Einführung 8.1 Allgemeines Bemessungsdiagramm … · 2014-09-19 · Einführung 30 8.1 Allgemeines Bemessungsdiagramm (Tafel 1) Das allgemeine Bemessungsdiagramm deckt nahezu den

Ein

führ

ung

30

8.1 Allgemeines Bemessungsdiagramm (Tafel 1)

Das allgemeine Bemessungsdiagramm deckt nahezu den gesamten Bereich möglicher Deh-nungszustände des Querschnitts unter Biegung mit oder ohne Längskraft ab. Es kann für Stahl mit horizontalem oder ansteigendem oberem Ast der Spannungs-Dehnungslinie verwendet werden. Am unteren Rand des Diagramms sind die Grenz-werte des bezogenen Momentes Eds nach Tab. 8 und Tab. 9 markiert. Eine gestrichelte Linie kenn-zeichnet zusätzlich die Streckgrenze der Zugbe-wehrung ( s1 = 2,17 ‰). Bei Beanspruchungen oberhalb dieses Wertes sollte aus wirtschaftlichen Gründen Druckbewehrung vorgesehen werden. Für Ablesungen im Bereich überdrückter Quer-schnitte ist das Diagramm, der steil ansteigenden Kurvenverläufe wegen, weniger gut geeignet.

Anwendungsbeispiel 1a Baustoffe: C25/30,

C = 1,50; B500 MEd = 100 kNm Bemessung:

Eds Ed Ed

EdsEds 2 2

cd

s12

s1d

Eds 4 2s1

s1d

100kNm (da =0)

0,1000,116

0,30 0,45 14,17Ablesungen Tafel 1 / C12–C50:

0,94; 19,3‰

500/1,15 434,8 MN/m (horiz. Ast)

1 1 0,100= 10 5,43 cm

434,8 0,94 0,45

M M NM

b d f

MA

zAlternativ: Spannungs-Dehnungslinie des Stahls mit an-steigendem Ast; Ablesung in Tab. 18 (S. 27): Umrechnungsfaktor für s1 = 19,3 ‰: s = 0,963 As1 = 0,963 · 5,43 = 5,23 cm2 oder Ablesung in Tab. 18 (S. 27) für s1 = 19,3 ‰:

s1d = 451,1 MN/m2 (ansteigender Ast)

4 2Edss1

s1d

1 1 0,100= 10 5,24 cm

451,1 0,94 0,45M

Az

Anwendungsbeispiel 1b Geometrie und Baustoffe wie Bsp. 1a Bemessungsmoment MEd = 300 kNm Die Druckzonenhöhe soll auf x /d = 0,45 begrenzt werden, d. h. Eds,lim = 0,296 MEds = MEd = 300 kNm (da NEd = 0)

Eds 20,300

0,349 0,296;0,30 0,45 14,17

Der zu Eds,lim = 0,296 gehörige Dehnungszu-stand wird festgehalten und das Differenzmoment zu Eds = 0,349 durch Zulagebewehrung oben und unten abgedeckt. Ablesung in Tafel 1 / C12–C50 bei Eds,lim = 0,296: = 0,81; s1 = 4,3 ‰; s2 = –2,6 ‰ (beide Deh-

nungswerte oberhalb der Streckgrenze)

s1d = – s2d = 434,8 MN/m2 (horiz. Ast) MEds,lim = Eds,lim · b · d 2

· fcd = 0,296 · 0,30 · 0,452 · 14,17 = 0,255 MNm

MEds = MEds – MEds,lim = 0,300 – 0,255 = 0,045 MNm

Eds,lim Edss1

s1d 2

4 2

1

1 0,255 0,04510 18,7 cm

434,8 0,81 0,45 0,45 0,05

M MA

z d d

4 2Edss2

s2d 2

1 1 0,04510 2,6 cm

434,8 0,45 0,05M

Ad d

Eine Ablesung für den ansteigenden Ast der Span-nungs-Dehnungslinie des Stahls würde wegen der niedrigen Dehnungswerte hier nur minimale Einsparungen bringen.

Anwendungsbeispiel 1c Geometrie s. Bsp. 1a Baustoffe: C60/75; B500 Bemessungsmoment MEd = 500 kNm MEds = MEd = 500 kNm (da NEd = 0) Die Druckzonenhöhe soll auf x /d = 0,35 begrenzt werden, d. h. Eds,lim = 0,211

Eds 20,500

= 0,242 0,2110,30 0,45 34,0

Der zu Eds,lim = 0,211 gehörige Dehnungszu-stand wird festgehalten und das Differenzmoment zu Eds = 0,242 durch Zulagebewehrung oben und unten abgedeckt. Ablesung in Tafel 1 / C60 bei Eds,lim = 0,211:

h=50

[cm] b=30 d1=5

d2=5

MEd

As2

As1

Goris_Schmitz_ Bemessungstafeln.indb 36 29.08.2014 16:40:31

Ein

führ

ung

31

= 0,87; s1 = 5,4 ‰; s2 = –1,97 ‰

s1d = 434,8 MN/m2 (horiz. Ast)

s2d = 0,00197 · 200000 = 394 MN/m2 bzw. (da hochfester Beton) | s2d – cd,s2| = 361 MN/m2 (Tab. 19) MEds,lim = 0,211·0,30·0,452·34,0 = 0,436 MNm

MEds = 0,500 – 0,436 = 0,064 MNm

Eds,lim Edss1

s1d 2

4

2

1

1 0,436 0,06410

434,8 0,87 0,45 0,45 0,05

29,3 cm

M MA

z d d

MAd d

Auf die Darstellung der erforderlichen Neuberech-nung mit verringerter Nutzhöhe wegen mehrlagigen Einbaus der Zugbewehrung wird hier verzichtet.

Anwendungsbeispiel 1d Geometrie und Beanspruchung wie Bsp. 1a. Baustoffe: LC25/28 Rohdichteklasse D1,6; B500 Zur Ablesung ist die Tafel für die Trockenrohdich-te an der unteren Grenze der Rohdichteklasse D1,6 (vgl. Tab. 5, S. 7) zu verwenden, d. h. für

= 1400 kg/m3.

EdsEds 2 2

cd

0,1000,132

0,30 0,45 12,5

M

b d f

Ablesungen in Tafel 1c / LC12–LC50: = 0,92; s1 = 11,8 ‰

s1d = 444 MN/m2 (ansteig. Ast, s. Tab. 18)

4 2Edss1

s1d

1 1 0,100= 10 5,44 cm

444 0,92 0,45M

Az

Anwendungsbeispiel 1e Geometrie und Beanspruchung wie Bsp. 1d Baustoffe: B500, LC25/28, jedoch Rohdichte-klasse D2,0.

Eds 0,132 (wie vorher)

Die Ablesung erfolgt für die Trockenrohdichte an der unteren Grenze der Rohdichteklasse D2,0, d. h. für = 1800 kg/m3 (s. vorher).

Ablesungen in Tafel 1e / LC12-LC50: = 0,93; s1 = 14,1 ‰

s1d = 446 MN/m2 (ansteig. Ast, s. Tab. 18)

4 2Edss1

s1d

1 1 0,100= 10 5,36 cm

446 0,93 0,45M

Az

8.2 kd-Tafeln (Tafeln 2.1 und 2.2)

Die kd-Tafeln (frühere Bezeichnung: kh-Tafeln) sind in der Praxis seit langem bewährte, dimensi-onsgebundene Bemessungstafeln für Rechteck-querschnitte, die den Anforderungen des EC 2-1-1 angepasst wurden. Es wurden zwei unterschiedliche Teilsicherheits-beiwerte für Beton berücksichtigt (vgl. Tab. 1):

Tafeln 2.1: C = 1,50 Tafeln 2.2: C = 1,35

Die Tafeln für Querschnitte ohne Druckbeweh-rung reichen bis zur Wirtschaftlichkeitsgrenze. Für Querschnitte mit Druckbewehrung gewähr-leisten jeweils einzelne Tafeln die Einhaltung eines der Grenzwerte für = x /d gemäß Gl. (8), Gl. (11) bzw. der Wirtschaftlichkeitsgrenze. Um den Vorteil der Einfachheit des Rechnens mit den kd-Tafeln zu bewahren, wurde der horizontale Ast der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls zugrunde gelegt. Bei Bedarf kann der so ermittelte Bewehrungsquerschnitt mit dem ebenfalls in den Tafeln angegebenen Beiwert s abgemindert wer-den, um den ansteigenden Ast zu berücksichtigen.

Anwendungsbeispiel 2.1a Vorgaben s. Bsp. 1a MEds = MEd = 100 kNm (da NEd = 0)

dEds

[cm] 452,46

[kNm] 1000,30[m]

dk

Mb

In Tafel 2.1a / C12–C50 ist der zutreffende Wert nicht aufgeführt. Da sich eine Interpolation kaum lohnt, erfolgt die Ablesung des ks-Wertes für den nächstkleineren kd-Wert (kd = 2,44): ks = 2,46; s = 0,97

2 2Edss1 s

[kNm] 100[cm ] = 2,46 5,47 cm

[cm] 45M

A kd

Für die - -Linie des Stahls mit ansteigendem Ast erhält man mit dem zuvor bereits abgelese-nen s–Wert: As1 = 0,97 · 5,47 = 5,31 cm2


Ein

führ

ung

32

Anwendungsbeispiel 2.1b Vorgaben s. Bsp. 1c MEds = MEd = 500 kNm (da NEd = 0) Tafel 2.1a / C60:

d45

1,10 0,355000,30

k

Da der vorgegebene Grenzwert = x /d = 0,35 mit einfacher Bewehrung nicht einzuhalten ist, muss Druckbewehrung angeordnet werden. Ab-lesung in Tafel 2.1b / C60 für = 0,35:

ks1 = 2,62; ks2 = 0,33; 1 = 1,01; 2 = 1,28

2 Edss1 1 s1

2

[kNm][cm ]

[cm]500

1,01 2,62 29,4 cm45

MA k

d

2 Edss2 2 s2

2

[kNm][cm ]

[cm]500

1,28 0,33 4,69 cm45

MA k

d

Der Ansatz der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls mit ansteigendem Ast lohnt sich bei den gegebenen Dehnungsverhältnissen nicht.

8.3 s-Tafeln (Tafel 3)

Die s-Tafeln stellen die dimensionslose Alterna-tive zu den kd-Tafeln dar. Auch hier sind geson-derte Tafeln zur Einhaltung der verschiedenen -Einschränkungen mittels Druckbewehrungszu-

lage vorhanden.

Anwendungsbeispiel 3a Vorgaben s. Bsp. 1a MEds = MEd = 100 kNm (da NEd = 0)

EdsEds 2 2

cd

0,1000,116

0,30 0,45 14,17

M

b d f

Unter Vermeidung von Interpolationen wird in Tafel 3a / C12–C50 für den nächstgrößeren

s–Wert ( s = 0,12) abgelesen:

= 0,1285 (interpolierter Wert wäre: 0,124); sd = 435 MN/m2 (horiz. Ast) bzw. sd = 450 MN/m2 (ansteigender Ast)

s1 cd Eds1d

2

1

10,1285 30 45 14,17 5,65 cm

434,8

A b d f N

Bei Ansatz der - -Linie des Stahls mit anstei-gendem Ast ergibt sich unter Verwendung der abgelesenen Stahlspannung sd :

2s1

1= 0,1285 30 45 14,17 5,46 cm

450A

Anmerkung: Mit dem interpolierten -Wert würde sich As1 = 5,46 cm2 bzw. 5,27 cm2 ergeben.

Anwendungsbeispiel 3b Vorgaben s. Bsp. 1c

EdsEds 2 2

cd

0,5000,242

0,30 0,45 34,0

0,211

M

b d f

Mit dem vorhandenen Eds-Wert würde bei einfa-cher Bewehrung der vorgegebene Grenzwert = x /d = 0,35 überschritten. Fortsetzung mit

Tafel 3c / C60:

1 = 0,277; 2 = 0,043

s1 1 cd Edyd

2

1

10,277 30 45 34,0 29,2 cm

434,8

A b d f Nf

2cds2 2

yd

10,043 30 45 4,53 cm

12,79f

A b df

Der Ansatz der - -Linie des Stahls mit anstei-gendem Ast lohnt sich bei den gegebenen Deh-nungsverhältnissen nicht.

8.4 Platten-Tafeln (Tafeln 4, 4.1 und 4.2)

Die dimensionsgebundenen Platten-Tafeln erlau-ben für die im Hochbau häufigen Fälle der Plat-tenbiegung ohne Normalkraft das direkte Ablesen der erforderlichen Bewehrung ohne Berechnung. Tafel 4 enthält neben einer ausführlichen Erläute-rung auch Diagramme für die erforderliche Min-destbewehrung nach EC 2-1-1. Grenzwerte der Druckzonenhöhe gemäß Abschn. 4.2 und 4.4 sind nur in Tafel 4.1 eingetragen und für Tafel 4.2 zusätzlich zu beachten. Den Tafeln liegt die - -Linie des Stahls mit an-steigendem Ast zugrunde.


Ein

führ

ung

33

Anwendungsbeispiel 4 Plattenstreifen

h = 20

[cm] b = 100 d1= 3

+MEd

As1

Baustoffe: C30/37, C = 1,50; B500 Bemessungsmoment MEd = 25 kNm Bemessung: d = 20 – 3 = 17 cm Tafel 4.1e / C30: As = 3,32 cm2; die Anforderun-gen an die Mindestbewehrung sind erfüllt. Zusätz-lich sind auch die Bedingungen gemäß Gl. (8) und Gl. (11) eingehalten, sofern dies erforderlich wäre. Alternativ: Ablesen der Bewehrung mit den Dia-grammen der Tafeln 4.2e / C30: Mattenbewehrung Q335 bzw. R335, s. S. 549 oder Stabstahlbewehrung ø 8/15 cm

8.5 s-Tafeln für Plattenbalken-querschnitte (Tafeln 5)

Die Tafeln 5 berücksichtigen die zusätzlichen Be-dingungen für Biegung mit Längskraft bei Plat-tenbalkenquerschnitten (s. Abschn. 5.1). In Hin-blick auf eine einfache Handhabung der Tafeln wurde die - -Linie des Stahls mit horizontalem Ast gewählt.

Anwendungsbeispiel 5 Plattenbalkenquerschnitt Baustoffe: C30/37, C = 1,50; B500 Bemessungsmoment MEd = 500 kNm

h=57

[cm] bw=30 d1=7

MEd

As1

30 30

hf=15

Bemessung: d = 57 – 7 = 50 cm hf / d = 15 / 50 = 0,3 bf = 90 cm bf / bw = 90 / 30 = 3

EdsEds 2 2

f cd

0,5000,13

0,90 0,50 17,0

M

b d f

Tafel 5 / C12–C50: 1 = 0,1401;

2cds1 1

yd

10,1401 90 50 24,6 cm

25,6f

A b df

8.6 Interaktionsdiagramme für Recht-eck-, Kreis- und Kreisringquer-schnitte unter einachsiger Biegung mit Normalkraft (Tafeln 6)

Die Interaktionsdiagramme gelten für Querschnit-te mit symmetrischer Bewehrungsanordnung unter Biegung mit Normalkraft. Allen Interaktionsdiagrammen liegt die - -Linie des Stahls mit ansteigendem Ast zugrunde. Hinweis: Bei den bezogenen Schnittgrößen Ed und Ed als Eingangsgrößen der Interaktionsdia-gramme geht – wie auch bisher üblich – die Bau-teildicke h (nicht die Nutzhöhe d) ein. Dehnungs-angaben im Diagramm sind in [‰] ausgedrückt. Die nach EC 2-1-1, 6.1 für Normalbeton bei ge-ringer Ausmitte zugelassene Grenzstauchung von c = –2,2 ‰ (s. Abschn. 5.1) ist berücksich-tigt. Dies verringert bei e/h < 0,1 erforderliche Bewehrungsmenge um bis zu 10 %.

Anwendungsbeispiel 6 Rechteck C30/37, C = 1,50; B500 Schnittgrößen MEd = 136 kNm, NEd = –670 kN

Tafeleingangsgrößen

EdEd 2 2

cd

0,1360,25

0,20 0,40 17,0

M

b h f

h=40

[cm] b=20 d1=4

d2=4

+MEd

As2

As1

+NEd

Ed

Edcd

0,6700,493

0,20 0,40 17,0N

b h f

d1 / h = d2 / h = 0,10 Ablesung in Tafel 6.1b / C12–C50: tot = 0,34

2s,tot tot

yd cd

20 40= 0,34 10,6 cm

25,6b d

Af f

As1 = As2 = 5,3 cm2

8.7 Interaktionsdiagramme für Recht-eckquerschnitte unter zweiachsiger Biegung mit Normalkraft (Tafeln 7)

Die Interaktionsdiagramme gelten für Querschnit-te mit symmetrischer Bewehrungsanordnung unter schiefer Biegung mit Normalkraft. Im Übri-gen gelten die Angaben in Abschn. 8.7.


Ein

führ

ung

34

h = 4 0

[cm ]

b = 3 0

N E d

Anwendungsbeispiel 7 Rechteckquerschnitt C30/37, C = 1,50; B500 Schnittgrößen: MEdy =100 kNm, MEdz = 80 kNm, NEd = –400 kN

Tafeleingangs-größen: d1/h = d2/h = 0,1 b1/b = b2/b 0,1

EdyEdy 2 2

cd

0,1000,123

0,30 0,40 17,0

M

b h f

EdzEdz 2 2

cd

0,0800,131

0,30 0,40 17,0

M

b h f

1 = 0,131; 2 = 0,123

EdEd

cd

0,4000,196

0,30 0,40 17,0N

b h f

Ablesung in Tafel 7.3b / C12–C50: tot = 0,34

2s,tot

yd

30 40= 0,34 16,0 cm

25,6totcd

b dA

f f

Bewehrung je Ecke: Asi = 4,0 cm2

8.8 Druckglieder

Zentrisch gedrückte Stützen ohne Knick-gefahr (Tafeln 8.1)

Für Rechteck-, Kreis- und Kreisringquerschnitte dienen die Tafeln 8.1 zur Bestimmung der auf-nehmbaren Längsdruckkraft, aufgeteilt in Beton- und Bewehrungsanteile unter Ansatz der maxi-malen Querschnittsstauchung von 2,2 ‰. Druck-kräfte sind hier ohne Vorzeichen angegeben.

Anwendungsbeispiel 8.1 Rechteckquerschnitt C30/37, C = 1,50; B500 NEd = 2,400 MN Ablesung in Tafel 8.1b / C25–C35: Fcd = 2,040 MN erf. Fsd = 2,400 – 2,040 = 0,360 MN gew.: 6 ø 14 ; Fsd = 0,402 MN |NRd| = 2,040 + 0,402 = 2,402 MN > NEd

Bemessungsdiagramme nach dem Modell-stützenverfahren (Tafeln 8.2 bis 8.4)

Die Tafeln wurden in Anlehnung an [Avak – 1999] für EC 2-1-1 aufgestellt. Sie beruhen auf dem Mo-dellstützenverfahren nach EC 2-1-1, 5.8.8 und berücksichtigen die Lastausmitte nach Theorie II. Ordnung e2 gemäß EC 2-1-1, 5.8.8: e2 = K1 · Kr · K · (1/r0) · l02/10 (56) Es sind K1 = /10 – 2,5 Kr = (nu – n)/(nu – nbal) nu = 1+ = 1+ As·fyd /(Ac·fcd) n = NEd /(Ac·fcd) nbal 0,4 (näherungsweise; allg.: Wert von

n bei max. Biegetragfähigkeit) (1/r0) = yd / (0,45d) K = 1 + · ef 1 = 0,35+ fck /200– /150 0

ef = ( , t0) · M0,Eperm / M0,Ed mit M0,Eperm als Moment unter quasi-stän-diger Einwirkung (GZG) und M0,Ed unter Bemessungseinwirkung (GZT), jeweils nach Theorie I. Ordnung.

(Berücksichtigung des Beiwertes K in den Be-messungstafeln s. nachfolgende Erläuterung.) In den Bemessungstafeln 8.2 bis 8.4 wurde der Kr - Wert mit dem obigen Näherungsansatz be-stimmt; allerdings wird von der Vereinfachung, nbal 0,4 kein Gebrauch gemacht; es wird viel-mehr entsprechend der Definition („der Wert von n bei maximaler Biegetragfähigkeit“) der Wert jeweils genau bestimmt. Dabei kann nbal insbe-sondere bei hochfestem Beton den Wert null erreichen oder in Einzelfällen sogar in den positi-ven Bereich wechseln (s. Bild 24). Für den normalfesten Normalbeton liefern die vorliegenden Bemessungstafeln eine gute Über-einstimmung mit den Bemessungshilfen von [Kordina/Quast – 2001]; weitere Hinweise zum Modellstützenverfahren siehe dort. EC 2-1-1 macht beim Modellstützenverfahren keine Ein-schränkungen bezüglich der Betonfestigkeitsklas-sen. Es ist jedoch darauf hinzuweisen, dass nach [Kordina/Quast – 2001] das Verfahren bisher nur für den normalfesten Normalbeton abgesichert ist. Für andere Betonfestigkeitsklassen sollten daher die Tafeln zunächst nur für Vorbemessungen und Kontrollrechnungen angewendet werden. Tafeleingangsgrößen sind das Biegemoment nach Theorie I. Ordnung einschließlich ungewollter Aus-mitte und Kriechausmitte sowie die Normalkraft. Der Bereich e /h < 0,1, in dem das Modellstützen-verfahren zu unwirtschaftlichen Ergebnissen führt, ist in den Diagrammen schattiert dargestellt (auf der Basis der Ausmitte nach Theorie I. Ordnung!).

h=40

[cm]

b=30b1=4

d2=4

MEdy

je 1/4 As,tot

NEd

d1=4b2=4

MEdz


35

Ein

führ

ung

Die Tafeln sind jeweils nur im Bereich des nach EC 2-1-1 erlaubten Höchstbewehrungsgrads (0,09 Ac) gültig, auch wenn der Ablesebereich zur Vereinheitlichung der Darstellung darüber hinaus-gehen kann. Konkret sind folgende mechanische Bewehrungsgrade lim einzuhalten (Werte gelten für C = 1,5 und S = 1,15; fck in [N/mm2]).

Tabelle 20 Höchstbewehrungsgrade lim

fck 12 16 20 25 30

lim 5,75 4,32 3,45 2,76 2,30

fck 35 40 45 50 55

lim 1,97 1,73 1,53 1,38 1,26

fck 60 70 80 90 100

lim 1,15 0,99 0,86 0,77 0,69

Am unteren Rand der jeweiligen Diagramme tref-fen die Bedingungen der Gl. (12) für den Wegfall des Knicksicherheitsnachweises zu. Der Übergang zum Bereich mit Erfordernis des Knicksicherheits-nachweises ist an einem Sprung der Kurven zu erkennen. Dehnungsangaben sind in [‰ ausge-drückt.

Berücksichtigung des Kriechens Der Kriecheinfluss wird bei der Ausmitte e2 nach Theorie II. Ordnung durch den Faktor K erfasst K = 1 + · ef 1 = 0,35+ fck /200– /150 0 (vgl. auch Erl. zu Gl. (56)). Eine Auswertung von K zeigt, dass der Einfluss mit größer werdender Schlankheit kleiner wird und beispielsweise für Beton C30/37 bei 75 verschwindet (da = 0 und damit K = 1). Die nachfolgende Tabelle zeigt die Grenzschlankhei-ten, ab denen K = 1 wird.

Tabelle 21 Grenzwerte für K = 1

fck 12 16 20 25 30 K = 1 für 62 65 68 71 75

fck 35 40 45 50 55 K = 1 für 79 83 86 90 94

fck 60 70 80 90 100 K = 1 für 98 105 113 120 128

Bild 24: Verlauf des Balance-Points beim R4-0,20-Querschnitt und Auswirkung im Knickdiagramm durch örtliche

Spreizung der Omega-Kurven (vgl. Tafeln 6.2b/C100 und 8.3e/C100)


Ein

führ

ung

36

In den Bemessungsdiagrammen wird das Kriech-en durch die Ersatzschlankheit = · (K )0,5 erfasst (ohne Kriecheinfluss gilt natürlich = ), ergänzende Diagramme unter Berücksichtigung unterschiedlicher K -Wert sind daher entbehrlich und überflüssig.

Biegemoment nach Theorie II. Ordnung Das dem Bemessungsergebnis zugrunde liegen-de Biegemoment nach Theorie II. Ordnung ist das Tragmoment des Querschnitts für den abge-lesenen Bewehrungsgrad tot unter der Normal-kraft Ed. Es wird zweckmäßigerweise im Dia-gramm für = 25, d.h. für die reine Querschnitts-bemessung ohne Einfluss von Verformungen ermittelt (s. Beispiel).

Anwendungsbeispiel 8.2a Rahmenrandstütze im Hochbau, in einer Ebene durch Wände ausgesteift.

Rechteckquerschnitt C30/37, C = 1,50; B500 Schnittgrößen NEd = –300 kN, MEd01 = –15 kNm, MEd02 = 30 kNm Knicklänge l0 = · lcol 1,0 · 4,50 = 4,50 m Schlankheit = l0 / i = 4,50 / (0,289 · 0,20) = 78

h=20

[cm] b=20 d1=3

As2

As1

NEd

e02=10

e01= -5

NEd=-300 kN

lcol=450

d2=3

Die Kriechausmitte ec darf hier vernachlässigt werden (EC 2-1-1/NA, 5.8.4 (4)). Wie aus Tabelle 21 zu entnehmen ist, ergäbe sich allerdings ohne-hin K = 1.

Ausmitte im kritischen Schnitt:

02 010

02

0,6 0,4max

0,4e e

ee

00,6 0,100 0,4 0,050 0,040

max0,4 0,100 0,040

e

e0 = 0,040 m

Schiefstellungswinkel (Abschn. 5.2.2):

ungewollte Ausmitte: ei = i · l0 / 2 = 0,0047 · 4,50 / 2 = 0,0106 m MEd1 = 300 · (0,040 + 0,0106) = 15,2 kNm

Ed1Ed1 2 2

cd

0,01520,112

0,20 0,20 17,0

M

b h f Ed

Edcd

0,3000,44

0,20 0,20 17,0N

b h f Tafel 8.2h / C12–C50 ( = 80):

tot = 0,35 2

s,tot totyd

20 20= 0,35 5,5 cm

25,6cd

b dA

f f

Tafel 8.2g / C12–C50 ( = 25):

für tot = 0,35 und Ed = –0,44 liest man ab:

= 0,24 = Ed2

Die Zusatzausmitte e2 nach Theorie II. Ordnung beträgt damit

e2 = h · ( Ed2 – Ed1) / Ed = 0,20 · (0,24 – 0,112) / 0,44 = 0,058 m

Anwendungsbeispiel 8.2b Wie Beispiel 8.2a, jedoch mit folgenden Abwei-chungen Stützenlänge lcol = 4,00 m Knicklänge l0 = · lcol 1,0 · 4,00 = 4,00 m Schlankheit = l0 / i = 4,00 / (0,289 · 0,20) = 69 Kriechen soll berücksichtigt werden. Die effektive Kriechzahl wird angenommen zu Kriechzahl ef = 2,0 Ersatzschlankheit = 72 (Ermittelt aus = · (K )0,5 oder direkt abgele-sen in Tafel 8.2h / C12–C50 für Beton C30/37.) Weiterer Rechengang wie im Beispiel 8.2a (auf der sicheren Seite kann z. B. wiederum mit dem Diagramm für = 80 bemessen werden, alterna-tiv auch interpoliert werden zwischen den Werten aus den Tafeln für = 70 und = 80)

8.9 Querkraft, Durchstanzen

8.9.1 Querkraftbeanspruchung (Tafeln 9.1 und 9.2)

Anwendungsbeispiel 9.1

Einfeldrige Platte mit Biegezugbewehrung nach Skizze (vgl. [Goris – 2014/1]); gesucht ist der Trag-fähigkeitsnachweis für Querkraft.

icol

11 200

100 l

a11

0,0047 1 200100 4,50


Ein

führ

ung

37

Bemessungsquerkraft: Vd,li = (1,35 · 6,5 + 1,5 · 5,0) · 4,5 / 2 = 36,6 kN/m VEd = 36,6 – (0,08 + 0,18) · 16,3 = 32,4 kN/m

Bemessungslast Bemessung:

Mit l = 2,85 / (100 · 18) = 0,0016 (Längsbeweh-rungsgrad, s. Skizze) erhält man für d 20 cm und Beton C20/25 aus Tafel 9.1c vRd,c = vRd,c,min = 0,443 MN/m2 VRd,c,min = 0,443 · 1,0 · 0,18 = 0,0797 MN/m Nachweis: VEd = 32,4 kN/m < VRd,c = 79,7 kN/m Anwendungsbeispiel 9.2

Für den dargestellten Träger ist die Querkraft-tragfähigkeit für lotrechte Querkraftbewehrung nachzuweisen.

Bemessungsquerkraft: VEd,A = (1,35 · 50 + 1,50 · 30) · 7,50/2 = 422 kN VEd = 422 (0,10 + 0,53) · 112,5 = 351 kN

Bemessungslast Querkraftbewehrung asw und Bemessungswider-stand VRd,max vEd = VEd / (bw · z) = 0,351 / (0,3 · 0,48) = 2,44 MN/m2 Mit Tafel 9.2b erhält man:

w = 0,324 asw = 0,324 · 30 = 9,73 cm2/m

Ein separater Nachweis der Druckstrebe ist nicht erforderlich, da die Ablesung innerhalb des Gül-tigkeitsbereichs der Tabelle 9.2b liegt. Druckstrebenneigungswinkel Falls für weitere Berechnungen der Druckstre-benneigungswinkel cot benötigt wird, kann dieser unmittelbar Tafel 9.2b entnommen wer-den. Für vEd = 2,44 MN/m2 liest man ab cot = 1,685 8.9.2 Durchstanzen (Tafeln 9.3)


Mittig belastetes Einzelfundament ([Goris – 2014/1]) Lx = Ly = 2,30 m; cx = cy = 0,30 m; d = 0,44 m NEd = 1000 kN C30/37; B500

l = 0,20 % (Vorgabe)

·VEd = 1,10 · 1,00 = 1,10 MN

Mit Lx / cx = 2,30/0,30 = 7,67 und Lx / Ly = cx / cy = 1,0 erhält man aus Tafel 9.4a

acrit / cx = 1,29 VRd /(vRd,c·d 2) = 23,3

acrit = 1,29 · 0,30 = 0,39 m < 2d

Baustoffe: C20/25; B500

Baustoffe: C30/37; B500


Ein

führ

ung

38

VRd = 23,3 · vRd,c · d 2 vRd,c = (0,15/ C) · k · (100 · l · fck)1/3 vmin = ( 1 / C) · (k3

· fck)0,5 k = (1 + (200 440)0,5) = 1,67 vRd,c = 0,1 · 1,67 · (0,20 · 30)1/3 = 0,414 MN/m2 < 0,035 · (1,673

· 30)0,5 = 0,392 MN/m2 VRd = 29,5 · 0,392 · 0,542 = 3,37 MN > ·VEd = 2,31 MN Hinweis: Es ist ·VEd einzuhalten (ohne Reduzie-rung um VEd; eine mögliche Reduzierung ist bereits bei VRd berücksichtigt). 8.10 Gebrauchstauglichkeit

8.10.1 Spannungsbegrenzung (Tafel 10.1)

Anwendungsbeispiel 10.1a

Deckenplatte mit b/h/d = 100/18,0/15,5 [cm] und Biegezugbewehrung gemäß Abbildung.

Gegeben Mb = 23,2 kN/m As = 5,24 cm2/m ( 10-15; s. Abb.) Gesucht Betondruck- und Stahlzugspannungen; das Ver-hältnis der E-Moduln von Betonstahl zu Beton soll mit e = 15 angenommen werden Betondruckspannungen

c = 2M (b · x · z) x = 4,21 cm; z = 14,1 cm (Tafel 10.4b)

c = 2 · 0,0232/(1,0 · 0,0421 · 0,141) = 7,82 MN/m2 Betonstahlspannungen

s = M (As ·z) = 0,0232 / (5,24 · 10–4

· 0,141) = 314 N/mm2

Ergänzender Hinweis Für die Betondruckspannung ist i.d.R. der Zeit-punkt t = 0 maßgebend mit e < 15. Bei einer Anwendung von Tafel 10.4 muss dann als Ein-gangswert As* = As · ( e /15) gewählt werden. Anwendungsbeispiel 10.1b

Wie Bsp. 10.1a, jedoch mit

e = 6,1 für C30/37 As* = 5,24 · (6,1/15) = 2,13 x = 2,83 cm; z = 14,6 cm

c = 2 · 0,0232/(1,0 · 0,0213 · 0,146) = 14,9 MN/m2

Anwendungsbeispiel 10.1c

Rechteckquerschnitt: b / h / d = 30 / 60 / 55 cm Biegezugbewehrung: As1 = 22,0 cm2. Für die Schnittgrößen des Gebrauchszustandes M = 300 kNm und N = –100 kN (Druck) sollen die Betondruck- und Stahlzugspannungen ermittelt werden. Es wird angenommen, dass das Verhält-nis der E-Moduln von Stahl zu Beton e = 15 ist.

Ms = 300 + 100 · 0,25 = 325 kNm N = –100 kN

Ablesung von = x / d in Tafel 10.5: N · d / Ms = –100 · 0,55 / 325 = –0,169

e · = 15 · (22,0 / (30 · 55)) = 0,20 = 0,48

Druckzonenhöhe x = 0,48 · 55 = 26,4 cm Hebelarm z = d – (x/3) = 55 – 26,8/3 = 46,1 cm Stahlspannung s1 = Ms /(As · z)

= 325/(22 · 0,461) – 100/22 = 27,5 kN/cm2 = 275 MN/m2

Betonspannung c = 2 · Ms /(b · x · z) = 2 · 325 / (0,30 · 26,8 · 46,1) = 1,75 kN/cm2 = 17,5 MN/m2 8.10.2 Verformungsbegrenzung

(Tafel 10.2)


Einfeldplatte mit leichten Trennwänden (erhöhte Anforderungen an die Durchbiegung) Gegeben Stützweite L = 4,50 m und Nutzhöhe d = 18 cm Belastung qk /gk = 5,0/6,5 [kN/m2] Beton C20/25 Bewehrung As = 5,61 cm2/m = 5,61/(18 · 100) = 0,0031

Nachweis der Biegeschlankheit L /d K · k1 · B K /L (vgl. Tafel 10.8) Näherungsweise (i.d.R. sichere Seite) wird der Nachweis zunächst für k1 = 1,0 (d. h. Betonstahl-spannung unter quasi-ständiger Last 310 N/mm2) geführt. = 0,0031; C20/25 BL/d = 25 (Tafel 10.8)

K = 1 (Einfeldplatte) L /d = 4,50/0,18 = 25

1,0 · 25 = 25 ( 1,02 · 150/4,5 = 33)

Nachweis erfüllt.

Soweit der Nachweis nicht erfüllt ist, kann bei einer „genaueren“ Ermittlung der Betonstahlspan-


Ein

führ

ung

39

nung mit den Beiwert k1 verbessert werden. Die Ermittlung der Stahlspannung unter der maßge-benden Kombination (i.d.R. quasi-ständige Last) erfolgt näherungsweise mit (s. Tafel 10.8) k1 = 310/ s mit s (Mperm /MEd) · fyd = (gk+ 2 · qk)/(1,35 · gk+1,50 · qk) · fyd

qk/gk = 5,0/6,5 = 0,77 2 = 0,6 (Annahme: Nutzungskategorie C,

z. B. Verkaufsräume)

k1 = 310/ s 1,22 (s. Tafel 10.8) L /d = 4,50/0,18 = 25

1,0 · 1,22 · 25 = 30 ( 1,02 · 150/4,5 = 33)

Eine noch einfachere Ermittlung und direkte Ab-lesung ist mit Tafel 10.8c möglich. Man erhält Li /d WLi/d 150/Li Li = L (Einfeldsystem) WLi/d = 30,6 ( = 0,31 %; = 0,6; qk/gk = 0,77) 150/Li = 33,3 (L = Li = 4,50 m) Li /d = 4,50/0,18 = 25 30,6 (< 33,3)


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Einführung 8.1 Allgemeines Bemessungsdiagramm … · 2014-09-19 · Einführung 30 8.1 Allgemeines Bemessungsdiagramm (Tafel 1) Das allgemeine Bemessungsdiagramm deckt nahezu den