EINIGE ANMERKUNGEN DER ZUVERLÄSSIGKEITSTHEORIE VON …rs1.sze.hu/~zvikli/Zuverlassigkeit1 (3).pdf · 2013-03-26 · J 228q. Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék Dr

Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék

Dr. Zvikli Sándor Üzemeltetés elmélete

EINIGE ANMERKUNGEN DER

ZUVERLÄSSIGKEITSTHEORIE

VON TECHNISCHEN

SYSTEMEN (FAHRZEUGEN)

Dr. Zvikli Sándor f. tanár

Széchenyi István Egyetem, Győr

Közlekedési Tanszék

E-mail: [email protected]

Web: http://rs1.sze.hu/~zvikli

mailto:[email protected]





Grundbegriffe der Zuverlässigkeit Definitionen

Klassifikation von Systemen

Zuverlässigkeit der Komponenten. Nicht reparierbares Element Ausfallsfunktion, theoretische Funktion der Ausfallrate

Zuverlässigkeitsfunktion, durchschnittliche Lebensdauer

Zuverlässigkeit des Systems mit unabhängigen, nicht reparierbaren Komponenten Serial-System, exponentielles Serial-System

Parallel-System, exponentielles Parallel-System, Block-System

Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elementen Grundlagen

Erneuerungsfunktion

Zuverlässigkeit des Systems mit unabhängigen, sofort reparierbaren Komponenten asymtotische Verfügbarkeit

Inhalt des Vortrages

228



Zuverlässigkeit von Elementen mit langen Reparaturzeiten Grundlagen

stationäre Verfügbarkeit

Zuverlässigkeit von Systemen mit langer Reparaturzeit, die über unab-

hängigen, während der Reparatur ausgeschaltenenen Komponenten verfügen Grundlagen - der stochastische Prozess

homogener Poisson (Markov) - Prozess

Zustandsübergandsgraph

Chapman - Matrix Differentialgleichung

Kolmogorov - Gleichungssystem

Parameter-Empfindlichkeit.

Beispiel-Lösungen

Berechnung der Zuverlässigkeitseigenschaften des Elements

Berechnung der Zuverlässigkeitseigenschaften des Systems

Zuverlässigkeit von Systemen mit mehreren Zuständen

semi Markov Prozess, Lösungsalgorithm

Beispiel

Inhalt des Vortrages



Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Definitionen.

Ein wichtiges Merkmal des Betriebssystems von Fahrzeugen ist

die Verwendbarkeitsfunktion/Kennzahl.

Die Verwendbarkeit kann theoretisch als eine spezifische

integrierte Kenngröße der technischen Zuverlässigkeit

interpretiert werden.

Im weiteren Sinne versteht man unter dem Begriff Zuverlässigkeit

eines technischen Objekts, dessen Fähigkeit seine Qualität

(Eigenschaften des ursprünglichen Zustandes) im Laufe der

Lebensdauer (Verwendung und Nachhaltigkeit) zu bewahren. Die

Zuverlässigkeit lässt sich somit als die Änderungen der Qualität

im Laufe der Zeit definieren.




Qualität betriebliche Effizienz

Verwendbarkeit

Fehlerlosigkeit

Nachhaltigkeit

Fähigkeit für Nachhaltigkeit

R(t) Zuverlässigkeitsfunktion

F(t) Ausfallsfunktion

λ(t) Funktion derAusfallrate

M(t) Nachhaltigkeitsfunktion

H(t) Erneuerungsfunktion

μ(t) Funktion der Wiederherstellungsrate

A(t) Verwendbarkeitsfunktion

U(t) Unverwendbarkeits-funktion

A – asymtotische Verwendbarkeit

U – asymtotische Unverwendbarkeit

Leistungfähigkeit

Grundbegriffe der

Zuverlässigkeit

laut MSZ IEC

50(191)




Die Verwendbarkeit (Verfügbarkeit, Bereitschaft) ist diejenige Fähigkeit des

technischen Systems, zu einem bestimmten Zeitpunkt oder

Zeitraum unter bestimmten Bedingungen seine

vorgeschriebenen Funktionen durchzuführen, wenn die

dazu notwendigen Ressourcen vorhanden sind.

Die Fehlerlosigkeit ist diejenige Fähigkeit des technischen Systems, zu einem

bestimmten Zeitpunkt oder Zeitraum unter bestimmten

Bedingungen seine vorgeschriebenen Funktionen

durchführen zu können.

(Es kann also vorkommen, dass das System fehlerlos ist, aber nicht verfügbar, weil die

dazu notwendige Ressoursen nicht zu erreichen sind.)




Die Nachhaltigkeit ist diejenige Fähigkeit des Systems, unter bestimmten

Betriebsbedingungen seinen Zustand zu erhalten oder

wiederherzustellen, unter welchem es seine vorgeschriebenen

Funktionen durchführen kann, falls seine Erhaltung bei

bestimmten Bedingungen und vorgeschriebenen Verfahren, mit

vorgeschriebenem Verwenden der Ressourcen organisiert ist.

Die Fähigkeit für Nachhaltigkeit ist diejenige Eigenschaft des gekoppelten

Organisationssystems, unter bestimmten Bedingungen

diejenigen Ressourcen zur Verfügung zu stellen, die bei

gegebener Nachhaltigkeitspolitik für die Erhaltung notwendig

sind.



A Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Klassifikation von Systemen.

technisches Mittel (Element, System)

nicht reparierbar reparierbar

sofort reparierbar großer Zeitaufwand für die

Reparatur

unter der Reparatur ausgeschaltet

unter der Reparatur eingeschaltet



Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: Die Ausfallfunktion.

Das Element (z.B.: ein Ersatzteil) beginnt seinen Betrieb zum

Zeitpunkt t = 0, zum Zeitpunkt t = fällt es aus.

Die Lebensdauer des Elementes kann als Zufallsvariable

interpretiert werden. In diesem Falle dient sie als

Charakteristik für die Lebensdauer.

Verteilungsfunktion F(t) steht für die Wahrscheinlichkeit,

dass das Element zum Zeitpunkt „t” ausfallen wird, d. h. F(t)

ist nichts anderes, als die Ausfallfunktion des Elements.

t 0

F(t) = P( t)



Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die Zuverlässigkeits-

funktion.

Ergänzung zur Ausfallfunktion ist die

Zuverlässigkeitsfunktion R(t),

die berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass das Element erst

nach dem Zeitpunkt „t” ausfallen wird, d. h. sie repräsentiert im

Intervall 0, t die Wahrscheinlichkeit des fehlerlosen

Betriebes.

Die wichtigsten Eigenschaften der Zuverlässigkeitsfunktion:

R(t) monoton, nicht steigend

R(0) = 1

R(t) = 1- F(t) = P( >t)

0lim

tRt



Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die durchschnittliche

Lebensdauer.

R(t) F(t)

F(t)

R(t)

T0

1,0

t 0

dttRdttftMT

00

0

Die durchschnittliche Lebensdauer T0 kann als Erwartungswert

der Zufallsvariable bestimmt werden. Dieser Wert ergibt den

durchschnittlichen Zeitraum des fehlerlosen Betriebes.



Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die theoretische

Ausfallrate.

(t) theoretische Ausfallrate berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass das bis zum Zeitpunkt „t” fehlerfrei

funktionierende Element im nachfolgenden Zeitraum (t 0) ausfällt.

tR

tft

dt

tRd

dt

tRd

dt

tFdtf

1

tRdt

tRdt

1

0lnln RtRdtt

t

o

[wo R(0) = 1, bzw. ln(1) = 0]

e

dttt

tR

0



Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die theoretische

Ausfallrate

I. Abschnitt: frühzeitige Ausfälle. Herstellungsfehler, Konstruktionsfehler.

II. Abschnitt: Intervall des normalen Betriebes (t) = = const. Dominanz der

unerwarteten Ausfälle.

III. Abschnitt: Intervall tendenziöser Ausfälle.

I II III

Weibull ( < 1)

(t)

t 0

Normale, bzw. Weibull ( >2)

Exp. bzw. Weibull ( =1)



Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: quantitative Kenn-

größen.

I. Abschnitt: Intervall der frühzeitigen Ausfälle

Dieser Abschnitt kann in den meisten Fällen durch eine theoretische

Weibull-Verteilung mit Parameter < 1 gekennzeichnet werden.

Die Zuverlässigkeitsfunktion: e ttR

)(

Die Funktion der Ausfallrate: oT

tt

ttt t

e

e1

11

)(

Die durchschnittliche Lebensdauer:

010

)1

1(

dttT e




größen

Die Zuverlässigkeitsfunktion:

Die Ausfallrate-Funktion:

Die durchschnittliche Lebensdauer:

II. Abschnitt: Intervall des normalen Betriebes

In diesem Intervall folgen die Ausfälle einer typischen Exponentialverteilung,

die Zuverlässigkeitsfuntion R(t) ist auch exponentiell (man kann diesen

Abschnitt auch mit einer Weibull-Verteilung mit Parameter =1

charakterisieren).

et

tR

conste

e

)t(R

)t(f)t(

t

t

0

0

1

dteT t




größen

Die Zuverlässigkeitsfunktion:

Die Funktion der Ausfallrate

und die durchschnittliche

Lebensdauer:

III. Abschnitt: Intervall der tendenziösen Ausfälle

Hier folgt die Funktion F(t) und die Funktion R(t) im allgemeinen einer

Normalverteilung.

Die Funktion (t) kann auch im diesen Abschnitt durch eine Weibull-Verteilung mit

einem geeigneten Parameter ( >2) gekennzeichnet werden.

duu

tR

u

]2

exp[2

1 2

0Ttu

t

λ(t)

T0

0Tt

y



Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Lösung der Aufgabe.

Bestimmte Fahrzeugersatzteile vom gleichen Typ sind im kontinuierlichen normalen

Betriebsbereich zufallsweise in Zeitpunkten, wie folgt ausgefallen:

Frage:

Wie hoch ist die Betriebszeit, die mit 90 % Warscheinlichkeit einen fehlerfreien Betrieb

ermöglichen kann?

Lösung:

Weil die zufälligen Ausfälle keinen Dominanzfaktor haben, kann man annehmen, dass die

Zuverlässigkeitsfunktion eine exponentielle Natur hat. Die Aufgabe ist also die Bestimmung der

Betriebszeit „t0,9”, die dem Wert 0,9 der exponentiellen Zuverlässigkeitsfunktion R(t) entspricht.

Fehlerereignisse, Betriebsstunden (Bst.)

275 290 292 297 301 303 309 313 308 314

R(t)

t 0

1

0,9

t0,9

te)t(R

te)t(R

9,0t

e9,0

elnt9,0ln 9,0

T̂105,0105,09,0ln

t 9,0

T̂

1

- durchschnittliche erwartete

Lebensdauer

T̂



Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Lösung der Aufgabe.

2,3001,03002ftT̂ j

10

1j

j

R(t) 0,8 0,7 0,6 0,5

t, (Bst.) 67 107 153 208

Die Wahrscheinlichkeit, dass bis

T= 300,2 Betriebsstunden kein

Ausfall vorkommt: 0,37.

R(t)

t

0

1

0,90

t0,9 = 31,5

te)t(R

300

0,37 5,312,300105,0T̂105,0t 9,0



Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Serial-System.

Ein System wird vom Aspekt der Zuverlässigkeit für seriell gehalten, wenn es

nur in dem Fall fehlerfrei funktioniert, in welchem alle seine – unabhängigen

– Elemente fehlerfrei sind, d.h. das System wird ausfallen, wenn ein

einziges von seinen Elementen ausfällt.

Die resultierende Zuverlässigkeitsfunktion R(t) kann als Multiplikation der

Zuverlässigkeitsfunktion der Elemente von System Ri(t) hergestellt werden,

wo i = 1, 2, 3 … n ist der Zahl der unabhängigen Elemente des Systems.

n

i

ini tRtRtRtRtRtRtR1

321

eeeeee

t

n

t

i

tttt

dttdttdttdttdttdtt 000

3

0

2

0

1

0

n

i

ini ttttttt1

321



Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Serial-System von Elemente mit

exponentiellem Zuverlässigkeitscharakteristik.

een

iii t

n

i

tn

i

i tRtR

1

11

Das von unabhängigen Elementen mit exponentieller

Zuverlässigkeitscharakteristik hergestellte Serial-System auch

exponentiell ist, wo die resultierende Ausfallrate und die

durchschnittliche Lebensdauer T0 mit folgenden Formel berechnet

werden kann:

n

i

i

1

n

i i

n

i

iT

T

11

01

111



Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Parallel-System.

Ein System wird vom Aspekt der Zuverlässigkeit für parallel gehalten, wenn

es auch in dem Fall fehlerfrei funktioniert, wenn mindestens eines seiner

unabhängigen Elemente fehlerfrei ist.

Das System wird ausfallen, wenn alle seine Elemente i = 1, 2, 3 … n

gleichzeitig ausgefallen sind.

Die resultierende Zuverlässigkeitsfunktion R(t) kann als die ergänzende

Funktion der resultierenden Ausfallsfunktion F(t) von System hergestellt

werden.

n

i

ini tFtFtFtFtFtFtFtR1

321 111

Wenn alle Elemente die gleiche Zuverlässigkeit haben:

R(t) = 1 – [Fi (t)]n



Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Parallel-System von Elemente mit

exponentiellem Zuverlässigkeitscharasteristik.

ntn

1i

te1e1tF i

nt

n

1i

te11e11tR i

n

1i0

nt

00

0i

11dte11dttF1dttRT

Im Fall einer parallelen Zuverlässigkeitsstruktur

durch die Steigerung der Zahl von Elemente mit gleichen

Eigenschaften kann nur im abnehmenden Maße die erwartete

Lebensdauer des Systems gesteigert werden.

Das zweite Element erhöht die resultierende Lebensdauer mit der

Hälfte der eigenen Lebensdauer, das dritte Element nur mit dem dritten

Teil, das vierte nur mit dem vierten Teil.



Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Gemischtes System.

1 2 3 … s

1 2 … n

1 2

m :

[Ri(t)]s = Rs

i(t) – resultierende Zuverlässigkeitsfunktion von einer seriellen

Zweiglinie (bei „s” unabhängigen Elemente, die gleiche Ri(t) Zuverlässigkeit

haben)

Fm(t) = 1 – Rsi(t)

m – resultierende Ausfallfunktion von „m” parallel

geschaltetem Zweig

Resultierende Zuverlässigkeitsfunktion des Systems:

nmsi )]t(R1[1 R(t)



1 2 3 … s

1 2 … n

1 2

m :

Wenn die Elemente verschiedene Zuverlässigkeiten haben, berechnet sich

die resultierende Zuverlässigkeitsfunktion des Systems wie folgt:

n

k

m

j

s

i

i tR1 1 1

11 R(t)

Ri (t) – Zuverlässigkeitsfunktion von i. Element

i = 1, 2 ….. s

s – Zahl der seriell geschalteten Elemente in einem parallel geschalteten Zweig

j = 1, 2 ….. m

m – Zahl der parallel geschalteten Zweige

k = 1, 2 ….. n

n – Zahl der seriell geschalteten gemischten Blöcke

Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Gemischtes System.



Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Lösung der Aufgabe.

Es gibt ein aus unabhängigen Elemente bestehendes System (siehe Abbildung

unten), das nur dann betriebsfähig ist, wenn neben Element R3 mindestens noch

ein Element betriebsfähig ist. Wie hoch ist die resultierende Zuverlässigkeit des

Systems im Zeitpunkt t= tv , wenn die Zuverlässigkeit der einzelnen Elemente die

folgenden sind?

R1 =0,80

R2 =0,90

R3 =0,95

R1 (tv) = R1 = 0,80

R2 (tv) = R2 = 0,90

R3 (tv) = R3 = 0,95

R(tv) = [1- (1- R1) (1- R2)] R3 = [1 – 0,2 0,1] 0,95 = 0,931




Verwendung des Bayes-Theorems.

E1

P1 = 0,80 E2

P2 = 0,90

E5

P5 = 0,95

E3

P3 = 0,80 E4

P4 = 0,90

Nehmen wir an, dass ein

System von Elementen E1

… E4 (siehe Abbildung

links) wegen der relativ

niedrigeren Zuverlässigkeit

von Elementen E1 und E3

mit einem solchen Element

E5 ergänzt wird, das mit

einer annehmbarer

Zuverlässigkeit die

Elemente E2 und E4

bedienen kann.




1. Wenn E5 fehlerhaft ist (Wahrscheinlichkeit dieses

Zustandes ist 0,05), beträgt die Wahrscheinlichkeit des

fehlerfreien Betriebes PR des Systems:

PR(Rf.frei / E5f.haft) = 0,9216

2. Wenn E5 fehlerfrei ist (Wahrscheinlichkeit dieses

Zustandes ist 0,95), beträgt die Wahrscheinlichkeit des

fehlerfreien Betriebes PR des Systems:

PR(Rf.frei / E5f.frei) = 0,99

Die Wahrscheinlichkeit des fehlerfreien Betriebes des

Systems im beliebig ausgewählten Zeitpunkt:

Pt

R = 0,050,9216 + 0,950,99 = 0,9866

Durch die Definition der Arbeitswege ist es möglich, diejenige Zustände des Systems

auszuwählen, die die Steigerung der Zuverlässigkeit des Betriebes ermöglichen.

0,80

0,80

0,90

0,90

1.

0,90

0,90

2.



Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elemente. Grundlagen.

t1 = τ1 t2 = τ1 + τ2 t3 = τ1 + τ2 + τ3 . . ti = τ1 + τ2 + τ3 + … + τi . . tn = τ1 + τ2 + τ3 + … + τn

ti - die Zeitpunkte der unabhängigen Ausfälle

(Wiederherstellungen), die einen stochastischen

Erneuerungsprozess bilden.

i - (zufälliger) Betriebsintervall zwischen

Ausfällen i. und (i –1).

ν(t) - Zahl der Ausfälle in beliebigem Zeitraum t

(t = 0, 1, 2, …. n).

F(t) – Ausfall-Funktion (Verteilungsfunktion) der

Zufallsvariable .

t=0 t

τ1 τ2 τn …

t1 t2 ... tn



Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elemente. Die Erneuerungsfunktion.

t=0 t

τ1 τ2 τn …

t1 t2 ... tn

Für quantitative Charakterisierung des Prozesses dient die Zahl der Ausfälle ν(t)

während beliebiger Zeit t, bzw. der Erwartungswert dieser Zahl M[ν(t)].

ν(t) ist eine diskrete (0, 1, 2, …. n) Zufallsvariable, derer Verteilung und

Erwartungswert mit Hilfe der Ausfall-Verteilungsfunktion F(t) von kontinuierlicher

Zufallsvariable bestimmt werden kann.

Angenommen, dass i Zufallsvariablen unabhängig sind und die gleiche Verteilung

haben, die Erneuerungsfunktion H(t) und ihre Dichtefunktion h(t) kann wie folgt

bestimmt werden:

H(t) = M[ν(t)] = g[τ, F(t)] dt

)t(dH)t(h

Die Erneuerung-Dichtefunktion ergibt für jeden Zeitpunkt „t” die Zahl der Ausfälle für die

nachfolgende Zeiteinheit.



Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elemente. Die Erneuerungsfunktion.

Wenn die Zufallsvariable einem exponentiellen Verteilung folg mit

Parameter λ (Poisson-Prozess), dann die Erneuerungsfunktion kann duch

die folgenden Formel bestimmt werden:

H(t) = λt

t

)t(H

Im Fall eines Prozesses mit Normalverteilung (Gauss-Prozess) – wenn σ <<

T0 – die Erneuerungsfunktion hat die Form:

÷

F

1 n

0

n

nT t ) t ( H



Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elementen. Die Erneuerungsfunktion.

Im Fall einer Weibull-Verteilung kann die Erneuerungsfunktion H(t) in

endlicher Form hergestellt werden. Für den Abschnitt [3 > α > 1] kann

eine Schätzung wie folgt gegeben werden:

00 T

t)t(H1

T

t

Für beliebige Verteilungsfunktion F(t) kann bewiesen werden:

0t T

1

t

)t(Hlim

Für einen notwendig langen Zeitraum ist die durchschittliche Zahl der

Ausfälle pro Zeiteinheit (nahezu) gleich mit dem Reziprok von

durchschnittlicher fehlerfreien Betriebszeit.



Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Systeme. Die Erneuerungsfunktion.

Die Erneuerungsfunktion des Systems kann als die Summe der

Erneuerungsfunktionen seiner Elemente bestimmt werden.

n

1i

i

n

1i

i )t(H)]t([M)]t([M)t(H

n

1i

i )t()t(

1. Element

n. Element

i. Element

2. Element



Zuverlässigkeit von Elemente mit bedautender Reperierungszeit. Grundlagen.

τ1 τ2 τ3 τi τn

τ*1 τ*

2

t1 t2 t3 ti tn=TG t*1 t*

2 t*i-1 t*

n-1 t=0

t

1

0



Zuverlässigkeit von Elemente mit bedeutender Reparaturzeit. Grundlagen.

t i – Zeitpunkte der Ausfälle d.h. Endpunkte der Betriebsperiode und gleichzeitig

Ausgangspunkte der Instandhaltungsperiode;

t*i – Endpunkte der Instandhaltungsperiode, und gleichzeitig Ausgangspunkte der nächsten

Betriebsperiode;

τ i = ti – t*i-1 : Betriebsintervalle (t*0 = 0);

τ*i = t*

i – ti : Instandhaltungsintervalle.

t n = τ1 + τ*1 + τ2 + τ*

2 + … + τ i + τ*i + … + τ n =

t*

n = τ1 + τ*1 + τ2 + τ*

2 + … + τ i + τ*i + … + τ n + τ*

n =

1n

1i

*i

n

1i

i

n

1i

*ii



Zuverlässigkeit von Elemente mit bedeutender Reparaturzeit.

Die Verwendbarkeitsfunktion.

Angenommen die Zufallsvariablen in den Betriebsintervallen und Instandhaltungsintervallen sind

unabhängig voneinander und haben den gleichen Verteilungstyp, kann die gemeinsame

Zuverlässigkeitsfunktion für die Betriebsperioden und die Instandhaltungsperioden wie folgt

bestimmt werden:

R(t) = P(τi > t) R*(t) = P(τ*i > t) Durchschn.

Betriebszeit

Die asymtotische Kenngröße „A” der Verwendbarkeitsfunktion A(t):

T0 T *0

*oo

0

0*oo

t TT

Tdt)t(F1

TT

1)t(AlimA

Durchschn.

Instandhal-

tunszeit



Zuverlässigkeit von während der Reparatur ausgeschaltenen Systeme mit

bedeutender Reparaturzeit. Grundlagen.

Bei der Analyse der Zuverlässigkeit von Systeme mit bedeutender

Reparaturzeit muss der Zustand seiner Elemente während der

Wiederherstellung beabsichtigt werden.

Wenn während der Reparatur des ausgefallenen Elements die übrigen,

betriebsfähigen Elemente auch nicht arbeiten, dann spricht man über ein

während der Reparatur ausgeschaltetes System.

Es ist üblig anzunehmen, dass das System aus zahlreichen Elementen

besteht und die Ausfallsräte einzelner Elemente in bestimmenden Maße

die Ausfallrate des Systems nicht beeinflussen können. So kann man

das System beobachten, in dem die Betriebsperioden und

Erneuerungsperioden abwechselnd vorkommen.

Es kann bewiesen werden, dass in diesem Fall die Betriebsintervalle

einem stochastischen (Poisson) Prozess folgen mit abwechselnden

Parametern.



Der stochastische Prozess. Grundlagen.

Der stochastische Prozess kann als eine bivariante Funktion ,t [kszí

omega té] in der Menge T x definiert werden, wo T , die

zählbare Parametermenge [in unserem Fall: T 0, Zeitvariable)],

0,1 die zugeordnete Wahrscheinlichkeitsmenge ist.

T

,t

T x

,t0

0,t

0

t0T

t A

ω

Der stochastische Prozess

kann auch als Menge von

Funktionen i,t

interpretiert werden, die sich

im Index i

unterscheiden.

0,t - Realizierungsfunktion

,t0 - Rand-

Wahrscheinlichkeitsfunktion



Homogener Poisson (Markov) - Prozess. Randbedingungen.

0

t

i/1Plim ttttt

0t

P(, tn+1) = in+1/ (, t1) = i1, (, t2) = i2, … (, tn) = in = P(, tn+1) = in+1/

(, tn) = in

(im Formel „t” bezeichnet einen Zeitpunkt, „i” einen Zustand)

Pt + t () - t() < X = Pv + t () - v() < X

für alle t, (t + t), v, (v + t) T, , v t, X reelle Zahl

(im Fall eines Ausfalls it bezeichnet einen betriebsfähigen Zustand, in allgemeinem einen

diskreten Zustand im Zeitpunkt „t”)

Randbedingungen im Falle eines im Zeitraum kontinuierlichen, im

Ereignisraum diskreten Prozesses

1. Seltenheit

2. Erinnerungs-

losigkeit

3. Stationarität

constt

i/1Plimt ttttt

0t

te)t(f



Homogener Poisson (Markov) - Prozess. Grundgleichungen.

QtP

dt

tPd

N

1i

iP1

QP0t

Grundgleichungen:

P(t) – Zustandswahrscheinlichkeitsfunktion

P – Zustandswahrscheinlichkeit

Q – Erzeugermatrix

N – Zahl der diskreten Zustände im kompletten

Ereignissystem

Chapman

Matrix Differentialgleichung

Kolmogorov

algebraisches

Gleichungssystem



Homogener Poisson (Markov) - Prozess. System mit zwei Zuständen.

te)t(f

te)t(f

Q

tPtPtPtP 2121

tPtPtPtPtPtP 212121

Elementarer

Modell:

tPtPtP

tPtPtP

212

211

Z1 betriebsfähiger

Zustand 1 - t

Z2 kein betriebsfähiger

Zustand 1 - μ t

t

μ t

T 2

1j

jZT

Z1 ∩ Z2 = Ø

Chapman

System von

Differentialgleichungen



Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Verfügbarkeitsfunktion.

P1(0)=1,0 und P2(0)=0,0 seien die Anfangswerte,

dann ergeben sich die LAPLACE-Transformierte wie folgt:

sP1(s) – 1 = -λ P1(s) + µP2 (s)

sP2 (s) = λ P1(s) - µP2 (s) )s(s

s)s(P1

)s(s)s(P2

a

dK;

a

d1A

KeA)as(s

ds)s(F at

K

1A

)(a

d

t1 etP

t2 etP



Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Verfügbarkeitsfunktion.

A = P1 = /( +)

U = P2 = /( + )

A(t)=P1(t)

U(t)=P2 (t)

P1 + P2 = 1

P

t

Pi (t)

0,1

0,9

0

t1 etV

1C

t2 etV

2C

t2 etP

t1 etP



Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Kolmogorov-Gleichungen,.

Grundgleichungen und Lösungen, wenn für praktische Kenntnisse die

Grenzwert-Verteilung PPi ausreichend ist (Fall t ):

2

1i

iP1

QP0

21

21

21

1

0

0

PP

PP

PP

P1 = /( +)

P2 = /( +)

Kolmogorov-

algebraisches

Gleichung-System

(N=2)

2 – die mögliche Anzahl von

diskreten Zustände

Q

21 PP00

Lösung von

Kolmogorov-

Gleichungen bei N=2



Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.

Ausfall-Ereignisse

Zeitintervall, Jahr 2006 2007 2008 2009 2010

Zahl der technischer Ausfälle, Stück 5446 6471 5593 6577 5615

relative Häufigkeit der Ausfälle, f(Δt)/Monat 0,015 0,018 0,016 0,018 0,016

kumulative Ausfallrate F(Δt) 0,000 0,217 0,401 0,590 0,811

empirische Zuverlässigkeitsfunktion R(Δt) 1,000 0,783 0,599 0,410 0,189

empirische Funktion der Ausfallrate λ(Δt), 1/Monat 0,015 0,023 0,026 0,045 0,083

Die Ausfallsereignisse einer bestimmten Schienenfahrzeugsflotte eines städtischen

Verkehrsunternehmens könnten von der Datenbank wie folgt hergestellt werden:

Aufgabe:

A.Herstellung einer Prognose für die Verfügbarkeitsfunktion der Flotte A(t)=P1(t)

B.Herstellung einer Prognose für die asymtotische Verfügbarkeit der Flotte A=P1




Der Mittelwert der Ausfallsraten mit Berücksichtigung der Daten der letzten Zeile

der Tabelle: = 0,04/Monat

Die Ausgangsgröße des Mittelwertes der Reparaturrate konnte durch eine

fachmännische Schätzung - in gleicher Dimension wie – im Maße μ = 0,05

bestimmt werden

(Wenn die Effizienz der Reparaturarbeiten im Wirklichkeit höher ist, als es geschätzt wurde,

muss man mit einem größeren Wert von μ, im Gegenteil mit einem niedrigeren Wert von μ

rechnen.)

05,005,0

04,004,0Q

tP05,0tP04,0tP

tP05,0tP04,0tP

212

211

t05,004,01 e

04,005,0

04,0

04,005,0

05,0tP)t(A

Die Grundformeln:




Berechnung der empirischen Werte der Verfügbahrkeitsfunktion A(t) = P1(t)

Jahr t,

Mo-nat

λ, 1/Monat

μ, 1/Monat

μ/(μ+λ) λ/(μ+λ) e exp[- (μ+λ)t] P1 (t)

relative Veränd.

von P1(t)

2005 0 0,040 0,050 0,556 0,444 1,000 1,000 0,000

6 12 0,040 0,050 0,556 0,444 0,341 0,707 -29,301

7 24 0,040 0,050 0,556 0,444 0,116 0,607 -14,121

8 36 0,040 0,050 0,556 0,444 0,040 0,573 -5,602

9 48 0,040 0,050 0,556 0,444 0,013 0,562 -2,022

10 60 0,040 0,050 0,556 0,444 0,005 0,558 -0,703

11 72 0,040 0,050 0,556 0,444 0,002 0,556 -0,241

12 84 0,040 0,050 0,556 0,444 0,001 0,556 -0,082

2013 96 0,040 0,050 0,556 0,444 0,000 0,556 -0,028




Verfügbarkeitsfuntion

Jahr

P1(t

) W

ahrs

chein

lichkeit




Relative Veränderung der Verfügbarkeit

Base: Jahr 2005




Asymtotische

Verfügbahrkeit




Schlussfolgerungen:

bei den geschätzten Mittelwerten der Ausfallrate und der

Reparaturrate μ des Systems im stationären Zustand kann für

das Funktionieren höchstens mit der Wahrscheinlichkeit 0,556

gerechnet werden

durch die Verminderung der Zufallsrate auf 0,01 Monat-1

könnte die Verfügbarkeit auf 83% gesteigert werden.

durch die Halbierung des Zeitaufwands der Instandhaltungs-

arbeiten könnte bei unveränderter Zufallsrate die Verfügbahrkeit

auf 64% gesteigert werden.

mit der Verminderung der Zufallsrate auf den Wert 0,01 und die

gleichzeitige Steigerung der Reparaturrrate auf Wert 0,1 könnte

ein Verfügbarkeitspotential von 91% erreicht werden.

die erhaltenen Ergebnisse sind als Informationen mit

Wahrscheinlichkeitscharakter zu verstehen.



Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen.

Nehmen wir an, dass die

diskreten Betriebszustände

der Fahrzeugen die folgenden

sind:

betriebsfähiger Zustand

Störungsbehebung

Ausbesserung (planmässig

und unplanmässig)

Wartezeiten.

istonenziellexpnichtVerteilungdiewenn),t(

istonenziellexpVerteilungdiewenn,const)t(

Zustandsübergangsgraph des

Betriebssystems

Ereignisdichte des Prozesses

kann, wie folgt, definiert werden:

1. betriebsfähig 1 – (1.3+1.2+1.5.) t

2. Störungsaufhebung 1 – 2.1 t

5. Warten für Zustand 6 1 – 5.6 t


4. planmässige Ausbesserung

1 – 4.1 t

f(t)

t

f(t)

λ

f(t)

t

λ

f(t)

t

λ

f(t)

t λ

f(t)

λ

f(t)

t

t

t t

f(t)

λ

6. unplanmässsige Ausbesserung

1 – 6.1 t

te)t(f

6.1 t

5.6 t

1.5 t

4.1 t

3.4 t

1.3 t

2.1 t



Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Verwendbarkeit.

tPtPtP

tPtPtP

tPtPtP

tPtPtP

tPtPtP

tPtPtPtPtP

56.561.66

15.156.55

34.341.44

13.134.33

12.121.22

61.641.421.215.13.12.11

654321

56.561.6

15.156.5

34.341.4

13.134.3

12.121.2

61.641.421.215.13.12.1

PPPPPP1

PP0

PP0

PP0

PP0

PP0

PPPP0

1.61.6

6.56.5

1.41.4

4.33.4

1.21.2

5.13.12.15.13.12.1

0000

0000

0000

00λ00

0000

00)(

Q

1.5

6.1

1.5

5.6

1.3

4.1

1.3

3.4

1.2

2.1

6.1

1.5

5.6

1.5

4.1

1.3

3.4

1.3

2.1

1.2

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ11

1

1

1P

t

N

1i

iP1

QP0

QtP

dt

tPd



Nehmen wir an, dass im vorher gezeigten Zustandsübergangsgraph die folgenden

Parameter gelten:

durchschnittliche Zeitperiode zwischen zwei aufeinander folgende Störungen T1.2 = 2880 Std.

durchschnittlicher Zeitaufwand der Behebung der StörungT2.1 = 0,5 Std.

durchschnittliche Zeitperiode zwischen zwei aufeinander folgende unerwartete Ausfälle T1.5=

4320 Std.

durchschnittliche Wartezeit auf Wiederherstellung nach einem unerwarteten Ausfall

T5.6 = 120 Std,

durchschnittlicher Zeitaufwand der Wiederherstellung eines unerwarteten Ausfalls

T6.1 = 340 Std.

durchschnittliche Zeitperiode zwischen zwei aufeinander folgende planmäßige Ausbesserungen

T1.3 = 8760 Std.

durchschnittliche Wartezeit auf eine planmässige Ausbesserung T3.4 = 6 Std.

durchschnittlicher Zeitaufwand der Wiederherstellung einer planmäßiger Ausbesserung T4.1 =

150 Std.

Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Beispiel.



Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Beispiel.

Időtartam

[óra] T2.1/ T1.2 T3.4 / T1.3 T4.1 / T1.3 T5.6 / T1.5 T6.1 / T1.5

T1.2 2880 0,000174 0,000685 0,017123 0,027778 0,078704

T1.3 8760

T1.5 4320

T2.1 0,5 P1 = 0,889

T3.4 6

T4.1 150

T5.6 120

T6.1 340

5.1

1.6

5.1

6.5

3.1

1.4

3.1

4.3

2.1

1.21

11

T

T

T

T

T

T

T

T

T

TP



Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Parameter-Empfindlichkeit.

Die Empfindlichkeit der Wahrscheinlichkeit P1 – als abhängige Variable – von

verschiedenen λ-Parameter – als variablen Faktoren – kann durch die Formel für die

partielle Empfindlichkeit i.j bestimmt werden.

j.ij.i

11

j.ij.i

11

j.i /

P/P

/

P/P

Empfindlich

-keit ε1.2 ε1.3 ε1.5 ε2.1 ε3.4 ε4.1 ε5.6 ε6.1

ΔP1 0,00001 0,00128 0,00772 -0,000014 -0,000054 -0,001352 -0,002191 -0,00618

ΔP1 % 0,0013% 0,1282% 0,7722% -0,0014% -0,0054% -0,1352% -0,2191% -0,618%

Rang-

ordnung 8 5 1 7 6 4 3 2

(Im Falle der aufeinander folgenden Veränderung Ti.j um +10%)



Semi Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen.

te)t(f

te)t(f

)t()t(

)t()t(Q

)t()t(

)t()t(tPtPtPtP 2121

tP)t(tP)t(tP)t(tP)t(tPtP 212121

Elementares

Modell:

tP)t(tP)t(tP

tP)t(tP)t(tP

212

211

t

iPt ttttt

t

/1lim

0

Z1 betriebsfähiger Zustand

1 - (t) t

Z2 kein betriebsfähiger

Zustand

1 – μ(t) t

(t) t

μ(t) t

T 2

1j

jZT

Z1 ∩ Z2 = Ø



rnd{0,1} k

Ti.j(k)

F(t)

t 0

1

Semi Markov Modell. Lösungsalgorithm zum System mit zwei und mehreren

Zuständen.

t

f(t) f(t)

t

λ

k = k + 1

NEIN

JA

nein

JA

λi.j(k) = 1/ Ti.j

(k)

λi.j = 1/ Ti.j

Auftragen des

Zustandsübergangsgraphen

Bestimmung der Zeiträume der Ereignisse, Bestimmung

derer Verteilungstypen

exponentionelle Verteilung

Einführung der Zyklusvariablen k = 1

Aufschreiben der Generatormatrix Q(k)

Herstellung und Lösung der

Kolmogorov- Gleichung.

k > 30

Bestimmung der Ereignisdichten λi.j

Aufschreiben der Generator-Matrix Q

j.ij.i

iij.i /

P/P

Auswertung der Ergebnissen, Vorschläge

Bestimmung von λi.j(k)

.

Empfindlichkeits-analyse

Random- Generation von Ti.j

(k)

Herstellung und Lösung der

Kolmogorov_ Gleichung.

Statistische Analyse von Pi

(k)

KuP̂P̂

KuP̂ ii P

iiP

i



Nehmen wir an, dass in vorher gezeigter Stuktur mit mehreren Zuständen nach dem

Durchführung von H = 100 Beobachtungen konnte man die folgenden

durchschnittlichen Werte [Stunde] von exponenzieller Verteilung feststellen:

T1.2 T2.1 T1.3 T3.4 T4.1 T5.6

2880 0,5 8760 6 150 120

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

1 2 3 4 5 6 7 8

t(1.5) osztályköz sorszáma

rela

tív

elő

ford

ulá

si g

ya

ko

ris

ág

)t(f̂

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

t (6.1) osztálykozök sorszáma

rela

tív e

lőfo

rdu

lási g

yako

riság

)t(f̂

Im Falle t1.5 und t6.1 hatten die Zeitraumsverteilungen unterschiedliches von

exponenzieller Verteilung Merkmal:

Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.

t1.5 t6.1

rela

tive H

äfig

keit

rela

tive H

äfig

keit



Die empirische Verteilungsfunktion des Zeitraumes t1.5


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400

t1.5 [Stunden]

tapaszta

lati e

loszlá

sfü

ggvény é

rték

1

1

2

2

k

k

) t ( F ˆ

Wert

der

Vert

eilu

ngsfu

nktio

n




Die empirische Verteilungsfunktion des Zeitraumes t6.1

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

200 220 240 260 280 300 320 340 360 380

tapaszta

lati e

loszlá

sfü

ggvény é

rték

2

1

2 1

k

k ) t ( F ˆ

Wert

der

Vert

eilu

ngsfu

nktio

n

t6.1 [Stunden]



k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rnd(0,1) 0,41 0,92 0,75 0,48 0,22 0,77 0,43 0,25 0,74 0,05

T1.5(k) 3800 4175 3930 3825 3720 3950 3820 3725 3950 3600

k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Rnd(0,1) 0,86 0,97 0,98 0,17 0,96 0,09 0,36 0,18 0,36 0,21

T1.5(k) 4075 4225 4230 3675 4220 3625 3775 3675 3775 3700

k 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Rnd(0,1) 0,44 0,01 0,29 0,50 0,26 0,65 0,72 0,81 0,43 0,69

T1.5(k) 3825 3525 3750 3845 3725 3875 3925 4000 3825 3900

Erzeugen der Realizierungen von Erwartungswert T1.5(k)

[durchschnittlicher Wert vonT1.5(k) beträgt 3855,5 Stunden]




k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rnd(0,1) 0,38 0,85 0,93 0,51 0,93 0,69 0,78 0,96 0,43 0,31

T6.1(k) 273 300 330 278 330 290 295 335 275 270

k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Rnd(0,1) 0,27 0,61 0,97 0,41 0,34 0,69 0,67 0,59 0,05 0,16

T6.1(k) 265 285 340 275 270 290 285 280 230 260

k 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Rnd(0,1) 0,70 0,07 0,07 0,88 0,97 0,54 0,91 0,09 0,77 0,20

T6.1(k) 290 205 235 305 335 280 320 235 295 285

Erzeugen der Realizierungen von Erwartungswert T6.1(k)

[durchschnittlicher Wert von T6.1(k) beträgt 284,7 Stunden]




k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P1(k) 0,8917 0,8934 0,883 0,8913 0,878 0,8914 0,8876 0,8771 0,8897 0,8878

K 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

P1(k) 0,8989 0,8978 0,8875 0,8885 0.9005 0,8841 0,8887 0,8874 0,9003 0,8939

K 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

P1(k) 0,8887 0,9007 0,8987 0,8861 0,8771 0,8919 0,8849 0,9036 0,8877 0,8914

Erzeugen der Realizierungen von Erwartungswert der

Verfügbarkeitsfunktion P1(k)

KuP̂P̂

KuP̂ 1P

111P

1

88,75 % P1 89,23 %

(=0,05; u=1,96; k=30)




Die Empfindlichkeitsindikatoren εi.j der Verfügbarkeit P1

j.ij.i

11j.i /

P/P

Empfind-

lichkeit ε1.2 ε1.3 ε1.5 ε2.1 ε3.4 ε4.1 ε5.6 ε6.1

ΔP1 0,000013 0,001282 0,008 -0,000014 -0,000054 -0,001352 -0,002191 -0,005

ΔP1 % 0,0013% 0,1282% 0,89% -0,0014% -0,0054% -0,1352% -0,2191% -0,56%

Rang 8 5 1 7 6 4 3 2

(Im Falle der aufeinander folgenden Veränderung Ti.j um +10%)




λ5.6

1. betriebsfähig 1 – (1.3+1.2+1.5.) t

2. Störungsaufhebung 1 – 2.1 t


6. unplanmässsige Ausbesserung

1 – 6.1 t


4. planmässige Ausbesserung

1 – 4.1 t

t

f(t)

λ

f(t)

t

λ

f(t)

t

λ

f(t)

t

f(t)

t

te)t(f

f(t)

t

5.1 5.2 5.n

6.1 6.2 6.m

1.51 1.52 1.5s

6.1 t

5.6 t

1.5.t


Documents

EINIGE ANMERKUNGEN DER ZUVERLÄSSIGKEITSTHEORIE VON …rs1.sze.hu/~zvikli/Zuverlassigkeit1 (3).pdf · 2013-03-26 · J 228q. Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék Dr