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Eine kleine Sammlung
abiturähnlicher Aufgaben
– Grundkurs –
Analysis
Mountainbike
Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Bei einer Monatsproduktion von x Mountainbikesentstehen Fixkosten in Höhe von 5000e und variable Kosten V(x) (in e), die durch folgendeTabelle modellhaft gegeben sind:
x 0 2 6 10
V(x) 0 306 954 1650
a) Bestimme die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 2. Grades V sowie dermonatlichen Herstellungskosten H in Abhängigkeit von x. Skizziere das Schaubild von H
für 0 < x < 200 in ein geeignetes Koordinatensystem. Bei welcher Produktionszahl sinddie variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fixkosten?
b) Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 450e pro Stückan einen Händler verkauft. Gib den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von x an undskizzieren Sie das Schaubild der Gewinnfunktion in das vorhandene Koordinatensystem.Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn? Wie hoch ist der maximaleGewinn pro Monat?
c) Durch große Konkurrenz auf dem Markt muss die Firma den Preis pro Mountainbikesenken. Um wie viel Prozent vom ursprünglich erzielten Preis ist dies höchstens möglich,wenn pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden und der Gewinn mindestens 2000ebetragen soll?
Gruber/Neumann: Erfolg im Mathe-Abi 2007. Freiburg, Freiburger Verlag 2006
Küstenlinie
Ein Naturschutzgebiet hat in idealisierter Weise dendargestellten Küstenverlauf. Im Scheitel der Buchtzwischen den zwei Kaps - diese entsprechen den Punk-ten C und D - befindet sich ein Hafen (Punkt B). Zurnäherungsweisen Beschreibung des Gebietes wird einrechtwinkliges Koordinatensystem so gelegt, dass derPunkt A im Nullpunkt liegt und die x-Achse das Na-turschutzgebiet begrenzt. Die Koordinaten der Punk-te B und C sind gegeben: B(1|2) und C(2|4). Eine Län-geneinheit soll 10 km in der Realität entsprechen.
a) Bestimme mit Hilfe der Punkte A, B und C ei-ne geeignete Polynomfunktion 4. Grades, die denKüstenverlauf der Küste mit den Punkten A, B
und C beschreibt. Begründe diesen Ansatz sowiedie verwendeten Bedingungen.
b) Zwischen den Spitzen der beiden Kaps C und D soll eine Richtfunkstrecke eingerichtetwerden. Verwende für den Küstenverlauf die Funktion f mit f(x) = −3x4+14x3−21x2+12x
und berechne die Entfernung zwischen C und D.
c) Vom Hafen B startet ein Ausflugsboot zum nächstgelegenen Punkt der gegenüberliegen-den Küste. Diese Küstenlinie wird beschrieben durch die Funktion k(x) = 0,5x2−0,25x+4.Berechne die Länge der Fahrtstrecke.
d) Bestimme den Kurs, d.h. den Winkel zur Nordrichtung, den das Boot einschlagen muss,um von B zum Punkt P(0,5|4) zu gelangen.
e) Aus historischen Landkarten geht hervor, dass in früheren Jahrhunderten die Küstenlinieeinen anderen Verlauf hatte. Diese alte Küstenlinie ging nur durch die Punkte B undC des heutigen Naturschutzgebiets und lässt sich durch eine Funktion g mit g(x) =
0, 5x2 + 0, 5x + 1 beschreiben. Berechne den Landgewinn für das Gebiet zwischen A
und C, der durch die Veränderung des Meeresspiegels entstanden ist und begründe deinVorgehen.
Gruber/Neumann: Erfolg im Mathe-Abi 2007. Freiburg, Freiburger Verlag 2006
Küstenlinie - Lösung
zu a) Bestimme mit Hilfe der Punkte A, B und C eine geeignete Polynomfunktion 4. Grades,die den Küstenverlauf der Küste mit den Punkten A, B und C beschreibt. Begründediesen Ansatz sowie die verwendeten Bedingungen.Ansatz: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Gemäß den Informationen aus Text und Abbildung ist:f(0) = 0, f(1) = 2, f ′(1) = 0, f(2) = 4, f ′(2) = 0Diese Informatinen führen auf ein 5 × 5-Gleichungssystem, dessen Lösung mit demGTR bestimmt wird: a = −3, b = 14, c = −21, d = 12, e = 0.Man erhält also die Funktion f(x) = −3x4 + 14x3 − 21x2 + 12x.
zu b) Zwischen den Spitzen der beiden Kaps C und D soll eine Richtfunkstrecke eingerichtetwerden. Verwende für den Küstenverlauf die Funktion f mit f(x) = −3x4+14x3−21x2+
12x und berechne die Entfernung zwischen C und D.D ist offensichtlich ein Hochpunkt des Graphen; wir können die Koordinaten von D
daher ermitteln, indem wir die Extremstellen suchen (zwei davon kennen wir ja schon).Hier helfen die Ableitungen:f(x) = −3x4 + 14x3 − 21x2 + 12x
f ′(x) = −12x3 + 42x2 − 42x + 12f ′′(x) = −36x2 + 84x − 42Die notwendige Bedingung für Extremstellen (f ′(x) = 0) ist wegen −12x3+42x2−42x+
12 = 0 GTR⇔ x = 0,5 ∨ x = 1 ∨ x = 2 außer an den bereits bekannten Stellen noch fürx = 0,5 erfüllt.Die hinreichende Bedingung für Extremstellen (f ′(x) = 0 ∧ f ′′(x) 6= 0) ist für x = 0,5wegen f ′′(0,5) = −9 ebenfalls erfüllt (aber das war ohnehin klar).Mit f(0,5) = 2,3125 erhalten wir D(0,5|2,3125).Der Abstand zwischen C und D ergibt sich dann alsd(C, D) =
√
(0,5 − 2)2 + (2,3125 − 4)2 ≈= 2,2578.Die gesuchte Entfernung beträgt also etwa 22,6 km.
zu c) Vom Hafen B startet ein Ausflugsboot zum nächstgelegenen Punkt der gegenüberlie-genden Küste. Diese Küstenlinie wird beschrieben durch die Funktion k(x) = 0,5x2 −
0,25x + 4. Berechne die Länge der Fahrtstrecke.Wir suchen den Abstand von B(1|2) zu einem Punkt P(x|k(x)) der Küstenlinie.Dieser Abstand berechnet sich als d(C, P) =
√
(x − 1)2 + (k(x) − 2)2, also d(C, P) =√
(x − 1)2 + (0,5x2 − 0,25x + 4 − 2)2 =√
0,25x4 − 0,25x3 + 3,0625x2 − 3x + 5.Der Term
√
0,25x4 − 0,25x3 + 3,0625x2 − 3x + 5 wird minimal, wenn 0,25x4 − 0,25x3 +
3,0625x2 − 3x + 5 minimal wird, so dass wir nach den Extremstellen von d̃ mit d̃(x) =
0,25x4 − 0,25x3 + 3,0625x2 − 3x + 5 suchen müssen; das Minimum bei x = 0,5 findetman völlig mühelos.Wir erhalten den gesuchten Abstand, indem wir x = 0,5 in d(C, P) einsetzen; es ergibtsich d(C, P) =
√4,25 ≈ 2,0616.
Die Fahrtstrecke ist also etwa 20,6 km lang.
zu d) Bestimme den Kurs, d.h. den Winkel zur Nordrichtung, den das Boot einschlagenmuss, um von B zum Punkt P(0,5|4) zu gelangen.Diese Aufgabe ist beleidigend einfach, es ist tan(α) = Gegenkathete
Ankathete = ∆x∆y
= 0,52 = 0,25,
also α ≈ 14,036o.Das Boot sollte also einen Kurs von etwa 14o einschlagen.
zu e) Aus historischen Landkarten geht hervor, dass in früheren Jahrhunderten die Küsten-linie einen anderen Verlauf hatte. Diese alte Küstenlinie ging nur durch die PunkteB und C des heutigen Naturschutzgebiets und lässt sich durch eine Funktion g mitg(x) = 0, 5x2 +0, 5x+1 beschreiben. Berechne den Landgewinn für das Gebiet zwischenA und C, der durch die Veränderung des Meeresspiegels entstanden ist und begründedein Vorgehen.Hier interessieren wir uns für das Integral der Funktion d mit d(x) = f(x)−g(x) in denGrenzen von 0 bis 2. Wir berechnen hier nicht etwa die Fläche zwischen den Graphen,sondern die Bilanzsumme, weil es an einigen Stellen auch Landverlust gibt.2∫
0f(x) − g(x)dx =
2∫
0−3x4 + 14x3 − 21,5x2 + 11,5x − 1dx = 7
15 ≈ 0,467
Der Landgewinn beträgt also etwa 46,7 km2.
Umgehungsstraße
Quer und schnurgerade durch den kleinen niederrheinischen Ort Raas geht eine vielbefahreneBundesstraße. Die Bewohner des Ortes haben lange gekämpft, nun soll endlich die langer-sehnte Umgehungsstraße gebaut werden. Die Abbildung zeigt einen Kartenausschnitt, aufdem die alte Bundesstraße (Gerade durch die Punkte A und C) und der ungefähre Verlaufder neuen Umgehungsstraße (gestrichelte Kurve) eingezeichnet sind (alle Angaben in km).
a) Bestimme aus der Grafik die lineare Funktion, die die alte Bundesstraße beschreibt.
b) Die neue Umgehungsstraße soll im Punkt A „glatt“ an der alten Bundesstraße anschlie-ßen, sie soll durch den Punkt B gehen und am Punkt C unter einem beliebigen Winkelwieder auf die Bundesstraße treffen. Bestimme mit Hilfe der Skizze und den genanntenBedingungen eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die die Umgehungsstraße zwi-schen den Anschlusspunkten beschreibt.
Zur Kontrolle: f(x) = −16x3 −
13x2 +
16x +
116
c) Nördlich der Geraden y = 2 befindet sich ein Naturschutzgebiet. Der Abstand der neuenUmgehungsstraße zu diesem Gebiet soll den Abstand von 100m nicht unterschreiten.Untersuche, ob die durch die Funktion f beschriebene Straße diese Anforderung erfüllt.
d) Bestimme den Punkt der Umgehungsstraße, in dem sich das Krümmungsverhalten derStraße ändert.
e) Der nördliche Ortsrand von Raas ist näherungsweise parabelförmig und wird durch die
Funktion g(x) = −34x2 −
12x +
54
recht gut beschrieben. Die Fläche, die von der neuen
Umgehungsstraße, dem nördlichen Ortsrand und Teilen der Bundesstraße eingeschlossenwird, ist Eigentum der Gemeinde Raas und soll vollständig in ein Gewerbegebiet um-gewandelt werden. Stelle diese Fläche in der Graphik dar und bestimme die Höhe derEinnahmen, mit denen der Stadtkämmerer rechnen kann, wenn das Land vollständig zueinem Preis von 10e pro m2 verkauft wird.
Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik
als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.
Lipnature
Die Kosmetikfirma „lipnature“, die sich auf die Produktion von Lippenpflegeprodukten spe-zialisiert hat, möchte ein neues Firmenlogo entwerfen. Die PR-Abteilung der Firma schlägtdem Vorstand vor, dem neuen Firmenlogo die Form eines „Kussmundes“ zu verleihen. DieUmrandung der Oberlippe entspricht dem Graphen einer achsensymmetrischen Funktionvierten Grades (f1), welche an der Stelle x0 = 4 eine Nullstelle und an der Stelle xE = −2 einrelatives Extremum besitzt. Zudem schneidet der Graph die y-Achse an der Stelle yS = 2.Für die Randlinie der Unterlippe soll der Graph einer quadratischen Funktion f2 benutzt
werden, die durch die Funktionsgleichung f2(x) =18x2 − 2 gegeben ist.
a) Bestimme die Gleichung der Funktion f1, welche die Randlinie der Oberlippe beschreibt.
[Zur Kontrolle: f1(x) = −164
x4 +18x2 + 2]
b) Bestimme die gemeinsamen Schnittpunkte der Funktionen f1 und f2.
c) Bestimme alle relativen Extrempunkte sowie Wendepunkte der Funktion f1.
d) Skizziere das Firmenlogo.
e) Berechne den Flächeninhalt des „Kussmundes“.
f) Die PR-Abteilung der Kosmetikfirma schlägt vor, den Firmennamen „lipnature“ alsSchriftzug so in den Kussmund zu integrieren, dass er in einem Rechteck zwischen derx-Achse und der Unterlippenrandlinie erscheint. Berechne die Maße des entsprechendenRechtecks maximalen Flächeninhalts und geben Sie zudem die Flächenmaßzahl an.
g) Die Fläche des in Teilaufgabe f) ermittelten Rechtecks reicht nicht aus, um den Fir-mennamen angemessen darin unterbringen zu können. Nun soll die Gleichung, welchedie Unterlippenrandlinie beschreibt, derart verändert werden, dass die Nullstellen beix0 = ±4 erhalten bleiben, aber die Lage des Scheitelpunkts auf der y-Achse variierenkann. Zeige, dass alle möglichen Unterlippenrandlinien durch eine allgemeine Funktionft mit ft(x) = tx2 − 16t (t ∈ R
>0) wiedergegeben werden.
Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik
als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.
Lipnature - Lösung
zu a) Bestimmung der Funktionsgleichung
Ansatz für die achsensymmetrische Funktion vierten Grades:
f(x) = ax4 + bx2 + cBedingungen:f1 hat an der Stelle x0 = 4 eine Nullstelle, also f1(4) = 0,f1 hat an der Stelle xE = −2 ein relatives Extremum, also f ′
1(−2) = 0 undder Graph schneidet die y-Achse an der Stelle yS = 2, also f1(0) = 2.Aus f1(0) = 2 folgt sofort c = 2. Die beiden anderen Bedingungen liefern:f1(4) = 0 : 256a + 16b + 2 = 0f ′1(−2) = 0 : − 32a − 4b = 0
Ergo:∣
∣
∣
∣
256a + 16b
−32a − 4b
=
=
−20
∣
∣
∣
∣
⇔∣
∣
∣
∣
256a + 16b
128a
=
=
−2−2
∣
∣
∣
∣
:
:
b = 18
a = − 164
Die gesuchte Funktionsgleichung ist also
f(x) = −164
x4 +18x2 + 2
zu b) Um die Schnittpunkte der beiden Graphen zu finden, setzt man die beiden Funktions-terme gleich:
−164
x4 +18x2 + 2 =
18x2 − 2 ⇔ −
164
x4 = −4 ⇔ x4 = 256 ⇔ x = 4 ∨ x = −4
Mit f1(−4) = f2(−4) = 0 und f1(4) = f2(4) = 0 ergeben sich die Schnittpunkte sind alsoS1(−4|0) und S2(4|0).
zu c) In dieser Teilaufgabe sind Ableitungen vonnöten:
f ′1(x) = −116
x3 +14x, f ′′1 (x) = −
316
x2 +14
und f ′′′1 (x) = −38x
Extrempunkte:notwendige Bedingung für Extrema: f ′
1(x) = 0− 1
16x3 + 1
4x = 0 ⇔ − 116x(x2 − 4) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −2 ∨ x = 2
hinreichende Bedingung für Extrema: f ′1(x) = 0 ∧ f ′′
1 (x) 6= 0
f ′′1 (0) =14
> 0 ; Min T(0|2)
f ′′1 (−2) = −12
< 0 ; Max H1(−2|2,25)
f ′′1 (2) = −12
< 0 ; Max H2(2|2,25)
Wendepunkte:notwendige Bedingung für Wendepunkte: f ′′
1 (x) = 0
− 316x
2 + 14 = 0 ⇔ − 3
16(x2 − 4
3) = 0 ⇔ x = −√
43 ∨ x =
√
43
hinreichende Bedingung für Wendepunkte: f ′′1 (x) = 0 ∧ f ′′′
1 (x) 6= 0
f ′′′1
(
−√
43
)
= −38·(
−√
43
)
> 0 ; re-li-WP W1(−1,15|2,15)
f ′′′1
(√
43
)
= −38·(√
43
)
< 0 ; li-re-WP W2(1,15|2,15)
zu d) Skizze des Firmenlogos
zu e) Flächeninhalt des Kussmundes
A =4∫
−4f1(x) − f2(x)dx = 2 ·
4∫
0f1(x) − f2(x)dx = 2 ·
4∫
0− 1
64x4 + 4 dx = 2 ·
[
− 1320x
5 + 4x]40 =
2 ·((
−1024320 + 16
)
− (0))
= 2 · 12,8 = 25,6 [FE]
zu f) ExtremwertaufgabeGesucht ist ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt:
A = a · b
Wir betrachten zunächst nur die rechte Hälfte des Rechtecks.Nebenbedingungen:
a = x und b = −f2(x) = −18x2 + 2
Funktionsgleichung:
A(x) = x ·(
−18x2 + 2
)
= −18x3 + 2x
Bestimmung der Extremwerte:notwendige Bedingung für Extrema: A ′(x) = 0
A ′(x) = −38x2 + 2 = 0 ⇔ x2 =
163
⇔ x = −4√3
∨ x =4√3
(−4√3
wird verhöhnt.)
notwendige Bedingung für Extrema: A ′(x) = 0
A ′′
(
4√3
)
= −34·(
4√3
)
< 0 ; Max
A
(
4√3
)
= −8
3√
3+ 2 · 4√
3=
16
3√
3≈ 3,079 [FE]
; Der Flächeninhalt des ganzen Rechteks ist demnach 6,158 FEBeachte: Der Vergleich mit den Rändern erbringt wegen A(0) = A(4) = 0 keine neuenErkenntnisse.
zu g) FunktionsscharAnsatz für die gesuchte Funktion:
f(x) = tx2 + c
Bedingungen: f(4) = 0, also 16t + c = 0, also c = −16t
Ergo:ft(x) = tx2 − 16t
Der Bahndamm
In einem ebenen Gelände soll für eine neue Bahn-trasse auf einer Strecke von 3 km der zugehöri-ge Bahndamm neu errichtet werden. Dabei sollendie folgenden, in der Abbildung angedeuteten Be-dingungen eingehalten werden: Die „Hangkurven“auf den Intervallen [−16; −10] und [0; 6] sind ach-sensymmetrisch zueinander. Für die Kurve aufdem Intervall [0; 6] wird angenommen, dass sieeiner ganzrationalen Funktion dritten Gradesentspricht, die bei x = 0 einen Hochpunkt hat. Wie die Grafik zeigt befinden sich bei x = 4und bei x = 6 Nullstellen.a) Rekonstruiere aus den gegebenen Daten die Funktionsgleichung für die Kurve auf dem
Intervall [0; 6]. [zur Kontrolle: f(x) = 548x3 − 19
24x2 + 6]
b) Damit das Material nicht abrutscht, darf die Steigung am Hang maximal 65o betragen.Wird dieser Wert eingehalten?
c) Welche Tiefe hat die Rinne an ihrer tiefsten Stelle?
d) Wie groß (in m3) ist die für den Bau des Damms heranzuschaffende Menge an Erde?Bedenke dabei auch den Aushub!
e) Ein Alternativvorschlag geht von einem einfachen gleichschenkligen Trapez ABCD aus.Welcher Vorschlag ist bezüglich der zu beschaffenden Erde günstiger? Auf welche Stelleauf der x-Achse müsste der Punkt B verschoben werden, damit die zu beschaffende Erdebei beiden Vorschlägen gleich groß ist?
f) Die Planungskommission möchte zur Überprüfung auch die Funktionsgleichung für denDamm über dem Intervall [−16; −10] kennen. Bestimme diese mit Hilfe von Symmetrie-überlegungen und Verschiebung entlang der x-Achse.
Cornelsen
Zwei Graphen
Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Gleichungen f(x) = kxe1−2x und g(x) =
kx2e1−2x, x ∈ R, kgeq0. In der Abbildung sind die zugehörigen Graphen Gf und Gg darge-stellt.
a) Begründe, dass die Zuordnung im Koordinaten-system korrekt erfolgt ist.
b) Es wird behauptet, dass der Hochpunkt von Gg
mit dem Wendepunkt von Gf zusammenfällt.Prüfe diese Behauptung.
c) Zeige, dass es genau zwei Stellen gibt, an denen f
und g die gleiche Steigung haben.
d) Weise nach, dass S(x) = k2 x2e1−2x eine Stamm-
funktion von s(x) = f(x) − g(x) ist.
e) Für welchen Wert von k schließen die beiden Gra-phen auf dem Intervall von 0 bis zur Schnittstelleder Graphen eine Fläche von 1 FE ein?
f) Es sei k = 3. Die Gerade zu x = u schneidet dieGraphen in den Punkten A und B. Der PunktC(0|1) liegt auf der y-Achse. Für welchen Wertvon u ist der Inhalt des Dreiecks ABC am größ-ten? Hängt das Ergebnis überhaupt von k ab?
Cornelsen
Stausee
Ein Stausee ändert seine Wassermenge. Zunächstwird er mit Wasser gefüllt. Die Zulaufratenfunkti-on ist gegeben durch
z(x) = (x2 − 10x + 24) · e 1
2x
Der Graph von z ist rechts abgebildet.Dabei wird x in Tagen und z(x) in tausend Ku-bikmeter pro Tag angegeben. Betrachtet wird dasIntervall [0; 6, 5], d.h.: 0 6 x 6 6, 5.Hinweis: Eine negative Zulaufrate bedeutet, dassWasser aus dem Stausee herausläuft.Ohne eigene Herleitung dürfen Sie im Weiteren
z ′′(x) =(
14x
2 − 12x − 2
)
· e 1
2x und
z ′′′(x) =(
18x
2 + 14x − 3
2
)
· e 1
2x verwenden.
a) Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt. Geben Siedie Zeitintervalle an, in denen Wasser zu- bzw. abläuft.
b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maximalist.Zeigen Sie, dass z ′(x) =
(
12x
2 − 3x + 2)
· e 1
2x gilt.
c) Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunktx = 5 möglich sind.
d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert.
e) Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich im Becken wieder die Anfangs-wassermenge befindet. Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen.
f) In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt x =
0 befinden sich bereits 5 000 Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion derBakterien ist gegeben durch w(x) = x3 − 12x2 + 35x. Dabei wird x wieder in Tagenangegeben und w(x) in 10 000 Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakteriennach 3 Tagen.
Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik
als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.
Stausee - Lösung
zu a) Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt. Geben Siedie Zeitintervalle an, in denen Wasser zu- bzw. abläuft.Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt, sind x = 4 und x = 6 (alsoam Ende des 4. Tages und am Ende des 6. Tages). Dieses Ergebnis ergibt sich aus
z(x) = 0⇔ (x2 − 10x + 24) · e 1
2x = 0
⇔ x2 − 10x + 24 = 0 ∨ e1
2x = 0
⇔ x2 − 10x + 24 = 0⇔ x = 4 ∨ x = 6
Das Zulaufen von Wasser ist gleichbedeutend mit z(x) > 0, das Ablaufen von Wasser istgleichbedeutend mit z(x) < 0. Hieraus ergibt sich, dass für 0 6 x < 4 Wasser zuläuft, für4 < x < 6 Wasser abläuft und für x > 6 wieder Wasser zuläuft.
zu b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maximalist.Zeigen Sie, dass z ′(x) =
(
12x
2 − 3x + 2)
· e 1
2x gilt.
Das gesuchte Maximum liegt entweder an den Rändern oder an einem relativem Maxi-mum vor. Für das Auffinden relativer Maxima benötigen wir die erste Ableitung.
z(x) = (x2 − 10x + 24) · e 1
2x u(x) = x2 − 10x + 24 u ′(x) = 2x − 10
v(x) = e1
2x v ′(x) = 1
2· e 1
2x
z ′(x) = (2x − 10) · e 1
2x + (x2 − 10x + 24) · 1
2 · e 1
2x
= (2x − 10) · e 1
2x +
(
12x
2 − 5x + 12)
· e 1
2x
=(
2x − 10 + 12x
2 − 5x + 12)
· e 1
2x
=(
12x2 − 3x + 2
)
· e 1
2x
Wir suchen nun relative Extrema:Notwendige Bedingung: z ′(x) = 0
z ′(x) = 0⇔
(
12x2 − 3x + 2
)
· e 1
2x = 0
⇔ 12x
2 − 3x + 2 = 0 ∨ e1
2x = 0
⇔ 12x2 − 3x + 2 = 0
⇔ x2 − 6x + 4 = 0⇔ x = 3 −
√5 ∨ x = 3 −
√5
⇔ x ≈ 0,763 ∨ x ≈ 5,236Hinreichende Bedingung: z ′(x) = 0 ∧ z ′′(x) 6= 0
z ′′(3 −√
5) =(
14(3 −
√5)2 − 1
2(3 −√
5) − 2)
· e 1
2(3−
√5) ≈ −3,276 < 0
z ′′(3 +√
5) =(
14(3 +
√5)2 − 1
2(3 +√
5) − 2)
· e 1
2(3+
√5) ≈ 30,654 > 0
Bei x = 3 −√
5 liegt also ein Hochpunkt und bei x = 3 +√
5 ein Tiefpunkt vor. Mitz(3−
√5) ≈ 24,826 und z(3−
√5) ≈ −12,945 erhalten wir H(0,763|24,826) als Hochpunkt
und T(5,236| − 12,945) als Tiefpunkt.Wegen z(0) = 24 < 24,826 < 32,238 = z(6,5) nimmt z sein absolutes Maximum auf demRand des Definitionsbereichs an, nämlich bei x = 6,5.
zu c) Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunktx = 5 möglich sind.Mit z(5) ≈ −12,18249396 erfahren wir, dass die Wassermenge zum Zeitpunkt x = 5 sehrstark abnimmt (zum Vergleich: z(3−
√5) ≈ −12,945, siehe 2.). Wäre die Zulaufrate einen
ganzen Tag lang so niedrig wie zum Zeitpunkt x = 5, würden etwa 12 182,5 m3 Wasserablaufen.
zu d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert.Die größte Änderung von z liegt an einer Extremstelle von z ′ (also an einer Wendestellevon z) oder am Rand vor. Wir suchen daher zunächst nach Wendestellen:Notwendige Bedingung: z ′′(x) = 0
z ′(x) = 0⇔
(
14x2 − 1
2x − 2)
· e 1
2x = 0
⇔ 14x
2 − 12x − 2 = 0 ∨ e
1
2x = 0
⇔ 14x2 − 1
2x − 2 = 0⇔ x2 − 2x − 8 = 0⇔ x = −2 ∨ x = 4
Hinreichende Bedingung: z ′′(x) = 0 ∧ z ′′′(x) 6= 0z ′′(4) =
(
18 · 42 + 1
4 · 4 − 32
)
· e 1
2·4 ≈ 11,084 > 0
x = −2 liegt außerhalb des Definitionsbereiches.Aus z ′(0) = 2, z ′(4) ≈ −14,778 und z ′(6.5) ≈ 93,490 entnehmen wir, dass sich dieZulaufrate zum Zeitpunkt x = 6,5 am stärksten ändert.
zu e) Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich im Becken wieder die Anfangs-wassermenge befindet. Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen.Die Menge zufließenden Wassers wird repräsentiert durch die Flächen oberhalb der x-Achse, die Menge abfließenden Wassers wird repräsentiert durch die Fläche unterhalb derx-Achse. Da letztere ersichtlich wesentlich kleiner ist als die Fläche, die für den erstenZulauf steht (also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse über dem Intervall[0; 4]), wird die Anfangswassermenge nicht wieder erreicht.
zu f) In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunktx = 0 befinden sich bereits 5 000 Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktionder Bakterien ist gegeben durch w(x) = x3 − 12x2 + 35x. Dabei wird x wieder in Tagenangegeben und w(x) in 10 000 Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakteriennach 3 Tagen.
In den ersten 3 Tagen kommen 10 000 ·3∫
0x3 − 12x2 + 35xdx Bakterien hinzu, d. h. für die
Anzahl W der Bakterien zum Zeitpunkt x = 3 gilt:
W(3) = W(0) + 10 000 ·3∫
0
x3 − 12x2 + 35xdx.
Wegen3∫
0x3 − 12x2 + 35xdx =
[
14x
4 − 4x3 + 17,5x2]30 = 69,75 gibt es nach 3 Tagen W(3) =
5 000 + 697 500 = 702 500 Bakterien.
Arzneimittelkonzentration
Bei einer Arznei, z. B. einer Tablette, steht die Wirkung (z. B. Schmerzlinderung o.a.) indirektem Zusammenhang mit der Konzentration des in der Arznei enthaltenen Wirkstoffesim Blut, d.h., bei hoher Konzentration des Wirkstoffes verspurt der Patient eine intensiveWirkung. Die Konzentration des Wirkstoffes im Blut wird in µg pro Liter angegeben. Dienachfolgende Graphik zeigt die Änderungsrate der Konzentration in µg pro Liter je Stundein Abhangigkeit von der Zeit t in h.Dabei ist t die Zeit in h seit Beginn der Einnahme (t = 0).
Änderungsrate inµg pro Liter / h
t in h
a) Gib die Zeitintervalle an, in denen die Wirksamkeit zunimmt und die Zeitintervalle, indenen die Wirksamkeit abnimmt. Begründe deine Aussagen.
b) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Wirkstoffes am größten ist undbegründe dein Ergebnis.
c) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt die Abnahme der Konzentration am größten ist undbegründe dein Ergebnis.
d) Die Wirksamkeit der Arznei wird durch die Funktion f mit der Funktionsgleichung
f(t) = 3t · e2−t (t > 0)
beschrieben. Dabei beschreibt f(t) die Konzentration des Wirkstoffes im Blut (gemessenin µg pro Liter) zur Zeit t (gemessen in h seit der Einnahme). Weise unter Verwendungvon f rechnerisch nach, dass dein Ergebnis aus Teilaufgabe b) korrekt ist. (Falls du b)nicht gelöst hast, berechne nun den in b) gesuchten Zeitpunkt). Berechne auch die Höheder Konzentration zu diesem Zeitpunkt.
e) Begründe, dass das Vorzeichen von f ′ durch den Term 3−3t bestimmt wird, und erkläremit Hilfe dieser Aussage nachträglich den Verlauf des abgebildeten Graphen.
f) Beschreibe den zeitlichen Verlauf der Wirksamkeit der Arznei.
Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik
als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.
Arzneimittelkonzentration - Lösung
zu a) Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen die Wirksamkeit zunimmt und die Zeitin-tervalle, in denen die Wirksamkeit abnimmt. Begründen Sie Ihre Aussagen.Die Wirksamkeit nimmt zu, solange die Änderungsrate der Konzentration positiv ist,und sie nimmt ab, sobald die Änderungsrate der Konzentration negativ ist; also: dieWirksamkeit nimmt zu im Intervall 0 < x < 1, und sie nimmt ab für x > 1.
zu b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Wirkstoffes am größtenist und begründen Sie Ihr Ergebnis.Aus a) folgt sofort, dass die Konzentration zum Zeitpunkt x = 1 am größten ist, dennfür x > 1 nehmen die Konzentration und damit auch die Wirksamkeit ab.
zu c) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Abnahme der Konzentration am größtenist und begründen Sie Ihr Ergebnis.Hier suchen wir das Minimum der Änderungsrate; dieses liegt, wie der Graph zeigt,bei x = 2.
zu d) Die Wirksamkeit der Arznei wird durch die Funktion f mit der Funktionsgleichung
f(t) = 3t · e2−t (t > 0)
beschrieben. Dabei beschreibt f(t) die Konzentration des Wirkstoffes im Blut (gemes-sen in µg pro Liter) zur Zeit t (gemessen in h seit der Einnahme). Weisen Sie unterVerwendung von f rechnerisch nach, dass Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe b) korrekt ist.(Falls Sie b) nicht gelöst haben, berechnen Sie nun den in b) gesuchten Zeitpunkt).Berechnen Sie auch die Höhe der Konzentration zu diesem Zeitpunkt.Dass für t = 0 und für t = ∞ die Konzentration = 0 ist, liegt auch ohne Rechnung aufder Hand. Also ist hier das relative Maximum auch das absolute Maximum:Für dessen Bestimmung benötigen wir die ersten beiden Ableitungen:
f(t) = 3t · e2−t u(t) = 3t u ′(t) = 3v(t) = e2−t v ′(t) = −e2−t
f ′(t) = 3 · e2−t + 3t · (−e2−t)
= (3 − 3t) · e2−t
u(t) = 3 − 3t u ′(t) = −3v(t) = e2−t v ′(t) = −e2−t
f ′′(t) = −3 · e2−t + (3 − 3t) · (−e2−t)
= (−6 + 3t) · e2−t
Notwendige Bedingung: f ′(t) = 0f ′(t) = 0
⇔ (3 − 3t) · e2−t = 0⇔ 3 − 3t = 0 ∨ e2−t = 0⇔ 3 − 3t = 0⇔ t = 1
Hinreichende Bedingung: f ′(t) = 0 ∧ f ′′(t) 6= 0f ′′(1) = (−6 + 3) · e2−1 = −3 · e ≈ −8,155 < 0
Bei t = 1 liegt also ein Hochpunkt vor. Mit f(1) = 3 · e ≈ 8,155 erhalten wir T(1|8,155)
als Hochpunkt. Für t = 1 haben wir also die höchste Konzentration des Wirkstoffs imBlut, nämlich 8,155 µg pro Liter.
zu e) Begründen Sie, dass das Vorzeichen von f ′ durch den Term 3 − 3t bestimmt wird,und erklären Sie mit Hilfe dieser Aussage nachträglich den Verlauf des abgebildetenGraphen.Der Funktionsterm von f ′(t) ist ein Produkt aus zwei Faktoren, nämlich 3 − 3t unde2−t. Weil e2−t positiv ist für alle t, hängt das Vorzeichen von f ′ nur von 3 − 3t ab,d. h. f ′ ist positiv, wenn 3−3t > 0, wenn also t < 1, und f ′ ist negativ, wenn 3−3t < 0,wenn also t > 1. Genau dies zeigt der Graph.
zu f) Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Wirksamkeit der Arznei.Die Wirksamkeit der Arznei nimmt zunächst rasch zu und erreicht nach einer Stundeihren Höhepunkt (Konzentration: 8,154 µg pro Liter). Danach nimmt sie fast ebensorasch wieder ab. Nach 4 Stunden liegt die Konzentration nur noch bei 1,624 µg proLiter, nach 6 Stunden bei 0,3296 µg pro Liter und nach 8 Stunden nur noch bei 0,059 µgpro Liter. Entsprechend gering ist die Wirkung.
Eine merkwürdige Pflanze
Die Wachstumsrate einer sehr merkwürdigen Pflanze kannnäherungsweise beschrieben werden durch die Funktion f mit
f(t) =(
−t2 + t + 34
)
et− 1
2 und t ∈ [ 0 ; 2,1 ].
Dabei steht t für die Zeit in Stunden ab Beginn der Messungund f(t) für den Höhenzuwachs in Meter pro Stunde. Zu Beginnder Untersuchung ist die Pflanze 20 cm hoch.
Hinweis: Ohne Rechnung darf vorausgesetzt werden, dass dort, wo die
notwendige Bedingung für Wendestellen erfüllt ist, auch tatsächlich eine
Wendestelle vorliegt.
a) Bestimme die Nullstellen von f und erläutere ihre Bedeutung.
b) Ermittle den Zeitpunkt, an dem die Pflanze am schnellsten wächst.[
Nur zum Vergleich: f ′(t) = (−t2 − t + 1,75)·et− 1
2
]
c) Ermittle den Zeitpunkt, an dem sich die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze amstärksten verändert.
d) Zeige, dass die Funktion F mit F(t) =(
−t2 + 3t − 2,25)
et− 1
2 eine Stammfunktion von f
ist.
e) Gib denjenigen Zeitpunkt an, an dem die Pflanze ihre größte Höhe erreicht hat.Ermittle, wie hoch die Pflanze zu diesem Zeitpunkt ist.
f) Erläutere, warum der Definitionsbereich von f auf das Intervall [ 0 ; 2,1 ] beschränkt ist.Ermittle, wie hoch die Pflanze zum Zeitpunkt t = 2,1 nach diesem Modell wäre.
g) Die Wachstumsrate einer zweiten Pflanze kann näherungsweise beschrieben werden durchdie Funktion g mit g(t) =
(
2t − t2)
et− 1
2
Untersuche, ob es einen Zeitpunkt gibt, an dem beide Pflanzen gleich schnell wachsen.
Radioaktiver Zerfall
Beim radioaktiven Zerfall einer Substanz S1 beschreibt m1(t) die Masse der noch nicht zer-fallenen Substanz zum Zeitpunkt t. Dabei wird m1(t) in mg und t in Stunden nach Beob-achtungsbeginn angegeben.Es gilt: m1(t) = 100 · e−0,5t.
a) Gib an, wie groß die Masse der Substanz S1 am Beobachtungsbeginn war.Berechne die Halbwertszeit dieses Zerfalls, d.h. die Zeit, nach der nur noch die Hälfteder ursprünglichen Substanz vorhanden ist.Bestimme die nach 6 Stunden bereits zerfallene Masse.
Das Zerfallsprodukt der radioaktiven Substanz S1 ist die Substanz S2. Auch diese Substanzist radioaktiv und zerfällt demzufolge weiter. Für die Masse m2(t) der noch nicht zerfallenenSubstanz S2 gilt dann:
m2(t) = 100 · e−0,5t · (1 − e−0,5t).
b) Berechne, wie viel an Substanz S2 zum Zeitpunkt t = 0 vorhanden ist und interpretieredieses Ergebnis.Begründe, dass es zu einem gewissen Zeitpunkt eine maximale Masse der Substanz S2
geben muss und berechne den Zeitpunkt und die zugehörige Menge.
c) Zeichne die Graphen von m1 und von m2 in ein Koordinatensystem ein.
Gegeben ist die Funktion g durch g(x) = −50 · e−0,5x + 100 · ·e−x (x ∈ R+).
d) Bestimme die Null- und Extremstellen von g.Beschreibe das Verhalten von g für x → ∞.Zeichne auch den Graphen von g in dein Koordinatensystem ein.Zeige, dass die Funktion m2 eine Stammfunktion zur Funktion g ist.
e) Bestimme den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen von g, der x-Achse und der y-Achse begrenzt wird.Interpretiere die Bedeutung des Integrals
t∫
0g(x) dx.
Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Jahr 1998 in Baden-Württemberg als Abituraufgabe für den Grundkurs gestellt.
Ableitung und Stammfunktion
Gegeben ist die Exponentialfunktion f mit der Gleichung f(x) = (x2 + 2x + 1) · e−x; x ∈ R
a) Bestimme für die Funktion f die Achsendurchschlagspunkte, das Verhalten im Unendli-chen und die relativen Extrema.
b) Gegeben sind die Graphen der Funktion f, der Graph ihrer Ableitungsfunktion f ′ undder Graph einer Stammfunktion F von f. Begründe möglichst vielseitig, dass nur Abb. 1den Graphen von f darstellen kann. Entscheide, welcher Graph f ′ und welcher Graph F
darstellt und begründe deine Entscheidung.
Abb. 1 Abb. 2 Abb. 3
c) Der Graph von f schließt im I. Quadranten mit der x-Achse eine Fläche ein.
� Zeige, dass die Funktion F mit F(x) = (−x2 − 4x − 5) · e−x + 3 eine Stammfunktion zuf ist.
� Berechne den Inhalt der oben beschriebenen Fläche.
� Zeichne den Graphen der Funktion g mit g(x) = e−x in Abb. 1 ein. Dieser Graphteilt die soeben berechnete Fläche in zwei Teile. Berechne das Teilverhältnis.
d) Gegeben ist das Integralb∫
−2(f(x) − g(x))dx. Für immer größer werdende Werte von b
nähert sich der Integralwert dem Wert 0. Interpretiere dieses Ergebnis hinsichtlich dervon den Graphen der Funktionen f und g insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik
als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.
Vektorgeometrie
Flugbahnen
Bei der Flugsicherung des Sportflughafens herrscht Alarmzu-stand: Bert Bruch hat sich soweit von den Folgen seiner letztenLandung erholt, dass er wieder in einem Flugzeug sitzen kann.Er befindet sich derzeit im Anflug auf die Landebahn mit denEckpunkten
A(80|400|2), B(100|400|2), C(100|1200|6) und D(80|1200|6) (1Einheit ∧
= 1m)
Berts Flugbahn zur Landung verläuft entlang einer Geraden. Er befindet sich zum Zeitpunktt (in s) im Punkt X(t) mit
−→X (t) =
100−2550228,75
+ t ·
−0,122
−1,5
.
a) Zeige, dass die vier Eckpunkte der Landebahn in einer Ebene liegen und ein Rechteckbilden.
b) Bestimme den Abstand der Flugbahn von der (näherungsweise als punktförmig betrach-teten) Flugsicherung in F(0|0|8).
c) Damit Bert nicht schon wieder eine Bruchlandung macht, muss er natürlich im Bereichder Landebahn aufsetzen. Seine oben angegebene Flugbahn darf beim Aufsetzen nichtum mehr als 6o gegen die Landebahn geneigt sein.Prüfe, ob Bert beiden Bedingungen gerecht wird und es diesmal schafft.
d) Auch ein zweites Flugzeug im Bereich des Sportflughafens bewegt sich entlang einerGeraden. Es befindet sich zum Zeitpunkt t im Punkt Y(t) mit
−→Y (t) =
53−41043,75
+ t ·
2−304
.
Weise nach, dass die Flugbahn von Bert Bruchs Flugzeug die Flugbahn dieses Flugzeugesschneidet.Begründe, dass es trotzdem nicht zu einem Zusammenstoß beider Flugzeuge kommt.
e) Berechne, wo sich die beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t = 50 befinden.Berechne außerdem den Abstand der beiden Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt.
f) Bestimme den Abstand d(t) der beiden Flugzeuge zu einem beliebigen Zeitpunkt t.Ermittle, zu welchem Zeitpunkt die beiden Flugzeuge ihren kleinsten Abstand haben.
Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik
als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.
Flugbahnen
In einem räumlichen Koordinatensystem beschreibt die x-y-Ebene eine flache Landschaft,in der sich ein Flughafen befindet. Die x-Achse weise in die Ostrichtung und die y-Achse indie Nordrichtung. Unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt P steigt dasFlugzeug F1 näherungsweise geradlinig auf.
Die Flugbahn von F1 verläuft auf der Geraden g : ~x =
−10,5−140
+ t ·
212812
.
Ein zweites Flugzeug F2 bewegt sich entlang der Geraden h : ~x =
−7,2−9,612
+ t ·
4−30
.
Die Längeneinheit ist 1 km.
a) Beschreibe die Himmelsrichtungen, in welche die beiden Flugzeuge fliegen.Das Flugzeug F1 überfliegt in 6 km Höhe das Zentrum einer Stadt. Berechne den Abstanddes Stadtzentrums vom Abhebepunkt P.Berechne den Steigungswinkel der Flugbahn von F1.
b) Als das Flugzeug F1 in einer Wolkendecke verschwindet, hat es vom Punkt P einenAbstand von 37 km. Bestimme die Höhe, in welcher F1 in die Wolkendecke eintaucht.
c) Zeige, dass die Flugzeuge F1 und F2 auf den angegebenen Bahnen nicht kollidieren können.
d) Bestimme den Abstand der beiden Flugzeuge für den Fall, dass sich F2 genau überF1 befindet. Entscheide, ob dieser Abstand mit dem Abstand der beiden Flugbahnenübereinstimmt.
Die Aufgabe entspricht mit Veränderungen einer Aufgabe in der KMK-EPA.
Eine Aufgabe wie jede andere
Gegeben sind:die Gerade g durch den Punkt P(2|1| − 1) und den Richtungsvektor ~a =
122
und die Gerade ht durch den Punkt Q(9|12|−2) und den Richtungsvektor ~b =
−1t
3
.
a) Bestimme t so, dass sich die beiden Geraden schneiden, und berechne die Koordinatendes Schnittpunktes S.
(Ergebnis: t = −1; S(6|9|7))
b) Bestimme die Koordinaten der Punkte auf der Geraden g, die von Q die Entfernung3 ·
√11 haben. Erstelle dazu eine Skizze.
(Ergebnis: A(6|9|7) = S, B(4|5|3))
c) Q ′ sei der Spiegelpunkt von Q bzgl. der Geraden g. Trage Q ′ in deine Skizze aus Tei-laufgabe b) ein und berechne die Koordinaten von Q ′.
d) Gib eine Koordinatengleichung der durch die Geraden g und ht=−1 gebildeten Ebene E
an. (mögliches Ergebnis: 8x−5y+z = 10)Zeige, dass die Ebene F mit F : x + 2y + 2z = 29 senkrecht auf der Ebene E steht.
Haus mit Walmdach
Ein Haus ist quaderförmig mit einem aufgesetzten Walmdach.Die Maßangaben in der Zeichnung sind in Meter.
a) Bestimme die Gleichungen der Dachebenen E1 und E2 in Parameter- und in Normalen-form.
b) Berechne den Schnittwinkel der beiden Dachebenen E1 und E2.
c) Ermittle, in welcher Höhe über dem Boden sich die Ebene E1 und die (durch die PunkteG, H und J festgelegte) Ebene E3 schneiden.
d) Über dem Haus fliegt ein Vogel, dessen Flugbahn durch die Gerade g : ~x =
(
9011
)
+t·(
011
)
beschrieben werden kann. Bestimme den minimalen Abstand des Vogelsvon der Geraden durch I und J und den minimalen Abstand des Vogels von der Ecke J.
e) Ermittle den Ort, an dem der Vogel aus d) landen wird. Bestimme auch den Winkel, indem der Vogel auf die Erde trifft.
f) Ein weiterer Vogel fliegt auf der Flugbahn mit der Gleichung ha : ~x =
(
5118
)
+ t ·(
2a
3
)
.Ermittle denjenigen Wert von a, für den sich die beiden Flugbahnenkreuzen.
A(16|4|0)B(12|12|0)
C(2|7|0)
EF
G(2|7|8)H
I(12|7|12)
J(6|4|12)
E1
E2
E3
Pyramide
Gegeben seien die Punkte A(1|6|0), B(4|7|2), C(2|7|1), D(2|0|2).
a) Es sei E die Ebene durch A, B, C. Stelle eine Parametergleichung und eine Koordinaten-gleichung für E auf. Zeige, daß D nicht in der Ebene E liegt.
b) Zeige, dass die Gerade g durch D mit dem Richtungsvektor ~v =
24−211
parallel zu E
ist. Berechne ihren Abstand von E.
c) Die zu E orthogonale Ebene durch die Gerade g aus b) schneidet die Ebene E in einerGeraden h. Gib eine Gleichung für die Gerade h an.
d) Die Gerade gAB durchstößt die zu gAB orthogonale Ebene durch C in einem Punkt F.Bestimme diesen Punkt und berechne die Länge der Strecke CF. Berechne dann denFlächeninhalt des Dreiecks ABC.
e) Berechne mit Hilfe der Ergebnisse in b) und d) das Volumen der DreieckspyramideABCD.
f) Verifiziere dein Ergebnis aus e), indem du das Pyramidenvolumen mit Hilfe des Spat-produktes berechnest.
In Ägypten
In Ägypten wurde eine außergewöhnliche Gruppe von Pyramiden entdeckt. Es handelt sichum zwei kleine Pyramiden, die keinerlei Kammern enthalten. Da eine astronomische Funk-tion vermutet wurde, wurden die Pyramiden sorgfältig vermessen.Der Koordinatenursprung wurde senkrecht unter die Spitze der ersten Pyramide auf Boden-höhe gelegt, die positive x1-Richtung entspricht der Richtung Norden. Die Angaben sind inm.
Für die Koordinaten der ersten Pyramide gilt:A(6, 5| − 16, 5|0), B(16, 5|6, 5|0), C(−6, 5|16, 5|0), D(−16, 5|− 6, 5|0) und E(0|0|24).
a) Zeige, dass die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat ist und berechne den Flächenin-halt.
b) Die Dichte des verwendeten Kalksteins beträgt 2,8 g/cm3. Berechne die Masse der Pyra-mide.
c) Ein Hinweis auf die astronomische Bedeutung ist die Abweichung der ersten Pyrami-de aus der Süd-Nord-Richtung. Sie entspricht der Ekliptik von 23,5o. Überprüfe dieseÜbereinstimmung.
d) Berechne den Winkel zwischen zwei Seitenflächen der Pyramiden.
Für die zweite Pyramide gilt:F(36| − 3|0), G(36|3|0), H(24|3|0), I(24| − 3|0) und J(30|0|12).
Auf der Seitenfläche der kleineren Pyramide, die der größeren zugewandt ist, entdeckte maneine kleine Öffnung, die jedoch nur zu einer kleinen, verschütteten Röhre führte. Es zeigtesich, dass der Schatten der Spitze der großen Pyramide am Tag der Wintersonnenwendegenau auf diese Öffnung fiel. Daher vermutet man, dass die Röhre geradlinig zur gegenüber-liegenden Seite der Pyramide führt, um damit diesen Tag genau bestimmen zu kön-nen. Die Sonne scheint am Mittag der Wintersonnenwende in Richtung des Vektors
50
−3
.
e) Bestimme die Höhe, in der die zweite Öffnung der Röhre liegen sollte.
f) Berechne den Abstand der Spitze E der ersten Pyramide von der Ebene, in der die PunkteF, G und J der zweiten Pyramide liegen.
Pyramide
In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordina-tenursprung O sind die Punkte A(−3| − 2| − 3), B(3| − 4| − 3),C(−1|4|−3) und S(1|0|4, 5) Eckpunkte einer dreiseitigen Pyrami-de mit der Spitze S.
a) Weise nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Stelle diese Py-ramide in einem kartesischen Koordinatensystem dar. Berechne das Volumen dieser Py-ramide.
b) Ermittle die Koordinaten des Punktes D, so dass das Viereck mit den Eckpunkten A, B, Cund D ein Quadrat ist.
c) Eine Ebene E ist gegeben durch E : ~x =
−1−43
+r ·
576
+s ·
1−13
. Untersuche, welche
Seitenfläche der Pyramide in der Ebene E liegt.
d) Zeige, dass für jeden Wert r ∈ R der Punkt Qr(−3 + 3r| − 2 − r| − 3) auf der Geraden g
durch die Punkte A und B liegt. Ermittle den Wert r, für den die Strecke OQr senkrechtzur Geraden g liegt. Gib alle Werte r an, für die der Punkt Qr auf der Kante AB liegt.
Vierflach
Durch die vier Punkte A(4|1|3), B(4|−2|6), P(3|1|4) und Q(6,5|3,5|13) ist ein Vierflach gegeben.
a) Zeige, dass die von A ausgehende Kanten 60o-Winkel miteinander bilden. Zeige, dassdas Vierflach nicht regelmäßig ist. Ermittle den Rauminhalt des Vierflachs.
b) Senkrecht zur Fläche des Dreiecks ABQ verläuft durch den Punkt R(3,5|0,5|5,5) eineGerade g. Der Punkt E auf dieser Geraden bilde mit den Punkten A, B, Q ein Vierflachmit dem Volumen 22,5 Raumeinheiten. Welche Koordinaten hat der Punkt E? Wie vieleLösungen gibt es?
c) Ausgehend von dem gegebenen Vierflach ABPQ sollen nun die Eckpunkte eines regelmä-ßigen Vierflachs ABCD ermittelt werden: Die Eckpunkte A und B bleiben dabei erhalten,der Punkt C liege auf der Geraden AP und der Punkt D auf der Geraden AQ. Ermittledie Koordinaten von C und D. Begründe, dass durch A, B, C und D tatsächlich ein re-gelmäßiges Vierflach festgelegt ist. Für die folgenden Aufgabenteile sei nun C(1|1|6) und(5|2|7).
d) Die gegenüberliegenden Kanten des regelmäßigen Vierflachs liegen ersichtlich (kein Be-weis erforderlich) auf windschiefen Geraden. Zeige für ein Kantenpaar: Die Richtungsvek-toren der windschiefen Geraden sind orthogonal. Ermittle den Abstand dieser Geraden.
e) Die vier Eckpunkte des regelmäßigen Vierflachs liegen auf einer Kugel. Ermittle derenGleichung.
Dreieckspyramide
Gegeben sind die Punkte A(−6|8|7), B(−3| −4|4), C(1| −8|6) und D(9| −4| −2).
a) Ermittle die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C gegebenist. [mögliches Ergebnis: 2x + y − 2z = −18]
b) Gib die Schnittpunkte Sx, Sy und Sz der Ebene E mit den Koordinatenachsen an undzeichne das Dreieck SxSySz in ein Koordinatensystem ein.
(1 LE ∧
= 0,5 cm, Verkürzungsfaktor in x-Richtung:12·√
2)
c) Zeige, dass der Punkt D außerhalb der Ebene E liegt und berechne den Abstand desPunktes D von der Ebene E.
d) Ermittle die Koordinaten des Punktes D ′, den man durch Spiegelung des Punktes D ander Ebene E erhält.
e) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie das Volumen der Dreieckspyramide,die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet.
f) Durch hk :−→x =
−687
+ t ·
1 + 2k
2 − 2k
2 + k
(t, k ∈ R) ist eine Geradenschar mit dem
gemeinsamen Punkt A gegeben. Zeige, dass alle Geraden der Schar in der Ebene E
liegen.
g) Entscheide, ob die Gerade AC eine Gerade der obigen Geradenschar hk ist.
h) Berechne den Schnittwinkel, den die Gerade AC mit der Geraden h5 einschließt.
Dreieckspyramide - Lösung
Gegeben sind die Punkte A(−6|8|7), B(−3| −4|4), C(1| −8|6) und D(9| −4| −2).
zu a) Ermittle die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C gegebenist. [mögliches Ergebnis: 2x + y − 2z = −18]
Als Parameterform ergibt sich E :−→X =
−687
+ r ·
3−12−3
+ s ·
7−16−1
.
Bestimmung des Normalenvektors:
3−12−3
×
7−16−1
=
−36−1836
, also ~n =
21
−2
.
Ergo ist E :
−→X −
−687
·
21
−2
= 0.
Für die Koordinatenform ergibt sich durch Ausmultiplizieren 2x + y − 2z = −18.
zu b) Gib die Schnittpunkte Sx, Sy und Sz der Ebene E mit den Koordinatenachsen an undzeichne das Dreieck SxSySz in ein Koordinatensystem ein.Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:Sx(x|0|0):2x = −18:x = −9:Sx(−9|0|0)
Sy(0|y|0):y = −18:Sy(0| − 18|0)
Sz(0|0|z):2z = −18:z = 9:Sz(0|0|9)-
6
zu c) Zeige, dass der Punkt D außerhalb der Ebene E liegt und berechne den Abstand desPunktes D von der Ebene E.Einfach einsetzen: 2 · 9 + (−4) − 2 · (−2) = 18 6= −18Für den Abstand gilt:
13·
∣
∣
∣
∣
∣
∣
9−4−2
−
−687
·
21
−2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=13·
∣
∣
∣
∣
∣
∣
15−12−9
·
21
−2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=13· |30 − 12 + 18| = 12
zu d) Ermittle die Koordinaten des Punktes D ′, den man durch Spiegelung des Punktes D ander Ebene E erhält.D ′(−7| − 12|14)
zu e) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie das Volumen der Dreieckspyramide,die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet.A∆ = 27 und VPyr = 108
zu f) Durch hk : −→x =
−687
+ t ·
1 + 2k
2 − 2k
2 + k
(t, k ∈ R) ist eine Geradenschar mit dem gemein-
samen Punkt A gegeben. Zeige, dass alle Geraden der Schar in der Ebene E liegen.hk y E :
2·(−6+t+2kt)+(8+2t−2kt)−2·(7+2t+kt) = −12+2t+4kt+8+2t−2kt−14−4t−2kt = −18
Unabhängig von k ist die Gleichung wahr, d. h. jede Gerade der Schar liegt in E.
zu g) Entscheide, ob die Gerade AC eine Gerade der obigen Geradenschar hk ist.Ja, da A ∈ hk (das ist trivial) und C ∈ hk :
1−86
=
−687
+ t ·
1 + 2k
2 − 2k
2 + k
⇔
7−16−1
= t ·
1 + 2k
2 − 2k
2 + k
⇔
∣
∣
∣
∣
∣
∣
7−16−1
=
=
=
t + 2kt
2t − 2kt
2t + kt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Dieses Gleichungssystem führt zu t = −3 und k = −53.
zu h) Berechne den Schnittwinkel, den die Gerade AC mit der Geraden h5 einschließt.
cos(ϕ) =
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11−87
·
7−16−1
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11−87
∣
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∣
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∣
·
∣
∣
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7−16−1
∣
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∣
≈ 0, 73994, also ϕ ≈ 42, 274o.
Vierecke und Pyramiden
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(3|3| − 2), B(5|7|2), C(1|9|6),D(−1|5|2) und Pa(−4|2a|a) gegeben.
a) Die Punkte A, B und C bestimmen eine Ebene E. Ermittle je eine Gleichung der EbeneE in Parameterform und in parameterfreier Form.Für genau einen Wert a liegt der zugehörige Punkt Pa in der Ebene E. Berechne dieKoordinaten dieses Punktes.
b) Es existiert mindestens ein Punkt F, so dass die Punkte A, B, C und F Eckpunkte einesTrapezes mit den folgenden Eigenschaften (1) und (2) sind:(1) AB‖FC,(2) eine der beiden parallelen Seiten ist doppelt so lang wie die andere der parallelenSeiten.Berechne die Koordinaten eines solchen Punktes F.Ermitte alle Trapeze mit den Eigenschaften (1) und (2).
c) Zeige, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.Das Viereck ABCD ist Grundfläche von Pyramiden mit der Höhe
√65. Berechne das
Volumen einer solchen Pyramide.Es gibt genau zwei solche Pyramiden, deren Höhen parallel zur Geraden g mit der
Gleichung ~x =
13
−2
+ t ·
2−65
verlaufen und die den Diagonalenschnittpunkt der
Grundfläche als Höhenfußpunkt haben.Ermittle die Koordinaten aller Punkte, die Spitzen dieser Pyramiden sein können.
Die Aufgabe entspricht mit Veränderungen einer Aufgabe in der KMK-EPA.
Zelt
Ein Zelt hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide.Die Längen der Quadratseiten und die Pyramidenhöhe betragenjeweils 2,0m.
a) Bestimme die Neigungswinkel der Pyramidenkanten gegenüber der Bodenfläche. Benach-barte Seitenflächen bilden einen stumpfen Winkel.Bestimme dessen Größe.
b) In der Vorderfläche PQS befindet sich eine Einstiegsöffnung ABCD in Form eines sym-metrischen Trapezes. C und D sind die Mitten der Strecke BS bzw. der Strecke AS. DieStrecke AB hat die Länge 1,0m.Wie viel Prozent der Vorderfläche beansprucht die Einstiegsöffnung?
c) Zur Beleuchtung wird im Zeit eine Lampe aufgehängt, die im Folgenden als punktförmigeLichtquelle betrachtet worden soll. Ihr Licht dringt durch die Einstiegsöffnung nach außenund erzeugt auf dem Boden vor dem Zelt das Bild ABC ′D ′ der Einstiegsöffnung als„Lichtteppich“.Berechne die Länge der Strecke C ′D ′, wenn sich die Lampe 25 cm unter der Zettspitzebefindet.
Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Jahr 2004 in Baden-Württemberg als Abituraufgabe gestellt.
Turm
Ein Turm besitzt die Form eines Quaders ABCDEFGH mit einer aufgesetzten geraden Py-ramide mit der Spitze S. Die Höhe des Turmes beträgt 14 m. Die Koordinaten folgenderPunkte A(3|2|0), B(7|5|0), C(4|9|0), G(4|9|10) sind gegeben. (1 LE entspricht 1m)
a) Zeige, dass die Strecken AB und BC gleich lang sind.Die Grundfläche des Turms ist ein Quadrat. Ermittle die Koordinaten des Punktes D.Gib die Koordinaten der restlichen Punkte an und zeichne den Turm in ein kartesischesKoordinatensystem ein.
b) Das Dach des Turmes soll mit Kupfer gedeckt werden. Dazu müssen alle Winkel einerDachfläche ermittelt werden.Berechne die Größen der Winkel sowie den Flächeninhalt einer Dreiecksfläche.Wie viel Quadratmeter Kupfer benötigt man zur Eindeckung des gesamten Daches, wenn5% Verschnitt zu berücksichtigen sind?
c) Um das Dach zu sichern, werden Stützbalken eingezogen. Der eine Balken verläuft vom
Mittelpunkt der Dachkante EH in Richtung
322425
zur Dachfläche FGS.
Zeige, dass dieser Balken senkrecht auf der Fläche FGS steht und berechne seine Länge!Der zweite Balken verläuft vom Punkt E zur Dachkante GS, dabei teilt das Ende desBalkens die Kante GS im Verhältnis 1 : 3. Ermittle auch die Länge dieses Balkens.
Turm
Das Dach eines Turmes hat die Form einer senkrechtenquadratischen Pyramide. Die Länge der Quadratseitenund die Pyramidenhöhe betragen jeweils 6m.
a) Es werden Stützbalken eingezogen. Jeder Balken ist in einer der Quadratecken verankertund stützt den jeweils gegenüberliegenden Dachkantenbalken senkrecht ab.Berechne die Länge der Stützbalken.Welchen Abstand hat ihr Kreuzungspunkt zu den Dachflächen?
b) Welcher Punkt im Innern der Pyramide hat von den Dachflächen und der Grundflächedenselben Abstand?
Kiste
Eine quaderförmige Kiste ist in einem Koordinatensys-tem durch die Eckpunkte A(0|0|0), B(3|0|0), D(0|5|0) undF(3|0|4) festgelegt. Die Fläche EFGH stellt den Deckelder geschlossenen Kiste dar. Dieser ist drehbar um dieKante EH. Weiterhin ist für jedes t > 0 eine Ebene Etgegeben durch: Et : tx1 − x3 = −4.
a) Berechne den Abstand zwischen den Kanten AB und GH.Zeige, dass die Gerade durch E und H in jeder Ebene Et liegt.In welcher Ebene Et liegt der Deckel bei geschlossener Kiste?Liegt der Deckel in eine Ebene Et, wenn er um 90o geöffnet ist?
b) Wenn der Deckel der geöffneten Kiste in E2 liegt, wird er durch einen Stab orthogonalzum Deckel abgestützt. Dieser Stab ist in der Mitte der Kante EF befestigt und trifft imPunkt P auf den Deckel. Berechne die Koordinaten von P.
c) Wie groß ist der Öffnungswinkel, wenn der Deckel in E2 liegt?In welcher Ebene Et liegt der Deckel, wenn der Öffnungswinkel 60o beträgt? Bestimmeden Parameter t in Abhängigkeit vom Öffnungswinkel α für α < 90o.
d) Eine punktförmige Lichtquelle in L(0|2,5|20) beleuchtet die Kiste. Wie weit kann mandie Kiste höchstens öffnen, ohne dass Licht von L in die Kiste fällt?
Kiste - Lösung
Es ist sinnvoll, zunächst die Koordinaten aller Punkte festzuhalten:A(0|0|0), B(3|0|0), C(3|5|0), D(0|5|0), E(0|0|4), F(3|0|4), G(3|5|4), H(0|5|4), L(0|2,5|20)
zu a) Berechne den Abstand zwischen den Kanten AB und GH.
Weil AB und GH parallel sind, gilt:d(AB, GH) = D(A, H) =
√52 + 42 =
√41 ≈ 6,403.
Zeige, dass die Gerade durch E und H in jeder Ebene Et liegt.
Die Punktprobe für E(0|0|4) führt ebenso wie die für H(0|5|4) zur wahren Aussaget · 0 − 4 = −4.
In welcher Ebene Et liegt der Deckel bei geschlossener Kiste?
F y Et führt zu 3t − 4 = −4, also t = 0; bei geschlossener Kiste liegt der Deckel also inE0.
Liegt der Deckel in eine Ebene Et, wenn er um 90o geöffnet ist?
Wenn der Deckel um 90o geöffnet ist, liegt er in der von Et verschiedenen Ebene F :
x1 = 0.Zudem gilt für den Winkel α zwischen EEFH und Et:
cos(α) =
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001
·
t
0−1
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001
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·
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t
0−1
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=1√
t2 + 16= 0, also α 6= 90o.
zu b) Wenn der Deckel der geöffneten Kiste in E2 liegt, wird er durch einen Stab orthogonalzum Deckel abgestützt. Dieser Stab ist in der Mitte der Kante EF befestigt und trifftim Punkt P auf den Deckel. Berechne die Koordinaten von P.
Gesucht ist der Schnittpunkt der „Stabgerage“ gStab mit E2.gStab verläuft durch MEF in Richtung des Normalenvektors von E2, also
gStab : ~x =
1,504
+ t ·
20
−1
.
gStab y E2 führt zu 2 · (1,5 + 2t) − (4 − t) = −4 ⇔ t = − 35 ; daher ist
−→P =
1,504
+ −35 ·
20
−1
=
310043
5
; P( 310 |0|43
5).
zu c) Wie groß ist der Öffnungswinkel, wenn der Deckel in E2 liegt?In welcher Ebene Et liegt der Deckel, wenn der Öffnungswinkel 60o beträgt? Bestimmeden Parameter t in Abhängigkeit vom Öffnungswinkel α für α < 90o.
Für den Öffnungswinkel α gilt nach a):
cos(α) =
∣
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001
·
t
0−1
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001
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·
∣
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∣
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t
0−1
∣
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∣
∣
∣
∣
=1√
t2 + 1,
also ist t =√
1cos2(α)
− 1 =√
1−cos2(α)
cos2(α)=√
sin2(α)
cos2(α)=√
tan2(α) = tan(α).
Wenn der Deckel in E2 liegt, ist der Öffnungswinkel daher tan−1(2) ≈ 63,435o; wegentan(60o) =
√3 liegt der Deckel in E√
3, wenn der Öffnungswinkel 60o beträgt.
zu d) Eine punktförmige Lichtquelle in L(0|2,5|20) beleuchtet die Kiste. Wie weit kann mandie Kiste höchstens öffnen, ohne dass Licht von L in die Kiste fällt?
Wie man sich an der nebenstehenden Abbildungleicht klarmacht, kann man das Problem im Zwei-dimensionalen lösen:Wir suchen den Schnittpunkt der Lichtgera-de mit y = −16
3 x + 20 mit dem Kreis k mitx2 + (y − 4)2 = 32. Setzen wir die Lichtge-rade in k ein, so erhalten wir die Lösungenx = 741
265 und x = 3, was zu den SchnittpunkteS1(
741265 |
1348265 ) ≈ S1(2,796|5,087) und S2(3|4) führt.
Der zu S1 korrespondierende Punkt S( 741265 |2,5|1348265 )
führt wegen 741265 · t − 1348
265 = −4 zu t = 96247 und, weil
tan−1( 96247 ) ≈ 21,239o, zu einem im Aufgabenkon-
text maximalen Öffnungswinkel von 21,239o.
Matrizen
Insektenpopulation
Modellhaft lässt sich die Entwicklung einer bestimmten Insektenpopulation folgendermaßenbeschreiben:Aus Eiern dieser Insektenart entwickeln sich zunächst innerhalb eines Monats Larven, dieinnerhalb eines Monats zu Insekten werden. Die Insekten legen wiederum nach einem MonatEier und sterben anschließend.Aus Beobachtungen von Biologen weiß man, dass aus 25% der Eier, dieein Insekt legt, Larven werden (die anderen 75% werden gefressen oderverenden) und dass sich die Hälfte der Larven zu vollständigen Insektenentwickelt (die andere Hälfte stirbt oder wird gefressen). Außerdem legtein Insekt durchschnittlich 16 Eier.
Eier
?
0,25
Larven
1
0,5
Insekten
Y 16
a) Zu einem bestimmten Zeitpunkt werden 40 Eier, 20 Larven und 12 Insekten gezählt.Untersuche, wie sich die Anzahlen der Eier, Larven und Insekten im Laufe von 6 Monatenentwickelt. Schreibe dazu die erste Rechnung in der Matrizenschreibweise auf und fülledie nebenstehende Tabelle aus.
b) Die Populationen entwickeln sich in Form eines 3-monatigen Zyklus. Begründe dieseAussage anhand deiner Tabelle. Berechne dann jeweils die Anzahlen der Eier, Larvenbzw. Insekten nach einem Jahr und nach zwei Jahren.
c) Zur Bekämpfung der Populationen steht ein Insektizid zur Verfügung,das die Fortpflanzung der Insekten so beeinflusst, dass ein Insekt nurnoch eine kleinere Zahl von Eiern ablegt. Bestimme die Anzahl an Ei-ern, die ein Insekt ablegen darf, wenn die Insektenpopulation langfristigstabil sein soll.Tipp: Betrachten Sie die Entwicklung der Insektenpopulation unter derBedingung, dass ein Insekt x Eier ablegt.
d) Die Insektenpopulation soll langfristig stabil bleiben. Leite einen Zu-sammenhang zwischen den Parametern a, b und c her, der diese lang-fristige Stabilität sichert.
Eier
?
0,25
Larven
1
0,5
Insekten
Y x
Eier
?
a
Larven
1
b
Insekten
Y c
e) Bilde die dritte Potenz der in der Teilaufgabe a) aufgestellten Übergangsmatrix. Begrün-de damit die im Aufgabenteil b) beschriebene zyklische Populationsentwicklung.
Krankheit
In dieser Aufgabe soll der Verlauf einer Krankheit in einer Population untersucht werden.
Die Behandlung der Krankheit ist nicht immer erfolgreich: 8% der Erkrankten sterben anihr. Die wieder Genesenen haben aufgrund erhöhter Abwehrkräfte eine geringere Wahrschein-lichkeit erneut zu erkranken als diejenigen, die noch nicht erkrankt waren.
Das nachfolgende Diagramm gibt die voll-ständige Beschreibung der Übergänge füreine Zeiteinheit von einer Woche wieder:
a) Bestimme die Übergangsmatrix A.
b) (1) Berechne die Übergangsmatrix für einen Zeitraum von 5 Wochen.(2) Gib an, wie viel Prozent der anfangs Gesunden auch noch nach 5 Wochen gesund
sind.(3) Nenne den Prozentsatz derjenigen, die anfangs gesund waren und innerhalb dieser 5
Wochen gestorben sind.
c) In einer Siedlung von 1500 Personen bricht die Krankheit aus.
(1) Beschreibe die Situation in dieser Siedlung nach 3 Wochen.(2) Untersuche, welche langfristige Entwicklung bei gleich bleibenden Übergangswahr-
scheinlichkeiten in dieser Siedlung zu erwarten ist.
d) Im folgenden soll davon ausgegangen werden, dass sich die medizinischen Behandlungs-methoden soweit verbessert haben, dass niemand mehr an dieser Krankheit stirbt unddass 80% der Erkrankten innerhalb einer Woche wieder gesund werden:
(1) Gib eine vereinfachte 3 × 3-Übergangsmatrix B an.(2) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix B.
Ödnis im Osten
Bis zu 50 Prozent seiner heutigen Bevölkerung wird Deutschlands Osten langfristig einbüßen.Diese Prognose wagen Forscher des Leibniz-Instituts für Länderkunde in Leipzig. Nun fordernsie Mut zum gekonnten Schrumpfen. (Stern, No-vember 2004)
Zu Beginn des Jahres 2004 lebten 69,5 Mio Men-schen in den westdeutschen Bundesländern (ein-schließlich Berlin). In den fünf neuen Bundeslän-dern lebten 13,5 Mio Menschen. Im Laufe des Jah-res siedelten 1,2% der Bevölkerung aus den neuenin die alten Bundesländer um. In die umgekehrteRichtung waren es hingegen nur 0,1%.
a) Gib einen Übergangsgraphen (Gozintho-Graphen) und eine Übergangsmatrix an, dieden obigen „Austauschprozess“ zwischen den alten Bundesländern (A) und den neuenBundesländern (N) beschreiben.
b) Es soll nun im Weiteren versucht werden, mit Hilfe der Übergangsmatrix aus Aufgaben-teil a) Prognosen über die nähere oder fernere Entwicklung der Bevölkerungsverteilungin Deutschland zu erstellen.Nenne Schwachpunkte dieses Prognosemodells und gib an, welche Annahmen man füralle folgenden Überlegungen zu Grunde legen müsste.
c) Berechne die prognostizierten Bevölkerungszahlen in A und N für die Jahre 2005 und2006.
d) Berechne für die Übergangsmatrix M die Potenzen M2 und M3. Interpretiere die Koef-fizienten von M2 im Problemkontext und nutze dein Ergebnis zur Kontrolle von Aufga-benteil c).
e) Ermittle in deinem groben Prognosemodell eine stabile Grenzverteilung der Einwohner-zahlen und vergleiche dein Ergebnis mit der einleitenden Stern-Meldung.
f) Berechne einen Wert für die Abwanderungsquote aus den neuen Bundesländern, dererreicht werden müsste, damit bei gleichbleibender Zuwanderungsquote aus den altenBundesländern langfristig eine Bevölkerungszahl von 10 Mio nicht unterschritten wird.
Bevölkerungsentwicklung
Eine Stadt hatte im Jahr 1990 die Einwohnerzahl von100.000 Bürgern, welche in den folgenden Jahren stagnier-te.Im Jahr 1990 lebten 80.000 Einwohner in der City (C) und20.000 in den Vororten (V).Für 1995 und 2000 sind folgende Daten bekannt:
Jahr Einwohner in der City (C) Einwohner in den Vororten (V)1995 76 000 24 0002000 73 200 26 800
a) Bestimme die stochastische Übergangsmatrix A für die Bevölkerungsentwicklung inner-halb der Stadt. Dabei beträgt der Zeitraum für einen Übergang wie im Eingangstext fünfJahre. Gehe von gleich bleibenden prozentualen Umzugstrends aus. Zeichne den Gozin-tographen, der die Bevölkerungsbewegungen veranschaulicht und berechne mit Hilfe vonA die Ciy-Vorort-Verteilung für den Beginn der Jahre 2005 und 2010.Bestimme ebenfalls die Verteilung für den Beginn von 1985.
b) Bestimme die stationäre Verteilung der Einwohner in der City und den Vororten.
c) Sei nun A =
(
1 − p
p
q
1 − q
)
mit 0 < p < 1 und 0 < q < 1 eine beliebige stochastische
Matrix. Ermittle für A denjenigen Fixvektor, dessen Koordinaten die Summe 1 haben.
d) Weise für die Matrix A aus Teilaufgabe c) nach: Der Vektor ~v =
(
−11
)
und das Produkt
A ·~v sind Vielfache voneinander.
Münzwanderung
Zum 1. 1. 2002 wurden in allen beteiligten EU-Ländern Euro-Münzen in Umlauf gebracht.In jedem Land wurden ausschließlich Münzen eigener Prägung eingesetzt. Für die dann ein-setzende „Münzenwanderung pro Jahr“ zwischen den Gebieten Deutschland, Frankreich undSonstige Länder sollten sich die jährlichen Wande-rungsanteile gemäß untenstehendem Übergangsgra-phen verhalten.
a) Erstelle für diesen Vorgang die ÜbergangsmatrixA, und beschreibe die Übergänge in Worten.
88 %
90 % 80 %5 %
4 %
6 %
6 %
6 %
15 %
D
F S
b) Zum 1. 1. 2002 befinden sich 100% der deutschen Münzen in Deutschland.Ermittle unter den genannten Hypothesen die prozentuale Verteilung der „deutschen“Münzen auf die drei Gebiete (D, F, S) zum 1. 1. 2003, zum 1. 1. 2004 und zum 1. 1. 2006,und gib die Übergangsmatrix für 2 Jahre an.
c) Untersuche, ob es eine stationäre Verteilung der Münzen auf die drei Gebiete gibt, undgib diese ggfs. an.
d) Zum 1. 1. 2002 wurden in Deutschland 800 Mio, in Frankreich 600 Mio und in den sons-tigen Ländern 150 Mio Münzen ausgegeben. Ermittle die Gesamtanzahl aller Münzenjeweils in den drei Gebieten zum 1. 1. 2003, und erkläre, inwieweit man bei dieser Pro-blemstellung die Matrixmultiplikation einsetzen kann.
e) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass am 1. 1. 2004(1) eine deutsche Euromünze Deutschland nie verlassen hat.
(2) eine im Ausland gewesene „deutsche“ Münze wieder in Deutschland ist.
(3) eine von Ihnen in Deutschland gefundene„deutsche“ Münze in Frankreich war.
Säugetiere
Die Entwicklung einer Art von Säugetieren vollzieht sich in den drei Stadien: Neugeborene(N), Junge (J) und Fortpflanzungsfähige (F). Folgende Tabelle beschreibt die Übergängezwischen diesen Stadien:
von N J FnachN 0 0 cJ a 0 0F 0 b 0 (0 < a 6 1; 0 < b 6 1; c > 0)
a) Zeichne einen Übergangsgraphen für die Übergänge zwischen den einzelnen Entwick-lungsstadien. Formuliere ein mathematisches Modell zur Ermittlung der jeweiligen Ent-wicklungsstadien, die nach 1, 2, ..., n Generationen beobachtet werden können. Gib dieinhaltliche Bedeutung der Variablen a, b und c an.
b) Die Anfangsverteilung bestehe aus 1 000 Neugeborenen, 500 Jungen und 100 Fortpflan-zungsfähigen. Bestimme die Werte von a, b und c so, dass sich die Population dieser Artnach zwei Generationen reproduziert.
c) Untersuche, ob es Werte für a, b und c gibt, bei denen sich jede Anfangsverteilung nachdrei Generationen wiederholt.
d) Beurteile das von dir verwendete mathematische Modell.
Die Aufgabe entspricht mit Veränderungen einer Aufgabe in der KMK-EPA.
