E. S~uD~. Bemerkungen fiber a~alytische Fortsetzung. 239

Einige elementare Bemerkungen

fiber den ProzeB der analyt ischen Fortsetzung.

Yon

E. SWUDY in Bonn.

Isf w-----u + iv eine analytische Funktion der komplexen Yer'~nder- lichen z----x + iy, w-- - f ( z ) , so sind die reellen Komponen~en u und v yon w einzela analytische Funktionen der reellen Komponenten x und y yon z:

= y ) .

Es steht also niches im Weg% diese reellen Funk~ionen zu Funk- ~ionen yon zwei komplexen Yeri~nderlichen zu erweitern. Hiermit betrit~ man ein vierdimensionMes Gebiei~ und zwar gelangt man in dieses dutch ein natiirliehe% willkfirfreies Verfahren. Es wird also die Frage sich auf- dr'~ngen~ ob man nicht auf einem Wege, der dutch dieses Gebiet hin- durchffihr~, einen analytischen Zusammenhang zwischen zwei im reellen (zweidimensionalen) Gebiete geirennten Liisungen u 1 und u~ der Laplace- sehen Gleichung, und damit zugleieh aueh einen nat~'rlichen Zusammen- hang zwischen zwei verschiedenen analytischen Funktionen der komplexen Veriinderlichen z herstellen kann. Ein solcher Zusammenhang wiirde be- sonders da yon Interesse sein, wo die F,~k~ionen f(~), r y), ~(x, y) eine natiirliche Grenze haben, die yon einem reellen Zuge einer analy~i- schen Kurve gebildet wird, z. B. yon elner Kreislinie. Denn dann lieferl ja bekanntlich die Schwarzsehe Spiegelung an diesem Kurvenzuge eine neue Funk~ion f~(z), die jensei~s der na~iirlichen Grenze existier~. Es wird dann zu wissen erwtinseh~ sein, ob diese Funktion fl(z) auBerdem auch als eine nattirliehe Fortsetzung der Funktion f(~) um deren Grenze herum aufgefal~t werden kann.

Herr L. Seh les inger ist, naeh persSnlicher Mitteilung, schon vor liingerer Zeit zu der Einsich~ gelang~, dal~ es sich im Falle der ellipti-. schen Modulfunktionen nieh~ so verhiilt. Indessen liiB~ sich eine Ent- seheidung ganz allgemein u nd aueh sehr leieht herbeiftihren. Man kann

2 4 0 E. Sze~z.

es niimlich den Ausdrtieken der Funktionen u, v unmittelbar ansehen, da~ sie eine analyfisehe Fortsetzang in andere reelle Funktionen niemals zu- lassen.

Wit bezeichnen, wie fiblich, mR f die zu der Funk~ion f konjugiert- komplexe Ftmkiion, and haben dann

1 u ~ ~ { f (x + iy) ~- f ( x - - iy )} ,

I = + i u ) - f ( x - i v ) } .

Lassen wir anch fiir x und y komplexe Werte zu~ so ist deren Ver- iinderlichkeit nur an die Einsehriinkang gebunden~ dat~ die Funktionen f ( x + iy) und f ( x - - i y ) zweier nunmehr unabhii, giger komplexer Argu- mente x + iy und x - - iy gleichzeRig exis~ieren mtissen. Diese Bedingung abet 1~1~ sich noch e~was zweekmiiBiger ausdriicken. Erkliiren wit vier

' ' y" " z" dureh reelle GriiBen x, y , x", und.dan~ zwei komplexe Griil~en z , die Gleichungen

f x - - i y = x ' - - i y ' , x" ~ - i y ' ~ - z , ?g

x -~ iy = x" -~ iy"~ x" ~- iy" = z ,

und setzen wir analog U iV ~ ~ ' - - " " ' d t - - * v , + i v ' = w ,

�9 " U " i V ~ , , u + i v = u " + z v , + = w ,

so sagen die bezeichneten Forde~mgen ans, dal~ die Funktionen

w' = w " = f (z")

exisgieren miissen. Es ergibl sich dann

1 W" 1 {W" ~ " . - }

Der vierdimensionale Exis~enzbereich der Funk~ionen u, v liil~t sieh also eindeutig-umkehrbar und ste~ig abbilden auf den Bereieh, der aus

' z" gewShnlicher komplexer Grii•en bes~eh~, die in den allen _Paaren z , Exis~enzbereich der Funk~ion f ( z ) fallen. Zugleich sieh~ man, dab die GrSl~en x. und y nur dann reell werden, wean z ' -~ z" wird. Gleichzeitig redzmieren sich dann aueh u und v auf reelle Werte, und die Verbindung

-~ iv wird identisch mR der viillig bestimmten Funktion f(z). l=Iiermit~ is~ unsere Behauptung erwiesen. Zugleich erkennen wit,

dab sie einer bedeutenden Yerallgemeinerung f~hig ist. Man be~rach~e irgend eine analytisehe Mannigfaltigkeit M i m Gebiete

der komplexen Ver~nderlichen z 1 . . �9 z~. Se~zt man dann z~---x~-{- iyk, so hat man vor sich eine Mannigfaltigkei~ yon gerader DimensionenzaM 2r im Gebie~e der 2n reellen Ver'~nderlichen x~, y~. Dutch analytisehe Fort~

Bemerkungen ~iber analytische For~se~zung. 241

se~zung lei~e man aus dieser eine neue analytische M:annigfaltigkei~ yon der doppelten Dimensionenzahl 4r ab, die im {~ebiete der komplexe~ Ver~nderlichen xk, y~ exis~iert. Dann ergibt sich, genau wie zuvor, dab die Punkte yon ~ eindeutig-umkehrbar und stetig zugeordnet werden k~jnnen den Punktepaaren yon M*), und da] die Punkte yon M die einzigen reellen Punkte yon ~ sind. Man kann daher yon einem Punkte yon M aus durch analytische Fortsetzung fin Gebiete der kom21exen Ver~uder- lichen xk, Yk nur zu solchen reellen Punk~en kommen, die auf M selbst gelegen sind, zu denen man also auch schon dutch analy~ische Fortsetzung auf reellem Wege gelangen k a n n . - Der angewendete AbbildungsprozeB ist, wie man leich~ erkenn~, invariant gegentiber analytischen Transformationen tier Ver~nderlichen z~.

Mit der behandelten Frage ist eine zweite nahe verwandt, zu der man in der Theorie der konformen Abbildung gefiihrt wird.

Nach einem bekannten, oben gelegentlich schon erw~hnten Satze des Herrn H. A. Schwarz bestimmt in der Ebene der komplexen Ver~inder- lichen ~ (oder z. B. auch auf der Riemannschen Zahlenkugel) jeder reelle regul~re analytische Kurvenbogen eine sogenannte konforme Spiegelung, eine uneigentlich-konforme Abbildung, durch die in einer gewissen Um- gebung dieses Bogens die Punkte zu beiden Seiten involutorisch gepaart werden, w~hrend jeder Punkt des Bogens sich selbst entsprich~.**) Ein reguliirer reeller Kurvenbogen aber kann nicht nut, wenn er dutch sin- gul~re Stellen algebraischen Charak~ers begrenzt wird, fiber diese hinaus analytisch fortgesetzt werden, sondern er kann auch mit anderen Bogen tier Art auf komplexem Wege zusammenh~ingen. Welcher Zusammen- hang besteht dann zwischen allen den Schwarzschen Spiegelungen, die auf solche Weise erhal~en werden k6nnen?

Diese Frage, die merkwiirdigerweise noch nicht gestellt worden zu sein scheint, l ~ t sich nun sofort beantwor~en, wenn man bemerkt~ dab die Schwarzsche Spiegelung nichts anderes ist als ein Ausschnitt aus einer allgemeineren, tibrigens l~ngst bekannten Art der Zuordnung.

Sind 6, ~ irgend welche komplexe {~rSBen, die wit etwa als rech~- winklige Cartesische Koordina~en eines ,,komplexen Punkted' in der Ebene deu~en wollen, so stellen Gleichungen der Form

*) Ein noch etwas umfassendere~ Sa~z finde~ sich bereits in einer Abhandlung des Herrn C. Segre (Ma~h. Ann., Bd. 40, 1892, S. 465, Z. 10--14:), scheint ~ber bisher nicht beach~et worden zu sein.

**) H. A. Schwarz, Ges. Werke, Bd. H, S. 149--151.

Mathematisohe Annalen. /..'g'TTT 16

242 E. S~uv~'.

gewisse imagin~ire gerade Linien dar, die sogenannten Minimalgeraden, die wit ~ls link- und rechtseitige Minimalgerade un~erscheiden kSnnen. Sind dann x, y, u, v reelle GrSBen, so wird durch die Gleichungen

~ - - i v = x ~ i y , ~ - F i ~ = u + i v

jedem komplexen Punkt ',(~, ~) ein wohlbestimm~es Paar reeller Punkte (x, y) und (u, v) zugewiesen~ und umgekehrt: das Paar der beiden reellen Punkte, die den durch (~, ~) gehenden ~Iinimalgeraden angehiiren.

Nehmen wit jetz~ an, dal3 der Punkt (~, ~) eine analytische Kurve durchl~ufi, die nicht eine .Minimalgerade ist, so bedeutet �9 wie man ohne weReres erkenn~ - - die Zuordnung zwischen (x, y) und (u, v) eine reelle, (yon singul~iren S~ellen abgesehen) uneigenflich-konforme Abbildung. Um- gekehr~ kann eine solche in der Form w ~f (Z) willkfirlich gegeben werden; sie bestimmt dann verm6ge der Gleichungen

( w -

eindeutig die zugehSrige analytische Kurve, die verschieden ist yon einer Minimalgeraden. Jede solche Kurve hat also ein reelles Bild in einer un- eigentlich-konformen Transformation z - .~ w, durch die die Punkte zweier Riemannscher Fliichen (z) und (w) einander eindeutig-umkehrbar zu- geordnet werden.*)

Ist nun die Kurve selbst reeU, d. h. sind ihre Punkte paarweise kon- jugier~-komplex, so zeig~ sich das an der Abbildung darin, dal~ die beiden Riemannschen Fl~chen (z) und (w) zusammenfallen, und dal~ jedes um- gekehr~e Punktepaar w , z ebenfalls ein Paar zugeordneter Punkte ist. Trit~ tiberdies der Fall ein, dal~ die reelle Kurve einen oder mehrere reelle Ziige hat~ so f~llt jeder Punk~ eines solchen Kurvenzuges mit dem zugeordneten Punk~ zusammen. Die Abbildung selbst abet stimm~ in der Umgebung dieses Zuges (der einem bestimmten Bla~e der Riemann- schen Fli~che angehiir~) tiberein mR der Schwarzschen Spiegelung.

Wenn also zu einer reellen analy~ischen Kurve mehrere Schwarzsche Spiegehngen gehiiren, so hiingen diese immer .durch analy~ische Fork- setzung, und zwar dutch ForCsetzung auf reellem Wege, mit einander zu- sammen. Jede einzelne unter ihnen bestimmt vollkommen zugleich mi~ der ganzen Kurve alle tibrigen konformen Spiegelungen.

*) Ist z. B. die ebene Kurve eine Gerade, so ist die zugehSrige Abbildung eine uneigentliche ~hnlichkeitstransformation, und umgekehrt. Ist die Kurve ein (irredu- zibeler) Kreis, so ist die Abbildung irgend eine andere uneigenfliche M(ibiussche Kreisverw~ndtschaft, und umgekeh~.

Beraerkungen fiber anaIytische Fortse~zung. 243

Von den beiden besprochenen S~itzen gehiirr der erste unmittelbar der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen an; der zweite, in geometrischer Einkleidung vorgetragene, aber kann wenigstens dieser Theorie untergeordnet werden. Gleichungen der Form w = f(~) sind zwar nicht analytisch im iiblichen Sinne des Wortes, und sie sind vielleicht night in gleichem Grade niitzliche VeralIgemeinerungen ,reeller" Glei- chungen u = f ( x ) , wie Gleichungen der Form w-=f(z). Indessen hat doch die Theorie der analytischeu Funktionen auch zar Be~aehtung der- artiger Abhi~ngigkeiten geniitigt. Der ebenfalls yon Herrn Sehwarz for- mulierte Satz z. B., dab eine analytische Funktion, die in den Punkten eines reellen analytischen Kurvenbogens reelle Werte hat, in den spiegel- bildlich einander entsprechenden Punkten zu beiden Seiten des Kurven- bogens konjugiert-komplexe Werte annimmt, gehSrt gewil~ der allgemeinea Funktionentheorie an: die geome~rische Fassung ist nebens~ichlich und kSnnte auch durch eine andere ersetzt werden. Das gleiche gilt dana auch yon unserer Bemerkung tiber den Zusammenhang versehiedener kon- former Spiegelungen. Diese abet beruht, soviel wit sehen, ganz und gar darauf, dal~ man die zweidimensionale l~Iannigfaltigkeit (z) oder (x, y), the dutch Erweiterung der sogen,.~nten reellen Mannigfaltigkeit (x) entstaa- den ist, yon neuem dem gleichen Erweiterungsprozel~ unterwirft, sie als enthalten in einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit (6, 7) auffat~t.

Dieser letzte Prozel~ liiuft nun auf den Gebrauch bikomplexer Gr56ea hinaus. In der Tat, hat man die reellen GrSflen x und y in der Form z = x ~ iy zu ether sog~inannten komplexen GrSl~e zusammengefal~t~ so braucht man zur Zusammenfassung zweier Griii~en ~, y, die selbst schon komplex sind, eine neue Einhei~ die man iibrigens denselben Verkniipfungs- regeln unterwerfen wird. ~Ian wird e~wa in obiger Formel das Zahlen- paar (0, 1) start mit i, mit j bezeichnen. Dann kann man ohne Mehr- deutigkeit ~ = ~-~j~? (and z = x ~-jy) setzen, sofern man bet der Darstellung yon ~ und ~/ selbst das Zeichen i beibehi~lt:

= ~ + i ~ , V = v~ + i w , ~ = ~ + j~ .

Mug man sich nun der Zusammenfassung yon je vier Gleichungen in eine einzige mit Hilfe eines Systems bikomplexer GriiBen der Form

ao + a~ i + a~j + as ij, ( i ~ = - 1, j ~ = - - 1, ij = j i )

bedienen wollen, oder nicht, an der Sache wird dadurch nut Unwesen& liches ge'andert: Ist die vorge~ragene wenn auch noch so unbedeutende Erg~azung zu dem Satze yon der konformen Spiegelung verniinftig, ent- hiilt sie eine irgendwie niitzliche Erkenntnis, dann kann zwar (wie es

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ohne Zweifel geschehen wird) aueh fernerhin behauptet, aber nich~ mi~ Recht behaulotet werden, dab die Erweiterung des Bereiches der reellen OrSBen zum Bereiche der gemeinen komplexen GrSBen in der allgemeinen Analysis ausreichend, und noch weniger, dab sie allein zul~issig sei. Denn diese Behauptung schlie~t, wie uns scheint, die andere ein, dab die zu jener Erkenntnis unentbehrliche doppelte Erwei%erung des Bereiches der reellen GrSBen fiberfliissig, ja sogar ein methodischer MiBgriff sei.

Die zenirale S~ellung der gemeinen komple~en GrSBen und ihrer Funk%ionen is~ gewiB durch die ganze Entwickelung der modernen Ma%he- malik gewiihrleistet. In den Eriirterungen fiber den ,,tieferen Grund" dieser Erscheinung -- oder vielmehr, bei den Versuchen, ihr einen mSglichst priignanten Ausdruck zu geben - - is% man aber unseres Erachtens etwas dogmatisch zu Werke gegangen. Zuniichst bleiben diese Eriir~erungen alle auf dem Boden der Algebra.*) Daher bietet vielleicht unsere Bemerkung eine Ergiinzung, wonach bei transzendenten Funktionen nattirliche Grenzen auch im hyperkomplexen Gebiete (bei Anwendung des beschriebenen nati~rlichen Erweiterungsprozesses) nicht umgangen werden k{innen. Aber allzugroBes Gewicht hat man unseres Erachtens auf die Forderung gelegt, dab aueh in dem erwei~erlen Gebiete ein Produk~ nicht soll versehwinden kiinnen, wenn nicht einer der Faktoren verschwindek

Mit dem Nachweise, dab dann der Fundamentalsatz der Algebra seine Giilt~gkeit verlier~ wird ~.war die ausgezeichne%e Stellung der gemeinen komplexen Orii]~en auf eine kurze Formel gebracht, die Anwendung anderer ]~omplexer GrSBen aber~ auch in der allgemeinen Analysis, nicht endgfiltig ausgeschlossen. Es dtirfte auch zu bedenken sein, dab man schon bei dem ~'bergang zu den gemeinen komplexen Gr(iBen kaum minder wiehtige Eigenschaften der reellen Gr~ii~en aufgibt, n~mlich die dutch Ungleiehungen ausgedrtickten Anordnnngssiitze.

Sind diese Uberlegungen sachgem~il~, so wird jener bekannte Aus- spruch yon GauB**), an den aUe diese Erer~erungen angekntipf~ haben (falls man ihn im Sinne yon Weiers l raB deuten will), selbst dann nicht in vollem Umfange aufrech% zu erhal%en sein, wenn man das yon OauB in einem sonst gewiB, nicht tiblichen Sinne gebrauchte Wort ,,nieht zu- li~ssig" dureh die milderen Ausdrttcke ,,unzweckmiiBig" oder ,,tiberfliissig" erkli~rk

Es ist gewiB, dab jedes Wor~ des Princeps Mathemalieorum die aller-

*) DaB schon yon diesem Gesiehtspunkte aus die yon WeierstraB und anderen bekundeten Ansich%en sich nioh~ in vollem Umfange aufrecht erhalten lassen, hat der Verf~.sser bei anderen Gelegenheiten darzulegen versuch% (G0tt. Nachr. 1898, S. 5--8. Geomet;rie dez Dynamen, Leipzig 1903, S. 596).

**) Gaul~ Werke, Bd. II, S. 178.

Bemerkungen fiber analytisehe For~set;zung. 245

sorgf'~ltigste Erw~gung verdient (einige Kommentatoren scheinen uns die Wo~e ,in der allgemeinen Axithmetik" nicht hinreichend beachtet zu haben). Indessen aus einem seiner Ausspr[~che ein Verbot gewisser Forschungsrichtungen oder ein aprioristisches Werturteil fiber diese ab- leiten zu wollen, das scheint uns wirklich u~zuliissig zu sein, ira eigent- lichen, nicht abgeschw~ichten Sinne des Wortes.*) Es kommt hinzu, da~ wir nicht einmal sicher sein kSnnen, recht verstanden zu haben: So hat sich D edekind der Weierstral~chen Interpretation jener fragmentarischen und dunkeln _~uBerung nicht angeschlossen.

Im Grunde is~ eigentlich schon nicht einzusehen, warum die LSsungen der Laplaceschen C~leichung nicht in das komplexe Gebiet hinein sollen fortgesetzt werden dfirfen, da man doch alle anderen analytischen Funk- tionen yon zwei reellen Ver~inderlichen dieser Fortsetzung unterwiff~. Ist es iiberhaupt mSglich, die wissenschaftliche Systematik aus diese Art zu durchlSchern?

Im iibrigen verweisen wir wegen des zuerst yon Herrn Segre an- gewendeten Prozesses der wiederholten Erweiterung des betrachteten GrSl3engebietes auf dessen schon erwiihnte Abhandlung, und aul~erdem auf eine Arbeit des Veffassers ,,Sugli enti analitici", die kfirzlich in den Rendi- conti del Circolo Matema~ico di Palermo (~. XXI, p. 345) erschienen is~. Man finder dort allgemeinere Entwicklungen, u. a. auch eine Ausdehnung des Begriffs der Schwarzschen Spiegelung auf die Theorie einer unbe- stimm~en Zahl yon komplexen Ver~nderlichen.

Anwendungen der vorgetragenen und verwandter Ideen sollen den Gegenstand weiterer Arbeiten bilden, in denen der Verfasser besonders gewisse fl~chentreue Abbildungen als ein Seitenstiick zu den konformen Abbfldungen und in ihrer Beziehung zu diesen eingehend zu erSrtern gedenkt.

*) Wir sehen davon ab, dutch Zi~ate (aus den Sehriften namhaf~er Autoren) ~.u zeigen, dal~ wir hier uicht etwa offene Tfiren einrennen.