut duej ni
przy uyciu tylko pierwszej pompy. Oblicz, jak cz pustego basenu
napeni w cigu jed-
nej godziny obie pompy, pracujc jednoczenie.
Zadanie 25.
Na rysunku obok jest przedstawiony fragment wy-
kresu funkcji kwadratowej f. Osi symetrii paraboli
jest prosta o rwnaniu 3x .
Rozwizaniem nierwnoci 0f x jest zbir
A. 0, 3
B. 3, 3
C. 6, 3
D. 9,3
Zadanie 26.
Funkcja W jest okrelona wzorem 43 2W x x bx a dla wszystkich
liczb rzeczywistych.
Rwno 1 1 0W W zachodzi, gdy
A. 2
3a B.
3
2a C. 1a D. 1a
x
y
3
3
f
1. Zadania 11
Zadanie 27
Na tablicy zapisano nastpujce potgi: 2222 ,
2222
,
2 222 , 2
222 .
Ile rnych liczb reprezentuj te zapisy?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
1.2. Funkcje
Zadanie 28.
Wyznacz wzr funkcji kwadratowej f w postaci oglnej, wiedzc, e
zbiorem wartoci tej
funkcji jest przedzia , 1 , a warto 5 osiga ona dla dwch
argumentw: 2 i 10.
Komentarz do zadania
Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej, ktra spenia warunki podane
w zadaniu. Zbir war-
toci tej funkcji to przedzia 1, , zatem ramiona paraboli
skierowane s w d. Wiesz,e wykres tej funkcji przechodzi przez
punkty 5,2 i 5,10 . Zauwa, e punkty te lesymetrycznie wzgldem
pewnej prostej osi symetrii paraboli. Wierzchoek paraboli ley
na
tej prostej. Dziki temu moesz ju poda pierwsz wsprzdn wierzchoka
tej paraboli.
Drug odczytasz ze zbioru wartoci funkcji f . Chocia twoim
zadaniem jest napisanie wzoru
funkcji w postaci oglnej, to jednak na pocztku bardziej pomocna
bdzie posta kanoniczna.
Napisz t posta, wstawiajc odpowiednio wyznaczone wczeniej
wsprzdne wierzchoka
paraboli. Do obliczenia pozosta jeszcze wspczynnik a . Czy
wiesz, jak go wyliczy? Jeli
nie, to skorzystaj z faktu, e do paraboli naley np. punkt 5,2 .
Po wyliczeniu a pozostajejeszcze doprowadzi wzr do postaci
oglnej.
Rozwizanie
Wykorzystujemy wasno paraboli dotyczc symetrii wzgldem prostej
px , gdzie
62
102
p .
Zatem wierzchoek paraboli ma wsprzdne 1,6 W .
1)6 2 .
Wykorzystujemy fakt, e do wykresu funkcji naley punkt 5,2 :
1)62(5 2 a ,
4
1a ;
1034
11)6(
4
1)( 22 xxxxf .
Wzr funkcji moemy przedstawi w postaci f (x) = a(x
12 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 29.
Na rysunku s przedstawione fragmenty wykresw funkcji
kwadratowych f i g. Funkcja f jest
okrelona wzorem 2 6 5f x x x , a mniejsze z jej miejsc zerowych
jest jednoczenie
miejscem zerowym funkcji g. Wierzchoek W paraboli, ktra jest
wykresem funkcji f, ley na
wykresie funkcji g, a wierzchoek Z paraboli bdcej wykresem
funkcji g ley na osi Oy uka-
du wsprzdnych.
Wyznacz wzr funkcji g.
Komentarz do zadania
Wykorzystaj podany wzr funkcji f i oblicz miejsca zerowe (moesz
wykorzysta wzory na
pierwiastki trjmianu kwadratowego). Otrzymasz w ten sposb jedno
z miejsc zerowych
funkcji g. Wyznacz wsprzdne wierzchoka W paraboli bdcej wykresem
funkcji f. Wyko-
rzystaj teraz informacj, e punkt W ley na wykresie funkcji
g.
Co wynika z faktu, e wierzchoek Z paraboli bdcej wykresem
funkcji g ley na osi Oy
ukadu wsprzdnych?
Zadanie 30.
Rnica najwikszej i najmniejszej wartoci, jakie funkcja
kwadratowa
21
2 62
f x x x
przyjmuje w przedziale 3,k dla 0k jest rwna 1
42
. Oblicz k.
Komentarz do zadania
Zauwa, e ramiona paraboli bdcej wykresem funkcji 21
2 62
f x x x s skierowane
w d. Najwiksz wartoci tej funkcji rozpatrywanej w zbiorze liczb
rzeczywistych jest
q f p , gdzie ,p q s wsprzdnymi wierzchoka paraboli.
Oblicz pierwsz wsprzdn wierzchoka paraboli i sprawd, czy naley
do przedziau
3,k a nastpnie oblicz najwiksz warto, jak przyjmuje ta
funkcja.
x
y
0
y = g (x)
y = f (x)
W
Z
1. Zadania 13
Najmniejsz warto funkcji obliczysz, wykorzystujc dan w zadaniu
rnic midzy naj-
wiksz i najmniejsz wartoci tej funkcji w przedziale 3,k .
Teraz oblicz argument, dla ktrego funkcja f przyjmuje warto
najmniejsz rwn 1
32
.
U i rozwi rwnanie oraz wybierz odpowied speniajc warunki
zadania.
Zadanie 31.
Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji f, a na rysunku
2. wykres funkcji g.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
0
y = f (x)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
0
y = g (x) y = g (x)
Rys. 1. Rys. 2.
Funkcja g jest okrelona wzorem
A. g x f x B. g x f x C. 4g x f x D. 4g x f x
Zadanie 32.
Wyznacz warto najwiksz funkcji 2
1
4 5f x
x x
w przedziale 1,3 .
Zadanie 33.
Funkcja f, ktrej dziedzin jest zbir 1,5 , jest okrelona wzorem 2
6 5f x x x .
Wyznacz zbir wszystkich wartoci funkcji f.
Zadanie 34.
Wykres funkcji kwadratowej f przecina o Ox w punktach 1x oraz 3x
i przechodzi
przez punkt 0, 3 . Wykres ten przesunito i otrzymano wykres
funkcji kwadratowej
g x f x p . Wierzchoek funkcji g ley na osi Oy . Wyznacz wzr
funkcji g.
1
14 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 35.
Parabola, ktra jest wykresem funkcji kwadratowej 2f x ax bx c ,
przechodzi przez
punkt 2,10 oraz 1 3 0.f f Oblicz odlego wierzchoka paraboli od
pocztku
ukadu wsprzdnych.
Zadanie 36.
Dana jest funkcja kwadratowa 2 4 1f x ax x . Wierzchoek
paraboli, ktra jest wykre-
sem tej funkcji, ley na prostej o rwnaniu 5y . Oblicz wsprzdne
tego wierzchoka.
Zadanie 37.
Zbiorem wartoci funkcji kwadratowej 21
23
f x x x c jest przedzia ,7 . Zatem
wspczynnik c jest rwny
A. 3 B. 4 C. 7 D. 10
Zadanie 38.
Najwiksza warto funkcji kwadratowej 2
2 4f x a x , gdzie 0a , w przedziale
domknitym 4, 2 jest rwna 12. Wyznacz najmniejsz warto funkcji f
w przedziale
4, 2 .
Zadanie 39.
Funkcja kwadratowa f, ktrej miejscami zerowymi s liczby 2 i 4,
dla argumentu 1 przyjmu-
je warto 3. Uzasadnij, e wykres funkcji f ma dwa punkty wsplne z
prost 2y .
Zadanie 40.
Wierzchoki trjkta ABC le na paraboli, ktra jest wykresem pewnej
funkcji kwadratowej f
(zobacz rysunek).
Pole trjkta jest rwne 8, punkt 1,4C jest wierzchokiem paraboli,
a punkty A i B le na
osi Ox. Wyznacz wzr funkcji f.
1. Zadania 15
Zadanie 41.
W ukadzie wsprzdnych na paszczynie rysujemy
amane. Kolejne wierzchoki kadej z tych amanych to
punkty:
1 0,0A , 2 1,0A , 3 1, 1A ,
4 1, 1A , 5 1,1A , 6 2,1A ,
i tak dalej. Na rysunku obok jest przedstawiona amana
skadajca si z dziesiciu odcinkw, ktrej ostatnim
wierzchokiem jest punkt 11 3, 3A .
Funkcja f przyporzdkowuje kadej liczbie naturalnej
1n dugo amanej zoonej z 2n odcinkw, czyli takiej, ktrej
pocztkowym wierzcho-
kiem jest punkt 1A , a kocowym 2 1nA . Wyznacz wzr funkcji f
oraz oblicz jej warto dla
33n .
Zadanie 42.
Dany jest trjkt prostoktny o ktach ostrych i , w ktrym 6
sin3
. Wtedy
A. 3
cos2
B. 6
cos3
C. 3
tg3
D. 6
tg2
Zadanie 43.
Dana jest liczba sin72a . Zapisz liczb 21+tg 72 w zalenoci od
a.
Zadanie 44.
Oblicz warto wyraenia 2sin 3cos
3cos 5sin
, jeli wiadomo, e jest ktem ostrym oraz
tg 3 .
Zadanie 45.
Kty i s ktami ostrymi w trjkcie prostoktnym i 2
cos5
. Oblicz tg sin .
Zadanie 46.
Dla pewnego kta ostrego funkcje trygonometryczne sinus i cosinus
maj wartoci
1sin
4a ,
1cos
4a . Uzasadnij, e
4 7tg
3
.
0 A1 A2
A3 A4
A6
A7 A8
A9 A10
1 x
y
1
A11
16 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 47.
Kt jest ktem ostrym oraz 2
cos3
. Wyka, e rednia arytmetyczna liczb: sina ,
1
2b oraz
tg
3c
jest rwna
5 1
6
.
Zadanie 48.
Wyka, e jeeli i s ktami ostrymi takimi, e 35
sin6
oraz tg 35 , to .
Zadanie 49.
Funkcja wymierna f jest dana wzorem 2
2
2 3
3 6
x xf x
x x
. Wyznacz wszystkie wartoci ar-
gumentu, dla ktrych funkcja f przyjmuje warto 2.
Zadanie 50.
Najmniejsz wartoci, jak funkcja kwadratowa f dana wzorem 2f x ax
bx c przyj-
muje w przedziale 0,4 , jest 2f . Uzasadnij, e 0a i 0b .
Zadanie 51.
Funkcja kwadratowa f przyjmuje w przedziale 0,3 najwiksz warto
dla argumentw 0 i 3.
Uzasadnij, e w przedziale 2,5 funkcja f przyjmuje najwiksz warto
dla argumentw
2 i 5.
1.3. Cigi
Zadanie 52.
Oblicz sum wszystkich parzystych liczb cakowitych dodatnich nie
wikszych od 1000
i niepodzielnych przez 3.
Komentarz do zadania
Moesz obliczy sum wszystkich liczb cakowitych parzystych nie
wikszych od 1000
i odj od niej sum liczb parzystych podzielnych przez 3.
Ile jest liczb cakowitych dodatnich parzystych nie wikszych od
1000? Jaki cig tworz te
liczby? Oblicz jego sum.
Ile jest liczb cakowitych dodatnich parzystych podzielnych przez
3 (czyli podzielnych przez
6)? Zauwa, e najwiksz liczb parzyst podzieln przez 3 i nie wiksz
od 1000 jest 996.
Skoro liczb od 1 do 996 jest 996, z czego co szsta bdzie
podzielna przez 6, to takich liczb
jest 996 : 6 = 166. Oblicz sum 6 + 12 + 18 + + 996.
Teraz moesz ju obliczy sum wskazanych liczb.
1. Zadania 17
Rozwizanie
Liczb cakowitych dodatnich parzystych nie wikszych od 1000 jest
500. Obliczamy sum
wszystkich liczb naturalnych parzystych nie wikszych od 1000,
korzystajc ze wzoru na su-
m n pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego:
2505005002
10002
.
Liczby cakowite dodatnie parzyste podzielne przez 3 zapisujemy w
postaci: x6 , gdzie x jest liczb cakowit dodatni. Najwiksz liczb
parzyst podzieln przez 3 i nie wiksz
od 1000 jest 996, zatem liczb cakowitych dodatnich podzielnych
przez 6 jest 166 (liczb od 1
do 996 jest 996, z czego co szsta bdzie podzielna przez 6, std
996 : 6 = 166).
Obliczamy sum wszystkich liczb naturalnych parzystych
podzielnych przez 6, korzystajc ze
wzoru na sum n pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego:
831661662
9966
.
Obliczamy sum wszystkich parzystych liczb cakowitych dodatnich
nie wikszych od 1000
i niepodzielnych przez 3:
16733483166250500 .
Odpowied: Suma wszystkich parzystych liczb cakowitych dodatnich
nie wikszych od 1000
i niepodzielnych przez 3 jest rwna 167334.
Zadanie 53.
W pewnym cigu geometrycznym na wyraz 4a jest osiem razy wikszy
od wyrazu 1a . Dru-
gi wyraz tego cigu jest rwny 6. Znajd najmniejsz liczb naturaln
k tak, e 100ka .
Komentarz do zadania
Kady z wyrazw cigu geometrycznego mona przedstawi za pomoc
pierwszego wyrazu
i ilorazu cigu. Zapisujc w ten sposb wyraz 4a oraz podan w
zadaniu zaleno midzy
nim a pierwszym wyrazem, moesz obliczy nieznany iloraz cigu (czy
w danym cigu
pierwszy wyraz lub iloraz moe by rwny 0?). Znajc iloraz i drugi
wyraz cigu, moesz
obliczy pierwszy wyraz i zapisa wzr oglny cigu, a potem zbada
(choby sprawdzajc
kolejne wyrazy), kiedy wyraz cigu jest wikszy od 100.
Zadanie 54.
Trjwyrazowy cig 1, 1,2x x x jest arytmetyczny dla
A. 3x B. 1x C. 0x D. 2x
Zadanie 55.
W cigu arytmetycznym na dla 1n , 1 8a oraz 1 2 3 33a a a . Wtedy
suma
4 5 6a a a jest rwna
A. 44 B. 60 C. 69 D. 93
18 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 56.
Suma n pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego na dana jest
wzorem 2 25
4n
n nS
,
gdzie 1n . Rnica cigu arytmetycznego nb jest rwna 3
2 oraz jego pity wyraz jest
rwny 8. Wyznacz sum 17 pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego nc
, wiedzc, e
82n nc b a , gdzie 1n .
Zadanie 57.
Suma 23 pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego na dla 1n jest
rwna 1564. Ob-
licz redni arytmetyczn wyrazw 3a i 21a .
Zadanie 58.
Dany jest cig arytmetyczny na okrelony dla 1n . Wyka, e cig nb ,
okrelony dla
1n wzorem oglnym 2 42 4n n nb a a jest arytmetyczny.
Zadanie 59.
Skoczony cig arytmetyczny ma nieparzyst liczb wyrazw. Wszystkie
wyrazy tego cigu
s liczbami cakowitymi. Uzasadnij, e rodkowy wyraz jest
dzielnikiem sumy tych wyrazw.
Zadanie 60.
W cigu geometrycznym rosncym pierwszy wyraz jest rwny 16 , a
sidmy wyraz jest
rwny 1
4
. Kwadrat czwartego wyrazu jest rwny
A. 2 B. 4 C.
261
8
D.
265
8
Zadanie 61.
W cigu geometrycznym na , w ktrym 1 1a , znane s wartoci dwch
wyrazw: 16ka
i 2 32ka , gdzie k jest pewn liczb cakowit dodatni. Wyznacz
wyraz 10a .
Zadanie 62.
Kacper przez 5 dni zapisywa swoje wydatki. Zauway, e kadego dnia
wydatki byy nisze
o 20% w stosunku do wydatkw poprzedniego dnia. Oblicz kwot, jak
Kacper wyda w tym
czasie, jeli pitego dnia wyda 20,48 z.
Zadanie 63.
W cigu geometrycznym na o rnych i niezerowych wyrazach rnica
midzy wyrazami
pitym i trzecim jest trzy razy wiksza ni rnica midzy wyrazami
czwartym i trzecim. Ob-
licz iloraz cigu na .
1. Zadania 19
Zadanie 64.
Dany jest cig geometryczny na o wszystkich wyrazach rnych od
zera, okrelony dla
1n . Wyka, e cig nb , okrelony dla 1n wzorem oglnym 2
22n n nb a a , jest
geometryczny.
Zadanie 65.
Dana jest funkcja wykadnicza 2xf x oraz cig o wyrazie oglnym 3na
f n ,
dla 1.n Wyka, e cig na jest geometryczny i oblicz iloraz tego
cigu.
Zadanie 66.
Skoczony cig 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a jest geometryczny.
Uzasadnij, e majc dany tylko wy-
raz rodkowy 3a , mona obliczy iloczyn wszystkich wyrazw tego
cigu.
1.4. Geometria
Zadanie 67.
Trjkt ostroktny ABC jest wpisany w okrg o rodku O i promieniu 4.
Kt CAB jest rwny
ktowi OCB oraz kt CBA jest rwny ktowi OCA. Oblicz dugo wysokoci
CD opuszczo-
nej z wierzchoka C na bok AB.
Komentarz do zadania
Korzystajc z zalenoci midzy ktami wpisanym i rodkowym opartymi
na tym samym
uku, ustal zwizek midzy ktami CAB i BOC. Dziki temu wszystkie
kty trjkta BOC
uzalenisz tylko od kta CAB, co pozwoli go wyznaczy. Podobnie
moesz wyznaczy miar
kta CBA, korzystajc z zalenoci midzy ktami CBA i AOC. W ten
sposb otrzymasz
istotn informacj na temat typu trjkta ABC, ktra pozwoli na
podanie dugoci wysokoci
CD (w jakim trjkcie promie okrgu opisanego jest rwny jednej z
wysokoci?).
Rozwizanie
Oznaczmy kty: ABCCAB , .
Z twierdzenia o kcie rodkowym i wpisanym opartych na tym samym
uku otrzymujemy, e
2COB . Poniewa OBCOCB , otrzymujemy 2
2180
, czyli 45 .
Analogicznie dowodzimy, e 45 .
Wobec tego trjkt ABC jest trjktem prostoktnym rwnoramiennym, co
oznacza, e wyso-
ko CD ma dugo rwn promieniowi, czyli 4CD .
20 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 68.
Podstaw ostrosupa ABCDS jest romb o boku dugoci 3. Krawd boczna
DS ma dugo 4
i jest jednoczenie wysokoci tego ostrosupa. Dugoci pozostaych
trzech krawdzi bocz-
nych s rwne (zobacz rysunek).
Oblicz objto tego ostrosupa.
Komentarz do zadania
Zwr uwag, e wszystkie trzy trjkty ADS, BDS i CDS s prostoktne,
maj wspln
przyprostoktn DS, a krawdzie boczne AS, BS i CS s
przeciwprostoktnymi tych trjktw.
Jakie wic to s trjkty? Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa i
oblicz dugoci wszystkich
bokw kadego z tych trjktw. Zwr uwag na przyprostoktn BD trjkta
BDS, ktra
jest jednoczenie przektn podstawy ostrosupa. Jak ma si dugo tej
przektnej do dugo-
ci boku podstawy ostrosupa?
Rozwizanie
I sposb
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Objto tego ostrosupa jest rwna
A
B
C
S
D
3
3
4 b
b
b
3
3
A
B
C
D
S
1. Zadania 21
.
Zadanie sprowadza si wic do obliczenia pola rombu ABCD.
Poniewa krawd DS jest wysokoci ostrosupa, to trjkty ADS, BDS i
CDS s prostokt-
ne, a DS jest wspln przyprostoktn kadego z nich. Poniewa
krawdzie boczne AS, BS
i CS maj t sam dugo, to trjkty ADS, BDS i CDS maj rwne
przeciwprostoktne.
Zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, e rwne s te
przyprostoktne AD, BD i CD. To
oznacza, e przektna BD rombu ABCD ma tak sam dugo jak bok tego
rombu, wic
trjkty ABD i BCD s rwnoboczne. Pole rombu jest wic rwne
.
Objto ostrosupa jest zatem rwna
.
Odpowied: Objto ostrosupa jest rwna .
II sposb
Poprowadmy wysoko SE ciany bocznej ABS i przyjmijmy oznaczenia
jak na rysunku.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trjkta ADS otrzymujemy
,
,
,
.
Poniewa trjkt ABS jest rwnoramienny, gdy , to spodek E tej
wysokoci jest
rodkiem podstawy AB tego trjkta. Zatem . Z twierdzenia
Pitagorasa dla
trjkta AES otrzymujemy
1 44
3 3ABCD ABCDV P P
23 3 9 32
4 2ABCDP
4 4 93 6 3
3 3 2ABCDV P
6 3
2 2 2AS AD DS
2 2 23 4b
2 25b
5b
AS BS
1 33
2 2AE
A
B
C
S
D
3
3
4 b
b
b
3
3
E
m
22 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
,
,
.
Trjkt EDS jest prostoktny, gdy krawd DS jest prostopada do
paszczyzny podstawy
ostrosupa. Z twierdzenia Pitagorasa dla tego trjkta
otrzymujemy
,
,
,
,
.
Zauwamy, e odcinek DE jest wysokoci rombu ABCD opuszczon z
wierzchoka D na bok
AB, gdy
.
Zatem pole rombu ABCD jest rwne
.
Objto ostrosupa jest zatem rwna
.
Odpowied: Objto ostrosupa jest rwna .
2 2 2AS AE ES
2
2 2352
h
2 91
4h
2 2 2ES ED DS
2 2 24h m
2 91 164
m
2 27
4m
3 3
2m
222 2 23 3 3 9 27
92 2 4 4
AE ED AD
3 3 9 33
2 2ABCDP
4 4 93 6 3
3 3 2ABCDV P
6 3
1. Zadania 23
Zadanie 69.
Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierajca przektn AC rombu
ABCD oraz wierz-
choki 2,1A i 4,5C tego rombu.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
0
A
C
Wska rwnanie prostej zawierajcej przektn BD tego rombu.
A. 2 11
3 3y x B.
34
2y x C. 4y x D.
3 9
2 2y x
Komentarz do zadania
Z pewnoci wiesz, e przektne rombu s prostopade. Aby wyznaczy
rwnanie prostej
zawierajcej przektn BD, moesz najpierw obliczy wspczynnik
kierunkowy prostej za-
wierajcej przektn AC. Jak to zrobi?
Jaki jest wspczynnik kierunkowy prostej BD? Przyjrzyj si teraz
odpowiedziom do zadania.
Na pewno zauwaysz, e poprawna moe by tylko odpowied B albo
D.
Przektne rombu dziel si wzajemnie na poowy, wic prosta BD
przechodzi przez rodek
odcinka AC. Jak obliczy wsprzdne rodka odcinka AC?
Czy znajc wspczynnik kierunkowy prostej oraz wsprzdne punktu,
przez ktry ona prze-
chodzi, potrafisz wyznaczy rwnanie prostej?
Zadanie 70.
Odcinek AB jest rednic okrgu o rodku w punkcie O i promieniu
r (zobacz rysunek).
Ciciwa AC ma dugo 3r , wic
A. 130AOC .
B. 90ABC .
C. 60BOC .
D. 45BAC .
A
B
C
O
24 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 71.
Punkty A, B, C, D, E s pooone w tej kolejnoci na okrgu o rodku O
(zobacz rysunek). Od-
cinki BD i AC s rednicami tego okrgu oraz 60BEC . Oblicz miar
ktaCBD .
Zadanie 72.
Punkty A, B, C, D s pooone w tej kolejnoci na okrgu o rodku O
(zobacz rysunek). Odci-
nek DB jest rednic tego okrgu i BAC , CBD . Wyka, e 90 .
Zadanie 73.
Parami rne punkty A, B, C, D, E le na okrgu. Odcinki DE i AC s
rwnolege, za od-cinek BD jest rednic tego okrgu (zobacz rysunek).
Wyka, e prosta BE zawiera wyso-
ko trjkta ABC opuszczon na bok AC .
1. Zadania 25
Zadanie 74.
Koce odcinka AB o dugoci 9 s rodkami okrgw o promieniach 6 i 4
(zobacz rysunek).
Punkt C ley na odcinku AB i jest rodkiem takiego okrgu, o
promieniu wikszym od 6, e dwa dane okrgi s do niego wewntrznie
styczne. Promie okrgu o rodku C ma dugo
A. 6,5 B. 7,5 C. 8,5 D. 9,5
Zadanie 75.
Dwa okrgi o promieniach r i R s styczne zewntrznie i s styczne
do wsplnej prostej
w punktach A i B (zobacz rysunek). Oblicz warto iloczynu rR,
jeeli wiadomo, e odcinek
AB ma dugo 5.
Zadanie 76.
Dane s dwa okrgi styczne wewntrznie: okrg 1O o rodku S i
promieniu rwnym 6 oraz
okrg 2O o rodku T i promieniu dugoci 2. Z punktu S poprowadzono
pproste styczne do
okrgu 2O w punktach K i L. Oblicz pole czworokta SKTL.
A
B
26 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 77.
Pole trjkta ABC rwne jest S. Kady bok trjkta podzielono w
stosunku x : y : x, gdzie x i y
s pewnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz pole szeciokta, ktrego
wierzchokami s punkty
podziaw bokw trjkta (zobacz rysunek).
Zadanie 78.
Odcinki AD i BE przecinaj si w punkcie C . W trjktach ABC i CDE
zachodz zwiz-
ki: CAB CED , 5AC , 3BC , 10CE (zobacz rysunek). Wyka, e
trjkty
ABC i CDE s podobne. Oblicz dugo boku CD .
Zadanie 79.
Dany jest trjkt prostoktny ABC, w ktrym przyprostoktna AC ma
dugo 12. Punkt E jest
rodkiem przeciwprostoktnej AB, spodek D wysokoci CD ley midzy
punktami A i E,
a odlego midzy punktami D i E jest rwna 1 (zobacz rysunek).
Oblicz obwd tego trjkta.
A B
C
D E
12
1
A B
C
K
L M
N
O P
1. Zadania 27
Zadanie 80.
Na rysunku przedstawiono trapez ABCD oraz zaznaczono wysokoci DE
i CF tego trape-
zu. Punkt F jest rodkiem podstawy AB , a punkt E dzieli t
podstaw w stosunku 2 :5 .
Wyka, e punkt przecicia wysokoci CF z przektn DB dzieli t
przektn w stosunku
3: 7 , liczc od wierzchoka D.
Zadanie 81.
W trjkcie ABC o bokach dugoci AC b , BC a i kcie midzy nimi 60
poprowadzo-
no dwusieczn kta ACB, ktra przecia bok AB w punkcie D. Zapisz
dugo odcinka CD
w zalenoci od a i b.
Zadanie 82.
Dany jest trapez prostoktny ABCD taki, e kty przy wierzchokach A
i D s proste oraz
10AB , 6DC , a przektna AC jest dwa razy dusza od ramienia DA .
Na podstawie
AB obrano taki punkt X , e CX CB (zobacz rysunek). Oblicz sinus
kta XCB .
Zadanie 83.
Wyznacz wsprzdne rodka okrgu opisanego na kwadracie, ktrego
jeden z bokw jest
zawarty w prostej o rwnaniu 2 2y x , a punkt 1,5A jest jego
wierzchokiem. Rozwa
wszystkie przypadki.
28 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 84. Dwa boki trjkta prostoktnego ABC s zawarte w
prostych o rwnaniach 2 3y x= oraz
1 54 4
y x= . Wyznacz rwnanie prostej, ktra przechodzi przez punkt (
)4, 2K = i zawiera trzeci bok trjkta ABC. Rozwa wszystkie
moliwoci.
Zadanie 85. Rnica wspczynnikw kierunkowych dwch prostych jest
rwna rnicy odwrotnoci tych wspczynnikw. Uzasadnij, e te proste s
prostopade albo rwnolege.
Zadanie 86.
Punkty A i B , ktrych pierwsze wsprzdne s rwne odpowiednio 2 i 2
, nale do wy-
kresu funkcji 8( ) 3f xx
= + . Oblicz wsprzdne punktu C , wiedzc, e punkt B jest rod-
kiem odcinka AC .
Zadanie 87.
Prosta l przecina okrg o rodku S w punktach 11 2,8
A =
i 31 2,8
B = +
. Punkt S
ley na prostej l. Sprawd, czy punkt S ley na prostej k o rwnaniu
4 0x y = .
Zadanie 88.
Dany jest szeciokt foremny ABCDEF, ktrego rodkiem symetrii jest
punkt ( )3, 3O = , a wierzchoek A ma wsprzdne ( )1, 3 3A = .
Wiadomo, e punkt ( )4, 2 3P = jest rodkiem odcinka BO . Oblicz
wsprzdne pozostaych wierzchokw tego szeciokta.
Zadanie 89.
Punkt ( )2,1M = jest rodkiem boku AB , a punkt ( )8,3N = to
rodek boku BC kwadratu ABCD . Oblicz dugo boku kwadratu ABCD.
Zadanie 90.
Trjkt o wierzchokach ( )6, 0A = , ( )6, 4B = i ( )3, 8C =
przeksztacono przez symetri rodkow wzgldem pocztku ukadu wsprzdnych
i otrzymano trjkt 1 1 1A B C . Oblicz su-m ktw wewntrznych
wielokta, ktry jest czci wspln trjkta ABC i jego obrazu, tj. trjkta
1 1 1A B C .
Zadanie 91. Prosta 0y = jest osi symetrii figury zoonej z dwch
prostych o rwnaniach
( )2y p x q= + i ( )5 2y q x p= + . Wyznacz p i q. Narysuj te
proste w ukadzie wsp-rzdnych.
1. Zadania 29
Zadanie 92.
Dany jest trapez rwnoramienny ABCD , niebdcy rwnolegobokiem, w
ktrym AB ||CD
oraz 9,7A , 3,1B , 3,10D . Trapez 1 1 1 1A B C D jest obrazem
trapezu ABCD
w symetrii rodkowej wzgldem pocztku ukadu wsprzdnych. Wyznacz
wsprzdne
wierzchokw trapezu 1 1 1 1A B C D oraz rwnanie osi symetrii tego
trapezu.
Zadanie 93.
Punkt P ley wewntrz trjkta o wierzchokach 6,0A , 0,4B i 0,0C .
Oznaczmy
przez ACP obraz punktu P w symetrii osiowej wzgldem prostej AC,
a przez BCP obraz punktu
P w symetrii osiowej wzgldem prostej BC. Uzasadnij, e punkty ACP
, C i BCP le na jednej
prostej.
Zadanie 94.
Przedstawiona na rysunku brya skada si z walca i pkuli. Wysoko
walca jest taka, jak
promie jego podstawy i jest rwna R.
Objto tej bryy jest rwna
A. 3R B. 35
3R C. 3
2
3R D. 32 R
Zadanie 95.
Podstaw graniastosupa prostego czworoktnego ABCDEFGH jest
kwadrat ABCD (zobacz
rysunek).
Kt AHC midzy przektnymi ssiednich cian bocznych ma 50. Kt DBG
midzy przektn
podstawy a przektn ciany bocznej jest rwny
A. 60 B. 65 C. 75 D. 80
G
C
A B
D
E F
H
R R
R
30 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 96.
Dany jest ostrosup prawidowy czworoktny ABCDS, ktrego ciany
boczne s trjktami
rwnobocznymi. Punkty G, E i F s odpowiednio rodkami odcinkw AD,
BC i CS (zobacz
rysunek).
Ktem midzy przeciwlegymi cianami bocznymi jest kt
A. DFE B. GES C. ESG D. ASC
Zadanie 97.
Wysoko graniastosupa prawidowego trjktnego ABCDEF
(zobacz rysunek) jest rwna 8, a tangens kta midzy wysoko-
ci trjkta ABF poprowadzon z wierzchoka F i paszczyzn
podstawy ABC tego graniastosupa jest rwny 4 3
3. Oblicz pole
trjkta ABF.
Zadanie 98.
Objto graniastosupa prawidowego trjktnego, w ktrym krawd
podstawy ma du-
go 4, jest rwna 16 6 (zobacz rysunek).
Oblicz miar kta nachylenia przektnej ciany bocznej do ssiedniej
ciany bocznej.
A B
C
S
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
1. Zadania 31
Zadanie 99.
W graniastosupie prawidowym szecioktnym krtsza przektna
graniastosupa jest nachy-
lona do paszczyzny podstawy pod ktem takim, e 2
sin7
. Oblicz miar kta , jaki
tworzy dusza przektna tej bryy z paszczyzn podstawy.
Zadanie 100.
Dany jest ostrosup prawidowy trjktny o krawdzi podstawy dugoci 6
3 oraz krawdzi
bocznej dugoci 12. Wyznacz miar kta midzy cianami bocznymi tego
ostrosupa. Wynik
podaj z dokadnoci do 2 .
Zadanie 101.
W ostrosupie prawidowym czworoktnym kt pomidzy wysokoci
ostrosupa
a wysokoci ciany bocznej jest rwny 30 . Promie okrgu opisanego
na podstawie jest
rwny 2 2 . Oblicz sinus kta nachylenia krawdzi bocznej ostrosupa
do paszczyzny pod-
stawy.
Zadanie 102.
W stoku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest
rwny 3
2. Oblicz sinus
kta midzy tworzc a paszczyzn podstawy tego stoka.
K J
D
A
E
B
C F
G H
L I
32 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 103.
W trjkcie ABC punkt D jest rodkiem boku AB oraz CD CB (zobacz
rysunek). Bok CB
przeduono tak, e CB BE . Wyka, e AC DE .
Zadanie 104.
Tworzca stoka o kcie rozwarcia ma dugo 8. Pole powierzchni
cakowitej tego stoka
jest rwne 48 . Oblicz objto stoka oraz miar kta .
Zadanie 105.
Dany jest graniastosup prawidowy czworoktny ABCDEFGH o krawdzi
podstawy dugoci
4 2 oraz krawdzi bocznej rwnej 8. Graniastosup przecito
paszczyzn przechodzc
przez rodki krawdzi AD i DC oraz przez wierzchoek H (zobacz
rysunek). Oblicz pole
otrzymanego przekroju.
A B
C
D
E
1. Zadania 33
Zadanie 106.
W szecianie 1 1 1 1ABCDA BC D przektna 1AC tworzy z paszczyzn
ABCD kt . Punkty L i J
s odpowiednio rodkami krawdzi 1DD i 1BB oraz 2LAJ . Uzasadnij, e
cos tg .
Zadanie 107.
W ostrosupie prawidowym trjktnym krawd podstawy jest 2 razy
dusza od wysokoci
ostrosupa poprowadzonej na t podstaw. Wyznacz kt nachylenia
ciany bocznej do pod-
stawy.
Zadanie 108.
Dany jest ostrosup prawidowy czworoktny, ktrego wysoko ma dugo H
oraz kt mi-
dzy krawdzi boczn i paszczyzn podstawy jest rwny 60 . Wyznacz
wzr na pole po-wierzchni bocznej tego ostrosupa w zalenoci od
wysokoci H.
Zadanie 109.
W stoku rnica dugoci tworzcej i promienia podstawy jest rwna 6.
Cosinus kta
midzy tworzc a paszczyzn podstawy tego stoka jest rwny 2
5. Oblicz pole powierzchni
bocznej tego stoka.
Zadanie 110.
Graniastosup prawidowy czworoktny ABCDEFGH o krawdzi podstawy
dugoci 5 oraz
krawdzi bocznej dugoci 5 6 przecito paszczyzn przechodzc przez
wierzchoek A oraz
punkty L oraz J lece na przeciwlegych krawdziach bocznych w
rwnych odlegociach od
dolnej podstawy. Otrzymany przekrj jest czworoktem AJKL, ktrego
przektna AK tworzy
z paszczyzn podstawy kt (zobacz rysunek). Zapisz pole tego
przekroju w zalenoci od
kta . Jakie wartoci przyjmuje ?
A B
C D
E F
G H
J
K
L
34 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 111.
Dana jest prosta o rwnaniu 1
2y x b , gdzie 0b przecina o Oy w punkcie A, za o Ox
w punkcie B (zobacz rysunek). Pole trjkta AOB wyznaczonego przez
t prost i osie ukadu
wsprzdnych jest rwne 16. Oblicz wsprzdne rodka okrgu opisanego
na trjkcie AOB.
Zadanie 112.
Punkty 7,6A i 1, 2B s wierzchokami trjkta rwnobocznego ABC.
Promie koa
opisanego na tym trjkcie jest rwny
A. 5 3
6 B.
5 3
3 C.
10 3
6 D.
10 3
3
Zadanie 113.
Trjkt T jest podobny do trjkta 1T w skali 1
6k , a trjkt 2T jest podobny do trjkta T
w skali 3k . Pole trjkta 2T jest rwne 24. Trjkt 1T ma pole
rwne
A. 12 B. 48 C. 72 D. 96
Zadanie 114.
Punkt 2,7A jest wierzchokiem kwadratu ABCD, a punkt 6,5S jest
rodkiem okrgu
opisanego na tym kwadracie. Bok tego kwadratu ma dugo
A. 10 B. 20 C. 2 10 D. 2 20
Zadanie 115.
W trjkcie prostoktnym ABC kt przy wierzchoku A jest prosty oraz
1
sin3
ABC . Ob-
licz tg ABC .
x
y
O
A
B
1
2
y x b
1. Zadania 35
Zadanie 116.
Do okrgu o rodku O poprowadzono z zewntrznego punktu P dwie
styczne przecinajce si
w P pod ktem 50 (zobacz rysunek). Punktami stycznoci s,
odpowiednio, punkty A i B.
Kt AOB ma miar
A. 90 B. 120 C. 130 D. 150
Zadanie 117.
Na paszczynie dane s trzy punkty: 1,1A , 5, 3B oraz 3,2C .
Wyznacz rw-
nanie rodkowej poprowadzonej do boku AB w trjkcie ABC.
Zadanie 118.
Wykres funkcji kwadratowej f danej wzorem 22 5 3f x x x przecito
prostymi
o rwnaniach 1x oraz 2x . Oblicz odlego midzy punktami przecicia
tych prostych z wykresem funkcji f.
Zadanie 119.
Niech prosta k bdzie dana rwnaniem 2 1y x . Uzasadnij, e jej
obrazem w symetrii rod-
kowej wzgldem pocztku ukadu wsprzdnych jest prosta do niej
rwnolega.
1.5. Teoria prawdopodobiestwa i kombinatoryka
Zadanie 120.
W pojemniku jest 10 kul, w tym b kul biaych i 10 b kul czarnych,
gdzie 5b . Z tego pojem-nika losujemy dwa razy po jednej kuli ze
zwracaniem. Wyka, e prawdopodobiestwo zdarze-
nia polegajcego na tym, e otrzymamy dwie kule tego samego
koloru, jest wiksze od 1
2.
Komentarz do zadania
Losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem, czyli losujemy
pierwsz kul z 10 i drug
te z 10. Ile bdzie wszystkich moliwych par kul w takim
losowaniu? Zastosuj regu mno-
enia. Obliczysz w ten sposb moc zbioru wszystkich zdarze
elementarnych .
Niech zdarzenie A polega na tym, e otrzymamy kule tego samego
koloru. Na ile sposobw
mona wylosowa dwie kule biae, jeli w pojemniku jest b kul
biaych? (losujemy najpierw
jedn z b kul, potem drug rwnie z b kul). Na ile sposobw mona
wylosowa dwie kule
A
B
P
50o
. O
36 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
czarne, jeli w pojemniku jest 10 b kul czarnych? Ile razem bdzie
par kul tego samego
koloru? W ten sposb wyznaczysz moc zdarzenia A.
Korzystajc z klasycznej definicji prawdopodobiestwa, oblicz
prawdopodobiestwo zdarze-
nia A.
Twoim zadaniem jest wykazanie, e prawdopodobiestwo zdarzenia A
jest wiksze od 1
2.
Zapisz odpowiedni nierwno i przekszta j do postaci, w ktrej po
jednej stronie bdzie
liczba 0. Przyjrzyj si drugiej stronie tej nierwnoci; czy
dostrzegasz wzr skrconego mno-
enia? Zastosuj go i wyka, e nierwno jest prawdziwa.
Rozwizanie
jest zbiorem wszystkich par o wartociach w zbiorze
10-elementowym. Jest to mo-
del klasyczny. .
Oznaczmy przez A zdarzenie polegajce na otrzymaniu kul tego
samego koloru.
Mamy dwa rozczne przypadki:
otrzymamy dwa razy kul bia,
otrzymamy dwa razy kul czarn.
Std
oraz
.
Mamy wykaza, e .
Przeksztacamy nierwno rwnowanie:
,
,
,
,
.
Ostatnia nierwno jest prawdziwa, bo z zaoenia .
Uwaga: Mona te obliczy i wykaza, e .
,x y
2
10 100
22 210 2 20 100A b b b b
2 22 20 100 10 50( )
100 50
b b b bP A
2 10 50 1
50 2
b b
2 10 50 1
50 2
b b
22 20 100 50b b
22 20 50 0b b
2 10 25 0b b
2
5 0b
5b
2 10( )
100
b bP A
1( )
2P A
1. Zadania 37
Zadanie 121.
Wykonano pomiary wysokoci czterech krzese i kade dwa rezultaty
byy rne. Adam zapi-
sa wyniki w metrach i odchylenie standardowe jego danych byo
rwne A . Bogdan zapisa
te wyniki w centymetrach i odchylenie standardowe jego danych
byo rwne B . Wynika
std, e
A. 10A B B. 100A B C. 10 A B D. 100 A B
Komentarz do zadania
Wzr, za pomoc ktrego moesz obliczy odchylenie standardowe
danych, moesz znale
w zestawie Wybrane wzory matematyczne.
Zauwa, e jeeli przez 1 2 3 4, , ,x x x x oznaczymy kolejne
wyniki zapisane przez Adama w me-
trach, a przez 1 2 3 4, , ,y y y y kolejne wyniki zapisane przez
Bogdana w centymetrach, to
100k ky x dla 1,2,3,4k . Sprawd, e_ _
100y x .
Zapisz wzr na odchylenie standardowe danych Bogdana:
2 2 2 2_ _ _ _
1 2 3 4
4B
y y y y y y y y
.
Skorzystaj z zalenoci 100k ky x dla 1,2,3,4k oraz_ _
100y x .
Zadanie 122.
Dany jest zbir 1,2,...,2 ,2 1A n n , gdzie 1n , zoony z 2 1n
kolejnych liczb natural-
nych. Wyka, e liczba wszystkich par ( , )a b takich, e a A , b A
i a b oraz suma a b
jest nieparzysta, jest wiksza od liczby par, ktrych suma jest
parzysta.
Komentarz do zadania
Tworzymy wszystkie pary liczb ,a b takie, e a b oraz ,a b nale
do zbioru
{1,2,3,...,2 ,2 1}A n n .
Ile w podanym zbiorze jest liczb parzystych, a ile
nieparzystych, skoro wszystkich liczb jest
2 1n i ostatnia jest liczb nieparzyst?
Zastanw si, kiedy suma dwch liczb naturalnych jest parzysta.
Podpowiem, e obie musz
by parzyste albo obie nieparzyste. Oblicz, ile jest takich par
rnych liczb nalecych do
zbioru A, ktrych suma jest parzysta. Skorzystaj z reguy
mnoenia.
Zastanw si, kiedy suma dwch liczb naturalnych jest nieparzysta.
Podpowiem, e jedna
musi by parzysta, a druga nieparzysta. Oblicz, ile jest takich
par liczb nalecych do zbioru
A, ktrych suma jest nieparzysta. Pamitaj o tym, e tworzymy pary
uporzdkowane, czyli
para (parzysta, nieparzysta) jest inna ni para (nieparzysta,
parzysta). Skorzystaj z reguy
mnoenia.
Teraz, po przeprowadzeniu tych oblicze, uzasadnij tez.
38 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 123.
Rzucono 100 razy szecienn kostk do gry. rednia arytmetyczna
liczb oczek w pierwszych
40 rzutach bya rwna 3,75, a rednia arytmetyczna liczb oczek w
kolejnych 60 rzutach bya
rwna 4,25. rednia arytmetyczna liczb oczek w 100 rzutach
jest
A. mniejsza od 4
B. rwna 4
C. rwna 4,05
D. wiksza od 4,05
Zadanie 124.
Zestaw danych: 1 2 3, , ,..., nx x x x ma redni arytmetyczn a i
odchylenie standardowe s.
Wyka, e zestaw danych: 31 2, , ,..., nx a x ax a x a
s s s s
ma redni arytmetyczn 0.
Zadanie 125.
Adam otrzyma z trzech kolejnych klaswek nastpujce oceny: 6, 4,
4. Oblicz, jak ocen
otrzyma Adam z czwartej klaswki, jeeli odchylenie standardowe
otrzymanych ocen jest
rwne 11
16.
Zadanie 126.
Wszystkich par ( , )a b takich, e 1,2,3,4,5,6,7a i
1,2,3,4,5,6,7,8,9b oraz suma
a b jest podzielna przez 3, jest
A. mniej ni 21
B. dokadnie 21
C. dokadnie 22
D. wicej ni 22
Zadanie 127.
Liczb ze zbioru 1,2,3,...,36Z , ktrych nie mona uzyska jako
iloczynu dwch nieko-
niecznie rnych liczb ze zbioru 1,2,3,...,6 , jest
A. 8 B. 16 C. 18 D. 19
1. Zadania 39
Zadanie 128.
Liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie ktrych kada cyfra
wystpuje co najwyej raz
oraz suma cyfry setek i cyfry jednoci jest rwna 4, jest
A. mniej ni 24
B. dokadnie 24
C. dokadnie 32
D. wicej ni 32
Zadanie 129.
Ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, w zapisie
ktrych kada cyfra jest inna,
adna nie jest zerem oraz jedn z cyfr jest dziewitka?
A. 56 B. 168 C. 216 D. 504
Zadanie 130.
Dana jest tabela zoona z szeciu wierszy i dziewiciu kolumn
(zobacz rysunek). Oblicz, ile
w tej tabeli mona narysowa, zgodnie z zaznaczonymi liniami,
prostoktnych tabel
o czterech wierszach i czterech kolumnach.
Zadanie 131.
Wszystkie losy loterii fantowej zostay ponumerowane kolejno od
numeru 10000 do numeru
99999. Te losy, ktrym nadano numery o sumie cyfr rwnej trzy, s
wygrywajce, pozostae
losy s przegrywajce. Na tej loterii bdziemy losowa jeden los.
Oblicz prawdopodobie-
stwo wycignicia losu przegrywajcego. Wynik przedstaw w postaci
uamka dziesitnego
w przyblieniu do czwartego miejsca po przecinku.
40 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 132.
Na rysunku jest przedstawiony trzynastokt wypuky o kolejnych
wierzchokach od 1A do
13A oraz przektna 1 8A A tego wielokta.
Spord wszystkich 65 przektnych tego wielokta losujemy jedn.
Oblicz prawdopodobie-
stwo zdarzenia polegajcego na tym, e wylosowana przektna bdzie
przecinaa si z prze-
ktn 1 8A A w punkcie lecym wewntrz trzynastokta. Wynik zapisz w
postaci uamka nie-
skracalnego.
Zadanie 133.
Spord wierzchokw szecianu wybieramy losowo dwa rne wierzchoki.
Oblicz prawdo-
podobiestwo wylosowania wierzchokw, ktre s kocami tej samej
przektnej ciany sze-
cianu.
Zadanie 134.
Ze zbioru wszystkich krawdzi (krawdzi bocznych i krawdzi
podstawy) ostrosupa prawi-
dowego picioktnego losujemy jedn krawd, a nastpnie z pozostaych
krawdzi losujemy
drug. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzenia polegajcego na tym, e
wylosowane kraw-
dzie bd miay wsplny wierzchoek.
1A
2A 3A
4A
5A
6A
7A
8A 9A
10A
11A
12A
13A
2. Komentarze do zada 41
2. Komentarze do zada
2.1. Liczby rzeczywiste i wyraenia algebraiczne. Rwnania i
nierwnoci
Zadanie 3.
W liczniku uamka 3 34 16
8
wystpuje iloczyn pierwiastkw tego samego stopnia. Zapisz
ten iloczyn w postaci jednego pierwiastka. Otrzymany wynik
zapisz w postaci potgi
o podstawie 2.
Zadanie 4.
Poniewa wszystkie zaproponowane odpowiedzi s potgami o podstawie
2, zapisz podan
liczb w postaci potgi liczby 2. Wykorzystujc znane wzory
dotyczce potg, otrzymasz:
211
3
4
2222228
122 42
3
32
13
4
. Nastpnie zastanw si, czy wiesz, jak liczb jest
liczba odwrotna do x . Liczb odwrotn do np. 4
3 jest liczba
3
4, a odwrotnoci liczby x
( 0x ) jest liczba x
1, czyli 1x . Zatem odwrotnoci liczby
2
11
2 jest liczba
2
112
11
22
1
2
1
2
11
.
Zadanie 5.
Mnoenie potg jest moliwe wtedy, gdy potgi maj takie same
podstawy lub takie same
wykadniki. Zapisz wszystkie czynniki w postaci potgi o tej samej
podstawie, a nastpnie
zastosuj prawa dziaa na potgach.
1 1 1 2 41 1 13 1 3 3 3 3 34 4 44 2 16 4 2 16 2 2 2 .
Po wykonaniu dziaa na potgach otrzymasz odpowied D.
Zadanie 6.
Moesz zapisa liczb 72 w postaci iloczynu potg liczb 2 i 3 oraz
skorzysta z twierdzenia
o logarytmie iloczynu i logarytmie potgi.
42 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 7.
Moesz skorzysta z tego, e 5log1 5 . Oznacza to, e 5log2122 5 .
Jeeli zastosujesz
teraz wzr na logarytm potgi, to otrzymasz: 25log5log2 52
5 . Liczba o 2 wiksza od
4log5 to inaczej 24log5 , czyli 25log4log 55 . Stosujc wzr na
logarytm iloczynu,
otrzymasz ostatecznie 5 5 5 5 5log 4 2 log 4 log 25 log 4 25 log
100 . Zatem poprawna
odpowied to D.
Zadanie 8.
W zadaniu podana jest roczna stopa procentowa. Najpierw trzeba
wic ustali, w jakiej wyso-
koci naliczane s odsetki co kwarta. W roku mamy cztery kwartay,
wic oprocentowanie
w tym okresie wyniesie 4004
% pp . Zatem po upywie pierwszego takiego okresu warto
lokaty wyniesie
40011000
p. Po upywie roku (czyli czterech takich okresw) warto ta
wyniesie
4
40011000
p, co mona otrzyma, korzystajc np. ze wzoru na procent
skadany.
Zadanie 9.
Wykorzystujc podany stosunek bokw, moesz uzaleni dugo kadego z
nich od jednej
zmiennej, np. x . Otrzymasz std, e 3a x , 5b x , 7c x . Aby
ustali, ktre zdanie jest faszywe, musisz kolejno obliczy, jakim
procentem (bd uamkiem) sumy liczb a i b jest
liczba c, jakim procentem (bd uamkiem) sumy liczb a b c jest
liczba a, jakim procen-tem (bd uamkiem) sumy liczb b i c jest
liczba a oraz jakim procentem (bd uamkiem)
liczby c jest liczba b.
Obliczajc kolejne stosunki, otrzymasz:
7 787,5%
3 5 8
c x
a b x x
, 100% 87,5% 12,5% prawda,
3 3 120%
3 5 7 15 5
a x
a b c x x x
prawda,
3 3 125%
5 7 12 4
a x
b c x x
prawda,
5 5 371 %
7 7 7
b x
c x nieprawd jest, e liczba b to 60% liczby c.
Zatem odpowied D jest faszywa.
Zadanie 10.
Poniewa oprocentowanie jest podane w skali roku (tj. trzy razy
cztery miesice), najpierw
musisz ustali, jakie bdzie oprocentowanie w okresie czterech
miesicy (wystarczy oprocen-
towanie roczne podzieli przez trzy). Stosujc np. wzr na procent
skadany. moesz ustali
warto lokaty po upywie 8 miesicy, tj. po dwch czteromiesicznych
okresach. Niewiado-
m w uzyskanym wyraeniu bdzie warto kwoty wpaconej na pocztku.
Wyraenie to
przyrwnaj do wartoci lokaty wraz z odsetkami i std wylicz kwot,
ktr wpacono na po-
cztku.
2. Komentarze do zada 43
Zadanie 11.
Jeli x oznacza liczb uczniw w szkole na pocztku pierwszego roku,
to jak zapisa liczb
uczniw na kocu pierwszego roku? Zauwa, e zmniejszya si ona o
x1,0 (wygodniej ci
bdzie zapisywa procenty w postaci uamkw).
Jak zapisa liczb uczniw na koniec drugiego roku? Jak si ta
liczba ma do x ?
Jeli w trzecim roku liczba uczniw zmalaa o %y , to jak si ona ma
do liczby uczniw
na kocu drugiego roku?
Liczba uczniw na pocztku pierwszego roku i na kocu trzeciego
roku jest taka sama. U
odpowiednie rwnanie.
Zadanie 12.
Ponumeruj autobusy kolejnymi liczbami 1, 2,..., 10 wedug liczby
pasaerw nimi podruj-
cych i oznacz liczb pasaerw w i-tym pojedzie przez ip , wic
10921 50 ppp>ppp 1+kk ,
gdzie k to liczba autobusw przepenionych.
Zapisz w postaci uamka procent przepenionych autobusw oraz
procent pasaerw podru-
jcych w przepenionych autobusach. Nastpnie zbadaj znak rnicy
tych uamkw. Zwr
uwag na to, e moesz zapisa szacowania:
kkpppk k )10(50)...)(10( 21 ,
)10(50)...( 101 kkppk k .
Podaj odpowied!
Zadanie 13.
Korzystajc ze wzorw na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i
logarytm potgi
o wykadniku naturalnym, zapisz liczby a i b w postaci jednego
logarytmu. Nastpnie oblicz
ba , korzystajc z dziaa na logarytmach.
Zadanie 14.
Czy moesz sum logarytmw o tej samej podstawie zapisa w innej
postaci? Zauwa, e
3323 3log93log xxx xx . Jaka jest warto wyraenia 3
3 3log xx ?
Zadanie 15.
Odczytaj wsprzdne punktw podanych na rysunku: 2,3A , 4,5 B , 1,3
C . Korzystajc ze wzoru na prost przechodzca przez dwa punkty,
wyznacz rwnania prostych
przechodzcych przez kad par punktw.
Prosta AC ma rwnanie: 2)3(33
21
xy , czyli 12 yx .
Prosta AB ma rwnanie: 2)3(35
24
xy , czyli 113 yx .
44 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Prosta BC ma rwnanie: 1)3(53
41
xy , czyli 1783 yx .
Poniewa adna z tych prostych nie jest rwnolega do osi Oy, to
moesz rwnie skorzysta
z postaci kierunkowej prostej i po podstawieniu dwch punktw
wyznaczy jej rwnanie. Np.
prosta AC ma rwnanie baxy . Podstawiasz wsprzdne obu punktw: ba
32
i ba 31 . Std 2
1 ba . Zatem rwnanie przybiera posta
2
1
2
1 xy , std 2 1,y x
czyli 12 yx .
Majc wszystkie trzy proste, sprawd, ktry z podanych w odpowiedzi
ukadw zawiera te
rwnania. Jest nim ukad A.
Zadanie 16.
Zacznij od wyznaczenia A i C punktw przecicia, odpowiednio,
prostych: 12
1 xy
i xy 7 z osi Ox (czyli prost 0y ) oraz punktu wsplnego tych dwch
prostych
(oznaczmy go B). W ten sposb otrzymasz wsprzdne wierzchokw
trjkta ABC. Punkty
A i C le na osi Ox. Jaka jest odlego midzy nimi?
Punkt B znajdzie si w pierwszej wiartce ukadu wsprzdnych, wic
wysoko trjkta
poprowadzona z tego wierzchoka bdzie rwna drugiej wsprzdnej tego
punktu. Teraz wy-
starczy ju tylko zastosowa wzr na pole trjkta.
Moesz rwnie skorzysta ze wzoru na pole trjkta, podstawiajc do
niego wsprzdne
wierzchokw: 2
113
2
2703270024
2
1== .
Zadanie 17.
Przekszta rwnania (podane w ukadach rwna) do postaci kierunkowej
i wykorzystaj
zwizki midzy wspczynnikami kierunkowymi rnych prostych
rwnolegych (ukad
sprzeczny) i pokrywajcych si (nieskoczenie wiele rozwiza).
Otrzymasz w ten sposb
warunki, jakie musz spenia a i b. Wybierz te wartoci a i b, dla
ktrych warunki obu uka-
dw s spenione jednoczenie.
Zadanie 18.
Zauwa, e skoro rozwizaniem ukadu jest para liczb cakowitych
dodatnich, to odpowiada-
jcy jej punkt musi nalee do pierwszej wiartki ukadu wsprzdnych.
Podana prosta w tej
wiartce przechodzi przez dwa punkty o wsprzdnych cakowitych i
tylko jeden z nich ma
rne wsprzdne. Informacje te pozwalaj dokadnie ustali, jak wyglda
rozwizanie uka-
du. Musisz teraz wykorzysta to rozwizanie do wyznaczenia
drugiego rwnania ukadu wie-
dzc, e opisuje ono prost przechodzc przez pocztek ukadu
wsprzdnych i znaleziony
wczeniej punkt.
Zadanie 19.
Podany przedzia jest rozwizaniem takiej nierwnoci, w ktrej
wystpuje funkcja kwadra-
towa zerujca si w kocach tego przedziau. Jej wzr moesz napisa
korzystajc z postaci
iloczynowej funkcji kwadratowej. Poniewa kocami przedziau s
liczby 3x i 1x , to
2. Komentarze do zada 45
funkcj moemy zapisa w postaci 13 xxay . W danej nierwnoci
wspczyn-nik przy 2x jest rwny 1, wic mona przyj 1a , a wtedy podany
przedzia jest rozwiza-niem nierwnoci 013 xx . Po przeksztaceniu
nierwno ta przybiera posta 32 xx .
Inny sposb to oczywicie rozwizywanie podanych nierwnoci i
sprawdzenie, w ktrym
przypadku otrzymamy dany przedzia.
Zadanie 20.
Zauwa, e punkty o wsprzdnych 1
0, 22
oraz
16, 2
2
s symetryczne wzgldem
prostej 3x . Prosta ta jest osi symetrii wykresu funkcji f
opisanej w zadaniu.
Zauwa, e jeli jednym miejscem zerowym funkcji f jest 1x , to
drugim miejscem zero-
wym jest 5x . Zastanw si, jak s skierowane ramiona paraboli,
ktra jest wykresem funk-cji f.
Zadanie 21.
Jeli dugo duszego boku prostokta jest rwna x , to jak moesz
zapisa pole prostokta?
Zapisz nierwno wynikajc z warunkw zadania i rozwi j. Pamitaj, e
dugo boku
musi by dodatnia, wic x musi by wiksze od 5. Z treci zadania
wynika, e dugo du-
szego boku prostokta jest liczb parzyst, zatem z otrzymanego
zbioru wybierz warto x
speniajc ten warunek.
Zadanie 22.
Kade z podanych rwna jest takim rwnaniem liniowym, ktre ma jedno
rozwizanie.
Sprawd, ktre z podanych rwna nie jest przeksztaceniem wyjciowego
rwnania do po-
staci rwnania liniowego. Do tego celu wykorzystaj wasno
proporcji.
Zadanie 23.
Odwrotnoci wyraenia 1
1x dla 1x jest 1x . U rwnanie wynikajce z treci zada-
nia i rozwi je. Pamitaj, aby sprawdzi, czy otrzymane rozwizania
nie s sprzeczne
z zaoeniem 1x .
Zadanie 24.
Zauwa, e jeli pompa napenia pusty basen w cigu x godzin, to w
cigu jednej godziny
napeni x
1 cz basenu. Zatem czas i wydajno to zalenoci odwrotnie
proporcjonalne.
Jeeli przez w oznaczysz cz objtoci basenu, jak napenia w cigu
jednej godziny druga
pompa, to wyraenie w
1 opisuje czas samodzielnego napeniania basenu t pomp. Wiesz,
e
wydajno pierwszej pompy jest o 20% wiksza. Zapisz, za pomoc
niewiadomej w , wyrae-
nie opisujce wydajno pierwszej pompy oraz czas samodzielnego
napenienia basenu przez
t pomp. Nastpnie zapisz rwnanie uwzgldniajce wydajno i porwnujce
czas samo-
46 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
dzielnego napeniania basenu przez kad z pomp. Wykorzystaj fakt,
e druga pompa musi
pracowa o 1 godzin i 40 minut duej (pamitaj o zamianie minut na
godziny). Rozwi
rwnanie z niewiadom w . Oblicz jeszcze, jak cz basenu napeni
obie pompy w cigu
jednej godziny.
Zadanie 25.
Ktre punkty wystarcz do wyznaczenia zbioru rozwiza nierwnoci 0f
x ?
Zaznacz na rysunku drugie miejsce zerowe funkcji f, wiedzc, e
osi symetrii wykresu funk-
cji f jest prosta o rwnaniu 3x , i rozwi 0f x .
Zbiorem rozwiza jest przedzia 9,3 .
Zadanie 26.
Oblicz 1W i 1W . Rozwi zapisane w treci zadania rwnanie 1 1 0W
W
i oblicz a. Otrzymujesz 3
2a .
Zadanie 27.
Sprowad wszystkie liczby do wsplnej podstawy, np. 4, i porwnaj
wykadniki:
422 422
,
81622
42224
22
,
4222 4162 2 , 81642 4222
222
.
2.2. Funkcje
Zadanie 31.
Przyjrzyj si wykresom funkcji f i g. Jak przeksztaci wykres
funkcji f, eby otrzyma wy-
kres funkcji g?
Wykres funkcji g jest obrazem wykresu funkcji f w symetrii
osiowej wzgldem osi Ox. Jakim
wzorem okrelona jest funkcja, ktrej wykres jest obrazem wykresu
danej funkcji w symetrii
wzgldem osi Ox?
Zadanie 32.
Zwr uwag na to, jakie wartoci moe przyjmowa funkcja 14)( 2 xxxg
w przedziale
3,1 . Czy umiesz poda zbir wartoci tej funkcji? Jaka posta
funkcji kwadratowej moe
pomc w podaniu zbioru wartoci funkcji g? Moesz take wykorzysta
wykres funkcji g.
Zwr uwag na to, e funkcja g przyjmuje tylko wartoci dodatnie, a
zatem warto odwrot-
noci wartoci najmniejszej funkcji g jest jednoczenie wartoci
najwiksz funkcji f.
2. Komentarze do zada 47
Zadanie 33.
Zauwa, e musisz wyznaczy warto najmniejsz i najwiksz funkcji f w
przedziale
1;5 . Czy pierwsza wsprzdna wierzchoka wykresu funkcji f naley
do przedziau
5;1 ? Jakie wartoci funkcja f przyjmuje na kocach przedziau 5;1
? Naszkicuj wykres
funkcji f . Gdzie funkcja f przyjmuje warto najwiksz? Dla
jakiego argumentu funkcja f
przyjmuje warto najmniejsz? Teraz zapisz przedzia, ktry jest
zbiorem wartoci funkcji f .
Zadanie 34.
Miejscami zerowymi funkcji f s liczby 1 oraz 3, wic osi symetrii
paraboli, ktra jest wy-
kresem tej funkcji, jest prosta 2x . Na tej prostej ley
wierzchoek paraboli bdcej wykre-sem funkcji f . Zastanw si, jakiego
przesunicia wykresu funkcji f naley dokona, aby
wierzchoek przesunitej paraboli lea na osi Oy.
Moesz sporzdzi rysunek i na jego podstawie ustali, e naley
wykona przesunicie wy-
kresu funkcji f o dwie jednostki w lewo (wzdu osi Ox ); to
oznacza, e wszystkie punkty,
ktre le na wykresie funkcji f , zostan w ten sposb
przesunite.
Znajd wsprzdne obrazu punktu 0, 3 i miejsc zerowych po
przesuniciu.
Zapisz wzr funkcji g w postaci iloczynowej 1 1g x a x x .
Nastpnie wykorzystaj
fakt, e punkt 2, 3 ley na wykresie funkcji g .
Zadanie 35.
I sposb
Korzystajc z tego, e w zadaniu podane s miejsca zerowe funkcji
kwadratowej, moesz
napisa jej posta iloczynow.
Brakujcy wspczynnik a moesz obliczy, korzystajc z tego, e wykres
funkcji f przecho-
dzi przez punkt 2,10 , czyli 2 10f .
Moesz teraz przystpi do obliczenia wsprzdnych ,p q wierzchoka
paraboli. Pierwsza
wsprzdna wierzchoka jest redni arytmetyczn miejsc zerowych
funkcji f.
Drug wsprzdn wierzchoka paraboli moesz obliczy, korzystajc ze
wzoru funkcji f:
q f p . Po wyznaczeniu wsprzdnych wierzchoka zastosuj wzr na
odlego midzy
dwoma punktami, aby wyznaczy odlego wierzchoka od pocztku ukadu
wsprzdnych.
II sposb
Korzystajc z tego, e w zadaniu podane s miejsca zerowe funkcji
kwadratowej, moesz
obliczy pierwsz wsprzdn wierzchoka paraboli, ktra jest wykresem
funkcji f. Jest ona
redni arytmetyczn miejsc zerowych funkcji. Teraz moesz zapisa
wzr funkcji f w postaci
kanonicznej. Do obliczenia pozostay wspczynniki a i q.
Wykorzystaj fakt, e wykres funk-
cji f przechodzi przez punkt 2,10 , zatem 2 10f i 3 0f . Po
wyznaczeniu wsp-
rzdnych wierzchoka zastosuj wzr na odlego midzy dwoma punktami,
aby wyznaczy
odlego wierzchoka od pocztku ukadu wsprzdnych.
48 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 36.
W rozwizaniu skorzystaj ze wzorw na wsprzdne wierzchoka paraboli
o rwnaniu
2f x ax bx c . Zauwa, e jeeli punkt ley na prostej o rwnaniu 5y
, to jego druga
wsprzdna jest rwna 5 . Zatem druga wsprzdna wierzchoka paraboli
5q .
Moesz wykorzysta wzr na drug wsprzdn wierzchoka paraboli do
obliczenia wsp-
czynnika a funkcji f . Po obliczeniu wspczynnika a ponownie
wykorzystaj wzr na
pierwsz wsprzdn wierzchoka paraboli i oblicz j.
Innym sposobem obliczenia wspczynnika a funkcji f jest
wykorzystanie wzoru na pierw-
sz wsprzdn wierzchoka paraboli oraz zalenoci f p q . Po
obliczeniu wspczynni-
ka a ponownie wykorzystaj wzr na pierwsz wsprzdn wierzchoka
paraboli i oblicz j.
Zadanie 37.
Aby obliczy c , przyjrzyj si najpierw funkcji f . Z postaci
funkcji kwadratowej wynika, e
jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w d. Taka
funkcja najwiksz warto
przyjmuje w wierzchoku. Poniewa zbiorem wartoci funkcji jest
przedzia 7, , to liczba 7 jest drug wsprzdn wierzchoka paraboli.
Oblicz pierwsz wsprzdn p wierzchoka
paraboli bdcej wykresem funkcji f : 3
3
2
2
p . Wierzchoek paraboli ma wsprzdne:
3p , 7q , zatem 7)3( f . Std otrzymujesz rwnanie 7693
1 c , ktrego roz-
wizaniem jest 4c .
Zadanie 38.
Funkcja kwadratowa podana jest w zadaniu w postaci kanonicznej.
Odczytaj wsprzdne
wierzchoka paraboli, ktra jest wykresem tej funkcji. Porwnaj
najwiksz warto funkcji f
z drug wsprzdn wierzchoka paraboli. Jakie wnioski moesz teraz
wycign? Wiesz ju,
jak skierowane s ramiona paraboli.
Pierwsza wsprzdna wierzchoka paraboli nie naley do przedziau 2;4
. Teraz sprbuj
okreli, czy funkcja jest w tym przedziale rosnca, czy malejca.
Zauwa, e najwiksz
warto funkcja przyjmuje dla 4x , a najmniejsz dla 2x .
Zadanie 39.
Jeli miejscami zerowymi funkcji f s liczby 2 i 4 , to jaka jest
pierwsza wsprzdna
wierzchoka paraboli, ktra jest wykresem funkcji f ? Jakie
wsprzdne ma wobec tego
wierzchoek paraboli? W ktr stron s skierowane ramiona paraboli?
Naszkicuj t parabol
oraz prost 2y . Jakie jest wzajemne pooenie tej prostej i
wierzchoka paraboli?
2. Komentarze do zada 49
Zadanie 40.
Majc dane wsprzdne wierzchoka paraboli, moesz zapisa wzr funkcji
f w postaci ka-
nonicznej 2
1 4f x a x . Do wyznaczenia wzoru funkcji s jednak potrzebne
wsp-
rzdne jeszcze jednego punktu, ktry ley na paraboli.
Jak wyznaczy wsprzdne punktu A lub B?
Odcinek AB jest podstaw trjkta ABC, ktrego pole jest rwne 8.
Odczytaj z rysunku, jaka
jest wysoko tego trjkta i oblicz dugo odcinka AB.
Prosta 1x , na ktrej ley wierzchoek paraboli, jest osi symetrii
trjkta ABC (czy wiesz,
dlaczego?), wic punkty A i B le w odlegoci 2 od tej prostej. Std
1,0A , 3,0B .
Wykorzystaj wsprzdne punktu A lub B do wyznaczenia wspczynnika a
we wzorze funk-
cji f.
Zadanie 41.
Pierwszy i drugi odcinek amanej, czyli odcinki 1 2A A i 2 3A A ,
maj dugo 1, trzeci i czwarty
maj dugo 2, pity i szsty maj dugo 3 itd. Pocztkowe skadniki sumy
dugoci odcin-
kw amanej s wic rwne 1 1 2 2 3 3 ... . Czy wiesz, ile s rwne
dugoci
dwch ostatnich odcinkw amanej skadajcej si z 2n odcinkw, czyli
dwa ostatnie skad-niki sumy?
Aby zapisa wyznaczon sum, a wic wzr funkcji f, wykorzystaj wzr
na sum n poczt-
kowych wyrazw cigu arytmetycznego. Na koniec oblicz warto
funkcji dla argumentu
33n .
Zadanie 42.
Aby obliczy wartoci pozostaych funkcji trygonometrycznych kta w
trjkcie prosto-ktnym, moesz skorzysta z jedynki
trygonometrycznej
2 6 3cos 1 sin 19 3
oraz
sintg 2
cos
.
Miar kta w trjkcie prostoktnym moesz wyrazi w zalenoci od kta ;
w tym celu
naley zapisa rwno 90 .
Teraz do obliczenia wartoci funkcji cos skorzystaj ze wzoru cos
cos 90 sin .
Uwaga: Pamitaj, e nie jest to jedyny sposb rozwizania tego
zadania.
Zadanie 43.
Wyznacz za pomoc jedynki trygonometrycznej cos72 w zalenoci od a
i otrzymany wynik
wykorzystaj do obliczenia liczby 21 tg 72 .
50 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 44.
Zauwa, e w zadaniu podana jest warto funkcji 3tg , natomiast
twoim zadaniem jest
obliczenie wartoci wyraenia
sin5cos3
cos3sin2
, w ktrym nie wystpuje tg . Wykorzystaj
zaleno
cos
sintg , czyli 3
cos
sin
i wyznacz z niej jedn z wielkoci: sin lub cos .
Nastpnie wyraenie
sin5cos3
cos3sin2
, ktrego warto masz obliczy, zapisz przy pomocy
tylko jednej z wielkoci cos lub sin . W otrzymanym wyraeniu
zredukuj wyrazy podob-ne i zapisz liczb, jak otrzymae.
Zadanie 45.
Uzalenij tg od sin i cos . Korzystajc z zalenoci midzy funkcjami
trygonome-
trycznymi ktw ostrych trjkta prostoktnego, wyznacz tg sin w
zalenoci od sin .
Majc dane 2
cos5
, moesz skorzysta z jedynki trygonometrycznej do wyznaczenia
sin , a wic rwnie tg sin . W rozwizaniu uwzgldnij to, e 0 90
.
Zadanie 46.
Czy znasz jak zaleno wic ze sob sinus i cosinus tego samego kta?
Jeeli tak, to
moesz wyznaczy, jak warto ma a. Trzeba pamita, e kt jest ktem
ostrym. Jak wpywa to na wartoci funkcji sinus i cosinus kta ?
Masz przed sob zadanie wyliczenia funkcji tangens kta . Jaki
jest zwizek funkcji sinus i cosinus kta z funkcj tangens tego
kta?
Jeeli znasz warto a i wartoci sinusa i cosinusa kta , to
obliczysz ju tangens kta .
Zadanie 47.
Poniewa podany jest cos , to, korzystajc z jedynki
trygonometrycznej, moesz wyznaczy
sin (uwzgldnij przy tym zaoenie, e jest ktem ostrym). Majc
wartoci obu funkcji, obliczysz warto tg . Po wyznaczeniu liczb a i
c oblicz redni arytmetyczn wszystkich trzech liczb.
Zadanie 48.
Zastosuj jedynk trygonometryczn przy obliczaniu wartoci funkcji
tg . Co wynika
z rwnoci tg tg ?
Zadanie 49.
Zadanie wymaga znalezienia wszystkich wartoci x, dla ktrych 2)(
xf . U odpowiednie
rwnanie i sprowad je do rwnania kwadratowego. Upewnij si, e
otrzymane rozwizania
nale do dziedziny funkcji wymiernej (sprawd, czy otrzymane
rozwizania nie zeruj mia-
nownika).
2. Komentarze do zada 51
Zadanie 50.
Zauwa, e wykres funkcji f ograniczonej do przedziau 4,0 musi
zawiera wierzchoek
paraboli; w przeciwnym razie funkcja przyjmowaaby w tym
przedziale najmniejsz warto
na jednym z kocw przedziau (byaby rosnca lub malejca). Z warunkw
zadania wynika,
e wierzchokiem jest punkt )2(,2 f , a ramiona wykresu s
skierowane w gr. Co ten ostatni warunek mwi o wspczynniku a? Jak
mona pierwsz wsprzdn wierzchoka
wyrazi za pomoc wspczynnikw funkcji kwadratowej? Co z tego
wynika dla b?
Zadanie 51.
Zastanw si: kiedy funkcja kwadratowa przyjmuje t sam warto dla
dwch rnych ar-
gumentw? Przypomnij sobie, e wykres funkcji kwadratowej ma o
symetrii co to zna-
czy? Czy argumenty 2 i 5 te s symetrycznie rozoone po obu
stronach osi symetrii wykre-
su danej funkcji? Zauwa, e z warunku zadania (wartoci )3(),0( ff
s rwne i wiksze od
wartoci przyjmowanych przez f wewntrz przedziau 3,0 ) wynika, e
ramiona wykresu
funkcji f s skierowane w gr.
2.3. Cigi
Zadanie 54.
Jaka jest zaleno midzy kolejnymi wyrazami cigu
arytmetycznego?
Z wasnoci cigu arytmetycznego wynika, e trjwyrazowy cig jest
arytmetyczny, gdy
rodkowa liczba jest redni arytmetyczn wyrazw ssiednich. Sprbuj
na tej podstawie za-
pisa za pomoc jednego rwnania zaleno midzy wyrazami naszego
cigu.
Moesz te to zadanie rozwiza, sprawdzajc, dla ktrej z podanych
wartoci x podany cig
jest arytmetyczny.
Zadanie 55.
Przedstaw sum 1 2 3a a a za pomoc wyrazu 1 8a i rnicy cigu r.
Otrzymasz rwnanie
z niewiadom r, ktrego rozwizaniem jest 3r . Teraz analogicznie
zapisz sum
4 5 6a a a i oblicz jej warto, korzystajc z wczeniejszych
oblicze. Otrzymasz
4 5 6 13 12 60a a a a r .
Zadanie 56.
Aby obliczy smy wyraz cigu na , moesz od sumy omiu pocztkowych
wyrazw odj
sum siedmiu pocztkowych wyrazw tego cigu. Ile jest rwny pity
wyraz cigu nb ? Gdy
go obliczysz, zapisz wzr oglny cigu nb . Moesz teraz obliczy 1c
i 17c . Teraz wystarczy ju tylko zastosowa wzr na sum 17
pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego.
Zadanie 57.
Wykorzystujc wzr na n-ty wyraz cigu arytmetycznego, moesz redni
arytmetyczn wy-
razw 3a i 21a uzaleni od wyrazu pierwszego i rnicy cigu. Stosujc
dodatkowo wzr na
52 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
sum n pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego (w naszym przypadku
23n ), moesz t sum rwnie uzaleni tylko od wyrazu pierwszego i rnicy
cigu. Wystarczy teraz, e
porwnasz oba wyraenia, aby wyznaczy redni arytmetyczn wyrazw 3a
i 21a .
Zadanie 58.
Pamitasz, e w cigu arytmetycznym na , o rnicy r, dla kadego 1n
prawdziwe s
rwnoci: 1n na a r , 1 1na a n r .
Aby wykaza, e cig nb jest cigiem arytmetycznym, moesz
1) obliczy 1b , a nastpnie wykaza, e istnieje liczba 1r taka, e
dla kadego 1n praw-
dziwa jest rwno 1 11nb b n r
lub
2) wykaza, e istnieje liczba 1r taka, e dla kadego 1n prawdziwa
jest rwno
1 1n nb b r .
Zadanie 59.
Korzystajc ze wzorw na sum n pocztkowych wyrazw i na n-ty wyraz
cigu arytmetycz-
nego, zapisz podan w zadaniu sum wyrazw w zalenoci od wyrazu
pierwszego i rnicy
tego cigu. Nastpnie to samo zrb dla wyrazu rodkowego. Moesz te
kady wyraz cigu
uzaleni od wyrazu rodkowego i rnicy cigu i wtedy obliczy sum.
Porwnujc uzyska-
ne wyraenia, sprawd, czy suma jest wielokrotnoci wyrazu
rodkowego (czy jest on dziel-
nikiem sumy).
Zadanie 60.
Zastanw si, jak odlege s wyrazy pierwszy i sidmy od wyrazu
czwartego? Zastosuj
wzr 2 1 1 2 1.n na a a
Zadanie 61.
Korzystajc ze wzoru na n-ty wyraz cigu geometrycznego, zapisz
wzory na ka i 2ka .
Otrzymasz w ten sposb dwa rwnania zalene tylko od k i ilorazu
cigu q. Wykorzystujc
odpowiednie przeksztacenia (m.in. dziaania na potgach),
otrzymasz z nich rwnanie z nie-
wiadom q. Po jej wyznaczeniu (ile bdzie takich rozwiza?) moesz
ponownie zastosowa
wzr na n-ty wyraz cigu geometrycznego i obliczy 10a .
Zadanie 62.
Rozwizanie zadania rozpocznij od odpowiedzi na nastpujce
pytanie: Jeli kadego dnia
wydatki byy nisze o 20% w stosunku do wydatkw z dnia
poprzedniego, to jak cz wy-
datkw z dnia poprzedniego stanowi wydatki z dnia nastpnego? Wyra
t wielko w po-
staci uamka. Zauwa, e kwoty wydawane przez Kacpra w kolejnych
dniach stanowi pe-
wien cig. Jaki to cig? Jak szczegln wielkoci dla danego cigu
jest zapisany uprzednio
uamek? Podpowiem, e jest to cig geometryczny o ilorazie 8,0q .
Pitego dnia Kacper
2. Komentarze do zada 53
wyda 20,48 z. Ktry to wyraz cigu? Skorzystaj ze wzoru oglnego na
n-ty wyraz cigu
geometrycznego i oblicz 1a . Kwota, jak Kacper wyda w cigu piciu
dni, bdzie sum pi-
ciu pocztkowych wyrazw cigu geometrycznego.
Zadanie 63.
Wyrazy cigu na s rne od 0 i nie powtarzaj si. Czy iloraz q moe
by rwny 0 lub 1? U rwnanie wynikajce z treci zdania. Zauwa, e
4a i 5a moesz zapisa np. za pomoc
3a i q . Rozwi rwnanie i zastanw si, czy wszystkie otrzymane
wartoci q speniaj
warunki zadania.
Zadanie 64.
W cigu geometrycznym na , o wszystkich wyrazach rnych od zera i
ilorazie q, dla ka-
dego 1n prawdziwe s rwnoci: 1n
n
aq
a
,1
1n
na a q .
Aby wykaza, e cig nb jest cigiem geometrycznym, moesz
1) obliczy 1b , a nastpnie wykaza, e istnieje liczba 1q taka, e
dla kadego 1n praw-
dziwa jest rwno 11 1n
nb b q
lub
2) wykaza, e istnieje liczba 1q taka, e dla kadego 1n prawdziwa
jest rwno
11
n
n
bq
b
.
Zadanie 65.
W cigu geometrycznym na , o wszystkich wyrazach rnych od zera i
ilorazie q , dla ka-
dego 1n prawdziwa jest rwno 1n
n
aq
a
.
Musisz wic wykaza, e dla cigu na opisanego w zadaniu iloraz
13 1
3
n
n
f na
a f n
jest
wielkoci sta i rn od zera.
Zadanie 66.
Korzystajc ze wzoru na n-ty wyraz cigu geometrycznego, zapisz
iloczyn podanych wyra-
zw w zalenoci od wyrazu pierwszego i ilorazu tego cigu. To samo
zrb dla wyrazu trze-
ciego. Porwnaj oba wyraenia i sprawd, czy ten iloczyn da si
uzaleni tylko od wyrazu
trzeciego. Moesz te kady wyraz cigu uzaleni od wyrazu trzeciego
oraz ilorazu cigu
i wtedy obliczy ich iloczyn.
54 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
2.4. Geometria
Zadanie 70.
Kt ACB jest ktem wpisanym opartym na pokrgu, wic 90ACB .
Wynika z tego, e trjkt ABC jest prostoktny o przeciwprostoktnej
2AB r
i przyprostoktnej 3AC r .
Oblicz miary ktw tego trjkta. Skorzystaj z funkcji cosinus w tym
trjkcie
3 3cos
2 2
AC rBAC
AB r , std otrzymasz 30BAC .
Kt BOC jest ktem rodkowym, opartym na tym samym uku co kt
wpisany BAC.
Czy wiesz, jaka jest zaleno midzy ktem wpisanym i ktem rodkowym,
jeli oba s
oparte na tym samym uku?
Z zalenoci midzy ktem rodkowym i ktem wpisanym otrzymasz 60BOC
.
Uwaga: Do obliczenia miary kta BAC moesz te wykorzysta wasnoci
poowy trjkta
rwnobocznego.
Zadanie 71.
Moesz np. wykorzysta to, e kty BEC i BDC s oparte na tym samym
uku, co oznacza,
e s rwne. Poniewa kt BCD jest oparty na pokrgu, to jest ktem
prostym. Mamy za-tem trjkt o dwch znanych ktach i kcie, ktrego miar
trzeba obliczy.
Zadanie 72.
Moesz np. wykorzysta to, e kt rodkowy BOC jest oparty na tym
samym uku co kt wpi-
sany BAC , wic jest od niego dwa razy wikszy. Uwzgldniajc to, e
trjkt BOC jest rwnoramienny, moesz teraz znale zaleno dla ktw i
.
A
B
C
O
2. Komentarze do zada 55
Zadanie 73.
Aby wykaza, e prosta BE zawiera wysoko trjkta ABC opuszczon na
bok AC , wy-
starczy udowodni, e prosta BE jest prostopada do boku AC .
Zauwa, e kt BED jest
ktem wpisanym opartym na pokrgu oraz wykorzystaj rwnolego
odcinkw DE i AC .
Zadanie 74.
Przedstaw na rysunku sytuacj opisan w zadaniu, np. tak jak
poniej.
Odcinek MN jest rednic poszukiwanego okrgu o rodku w punkcie
C.
Do obliczenia dugoci odcinka MN wykorzystaj zalenoci midzy
dugociami promieni
okrgw i odlegoci ich rodkw, gdy okrgi s styczne wewntrznie:
MN MA AB BN .
Promie okrgu o rodku C jest rwny 1 19
9,52 2
MN .
Zadanie 75.
Sprbuj uzupeni rysunek o elementy, ktre mog pomc rozwiza
zadanie.
Na pewno przyda si mog rodki tych okrgw, odcinek czcy rodki
okrgw oraz od-
cinki czce rodki okrgw z odpowiednimi punktami stycznoci.
Czy punkty stycznoci i rodki okrgw tworz jak szczegln figur? Czy
moesz zapisa
dugoci jej bokw tylko za pomoc promieni okrgw?
Czy dostrzegasz jaki trjkt prostoktny o bokach uzalenionych
tylko od dugoci tych
promieni?
Jeeli znajdziesz taki trjkt, to korzystajc z twierdzenia
Pitagorasa, zapiszesz zwizek pro-
wadzcy do tezy.
56 Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy. Zbir
zada
Zadanie 76.
Zauwa, e pole czworokta SKTL jest sum pl dwch
