Embed Size (px)
Citation preview
Špeciálna teória relativity
v Loedelových diagramoch
Boris Lacsný, Aba Teleki
Nitra, august 2007
Kapitola 1
Špeciálna teória relativity
Teória relativity je cesta poznania nášho sveta. Hovorí nie len o tom,čo vnímame našimi zmyslami, ale aj o tom, prečo to vnímame tak,ako to vnímame. Najdôležitejší poznatok, ktorý musíme pochopiť prištúdiu teórie relativity je, že nič na svete nevplýva na nás okamžite.Mohli by sme povedať, že to, čo vidíme okolo seba, je vlastne minulosť.
Obrázok 1.1: Rozdiel medzi New-
tonom a Einsteinom by sme mohli
nazvať ako absolútny čas a absolút-
ny priestor verzus absolútny časo-
priestor.
Keď sa pozeráme na strom, ktorý je 10 metrov od nás, vnímame jehoobraz, čo je tvar, farba, veľkosť. Vnímame vlastne odrazené svetlo zjeho povrchu, ktoré doletí do nášho oka. V tejto vete je skrytý jeden znajdôležitejších postulátov teórie relativity. V tejto vete sa hovorí, žesvetlo musí doletieť, čo znamená, že musí prekonať určitú vzdialenosťza určitý čas. Svetlo prejde vzdialenosť 10 metrov za veľmi malýčasový okamih. Nezáleží na dĺžke tohto časového okamihu, ale dôležitéje, že je potrebný. Nezáleží na tom, že to je práve rýchlosť svetla, ktoráje hraničnou rýchlosťou, ale dôležité je, že takáto hraničná rýchlosťexistuje. To je podstatný rozdiel medzi Newtonovom chápaním sve-
E i n s t e i nnebol prvý, ktorý
predpovedal koneènú rýchlos� svetla.Objavil to dánsky astronóm OleChristesen Roemer v roku 1676, pripozorovaní mesiacov Jupitera.
ta, kde sa všetko deje okamžite a čas je absolútny1 a Einsteinovomprístupe, ktorý tvrdí, že to, čo vnímame, sa udialo presne pred takýmčasovým intervalom, aký potrebovalo svetlo na prechod vzdialenostimedzi udalosťou (odraz svetla od stromu) a pozorovateľom (nami).Uviedli sme jeden z dvoch základných Einsteinových postulátov teó-rie relativity.
Zapamätaj si:Svetlo sa pohybuje konečnou rýchlosťou, ktorá je kon-štantná a pre vákuum sa rovná c = 2, 998.108 m/s.
Tento výsledok je potvrdený aj experimentom. Mohli by smepovedať, že vidíme vlastne minulosť všetkých predmetov okolo nás.
1Absolútnosť času znamená, že plynie rovnako vo všetkých vzťažných sús-tavách, nech sa pohybujú akokoľvek a akoľvek rýchlo.
1
2 1. Kapitola
Z histórie:Klasická mechanika sa sformovala do modernej podoby v 17. storočí
najmä zásluhou Galileiho a Newtona. Podľa Newtona je priestor a čas
absolútny. Podľa Galileiho mechanického (klasického) princípu relativi-
ty platia rovnaké zákony mechaniky vo všetkých inerciálnych sústavách.
Na prelome 19. a 20. storočia však Einstein rozširuje platnosť tohto
princípu na všetky fyzikálne deje (teda aj také, ktoré nie sú mechanické
– napr. elektromagnetické, teda aj na svetlo). Einsteinova špeciálna
teória relativity vychádza zo spomínanej rozšírenej platnosti relativity
a z existencie maximálnej rýchlosti. Klasická mechanika hovorí, že ak
rýchlosť svetla vzhľadom na zdroj je c, a zdroj sa od nás vzďaluje rých-
losťou v, potom sa svetlo zo zdroja vzďaľuje od nás rýchlosťou u = v+c.
Existencia maximálnej možnej rýchlosti si však vynucuje nový spôsob
skladania rýchlostí (pri ktorej sa maximálna rýchlosť prekročiť nedá),
čo sa nedá bez nového spôsobu nazerania na priestor a čas. Rúti sa
predstava absolútneho času plynúceho v absolútnom priestore. V Ein-
steinovej špeciálnej teórii relativity sú čas a priestor spoločne jedinou
entitou. Ich vzájomný vzťah je relatívny, ale spolu tvoria absolútny
časopriestor.
1.1 Časopriestor a invariantný interval
x
y
z
t=1925Každý bod nášho priestoru môžeme definovať priestorovými súradni-cami (napr. x, y, z) a časom (t). Náš svet má teda 4 rozmery, ktoré sanazývajú časopriestor. Priestor a čas síce tvoria jediný objekt, časo-priestor, ale to neznamená, že sú úplne rovnocenné. Urobme si terazmyšlienkový experiment. Nech sú dva body A a B vo vzdialenosti√
x2 + y2 + z2 od seba. Nech dve udalosti (A v bode A a B v bodeB) nastanú naraz (súčasne). Čas, ktorý uplynie medzi týmito dvomaudalosťami je ∆t = 0. Vzdialenosť je medzi nimi nenulová, tieto dveudalosti nastanú nezávisle od seba, nie sú v príčinnom vzťahu.
Zoberme si teraz prípad, keď udalosti A a B nebudú súčasné,čiže ∆t 6= 0. Vzdialenosť, ktorú prejde signál za čas ∆t je c∆t. Nechvzdialenosť medzi bodmi A a B je väčšia, než táto vzdialenosť c∆t,ktorú svetlo dokáže preletieť za čas, za ktorý sa udejú obidva udalosti(∆t), teda
(c∆t)2 < x2 + y2 + z2.
Potom tieto dve udalosti (A a B) stále nebudú v príčinnom vzťahu,lebo signál nie je schopný túto vzdialenosť za čas ∆t preletieť. Skúsmeteraz zapísať tento vzťah medzi udalosťami všeobecne. Označme
Invariantný interval
(∆s)2 = (c∆t)2 − (x2 + y2 + z2).
1.1. ČASOPRIESTOR A INVARIANTNÝ INTERVAL 3
Zapamätaj si:Ak platí, že
(∆s)2 < 0 potom udalosti nie sú v príčinnom vzťahu,
(∆s)2 ≥ 0 potom udalosti sú v príčinnom vzťahu.
„Vzdialenosť“ ∆s medzi dvoma bodmi (udalosťami) v časopriestoresa nazýva invariantný interval. Invariantnosť tu znamená, že prekaždého pozorovateľa bude táto veličina pre dané dve udalosti rov-naká.
Súèasné udalostinie sú v
príèinnomvz�ahu.
Ak c t<x,D
tie� nie sú udalostiv príèinnom
vz�ahu.
Ak
všakpotom u� udalosti
sú v príèinnom vz�ahu.Mô�u sa navzájom
ovplyvòova�.
c t>x,D
Zapamätaj si:
Invariantný interval je
(∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x2 + ∆y2 + ∆z2) (1.1)
Z histórie:James Clark Maxwell zo svojej teórie elektromagnetického poľa zis-til, že elektrické a magnetické silové pôsobenie sa v priestore šíri koneč-nou rýchlosťou, ktorá je rovná rýchlosti svetla. Usúdil z toho, že svetloje vlastne elektromagnetické vlnenie. Z rovníc sa však nedalo vyčítať,že voči čomu sa vzťahuje táto rýchlosť.Vznikol predpoklad, že elektromagnetické vlnenie (svetlo) má svoj nosič,svoje prostredie, ktoré nazvali éterom. Nakoľko vidíme aj veľmi vzdia-lené hviezdy, vesmír (absolútny priestor) musí byť vyplnený éterom.Svetlo šíriace sa v éteri si predstavovali ako zvukovú vlnu šíriacu sa vovzduchu. Domnievali sa, že existencia éteru by sa dala potvrdiť expe-rimentom. Zem sa v priestore (a tým aj v éteri) pohybuje rýchlosťoupribližne 30 km/s. Svetlo vyžiarené v smere pohybu Zeme by sa ma-lo pohybovať rýchlosťou 300 030 km/s a v protismere len 299 970 km/s.Tento rozdiel by mali namerať, ak je predstava éteru správna.
Morley a Michelson v roku 1887 sa tento rozdiel pokúsili zmerať,
ale spomínaný efekt unášania svetla éterom sa v experimente neobja-
vil. Neobjavil sa ani v neskorších, podstatne citlivejších experimentoch.
Tak, ako klesala nádej preukázať existenciu éteru, tak naberalo na zá-
važnosti Einsteinovo tvrdenie, že v prírode existuje maximálna rýchlosť
a tá je jediná, je rovná rýchlosti svetla vo vákuu. Nakoniec fyzici museli
uznať, že pre svetlo a elektromagnetické vlnenie neplatí klasické sčí-
tanie rýchlostí. Albert Einstein v roku 1905 publikoval prácu, v
ktorej vysvetlil ako sa priestor spája s časom a dokázal vysvetliť výsled-
ky spomínaných experimentov. Táto práca bola základom špeciálnej
teórie relativity a novodobého pohľadu na náš svet.
4 1. Kapitola
Znamená to, že ak je vzdialenosť2 medzi dvomi dejmi pre nejakéhopozorovateľa ∆x (a časový odstup medzi nimi je ∆t), pre iného po-zorovateľa je vzdialenosť odlišná ∆x′ (a je odlišný aj časový odstup∆t′). Tieto veličiny sa nezachovávajú, zachováva sa však hodnotaspomínaného invariantného intervalu ∆s, pre ktorý teda platí
(∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x)2 = (c∆t′)2 − (∆x′)2 = const. (1.2)
1.2 Geometrické znázornenie
Geometrické znázornenie dvoch sústav spojených s rôznymi pozorova-teľmi je možné v tzv. Loedelových diagramoch. Po dôvtipnej úprave
Loedelove diagramy vyššie uvedeného vzťahu (1.2) dostávame dve pravouhlé súradnicové
a
a
ct'ct
x'
x
Obrázok 1.2: Loedelov diagram.
sústavy(c∆t)2 + (∆x′)2 = (c∆t′)2 + (∆x)2 (1.3)
navzájom pootočené o uhol α. Tento vzťah platí pre každú dvojicuudalostí pozorovaných z dvoch inerciálnych sústav K a K′.
Bez ujmy na všeobecnosti môžeme písanie ∆ vypustiť
(ct)2 + x′2 = (ct′)2 + x2 (1.4)
a tak dostávame dvojicu sústav, kde os ct ⊥ x′ a ct′ ⊥ x pripomínajednu pravouhlú súradnicovú sústavu pootočenú voči druhej o uhol α(obr.:1.2). Ak hovoríme o osi ct, máme tým na mysli to, že na tútoos sa nevynáša čas, ale čas násobený rýchlosťou svetla (vzdialenosť,ktorú svetlo preletí za daný čas).
Obrázok 1.3: Zobrazenie v Loede-lových diagramoch.
Predstavme si nehybný svie-tiaci bod A v nečiarkovanej sús-tave K. Jeho vzdialenosť prepozorovateľa v bode O v sús-tave K sa nemení, ale čas plynie,čo znamená, že pozorovateľ saposúva po osi ct a súčasne ajsvietiaci bod A sa posúva popriamke rovnobežnej3 s časovouosou ct (obr.:1.3).
Príslušné priamky nazývamesvetočiarami. V tomto prípade svetočiarou pozorovateľa a svetočiarousvetelného bodu.
2Pre jednoduchosť budeme uvažovať len o jednej priestorovej súradnici, čo vskutočnosti nie je pri rovnomernom priamočiarom pohybe obmedzením. Smertakého pohybu sa vždy dá stotožniť so smerom osi x.
3Pokiaľ by táto priamka nebola rovnobežná s osou ct, potom by sa vzdialenosťsvetelného bodu od pozorovateľa menila. To sa nedeje, veď obaja sú voči sebe vpokoji — sú v pokoji v rovnakej sústave.
1.3. KONTRAKCIA DĹŽKY 5
Zapamätaj si:V Loedelových diagramoch je svetočiara každého hmot-ného bodu (predmetu) spoločná pre obidve sústavy (Kaj K
′).
Tak isto všetky udalosti, ktoré pozorovateľ registruje ako súčasné v
ct'ct
x
a
ct1
ct1sina
O=O'
Obrázok 1.4: Význam uhla α.
sústave K musia ležať na priamke rovnobežnej s priamkou x (obr.:1.3).Pozrime sa teraz na fyzikálny význam uhla α (obr.:1.4).Máme dve sús-tavy K a K′, kde K′ sa pohybuje voči K rýchlosťou v v smere osi x.Začiatok súradnicovej sústavy K je bod O a sústavy K′ je bod O′.Nech v čase t = 0 (teda ct = 0) sú tieto body identické O = O′. Sve-točiara bodu O′ je v sústave K′ reprezentovaná priamkou ct′. Pozrimesa, ako vyzerá situácia v čase t1. Bod O′ sa od bodu O vzdialil navzdialenosť x1 = vt1 (obr.:1.4). Z pravouhlého trojuholníka vyplýva,že
x1 = ct1 sinα,
odkiaľ už dostávame vzťah pre uhol α.
Zapamätaj si:Význam uhla α v Loedelových diagramoch
sin α =v
c. (1.5) Význam uhla α
1.3 Kontrakcia dĺžky
x'
ct'ct
x
a
A Bl
l'a
Obrázok 1.5: Kontrakcia dĺžky.
Majme dva body A a B v ne-čiarkovanej sústave K, ktoré urču-jú dĺžku tyče l (vzájomnú vz-dialenosť koncových bodov tyče).
Obrázok 1.6: Auto v pokoji(hore) a pohybujúce sa rých-losťou blízkou rýchlosti svetla(dole).
Svetočiara bodu A je rovnobežnás osou ct, pretože bod A je vpokoji v nečiarkovanej sústa-ve. Zrovna tak aj svetočiarabodu B. Svetočiary bodov Aa B sú znázornené na obráz-ku 1.5.
Pre pozorovateľa v čiarkovanej sústave K′ je dĺžka tyče určenátiež vzdialenosťou bodov A a B (obr.:1.5), ale ich polohu musí po-zorovateľ sústavy K′ určiť súčasne. Poloha bodu A a B v sústave K′
je daná priesečníkom svetočiar bodu A a B s osou x′. Z pravouhléhotrojuholníka na obrázku vidieť, že
l′
l= cos α =
√
1 − sin2 α kde sin α =v
c(1.6)
6 1. Kapitola
Zapamätaj si:Kontrakcia dĺžky
l′ = l
√
1 −(v
c
)2
. (1.7)Kontrakcia dĺžky
1.4 Dilatácia času
Zoberme si lampu v pokoji v čiarkovanej sústave K′.
x'
ct'ct
x
a
1
2
ct1ct'1
a
Obrázok 1.7: Dilatácia času.
Nech táto lampa bliknedvakrát za sebou s časovým
Obrázok 1.8: Hodiny v pohy-bujúcej sa sústave sa voči námspomalujú
odstupom t′1 a označme tie-to záblesky 1 a 2 (obr.:1.7).Súradnice týchto signálov boliv sústave K pozorované s ča-sovým odstupom t1. Podob-ne, ako v prípade kontrakciedĺžky, dostávame zo vzniknu-tého pravouhlého trojuholní-ka
vzťahct′
1
ct1= cos α =
√
1 − sin2 α =
√
1 −(v
c
)2
. (1.8)
Vidíme, že deje v pohybujúcej sa sústave sa spomalia (obr.:1.8)
Zapamätaj si:Dilatácia času
t =t′
√
1 −(v
c
)2
. (1.9)Dilatácia času
1.5 Lorentzove transformácie
Odvodenie Lorentzových transformácií pomocou Loedelových diagra-mov nie je nič iné, ako hľadanie spôsobu vyjadrenia dvojice súrad-níc ct, x pomocou dvojice čiarkovaných súradníc ct′, x′ a naopak(obr.:1.9).
1.5. LORENTZOVE TRANSFORMÁCIE 7
x'
ct'ct
x
a
a
A
a
a
B
D
E C
ct0
ct0
x0
x0
x0'ct0'
O
Obrázok 1.9: Lorentzove transformá-cie.
Zoberme udalosť A , ktorámá v sústave K súradnice ct0, x0
a v sústave K′ súradnice ct′0, x′
0
ako ukazuje obrázok (obr.1.9).Ukázali sme si význam uhlaα. Tento uhol určuje vzájom-nú rýchlosť v pozorovateľov vzťa-hom
sin α =v
c.
Z (obr.1.9) vyplýva, že
∡BAD = α,
a pre veľkosť DB následne platí |DB| = x0 sin α. Potom pre veľkosťct0 dostávame
ct0 = |OD| + |DB| = ct′0 cos α + x0 sin α. (1.10)
Podobne uhol ∡EAC = α odkiaľ máme |EC| = ct0 sin α a následnepre x0 platí
x0 = |OE| + |EC| = x′
0 cos α + ct0 sinα. (1.11)
Vyjadrením čiarkovaných veličín z týchto rovníc dostávame Lorentz-ove transformácie
ct′0 =ct0 − x0 sinα
cos α, x′
0 =x0 − ct0 sin α
cos α.
Využitím toho, že
sin α =v
c, cos α =
√
1 −(v
c
)2
obdržíme
ct′0 =ct0 − v
cx0
√
1 −(
vc
)2
, x′
0 =x0 − vt0
√
1 −(
vc
)2
, (1.12)
kde sin α = vc.
Zapamätaj si:Lorentzove transformácie
t′ =t − v
c2x
√
1 − (vc)2
y′ = y
x′ =x − vt
√
1 − (vc)2
z′ = z. (1.13)
Keďže sa jedná len o pohyb v smere osi x, tak súradnice y a z sanetransformujú. Ku zmene súradníc dochádza vždy len v smerepohybu.
Lorentzove transformácie
8 1. Kapitola
1.6 Základy špeciálnej teórie relativity
Základy špeciálnej teórie re-lativity
Albert Einstein vybudoval teóriu relativity na dvoch postulátoch,ktoré sme si už v úvode naznačili. Sú to princíp relativity a princípkonštantnej rýchlosti svetla.
Loedelove diagramy sú postavené nemennosti hodnoty invariant-ného intervalu ∆s pre všetkých pozorovateľov. Nezávislosť hodno-ty invariantného intervalu a Einsteinove postuláty sú ekvivalentné.Ukážeme, že v Loedelových diagramoch sú Einsteinove postuláty sku-točne prítomné.
1.6.1 Princíp relativity
Princíp relativity je vlastne rozšírením Galileovho princípu relativityv mechanike na všetky fyzikálne zákony. Majme dvoch pozorovateľov
Princíp relativity v pokoji v dvoch rôznych inerciálnych sústavách, ktoré sa vzhľadomna seba pohybujú rovnomerne priamočiaro v smere osi x.
A'A
B'
x
ct
x'
ct'
B
O=O´
Obrázok 1.10: Princíp relativi-ty
Pozorovateľ v jednej sústave vní-ma, že pozorovateľ v druhej sústavesa pohybuje rýchlosťou v. Avšak
Obrázok 1.11: Hmyz vo flašinevie, či sa pohybuje vo flašina bycikli alebo je v pokoji nastole, ak sa bycikel bude pohybo-vať rovnomerne priamočiaro.
pre druhého pozorovateľa sa pohy-buje prvý pozorovateľ. Rovnakourýchlosťou, ale opačným smerom. Prin-cíp relativity hovorí, že je relatívne,ktorý z pozorovateľov je v pokoji, aktorý v pohybe, pre obidvoch platiarovnaké fyzikálne zákony. To zna-mená, že všetky inerciálne sústavysú rovnocenné. Pozrime sa, ako prí-pad ich vzájomného pohybu (s rých-losťou v) vyzerá v Loedelových diagramoch. Nech sa pozorovateliav čase t = 0 nachádzajú v začiatku súradnicovej sústavy O = O′
(obr.:1.10). Z prvého diagramu vidíme, že pre pozorovateľa v nečiar-kovanej sústave sa za čas t1 pozorovateľ v čiarkovanej sústave vzdialildo vzdialenosti AA′. Pre pozorovateľa v čiarkovanej sústave sa pohy-buje pozorovateľ v nečiarkovanej sústave opačným smerom a ten savzdialil za čas t′1 = t1 do vzdialenosti B′B. Z diagramu vyplýva, žeAA′ = B′B. To znamená, že tieto dve inerciálne sústavy sú si čo dovzájomného pohybu rovnocenné.
Zapamätaj si:Princíp relativity hovorí, že vo všetkých inerciálnych sús-tavách platia rovnaké fyzikálne zákony.
Či by sme už leteli lietadlom rovnomerne priamočiaro konštantnourýchlosťou alebo by sme stáli na štartovacej dráhe, nedokázali by sme
1.6. ZÁKLADY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY 9
rozhodnúť na základe žiadneho fyzikálneho triku4 o tom či letímealebo stojíme. Aby sme to zistili, musíme sa jednoducho pozrieť zokna.
1.6.2 Princíp konštantnej rýchlosti svetla
V úvode sme hovorili o konečnej rýchlosti svetla. Ak by sme si všakzobrali galaxiu — napr. Andromedu ktorá sa k nám blíži obrovskourýchlosťou —, akú má voči nám rýchlosť svetlo vyslané z tejto galaxiea akú voči galaxii? Albert Einstein prišiel s prekvapujúcou myšlienk-ou, ktorá je ako si myslíme správna. Rýchlosť svetla meraná voči námbude c, ale súčasne bude rovná c aj voči svojmu zdroju! Bude tedakonštantná, nezávislá od rýchlosti zdroja i pozorovateľa.5
Teraz sa pozrime na to, ako to vyzerá v Loedelových diagramoch.Hovorí, že svetlo má v každej inerciálnej sústave konštantnú a rovnakúrýchlosť.
Pre svetelný signál vo vákuu, ktorý prejde z bodu A do bodu Bmusí platiť, že invariantný interval6
(∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x)2 = 0, (1.14)
pretože vzdialenosť, ktorú prejde svetelný signál za čas ∆t je rovná Obrázok 1.12: Andromeda.c∆t. Z toho vyplýva, že ∆x = c∆t. Znázornime si to v Loedelovýchdiagramoch (obr.:1.13).
Obrázok 1.13: Rýchlosťsvetla v Loedelových diagra-moch.
Svetelný signál bude reprezentovanýpriamkou, ktorá je totožná s osou uh-la súradnicových osí7. Pre čiarkovanúsúradnicovú sústavu musí platiť to isté,pretože platí
(∆s′)2 = (∆s)2 = 0
a predchádzajúca úvaha sa dá zopako-vať aj pre čiarkované súradnice — Loe-delov diagram to ukazuje jasne.
Svetelný signál je teda osou súrad-nicových osí aj čiarkovaného pozorovateľa. Loedelove diagramy vernezobrazujú rovnocennosť pozorovateľov (čiarkovaného a nečiarkované-ho). Našli sme teda obraz svetelného signálu v Loedelových diagra-moch, ktorý je vyslaný v smere pohybujúceho sa pozorovateľa. Presvetelný signál vyslaný opačným smerom platia tie isté pravidlá.
4ktorý sa obmedzuje na vnútrajšok lietadla;5preto sa tento princíp trošku nevýstižne nazýva princípom konštantnej rých-
losti svetla;6Uvažujeme šírenie svetla len v smere osi x, o ostatných smeroch nebudeme
uvažovať.7Prečo? Pozrite si obrázok 1.13 a majte na mysli, že xB = ctB .
10 1. Kapitola
A
B
B'
x
ct'
x'
ct
Obrázok 1.14: Konštantná rýchlosť svetla.
Jeho rýchlosť musí byť konštantná v obidvoch sústavách. Keďžerovnica (1.14) je splnená aj pre prípad, keď c∆t = −∆x. Zobrazenímtejto rovnosti v Loedelových diagramoch dostávame, že svetočiara
signálu vyslaného „dopredu“ a svetočiara svetelného signálu vyslaného„dozadu“ sú na seba kolmé8 (obr.:1.14). Ukázali sme obraz (sve-
Obrázok 1.15: Či auto stojí(hore) alebo sa pohybuje (dole)neovplyvňuje rýchlosť svetla. Táje stále konštantná.
točiaru) svetelného signálu v Loedelových diagramoch. Tým sa stalazrejmou aj rovnocennosť inerciálnych sústav, lebo svetelný signál jev obidvoch sústavách len jeden (v jednom smere len jedna svetočiara).
Zapamätaj si:Svetelný signál má v každej inerciálnej sústave rovnakúrýchlosť, ktorá je vo vákuu rovná 299 800 km/sPrincíp konštantnej rýchlosti
svetla
8Kolmosť sa týka len svetočiar kreslených v Loedelovom diagrame.
1.6. ZÁKLADY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY 11
1
2
3
4
5
Obrázok 1.16: Pozorovaniedvojhviezdy podľa Ritzovej te-órie.
Pre učiteľov:Tu je na mieste povedať, že existujú aj teórie, ktoré tvrdia, že rýchlosťsvetla je závislá od rýchlosti zdroja. Jedným z najrozpracovanejších teóriije Ritzova teória, balistická teória alebo teória zdrojov, ktorá má stáleveľa priaznivcov. W. de Sitter spochybnil práve tieto teórie na príkladeobyčajnej dvojhviezdy — dvojice hviezd obiehajúcich spoločné ťažisko pokružnicovej dráhe. W. de Sitter uviedol, že ak platí Ritzova teória, tak jenemožné zosúladiť pozorovania s Keplerovými zákonmi.Predstavme si, že by platila Ritzova teória, podľa ktorej rýchlosť svetlazávisí od rýchlosti zdroja tak, že výsledná rýchlosť je rovná súčtu rýchlostisvetla a rýchlosti zdroja (klasické skladanie rýchlostí). Tu je na miesteotázka, aký obraz spomínanej dvojhviezdy by sme pozorovali z dostatočne
veľkej vzdialenosti? Rozoberme si podrobnejšie tento príklad. Pozerámesa na dvojhviezdu, ktorá obieha okolo ťažiska v rovine, ktorá zviera spozorovateľom uhol α.
a
Pre zjednodušenienechajme jednu ztýchto dvojhviezdvyhasnúť. (Týmto
sme sa však nedopustili ničoho zlého, pretože takéto dvojhviezdy reálneexistujú.) Podľa Einsteinovej teórie relativity by sme pozorovali jednuhviezdu, ktorá sa pohybuje po kružnicovej trajektórii. Podľa Ritzovejteórie by obraz závisel od uhlovej rýchlosti, polomeru jej trajektórie avzdialenosti dvojhviezdy od pozorovateľa. Ak by sme boli dostatočnevzdialený od takejto dvojhviezdy, pozorovali by sme znásobenie obrazuv určitom bode. V bode, keď sa k nám hviezda blíži (obr. 1) by smepozorovali
1 2
3 4
vznik ďalšieho obrazu hviezdy(obr. 2), ten by sa rozdvojil a je-den z nich by sa pohyboval pro-ti smere pohybu a druhý v smereskutočného pohybu hviezdy (obr.3). Po strete obrazu, ktorý sa po-
hybuje v protismere a pôvodneho obrazu hviezdy by zanikli obidve a po-zorovali by sme znova len jeden obraz hviezdy (obr. 4). Ten sa pohybujev smere pohybu hviezdy, až kým sa nedostane do bodu, kde sa znovaznásobí. Keďže predpokladáme, že každá desiata hviezda našej galaxie jedvojhviezda, takýto efekt by mohol byť pozorovateľný. Avšak, zatiaľ nieje známe, že by bol takýto efekt pozorovaný. Za posledných 100 rokovoverovania teórie relativity všetko napovedá, že teória relativity a druhýpostulát konštantnej rýchlosti svetla by mali byť správne.
1.6.3 Relatívnosť súčasnosti
Z druhého princípu konštantnej rýchlosti svetla vyplýva, že to čo sastane naraz v jednej sústave sa nestane naraz v druhej sústave.
12 1. Kapitola
Obrázok 1.17: Z pohľadu chlapcavo vlaku.
Vysvetlime si túto zvláštnuskutočnosť z pohľadu chlapca,ktorý sa nachádza v pohybujú-com sa vlaku a potom z pohľadudievčaťa stojacom na nástupišti.
Obrázok 1.18: Chlapec vo vlaku.
Pohľad chlapca. Chlapecvo vlaku stojí presne v strede va-góna. Nad chlapcovou hlavou za-svieti lampa S (obr.:1.17). Svetel-ný signál sa šíri v smere aj v pro-ti smere pohybu vlaku. Chlapec
registruje, že svetelný signál dopadne na začiatok 1′ a koniec 2′ vagónasúčasne, lebo ct′1 = ct′2 (obr.:1.18).
Pohľad dievčaťa. Pre dievča vonku, ktorá je v pokoji vzhľadomna trať, sa to udeje trocha inak (obr.:1.20). Pre ňu tieto udalosti(dopad svetla na prednú a zadnú stenu vagóna) nie sú súčasné.
Obrázok 1.19: Dievča na nástu-pišti.
Obrázok 1.20: Z pohľadu dievčaťana nástupišti.
Ona vidí, že svetlo dopadnenajprv na koniec vagóna a až ochvíľu neskôr na začiatok vagó-na: ct2 < ct1 (obr.:1.19). Oz-načme dĺžku vagóna z pohľadudievčaťa9 L, potom z Loedelov-ho diagramu na obrázku 1.19 vy-plýva, že
ct1 = |S1| = L + |Z1|
act2 = |S2| = L − |K2|,
kde|Z1| = ct1 sin α, |K2| = ct2 sin α
a sinα = vc. Jednoduchou úpravou dostávame čas dopadu na začiatok
a koniec vagóna.
t1 =L
c − va t2 =
L
c + v. (1.15)
Dopad signálu na konce vagóna je súčasný pre chlapca vo vagóne(ct′1 = ct′2), ale nie je súčasný pre dievča vonku (ct1 6= ct2).
Zapamätaj si:Z teórie relativity vyplýva, že čo pre jedného pozorovateľaje súčasné t1 = t2, nie je (nemusí byť) súčasné pre druhéhopozorovateľa t′1 6= t′2.
Relatívnosť súčasnosti
9Existuje kontrakcia dĺžky, tá ale teraz nie je pre naše pojednávanie dôležitá,predsa sme pre istotu zdôraznili, že hovoríme o dĺžke vagóna z pohľadu dievčaťa.
1.6. ZÁKLADY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY 13
1.6.4 Synchronizácia hodín
Synchronizácia hodínDoteraz sme často hovorili o súčasnosti. V dôsledku relatívnostisúčasnosti, je súčasnosť viazaná ku konkrétnej inerciálnej sústave (čoje súčasné v jednej sústave10, nemusí byť súčasné v inej).
Obmedzime sa teda na jednu inerciálnu vzťažnú sústavu. Pred-stavme si, že v každom bode priestoru máme hodiny. Hodiny sa vzá-jomne nepohybujú, sú v danej inerciálnej sústave v pokoji. Hodinyboli vyrobené rovnakým spôsobom a sú presné. Dva deje, ktoré saodohrajú ďaleko od seba sú súčasné, pokiaľ v okamihu, keď sa odohra-jú ukazujú hodiny na týchto miestach rovnaký čas.
Einstein bol veľmi opatrný pri budovaní teórie relativity, aby nes-taval teóriu na predpokladoch, ktoré by sa nedali realizovať. Navrholpreto procedúru, pomocou ktorej sa dajú nastaviť hodiny v inerciál-nej sústave požadovaným spôsobom, tj. aby ukazoval rovnaký čas presúčasné deje. Procedúru nazývame synchronizáciou.
Synchronizácia dvoch hodín (aby ukazovali rovnaký čas) je za-ložená na jednoduchej myšlienke. Jedny hodiny vyšlú údaj o tom, žekoľko ukazujú a druhé si nastavia tento čas plus dobu, ktorú trvalosignálu doletieť k nemu. Detailne vypadá synchronizácia dvoch hodínnasledovne:
1. Určí sa vzdialenosť medzi hodinami, alebo doba, ktorú trvásignálu preletieť od jedných hodín k druhým (∆r alebo ∆t).Einstein navrhol použiť svetlo. Jedny hodiny (A) vyšlú svetelnýsignál a druhé (B) odrazia signál zrkadlom. Prvé hodiny zme-rajú dobú, ktorá uplynula medzi vyslaním a návratom signálu.Signálu trvá cesta od jedného k druhému (od A k B) polovicutejto doby (∆t/2).
2. Doba letu signálu (∆t/2) sa oznámi hodinám B.
3. Hodiny A vyšlú časový údaj (tA).
4. Hodiny B prijmú časový údaj (tA) a svoje hodiny si nastaviana hodnotu tB , ktorá je opravená o dobu letu signálu tB =tA + ∆t/2.
Takto ukazujú hodiny A a B v tom istom okamihu rovnaký čas. Pro-cedúru možno urobiť so všetkými hodinami v sústave.
V skutočnosti je jedno, či použijeme svetlo, alebo iný spôsobprenosu signálu (poslíček, ktorý sa pohybuje s presne definovanourýchlosťou). Výsledok je vždy ten istý. To, že rýchlosť svetla je rov-naká v každej inerciálnej sústave nehrá úlohu.
Vďaka synchronizácii hodín viete, že v tomto okamihu ukazujúna opačnom konci galaxie hodiny (vo vašej inerciálnej sústave) presne
10Pokiaľ nepovieme iné, sústavou budeme rozumieť vždy inerciálnu vzťažnúsústavu
14 1. Kapitola
taký istý čas, ako vaše hodiny. Ukazujú rovnaký čas napriek tomu, žemedzi nimi nie je kauzálny (príčinný) vzťah11.
t
x
x'
t'
Obrázok 1.21: V každom bodečasopriestoru sú hodiny a ukazu-jú čas príslušnej sústavy.
Dôležité! Povedali sme, že všetky hodiny ukazujú v tom istomokamihu ten istý čas. Takúto synchronizáciu môžeme urobiť pre každúinerciálnu sústavu ale pozor, inerciálne sústavy sa už synchronizovaťmedzi sebou nedajú. Túto skutočnosť ukazuje Loedelov diagram do-plnený hodinami (červené ukazujú čas v červenej inerciálnej sústavea modré v modrej inerciálnej sústave). Pozrite si poriadne obrázokuvidíte relatívnosť súčasnosti i dilatáciu času.
Napriek tomuto zdanlivo chaotickému stavu sa v Loedelových dia-gramoch znázorňuje pohyb predmetu jedinou svetočiarou. Pomocouzosynchronizovaných hodín sa dá rekonštruovať kde a kedy sa pred-met nachádzal. Pospájaním týchto bodov vzniká svetočiara. Dvesústavy majú odlišnú synchronizáciu hodín, ale svetočiara je jediná.Červeným a modrým pozorovateľom zostrojená svetočiara predmetubude tá istá. Vyjadruje to myšlienku Einsteina, že časopriestor jeabsolútny, len čas a priestor sú relatívne (každý pozorovateľ vnímainak, má inú synchronizáciu hodín).
Obrázok 1.22: Súčasnosť v čer-venej a modrej sústave.
Dilatácia času, kontrakcia dĺžky a relativitasúčasnosti vytvárajú vzájomne prepojenú trojicu.Zvláštny stav je dôsledkom existencie konečnejmaximálnej rýchlosti. Odráža sa to aj vo zvlášt-nom výsledku synchronizácie hodín dvoch vzá-jomne sa pohybujúcich sústav (pozri ešte raz ob-rázok 1.23). Ničmenej synchronizácia hodín je lennástrojom na vyjadrenie súčasnosti. Túto zvlášt-nu vlastnosť, ktorú vyjadruje obrázok 1.23, má
samotný časopriestor. Synchronizácia hodín na tom nič nemení, lenju verne popisuje.
1.6.5 Relativistické sčítanie rýchlostí
Z princípu relativity a konštantnej rýchlosti svetla vyplýva, že v sku-točnosti sa rýchlosti nebudú skladať tak, ako to poznáme z našejkaždodennej skúsenosti. Aj keď pri našich malých rýchlostiach je tonepatrný rozdiel, ale predsalen tu rozdiel je. Zoberme si napríkladstrieľajúci tank.
Ak sa tank pohybuje rýchlosťou v a vystrelí strelu v smere pohy-bu rýchlosťou v′, pre výslednú rýchlosť strely nebude platiť klasické
11keby sa totiž hodiny na opačnej strane galaxie pokazili práve v tomto okamihu,tak sa o tom nedozviete skôr, než sem signál dorazí. Najrýchlejší signál je svetelnýa trvalo by mu to cca. 80 000 rokov – opačná strana Mliečnej dráhy je od náspribližne vo vzdialenosti 80 000 ly (ly je označenie pre svetelný rok, vzdialenosť,ktorú svetlo preletí za jeden rok.)
1.6. ZÁKLADY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY 15
a
x
t
x′
t′
O ≡ O′
Obrázok 1.23: Loedelov diagram dvoch vzájomne sa pohybujúcich in-erciálnych sústav (červená - nečiarkovaná a modrá - čiarkovaná). Ten-to Loedelov diagram zodpovedá rýchlosti 180 000 km/s (3
5c). Nájdite
deje, ktoré sa v červenej sústave odohrajú o 12:00. O koľkej sa odohrá-vajú tieto deje v modrej sústave?
sčítanie rýchlosti u = v + v′. Toto tvrdenie je zvláštne a ťažko pred-staviteľné, ale je skutočne správne. Rýchlosť, akou sa strela budepohybovať je daná Einsteinovým vzorcom pre skladanie rýchlostí
u =v + v′
1 +v.v′
c2
. (1.16)
Ukážeme si to pomocou Loedelových diagramov.Nečiarkovaná sústava nech je povrch Zeme, po ktorej sa pohybuje
tank rýchlosťou v. Čiarkovaná sústava je tank a v tejto sústave jevystrelená strela rýchlosťou v′ v smere pohybu tanku. Rýchlosť strelyvoči čiarkovanej sústave je daná vzťahom v′ = x′
t′. Rýchlosť strely
voči nečiarkovanej sústave je potom u = xt. Z Loedelovho diagramu
16 1. Kapitola
vyplýva, že
x =x′ + ct′ sin α
cos α,
ct =ct′ + x′ sin α
cos α.
Potom pre rýchlosť strely dostávame
u =x
t=
x′ + ct′ sin α
t′ + x′
csin α
. (1.17)
Ak výjmeme s čitateľa aj z menovateľa t′ dostávame
u =t′(x′
t′+ c sin α)
t′(1 + x′
ct′sin α)
=v′ + v
1 + v.v′
c2
, (1.18)
kde sme znova využili toho, že sinα = vc.
ct
x
ct'
x'a
a
a
a
ct
x
ct'
x'
ct'sina
x'sina
Svetoèiara strely
Obrázok 1.24: Relativistické skladanierýchlosti.
Aj keď v našom každodennom živote je takéto sčítane viac menejzbytočné, dáva nám však presnejší obraz o našom svete, ktorého smesúčasťou.
Zapamätaj si:Einsteinov vzťah pre skladanie rýchlosti
u =v + v′
1 + v.v′
c2
. (1.19)Relativistické sčítanie rých-losti
1.7 Paradoxy
Paradoxy Paradoxom nazývame také deje, ktoré sa nám zdajú byť v protikla-de s našimi skúsenosťami zo života. Práve také zvláštnosti ako jekontrakcia dĺžky, dilatácia času alebo relatívnosť súčasnosti je zdro-jom paradoxov v teórii relativity, ako sa môžeme presvedčiť napr. vprípade paradoxu auta a garáže, paradoxu dvojčiat, atď.
1.7.1 Paradox auta a garáže
Paradox auta a garáže Majme auto, ktoré je príliš dlhé na to, aby sa normálne (tj. v pokoji)zmestilo do garáže, ktorá je tiež v pokoji. Pokiaľ sa auto bude pohy-bovať dosť rýchlo, špeciálna teória relativity ukazuje, že auto sa môžezmestiť do garáže na určitý časový interval ∆t.
Pozrime sa na túto situáciu pomocou Loedelových diagramov (ob-rázok 1.25), kde sme znázornili svetočiary rozhodujúcich častí autaa garáže. Rozmery sa určujú pomocou meraní polohy vykonanýchsúčasne. Súčasnosť v každej sústave je predstavená vždy priamkou,
1.7. PARADOXY 17
BA
l'
ct'
xa
x'
ct
l'
BA1
2Dt
3
Obrázok 1.25: Pohľad pozorovateľa stojaceho v garáži.
ktorá je rovnobežná s priestorovou osou tejto sústavy (v nečiarkovanejos x, v čiarkovanej os x′). Auto má v pokoji dĺžku l′. Vnútorný rozmergaráže, tj. vzdialenosť medzi vchodovými dverami A a východovýmidverami B, ktoré sú oproti, je lg. Podľa zadania paradoxu je autov pokoji väčšie ako garáž, tj. l′ > lg. Auto sa pohybuje dostatočnerýchlo, čo v reči Loedelových diagramov znamená, že uhol α je dosta-točne veľký. Na obrázku 1.25 sú naznačené svetočiary koncovýchbodov auta dĺžky l′ a garáže, ktorá má v pokoji dĺžku lg. Svetočiaryprechádzajúce bodmi A a B predstavujú vchodové a východové dveregaráže. Z pohľadu pozorovateľa stojaceho v garáži vidno (obr.:1.25),že pohybujúce sa auto môže byť v garáži celé, aj keď auto v pokoji jeočividne dlhšie ako dĺžka garáže. Na začiatku vstupné dvere (A) súotvorené a výstupné (B) zatvorené.
Bod 1 znamená, že auto vchádza do garáže. Bod 2 znamená, žekoniec auta práve vošiel do garáže. Inými slovami auto sa nachádzacelé v garáži a vchodové dvere môžeme zavrieť. Bod 3 znamená, žepredná časť auta je na úrovni východu z garáže. Východové dveregaráže musíme otvoriť, ak nechceme, aby do nich auto narazilo. Zpohľadu pozorovateľa v garáži, sa vchodové dvere garáže zavreli o∆t skôr, než sa otvorili východové dvere. Auto po túto dobu bolozavreté v garáži napriek tomu, že jeho pokojová dĺžka l′ je väčšia, nežrozmer garáže (lg). Je to spôsobené tým, že auto sa pohybuje vočipozorovateľovi (a garáži) s dostatočne veľkou rýchlosťou. Kontrakcia
18 1. Kapitola
ct'
x
a
x'
ct
l'
BA
2 3
Dt'
1
Obrázok 1.26: Situácia z pohľadu šoféra.
dĺžky spôsobuje, že v sústave garáže je pohybujúce sa auto skutočnekratšie ako garáž.
S pohľadu šoféra to však bude úplne iná situácia (obr.:1.26). Šoférsediaci v aute je pozorovateľom v čiarkovanej sústave. Udalosť 3 saodohráva pred udalosťou 2 o ∆t′ skôr. Šofér (čiarkovaná sústava)v bode 3 bude v situácii, keď predná časť auta dorazila k výstup-ným dverám (B). Udalosť 3 predstavuje, ako sme už povedali vyššie,že výstupné dvere B sa otvoria. Šofér teda uvidí ako sa pred nímotvárajú východové dvere garáže, pričom zadná časť auta ešte dogaráže nevošla. Auto sa postupne presunie cez garáž a v okamihu,keď zadná časť auta sa dostane na úroveň vstupných dverí (A), tie sazavrú (bod 2). V tomto okamihu je však už predná časť auta vonkuz garáže.
Ďalej. Šofér nezažil situáciu, že by boli obidve dvere (A aj B)zavreté súčasne. Nedošlo však ani k poškodeniu auta. Pre pozorova-teľa v garáži boli dvere po dobu ∆t zavreté, ale nikdy neboli otvorenésúčasne.
V sústave vodiča sediaceho v rýchlom aute sa to teda odohraloinak. Garážové dvere nikdy neboli súčasne zavreté, ale po dobu ∆t′
boli oboje otvorené.Loedelove diagramy ukazujú, že odpoveďou na zdroj paradoxu je
relativita súčasnosti. Takéto efekty vyžadujú mimoriadne rýchlosti.V našich diagramoch sme ilustrovala rýchlosť 0,866c (α = 60◦), abyefekty boli dostatočne zreteľné.
1.7.2 Paradox dvojčiat
Paradox dvojčiat Ak sa dvaja voči sebe pohybujú, tak každý vidí pomalší chod hodíntoho druhého. Nejedná sa len o chod hodín, ale aj o pomalšie plynutie
1.7. PARADOXY 19
fyzikálnych a biologických procesov. Ak sa voči mne niekto pohybuje,tak vidím, že pomalšie starne. Paradoxné je to, že on má vidieť toisté o mne, tj. že starnem pomalšie než on.
Zoberme si dvojčatá, z ktorých jedno sa stalo kozmonautom. Od-chádza na misiu pozrieť sa na novo objavenú planétu Z v blízkostidvojhviezdy Sírius A a B. Planéta je od Zeme vzdialená 17,32 svetel-ných rokov12 a je voči nej prakticky v pokoji. Raketa poletí rýchlosťou0, 866c a cesta potrvá 20 rokov
tZem =17, 32 ly0, 866c
= 20 rokov.
Kozmonaut počas cesty k planéte zostarne v dôsledku dilatácie časulen o 5 rokov
tZem =t′kozmonaut
√
1 −(v
c
)2
=10
√
1 − 0, 8662≈ 10√
1 − 0, 75=
10
0, 5= 20 rokov
Cestu naspäť absolvuje rovnakou rýchlosťou. Brat, ktorý zostalna Zemi pri tom zostárol o ďalších 20 rokov, ale kozmonaut znova leno 10 rokov. Až sa stretnú na kozmodróme, bude medzi nimi vekovýrozdiel 20 rokov.
Pre niekoho, kto uvažuje len o dilatácii času a kontrakcii dĺžky, sajedná o paradoxnú situáciu. Z pohľadu kozmonauta sa totiž pohybujevoči nemu jeho brat na Zemi (a samozrejme aj Zem), preto starnepomalšie jeho brat na Zemi.
Z pohľadu kozmonauta sa pohybuje voči nemu Zem a planéta Zrýchlosťou 0, 866c, preto vzdialenosť medzi týmito planétami bude len(kontrakcia dĺžky)
l′kozmonaut = lZem-Z
√
1 −(v
c
)2
≈ 17, 32·0, 5 = 8, 66 ly.
Kozmonaut teda dospieva k názoru, že skutočne zostarne počas cestyo 10 rokov. V dôsledku pohybu Zeme (a jeho brata na nej) vočikozmickej lodi rýchlosťou 0, 866c však čas na Zemi plynie dvakrát takpomaly. Počas 10 ročnej cesty uplynie na Zemi len 5 rokov.
Pri ceste k planéte Z i späť je táto situácia rovnaká. Až sa stretnúna kozmodróme, jeho brat na Zemi by mal byť mladší od kozmonautao 10 rokov. To je skutočne paradoxná situácia. Alebo nie? Ako tovlastne je.
Riešenie paradoxu dvojčiatSvoju zásadnú úlohu tu hrá znova relatívnosť súčasnosti. Pozrimesi Loedelov diagram cesty kozmonauta na planétu Z (obrázok 1.27).
12Svetelný rok, označovaný v astronómii ako ly, je vzdialenosť, ktorú svetlopreletí za jeden rok.
20 1. Kapitola
2400jan.1
2400jan.1
2410jan.1
2405jan.1
2405jan.1
2410jan.1
2420jan.1
2410jan.1
2420jan.1
2410jan.1
2415jan.1
x'
x'
t't
Bratia sa lúèiana Zemi.
Kozmonaut dorazilna planétu Z.
Brat musel dorazi�na planétu Z.
svetoèiara Zeme
svetoèiarakozmonauta
Obrázok 1.27: 1-ho januára 2400 vyráža kozmonaut na planétu Z,zanechávajúc za sebou na Zemi svoje dvojča. Vzdialenosť medzi Ze-mou a planétou Z je 17, 32 ly. Kozmická loď s kozmonautom letírýchlosťou 0, 866c. Hrubé čiary znázorňujú svetočiaru dvojčiat – koz-monautova je modrá(ct′), dvojčaťa na Zemi červená (ct). Trhaciekalendáre ukazujú dátum v určitých okamihoch.
Vysvetlenie paradoxu umiestníme do ďalekej budúcnosti. Príbehzačína 1-ho januára 2400, keď sa dvojčatá rozlúčia na Zemi a koz-monaut sa vydá na cestu. Každý z nich má svoj vlastný trhacíkalendár (na obrázku 1.27 rozlíšený farebne). Vodorovné červené čiarys priestorovou osou x znázorňujú súčasnosť dvojčaťa na Zemi (a tiežna planéte Z, ktorá je v tej istej inerciálnej sústave). Šikmé mod-ré čiary rovnobežné s priestorovou osou x′ znázorňujú súčasnosť zpohľadu kozmonauta za letu. V okamihu, keď kozmonaut doletí kplanéte Z, jeho trhací kalendár ukazuje dátum 1. január 2410 a z jehopohľadu je na Zemi 1-ho januára 2405.
Na planéte Z však ukazuje kalendár dátum 1. január 2420, o čomsa môže presvedčiť, keď z kozmickej lode vystúpi.
Nie je to protirečenie. Je to relatívnosť súčasnosti. Udalosť, žedorazil na planétu Z porovnávame s dvomi rôznymi udalosťami, lebo vdôsledku relatívnosti súčasnosti súčasnosť závisí od výberu inerciálnejsústavy (kozmická loď, alebo planéta Z). V prvom prípade je príchod kplanéte Z súčasná s udalosťou trhania kalendára na Zemi 1-ho januára2405, v druhom prípade je súčasná s trhaním kalendára na Zemi 1-hojanuára 2420.
Kozmonaut vystúpi na planétu a vidí, že je rok 2420. Je to podob-né tomu, keď cestujete lietadlom z Bratislavy do Austrálie. Celú dobusa riadíte vlastnými hodinkami a máte aj svoj vlastný biologický ryt-mus. Keď dorazíte do Austrálie zistíte, že vaše hodiny ukazujú o
1.7. PARADOXY 21
10 hodín menej, než aký je čas doma.13 Kozmonaut to berie na ve-domie. Jeho dvojča na Zemi v tomto okamihu pozerá na rovnaký listkalendára, ako on na planéte Z. Synchronizácia času verne zrkadľujetok času v tejto inerciálnej sústave. Keď na planéte Z je rok 2420, je vtom okamihu toľko aj na Zemi. Kozmonaut musel doladiť svoju pred-stavu o tom, že čo ukazuje bratov kalendár na Zemi, lebo prestúpil zjednej inerciálnej sústavy do druhej (z kozmickej lodi na planétu Z).Musel pripočítať 15 rokov (2405 + 15 = 2420)
2410jan.1
2420jan.1
2415jan.1
2430jan.1
2420jan.1
2440jan.1
2425jan.1
2440jan.1
2430jan.1
x
x''
t''t
2420jan.1
2410jan.1
2435jan.1
Brat musí dnesvyrazi� naspä.
Kozmonautvyrá�a naspä�
Bratia sa znovastrétávajú na Zemi
svetoèiara Zeme
svetoèiarakozmonauta
Obrázok 1.28: Pri ceste späť na Zem je inerciálna sústava kozmic-kej lode iná, než pri ceste zo Zeme. Stále ju ukazujeme ako modrúsústavu, ale s dvomi čiarkami. Kozmonaut nastúpi na kozmickú loď(ktorá to smeruje k Zemi rýchlosťou 0, 866c). V tomto okamihu preneho prestane byť súčasné to, čo je súčasné pre planéťanov. Preplanéťanov je súčasnosť na Zemi 1. január 2420, pre kozmonauta 1.január 2435.
Pri ceste naspäť sa deje to isté. Keď nastúpi na kozmickú loď, takvidí, že kalendár na planéte ukazuje 1. január 2420. Pre planéťanov jesúčasne aj na Zemi rok 2420. Pre kozmonauta už ale nie. Pre neho jesúčasné už niečo iné. Je to rok 2435 (znova musí pripočítať 15 rokov,teraz na začiatku cesty; 2420 + 15 = 2435). Počas cesty jeho dvojčana Zemi zostarne o ďalších 5 rokov, takže až sa stretnú, bude mať nakalendári dátum 1. január 2440.
22 1. Kapitola
1
1′
2
2′
H
h
x
t
x′
t′
r1 r2
r′1
r′2
α
α
Obrázok 1.29: Loedelov diagram
1.7.3 Relativistická hmotnosť a hybnosť
RelativistickV klasickej fyzike poznáme pojem hmotný stred alebo ťažisko. Prejednoduchosť sa obmedzíme na prípad dvoch hmotných bodov na-chádzajúcich sa na jednej priamke, ktorých hmotnosti sú m1 a m2.Nech priamka, na ktorej sa nachádzajú, je os x.14
Hmotný stred je bod definovaný tak, že platí
m1r1 = m2r2, (1.20)
kde od hmotného stredu H je bod 1 vzdialený na vzdialenosť r1, kýmbod dva 2 na vzdialenosť r2. Hmotný stred H sa nachádza medzihmotnými bodmi 1 a 2.
Táto definícia platí aj vtedy, keď hmotné body 1 a 2 sa pohybujú(v našom prípade len pozdĺž osi x). Vyžaduje to samozrejme, abyvzdialenosti r1 a r2 sa merali súčasne.
V relativistickej mechanike to má ďalekosiahle dôsledky.Musíme si najprv uvedomiť, že sme stále v inerciálnej sústave a
pokiaľ na hmotné body nepôsobia žiadne sily, tak sa pohybujú rovno-merne a priamočiaro, alebo zostávajú v pokoji (to platí aj v špeciálnejteórii relativity). Rovnomerne a priamočiaro sa bude pohybovať ajhmotný stred tejto sústavy. Svetočiary hmotných bodov 1 a 2, akoaj hmotného stredu bude v Loedelovych diagramoch priamka.
Uvažujme o dvojici hmotných bodov, ktoré sa vzájomne pohybujúrýchlosťou v – predpokladajme napríklad, že sa od seba vzďaľujú.
13Samozrejme ani toto prirovnanie nie je presné, ale dobre demonštruje sku-točnosť, čo urobí kozmonaut.
14Tento predpoklad skutočne nijakým spôsobom neobmedzuje všeobecnú plat-nosť toho, čo si v nasledujúcom povieme.
1.7. PARADOXY 23
Z Loedelovho diagramu na obrzáku 1.30 vidíme, že vďaka relatívnos-ti súčasnosti je v nečiarkovanej (červenej) a v čiarkovanej sústavepomer vzdialenosti hmotných bodov 1 a 2 od hmotného stredu v in-om pomere
r1
r2
6= r′1
r′2
.
V nečiarkovanej sústave je hmotný bod v pokoji, kým hmotný bod sapohybuje rýchlosťou v. V čiarkovanej je tomu naopak.
Z toho, že pomer vzdialeností od hmotného bodu H sa nerovná(pričom podľa definície sa musí) vyplýva, že hmotnosti závisia odrýchlosti.
Vyjadríme to nasledujúcim označením
m1 = m1(0), m′
1 = m1(v)
m′
2 = m2(0), m2 = m2(v)
Vyjdime teraz znova z definície hmotného stredu, podľa ktoréhomusí platiť (podľa princípu relativity v každej inerciálnej sústave)
m1r1 = m2r2 a m′
1r′
1 = m′
2r′
2,
V našom novom označení
m1(0)r1 = m2(v)r2 a m1(v)r′1 = m2(0)r′
2,
alebo čo je to isté
m1(0)r1
m2(v)r2
= 1 =m1(v)r′
1
m2(0)r′
2
(1.21)
Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov △ 1H1′ a △ 2′H2 však vy-plýva, že
r′1
r1
=r2
r′2
= cos α.
Usporiadajme teraz veličiny v rovnosti (1.21) tak, aby sme hmotnostimali na ľavej strane a vzdialenosti na pravej. Dostaneme
m1(v)
m1(0)
m2(v)
m2(0)=
r1
r′1
r′2
r2
=1
cos2 α=
1
1 − v2
c2
Hmotnosť m(v) telesa pohybujúceho sa rýchlosťou v je zrejme úmernájej hmotnosti m(0) v pokoji, teda musí platiť všeobecne
m(v) = m(0)f(v),
kde f(v) je nejaká funkcia, ktorá od pokojovej hmotnosti telies nezávisí,je rovnaká pre každé teleso. Potom
m1(v)
m1(0)
m2(v)
m2(0)= f2(v) =
1
1 − v2
c2
,
24 1. Kapitola
m1(0)
m1(v)
m2(v)
m2(0)
H
h
x
t
t = t1x′
t′
t′ = t′2
~r1 = ~v1t1 ~r2 = ~v2t2~r′1
= ~v′1t′1
~r′2
= ~v′2t′2
α
α
Obrázok 1.30: Hmotné body 1 a 2 boli v okamihu t = t′ = 0. vzačiatku sústavy. V nečiarkovanej sústave sa vzdialia do pozície, akoukazuje obrázok sa čas t = t1. V čiarkovanej sústave zase za čast′ = t′
2. Z definície hmotného stredu a hybnosti je zrejmé, že v každej
sústave je súčet hybností vzhľadom na hmotný stred nulový.
čím sme obdržali jednu z významných predpovedí špeciálnej teórierelativity.
Zapamätaj si:Hmotnosť telesa závisí od rýchlosti
m =m0
√
1 − v2
c2
, (1.22)
kde m0 je hmotnosť telesa v pokoji a m hmotnosť telesa, ktoré sapohybuje rýchlosťou v. Hmotnosť m sa nazýva tiež relativistická
hmotnosť. Tento vzťah platí aj vtedy, pokiaľ pohyb hmotnéhobodu nie je priamočiary, alebo nie je rovnomerný.
Hybnosť je úzko spojená s hmotným stredom. Súčet hybnostíhmotných bodov je voči hmotnému stredu nulový. Hybnosť ~p je vek-torová veličina. V špeciálnej teórii relativity je definovaná ako
Hybnosť
~p = m~v,
kde m je relativistická hmotnosť, teda rastie rýchlosťou. Z Loedelovhodiagramu na obrázku vidieť, že skutočne je súčet hybností vzhľadom
1.7. PARADOXY 25
na hmotný stred H nulový, lebo
m1~r1 = m1~v1t1 = ~p1t1,
m2~r2 = m2~v2t1 = ~p2t1,
z čoho dostaneme
~p1t1 + ~p2t1 = 0 teda ~p1 + ~p2 = 0.
Obdobne to platí aj pre čiarkované veličiny. (Nezabudnime, že vectory~r1 a ~r2 sú vzájomne opačne orientované. Vo vektorovom zápise zniedefinícia hmotného stredu m1~r1 + m2~r2 = 0.)
Pohybový zákonNewtonov pohybový zákon, ktorý v klasickej fyzike môžeme písaťdvomi rovnocennými formami ako
~F = m~a alebo ~F =d~p
dt.
V špeciálnej teórii relativity je správna tá forma, ktorú uvádzal pôvodneaj Newton (impulzová veta)
~F =d~p
dt. (1.23)
Zoberme ako príklad rovnomerný pohyb hmotnéhobodu po kružnici.Odstredivá silaV tomto prípade je veľkosť v rýchlosti ~v konštanta a preto je kon-
štantná aj hmotnosť hmotného bodu pohybujúceho sa po kružnicirýchlosťou v. Odstredivá sila je
~Fod =d~p
dt=
d(
m(v))
~v
dt= m(v)
d~v
dt.
Veľkosť Fod odstredivej sily bude preto mať rovnaký tvar, ako v prí-pade klasickej fyziky
Fod = mv2
r,
kde r je polomer trajektórie kružnice, po ktorej sa hmotný bod po-hybuje. Jediný rozdiel je v tom, že v relativistickom prípade jem = m(v), tj. hmotnosť je relativistická hmotnosť.
1.7.4 Ekvivalencia energie a hmotnosti
E = mc2Einsteinov slávny vzorec pre ekvivalenciu energie a hmotnosti je
E = mc2,
kde E je energia (zmena energie) telesa hmotnosti m (o hmonosť m)a c = 3 ·108 m/s je rýchlosť svetla vo vákuu. Hovorí o Einsteinovejmimoriadnej intuícii. Einstein prehlásil, že tento vzorec platí úplne
Pohybová energiauniverzálne, pre všetky formy energie. Bolo to v dobe, keď jadrové
26 1. Kapitola
sily ešte neboli známe. Táto formula obstála zatiaľ v každej skúške,preto by sme jej význam mali vysvetliť dôkladne.
Pohybová energia je veľkosť práce, ktorú musíme telesu v pokojidodať, aby sme ho donútili pohybovať sa rýchlosťou v.
Pokiaľ teleso v pokoji má hmotnosť m0 = 1 kg, potom pri rých-losti 3 m/s bude mať relativistickú hmotnosť
m =1 kg
√
1 −(
3 m/s3·108 m/s
)2
=1√
1 − 10−16≈ (1 + 0, 5·10−16) kg.
(Tu sme využili približnú formulu 1/√
1 − x ≈ 1+ 1
2x, ktorá platí pre
x, ktorej hodnota je blízka nule – či už je kladná alebo záporná.)Hmotnosť telesa sa teda zvýšila o 0, 5 ·10−16 kg. Princíp ekviva-
lencie hmotnosti a energie hovorí, že hmotnosť telesa sa zvýšila preto,lebo má väčšiu energiu. Tento nárast energie ∆E sa rovná
∆E = 0, 5·10−16 kg·(3·108 m/s)2 = 4, 5 J.
Hmotnosť telesa sa zvýšila, lebo sme ho dostali do pohybu. Zvýšilasa aj jej energia (úmerne hmotnosti) a nakoľko je dôsledkom pohybu,nazývame ju pohybovou alebo kinetickou energiou. Tento výsledok jev úplnom súlade s klasickým výsledkom
Ekin =1
2m0v
2 = 0, 5·9 = 4, 5 J.
Dávajú oba spôsoby výpočtu výsledky, ktoré sa líšia len veľmi málo.Pre veľké rýchlostio však dáva správne výsledky prvý (relativistický)spôsob výpočtu — pomocou relativistického nárastu hmotnosti.
Ak ste zohriali 1 liter vody z 10◦C na 11◦C, dodali ste vode 4, 2 kJenergie. Podľa princípu ekvivalencie energie a hmotnosti ste zvýšilihmotnosť vody o
∆m =4, 2·103
(3·108)2= 4, 67·10−14 kg.
Nie je to len hra so slovami. Nehovoríme „dodaním energie ako by ste
zvýšili hmotnosť telesa“. Skutočnosť je taká, že dodaním energie saskutočne zvýši hmotnosť telesa. Vypočítané zvýšenie hmotnosti vody4, 67·10−14 kg zodpovedá hmotnosti 1, 56·1012 molekúl vody. Zohria-tím vody sa samozrejme nezvýšil počet molekúl vody (ten zostávanepozmenený). Zvýši sa hmotnosť jednotlivých molekúl vody, ktorésa pohybujú v dôsledku zvýšenej teplote rýchlejšie. V tomto prípadesme previedli teplotu na pohyb a jasne vidíme, že zvýšenie rýchlostiteploty vedie k zvýšeniu hmotnosti v dôsledku rýchlejšieho pohybumolekúl.
1.7. PARADOXY 27
β
Ekin = 1
2mv2
Ekin = mc2 − m0c2
Ekin
m0c2
Obrázok 1.31: Klasický spôsob výpočtu kinetickej energie podľavzťahu 1
2m0v
2 sa pre malé rýchlosti veľmi dobre zhoduje s relativi-stickým spôsobom výpočtu mc2 −m0c
2. Do rýchlosti 0, 4c rozdiel nieje nijak významný, ako to vidieť aj na grafe. Na vodorovnú os smevynášali rýchlosť (v jednotkách rýchlosti svetla, tj. β = v/c), kýmzvislá os je kinetická energia v jednotkách pokojovej energie telesa.
Tento princíp ekvivalencie energie a hmotnosti však v iných prí-padoch môže byť prekvapivá. Ak stlačíte pružinu, tak stlačená pruži-na má väčšiu hmotnosť, než nezdeformovaná pružina. Nárast hmot-nosti je úmerný veľkosti práce dodanej na deformáciu pružiny. Tátopráca zostáva nahromadená v pružine po dobu deformácie.
Zmena energie a hmotnosti môže byť aj záporná. Neporušenákeramická šálka má menšiu hmotnosť, než šálka s ulomeným uchom.Hmotnosť je menšia úmerne práci, ktorú budeme musieť vykonať kulomeniu ucha šálky. Prácu konáme na prekonanie väzbovej energie,ktorá drží pohromade šálku a ucho šálky. Väzbová energia je vlastnezáporná energia, energia ktorá chýba k tomu, aby šálka a ucho mohlibyť oddelene od seba.
Tento princíp ekvivalencie je prítomný všade: v biológii, v chémii,v mechanike, v jadrovej fyzike i v astronómii. Príklady by sme mohliuviesť ďalšie a ďalšie. V každodennom živote je pozorovateľnosť zme-ny hmotnosti veľmi obtiažna, lebo zmeny sú mimoriadne malé. Privýbuchu jadrovej bomby v Hiroshime sa hmotnosť atómovej bombyzmenila o jeden jediný gram!
28 1. Kapitola
Zapamätaj si:Akákoľvek zmena energie systému spôsobuje zmenu jej hmotnostipodľa Einsteinovho vzťahu
E = mc2.
Zmena hmotnosti môže byť aj záporná. Energiu, ktorú predstavu-je hmotnosť telesa v pokoji m0 nazývame pokojovou energiou.
1.7.5 Energia a hybnosť
Videli sme, že čas a priestor tvoria jeden celok tak, že
(∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x)2
je pre každého pozorovateľa rovnaká.Rovnakým spôsobom tvoria jednotu energia a hybnosť. Hodnota
E2 − (pc)2 = (m0c2)2 (1.24)
je pre každého pozorovateľa rovnaká. Tu je E celková energia a p jehybnosť telesa, kým m0 je jeho pokojová hmotnosť. pokojová hmot-nosť je len jediná, preto je logické, že
E2 − (pc)2 = (m0c2)2 = E′2 − (p′c)2,
ľavá a pravá strana rovnice vyjadruje energiu a hybnosť pre dvochrôznych pozorovateľov.
Ak priestor a čas dvoch pozorovateľov spája konkrétna Lorent-zova transformácia, potom tá istá transformácia spája aj energiu ahybnosť telesa, ktorú spoločne pozorujú. Inými slovami, energia ahybnosť sa dá znázorniť v Loedelových diagramoch. Trik je rovnaký,ako v prípade časových a priestorových súradníc. Pre jednoduchosťpredpokladajme, že teleso sa pohybuje pozdĺž osi x, pozdĺž ktorej sapohybujú aj pozorovatelia (ostatné zložky hybnosti sa v tomto prí-pade nemenia, ako sa nemenili ani súradnice y a z).
Platí potomE2 + (p′c)2 = E′2 + (pc)2 (1.25)
a Loedelov diagram zkonštrujeme tak, ako to ukazuje obrázok .
Aj v tomto prípade je uhol α určený rovnicou
sin α =v
c.
1.7. PARADOXY 29
m0
m
pE
p
E′
p′
α
Obrázok 1.32: Loedelov diagram pre energiu a hybnosť. Diagramukazuje Loedelov diagram energie a hybnosti hmotného bodu, ktorýje v pokoji v čiarkovanej sústave (modrá). Jeho pokojová hmotnosťje m0. Voči nečiarkovanej sústavy sa pohybuje rýchlosťou v (uhol αje znova daný výrazom sinα = v/c). V nečiarkovanej sústave márelativistickú hmotnosť m a hybnosť p.
V sústave, v ktorej je telesa v pokoji, má nulovú hybnosť a jej ener-gia sa rovná pokojovej energii telesa m0c
2. Pomocou takýchto Loede-lových diagramov môžeme riešiť úlohy z fyziky elementárnych častícgraficky (niektorú možnosti ukážeme v príkladoch a v úlohách).
Svetlo prenáša energiu a časticami svetla sú fotóny. Nemôžemezmysluplne nakresliť Loedelov diagram pre inerciálnu sústavu, ktoráby sa pohybovala voči inej inerciálnej sústave rýchlosťou svetla.
SvetloAkú hybnosť však má fotón? Fotón nevieme zastaviť, aby sme
zmerali jeho pokojovú hmotnosť. V každej inerciálnej sústave sa po-hybuje rýchlosťou svetla. Pomocou Loedelových diagramov však jehohybnosť dokážeme dať do súvislosti s jeho energiou.
Predstvame si, že máme fotón s energiou E (letí v smere osi x).Pokiaľ by tento fotón bol v pokoji v inerciálnej sústave, ktorá savoči nám pohybuje rýchlosťou v = βc, jej pokojovú hmotnosť by smevedeli vyčítať z Loedelovho diagramu (pozri obr. 1.32).
Taká inerciálna sústava (čiarkovaná) by sa však voči nám zrejmenemohla pohybovať rýchlosťou 1000 km/s, ani rýchlosťou 100 000 km/s,ani inou rýchlosťou, ktorá je menšia ako rýchlosť svetla.
V jazyku Loedelových diagramoch to znamená, že uhol otočeniaα nemôže byť menší než 90◦. Postupným zväčšovaním uhla α (tomuhovoríme limitný prechod) dospejeme na základe Loedelových diagra-mov k tomu, že pre každú pevne zvolenú hodnotu energie fotónu musíbyť jeho pokojová hmotnosť nulová (pozri obrázok 1.33).
30 1. Kapitola
m0 −→ 0
Efotón
p −→ Efotón
cE
p
E′
p′
α
Obrázok 1.33: Častica s konštantnou energiou, ktorá letí rýchlosťousvetla, musí mať nulovú pokojovú hmotnosť. Fotón má nulovú poko-jovú hmotnosť.
Zapamätaj si:Fotón má nulovú pokojovú hmotnosť.
Jeho energia je rovná jeho hybnosti násobená c, teda E = pcVďaka nulovej pokojovej hmotnosti fotónu tento vzťah medzi je-
ho energiou a hybnosťou (veľkosťou hybnosti) možno obdržať aj zovzťahu (1.24)
p =E
c.
Pre fotón tiež platí zákon zachovania energie a hybnosti. Akdopadne na zrkadlo, odrazí sa. Zmení sa jeho hybnosť ako keď saodrazí gulička od steny. Zákon zachovania hybnosti však káže zrkad-lu, aby zmenila tiež svoju hybnosť. Fotóny dopadajúce na zrkadlo,ale aj každý predmet, takýmto spôsobom vyvolávajú tlak. Hovorímemu svetelný tlak. Tento svetelný tlak je zodpovedný aj za to, žev blízkosti svietiacich hviezd je relatívne vymetený priestor. Svetloodtlačí molekuly plynov a malých čiastočiek. Teoreticky je možnéskonštruovať kozmickú loď, ktorú bude poháňať svetlo hviezd.
Poďakovanie
Tento materiál vznikol v rámci projektu KEGA 03/3182/05 Minister-stva Školstva Slovenskej Republiky.
Nepredajný materiál
