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Clemens Simmer
Einführung in die Meteorologie (met210)
- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre
2
IV Dynamik der Atmosphäre
1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien
2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse
3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
3
• Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur von Windfeldern– unter Berücksichtigung der Massenerhaltung– ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).
• Windfelder lassen sich charakterisieren durch ihre– Divergenz (Volumeninhalt wächst oder schrumpft)
– Rotation (Volumeninhalt konstant, ändern der Ausrichtung)
– Deformation (Volumeninhalt konstant, Ausrichtung konstant)
IV.1 Kinematik (1)
Volumen sei konstant
?
4
IV.1 Kinematik (2)1. Divergenz
• Definitionen• Massenerhaltung und Kontinuitätsgleichung
2. Rotation und Zirkulation• Definitionen• Natürliches Koordinatensystem• Zusammenhang mit Divergenz über Vorticity
3. Stromlinien und Trajektorien• Definitionen• Beispiele
5
IV.1.1 Divergenz der Windgeschwindigkeit
yv
xu
vvdiv
zw
yv
xu
vvdiv
HH ∂∂+
∂∂=⋅∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇=
x< 0 > 0 < 0
t=0
t=t1
Bei Beschränkung auf die horizontalen Windkomponenten wird der Zusammenhang zwischen Strömungsfeld und Divergenz unmittelbar deutlich.
Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen-(Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.
6
Beispiele zur Divergenz
1111
1
1
1
0111
111
−−−−
−
−
−
=∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇
= sz
msy
msx
msv
msmsms
v)()()(
1
1
1
1
3 −
−
−
−
=∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
= szz
yy
xx
vmszmsymsx
v
Lx
Lu
xLxu
vLx
u
vππ
ππ22
2
00
2
00
0
cossinsin
=∂
∂=⋅∇
=
0
0
20
0
=⋅∇
= vLx
v
u
v π
sin
L/2 L
L/4 L/2
7
Divergenz und Massenerhaltung (1)
Dichte und Masse mit
)( fest,
Volumendem aus nflussNettomasse
ρ
ρρ
mt
VtV
tm
M
kg/s [M]VM
∂∂−=
∂∂−=
∂∂−=
==
V, m, =m/V
Mi
kg/m³ m² m/s kg/s
heraus V aus Fluss wenni Randfläche beliebige eine durch sMassenflus
0 FvM iFi i>⋅⋅= ⊥
Ein Nettomassenfluss M durch die festen Volumenberandungen führt zu einer Massen- und damit Dichteänderung innerhalb des Volumens.
8
Divergenz und Massenerhaltung (2)
xy
z
y
z
x
0r
Ein Würfel sei ausgerichtet parallel zu den Koordinatenachsen
wvwv
vvvv
uvuv
FFFFFF
zz
yy
xx
FF
FF
FF
zzyyxx
−==
−==
−==
−+
−+
−+
⊥⊥
⊥⊥
⊥⊥
−+−+−+
,
,
,
,,,,,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) Vxu
zyxzyxxu
zyx
zyxxu
zyxux
zyxxu
zyxu
zyzyx
xuzyx
xuMMM
MMMMMMM
xxx
M
zz
M
yy
M
xx
zyx
∂∂=∆∆∆
∂∂=
∆∆
∆−∂
∂−−∆∂
∂+≅
∆∆
∆−−
∆+≅+=
+++++=
−+
−+−+−+
ρρ
ρρρρ
ρρ
000
000000000000
000000
22
22
,,
,,,,,,,,
Punkt zentralen umgEntwicklun-Taylor
,,,,
nflussNettomasse
Die erste Approximation geht davon aus, dass z.B. u sich über die Flächen Mx wenig ändert.
9
Divergenz und Massenerhaltung (3)
xy
z
y
z
x
0r
analog für die zwei anderen Richtungen, also insgesamt:
, , Vzw
MVyv
MVxu
M zyx ∂∂=
∂∂=
∂∂= ρρρ
( )VvVwvu
z
y
x
Vzw
yv
xu
MMMVt
M zyx
ρ
ρρρ
ρρρ
ρ
⋅∇=
⋅
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
++=∂∂−≡
( )vt
ρρ ⋅∇−=
∂∂ Kontinuitätsgleichung
(Massenerhaltung)
10
Eulersche und LagrangescheKontinuitätsgleichung
( )( )v
t
vtdt
d
ρρ
ρρρ
⋅∇−=∂∂
∇⋅+∂∂=
Advektionsgleichung für :
Eulersche Kont‘gleichung:
Umrechnung: ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )ρρρ
ρρρ
ρρρρ
∇⋅+⋅∇+∇⋅−=
∇⋅+⋅∇−=
⋅∇−≡∇⋅−=∂∂
vvv
vvdtd
vvdtd
t
elProduktreg
Lagrangesche Kont‘gleichung vdtd
⋅∇−= ρρ
11
Sonderfall: Inkompressibles Medium
• Ist ein Medium inkompressibel, so kann man es weder zusammenpressen noch auseinander ziehen (z.B. Wasser). Dabei kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren inhomogen sein (veränderliche Dichte, z.B. Wasser-Öl-Mischung )
• Auch Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherungals inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B. keine Ausdehnung beim Aufsteigen keine Schallwellen (Vereinfachung der Numerik)
• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der Beschreibung der Strömungsprozesse bei relativ geringen Vertikalauslenkungen, z.B. Strömungen in der Grenzschicht.
• Es gilt dann offensichtlich:
beachte aber:
00 =⋅∇⇔≡ vdtd
ρ
!!! 0≠∂∂tρ dicht
dünn
12
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (1)• Nehmen wir Inkompressibilität an, so folgt aus dem Zusam-
menströmen von Luft in der Horizontalen (horizontale Konver-genz), dass die Luft in vertikaler Richtung ausweichen muss.
• Erfolgt bei Inkompressibilität die horizonale Konvergenz am Boden, so muss die Luft durch Aufsteigen nach oben ausweichen. Bodennahe horizontale Konvergenz erzwingt Aufsteigen darüber. Bodennahe horizontale Divergenz erzwingt Absteigen darüber.
∂∂+
∂∂−=
∂∂
=∂∂+
∂∂+
∂∂
=⋅∇yv
xu
zw
zw
yv
xu
v 00
• Gehen wir weiter von stationären Verhältnissen aus (/t=0), und dass w sich nur vertikal verändert (zdz), so kann man die Gleichung integrieren.
hvhw
hdzyv
xu
hdz
yv
xu
dwhw
h
HH
hhh
⋅∇−=
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂−==
)(
)(
Divergenz ehorizontal gemittelte-höhen
000
1
Am Boden ist die Vertikalgeschwindigkeit 0, dann nimmt sie mit der Höhe zu.
0
h
13
Beispiel: Aufsteigen in Tiefs und Absteigen in Hochs
H T
• In Hochdruckgebieten ist der Windvektor leicht aus dem Hoch heraus gerichtet.
Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Hoch absinken• In Tiefdruckgebieten ist der Windvektor leicht in das Tief hinein gerichtet
Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Tief aufsteigen.
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (2)
14
Horizontale Divergenz und Drucktendenz (p/t)
( )
( )
)))
0)(mit )(
cz b
HH
a
HH
zzH
zz
z
wgdzvvgtp
dzzw
gdzvg
dzvgdzt
gtp
pdzgzpgdzdp
ρρρ
ρρ
ρρ
ρρ
+
⋅∇+∇⋅−≡
∂∂
∂∂−⋅∇−=
⋅∇−=∂∂=
∂∂
=∞=−=
∞
∞∞
∞∞
∞
Eine Druckzunahme in der Höhe z kann verursacht werden durch:
a) Advektion von dichterer Luft in der Luft darüber b) horizontale Konvergenz in der Luft darüberc) Aufsteigen von Luft durch die Höhe z
z,
a)b)
c) tp
∂∂
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (3)
15
Konvergenz und Konfluenz• Von Null verschiedene Konvergenz lässt ein Strömungsvolumen
wachsen oder schrumpfen – die Dichte nimmt dabei ab bzw. zu.• Bei zweidimensionaler Konvergenz gilt der Zusammenhang mit
Dichteänderungen nicht unbedingt, da wir nicht wissen, was in der vertikalen Dimension passiert.
• Konfluenz und Diffluenz (auch Richtungskonvergenz bzw. –divergenz) bezeichnen das Konvergieren oder Divergieren der Strömungs-richtungen (unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit).
• Konfluente oder diffluente Strömungen können konvergent oder divergent sein!
2D-Strömung mit Konfluenz und Diffluenz, aber
verschwindender Divergenz (angedeutet durch
gleichbleibendes Volumen)
16
Einschub:Kontinuitätsgleichung im p-Koordinatensystem
Bei großskaligen Bewegungen, bei denen die statische Grundgleichung annähernd gilt, wird als Vertikalkoordinate anstatt der z-Koordinate oft der Druck p genommen. Neben offensichtlichen Nachteilen hat das p-System den rechen-technischen Vorteil, dass die Kontinuitätsgleichung einfacher aussieht.Zur Ableitung betrachtet man die Änderung eines Volumens V (jetzt nicht starr) durch die Luftbewegung:
∆−∆∆≅∆∆∆=gp
yxzyxVρ
Für die Massenänderung gilt unmittelbar:( )
∆∆∆−==≡g
pyxdtd
Vdtd
dtdm ρ0
Dann gilt der formale Zusammenhang von letzter Seite ohne Annahme der Inkompressibilität!
0
0
=⋅∇=∂∂+
∂∂+
∂∂
=++=
pp vpy
vxu
dtdp
p
yv
xu
ϖ
ϖϖ:ildungGrenzwertb bei hschließlic und mit
g , V) /(, ×∆
∆∆∆+
∆∆∆+
∆∆∆=g
yxdt
pdg
pxdt
ydg
pydt
xd0
∆∆
+
∆∆
+
∆∆
=∆∆
+∆∆
+∆∆
=dtdp
pdtdy
ydtdx
xdtpd
pdtyd
ydtxd
x111111
0
17
Flächenmittel der horizontalen Divergenz und der Integralsatz von Gauss (1)
• Bei Messungen, wie bei Modellen sind die Felder der meteorologischen Größen nicht überall bekannt, sondern entweder an den Messpunkten oder den Gitterpunkten des Modells.
• Die Berechnung der Divergenz benötigt aber formal ein kontinuierliches Feld, da der Nabla-Operator ein differentieller Operator ist.
• Tatsächlich interessiert aus verschiedenen Gründen meist oft nur die räumlich gemittelte Divergenz eines Windfeldes.
• Der Integralsatz von Gauss (hier nur in 2 Dimensionen für die horizontale Divergenz) verbindet die differentielle Formulierung mit einer integralen Formulierung
=⋅≡
⋅∇=⋅∇=
Fn
FH
dxdyHH
F
HH
dsvF
dsnvF
dxdyvF
vD
11
1
Gaussvon Satz
:
x
y
Fds
. Hv
Hn vnv
⋅=n
18
x
y
F
a
bc
d
x
y
( ) ( )
Komponente-ugemittelte aüber
1
mit
11
1
1
∆=
−∆
+−∆
=
∆+∆+∆−∆−∆∆
=
++−−=
aaa
bdac
dcba
dd
cc
bb
aa
dyuy
u
vvy
uux
xvyuxvyuyx
dxvdyudxvdyuF
D
Die seien Stationspositionen an denen der Wind gemessen wird.Man denkt sich ein Rechteck (gestrichelt), das die Stationen verbindet.
Anmerkung:Grenzwertbildung bei D hinter dem letzten Gleichheitszeichen führt mit x,y0 wieder zur Definition der Divergenz, womit auch der Satz von Gauss bewiesen ist.
Flächenmittel der horizontalen Divergenz und der Integralsatz von Gauss (2)
19
Übung zu IV.1.1
x
y
F
a
bc
d
x=100 km
y=50 km
4 m/s, 60°
10 m/s90°
4 m/s, 120°
8 m/s90°
1. Bestimme die mittlere horizontale Divergenz D für nebenstehende Beobachtungen.
2. Wie ändern sich die Werte, wenn wegen Messfehler tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?
3. Im Zentrum eines Tiefdruckgebietes sei der Vertikalwind in 2000 m Höhe 2 mm/s. Wie groß ist dort dann die mittlere horizontale Divergenz zwischen Boden und 2000 m unter Annahme inkompressibler Luft?
4. Im Windfeld von 3. liege bei 2000 m die Unterkante einer Wolkenschicht. Es herrsche dort eine Temperatur von 10°C. Berechne die Niederschlagsmenge in mm/h unter der Annahme, dass alles beim Aufsteigen kondensierende Wasser sofort ausfällt (der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 10°C ist 12,2 hPa; die Gaskonstante von Wasserdampf ist 461 J/(kg K)).
20
IV.1.2 Rotation und Zirkulation
• rot-Operator• absolute und relative Geschwindigkeit• Zirkulation als integrales Maß der Rotation• Vorticity• natürliches Koordinatensystem• Zusammenhänge zwischen Vertikalgeschwindigkeit,
Divergenz und Vorticity
21
Rotation eines Vektorfeldes- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -
zetaetaxi
yu
xv
xw
zu
zv
yw
wvu
kji
wvu
vrotv zyx
z
y
x
=
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
=≡
×
≡≡×∇ ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ζηξ
Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und hängen u und v nur von x und y ab (keine Änderung mit der Höhe), dann gilt offensichtlich:
∂∂−
∂∂=≡×∇
yu
xv
kkv
ζx
y
.
Offensichtlich ist die Rotation aus der Zeichenebene zum Be-obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal(Zyklone!) bezeichnet.Die Rotation ist ein achsialer Vektor.
Da die Luftströmung i.w. horizontal ist hat eine besondere Bedeutung in der Meteorologie.
vkyu
xv
×∇⋅=
∂∂−
∂∂=ζ
22
Beispiele
000
=yu
v
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
=×∇
yu
xv
xw
zu
zv
yw
v
=×∇
0
00
-u
v
0
−= x
y
v
=×∇200
-
v
0
2sin0
0
=L
xv
u
vπ
=×∇
Lx
Lv
vππ 2
cos2
00
0
L/4 L/2
23
Absolute und Relative Geschwindigkeit
• Durch die Erdrotation haben auch auf der Erde ruhende Gegenstände in einem System, das z.B. in der Sonne verankert ist (gedachtes Inertialsystem), bereits eine von Null verschiedene Geschwindigkeit.
• Wir unterscheiden zwischen der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zur Erde hat (relative Geschwindigkeit v), und der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zu einem Intertialsystem hat (absolute Geschwindigkeit va).
• Diese Unterscheidung ist wichtig, da z.B. nur für letzteres das 2. Newtonsche Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) gilt.
• Die ruhende (relativ zur Erde) Luft hat durch die Erddrehung eine Geschwindigkeit, die wir als Mitführungsgeschwindigkeit bezeichnen.
vv
vv
v
v
a
a
a
×∇≠×∇
⋅∇=⋅∇
gkeitGeschwindi relative
gkeitGeschwindi absolute Die Operatoren sind über räumliche Ableitungen definiert. Offensichtlich kann sich auch der Effekt des Operators ändern, wenn man von einem Bezugssystem zum anderen geht.
24
Mitführungsgeschwindigkeit der Erde• Wir vernachlässigen die Jahresbahn der Erde um die Sonne (Erde dreht sich nur
um sich selbst).• Ein auf der Erde ruhender Punkt beschreibt dann im Absolutsystem
(Inertialsystem) eine Kreisbahn.• Eine Kreisbahn ist immer eine beschleunigte Bewegung, da sich ständig die
Richtung ändert.• Die Geschwindigkeit des Punktes auf der Kreisbahn vR ist die
Mitführungsgeschwindigkeit; sie ist von der Breite abhängig.
rad/s 102722,7 246060
2
5−×=××
==Ω πλdtd
Rv
ds=Rdd
R
i
rir
iriRidtd
Ridtds
vR
×Ω=Ω−=
Ω=Ω===
Produktes-(Kreuz)Vektor des Definition
2 )sin(
cos
ϕ
ϕλ
π
R
Ω
Rv
R=r cos
r
Rotationsvektor der Erddrehung:
25
Rotation der AbsolutgeschwindigkeitFür die Absolutgeschwindigkeit eines sich auf der Erde bewegenden Teilchens gilt also : rvva
×Ω+=
Für deren Rotation gilt:
( )( )
)()()()( aus
Ω⋅∇−Ω∇⋅+∇⋅Ω−⋅∇Ω=×Ω×∇
Ω+×∇=×Ω×∇+×∇=×∇
rrrrr
a vrvv 2
Weiter gilt für die z-Komponente der Rotation
rameterCoriolispa sin Vorticityrelative
Vorticityabsolute mit
ϕζζζηζ
Ω≡
+=≡
2f
f aa
( ) ( )Breite hegeografisc und mit
sin
ϕ
ϕζζ
Ω=Ω
Ω+=Ω⋅+×∇⋅=×∇⋅=
22kvkvk aa
26
Vorticity und Coriolisparameter
rameterCoriolispa sin Vorticityrelative
Vorticityabsolute mit
ϕζζζζ
Ω≡
+=
2f
f aa
Pol
Äquator
ϕ
ϕ
Ω
Ω⋅=Ω
kz
• f ist der Teil der Rotation um die lokale Vertikale, der durch die Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH negativ).
• Ist der Drehsinn der Relativbewegung wie der der Erde, nennt man das zyklonal. Zyklonal heißt also:
• NH: gegen Uhrzeigersinn, positiv• SH: im Uhrzeigersinn, negativ.
• Die absolute Vorticity ist eine Erhaltungsgröße (Drehimpuls) und bestimmt die Wirbelstruktur der großräumigen atmosphärischen Bewegung.
27
Vorticity und ZirkulationSo wie die Divergenz als differentieller Operator durch den Gaussschen Satz ein integrales Äquivalent in D durch den Fluss über den Rand eines Gebietes hat, so hat auch die Rotation als differentieller Operator ebenfalls ein integrales Äquivalent, und zwar in der Zirkulation C durch den Stokesschen Satz:
=
⋅≡
)(
)(
cosFL
FL
dlv
ldvC
α
F
L(F)
vld
F
FdvrotldvCFFL
⋅=⋅=
Stokesvon Satz)(
Zur Berechnung des Flächenintegrals der Rotation genügt also der Wind auf dem Rand des Gebietes. Dies ist schwieriger zu verstehen als der GaussscheSatz.
28
Vorticity und Zirkulation
FdvrotldvCFFL
⋅=⋅=
Stokesvon Satz)(
Herrscht im Inneren der Fläche eine andere Drehrichtung (Rotation) als auf dem Rand, so wird diese bezüglich der Rotation überkompensiert durch die umso stärkere Schervorticityin der Nähe des Randes.
29
Vorticity und Zirkulation- horizontal -
≡⋅==⋅=FkFdFF
hFL
hh dFFdkFdvrotldvC ζζ )(
FC
dFF
dCF
dFdCdFdC
hF
hhh
=
===
ζ
ζζζ
:folgt daraus
also11
Letztere Beziehung gibt uns eine Vorschrift zur Berechnung der Vorticity aus endlich voneinander entfernten Messungen.
30
Vorticity bei Kreisbewegung in der Ebene
ϕd
r
ld
dtdϕω =
ϕrddl =
v
Frrdr
rddtd
rrddtdl
rdv
ldvdlvldvC
FL
FLFLFL
FLFLh
ϖπϖπϖϕω
ϕϕϕϕ
222 222 ====
===
≡⋅=
eKreisfläch)(
)()()(
)(bewegung
-Kreis)(
da
ϖζ 2=≡FCh
Bei Kreisbewegung in der Ebene ist die Vorticity identisch mit der zweifachen Winkelgeschwindigkeit der Strömung um das Zentrum.
31
Natürliches Koordinatensystem• Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich
anstatt des starren und ortsfesten kartesischen Koordinatensystems ein Koordinatensystem zu verwenden, das an die Strömung selbst gebunden ist.
• Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer beliebigen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens auffassen.
• Ein geeignetes Koordinatensystem wird dann festgelegt durch Einheitsvektoren in Richtung
- des Windrichtungsvektors- des Vektors senkrecht dazu nach links in der
Strömungsebene (dieser ist dann parallel zur Richtung des hypothetischen Kreismittelpunktes)
- der Normalen auf der Ebene des Kreises.
0n
0n
0s
0s
emRechtssyst ein bilden ,,
,
kns
knsvv
vv
s
00
000 =×==
32
Krümmungs- und Scherungsvorticity (a)
V
V + n
s's
n= n
Das natürliche Koordinatensystem erlaubt eine formale Trennung zwischen Krümmungs- und Scherungsvorticity.
Berechnung der Zirkulation und Vorticity über den schraffierten Bereich:
sns
VnV
snnV
VssVC
∆∆
∆∆+
∂∂−=
∆
∆∂∂+−′∆+∆=
β
)(
adiusKrümmungsr mit
lim ,
β
ζ
∆∆=
+∂∂−=
∆∆= →∆∆
sR
RV
nV
snC
s
ssn 0
Rs
β∆
33
++
y
x x
y
a b
Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)
sRV
nV
+∂∂−=ζ
Scherungsvorticity Krümmungsvorticity
34
-6 -4 -2 0 2 4
0
100
200
300
400
500
p*
hPa
div vH
in 10 hPa/s-4 div v in 10 sH-6 -1
Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung
Bezeichnungen:p*=p0-p*=-=-dp/dt~w
• Positive Divergenz vom Boden bis ca. 160 hPa vom Boden ist mit zunehmendem Absinken verbunden.
• Bis 350 hPa herrscht Konvergenz; das Absinken muss schwächer werden.
• Darüber herrscht wieder Divergenz und das Absteigen verstärkt sich wieder.
0=⋅∇=∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂
pp
p
v
vpy
vxu
H
*
*div ϖ
ϖ
typischer Verlauf in der Passatregion
35
-10 -5 0 5
200
400
600
800
1000
hPa
div vH
10 s-6 -1hPa/hin div v und inH
p
Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung (wie vorher) und der Vorticity über die Vorticitygleichung
0=∂∂+
∂∂+
∂∂
pyv
xu
Hv
ϖ
div
( )hh vfdtd
⋅∇−≅η
Die Vorticitygleichung verbindet zunehmende Vorticity mit Konvergenz und abnehmende Vorticity mit Divergenz (Pirouetteneffekt)
Typischer Verlauf in ITCZ
36
-60 -40 -20 0 20
0
200
400
600
800z in m
div v in 10 s-6 -1
wachsend
voll entwickelt
ungestört
zerfallend
H
Gemessene Konvergenzen des horizontalen Windes in den unteren 800 m während unterschiedlicher Stadien von tropischen Störungen in der ITCZ. Diese sind bis auf das Zerfallstadium immer mit bodennahen Konvergenzen verbunden.
37
Übungen zu IV.1.21. Schätze die Zirkulation und die relative Vorticity des Horizontalwindes für ein
Gebiet mit 100 km Süd-Nord und 100 km Ost-West-Erstreckung ab, bei dem an den zentralen Punkten der West-, Süd-, Ost-, bzw. Nordseite folgende Windmessungen vorliegen: Ostwind mit 10 m/s, Nordnordostwind mit 9 m/s, Nordostwind mit 10 m/s, bzw. Ostnordostwind mit 9 m/s. Vergleiche den erhaltenen Wert für die relative Vorticity mit der Vorticity der Erddrehung. Wie ändern sich die Werte, wenn tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?
2. Skizziere das Windfeld u=-y, v=x, w=0 und berechne seine Divergenz und Rotation. Diskutiere die Ergebnisse.
3. Zeige, dass die Rotation der Mitführungsschwindigkeit auf der Erde das zweifache des Rotationsvektors der Erde beträgt.
38
IV.1.3 Stromlinien und Trajektorien• Stromlinien sind Momentaufnahmen eines
Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien.
• Trajektorien repräsentieren den Weg eines Teilchens über eine Zeitspanne
39
Beispiel für Stromlinien über Westafrika
Eine Stromlinie ist eine Kurve, deren Tangente an jedem Punkt die Richtung des Geschwindigkeits-vektors angibt:
)(
),,(),,(
linieStrom
00
0
0
xxuv
yy
dxuv
dy
tyxutyxv
dxdy
−≈−
=
≡−
Für eine Stromlinie in der x-y-Ebene gilt:
uv
Bei divergenzfreier Strömung ist die Dichte der Stromlinien proportional zum Betrag der Geschwindigkeit (Beispiel: die Isobaren sind die Stromlinien des geostrophischen Windes).
40
Trajektorienberechnungen für verschiedene Zeiten für das Reaktorunglück bei Tschernobyl am 26.4.1986.Trajektorien verfolgen den Weg eines individuellen Teilchens mit der Zeit, also in der Fläche x(t), y(t). Sie berechnet man also durch Integration der folgenden Gleichungen über die Zeit
y(t)für analog
))(,,(
),,()()(
),,(
),,( , ),,(
0
0
0
tttyxu
tdtyxutxtx
dttyxudx
tyxvdtdy
tyxudtdx
t
t
−≈
′′=−
=
==
41
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5
0.0
0.5
y'
x'
S2
S1
S3
Trajektorie
Beispiel(1):
−=== )(cos , ctxAvconstUuλπ2
Die Trajektorie hat hier eine größere Amplitude als die Stromlinie (da c<U angenommen wurde) und entsprechend auch eine längere Wellenlänge.
In der Abbildung wurden x und y mit normiert, und U=A und c=0,3U gesetzt.
Stromlinie für t=0
0 , 0 , 0mit eTrajektori
000 === txy
420.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5
0.0
0.5
y'
x'
S2
S1
S3
Trajektorie
Beispiel (2):
−=== )(cos , ctxAvconstUuλπ2
constctxUA
xy
ctxUA
ctxUA
dy
ctxUA
tyxutyxv
dxdy
+
−=
−=
−=
−≡=
−
)(2
sin2
)(
dx )(2
cosy(x) ,dx )(2
cos
)(2
cos),,(),,(
0
0
linieStrom
λπ
πλ
λπ
λπ
λπ
Stromlinien
430.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5
0.0
0.5
y'
x'
S2
S1
S3
Trajektorie
Beispiel (3):
−=== )(cos , ctxAvconstUuλπ2
Trajektorie
( )
))(()0(12
sin2
mit 12
cos 2
cos
2cos),,()(
)0(),,()(
)(
)0(
)(
)0(xt
onSubstituti
00
00
txytyxUc
cUA
tUdx, dtUxxdxUc
UA
Uxd
Ucx
xA
tdtcxAtdtyxvty
txUttUdtdtyxutx
ttx
tx
ttx
tx
tt
tt
≡=+
−−
=
′=′′=′′
′
−=′
−=
′
′−=′′=
=+=′=′′=
=′
=′
=′
=′→′
λπ
πλ
λπ
λπ
λπ
440.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5
0.0
0.5
y'
x'
S2
S1
S3
Trajektorie
Beispiel (3):
−=== )(cos , ctxAvconstUuλπ2
Trajektorie
( )
( ) ( )
( ) ( )
)(12
sin2
2sin
2sin
22
sin2
sin2
2sin
22
sin2
2sin
2
2cos),,()(
),,()(
0
00
00
xyxUc
cUA
tcUUtc
Actxxc
A
xc
Actxc
Actxc
A
tdctxAtdtyxvty
UttUdtdtyxutx
t
tt
tt
=
−−
=
−−
=
−−
=
=
+
−−=
−−=
′
−=′′=
=′=′′=
λπ
πλ
λπ
λπ
πλ
λπ
λπ
πλ
λπ
πλ
λπ
πλ
λπ
πλ
λπ
45
Übungen zu IV.1.31. Gegeben ist ein horizontales Windfeld mit u = uo, v = vo cos(2 x/L)
mit uo=10 m/s, vo=5 m/s und L=1000 km (Wellenlänge). a) Berechne für dieses Feld die Rotation und die Divergenz.b) Bestimme die Gleichung für die Stromlinie und Trajektorie, die
durch (x,y)=(0,0) führt.
