Einige BRDF Modelle

Nikolaus Gebhardt∗

Zusammenfassung

Bidirektionale Reflektionsverteilungsfunktionen(BRDFs, bidirectional reflection distribution functi-ons) sind eine Klasse von Funktionen zur Beschrei-bung der Reflektionseigenschaften von Materialien,die vor allem Anwendung in der Computergrafik fin-det. In dieser Seminararbeit wird die Funktionsweisevon BRDFs kurz beschrieben, und anschließend wirdauf einige spezielle Modelle eingegangen.

Keywords: BRDF Modelle, Computergrafik

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 11.1 Radiometrische Großen . . . . . . . . 1

1.1.1 Raumwinkel . . . . . . . . . . . 21.1.2 Leuchtdichte (Radiance) . . . . 21.1.3 Bestrahlungsstarke (Irradiance) 2

1.2 Die BRDF . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Eigenschaften von BRDFs . . . . . . . 31.4 Klassen von BRDFs . . . . . . . . . . 41.5 Komponenten . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Modelle 42.1 Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Phong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Blinn Phong . . . . . . . . . . 62.3 Cook-Torrance . . . . . . . . . . . . . 72.4 He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Schlick . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Lafortune . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Fazit 19

1 Grundlagen

In der Natur interagieren verschiedene Materialienunter gleichen Beleuchtungsverhaltnissen unterschied-lich mit dem auf sie eintreffenden Licht. Sie zerstreu-en die auf sie eintreffende Strahlung auf verschiede-ne Art. Dabei erscheinen manche Oberflachen dif-fus, andere zum Beispiel als Spiegel. Dieses unter-schiedliche Reflektionsverhalten von Materialien kann

∗niko@code3d.com

durch eine bidirektionale Reflektionsverteilungsfunk-tion beschrieben werden, die als BRDF (bidirectio-nal reflection distribution function) 1977 amtlich vomNational Bureau of Standards (USA) definiert wur-de um Reflektionsdarstellungen und -berechnungenzu vereinheitlichen [Wei02]. Es handelt sich hierbeium eine vierdimensionale Funktion fur eine gegebeneWellenlange, die zuruckliefert, wieviel Licht von ei-ner Oberflache reflektiert wird und die wie in [Wat00]aufgeschrieben werden kann:

BRDF = f(θin, φin, θref , φref ) = f(L,V) (1)

Die vier Variablen θin, φin, θref , und φref be-schreiben die Azimut- und Deklinationswinkel vonLichteinfalls- und Reflektionsrichtung. Um dies zuverkurzen bezeichnen hier L die Richtung zum Lichtund V Richtung des Beobachters auf die Oberflache.Die aus [May00] adaptierte Abbildung 1 veranschau-licht diese Eingabevariablen.

Abbildung 1: Die Eingabevariablen θin, φin, θref , undφref der bidirektionalen Reflektionsverteilungsfunkti-on.

1.1 Radiometrische Großen

Um genauer auf die Funktionsweise der bidirek-tionalen Reflektionsverteilungsfunktion eingehen zu

konnen, sollen hier noch kurz einige immer wieder ver-wendete Großen und Bezeichnungen erklart werden:

1.1.1 Raumwinkel

Analog zum Bogenwinkel in der Ebene wird derRaumwinkel ω im Raum definiert. Er beschreibt dasVerhaltnis einer Kugelflache A zum Quadrat des Ra-dius dieser Kugel:

ω =A

r2[sr]. (2)

Seine Einheit wird in sr = steradiant angegeben.Der volle Raumwinkel ist die Flache der Einheitskugelund hat also die Große 4πsr.

Weil es nicht wirklich Sinn macht, anzugeben, wie-viel Licht von einer genauen Richtung kommt, da esals eine Art Fluss durch Raum gemessen wird, (zumBeispiel Watt

m2 ), verwendet man den differentialenRaumwinkel oder differential solid angle, der angibt,wieviel Licht aus einer kleinen Menge von Richtungenkommt. Wenn nun eine Richtung in spharischen Koor-dinaten (θ, φ) gegeben ist, und eine kleine Winkelab-weichung dθ, dφ, dann ist der differentiale Raumwin-kel dω. Abbildung 2 verdeutlicht dies. [Wei02, Wyn00]

dω =dA

r2

dω = (height)(width)dω = (dθ)(sinθdφ)dω = sinθdθdφ (3)

1.1.2 Leuchtdichte (Radiance)

Die Leuchtdichte oder Radiance ist die lichttech-nisch gesehen wichtigste Große. Sie gibt an, wievielLichtenergie an einem bestimmten Punkt auf einerOberflache ankommt, beziehungweise von dort gesen-det wird [YDP]. Die Einheit der Leuchtdichte ist

Watt

m2sr(4)

Wie man aus der Formel ablesen kann, wird dieLeuchtdichte pro normal zu der Lichtrichtung pro-jizierten Einheitsflache und pro Einheitsraumwinkelangegeben. Die Leuchtdichte hat eine wichtige Ei-genschaft: Sie gehort zu den raumwinkelabhangigenGroßen, die nicht abhangig von der Entfernung zurLichtquelle sind. Sie verandert dabei ihren Wert ent-lang ihrer Fortschrittsrichtung bis zum Auftreffen aufeine Oberflache nicht, zumindest im Vakuum. Inner-halb eines solchen leeren Raumes (von dem meist derEinfachkeit halber ausgegangen wird) lasst sich dieVerteilung des Lichtflusses somit vollstandig durch die

Abbildung 2: Der differentielle Raumwinkel (differen-tial solid angle) ist die fett umrahmte Flache auf derEinheitskugel.

von den Oberflachen ausgehende beziehungsweise aufdiese einfallende Leuchtdichte beschreiben [Mul97].

Die Leuchtdichte ist definiert als der Lichtfluss,der von einer Oberflache ausgestrahlt wird, pro Ein-heitsraumwinkel und pro perspektivisch verkleinerterFlache, und hangt von der Richtung der Beleuchtungund des Betrachters ab. In der Literatur wird dieLeuchtdichte meist mit L bezeichnet: [ON92]

L(θr, φr; θi, φi) =dΦr(θr, φr)

dA · cos θr · dωr(5)

1.1.3 Bestrahlungsstarke (Irradiance)

Die Bestrahlungsstarke oder Irradiance beschreibt,wieviel Strahlungsleistung auf eine bestimmte Flacheauftrifft. Sie nimmt gemaß dem photometrischem Ent-fernungsgesetz mit dem Quadrat der Entfernung zurStrahlquelle ab, und gehort somit im Unterschiedzur Leuchtdichte zu den raumwinkelunabhangigenGroßen. Die Einheit der Bestrahlungsstarke ist

Watt

m2(6)

Sie wird in der Literatur haufig mit einem E (z.B. in[ON92]) bezeichnet, gelegentlich allerdings auch miteinem I (z.B. in [NIK89]), und ist definiert als ein-treffender Lichtfluss pro Einheitsoberflache, abhangigvon der Richtung des einfallenden Lichtes (θi, φi):

E(θi, φi) =dΦi(θi, φi)

dA(7)

Die empfangene Gesamtleistung pro Ober-flachenpunkt y kann durch Integration der uberdie beleuchtende Hemisphare Ω+ einfallendenLeuchtdichte bestimmt werden:

E(y) =∫

Ω+

L(y,→ω) · (→ny ·

→ω)dω (8)

Hierbei bezeichnet→ny die Oberflachennormale im

Punkt y, (→ny ·

→ω) die normal zur Einfallsrichtung pro-

jizierte Flache, und dω den differentialen Raumwinkelum Richtung

→ω [NIK89, ON92, Mul97].

1.2 Die BRDF

Mit Kenntnis der eben beschriebenen Großen istes nun moglich zu sagen, dass eine bidirektiona-le Reflektionsverteilungsfunktion fur eine gegebeneWellenlange das Verhaltnis aus der differentiellenLeuchtdichte (Radiance) dLr in Betrachtungsrichtungund der differentiellen Bestrahlungsstarke (Irradian-ce) dEl, die aus der Beleuchtungsrichtung auf dieOberflache wirkt, beschreibt.

BRDF (θi, φi; θr, φr) =dLr(θr, φr)dEi(θi, φi)

= (9)

=dLr(θr, φr)

Li(θi, φi) · cos θi · dωi(10)

Ei(θi, φi) ist hierbei die aus der Richtung (θi, φi)einfallende Bestrahlungsstarke (oder Irradiance) unddLr(θr, φr) die reflektierte oder ausgehende Leucht-dichte (oder Radiance) in Richtung (θr, φr). Als Re-flektivitat beschreibt eine BRDF also einfach dasVerhaltnis von ausgehender Leuchtdichte zu eingehen-der Beleuchtungsstarke. Die Einheit der BRDF lautetdaher:

[1sr

] (11)

Durch Gleichung 10 wird der Zusammenhang zwi-schen Leuchtdichte und Bestrahlungsstarke deutli-cher: dωi bezeichnet den Raumwinkel, unter demdie Lichtstrahlung auf den Oberflachenpunkt einfallt.Mit Hilfe des Terms cos θi wird die vom Einfallswin-kel abhangige Flachenverminderung berucksichtigt,denn ein auf eine Flache mit dem Winkel θ zurFlachennormale einfallender Lichtstrahl trifft eineum den Faktor 1

cos θ großere differenzielle Flache alsein zur Normale paralleler Strahl. Daher nimmt dieLichtintensitat der beleuchteten Flache um den Fak-tor cos θ ab. [TL94, Wei02, NIK89]

1.3 Eigenschaften von BRDFs

Bidirektionale Reflektionsverteilungsfunktionenmussen zwei wichtige Eigenschaften erfullen, umphysikalisch korrekte Modelle darzustellen. Es seierwahnt, dass man BRDFs modellieren kann, diediese Eigenschaften nicht haben, allerdings findet sichdann zu einem solchen Modell kein physikalischesGegenstuck.

Zum einen muss die Helmholz-Reziprozitat gelten,die besagt, dass sich der Wert der BRDF nicht anderndarf, wenn man Einfalls- und Ausfallswinkel ver-tauscht. Mathematisch kann man dies ausdrucken,indem man die Gleichungen 12 und 13 gleichsetzt.Diesen Effekt macht man sich zum Beispiel beimRaytracing-Verfahren zunutze.

BRDFλ(θi, φi; θr, φr) = (12)

BRDFλ(θr, φr; θi, φi) (13)

Die zweite wichtige Eigenschaft von BRDFs istdie Energieerhaltung. Auch diese kann von BRDF-Modellen ignoriert werden, sollte aber fur eine phy-sikalisch plausible Definition einer BRDF gelten. DerEnergieerhaltungssatz bezieht sich in diesem Fallauf die Lichtverteilung wahrend der Licht-Materie-Interaktion. Wenn Licht auf eine Oberflache auftrifftund von dort aus in verschiedene Richtungen reflek-tiert wird, kann die Summe des in alle Richtungenreflektierten Lichtes nicht großer sein als die Mengedes einstrahlenden Lichtes:

∑r

BRDFλ(θi, φi; θr, φr)cosθrdωr ≤ 1 (14)

Fur jede Einheit an Licht, die an einem Punktan der Oberflache ankommt, kann nicht mehr als ei-ne Einheit Licht in alle moglichen Richtungen re-flektiert werden. Wenn man diese Eigenschaft uberdie Hemisphare aller moglichen Reflektionsrichtun-gen betrachtet, wird die Summe zu einem Integral:[YDP, Wyn00, Mul97]

∫r

BRDFλ(θi, φi; θr, φr)cosθrdωr ≤ 1 (15)

Eine weitere oft erwahnte Eigenschaft von BRDFsist, dass zwei Lichtstrahlen, die im gleichen Punkt aufeine Oberflache treffen, sich einander nicht beeinflus-sen. Die Reflektionen, die durch Lichtstrahlen aus ver-schiedenen Richtungen resultieren, haben keinen Ef-fekt aufeinander und konnen linear uberlagert werden.Diese Eigenschaft nennt man Superposition. [Wei02]Ausserdem sollte noch noch erwahnt werden, dass eine

BRDF im Allgemeinen nur fur eine bestimmte Wel-lenlange gilt, wie z.B. bereits in den Gleichungen 12bis 15 angedeutet.

1.4 Klassen von BRDFs

Bidirektionale Reflektionsverteilungsfunktionenkonnen in zwei Klassen eingeteilt werden: BRDFsfur isotrope und anisotrope Oberflachenstrukturen.Isotropie bedeutet fur Oberflachen, dass die wahrge-nommene Lichtintensitat an einem Punkt sich nichtandert, wenn die Oberflache unter dem Betrachtergedreht wird. Beispielsweise hat glattes Plastik dieseEigenschaft. Das bedeutet, das BRDFs fur isotropeOberflachen nicht von den beiden Azimutwinkelnφi und φr abhangen, sondern nur von der Differenzzwischen beiden, wie Gleichung 16 zeigt.

BRDFisotrop (θi, φi, θr, φr) =BRDF (θi, 0, θr, φr − φi) (16)

Bei anisotropen Oberflachen andert sich hingegendie Intensitat des reflektierten Lichtes, wenn sich dieOberflache um den Azimutwinkel dreht und die Dekli-nationswinkel beibehalten werden. Geburstetes Me-tall, Satin oder Haare haben zum Beispiel anisotropeOberflachen. In der Praxis haben fast alle realen Ma-terialien Oberflachen mit untergrundiger Anisotropie,allerdings gehoren die meisten der analytischen BRDFModelle zur Klasse der isotropen BRDFs. Abbil-dung 3 veranschaulicht den Unterschied zwischen iso-tropen und anisotropen Oberflachen. [TL94, Wyn00]

Abbildung 3: Links: Isotropes Material, Rechts: Ani-sotropes Material [Hab01]

1.5 Komponenten

Die bidirektionale Reflektivitat kann in Komponentenaufgeteilt werden: Die Glanzlicht- (fs, specular) unddie diffuse Komponente (fd):

fr = sfs + dfd wobei s + d = 1 (17)

Ausser den direkten Lichtquellen, die diese Art derBeleuchtung hervorrufen, kann ein Objekt zusatzlichvon einer Hintergrund- oder Umgebungsbeleuchtung(ambient) erhellt werden. Der Anteil dieser Beleuch-tung ist uberlicherweise klein, hat aber nicht unerheb-lichen Anteil am Aussehen einer Oberflache. Es wirdangenommen, dass die Reflektivitat der Umgebungs-beleuchtung fa unabhangig von der Betrachtungsrich-tung ist und uberall gleichmaßig auftrifft. Der reflek-tierte Anteil Lra des eintreffenden ambienten LichtesLia ist:

Lra = faLiak (18)

Wobei k bestimmt, welcher Teil der beleuchtendenHemisphare nicht von irgendwelchen Objekten blo-ckiert ist:

k =1π

∫(→N ·

→L)dωi (19)

Hierbei beschreibt die Einheitsvektoren→N den Nor-

malvektor der Oberflache, und→L die Richtung zum

Licht.Die Intensitat des Lichtes, die den Betrachter er-

reicht, kann also nun als Summe der reflektierten In-tensitaten von allen Lichtquellen plus der Intensitatder ambienten Beleuchtung ausgedruckt werden:

Lr = faLiak +∑

l

Lil(→N ·

→Ll)dωil(sfs + dfd) (20)

Diese oder sehr ahnliche Aufspaltungen der Reflek-tivitat in Komponenten werden in vielen Beleuch-tungsmodellen verwendet, von denen einige in den fol-genden Abschnitten vorgestellt werden. [CT81]

2 Modelle

Um die Reflektionseigenschaften einer bestimmtenOberflache zu reprasentieren, kann man die Eigen-schaften eines Materials messen, und die gewonnenenDaten dann in einer Matrix speichern. Um das Materi-al aufgrund dieser Daten darzustellen, kann dann aufdie einzelnen Werte interpoliert zuruckgegriffen wer-den. Da es sich bei BRDFs aber um vierdimensionaleFunktionen handelt, es dadurch zu einem nicht uner-heblichen Datenvolumen kommt und diese Herange-hensweise zudem nicht sehr flexibel ist, wird dies inder Praxis selten getan. Stattdessen versucht man eintheoretisches Modell zu entwickeln, und damit die Ei-genschaften eines Materials zu approximieren. Meistwird dazu eine mathematische Formel aufgestellt, diemehrere Parameter hat. [Jar03]

Man unterscheidet hierbei zwischen zwei Arten vonModellen [War92]:

1. Empirische Modelle sind einfach eine Formelmit anpassbaren Parametern, die dazu entwor-fen worden ist, sich an eine Klasse von Reflek-tionsfunktionen anzupassen. Hierbei wird meistwenig Rucksicht auf die physikalische Herleitungder Formel oder die physikalische Bedeutung ih-rer Parameter genommen. Ein Beispiel hierfurware das 1985 von Brian P. Sandford und Da-vid C. Robertson [SR85] vorgestellte empirischeModell, welches isotrope Reflektion unter Zuhil-fenahme von vier Parametern beschreibt. Zweidieser Parameter haben einen physikalischen Hin-tergrund, sie beschreiben messbare Werte, die an-deren beiden Parameter jedoch nicht: Es handeltsich hierbei nur um Variablen, die das Modell denvom Material gemessenen Werten anpassen sol-len.

2. Theoretische Modelle, wie beispielsweise das 1991vorgestellte Modell von He [HTSG91], auf wel-ches in dieser Arbeit noch naher eingegangenwird. Bei einem solchen Modell haben alle Para-meter eine physikalische Bedeutung, und konnenzumindest theoretisch gemessen werden, wenndas zu beschreibende Material vorliegt.

Auf einige solche BRDF Modelle soll hier nun ge-nauer eingegangen werden.

2.1 Lambert

Das relativ einfache Lambert-Modell beschreibt Ober-flachen, die das Licht diffus reflektieren. Sie verstreu-en das auf sie eintreffende Licht in alle Richtungengenau gleich stark. Das bedeutet, dass die ausgesen-dete Leuchtdichte einer solchen Lambert-Oberflacheunabhangig von der Richtung ist, aus der diese be-trachtet wird, aber abhangig vom Winkel θ zwischender Normale der Flache und dem einfallenden Licht-strahl. Es gibt zwei Arten, wie dieser Effekt in derNatur zustande kommt:

• Auf das diffuse Material eintreffende Lichtstrah-len werden von kleinen Unebenheiten an derOberflache des Materials sehr oft hin und her-reflektiert, bevor sie dann wieder in den Raumzuruckreflektiert werden. Wenn diese auftreten-den mehrfachen Reflektionen zudem scheinbarauf zufallige Art und Weise geschehen, wird dasLicht in alle Richtungen verstreut.

• Das Licht dringt in das Material ein, und trifftdort auf mikroskopisch kleine Unterschiede in derDichte innerhalb des Materials. Das Licht wirdhierbei an den Grenzen zwischen den verschie-denen Materialdichten immer wieder zerstreut,und irgendwann zum Teil wieder in den Raum

zuruckreflektiert, was die diffuse Reflektion be-wirkt.

Eine Kombination aus beiden Moglichkeiten kannnaturlich genauso Lambert-Reflektion erzeugen. Ab-bildung 4 skizziert diese beiden Reflektionsvorgange.[NIK89]

Abbildung 4: Diffuse Reflektion nach [NIK89]. Links:Durch Unebenheiten an der Oberflache des Materials,Rechts: Durch Unterschiede in der Dichte innerhalbder Materials.

Eine perfekte diffuse Oberflache wird LambertscherReflektor genannt. Da an jedem Punkt eines solchenReflektors die gleiche Menge an Licht in alle Richtun-gen verstreut wird, muss das Verhaltnis von eingehen-der zu ausgehender Beleuchtung konstant sein. Mankann also schreiben:

Lr =kd

πEi (21)

fr(θi, φi; θr, φr) =kd

π(22)

Hierbei ist kd eine Konstante, die zwischen 0 und1 liegt und als diffuse Albedo, diffuser Reflektionsko-effizient oder diffuse Reflektionskonstante bezeichnetwird. Sie beschreibt, wieviel Licht reflektiert wird, derrestliche Anteil (1 − kd) wird absorbiert. Eine weiße,perfekt reflektierende Oberflache hat eine Albedo von1, eine schwarze hat eine von 0. Die Division durch πist notwendig, da die BRDF uber die kosinusgewich-tete Hemisphare integriert wird. [SH97, HB97]

Das Lambert-Modell ist bereits seit mehr als 200Jahren bekannt, und weil es sehr einfach ist, findetes nahezu uberall in der Computergrafik Anwendung.Nahezu jedes Programm, das 3D-Grafik anzeigt, setztdieses Modell ein. Beispielsweise wurde die in Abbil-dung 5 gezeigte Kugel mit dem Freeware RaytracerPovray gerendert. Viele BRDF-Modelle, von denenauch einige in dieser Arbeit vorgestellt werden, ver-wenden das Lambert-Modell um die diffuse Lichtkom-ponente zu beschreiben.

Abbildung 5: Eine perfekt diffuse Kugel nach demLambert-Modell, gerendert mit POV-Ray. Das Lichtwird von der Oberflache gleichmaßg in alle Richtun-gen reflektiert.

2.2 Phong

Das bekannteste und in der Computergrafik auchheute noch oft benutzte Beleuchtungsmodell ist dasPhong-Modell, das 1975 von Phong Bui Tong entwi-ckelt wurde. Es ist mathematisch sehr einfach und da-durch nicht sonderlich rechenintensiv. Allerdings ist esnicht physikalisch basiert, weil es nicht den Energieer-haltungssatz einhalt, das heisst, es kann zum Beispielmehr Licht von einem Objekt ausgesendet werden, alsauf es eingestrahlt wird. Mit dem Phong-Modell be-rechnete Bilder sind daher nicht unbedingt korrekt.[HB97, NNSK99]

Das Phong specular-reflection model wurdehauptsachlich entwickelt, um den Glanzeffekt (specu-lar highlights) wiedergeben zu konnen, den mancheOberflachen zeigen.

Die Phong-BRDF kann man wie folgt aufschreiben:

fr,Phong,spec(→L,

→V ) = ks ·

cosns φ

cosθ

= ks ·(→R ·

→V )

ns

(→N ·

→L)

(23)

Hierbei ist→L die Richtung vom Punkt auf der

Oberflache zum Licht,→V die Richtung zum Betrach-

ter, und→R die Richtung des idealen Glanzeffektes,

was der uber den Normalvektor→N der Oberflache ge-

spiegelten Richtung entspricht. Es handelt sich hier-bei um normalisierte Vektoren. ks und ns sind ma-terialabhangige Konstanten. ks ist der Glanzlicht-Reflektionskoeffizient (specular-reflection coefficient)und sollte zwischen 0 und 1 liegen. ns beinflusst dieGroße der Glanzlichtreflektion. Eine sehr glanzendeOberflache hat große Werte fur ns wie z.B. 100, mat-te Oberflachen kleinere Werte bis 1. Fur perfekte Re-flektoren ist ns unendlich. [HB97, MSKH00]

Der in Gleichung 23 aufgeschriebene Term be-schreibt allerdings nur die Glanzlichtreflektion, mitder alleine ein Material etwas unrealistisch aussieht.Daher wird zu der Glanzlichtkomponente noch eineKomponente kd fur diffuses Licht hinzugerechnet, furdie das im vorigem Abschnitt beschriebene Lambert-modell verwendet wird. [Lew93]

fr,Phong(→L,

→V ) = kd + ks ·

(→R ·

→V )

ns

(→N ·

→L)

(24)

2.2.1 Blinn Phong

Eine verbreitete Variante der Phong-Beleuchtung istdas sogenannte Blinn-Phong-Modell. James F.Blinn verbesserte das Phong-Modell und machte esvisuell ein wenig ansprechender. Dazu wird der Halb-vektor zwischen Licht- und Betrachterrichtung ver-wendet, der wie in Gleichung 25 berechnet wird.Abbildung 6 verdeutlicht den Unterschied zwischenPhong und Blinn-Phong.

→H=

→L +

→V∣∣∣→L +→V

∣∣∣ (25)

Die BRDF zum Blinn-Phong-Modell sieht wie folgtaus:

fr,Blinn(→N,

→H) = kd + ks ·

cosnsφ

cosθ

= kd + ks ·(→N ·

→H)

ns

(→N ·

→L)

(26)

Da Blinn-Phong recht einfach zu berechnen ist,wird es oft eingesetzt, beispielsweise von der heuti-gen Grafikhardware. Einige BRDF Modelle, die nochin dieser Arbeit besprochen werden, gehen vom Phongund/oder Blinn-Phong-Modell aus, adaptieren, erwei-tern oder modifizieren es. [NNSK99, MSKH00]

Abbildung 6: Zwei mit Phong-Shading gerenderte Ku-geln. Links: Phong. Rechts: Blinn-Phong. [Cal]

2.3 Cook-Torrance

Das von Cook und Torrance 1982 vorgestellte Mo-dell [CT81] wird auch manchmal als Blinn-Cook-Torrance-Modell bezeichnet, weil es auf Blinns Ar-beit von 1977 [Bli77] aufbaut. Es eignet sich in derPraxis sehr gut zum Beschreiben von Metallen wieKupfer und Gold, aber auch fur andere interessan-te Materialien wie Plastik mit verschiedener Rauheit.Des weiteren ist dieses Modell in der Lage Oberflachenzu beschreiben, die eine betrachtungswinkelabhangigeFarbe haben. [Wyn00]

Das Cook-Torrance-Modell verwendet die in Glei-chung 17 bis 20 angegebene Aufteilung des reflektier-ten Lichtes, und konzentriert sich darauf, die einzigeReflektionslichtkomponente zu beschreiben, die vonder Richtung des Betrachters abhangt, die Glanzlicht-komponente fs. Dabei wird von Annahmen aus dem1967 von Torrance und Sparrow vorgestellem Mo-dell [TS67] ausgegangen, welches auf physikalischenErkenntnissen basiert und sich kleiner Flachen be-dient (oder Microfacetten), um das Reflektionsverhal-ten des Lichtes zu erklaren. Dieses wird auch oft alsMicrofacetten-BRDF (micro facet BRDF) bezeichnetund viele andere Modelle bauen darauf und infolge-dessen auch auf dem Cook-Torrance Modell auf. Diesliegt vielleicht auch daran, dass das Torrance-SparrowModell, als es 1967 vorgestellt wurde, das erste phy-sikalisch basierte Modell war. [NNSK99]

Das Torrance-Sparrow-Modell beschreibt die Re-flektionen an der Oberflache mit Hilfe der Vorstellungeine rauen Oberflache, den Microfacetten. Das Modellist dabei aber nur korrekt, wenn die Wellenlange desLichtes kleiner als die Unebenheit der Oberflache ist.Man vergleicht hierbei die Wellenlange des Lichtes mitder RMS (root-mean-square, Wurzel der gemitteltenQuadrate) der Unhebenheiten:

xrms =

√√√√ 1N

N∑i=1

x2i (27)

Es wird dabei davon ausgegangen, dass die Micro-facetten alle glatt sind, und gleichmaßig auf der Ober-flache angeordnet sind. Sie reflektieren das einfallendeLicht gemaß ihrer jeweiligen Neigung. Die Oberflache,auf der sie liegen, hat eine mittlere Normale n, von derjede Microfacette eine um den Winkel α abweichendeNeigung hat. Torrance und Sparrow haben dabei inihrem Modell festgelegt, dass die Verteilung der Nei-gungswinkel der Flachen rotierend symmetrisch umdie mittlere Normale der Oberflache ist, und durcheine eindimensionale Funktion mit einer Konstante creprasentiert werden kann:

pα(α) = ce−α2

2m2 (28)

Die mittlere Neigung der Flachen hat den Wert< α > = 0. m bezeichnet die Abweichung von der Nei-gung, und ist der einzige Parameter, der diese Funk-tion bestimmt. Je großere Werte man fur m wahlt,desto rauere Oberflachen beschreibt man. Es wirddurch Gleichung 28 ein isotropes Material beschrie-ben, da die Neigungen der einzelnen Microfacetten imVerhaltnis zur mittleren Ausrichtung n der Oberflachesymmetrisch sind.

Das hier vorgestellte Modell, das davon auszugeht,dass die Oberflache des Materials aus einer Mengeverschieden geneigter kleiner Flachen besteht, wirdals Neigungsverteilungsmodell (slope distribution mo-del) bezeichnet. Es hat sich gegen andere Model-le wie dem Hohenverteilungsmodell (height distribu-tion model) bewahrt, da sich verstreutes Licht inder Natur von den Neigungen und nicht z.B. vonden Hohenunterschieden von Microfacetten beinflus-sen lasst. Des Weiteren hat es den Vorteil, dass nurein Parameter benotigt wird, um eine Neigungsvertei-lung zu beschreiben. Der Nachteil, dass man fur eineVerteilungsfunktion α schwer die Form der Oberflachevisualisieren und die Wurzel der mittleren Quadrateder Hohe schlecht schatzen kann, kann dafur in Kaufgenommen werden.

Im Torrance-Sparrow-Modell wird davon ausgegan-gen, dass jede Microfacette neben einer anderen liegt,die die gleiche Neigung hat, aber in die Gegenrichtungorientiert ist, was V-formige Locher (V-cavities) in derOberflache erzeugt. Diese Annahme wird in manchenStellen in der Literatur (z.B. in [Mei00]) als sehr un-realistisch kritisiert, da die Neigungen von benachbar-ten Microfacetten in der Natur fur gewohnlich nichtmiteinander in Beziehung stehen.

Abbildung 7 skizziert grob, wie die Reflektion desLichtes im Torrance-Sparrow-Modell berechnet wird:

Die Oberflache wird von einer Lichtquelle beleuch-tet, die in der x − n Ebene liegt, und deren Lichtim Winkel θi auf sie eintrifft. In diesem Fall ist nurLicht interessant, das im Winkel (θr, φr) die Ober-flache verlasst. Dieses Licht kann nur von den Mi-crofacetten nach dωr reflektiert werden, deren Nor-malvektor innerhalb des Raumwinkels dω′ liegt. MitKenntnis der Winkel θi, θr und φr kann man den lo-kalen Beleuchtungswinkel θ′i und auch die Neigung αder reflektierenden Microfacetten errechnen:

θ′i =12

arccos(cos θr cos θi − sin θr sin θi cos φr) (29)

α = arccos(cos θi cos θ′i +

sin θi sin θ′i cos(arcsin(sinφr sin θr

sin 2θ′i))) (30)

Abbildung 7: Geometrie des Torrance-Sparrow Mo-dells nach [NIK89]

Um die Menge reflektierten Lichtes errechnen zukonnen, muss man nun wissen, wieviele Microfacet-ten in Richtung dω′ liegen. Durch die in Gleichung 28definierte Verteilung der Microfacetten kennt man dieAnzahl, sie ist:

pα(α)dω′ (31)

Also ist die Menge der Microfacetten fur den jetztinteressanten Bereich der Oberflache:

pα(α)dω′dAs (32)

Wird nun mit af die Große der Flache jeder Micro-facette bezeichnet, dann kann die Flache aller Facet-ten, die das Licht aus der Richtung θi in den Raum-winkel dωr reflektieren, folgendermaßen aufgeschrie-ben werden:

afpα(α)dω′dAs (33)

Dadurch ergibt sich die Menge an Licht, die auf diereflektierenden Microfacetten trifft als: [NIK89]

d2Φi = Lidω′i(afpα(α)dω′dAs) cos θ′i (34)

Diese im Torrance-Sparrow Modell verwendeteGauss-Verteilungsfunktion der Microfacetten wird imCook-Torrance-Modell dahingehend verallgemeinert,dass sie auch durch andere Verteilungsfunktionen er-setzt werden kann, beispielsweise durch die Phong-Verteilung mit dem Materialkoeffizienten c:

DPhong = cosc(α), c ≤ 0 (35)

Oder die Trowbridge-Reitz-Verteilung:

DTrowbridge−Reitz =c2

cos2(α)(c2 − 1) + 1, 0 ≤ c ≤ 1

(36)Die Beckmann-Verteilungsfunktion wird von Cook

und Torrance empfohlen:

D =1

m2cos4αe−(

tan(α)m2 )2 (37)

Hierbei bezeichnet m die Wurzel der gemitteltenQuadrate der Neigung der Facetten. Diese Funktionhat den Vorteil gegenuber anderen Verteilungsfunk-tionen, dass sie die Große der Reflektion wiedergebenkann, ohne willkurliche Konstanten einzufuhren. Al-lerdings ist sie langsamer zu berechnen.

Um Oberflachen beschreiben zu konnen, die mehrals eine Art der Rauheit, also mehrere Neigungen mj

haben, kann man die Verteilung auch als gewichteteSumme mehrerer Verteilungsfunktionen ausdrucken.Die Summe der Gewichtungen wi muss hierbei 1 sein.

D =∑

j

wiD(mj) (38)

Die Wellenlangenabhangigkeit der Reflektion wirdnicht von der Unebenheit der Oberflache beeinflusst,außer bei Oberflachen die fast perfekt glatt sind, unddie eine Verteilung haben, die wellenlangenabhangigist. Im Cook-Torrance-Modell wird eine solche wel-lenlangenabhanige Verteilungsfunktion ausgeschlos-sen, beziehungswiese der Einfachhalt halber ignoriert.

Um zu berechnen, welcher Teil des auf die Micro-facetten eintreffenden Lichtes auch wieder reflektiertwird, verwendet das Modell zwei Terme:

1. Der Fresnel-Reflektions-Koeffizient. AugustinJean Fresnel (1788-1827) war ein fruher Vertre-ter der Lichtwellentheorie, und die von ihm abge-leiteten Formeln konnen die Reflektion von glat-ten Oberflachen, die nur vom Refraktionsindexdes Materials und des eingehenden Lichtwinkelsabhangen, darstellen und werden daher heute wiez.B. im Torrance-Sparrow Modell immer nochverwendet.

Die Fresnel-Koeffizienten Fpara(θ′i, n, k) undFperp(θ′i, η

′) bestimmen das von einer planarenOberflache in die Glanzlichtrichtung reflektier-te elektromagnetische Feld, wenn die eintreffen-de Lichtwelle parallele (Fpara) beziehungswei-se senkrechte (Fperp, von perpendicular) Pola-risierung hat. Der im Torrance-Sparrow-Modellverwendete Fresnel-Koeffizient F ′(θ′i, n, k) kannjetzt als Linearkombination der beiden Fresnel-Koeffizienten Fpara und Fperp fur parallel undsenkrecht eintreffende Lichtwellen wie folgt aus-gedruckt werden:

F ′(θ′i, η′) = hF ′

para(θ′i, η′) + vF ′

perp(θ′i, η

′) (39)

Hierbei bezeichnen n den Brechungsindex, k denAbsorbtionsindex des Materials und h und v dieGroßenordnung der jeweiligen Polarisation einerLichtwelle und deswegen mussen diese addiert 1ergeben:

h, v ≥ 0 ∧ h + v = 1 (40)

Fpara und Fperp sind wie folgt definiert:

Fperp =(c−G1)2 + G2

2

(c + G1)2 + G22

Fpara =(uc−G1)2 + (2nkc−G2)2

(uc + G1)2 + (2nkc−G2)2

G21 =

12

((u− s) +

√(u− s)2 + 4n2k2

)G2

2 =12

(−(u− s) +

√(u− s)2 + 4n2k2

)u = n2 − k2

c = cos θ′i

s = sin2 θ′i (41)

Hierbei bezeichnen n den Brechungsindex undk den Absorbtionsindex. Vom ersten Mediumwird angenommen, dass n1 = 1 und k1 = 0,was in etwa der Luft entspricht. [Mei00] Wennman annimmt, dass der Absorbtionsindex immernull ist, kann man nach Umformung den Fresnel-Koeffizienten so anschreiben:

F =(g − c)2

2(g + c)2(1 +

(c(c + g)− 1)2

(c(c− g)− 1)2)

(42)

g =√

n2 + c2 − 1

Oft kommt es vor, dass man fur die Beschreibungeines Materials nicht die wellenlangenabhangigenBrechungsindizes vorliegen hat. In diesem Fallkann man F fur einen fixen Einfallswinkel (z.B.0) bestimmen, und den Brechungsindex durchUmformung des Fresnel-Koeffizienten annahern:

n =1 +

√F0

1−√

F0

(43)

2. Der geometrische Abschwachungsfaktor (geome-trical attenuation factor). Mit Hilfe dieses Termswird beachtet, dass Microfacetten von angren-zenden Nachbarn und/oder Unregelmaßigkeiten

in der Oberflache uberschattet werden konnen:Das Licht, das auf eine Facette treffen soll oderjenes, das von ihr reflektiert wird, konnte hier-durch abgehalten werden. Dieser Term wird mitG(θi, θr, φr) bezeichnet:

G(θi, θr, φr) = min (1, Gmsk, Gshdw)

Gmsk =2(→N ·

→H)(

→N ·

→V )

(→V ·

→H)

=2 cos α cos θr

cos θ′i

Gshdw =2(→N ·

→H)(

→N ·

→L)

(→V ·

→H)

=2 cos α cos θi

cos θ′i(44)

Hierbei bezeichnet→N die Mittlere Ober-

flachennormale,→V die Richtung zum Betrach-

ter,→L die Richtung zum Licht und

→H der Halb-

vektor zwischen den zwei letzgenannten Varia-blen. Durch G(θi, θr, φr) wird also einfach dergroßte Anteil an Licht gewahlt, der durch Selbst-beschattung Gshdw(self shadowing) und Abblen-dung Gmsk (masking) verloren wird. Abbildung 8verdeutlicht den Unterschied zwischen Abblen-dung und Selbstbeschattung. [Lew93, NIK89]

Abbildung 8: Der geometrische Abschwachungsfaktorbeschreibt Selbstbeschattung (self shadowing) undAbblendung (masking).

Setzt man nun den Fresnel-ReflektionskoeffizientenF , den geometrischen Abschwachungsfaktor G unddie Verteilungsfunktion fur die Microfacetten auf derOberflache zusammen, dann erhalt man die Cook Tor-rance BRDF fur Glanzlichreflektion:

fr,Cook =F

π

DG

(→N ·

→L)(

→N ·

→V )

(45)

Um die gesamte BRDF zu beschreiben, muss Glei-chung 45 noch mit einer diffusen Komponente zusam-mengesetzt werden, wie in Gleichung 20 bereits be-schrieben.

Bei alteren Modelle wie dem Phong- oder demBlinn-Modell sehen alle Materialien aus, als wurdensie aus einer Art Plastik bestehen, was an ihrer Glanz-lichtkomponente liegt: Sie ist weiss, beziehungsweisehat sie die Farbe des auf sie eintreffenden Lichtes, diediffuse Komponente aber die des Materials. Bei Metal-len ist das anders, hier tragt die diffuse Komponen-te wenig zum Erscheinungsbild bei, und d aus Glei-chung 17 kann auf 0 gesetzt werden. Mit dem Cook-Torrance Modell kann man dies nachahmen und da-her eignet es sich besonders gut zur Beschreibung vonPlastiken und Metallen, wie Abbildung 9 zeigt. Ab-bildung 10 zeigt zudem eine Anzahl an verschiedenenmit dem Cook-Torrance-Modell gerenderten Materia-lien. [CT81]

Abbildung 9: Mit dem Cook-Torrance Modell geren-derte Vasen: links aus Plastik, rechts aus Kupfer.Im Vergleich zu fruheren Modellen sieht Metall auchwirklich aus wie Metall. [CT81]

2.4 He

Das 1991 von He, Torrance, Sillion und Green-berg vorgestellte Modell ist eines der umfassends-ten BRDF-Modelle. In der Literatur wird es vorwie-gend als He- oder He-Torrance-Modell bezeichnet. Esberucksichtigt zum Beispiel von vorhergehenden Mo-dellen bislang meist ignorierte Effekte wie Lichtstreu-ung unterhalb der Oberflache (subsurface scattering)und anisotrope Oberflachen, ist hingegen aber sehrrechenintensiv. [YDP]

Im He Modell wird die bidirektionale Reflektivitatin drei Komponenten aufgeteilt: Die Glanzlichtkom-ponente fr,sp (specular), die gerichtet diffuse fr,dd (di-

Abbildung 10: Einige verschiedene Materialien miteiner Cook-Torrance BRDF gerendert. Links me-tallische, rechts nicht metallische Materialien. Al-le Materialien haben hierbei die gleiche Farbe fursowohl die Glanzlicht- als auch fur die diffuseKomponente.[CT81]

Abbildung 11: Eingabevariablen des He-Modells.[HTSG91]

rectional diffuse), und die gleichmaßig diffuse Kompo-nente fr,ud (uniform diffuse):

fr = fr,sp + fr,dd + fr,ud (46)

Die ersten beiden Komponenten der Reflektivitatresultieren aus der direkten Oberflachenreflektion,wahrend die letzte, die gleichmaßig diffuse (oderLambert-) Komponente aus der mehrfachen Reflek-tion auf oder unterhalb der Oberflache entsteht, wiein Abbildung 4 gezeigt wird. Sie tragt meist nureinen kleinen Beitrag zum Erscheinungsbild der Re-flektion von metallischen Materialien bei, da die-se eine nicht sehr starke Oberflachenrauheit be-sitzen. Fur andere Materialien mit groben Ober-flachenneigungsunterschieden oder starken Unter-schieden der Dichte innerhalb der Oberflache, wie Ke-ramike oder Plastike, ist sie jedoch wichtig. Messun-gen und Schatzungen dieser mehrfachen Reflektionenan der Oberflache und Lichtstreuungen unterhalb die-ser besagen, dass das Licht nahezu gleichmaßig ver-teilt wird. Daher wird die gleichmaßig diffuse Kompo-nente im He Modell einfach als lichtwellenabhangigeKonstante a(λ) angegeben:

fr,ud = a(λ) (47)

Diese kann theoretisch gemessen werden, wenn dieV-formigen Furchen in der Oberflache dazu geeig-net sind, beziehungsweise die Parameter der Licht-streuung unterhalb der Oberflache bekannt sind. Eineandere Moglichkeit, a(λ) zu schatzen ist, man Glei-chung 46 uber die Hemisphare zu integrieren und dasErgebnis mit von einem Kugelreflektometer gemesse-nen Werten der gerichteten Reflektivitat vergleicht.

Im Prinzip kann man aber einen freien Wert fur a(λ)annehmen, solange dieser den Energieerhaltungssatznicht stort.

Die fur die spiegelartige Reflektion verantwortlicheGlanzlichtkomponente fr,sp aus Gleichung 46 wird imHe-Modell so angeschrieben:

fr,sp =ks

cos θidωi·∆

=|F |2 · e−g · S

cos θidωi·∆ (48)

Wobei ks die Glanzlichtreflektivitat ist, und δ eineFunktion, die dafur sorgt, dass die Glanzlichtkompo-nente nur verwendet wird, wenn die Reflektion inner-halb des Glanzlichtkegels ist:

∆ =

1 Wenn im Kegel0 Ansonsten (49)

Weiters ist |F |2 die bereits in Gleichung 39erlauterte vom Brechungsindex n(λ) abhangigeFresnel-Reflektivitat des Materials und g beschreibtdie Oberflachenrauheit durch folgenden Ausdruck:

g =[(

2πσ

λ

)(cos θi + cos θr)

]2

(50)

Hierbei ist σ die mittlere Abweichung der Ober-flachenhohe.

Mit S wird die Abschattungsfunktion bezeichnet,die ausdruckt, welcher Teil der Oberflache sowohl be-leuchtet, als auch betrachtet wird und durch

S = Si(θi) · Sr(θr) (51)

gegeben ist, wobei

Si(θi) =1− 1

2 erfc(

τ cot θi

2σ0

)Λ(τ cot θi) + 1

Sr(θr) =1− 1

2 erfc(

τ cot θr

2σ0

)Λ(τ cot θr) + 1

(52)

und

Λ(cot θ) =12

(2

π1/2· σ0

Λ cot θ− erfc

(τ cot θ

2σ0

))(53)

σ0 ist hierbei die Abweichung von der Ober-flachenhohe, und τ die Autokorrelationslange, beidesmaterialabhangige Parameter.

Anhand der Gleichungen 48 bis 53 kann man nunnachvollziehen, wie die Glanzlichtkomponente fr,sp imHe-Modell den Anteil reflektierten Lichtes beschreibt:

Bei rauen Oberflachen wird das reflektierte Glanz-licht durch die Rauheit e−g und den Abschattungs-faktor S vermindert. Bei glatten Oberflachen hin-gegen, wo die Wellenlange λ des Lichtes wesentlichgroßer ist als die durch Projektion verminderte Ober-flachenrauheit σ0 cos θi, wird das Glanzlicht nicht be-ziehungsweise kaum abgeschwacht, da sich g an 0 undS an 1 annahert. Fur perfekt glatte Oberflachen re-duziert sich daher Gleichung 48 zu der fur glanzlicht-refktierende Oberflachen gewohnlichen bidirektiona-len Reflektionsverteilungsfunktion:

fr,sp,glatt =|F |2

cos θidωi(54)

Die letzte Komponente aus Gleichung 46, auf dienoch nicht naher eingegangen wurde, ist die gerichtetdiffuse Komponente fr,dd. Sie ist gegeben durch:

fr,dd =F(

→nb,

→nb, p) · S

cos θi cos θr· τ2

16π·

∞∑n=1

gme−g

m! ·m· e−

v2xyτ2

4m (55)

Wobei p der Polarisierungszustandsvektor der her-einkommenden Strahlung ist, der sich aus den Polari-sierungskoeffizienten cs und cp und den Einheitsvek-toren der Polarisierung si und pi, die von der Ebene(ki, z) auf der das Licht auftritt, abhangig sind, zu-sammensetzt:

si =ki × zi

|ki × zi|pi = si × ki

p = cssi + cppi (56)

Abbildung 11 verdeutlicht einige dieser Variablenein wenig.F ist eine Funktion, die die Fresnel-Koeffizienten

miteinbezieht, und von den Polarisationskoeffizientenund -vektoren und

→nb, dem Einheitsvektor, der ki und

kr halbiert, abhangt:

nb =kr − ki

|kr − ki|(57)

Mit vxy wird eine einfache Funktion bezeichnet,die von der Beleuchtung und dem Reflektionswinkelabhangt, und die Wellenlangenanderung beschreibt:

vxy =√

v2x + v2

y

v = k(kr − ki) (58)

Hierbei bezeichnet k die Lichtwellenanzahl, die bei-spielsweise k = 2π/λ sein kann.

Damit ist auch die dritte Komponente, die gerich-tet diffuse Komponente des He-Modells, beschrieben.Wenn die Wellenlange eintreffenden Lichtes kleineroder ungefahr gleich groß ist wie die projizierte Rau-heit der Oberflache (z.B. λ = σ cos θi), dann kommtes zu Beugung und Interferenzeffekten. Wie man an-hand der Gleichung 55 erkennen kann, hangt auchdie gerichtet diffuse Komponente von der Rauheitder Oberflache σ und der Autokorrelationslange τab. Wenn sich bei glattten Oberflachen σ/λ oder gan 0 annahert, wird die bidirektionale gerichtet diffu-se Reflektion auch null und kommt nicht mehr zumTragen. Bei rauhen Oberflachen, wo σ/λ oder g großsind, beschreibt diese Komponente die direkte Ober-flachenreflektion.

Das He-Modell ist, wie man leicht anhand dergroßen Menge der verwendeten Gleichungen undFunktionen erkennen kann, recht aufwendig zu be-rechnen. Dafur kann man damit allerdings eine Viel-zahl an verschiedenen Materialarten modellieren. Ab-bildungen 12 und 13 zeigen Beispielszenen, die un-ter Verwendung des He-Modells gerendert wurden.[HTSG91]

Abbildung 12: Eine mit dem He-Modell gerenderteSzene mit Objekten aus Plastik und Metall, mit rauenund glatten Oberflachen. [HTSG91]

2.5 Ward

Das 1992 von Gregory Ward vorgestellte theoreti-sche Modell eignet sich zum Modellieren der aniso-tropen Reflektionseigenschaften von Materialien wiegeburstetem Metall oder Weihnachtsbaumverzierung.[Wyn00]

Das Ziel dieses Modelles ist es, physikalisch kor-rekt, jedoch einfach und schnell berechenbar zu sein.Der Hintergedanke dabei ist, dass Unkompliziertheitsehr wichtig in der Computergrafik ist: Beispielsweise

Abbildung 13: Sechs mit dem He-Modell gerender-te Aluminiumzylinder, die hier gut zeigen, wie sichdie Glanzlicht- und die direkt-diffuse Komponen-ten bei verschiedenen Reflektionswinkeln und Ober-flachenrauheiten σ0 andern. σ0 ist beim oberen linkenZylinder 0.18, nimmt von links nach rechts und obennach unten zu, bis es beim rechten unteren Zylindereinen Wert von 2.50 hat. [HTSG91]

wird das Phong-Modell immer noch sehr haufig in derComputergrafik verwendet, weil es schnell zu berech-nen ist, obwohl es keine physikalische Entsprechunghat. Andere Modelle, die dies erfullen, wie zum Bei-spiel das Torrance-Sparrow oder das He-Modell, sinddafur hingegen viel zu komplex.

Das Ward-Modell versucht nun gemessene Reflekti-onsdaten von moglicherweise anisotropen Oberflachenmit einer moglichst einfachen Formel durchfuhrbarstgenau wiedergeben zu konnen. Dazu bedient mansich der schon in vielen Modellen zuvor verwende-ten und in Reflektionsfunktionen immer wiederkeh-rende Gauss-Verteilung. Wie beim Torrance-SparrowModell wird sie verwendet, um die statistisch ver-teilten Hohen oder Neigungsunterschiede einer Ober-flache zu beschreiben. Die uberlicherweise von an-deren Modellen an dieser Stelle verwendete Fresnel-Reflektions-Koeffizient und die geometrischen Ab-schwachungsfaktoren werden hier allerdings weggelas-sen beziehungsweise durch einen Normalisierungsfak-tor ersetzt, der dafur sorgt, dass die Verteilung ein-fach und vorhersehbar uber die Hemispahre integrier-bar ist. Die geometrischen Abschwachungsfaktorenwirken in der Praxis oft dem Fresnel-Reflektions-Koeffizienten entgegen und weil diese beiden ohnehinschwer zu integrieren sind und die BRDF nur ver-komplizieren wurden, kommt das diesem Vorhabensehr entgegen. Das auf diesen Uberlegungen basieren-de isotrope gausssche Reflektionsmodell hat folgende

Form:

fr,Ward,iso =kd

π+ ks

1√cos θi cos θr

·

e− tan2 δ/α2

4πα2(59)

Hierbei geben kd die diffuse und ks die Glanzlicht-reflektivitat an. α bezeichnet die Standardabweichungvon der Wurzel der gemittelten Quadrate der Ober-flachenneigung, und δ ist der Winkel zwischen derNormale der Oberflache und dem Halbvektor, wiein Abbildung 14 gezeigt wird. Die Werte kd und ks

konnen je nach Material frei gewahlt werden, solangegilt:

ks + kd < 1 (60)

Der Normalisierungsfaktor wurde, wie aus Glei-chung 59 ersichtlich wie folgt gewahlt:

14πα2

(61)

Hierbei sollte fur α ein Wert unter 0.2 gewahlt wer-den, ansonsten wird die Reflektion sehr diffus.

Abbildung 14: Materialunabhangige Eingabevaria-blen des Ward-Modelles nach [War92]. Das Lichtkommt aus Richtung L und wird von V betrachtet. Hist der Halbvektor dazwischen, und θ ist dessen Azi-mutwinkel.

Dieses Modell ist physikalisch korrekt, erhalt dieHelmholz-Reziprozitat und genugt im Gegensatz zumPhong-Modell dem Energieerhaltungssatz. Letztereswird durch die Normalisierung erreicht, die laut Wardsonst in anderen Modellen wie zum Beispiel im He-Modell stark vernachlassigt wird.

Das gezeigte isotrope gaussche Modell kann nunrecht einfach dahingehend erweitert werden, Ober-flachen mit senkrecht aufeinander stehenden oderuberhaupt voneinander unabhangigen Neigunsvertei-lungen auf der Oberflache modellieren zu konnen:

fr,Ward,aniso =kd

π+ ks

1√cos θi cos θr

·

e− tan2 δ(cos2 φ/α2x+sin2 φ/α2

y)

4παyαx(62)

Wobei αx und αy die jeweiligen Standardabwei-chungen von der Wurzel der gemittelten Quadrate derOberflachenneigungen fur jede der beiden Neigungs-verteilungen sind.

Um das Ziel der einfachen Berechnung dieses Mo-delles ein wenig weiter zu verfolgen, kann eine leichterzu berechnende Annaherung an Gleichung 62 so an-geschrieben werden:

fr =kd

π+ ks

1√cos θi cos θr

· 14πα2

xα2y

· es

Wobei:

s = −2

(h·→xαx

)2

+(

h·→y

αy

)2

1 + h· →n

h· →x =sin θr cos φr + sin θi cos φi

→|H|

h·→y =

sin θr sinφr + sin θi sinφi→|H|

h· →n =cos θr + cos θi

→|H|

→|H| =

√2 + sin θr sin θiq + 2 cos θr cos θi

q = (cos φr cos φi + sinφr sinφi)→H =

→L +

→V

h =→H→|H|

cosθr =→V ·

→N

cosθi =→L ·

→N (63)

Die in diesen Gleichungen neu auftretenden Varia-blen sind die in der Ebene liegenden Einheitsvektoren→x und

→y , wobei

→y senkrecht auf

→x steht.

Wie gefordert, haben alle in den Gleichungen 59bis 63 auftretenden Variablen eine physikalische Be-deutung, und konnen demnach eingesetzt werden,

wenn man die dazu notigen Daten des zu modellie-renden Materials zur Verfugung hat. Wenn pd undps zusammen kleiner als 1 sind und die Werte fur αbeziehungsweise αx und αy nicht zu gross sind, ergibtsich eine physikalisch korrekte bidirektionale Reflekti-onsverteilungsfunktion. Dies kann man zum Beispieldadurch uberprufen, indem man von einem echtemMaterial gemessene Werte mit denen der Funktionvergleicht. Solche Vergleiche zeigen, dass das Ward-Modell zur Modellierung vieler Materialien geeignetist, es aber auch Materialien mit Reflektivitat gibt,die nicht durch dieses Modell approximiert werdenkonnen. Abbildung 15 zeigt das Ward-Modell in Ak-tion. [War92]

2.6 Schlick

Christophe Schlick stellte 1994 ein Modell vor, dasahnlich wie das Ward-Modell als ein Mittel zwi-schen empirischem und theorethischem Modell dieMoglichkeit bietet, Reflektionen moglichst physika-lisch plausibel zu beschreiben. Dabei ist es einfach undeffizient, es kommt also mit moglichst wenig Parame-tern aus und ist zudem schnell zu berechnen, sodass esmoglich ist, es in der Computergrafik, moglicherweisesogar in Hardwareimplementierungen, einzusetzen.

Einige andere gute Grunde, dieses neue Modell zuverwenden sind:

• Wie in der Einleitung besprochen, wird die bidi-rektionale Reflektionsverteilung ublicherweise inzum Beispiel eine diffuse und eine Glanzlicht-Komponente aufgeteilt, und als Linarkombinati-on dieser beiden dargestellt (siehe zum BeispielGleichung 17). Die Begrundung hierfur ist, dassdie Komponenten aufgrund verschiedener phy-sikalischer Phanomene entstehen, und dadurchauch verschiedene Farben haben konnen. Diekonstanten Gewichtungen, die bei der Linear-kombination verwendet werden, sind nun abergenaugenommen physikalisch inkorrekt, da sie inder Natur nicht konstant sind, sondern vom ein-fallendem Winkel des Licht abhangig sind. Bei-pielsweise wird bei lackiertem Holz das meisteLicht bei grossem Einfallswinkel als Glanzlichtdurch den Lack, bei kleineren Winkeln jedoch dif-fus durch das Holz reflektiert. Bei Metallen ist ei-ne solche Linarkombination auch hinfallig, da es,je nach Rauheit der Oberflache fast nur perfekteGlanzlichreflektoren oder perfekte diffuse Reflek-toren unter den Metallen gibt.

• Der geometrische Abschwachungsfaktor (Glei-chung 44) wird in vielen Modellen benutzt, umSelbstbeschattung und Abblendung von Micro-facetten auf der Oberflache zu beschreiben. Hier-bei wird nicht berucksichtigt, dass abgeblocktes

Abbildung 15: Das Ward-Modell in Aktionaus [War92]. Oben: Das Foto eines Stuhls, dervon 2 Lampen, direkt hinter und uber ihm, be-leuchtet wird. Die beiden anderen Bilder wurdengerendert, das mittlere mit dem isotrope gaussschenReflektionsmodell aus Gleichung 59, das untere mitHilfe der anisotropen Variante in Gleichung 62.

Licht in der Natur dabei nicht ohne weiteres ab-sorbiert wird, sondern in andere Richtungen wei-terreflektiert wird.

• Empirische BRDFs sind zwar nicht physikalischkorrekt, aber schnell zu berechnen, wahrend sichdies bei theoretischen Modellen genau andersher-um verhalt: Es zahlt sich meist nicht aus, sie inRenderern einzusetzen, wenn sie zu komplex undrechenaufwendig sind. Der wichtigste Punkt hier-bei aber ist: Sie sind meist unnotig prazise imVergleich zu anderen Vorgangen in einer Rende-ringpipeline. Daher liegt es nahe, solche Modelledurch einfachere zu ersetzen.

Um eine neue einfacher zu berechnende BRDFzu erhalten, ist es ratsam, komplizierte Terme wieden Fresnel-Reflektions-Koeffizienten (Gleichungen 39bis 40) durch eine einfachere Approximation zu erset-zen. Hierfur verwendet Schlick eine Methode, die errationale Bruchannaherung (rational fraction appro-ximation) nennt. Hierbei betrachtet man einfach dieCharakteristika einer anzunahernden Funktion, undfindet einige Kernbedingungen, das sind die Funkti-onswerte, die die Funktionsannaherung sicher habensoll. Dann versucht man die Funktion durch einenBruch auszudrucken, der soviele Parameter hat, wiezu erfullende Kernbedingunen.

Mit dieser Methode wird der Fresnel-Reflektions-Koeffizient auf eine recht einfache Gleichung, die nurnoch 4 Multiplikationen und 2 Additionen benotigt,reduziert:

Fλ(u) = fλ + (1− fλ)(1− u)5 (64)

Hierbei ist u das Punktprodukt zwischen Licht-und Betrachtungsvektor. Die Funktion ist damit nurnoch von fλ, der spektralen Verteilung abhangig. DerBrechungsindex und Absorbtionsindex des Materialswerden hier vernachlassigt, weil sie nur wenig Aus-wirkung auf die Gestalt der Funktion haben. DieseAnnaherung hat nur eine Abweichung von in etwa 1%.

Weil der in Gleichung 44 beschriebene geometrischeAbschwachungsfaktor unter anderem gleichbleibendbei Drehung um den Normalvektor und unabhangigvon der Oberflachenrauheit ist, wird eine andere For-mulierung verwendet, um die Abschattung von Micro-facetten zu beschreiben:

G(v, v′) = G(v) G(v′)

G(v) =g

g + 1

g =√

hπ(2− erfc√

h)

h =v2

2m2(1− v2)(65)

Wobei v und v′ die in Gleichung 44 den Reflekti-onswinkel cos θi und Einfallswinkel cos θr, und m alsWurzel der gemittelten Quadrate der Unhebenheitendie Neigung der Microfacetten auf der Oberflache be-zeichnen.

Dieser Abschwachungsfaktor kann nun durch fol-gende vereinfachte Gleichung approximiert werden:

G(v) =v

v − kv − k(66)

wobei

k =

√2m2

π(67)

Wenn man zusatlich k und k − 1 vorberechnet,benotigt diese Funktion nur eine Addition, eine Mul-tiplikation und eine Division, und approximiert dieOriginalfunktion recht gut.

Fur die Neigunsverteilungsfunktion trifft Schlickdie gleiche Wahl wie Cook und Torrance: Die Beck-mannverteilungsfunktion (Gleichung 37). Diese Funk-tion ist ein wenig schwieriger zu approximieren, aberdennoch lasst sich eine ahnliche Funktion finden, dienur mit einer Division, 4 Multiplikationen und 2 Ad-ditionen auskommt:

D =m3x

t(mx2 − x2 + m2)2

x = t + m− 1 (68)

Hierbei ist t das Punktprodukt zwischen dem Halb-vektor und der Normale der Oberflache, welches auchdurch cos(δ) auszudrucken ware, wie in Abbildung 14.

Setzt man die beschriebenen Terme F , G und D zu-sammen wie in Gleichung 45, dann erhalt man ein an-genahertes Cook-Torrance-Modell, das aber wesent-lich schneller zu berechnen ist und das sich sogar inHardware realisieren ließe, da es nur mit wenigen ein-fachen Operationen, also nur Additionen, Multiplika-tionen und Divisionen, auskommt.

Im Unterschied zu nahezu allen bisher vorgestell-ten Modellen verwendet Schlick keine Aufspaltung derBRDF in Glanzlicht-, Umgbebungs- und diffuse Kom-ponenten. Stattdessen wird von einem Schichtmodellausgegangen. Es wird zwischen Oberflachen mit ho-mogenen, und solchen mit heterogenen optischen Ei-genschaften unterschieden:

• Heterogene Materialen bestehen aus zwei Schich-ten, wobei die obere ein wenig transparent ist.Lackierte oder bemalte Oberflachen, aber auchPlastik oder Haut sind Beispiele hierfur.

• Homogene Oberflachen bestehen aus nur einerSchicht, wie z.B. Metall, Glas oder raues Papier.

Ausser den Eingangs- und Ausgangswinkelnbenotigt Schlick’s BRDF drei weitere Parameter, diealle einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen mussen:

1. Cλ, der Reflektionsfaktor, abhangig von der Wel-lenlange λ. Dieser Parameter kann auch als Re-flektivitat bei Lichteinfall von oben angesehenwerden, wie fλ aus Gleichung 64.

2. r, der Rauheitsfaktor der Oberflache. Er ist 0fur glatte Oberflachen und perfekte Glanzlicht-Materialien, und 1 fur raue Oberflachen, perfektelambertsche Reflektoren. r steht in direkter Be-ziehung zu m, der Wurzel der gemittelten Qua-drate der Unhebenheiten. Da m in der Naturmeist einen Wert ≤ 0.5 hat, konnte man fur rschreiben: r = m

0.5

3. p, der Isotropie-Faktor. Er ist 0 fur perfekt ani-sotrope Oberflachen, und 1 fur perfekt isotro-pe Oberflachen. Man kann p erklaren als dasVerhaltnis zwischen den Richtungen der Kratzerin die eine Richtung und der in die darauf normal-stehende Richtung bei anisotropen Oberflachen.

Je nachdem ob man nun die Reflektionsverteilungeines homogenen oder eines heterogenen Materials be-schreiben mochte, wahlt man nun eine der beiden fol-genden BRDFs:

fλ,hom(t, u, v, v′, w) = Sλ(u)D(t, v, v′, w) (69)

fλ,het(t, u, v, v′, w) = Sλ(u)D(t, v, v′, w) +[1− Sλ(u)]S′λ(u)D′(t, v, v′, w) (70)

Je nachdem, welchen Effekt man erreichen mochte,kann man nun fur Sλ(u) und D(t, v, v′, w) ver-schiedene Terme einsetzen. Schlick zeigt mehrereMoglichkeiten auf, nach deren Kombination man ins-gesamt sechs verschiedene BRDFs erhalten kann.

Fur Sλ(u), den Spektralfaktor, kann einfach der Re-flektionsfaktor verwendet werden:

Sλ(u) = Cλ (71)

Da dieser aber in der Natur vom Fresnel-Faktorabhangt, liegt es nahe, ihn in Gleichung 64 zu ein-zusetzen:

Sλ(u) = Cλ + (1− Cλ)(1− u)5 (72)

Fur D(t, v, v′, w), den Richtungsfaktor, (directio-nal factor) setzt man einen Term ein, in dem dieAbhangigkeit vom Zenit- und Deklinationswinkeldurch zwei Faktoren Z(t) und A(w) ausgedruckt wird:

D(t, v, v′, w) =1

4πvv′Z(t)A(w) (73)

Z(t) =1

(1 + rt2 − t2)2(74)

A(w) =√

p

(p2 + p2w2w2)2(75)

Hierdurch wird genau der gewuschte Effekt erreicht:Wenn r = 1, dann wird Z(t) zu einer konstantenFunktion und beschreibt einen perfekten Lambert-Reflektor. Wenn r aber gegen 0 geht, dann wird einGlanzlicht-Reflektor beschrieben. Ahnliches gilt furA(w); wenn p = 1, wird eine isotrope, wenn p = 0,eine anisotrope Oberflache beschrieben.

Wenn nun noch der geometrische Ab-schwachungsfaktor miteinbezogen werden soll,verwendet man folgende Gleichung:

D(t, v, v′, w) =G(v)G(v′)

4πvv′Z(t)A(w) +

1−G(v)G(v′)4πvv′

(76)

Der letzte Term in Gleichung 76 sorgt dafur, dassdurch den Abschwachungsfaktor blockiertes Lichtauch wieder reflektiert wird, statt es unrealistischer-weise zu absorbieren.

Weil Gleichung 73 nicht wirklich einenvollstandigen Ubergang zwischen perfektem Lambert-und perfektem Glanzlicht-Reflektor beschreibenkann, wird eine dritte Moglichkeit, D(t, v, v′, w)darzustellen, vorgeschagen:

D(t, v, v′, w) =a

π+

b

4πvv′B(t, v, v′, w) +

c

v′dω∆ (77)

Wobei B(t, v, v′, w) aus Gleichung 73 oder 76 ein-zusetzen ist und a+ b+ c = 1 gelten muss. Außerdemist es nicht notig, dass man die Gewichtungen a,b,und c als Parameter ubernimmt, es ist physikalischplausibler sie automatisch aufgrund des Rauheitsfak-tors berechnen zu lassen: Wenn r kleiner ist als 0.5,dann wahlt man b = 4r(1 − r), a = 0, c = 1 − b undansonsten b = 4r(1− r), c = 0, a = 1− b.

Die Abbildungen 16 und 17 zeigen einige mit demSchlick-Modell gerenderte Zylinder, und demonstrie-ren, wie es die Ubergange zwischen diffusen undGlanzlichreflektoren und zwischen isotropen und ani-sotropen Oberflachen darstellen kann. [Sch94]

Abbildung 16: Mit dem Schlick-Modell gerenderte Zy-linder, beleuchtet von einer Lichtquelle. Oben: Vondiffusen zu Glanzlichreflektoren mit Werten fur r von1 bis 0.05. Unten: Von isotropen zu anisotropen Ma-terialien mit Werten fur p von 1 bis 0.05. [Sch94]

Abbildung 17: Wie Abbildung 16, nur diesmal wirdder Fresnel-Faktor in die Berechnung mit einbezo-gen und die BRDF fur heterogene Oberflachen (Glei-chung 70) wird verwendet. [Sch94]

2.7 Lafortune

Das sogenannte klassische cosine-lobe-Modell wurde1993 von Robert R. Lewis vorgestellt. Es handelt sichdabei um eine Erweiterung des Phong-Modells umeinen Energieerhaltungsfaktor und die Einhaltung derHelmholz-Reziprozitat. Lafortune generalisierte die-ses Modell 1997 und daher ist dieses nicht nur alsLafortune-Modell, sondern auch oft einfach als gene-ralisiertes cosine-lobe-Modell in der Literatur zu fin-den. [LFTG97, Lew93]

Das klassische cosine-lobe-Modell kann so ange-schrieben werden:

fr(L, V ) = ksCscosnα (78)

Hierbei ist α der Winkel zwischen der Betrach-tungsrichtung V und der gespiegelten einfallendenRichtung L, die in den folgenden Gleichungen mit Lm

(m fur mirrored) bezeichnet wird. Cs ist der Norma-lisierungsfaktor, fur den n+2

2π gewahlt wird und ks einWert zwischen 0 und 1, die Albedo des Lobus. n ist istder Glanzlichtexponent, der die Große des Glanzlicht-effektes festlegt. Man kann Gleichung 78 auch anders,mit Hilfe einer Householder Matrix, die das Spiegelnum die Normale N ausdruckt, anschreiben:

fr(L, V ) = ksCs[Lm · V ]n

= ksCs[LT (2NNT − I)V ]n (79)

Dieses Modell halt im Gegensatz zum Phong-Modell, auf dem es basiert, sowohl die Helmholz-Reziprozitat als auch den Energieerhaltunssatz ein.Generalisierungsversuche, die nur die Reflektionslo-bes skalieren, bewirken aber, dass diese vorteilhaf-ten Eigenschaften verloren gehen. Bei der von La-fortune durchgefuhrten Generalisierung dieses Model-les ist dies hingegen nicht der Fall. Dabei wird dieHousholdermatrix und der Normalisierungsfaktor ausGleichung 79 durch eine 3x3 Matrix M ersetzt, wo-durch man nun insgesamt 10 Parameter bekommt umden lobe zu formen, wenn man man den Exponent nmitzahlt:

fr(L, V ) = ks[LT MV ]n (80)

Es gelten hierbei allerdings einige Ein-schrankungen: Damit die Helmholz-Reziprozitatweiterhin gilt, muss die Matrix M symmetrisch sein:M = MT . Nach einer Singular Value Decompositionkann die Matrix zu einer diagonalen Matrix Dvereinfacht werden und als Gewichtungen der Termedes Punktprodukts von V und L dargestellt werden.Dadurch kann man Gleichung 80 in eine sehr einfacheund bequem zu verwendende Form bringen:

fr(L, V ) = ks[CxLxVx + CyLyVy + CzLzVz]n (81)

Damit hat man nun einige Moglichkeiten die lobeszu formen, um verschiedene Effekte zu erreichen: Dasoriginale cosine-lobe-Modell erhalt man, indem man−Cx = −Cy = Cz = n

√Cs einsetzt.

Abbildung 18: Links drei Fotos, rechts eine ahnlichegerenderte Szene unter Verwendung eines klassischemcosine-lobe-Modelles. Die Intensitat der Spiegelun-gen auf der Tischplatte nehmen in der Natur mitflacher werdendem Betrachtungswinkel zu, wahrendsich dies beim gerendertem Bild genau umgekehrtverhalt. [LFTG97]

Ein Nachteil des originalen cosine-lobe-Modelles ist,dass sich die Glanzlichtreflektion auf Oberflachen beiflachen Betrachtungswinkel nicht so verhalt wie inder Natur. Hier nimmt die Reflektion namlich ab,wahrend sich dies in der Natur genau entgegenge-setzt verhalt, wie man in Abbildung 18 gut erken-

nen kann. Der Grund hierfur ist, mit abnehmendemWinkel mehr Licht von der Lackierung der Oberflachereflektiert wird, und der diffuse Reflektionsanteil ge-ringer wird. Mit dem generalisierten Modell ist esnun aber moglich, diese Verringerung des diffusen An-teils nachzubilden: Das Modell enthalt namlich dasLambert-Modell, welches sichtbarer wird, wenn mann = 0 setzt. Eine bei Rotation symmetrische diffuseReflektion mit den gesuchten Eigenschaften kann nuneinfach aus Gleichung 81 erhalten werden, indem manCx und Cy gleich 0 setzt:

fr(L, V ) = kdCd[LzVz]n (82)

Hierbei ist Cd = n+22π der Normalisierungfaktor,

und kd die maximale Albedo, die einen Wert zwischen0 und 1 hat. Bei flachen Betrachtungswinkeln nimmtder diffuse Anteil der Reflektion proportional zu einerPotenz des Kosinus des Winkels zwischen Betrachterund Normale ab.

In Abbildung 18 nimmt aber nicht nur der diffu-se Anteil ab, der Glanzlichtanteil nimmt zudem beiflacheren Reflektionswinkeln zu. Um dies nachzubil-den, kann man das Modell mit einem Glanzlichtre-flektionsterm erweitern. Dabei reflektiert man einfacheinen Bruchteil der nicht vom direktional diffusen Lo-bus ausgesendet wird als Glanzlicht:

fr(L, V ) = ksCs[Lm · V ]n

+ (ks − ks(L))Rmδ(Lm − V ) (83)

Hierbei kann fur Cs = n+12π gewahlt werden. Rm

beschreibt den Bruchteil des Lichtes, der vom direk-tional diffusen Lobus verloren wird und in den Spie-gelungsterm ubergeht, und δ(Lm − V ) ist eine Dirac-Delta-Funktion. Mit diesem Modell gerenderte Bildersehen nun wesentlich realistischer aus, als mit demklassischen cosine-lobe-Modell.

Andere bekannte Effekte wie zum Beispiel die so-genannte Retro-Reflektion konnen mit diesem Modellauch nachgebildet werden: Hierbei wird Licht nichtnur nach vorne reflektiert, sondern auch in die Rich-tung der Lichtquelle. Ein gutes Beispiel hierfur ist dieMondoberflache, von der ein grosser Anteil des Lichtswieder zur Sonne zuruck gesendet wird. Im Lafortune-Modell mussen lediglich alle drei Parameter Cx, Cy

und Cz positiv sein, um diesen Effekt zu erreichen.Wenn man eine anisotrope Oberflache modellieren

mochte, mussen die Parameter Cx und Cy verschiede-ne Werte haben. Genugt dies nicht, kann eine generel-lere Anisotropie erzeugt werden, indem man in Glei-chung 80 fur M eine nicht symmetrische Matrix ein-setzt. Will man isotrope Reflektion beschreiben, setztman einfach Cx = Cy.

Komplexe Reflektionseigenschaften von Materialienwie Aluminium konnen als eine Summe aus i Funk-tionen in der Form von Gleichung 81 beschrieben wer-den, mit fur jede Funktion jeweils eigenen ParameternCx,i, Cy,i und Cz,i:

fr(L, V ) =∑i

[Cx,iLxVx + Cy,iLyVy + Cz,iLzVz]ni (84)

Mit dieser BRDF kann man nun besonders gutOberflachen, die gerichtet diffuse Reflektionen ha-ben, wie Metalle mit rauen Oberflachen oder ange-strichene Oberflachen, modellieren. Auch helle, ausge-pragte Glanzlobes konnen leicht angenahert werden,wahrend scharfe Metalloberflachen schwerer darzu-stellen sind, da kein Fresnel-Faktor oder Aquvalentesin den Gleichungen verwendet wird. Abbildung 19zeigt verschiedene Reflektionseffekte, die man mitdem Lafortune-Modell darstellen kann.

Abbildung 19: Eine mit drei Lichtern (rot, grun,weiss) beleuchtet Szene. Die linke Kugel wurde miteiner gewohnlichen lambertischen Annaherung geren-dert, die rechte mit der nicht linearen Approximationnach dem Lafortune Modell. Auf der rechten Kugelkann man rote und grune Glanzreflektionen erkennen.Die Metallplatte hat eine sehr verwischte metallischeReflektion.

3 Fazit

In dieser Arbeit wurden eine kurze Einfuhrung in bi-direktionale Reflektionsverteilungsfunktionen und ein

kurzer Einblick in verschiedene Modelle gegeben, vondenen die meisten sehr bekannt sind und auch in derPraxis haufig verwendet werden, und zum Teil aufein-ander aufbauen: Lamberts Annahme (Abschnitt 2.1),dass die Reflektionsverteilungsfunktion einer diffusenOberflache einfach eine Konstante ist, ist genau wiedas Phong-Modell (Abschnitt 2.2) eines der ersten ge-nerellen Shadingverfahren, die in der Computergrafikverwendet wurden. Lewis (Abschnitt 2.7) erweitertedas Phong-Modell und machte es physikalisch plau-sibler, Lafortune generalisierte wiederum Lewis’ Mo-dell. Cook und Torrance (Abschnitt 2.3) leiteten ausgeometrisch-optischen Theorien ein physikalisch ba-siertes Modell ab, das He (Abschnitt 2.4) erweiterteund dabei physikalisch-optische Erkenntnisse mitein-bezog. Auch Ward (Abschnitt 2.5) und Schlick (Ab-schnitt 2.6) basierten ihre Arbeit auf vorige wie dievon Torrance und Cook, vereinfachten sie und zeig-ten, dass BRDFs nicht unbedingt rechenintensiv seinmussen.

Außer den wenigen hier vorgestellten BRDF Mo-dellen gibt es noch viele andere, die die verschie-densten Eigenschaften haben und neue Moglichkeiteneroffnen. Unter anderem mit Hilfe dieser Modellekonnen Computer heute so realistische Bilder berech-nen, dass sie sich nicht wesentlich von der Realitatunterscheiden, und man sich manchmal dabei schwertut, zu entscheiden, ob es sich bei einem Bild nun umein Foto oder eine gerenderte Szene handelt. Aller-dings fordert dieser hohe Realismus seinen Preis: Sehrrealistische, dafur auch komplexe Modelle wie zumBeispeil das He-Modell als Extrembeispiel, benotigensehr viel Rechenzeit und konnen derzeit noch nichtin Echtzeit berechnet werden. Neue Technologien wiezum Beispiel die vor wenigen Jahren in Mode gekom-menen durch Vertex- und Pixelshader programmier-baren Grafikkarten lassen dieses Ziel naher rucken.

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