Einbettung kombinatorischer Mannigfaltigkeiten · n Geometrie n Geradlinigkeit n Punkte, Geraden, Ebenen, Hyperebenen n Regelmäßigkeit ("Platonisch") n Gleiche Abstände, gleiche

MN Seminar

Einbettung kombinatorischer Mannigfaltigkeiten

Hochschule Darmstadt Fachbereich MNTorsten-Karl Strempel

24.11.2009

24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 2 / 53

Geometrie – Kombinatorik – Topologie

Punkt

Strecke

Fläche Volumen

…


GliederungnPolygone, Polyeder, …nSchlegeldiagramme, Eulersche PolyederformelnSatz von SteinitznEinbettungn "Aufblasen von Polyedern"nTopologische Typen von 2-MannigfaltigkeitennVerallgemeinerter Satz von SteinitznMinimale Torus-TriangulierungennEinbettungen in den Rand der 4-Kugeln…


108°

n polýs = viel + gonía = Winkeln Eckenn Kanten

n Geometrisches Objektn Kanten sind Geradenabschnitten Flächen liegt in einer Ebene

n Regelmäßiges Polygonn Kanten gleich langn Winkel gleich großn Ecken auf Umkreis à 1-Sphäre

n Beispiel: 5-Eckn 5 Ecken, 5 Kanten

R2 – Polygon

http://de.wikipedia.org/wiki/Polygon

http://de.wikipedia.org/wiki/Polygon


n polýs = viel + edron = Flächnern Ecken, Kantenn Flächen

n Beispiel: Dodekaedern 20 Ecken, 30 Kantenn 12 Flächen

n Geometrisches Objektn Flächen sind Polygonen Kanten sind Geradenabschnitten Flächen liegt in einer Ebene

n Regelmäßiges Polyedern Flächen sind regelmäßige Polygonen Ecken liegen auf einer Umkugelà 2-Sphäre

R3 – Polyeder

http://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder


n "Verallgemeinertes Polygon in beliebiger Dimension"

n polýs = viel + choros (Raum) / topos (Ort)n Ecken, Kanten, Flächenn à Facetten

n Beispiel: Hyperkubusn 16 Ecken, 32 Kantenn 24 Flächen, 8 Facetten (Würfel)

n Geometrisches Objektn Facetten sind Polyeder

n Regelmäßiges Polytopn Facetten sind regelmäßige Polyedern Ecken auf Hyperkugel à 3-Sphäre

R4 – PolychoraRd – Polytope

http://de.wikipedia.org/wiki/Polytop_(Geometrie)http://en.wikipedia.org/wiki/Polychoron

http://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder

http://de.wikipedia.org/wiki/Polytop_(Geometrie)

http://en.wikipedia.org/wiki/Polychoron


n Geometrien Geradlinigkeit

n Punkte, Geraden, Ebenen, Hyperebenenn Regelmäßigkeit ("Platonisch")

n Gleiche Abstände, gleiche Winkeln Eckpunkte auf Sphären

n Kombinatorikn Gleiche Eckenfiguren, Gleiche Facettenn Anzahlen Ecken, Kanten, …

n Topologien Sphäre – Man kann jede Schnur zusammenziehenn Orientierbar – innen & außenn Geschlecht / Charakteristik – Löcher / Henkel

Geometrie und mehrØWieviele Regelmäßige existieren ?

ØWelche Zusammenhänge gibt es ?

ØWelche Typen gibt es?


n Für alle n>2 à unendliche Anzahl!

n Zentriwinkel

n Innenwinkel an Ecken

n Summe Innenwinkel

Regelmäßige Polygone

°•−=∑ 180)2(niβ2

180180)2( ii n

n αβ

−°=°•

−=

60°90°

108°120° …

β β β β

900°

128,6°

7

540°

108°

5

720°

120°

6

360°180°Σβi

90°60°β

…43n

ni°

=360

α


n Es gibt genau 5 Platonische Körper!n Tetraeder 4 Flächenn Hexaeder (Würfel) 6 Flächenn Oktaeder 8 Flächenn Dodekaeder 12 Flächenn Ikosaeder 20 Flächen

Regelmäßige Polyeder

http://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_Körper


Geometrischer Beweis In Welche regelmäßigen n-Ecke zusammenfügen?n Ecken müssen konvex sein à Winkelsumme < 360°n 3 Dreiecke 4 Dreiecke 5

60°

60°

60° 60°

60°

60°

60°

http://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K


n Dreiecke: n 3* 60° = 180°, 4*60° = 240°, 5*60° = 300°

n Quadrate: n 3* 90° = 270°

n Fünfecke: n 3*108° = 324°

n Sechsecke:n 3*180° = 360° !!!

n Es gibt genau 5 regelmäßige Polyeder!!!

Geometrischer Beweis II

120°

120°

120°

90°

90° 90°

108°

108°

108°


n Genau 6 regelmäßige Polychora im R4!n Gleiche Beweisidee:

n Zusammenfügen von Platonischen Körpernn Projektion entlang einer Kante

Regelmäßige Polychora I

90° 90°

90°


n Polychora – Bausteinn 5-Zell (4-Simplex) – Tetraedern 8-Zell (4-Kubus) – Hexaeder n 16-Zell – Tetraedern 24-Zell – Oktaedern 120-Zell – Dodekaedern 600-Zell – Tetraeder

Regelmäßige Polychora II

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_regular_polytopes


Schlegeldiagramme In Victor Schlegel (1843-1905)

n "Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, 1883"

n "Ueber Projectionsmodelleder regelmässigenvier-dimensionalen Körper, 1886"

n Zentralprojektion der Eckpunkte in Bildebenen Perspektives Bild eines Polyedersn Seitenfläche als Bildebenen Äußerer Punkt, nahe Seitenmitte als Augenpunktn Also der Schatten eines Drahtmodells!

http://de.wikipedia.org/wiki/Schlegeldiagramm

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_regular_polytopes

http://de.wikipedia.org/wiki/Schlegeldiagramm


Schlegeldiagramme IIn Studium kombinatorischer

Eigenschaftenn Beweis der Eulerschen

Polyederformeln Konstruktion neuer Polyedern Erweiterung ins 4-Dimensionale


Regelmäßige Polychora IIIa

4-Simplex

4-Kubus


Regelmäßige Polychora IIIb

16-Zell

24-Zell


Regelmäßige Polychora IIIc

120-Zell

600-Zell


n Im Rd (d>4) existieren genau 3 regelmäßige Polytope!n Simplexn (Hyper)Kubusn Orthoplex

Regelmäßige Polytope


n Wir zählen: Punkte, Kanten, …

n Vermutung: E-K+F = const ?

Genug Geometrie !!!

2012864F

22222

E-K+FKEPolyeder

3012Ikosaeder3020Dodekaeder126Oktaeder128Hexaeder64Tetraeder


Eulersche Polyederformeln Deutsch:

n E = Ecken, K = Kanten, F = Flächenà E – K + F = 2

n Englisch:n v = vertices, e = edges, f = facesà v – e + f = 2

n Verallgemeinerte Schreibweise: n f0 = Ecken, f1 = Kanten, f2 = Flächenà f0 - f1 + f2 = 2

n (f0 , f1 , f2 ) heißt f-Vektor


Beweis Ia– Triangulierung mit Diagonalenn Quadrat E-K+F = 2 à (E+0)-(K+1)+(F+1) = 2

n Fünfeck E-K+F = 2 à (E+0)-(K+2)+(F+2) = 2

n Sechseck E-K+F = 2 à (E+0)-(K+3)+(F+3) = 2

n …

n Es kommen immer genauso viele neue Flächen wie neue Kanten hinzu!!! …


Beweis Ib– Triangulierung durch SpitzennQuadrat E-K+F = 2 à (E+1)-(K+4)+(F+4-1) = 2nFünfeck E-K+F = 2 à (E+1)-(K+5)+(F+5-1) = 2 nSechseck E-K+F = 2 à (E+1)-(K+6)+(F+6-1) = 2n…

nKlappt auch!!!n (Alte Fläche verschwindet) …


Beweis II– Rückführung auf Tetraeder n 1. Schritt: Triangulierung der Flächen

n E-K+F = 2 à (E+0)-(K+k)+(F+k) = 2

n 2. Schritt: Kanten zusammenziehenn E-K+F = 2 à (E-1)-(K-3)+(F-2) = 2

n Ende: Tetraeder !n 4-6+4=2 ! (voila!)


Satz von Steinitz I n Jeder planare Graph lässt sich durch gerade

Liniensegmente kreuzungsfrei in die Ebene zeichnen

n Planare 3-zusammenhängende Graphen sindKantengraphen von Polytopen im R3.

n Branko Grünbaum: "This theorem is the most important and deepest known result on 3-polytopes!"

http://en.wikipedia.org/wiki/Steinitz's_theoremhttp://en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz


Satz von Steinitz IIn Jeder planare Graph lässt sich durch gerade

Liniensegmente kreuzungsfrei in die Ebene zeichnen.n Ein planarer Graphen ist ein Graph, der in der

Ebene überschneidungsfrei darstellbar ist.n Planare 3-zusammenhängende Graphen sind

Kantengraphen von Polytopen im R3.n Bei einem k-zusammenhängenden Graph können

k-1 Knoten entfernt werden und es ist immer noch gewährleistet, dass von jedem Knoten zu jedem anderen ein Weg existiert.

http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenhang_von_Graphen

http://en.wikipedia.org/wiki/Steinitz

http://en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz

http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenhang_von_Graphen


Einbettungn [Wiki] In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man

unter einer Einbettung eine Abbildung, die es ermöglicht, ein Objekt als Teil eines anderen aufzufassen.

n In der Topologie bezeichnet man eine Abbildung f zwischen zwei topologischen Räumen X und Y als Einbettung von X in Y, wenn f ein Homöomorphismus von X auf den Unterraum f(X) seines Bildes ist (in der Teilraumtopologie).

n Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.

n Eine Homöomorphismus ist eine bijektive stetige Funktion, deren Umkehrfunktion ebenfalls stetig ist.

n Identifikation kombinatorisches Objekt geometrisches Objekt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Einbettung


Einbettung in denSeitenverband

{1} {2} {3} {4}

{12} {13} {14} {23} {24} {34}

{123} {234}{134}{124}

{1234}

{∅}

1 2

3

4

http://de.wikipedia.org/wiki/Einbettung


Algorithmen zum Einbettenn Wie kommt man von einem Graphen zu einem Polyeder?n Physikalisches Modell

n Ecken haben elektrische Ladungen (abstoßend)n Kanten haben Federkräfte (anziehend)n Iterative Suche nach Energieminimum

n "Umgekehrtes" Schlegeldiagrammn Auswahl eines Kreises als Basisfacetten Initialisierung aller verbleibenden Knoten im Ursprungn Berechnung der resultierenden Kräften Bewegung aller Knoten in Richtung der resultierenden Kräfte


"Aufblasen" von Polyedern


2-Mannigfaltigkeitenn Definition: Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine

geschlossene Fläche in der die Umgebung jedes Punktes lokal einem 2-dimensionalen Euklidischen Raum gleicht.

n Ohne Rand!


Topologische Typenn Topologie – Deformationen ohne Zerschneidenn Verheftung topologischer Grundtypen:

n 2-Sphären Henkel (Torus, Brezel, …)n Projektive Ebene


Euler-Charakteristik und Geschlechtn Kennzahl für geschlossene Flächen. n Topologisch gleiche Flächen haben dieselbe

Euler-Charakteristik n à ganzzahlige topologische Invariante.

n Übliche Bezeichnung χ (Chi).n Erweiterte Euler-Formel:

n χ = E − K + F n Orientierbare Flächen haben Geschlecht g (Genus)

n Poincaré-Formel:n E − K + F = χ = 2 − 2g.


Erste Beispielen χ = 2 g=0 ð 2-Sphären χ = 1 ð Projektive Ebenen χ = 0 g=1 ð 2-Torus / Kleinsche Flaschen χ = -1 ð ???n χ = -2 g=2 ð Doppeltorus


Verallgemeinerter Satz von Steinitzn Polyedrische Einbettbarkeit: Jedes

"Netz einer orientierbaren 2-Mannigfaltigkeit" lässt sich mit geraden Kanten und ebenen Flächen durchdringungsfrei im R3 einbetten.

n 2 Möglichkeiten:n Gegenbeispiel suchen

n "Extreme" Netzen Vollständigen Nachweis für alle Fälle führen.

n Bestimmung aller Netzen Nachweis der Einbettbarkeit

n Beschränken uns auf Triangulierungen


"Extreme" 2-Mannigfaltigkeitenn Minimale Triangulierungen

n Kleinste Anzahl von Ecken bzw. Flächen für einen gegebenen topologischen Typ.

n Nachbarschaftliche Mannigfaltigkeitenn Ecken-nachbarschaftlich, jede Ecke ist mit jeder

Ecke durch eine Kante verbunden à Einbettungen des vollständigen Graphen Kn

n Flächen-nachbarschaftlich jede Fläche hat mit jeder anderen Fläche genau eine Kante gemeinsam à Duale Kn-Einbettungen


Das Császár-Polyedern 1949 Ákos Császár

(Ungarischer Mathematiker) n Heißt auch Möbius-Torus

K7

http://en.wikipedia.org/wiki/Császár_polyhedron


Das Szilassi-Polyedern 1977 Lajos Szilassi

(Ungarischer Mathematiker)

n à Sechsfarbtheorem für den Torus !

http://en.wikipedia.org/wiki/Szilassi_polyhedron

http://en.wikipedia.org/wiki/Cs

http://en.wikipedia.org/wiki/Szilassi_polyhedron


Minimale Triangulierungen In Gesucht:

n Minimale Eckenzahl für g=2, 3, … oder χ=-3,-4, …

n Konstruktion aller Triangulierungen:n Eckenverdoppeln:

n Einfügen eines Punktes über/in einer Flächen Aufspalten eines Punktes mit Erzeugung zweier

zusätzlicher Dreiecke und drei neuer Kantenn Kantenschrumpfung: Zusammenfassung zweier

durch eine Kante verbundener Punkte.n Kombination der obigen Operationen à z.B.

"Kantendrehung"


n Topologische 2-Mannigfaltigkeitmit einem Netz überziehen

n Triangulierung des Netzesn Kanten zusammenzufassen

n ACHTUNG: χ, g dürfen sich nicht ändern!n Überraschung:

Verschiedene minimale Triangulierungen:n 2-Sphäre χ = 2 1n Projektive Ebene χ = 1 2n 2-Torus χ = 0 21 !!!n NO1 χ = -1 ???n 2-Henkel χ = -2 ???n …

Minimale Triangulierungen II


Operationen auf Triangulierungen I

n Eckenverdopplung

n Kantenschrumpfung


Operationen auf Triangulierungen IIn "Drehen" einer Kante Kombination

Eckenverdopplung + Kantenschrumpfung

n E – K + F = 2!


Minimale Triangulierungenn Konvexe Polyeder landen immer beim Tetraeder!

n 2-Torus hat 21 minimale Triangulierungen!n 1 mit 7 Punktenn 4 mit 8 Punktenn 15 mit 9 Punktenn 1 mit 10 Punkten

n Weitere Anzahlen und explizite Auflistungen minimaler Triangulierungen derzeit nicht bekannt.


2-Torusn Kartesisches Produkt zweier Kreisen Verheften gegenüberliegener Rechteckseiten

http://de.wikipedia.org/wiki/Torus

http://de.wikipedia.org/wiki/Torus


Minimale Triangulierungen des 2-Torusn 21 minimale Triangulierungen des 2-Torus:

n 1 mit 7 Punktenn 4 mit 8 Punktenn 15 mit 9 Punktenn 1 mit 10 Punkten

9 Pkte

10 Pkte

8 Pkte

7 Pkte


Wie bettet man 2-Tori ein?n Probieren, Erfahrungswerte, …

n "Aufblasen" von Tori geht schief!

n Einbettung in 3-Sphärenn Realisierung der 3-Sphärenn Realisierung von Orientierten Matroide

n Nachweis, dass alle 2-Tori in eine realisierbare 3-Sphäre einbettbar sind.n Nachweis, dass Eckenverdopplung auch in 3-

Sphäre klappt.


Was ist eine 3-Sphäre?n 1-Sphäre = Rand der 2-Kugel

n Verheften 2 2-Kugeln entlang ihrer 1-Sphären

n 2-Sphäre = Rand der 3-Kugeln Verheften 2 3-Kugeln entlang ihrer 2-Sphären

n 3-Sphäre = Rand der 4-Kugeln Verheften 2 4-Kugeln entlang ihrer 3-Sphären

n …n Beispiele: Platonische Körper und ihre

höherdimensionalen Analogan Nutzen Triangulierungen davon


Einbettung I – 2-Torus in S3

n Hyperkubusn Verheftung

von 3-Würfeln entlang ihrer Seitenflächen.

n Quadratisches Torusnetz

http://de.wikipedia.org/wiki/Tesserakt

http://de.wikipedia.org/wiki/Tesserakt


Einbettung II– Hopffaserung der S3

n Zwei Volltori werden so miteinander verklebt, dass kein Rand bleibt. Da je zwei Quadrate miteinander verheftet werden, ist gewährleistet, dass das Ergebnis lokal zum R3 isomorph ist.


Wie realisiert man eine S3 ?n Probieren, Erfahrungswerte, …n Experimente – "Aufblasen" reloaded

n Man beginnt mit dem Aufblasen einer Facetten Danach versucht man ein energieminimales

Diagramm zu erzeugen ...

n Einbettung in Orientierte Matroiden Realisierung der Orientierten Matroiden Pseudohypersphärenarrangements


Realisierung von 3-Sphären


Resümeen Unser Weg führte uns von der Geometrie über die Symmetrie zur

Kombinatorik und von dort weiter zur Topologie.n Kombinatorische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten stehen in

Beziehung zu topologischen Eigenschaften.n Beginnt man nun mit einer Verallgemeinerung der

kombinatorischen Strukturen, dann kann man danach fragen ob wir unsere Schritte auch umkehren können.

n Wir haben Werkzeuge kennen gelernt, um einen erweiterten "Satz von Steinitz" für orientierbare polyedrische 2-Mannigfaltikeiten beantworten zu können.

n Aussagen und Werkzeuge spielen in der Mathematik und in der Computergrafik eine wichtige Rolle, reichen aber hinein in Konstruktionslehre und Chemie.


[email protected]äude D21, Raum 321

Tel. 06151 / 16-8599

Vielen Dankfür Ihre

Aufmerksamkeit!!!


Hyperlinks

n http://de.wikipedia.org

n http://en.wikipedia.org

n http://web.informatik.uni-bonn.de/I/GeomLab/CompGeomBasics.html

mailto:[email protected]

http://de.wikipedia.org

http://en.wikipedia.org

http://web.informatik.uni-bonn.de/I/GeomLab/CompGeomBasics.html

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