Clculo de la resistencia de una puesta a tierra en un terreno homogneoIntroduccin Electrodo elemental generalBarra verticalConductor horizontal rectoResistencia mutua entre electrodos elementalesMtodo general de solucin de puestas a tierra compuestasResistencia de combinaciones de barrasResistencia de combinaciones simples de conductoresResistencia de combinaciones de conductores y barrasResistencia de mallas de tierraInterconexin de puestas a tierra

IntroduccinLo normal es que los terrenos no sean homogneos en sus caractersticas elctricas. Por tanto, una forma de enfrentar esta situacin es aplicar los procedimientos deducidos en este capitulo para un medio homogneo, a la situacin real de medios no homogneos, sobre la base de una equivalencia de resistividades. En otras palabras, aplicar los criterios y expresiones obtenidas para un medio homogneo pero utilizando una resistividad equivalente deducida con algn criterio valido para fines prcticos. En el calculo del potencial de los electrodos o conjuntos de electrodos, se desprecian los efectos inductivos y capacitivos de estos, considerndose solo la resistencias propias (con respecto a la tierra remota) y mutuas entre electrodos. De un anlisis simple se pude concluir que a las frecuencias de 50/60 Hz. Las reactancias mutuas tienen valores muy inferiores a las resistencias mutuas. Lo inverso sucede con las reactancias capacitivas, propias y mutuas, ya estos valores son considerablemente superiores a las resistencias correspondientes.

Electrodo elemental generalEn esta seccin se establecen los criterios y las bases de clculo de la resistencia de electrodos elementales. Aunque estas bases son en principio aplicables a un electrodo de cualquier forma, en la practica los electrodos utilizados, ya sea en forma aislada o formando parte de sistemas compuestos, son la barra vertical y el conductor horizontal. Otros tipos de electrodos, tales como el anillo o la plancha metlica rectangular, se utilizan en situaciones especiales o como complemento a otros electrodos de una puesta a tierra.La base de calculo de un electrodo elemental es suponerlo formado por pequeos electrodos que actan como fuentes radiales de corriente o esferas metlicas. El comportamiento del electrodo en global, se obtiene por superposicin del efecto de todos estos pequeos electrodos que lo conforman.

Conceptos bsicosSea una pequea esfera metlica de un material de resistividad nula y radio r, inmersa en un medio infinito de resistividad homognea . Esta esfera se considera representativa de una fuente puntual que dispersa, en forma radial, una corriente total I hacia el medio.

Fuente puntual en un medio infinito.

Sobre la superficie imaginaria de una esfera de radio u (u>r), con la esfera metlica, la densidad de corriente i vale:

De acuerdo a la ley de Ohm, el valor de la intensidad del campo elctrico (de direccin radial), es: (V/m) El potencial en un punto P, a una distancia q del centro de una esfera metlica, vale: (V)Si se considera a continuacin que la esfera metlica no se encuentra en un medio infinito, sino en un semiespacio terreno/aire, es necesario satisfacer, adems, las siguientes condiciones en el contorno entre espacios ; Una forma de satisfacer las condiciones anteriores, es aplicar el mtodo de las imgenes.

Mtodo de las imgenes:Este mtodo consiste bsicamente en considerar un medio infinito de resistividad , en el cual, adems del efecto de la esfera real, est presente el efecto de una esfera igual, reflejada en la superficie que representa la separacin entre ambos medios. En este caso, considerando que el terreno tiene una conductividad mucho mayor que el aire la corriente dispersada por la imagen tiene una magnitud y signo igual a la esfera real.

El potencial en el punto P(x, y, z) del terreno, esta dado entonces, por la suma de los potenciales producidos en ese punto por la esfera real y la esfera imagen: La expresin anterior es la base para l calculo del potencial producido en un punto del terreno por un electrodo de forma cualquiera. El electrodo se supone dividido en elementos infinitesimales cada uno de los cuales se asemeja a una pequea esfera o fuente puntual de corriente. El potencial total es la suma (integral) de los potenciales infinitesimales producidos por cada una de las fuentes puntuales en que se divide el electrodo. As, para un electrodo elemental de cualquier forma, el potencial producido por un elemento de este, en un punto P(x, y, z) del terreno, vale: donde el punto P queda determinado por un sistemas de coordenadas convenientemente elegido. Normalmente, el valor de z se mide a partir de la superficie del terreno.

La corriente dispersada por un elemento ds del electrodo elemental vale: Donde ds es la longitud del elemento, medida en la direccin axial de electrodo; e i(s) es la densidad lineal de dispersin de de corriente hacia el terreno, variable a lo largo del electrodo. Por tanto:

El potencial total en un punto P(x, y, z) vale: Como se desconoce la funcin de densidad i(s), no es posible una solucin analtica de la expresin anterior. Por lo tanto, se acostumbra a considerar una distribucin uniforme de dispersin de corriente en el electrodo, igual al valor medio de esta. Si se comparan los resultados obtenidos al aplicar este criterio, con una solucin numrica de la expresin anterior, la diferencia es normalmente inferior a 5% lo que es aceptable para fines prcticos. Por tanto, se supone donde I es la corriente total dispersada por el electrodo y l es la longitud axial de este. Suponiendo esto:

cuya solucin general es:

Potencial del electrodo y resistencia de puesta a tierraSi el dimetro del electrodo es mucho menor que su longitud, su potencial propio se puede obtener como un caso especial de la expresin anterior, sobre la superficie del electrodo. Como consecuencia del supuesto que i(s) sea constante, el potencial 0 del electrodo aparece como funcin de s lo que no es correcto. As en trminos generales:

La situacin anmala dada por la expresin anterior, en que el potencial aparece como funcin de s, se puede resolver considerando como potencial real del electrodo: El potencial existente en un punto del electrodo denominado punto caracterstico (coronado con ^). Este punto, elegido en forma relativamente arbitraria, se considera representativo del potencial del electrodo. Para los electrodos elementales usados en la practica (conductor horizontal y barra), normalmente se adopta como punto caracterstico el punto central de su longitud. Con este criterio:

El valor medio del potencial 0(s):

Lo normal es que los valores de y med no sean muy diferentes entre s siendo ms exacto med. La eleccin de uno de ellos, como representativo de para l calculo de la resistencia de puesta a tierra, tiene por objeto simplificar las expresiones o formulas deducidas. De ah que sea posible encontrar en la literatura atinente, expresiones de distinta apariencia para l calculo de la resistencia para un mismo electrodo. Sin embargo, los resultados de su aplicacin prctica no difieren en ms de un 5 a 10%, en la mayora de los casos. Sobre la base de estas dos ultimas expresiones, la resistencia de puesta a tierra del electrodo general, vale:

o bien:

Ya sea que la resistencia del electrodo se determine sobre la base de una de las expresiones de R, esta puede expresarse como:

o bien:

donde R' corresponde a la resistencia del electrodo enterrado a una profundidad infinita (solo el efecto del electrodo real), y R" es una resistencia adicional debida a una profundidad finita de enterramiento (efecto adicional del electrodo imagen). Potencial sobre la superficie del terreno:Sobre la superficie del terreno, z = 0 y, por tanto, q" = q'. Entonces, de acuerdo a (2.12) para un punto P(x, y) sobre la superficie del terreno:

La aproximacin de considerar la densidad de corriente i(s) uniforme a lo largo del electrodo es generalmente aceptable para el calculo de 0 y R. Sin embargo, en algunos casos esta suposicin no es valida para el calculo de s y es necesario utilizar una mejor representacin de la funcin de densidad i(s), dividiendo el electrodo en varios segmentos

Distribucin de corriente en el electrodo:

A partir de la expresin es posible obtener una

primera aproximacin de i(s).Para que 0 sea constante, independientemente de s, puede estimarse:

As la corriente total que dispersa el electrodo es:

de donde se obtiene el valor medio de corriente dispersada por el electrodo:

De las expresiones (2) y (3) se obtiene una relacin aproximada entre la densidad de corriente dispersada por el electrodo a una distancia s, y el valor medio de la corriente dispersada:

El valor medio de la integral del denominador de la expresin anterior es difcil de obtener analticamente y debe recurrirse a una solucin numrica.Sobre la base de lo anterior, es posible tambin obtener una mejor estimacin de la resistencia de la puesta a tierra del electrodo:

A su vez, el potencial sobre la superficie del terreno se puede recalcular ms exactamente. Reemplazando (2) en (1) y como q= q, se obtiene:

Donde:

La expresin anterior se puede generalizar a una puesta a tierra formada por N electrodos:

Resistencia mutua entre dos electrodos:En trminos generales, la resistencia mutua entre dos electrodos se puede definir como la relacin entre la variacin del potencial en uno i de ellos, dividido por la variacin de corriente dispersada en el otro electrodo j, mantenindose constante las restantes corrientes. En otros trminos:

El clculo prctico de la resistencia mutua entre dos electrodos se realiza suponiendo la presencia de solo ellos, uno de los cuales dispersa una corriente I1, que induce un potencial 21 en el otro. As:

La corriente I1 que dispersa el electrodo 1, produce en un punto P(x, y, z) sobre la superficie del electrodo 2, de acuerdo a , el potencial:Al igual que para la resistencia propia de un electrodo, la resistencia muta se puede determinar sobre la base del potencial determinado para un punto caracterstico del electrodo, o bien, considerando el potencial medio inducido. As:

o bien:

donde la funcin F(x, y, z)se define para puntos en la superficie del electrodo 2.

Barra verticalEn la figura se representa una barra de longitud l, dimetro 2a, enterrada verticalmente a partir de una profundidad t, en un medio homogneo de resistividad . La densidad lineal de corriente dispersada por la barra hacia el terreno se supone constante, de un valor i = I / l. Como existe simetra axial, un punto cualquiera del terreno se puede definir por las coordenadas r, z. donde:

La solucin general de P es:

Resistencia propia de la barra:El potencial propio de la barra se obtiene de la expresin anterior para r = a (radio de la barra), y resulta funcin de z, (lo que es incorrecto) como consecuencia de haber supuesto i = constante.

Si se considera el centro de la barra, z = t + (l / 2), como punto caracterstico representativo de su potencial, resulta:

Determinando el valor medio de la expresin (1):se obtiene la resistencia:

Si en la expresin anterior, l >>a, lo que es normal, y adems, 4t2>>a2:

Para t = 0:

Otras expresiones validas son:

para t = 0 tambin.

Otra expresin considerando la profundidad de enterramiento puede ser:

Comparacin de valores de resistencia de una barra de 3 m y 5/8 de dimetro, calculados con diferentes expresiones.

t (m)R ()segn (2)R () (%)segn (5)R () (%)segn (3)R () (%)segn (4)033.5534.40 2.533.53 0.135.16 4.80.532.1133.58 4.633.53 4.435.16 9.50.7531.8033.32 4.833.53 5.435.16 10.6131.5833.13 4.933.53 6.235.16 11.329.8731.48 5.433.53 12.335.16 17.7

Potencial sobre la superficie del terreno. El potencial sobre la superficie del terreno, en el contorno de una barra nica, puede determinarse de (1), para z = 0:

o, en su forma logartmica equivalente:

Los grficos de la siguientes figuras indican el valor del potencial sobre la superficie del terreno en los contornos de una barra estndar de 3 m de longitud y 5/8 de dimetro.

Potencial superficial en los contornos de una barra de 3 m y 5/8.

Potencial superficial en los contornos de una barra de 3 m y 5/8.

Potencial sobre la superficie del terreno para diferentes valores de t (profundidad del electrodo por debajo de la superficie)

De los grficos se puede observar que para una barra nica enterrada a partir de la superficie del terreno (t = 0), la solicitacin mxima de voltaje entre pies a que esta sometida una persona supera el voltaje tolerable. Una solucin comnmente adoptada para reducir la solicitacin entre pies en el contorno de una barra, es enterrarla a partir de un valor t de 0.25 a 0.50 m, o aislndola en su parte superior en esa longitud, como se indica en la siguiente figura. De esta manera se reduce considerablemente la solicitacin entre pies. En el primer caso es necesario que el tramo enterrado del conductor de unin este tambin aislado de tierra.Si se usa una barra como electrodo nico de puesta a tierra, la solicitacin mxima entre manos y pies, es prcticamente igual al valor de potencial adquirido por esta, lo que excede frecuentemente el valor tolerable. Por lo tanto es necesario que las partes metlicas, conectadas a tierra mediante una barra nica no estn accesibles a un contacto por parte de las personas.As en zonas frecuentemente concurridas por personas, puede ser conveniente el uso de complementos a la barra de puesta a tierra; por ejemplo, un anillo u otro elemento que permita reducir las solicitaciones entre manos y pies. Otra opcin es evitar el posible contacto con objetos metlicos conectados a la barra. En el caso de subestaciones en altura, o para postes de madera u hormign que pasan por zonas pobladas y que utilizan una barra como electrodo de puesta a tierra, es recomendable aislar el cable de conexin a la puesta a tierra normalmente desnudo- de manera que no pueda ser tocado directamente por las personas en su quehacer normal.

Forma de reducir la solicitacin de voltaje entre pies para una barra nica.

Superficies equipotenciales de la barra:De las expresiones del potencial en el terreno y de la resistencia de una barra vertical, se puede determinar con aproximacin aceptable, sus superficies equipotenciales. En las figuras siguiente se muestra el perfil de las superficies equipotenciales de una barra de 3 metros de longitud y 0.02 m de dimetro, enterrada a partir de la superficie del terreno (t= 0.5 m y t = 0). En la figura se puede apreciar que a partir de determinado valor de > 0.3 0 , el perfil de las superficies equipotenciales, son con gran aproximacin un arco de circulo. Para fines prcticos, se puede entonces afirmar que una barra se comporta como un semiesfera equivalente. Esta semejanza es til para el calculo simplificado de puestas a tierras formadas por conjuntos de barras.

Conductor horizontal rectoEn la siguiente figura se representa un conductor recto de longitud l y radio a, enterado horizontalmente a una profundidad t, en un medio homogneo de resistividad .

Si el conductor de la Figura 4.9 dispersa una corriente total I, que se supone uniformemente distribuido en su largo, el potencial inducido en un punto P(x,y,z) del terreno, segn (4.11), vale:

donde: ,

La solucin general de es:

Resistencia propia del conductor: El potencial propio del conductor se determina de la expresin anterior, para P(x, y = a, z = t):

(1)

Al igual que para la barra, el potencial del conductor aparece en la expresin (2.51) como funcin de la variable en direccin axial (x para el conductor), consecuente con la suposicin de i = constante. Por tanto, se debe determinar un potencial caracterstico medio para el conductor, en forma similar a lo hecho para la barra.a) Considerando el centro del conductor como un punto caracterstico representativo de su potencial:

La expresin logartmica equivalente, considerando l d, es: (2)

Para l 4t, se obtiene de (2) una expresin sencilla, encontrada frecuentemente en la literatura, para la resistencia de un conductor horizontal: (3)b) Determinando R sobre la base del valor medio

(4)Lo normal es que l d y l 2t, por tanto, la expresin logartmica aproximada obtenida de (2.56), es:

(5)

Adicionalmente, si l t y t d:

(6)

En la tabla siguiente se comparan los valores de resistencia de conductores de distinta longitud, de dimetro 4/0 AWG (d = 0.01326 m), para t =1 m, calculados con las expresiones (4) a (6), (2) y (3), para = 100 -m

t (m)R ()segn (4)R () (%)segn (6)R () (%)segn (2)R () (%)segn (3)179.0091.00 15.083.80 6.168.80 -13.2246.748.50 3.849.30 5.445.5 -2.8523.2023.33 0.5 24.40 5.224.00 3.4 1013.513.50 0.014.30 5.414.20 5.01002.12.10 0.02.20 4.62.20 4.6

De la tabla anterior se concluye que para las longitudes del conductor superiores a 5 veces la profundidad t de enterramiento, las expresiones aproximadas (6), poseen errores casi nulos. Las expresiones (2) y (3), determinadas sobre la base del punto caracterstico, tienen errores del orden de 5% con respecto a la expresin (4), que es la ms exacta.

Potencial sobre la superficie del terreno El potencial sobre la superficie del terreno, en el contorno de un conductor horizontal, se obtiene de la expresin (1), para z = 0.

La expresin logartmica equivalente es:

Potencial superficial en el contorno de un conductor de 10 m de longitud y 0.01 m de radio.

Potencial superficial en el contorno de un conductor de 10 m de longitud y 0.01 m de radio.

De la expresin anterior se obtiene la siguiente expresin para determinar aproximadamente el valor de Vpaso, vlida para l > 4 t, considerando una separacin de 1 m entre pies.

Donde: H = 4 t2 + 1Si l >10 t , la expresin anterior se simplifica a:

Las expresiones anteriores permiten determinar el Vpaso con un error inferior al 5% con respecto a los determinados con las expresiones de potencial superficial vistas anteriormente. Estas expresiones son tiles, por ejemplo, en el calculo de la solicitacin que se produce en las proximidades de una tubera larga que esta unida galvanicamente a una puesta a tierra. En el ejemplo que se vera mas adelante se presenta una situacin de este tipo

Superficies equipotenciales de un conductor horizontal:De las expresiones del potencial en el terreno y de la resistencia de un conductor horizontal, se puede determinar con aproximacin aceptable, sus superficies equipotenciales. En las figuras siguiente se muestra el perfil de las superficies equipotenciales de un conductor de 10 metros de longitud y 0.02 m de dimetro, enterrado a partir de la superficie del terreno (t = 0.5 m y t = 0).

Ejemplo:Una tubera metlica desnuda, de 100 m de longitud y 4 de dimetro, esta conectada galvanicamente a una puesta tierra de una subestacin, como se muestra en la figura siguiente. La resistencia de la puesta a tierra es de 2.5 , y la resistividad del terreno (homogneo) es de 100 -m. Se debe determinar la profundidad de enterramiento de la tuberia para evitar que las solicitaciones entre pies en su contorno, sean mayores que las tolerables. La corriente residual de falla es de 2 000 A y perdura durante 1 seg.

Solucin: Voltaje tolerable entre pies.Lo habitual es que no se utilice un material artificial de alta resistividad en la superficie del terreno, fuera del recinto de la subestacin. En esta situacin, la resistencia de contacto Rp de un pie en el terreno, es:

Por tanto:

b) Corriente dispersada por la tubera.Solo una parte de la corriente total de falla de 2 000 A, es dispersada por la tubera. De acuerdo al circuito equivalente de la siguiente figura, esta corriente vale:

Donde R11 es la resistencia propia de la puesta a tierra de la subestacin (2.5 ), R22 es la resistencia propia de la tubera que se puede determinar con la siguiente expresin y R12 corresponde a la resistencia mutua entre ambas.

La resistencia mutua entre la puesta a tierra de la subestacin y la tubera, se puede determinar con buena aproximacin suponiendo la primera como una fuente puntual de corriente (semiesfera equivalente), y determinando el valor medio del potencial inducido en la segunda. As:

c) Calculo del voltaje de paso.Por tratarse de una tubera relativamente larga (l > 10 t), se puede determinar el valor del voltaje de paso Vpaso, mediante la siguiente expresin en la siguiente tabla se muestran los resultados para diferentes profundidades:

De la tabla anterior se concluye que es necesario enterrar la tubera a una profundidad no menor de 1 m, de manera que la solicitacin entre pies no sobrepase el valor tolerable.

t (m)R22 ()I2 (A)H(m2)Vpaso (V)0.252.051 1201.255140.501.941 1502.003230.751.881 1703.252331.001.831 1905.00182 < Vpp tol1.251.791 2007.251491.501.761 21010.00126

Resistencia mutua entre electrodos elementalesGeneralizacin de las expresiones de resistencias Las puestas a tierra usadas comnmente en la prctica estn formadas por combinaciones, generalmente regulares, de conductores horizontales y barras verticales. En las secciones anteriores se determinan las expresiones para el clculo de las resistencias propias de estos electrodos. En esta seccin se establecen las expresiones para el clculo de las resistencias mutuas de estos electrodos. En este punto es conveniente introducir un cambio en la presentacin del procedimiento de clculo de la resistencia de los electrodos elementales, con respecto a lo realizado en las secciones anteriores. Esto permite generalizar el mtodo de clculo para determinar, tanto las resistencias mutuas como propias, con una cantidad mnima de expresiones. Anteriormente se ha expresado que el potencial y, por tanto, la resistencia propia de un electrodo, o mutua con otro electrodo, se puede determinar como la suma del efecto del electrodo real, ms el efecto de la imagen de este. Sobre esta base, es suficiente establecer una expresin general de potencial o resistencia de puesta a tierra, para dos elementos inmersos en un medio infinito de resistividad homognea . Mediante una transformacin adecuada del sistema de coordenadas, se pueden determinar las necesidades combinacionales relativas de electrodos.

As, la resistencia mutua entre un electrodo inducido i y un electrodo inductor j, se puede expresar como:

donde Rij y Rij son respectivamente las resistencias debidas al potencial producido en i por el electrodo real j y por el electrodo imagen j.

Resistencia mutua entre dos electrodos en paralelo

En la figura anterior se muestran dos electrodos elementales cualesquiera, de longitudes l1 y l2, paralelas entre si, ubicados en un mismo plano e inmersos en un medio infinito de resistividad . Si solamente el electrodo 1 dispersa una corriente I1 hacia el medio, donde, el potencial en un punto P (, = p) sobre el electrodo 2, vale:

El valor medio del potencial sobre el electrodo 2, es:

donde los limites superiores corresponden a valores a sumar de la expresin dentro del parntesis cuadrado y los inferiores a valore a sumar con signo negativo. Adems, la funcin es simtrica, esto es, F (u) = F (-u); por tanto, R21 = R12 para toda combinacin de parmetros. Sobre la base de la expresin anterior, se pueden determinar las impedancias propias y mutuas para distintos electrodos y combinaciones de ellos.

Resistencia mutua entre dos barras paralelas: - La resistencia R21, debida al efecto del electrodo real 1, se obtiene para p=D, m = t1-t2.La resistencia R21, debida al efecto del electrodo imagen 1, se determina p = D, m = l1 + t1 + t2. Por tanto la expresin general de resistencia mutua entre dos barras paralelas, representadas en la Figura, es: Donde: u1 = l2-t1-t2 , u2 = t1-t2 , u3 = l1+t1-t2 , u4 = -l1+l2-t1+t2 , u5 = l1+l2+t1+t2 , u6 = l1+t1+t2 , u7 = t1+t2 , u8 = l2+t1+t2

Lo habitual es que las barras que se utilizan en una puesta a tierra, tengan igual longitud l, y estn enterradas a partir de una misma profundidad t. En este caso:

Si adems, t = 0:

Otra expresin que suele encontrarse en la literatura, para la resistencia mutua entre dos barras de igual longitud e igual profundidad de enterramiento, es la deducida sobre la base de suponer el punto caracterstico de potencial, ubicado en el centro de una de las barras:

La resistencia propia de una barra se obtiene como un caso particular de las expresiones anteriores, para D = a (radio de la barra).

Por lo tanto, la expresin general de resistencia para barras de igual longitud e igual profundidad de enterramiento (situacin comn en la prctica), es:

Donde Dii = aii, es el radio de la barra i.

Resistencia mutua entre dos conductores horizontales paralelos enterrados a igual profundidad

Por tanto, la resistencia mutua entre dos conductores paralelos, ubicados a igual profundidad, vale:

La resistencia propia de un conductor horizontal, se obtiene como un caso particular de (2.81) para y2 = a (radio del conductor), x2 = 0.

Combinaciones habituales de conductores horizontales:Las puestas a tierra compuestas y las mallas de tierra tienen, en su etapa de proyecto bsico, disposiciones regulares y simtricas de sus elementos. Por tanto, se repiten con frecuencia las disposiciones de dos conductores horizontales mostradas a continuacin:

2 conductores iguales paralelos. b) 2 conductores iguales en serie.Para el caso a): l1 = l2 =l, x2 = 0, y2 = D. Por tanto:

Para el caso b) : x2 = l, y2 = a. Por lo tanto:

Resistencia mutua entre dos electrodos ortogonales

En la figura anterior se muestran dos conductores horizontales cualesquiera de longitudes l1 y l2, ortogonales entre si, e inmersos en un medio de resistividad homognea . Los electrodos se ubican en un sistema arbitrario de coordenadas , , . El electrodo inductor 1 esta en un plano , , = 0, y el electrodo inducido, en un plano , , = q. Si solamente el electrodo 1 dispersa una corriente I1 hacia el medio, el potencial en un punto P ( = m, , = q) del electrodo 2, es:

El valor medio del potencial sobre el electrodo2, vale:

Donde:

Resistencia mutua entre un conductor horizontal y una barra vertical:

Asumiendo que el conductor horizontal se ubica en la direccin del eje X:

Donde: K1 = l2 , K2 = 0 , H1 = x2 H2 = x2 l1

La resistencia R12debido al efecto del electrodo imagen 1 se obtiene con una expresin similar a la anterior pero con K1 = 2 t + l2 , K2 =2 t , H1 = x2 , H2= x2 - l1.Para el calculo de la resistencia mutua entre conductores horizontales ubicados en direccin del eje Y y barras verticales se permutan los valores de x2 e y2 en la expresin anterior.

Mtodo general de solucin de puestas a tierra compuestasLa mayora de las puestas a tierra usadas en la prctica estn formadas por una combinacin apropiada de diferentes electrodos elementales interconectados entre s. Este conjunto de electrodos tiene generalmente dos objetivos: por un lado, obtener un valor de resistencia que no sobrepase lo requerido, lo que es difcil obtener con un simple electrodo, y por otro lado reducir las solicitaciones de voltaje en el interior y contorno de la puesta a tierra mediante una disposicin adecuada de sus componentes. En lo que sigue a continuacin, se establecen las ecuaciones generales que permiten calcular la resistencia de puesta a tierra de un conjunto de electrodos.

En la figura anterior se muestra un conjunto de n electrodos elementales, inicialmente no interconectado galvanicamente entre s, cada uno de los cuales dispersa una corriente I. El potencial de cada electrodo se obtiene como la suma algebraica del potencial producido por la propia corriente dispersada, ms los potenciales inducidos en este por cada una de las corrientes dispersadas en los restantes electrodos. As para el conjunto de electrodos elementales:

donde: Ii es la corriente dispersada por el electrodo i.Ri i es la resistencia propia del electrodo iRi j (i j) es la resistencia mutua entre los electrodos i y j

El sistema anterior de ecuaciones se puede escribir en forma resumida como:

o, en forma resumida:La matriz de resistencias [R] es simtrica, (Ri,j = Rj,I), con todos sus trminos mayor que cero. Adems, para una determinada fila, el termino ii de la diagonal (resistencia propia del electrodo i) es siempre mayor que los otros trminos (resistencias mutuas con los otros electrodos). En el caso de puestas a tierra de geometra simtrica, los trminos de la diagonal son iguales entre si, o parcialmente iguales.

Si se considera a continuacin que los electrodos de la figura 2.22 estn interconectados galvanicamente entre si, se puede asumir que todos poseen un mismo potencial 0 lo que es valido con gran aproximacin para las frecuencias industriales. Entonces:

Por definicin, la resistencia de puesta a tierra del conjunto de electrodos se determina como el cuociente entre el potencial de esta y la corriente total dispersada:

Por lo tanto, para calcular la resistencia del conjunto es necesario determinar las corrientes dispersadas por cada uno de los electrodos elementales, lo que implica alguna forma de solucin de la expresin de la lamina anterior. Una forma clsica de solucin de {I} es premultiplicar por la matriz inversa de [R], obtenindose:

donde [R]-1 = [G], es la matriz inversa de R tambin simtrica.

As, la solucin de [I] puede expresarse como:

De donde, las corrientes dispersadas por los electrodos son:

La corriente dispersada por un determinado electrodo i es:

y la corriente total dispersada por la puesta a tierra:

La resistencia de puesta a tierra del conjunto, es:

El denominador de la expresin anterior (2.108) corresponde a la suma de todos los trminos Gi j de la matriz [G].

Ejemplo: Determinar la resistencia de puesta a tierra mostrada en la figura, formada solo por conductores horizontales 4/0 AWG (d = 0.01326 m), enterrados a una profundidad t = 1 m. La resistividad del terreno (homogneo) es 100 -mSolucin:Los trminos de la matriz de resistencias propias y mutuas entre electrodos elementales, y considerando la simetra del conjunto, son: R11 = R22 = R33 = R44 =23.206 R55 = R66 = R77 = 13.536 R12 = R21 = R34 = R43 = 3.867 R13 = R31 = R24 = R42 = 1.545 R14 = R41 = R23 = R32 R15 = R51 = R16 = R61 = R26 = R62 = R27 = R72 =1.402 R35 = R53 = R36 = R63 = R46 = R64 = R47 = R74 =3.399

R17 = R71 = R25 = R52 = R37 = R73 = R45 = R54 =1.757 R56 = R65 = R67 = R76 =2.554 R57 = R75 =1.473Por tanto la matriz [R], es:

Invirtiendo la matriz [R], la resistencia exacta de la puesta a tierra es:

Resistencia de combinaciones de barrasUn conjunto de barras enterradas verticalmente en el terreno es una solucin usada frecuentemente, ya sea como puesta a tierra nica o como complemento de puestas a tierra complejas. En ciertas ocasiones, como por ejemplo en puestas a tierra de estructuras o postes de lneas de transmisin, un conjunto de barras es la solucin ms conveniente debido a la simplicidad de la faena de construccin. En otros casos la utilizacin de barras puede llegar a ser una solucin impuesta por razones prcticas de espacio disponible para la construccin de la puesta a tierra. Un ejemplo tpico de esto ltimo es la construccin de una puesta a tierra en una zona previamente pavimentada. Utilizando solo barras se reducen los deterioros del rea. Sin embargo, es preciso tener presente que en un terreno pedregoso, la faena de hincar barras utilizando los mtodos tradicionales puede ser dificultoso o prcticamente imposible. En situaciones como esta debe recurrirse a mtodos mas laboriosos y de mayor costo que lo normal por ejemplo, el uso de maquinas perforadoras especiales- sobretodo al utilizar barras de longitudes superiores a los usuales 3 m.

Las barras que se utilizan habitualmente en la practica son de medidas normalizadas, de una longitud de 10 pies (3 m aprox.) y dimetros de 5/8, 3/4 y 1 pulgada. Son fabricadas de acero para darle la rigidez mecnica necesaria para poder enterrarlas y recubiertas con una capa delgada de cobre, para evitar que se corroan en terrenos agresivos. Cuando se combinan con conductores horizontales en una puesta a tierra, lo normal es que se entierren a partir de la profundidad t de estos ltimos. Si se instalan en forma aislada, dependiendo de cada caso y del lugar, pueden enterarse a partir de la superficie del suelo (t = 0). Las barras suministradas por los proveedores de clsicos de este tipo de equipo, pueden acoplarse entre si mediante uniones atornilladas, para as obtener longitudes mayores. Sin embargo excepto para terrenos blandos y finos, no es posible asegurar un hincamiento vertical efectivo al utilizar los procedimientos mecnicos normales. Si se requiere enterrar una barra de una longitud superior a 3 m, es conveniente realizar una perforacin previa de un dimetro de aproximadamente 3 a 4 pulgadas, mediante un equipo adecuado.

En esta perforacin se instala la barra, en forma centrada, la cual puede ser una tubera de cobre o de acero galvanizado, dependiendo de la agresividad del terreno. El espacio entre la barra y el terreno natural se rellena con material fino bien compactado de preferencia arcilloso- para asegurar un buen contacto elctrico y mecnico. Una ventaja importante de la barra es que se puede con ella alcanzar estratos de baja resistividad, que se ha determinado de mediciones. As, si el terreno posee un estrato superior de alta resistividad, en el que se han instalado los conductores horizontales de la puesta a tierra, y un estrato mas profundo de menor resistividad, que se puede alcanzar con barras adecuadas, es conveniente el uso de estas como complemento de la puesta a tierra. De este modo, se puede lograr valores adecuados de la resistencia a un menor costo.

Mtodo general de solucin de un conjunto de barrasEn la Figura siguiente se representa un caso general de un conjunto de barras de distintas caractersticas, ubicadas en un sistema arbitrario de coordenadas X, Y sobre la superficie del terreno. Cada barra esta definida por su longitud l, su profundidad de enterramiento t, su radio a, y su ubicacin x, y.

Sobre la base de la figura anterior, se puede realizar un programa simple para el clculo de un conjunto de barras en un terreno homogneo. Para el caso general de barras de distintas dimensiones, las resistencias propias y mutuas que forman la matriz [R], se determinan con la expresin general de barras vista anteriormente.-Para una barra i, la resistencia propia Rii se obtiene haciendo: l1=l2 =li , t1=t2=ti , D=ai -La resistencia mutua Rij se obtienen de (4.74) para: l1= li , l2 =lj , t1=ti , t2=tj , D=Dij Si se utilizan solo barras de igual longitud, dimetro y profundidad de enterramiento se usa la expresin que tiene en cuenta esto en lugar de la expresin general. Una vez invertida la matriz [R], la resistencia del conjunto se obtiene con como el inverso de la sumatoria de la matriz conductancia resultante .Existen diversos mtodos que permiten el clculo aproximado de la resistencia de un conjunto de barras como por ejemplo: el mtodo de Tagg y el mtodo de Schwartz.

Resistencia de combinaciones de conductores horizontalesLo normal es que una sola barra o un simple conductor horizontal no sea una solucin satisfactoria de puesta a tierra, aun para una pequea instalacin elctrica, considerando los requisitos impuestos: valor mximo de resistencia, seguridad para personas, etc. Si por otro lado, tampoco se justifica la construccin de una malla de tierra demasiado elaborada y costosa, una opcin es utilizar una combinacin sencilla de conductores horizontales dispuestos de manera convenientes. Este tipo de puesta a tierra presenta caractersticas que la hacen recomendable en numerosos casos, ya que: 1.Se pueden usar en su construccin conductores flexibles de cobre, pletinas de hierro negro o galvanizado y hierro negro de seccin redonda. Los elementos horizontales de una puesta a tierra son ms baratos por unidad de longitud que las barras de acero recubiertas con cobre.2.En comparacin con los conjuntos de barras, los conjuntos de conductores horizontales permiten un control ms efectivo de las solicitaciones de voltaje en una puesta a tierra, con una disposicin adecuada de estos.

3. Para un mismo valor de resistencia a las frecuencias industriales, poseen normalmente mejores caractersticas a impulso que los conjuntos de barras.En terrenos duros o muy pedregosos, los conjuntos de barras son de difcil ejecucin. En estas condiciones, una puesta a tierra formada solo por conductores horizontales, puede ser la solucin ms aconsejable. A la inversa si el terreno esta constituido por materiales finos y la faena de hincar las barras es simple, la solucin mas econmica puede ser el empleo de estas, ya que no es necesario realizar las excavaciones que son requeridas para los conductores horizontales.

Los conductores que conforman una puesta a tierra se entierran normalmente a profundidades que varan entre 0.25 m y 1 m. Una profundidad de 0.50 m, proporciona una adecuada seguridad al dao mecnico y reduce el volumen de excavaciones necesarias, sin que se afecten en forma importante sus caractersticas elctricas.

Mtodo general de clculo de las resistencias de puestas a tierra formadas por conductores horizontales Se puede construir un programa simple de computo basado en el mtodo general descrito para el calculo de la resistencia de una combinacin cualquiera de conductores horizontales, enterrados paralelos a la superficie del terreno a igual profundidad, y dispuestos entre si de forma paralela u ortogonal. La resistividad del terreno se supone homognea.

De acuerdo a la Figura anterior los electrodos de la puesta a tierra se ubican en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas x, y. Una alternativa sugerida es definir dos subconjuntos de conductores, uno en cada direccin.Cada conductor queda determinado por la ubicacin de su punto inicial (coordenada x, y del extremo mas prximo al origen), y por su longitud l. La matriz de resistencias [R] se crea sobre la base de la expresin establecida para el clculo de las resistencias propias y mutuas entre elementos paralelos, y con la expresin para calcular resistencias mutuas entre elementos ortogonales las resistencias del conjunto se determinan como la inversa de la sumatoria de los elementos de la matriz conductancia.Anteriormente se indico que la densidad de corriente dispersada por un electrodo no es uniforme, sino que varia a lo largo de este. Sin embargo, para hacer posible los clculos de resistencias propias y mutuas de los electrodos mediante expresiones analticas, se ha supuesto la densidad constante de magnitud igual al valor medio de la densidad de dispersin

Para un conductor nico, la densidad de corriente dispersada crece hacia los extremos, disminuyendo hacia el centro. Si el electrodo es parte de una puesta a tierra compuesta, la magnitud y la distribucin de la densidad de corriente se modifica adicionalmente, por la proximidad con otros electrodos en esquinas y cruces. Una forma de representar en cierta medida este efecto de variacin dela densidad de corriente dispersada y en teora determinar con mas exactitud la resistencia, es dividir cada electrodo de la puesta a tierra, en acierto numero de trozos iguales o segmentos; donde cada uno se trata como un electrodo independiente. Esta divisin de los electrodos elementales conduce a un aumento considerable en los requerimientos de memoria y tiempos de clculo, con un beneficio en exactitud en el clculo de resistencia, que no se justifica para fines prcticos en la mayora de los casos. La situacin es diferente cuando se trata de determinar los potenciales y solicitaciones de voltaje en el interior y contorno de una puesta a tierra. Para este clculo es inevitable tener que dividir los electrodos, al menos los prximos al punto de inters.

Resistencia de combinaciones de conductores y barras En determinadas situaciones se justifica el empleo de una puesta a tierra consiste en una combinacin mas o menos simples de conductores horizontales y barras verticales, convenientemente dispuestas.El empleo de barras se puede justificar, especialmente en puestas a tierras de pequea dimensiones relativas, ya que ayudan a mantener la resistencia dentro de un rango menor de variacin ante los cambios estacinales de la resistividad del terreno. Sobre la base de las expresiones indicadas en la seccin 2.8, es posible construir un programa de cmputo de la resistencia de una combinacin cualquiera de conductores horizontales de igual dimetro y profundidad de enterramiento (que es la situacin ms frecuente) y un conjunto de barras hincadas verticalmente a partir de la profundidad de los conductores. En la Tabla siguiente se esquematiza el proceso de clculo de la resistencia de puesta a tierra. De acuerdo a lo propuesto, se definen 3 conjuntos de electrodos: un conjunto de electrodos: un conjunto de nx conductores horizontales en direccin del eje X, un conjunto de ny conductores horizontales en direccin del eje Y, y un conjunto de nb barras verticales.

Cada uno de los elementos de los conjuntos estn definidos por sus coordenadas x, y del extremo ms cercano al origen, y por su longitud l. La matriz [R], de dimensin (nx + ny + nb) x (nx+ ny + nb), se forma sobre la base de las expresiones generales entre elementos paralelos y entre elementos ortogonales-. Aprovechando la simetra de la matriz [R], es necesario calcular solo aproximadamente la mitad de los trminos de la matriz. Una vez formada se puede invertir con alguno de los algoritmos clsicos y determinar la resistencia como la inversa de la sumatoria de los elementos de la matriz conductancia.Si es necesario se puede generalizar el programa descrito, considerando conductores horizontales de distinto dimetro y distinta profundidad de enterramiento, y barras verticales de distinto dimetro, profundidad y longitud; tambin sobre la base de las expresiones indicadas.

Esquema de calculo de una puesta a tierra formada por conductores y barras Datos generales: Resistividad: Numero de cond. en direccin X: nx Numero de cond. en direccin Y: ny Profundidad de los cond: t Radio de los conductores: ac Numero de barras: nb Radio de las barras: ab Datos de los conductores en direccin X: xi, yi, li Datos de los conductores en direccin Y: xi, yi, li Datos de las barras: xi, yi, li Creacin de la matriz R Resistencias propias y mutuas entre conductores paralelos en direccin X. Para i = 1...nx, j = 1...nx : l1 = li , l2 = lj m = xj xi , p = | yj yi | + ac R R

Resistencias propias y mutuas entre conductores paralelos en direccin Y.Para i = 1..ny, j = 1..ny : l1 = li , l2 = lj m = yj yi , p = | xj xi | + ac R R Resistencia mutua entre conductores en direcciones X e Y..Para i = 1..nx, j = 1..ny : l1 = li , l2 = lj m = xj xi, p = yj yi q = 0 R q = 2t R Resistencias propias y mutuas entre barras. Para i = 1..nb, j = 1..nb : l1 = l2 , l2 = lj , m = 0 R m = li +2t R Resistencia mutua entre conductores en direccin X y barras. Para i = 1..nx, j = 1..nb : l1 = li , l2 = lj m = yj yi , q = xj xi , p = 0 R p = 2t R Resistencia mutua entre conductores en direccin Y y barras. Para i = 1..ny, j = 1..nb : l1 = li, l2 = lj m = xj xi,, q = yj yi, p = 0 R p = 2t RInversin de la matriz [R].Calculo de R.

Resistencia de mallas de tierraEn, general una puesta a tierra debe cumplir con el requerimiento de poseer una resistencia que no exceda un valor especificado, como es el caso de puestas a tierra de estructuras de lneas de transmisin, instalaciones de comunicacin, pequeas instalaciones de potencia, etc. Dependiendo de cada situacin, es posible que se requiera, adems, que sea segura para las personas y equipos.Si se trata de instalaciones de gran tamao como subestaciones, centrales generadoras, industrias con suministro elctrico en alta tensin, etc., el requerimiento mas importante es garantizar un alto grado de seguridad para las personas que laboran y transitan en estas instalaciones y para otras personas ajenas que podran verse afectadas.Una forma de cumplir con este objetivo de una alta seguridad para las personas y equipos, es utilizar lo que se denomina malla de tierra (ground grid, en ingles). Esta denominacin tiene relacin con la forma fsica de la puesta a tierra, esto es, conjunto de conductores paralelos, entrelazados entre si formando una red o malla, generalmente de forma rectangular. Este reticulado pretende simular en cierto grado a una plancha o superficie metlica que cubriese toda el rea de la instalacin.

En esta situacin limite, terica e impracticable, las solicitaciones de voltaje mano-pie y pie-pie, en el interior de la instalacin serian nulas. En el caso real de una malla, estas solicitaciones estn presentes; sin embargo, utilizando una disposicin y un nmero adecuado de conductores, se pueden reducir a valores que no sobrepasen lo aceptable. La condicin de seguridad se cumplir entonces con una conveniente (en teora optima) combinacin de resistencia de puesta a tierra y combinacin de electrodos.La geometra o disposicin de los electrodos de la malla, determina la relacin entre las solicitaciones de voltaje en su interior y contorno, y el potencial . De este modo, si para una cierta disposicin inicial estimada de los conductores, las solicitaciones excedan lo permitido, debido por ejemplo a un valor alto de la resistividad del terreno, ser necesario disminuir la distancia entre conductores, haciendo mas tupida la malla. Por lo contrario, si las solicitaciones son muy inferiores a las toleradas, bastara con una malla con conductores mas separados.El clculo de la resistencia de una malla de tierra se efecta siguiendo el mtodo indicado para combinacin de conductores y barras y cuyo procedimiento esta resumido en la tabla vistas. Solo corresponden algunas consideraciones particulares, en relacin al tamao de la malla de tierra y el hecho de suponer equipotencial el conjunto de electrodos.

En una malla bsica, los conductores que la conforman estn espaciados uniformemente en cada una de las direcciones, tal como se muestra en la figura siguiente. Sin embargo, en la prctica, la ejecucin de la malla deber adaptarse a la instalacin real al considerar la presencia de edificios, equipos, fundaciones, etc.; lo que obliga a modificar el trazado de los conductores de la malla regular inicialmente considerada. Es necesario que el proyecto tenga en cuenta estas situaciones, realizando una disposicin conservativa de los electrodos, sin caer en un uso exagerado y antieconmico de estos. Como por ejemplo en la figura siguiente se muestra lo que podra ser la modificacin de una malla regular, impuesta por la situacin real de la instalacin. Lo normal es que no se produzcan diferencias importantes en los valores de resistencia y en las solicitaciones de voltaje, entre la malla regular bsica que se ha proyectado y la malla adaptada a las condiciones reales de la instalacin.

Las solicitaciones de voltaje, Vcont, entre manos y pies en una malla con conductores espaciados regularmente, tienen sus valores mximos en los mdulos externos, en particular en las esquinas. Se propone una disposicin de conductores con una separacin mayor en el centro de la malla, disminuyendo progresivamente hacia el exterior, como se muestra en la figura a). Con esto se persigue que todos los mdulos posean aproximadamente el mismo valor de Vcont, logrndose una reduccin de la longitud total de conductores y excavaciones para igual es valores de solicitaciones. Una forma usada frecuentemente para reducir los valores de Vcont en los mdulos de las esquinas de una malla, es utilizar adicionalmente a los conductores de una malla bsica, conductores en cruz en estos mdulos, como se muestra en la Figura b). De esta manera es posible reducir en algn grado el uso de conductores en el resto de la malla.

a) separacin progresiva de conductores. b) cruces en esquina.

Consideraciones sobre el clculo exacto de mallas de tierra Una manera de disminuir el volumen de clculo al determinar la resistencia de una malla, es reducir el tamao de la matriz [R] de resistencias propias y mutuas; lo que puede lograrse definiendo de forma conveniente los electrodos que conforman la malla sin que se produzca un error importante en los resultados. Como por ejemplo, en la figura siguiente se muestra una malla de tierra cuyos electrodos se han definido en forma semi-exacta y en forma aproximada. Si la malla del ejemplo tiene una dimensin de 48 x 24 m, t = 0.5 m, a = 0.00663 m, = 100 -m y se representa mediante 24 elementos, como en la situacin a), la resistencia determinada con el mtodo general es 1,451. Este valor crece a 1,454, al definir los elementos de acuerdo a b). Sin embargo los tiempos de cmputo se reducen en ms de 50 veces. b)a)

Otra forma de disminuir el tiempo de formacin de la matriz [R] de una malla, es reducir el nmero de trminos de ella que deben calcularse. Si la malla posee simetra total o parcial, el clculo de las resistencias propias se reduce a su determinacin para cada uno de los electrodos en las direcciones A y B. Sin embargo donde se puede conseguir una reduccin importante es en el calculo de las resistencias mutuas, considerando que se repiten con gran frecuencia, disposiciones homologas entre pares de electrodos; esto es, disposiciones que presentan la misma disposicin relativa entre dos de ellos y que, por tanto, dan lugar a iguales resistencias mutuas. La figura siguiente se muestra una malla de tierra sencilla simtrica, que presenta numerosos casos de pares homlogos de elementos, lo que permite reducir considerablemente el volumen de clculo. Si en la malla sencilla supuesta, no se considerase el criterio de homologia entre pares de electrodos deberan determinarse N (N + 1) / 2 = 78 valores, correspondientes a todas las resistencias propias, mas la mitad de todas las resistencias mutuas. Sin embargo al considerar elementos y pares de elementos homlogos, se debern calcular solo 16 valores que agrupan a los siguientes trminos de la matriz [R]:

1 1-1 / 2-2 / 3-3 / 4-4 / 5-5 / 6-62 1-2 / 3-4 / 5-63 1-3 / 2-4 / 4-6 / 3-54 1-4 / 2-3 / 3-6 / 4-55 1-5 / 2-66 1-6 / 2-57 1-7 / 1-9 / 2-9 / 2-11 / 3-7 / 3-8 / 3-9 / 3-10 / 4-9 / 4-10 / 4-11 / 4-12 / 5-8 / 5-10 / 6-10 / 6-128 1-8 / 1-10 / 2-10 / 2-12 / 5-7 / 5-9 / 6-9 / 6-119 1-11 / 2-7 / 3-11 / 3-12 / 4-7 / 4-8 / 5-12 / 6-810 1-12 / 2-8 / 5-11 / 6-77-7 / 8-8 / 9-9 / 10-10 / 11-11 / 12-1212 7-8 / 9-10 / 11-127-9 / 8-10 / 9-11 14 7-10 / 8-9 / 9-1215 7-11 / 8-1216 7-12 / 8-11Malla simtrica de tierra con pares homlogos de elementos.

Finalmente otra condicin que ayuda a disminuir los tiempos de cmputo es la simetra en las corrientes dispersadas por los electrodos. En la figura siguiente se muestra una malla de tierra simtrica compuesta por 24 electrodos elementales (representacin semi-exacta). La inversin de la matriz en la forma tradicional determina las 24 corrientes dispersadas por los electrodos; sin embargo, por inspeccin, se deduce que es suficiente determinar solo las corrientes de los electrodos1 / 2 / 4 / 5 / 13 / 14 / 16 / 17, esto es 8 en lugar de 24. Si adems los electrodos de la malla se representasen en forma aproximada como en la figura anterior debera determinarse la corriente en solo 4 de los 8 electrodos.Para una malla con un numero grande de electrodos elementales, basta calcular la corriente en aproximadamente una cuarta parte de ellos.

El procedimiento de clculo reducido consiste en escribir la ecuacin general de los potenciales en la forma particionada:

donde las submatrices RAA, RAB, RBA, y RBB se obtienen de la matriz [R] intercambiando filas y columnas de manera de dejar en RAA solo los electrodos que deben calcularse, e Ia es el subvector correspondiente de corrientes. La solucin de la expresin anterior para {IA} es:

Aplicando la expresin anterior se reduce el tiempo de determinacin de las corrientes a aproximadamente un 55 a 62 % del empleado al invertir la matriz completa.

Clculo aproximado de la resistencia de una malla de tierraEl clculo exacto de la resistencia de una malla de tierra formada por un numero grande de electrodos elementales, exige disponer de programas d computo especiales, no siempre accesible para el ingeniero no especialista. Por esta razn, es conveniente constar con procedimientos que simplifiquen el clculo de la resistencia con una aproximacin aceptable para fines prcticos.Aun cuando se disponga de mtodos elaborados y exactos para el calculo de una malla, el uso de expresiones aproximadas de fcil y rpido uso, permite al proyectista tener un primer conocimiento de este parmetro y concluir acciones bsicas a realizar.Los procedimientos ms frecuentes en clculo aproximado de la resistencia de un malla de tierra son el mtodo de Laurent y el mtodo de Schawarz.

Mtodo de Laurent.Segn Laurent la resistencia de una malla de tierra constituida solo por conductores horizontales se puede determinar en forma aproximada con la siguiente expresin:

donde: es la resistividad del terreno, supuesto homogneo.r es el radio equivalente del rea cubierta por la malla. Si la malla es un rectngulo de lado A y B, el radio equivalente, vale:

L es la cantidad total de conductor de la malla.El primer termino del a expresin equivale a la resistencia que tendra un plancha metlica, de las dimensiones de la malla de tierra, y corresponde a una situacin limite considerando una cantidad infinita de conductor en el interior de sta. El segundo termino es un resistencia adicional, que considera el efecto de la cantidad real de conductor de la malla.

Mtodo de Schwarz.Schwarz ha propuesto expresiones para el calculo aproximado de mallas de tierra formadas por un reticulada y un conjunto de barras verticales. Estas expresiones proporcionan una exactitud mejor que con el mtodo de Laurent. El procedimiento consiste en determinar separadamente la resistencia del reticulado de conductores horizontales y del conjunto de barras y, a continuacin, la resistencia mutua entre ambos conjuntos. Estas resistencias se combinan en una expresin final para la resistencia total. a). Resistencia del reticulado:

b). Resistencia del conjunto de barras:donde:L es la resistividad del terrenoN es el numero de barrasdc es el dimetro del conductorl es la longitud de cada barrat es la profundidad de enterramientodb es el dimetro de la barra

k1 y k2 son coeficientes empricos que dependen de la superficie abarcada por la malla, la relaciona A/B y de la profundidad de enterramiento. Se han obtenido en forma experimental en modelos; sin embargo, a partir de stos, es posible deducir las siguientes expresiones analticas que lo representan con un aproximacin aceptable:

En las expresiones anteriores se ha supuesto que la malla tiene forma rectangular. Sin embargo, si se aparta moderadamente de la forma rectangular puede aproximarse a esta condicin sin cometer errores de importancia. En este caso se remplaza el producto A B, por la superficie de la malla.

En su forma original, la expresin para la resistencia del conjunto de barras, supone que estas estn enterradas a partir de la superficie del terreno. En la prctica, las barras se entierran aproximadamente a partir de la profundidad t de enterramiento de los conductores horizontales, por tanto es conveniente incluir este parmetro, con lo que la expresin queda como:

c). Resistencia mutua entre conjuntos:

d). Resistencia combinada de ambos conjuntos.

EjemploCalcular la resistencia de puesta a tierra de la malla indicada en la figura, constituida por un reticulado y un conjunto de barras. El conductor de la malla es 4/0 AWG-7 (a = 0.00663 m), y est enterrado a 0.5 m de profundidad en un terreno de = 100 -m. Las barras son de 3 m de longitud dimetro 5/8, y estn enterradas a partir de la profundidad de los conductores.

a). Solucin segn Schwarz.Para los fines de determinar los valores de A y B, la malla real se puede asumir como una malla de 72 x 30 m, que posee igual superficie que la malla real. Por tanto:

La cantidad total de conductor de la malla es L=408 m. La resistencia del reticulado es:

y la del conjunto de barras es:

La resistencia mutua entre ambos conjuntos es:

Finalmente, la resistencia combinada de ambos conjuntos, es:

b). Este mismo caso, resuelto en forma exacta, da los siguientes resultados:Rc ex = 1.07 Rb ex = 5.65 Rex = 1.04 Por lo tanto, las diferencias son de aproximadamente +8 % para el reticulado, +5 % para las barras y +10 % para los conjuntos combinados. En ambos casos se observa el casi nulo efecto de las barras en un terreno homogneo.

En el ejemplo anterior, la malla de tierra no se aleja demasiado de la forma rectangular y puede aproximarse a esa condicin, sin que se cometan errores de importancia. Sin embargo, si la puesta a tierra tiene una forma acentuadamente heterognea, es necesario proceder de distinta forma. Una posible solucin es dividir la malla en diferentes partes o submallas, cada una de ellas de forma rectangular, o semejante a un rectngulo. De este modo cada submalla se puede considerar como un electrodo cuya resistencia propia Rii se determina aplicando las expresiones de Schwarz, considerando sus conductores y barras. Las resistencias mutuas Ri j entre mallas se pueden determinar asumindolas representadas por semiesferas o fuentes radiales de corriente ubicadas en los centros de las reas. As:

Donde si j es la distancia entre centros de mallas.y al igual que en el mtodo general, la resistencia se determina como el inverso de la sumatoria de la matriz conductancia obtenida de la matriz de resistencias propias y mutuas de los electrodos equivalentes que representan a cada submalla.

Interconexin de puestas a tierraEn determinadas situaciones puede ser conveniente interconectar diferentes puestas a tierra de una instalacin, con el objeto de mejorar las caractersticas del conjunto y disminuir las diferencia de potencial entre distintos puntos de stas. Sin embargo, no siempre es adecuado realizar la interconexin de puestas a tierra, y en cada situacin debe analizarse las ventajas e inconvenientes de hacerlo.Mtodo de clculo aproximado de puestas a tierra interconectadas.El clculo exacto de puestas a tierras interconectadas se puede realizar aplicando el mismo procedimiento general utilizado para una sola, considerando los elementos de todas las puestas a tierra y los elementos de interconexin embebidos en el terreno. Sin embargo, para fines prcticos es conveniente y suficiente emplear mtodos aproximados, que proporcionen una exactitud adecuada. Una forma de proceder, es considerar a cada uno de los componentes, puestas a tierra y cables de interconexin como electrodos equivalentes. Conociendo la resistencia propia de cada uno y las mutuas entre ellos, se puede utilizar el mtodo general de calculo, pero ahora aplicado a los electrodos equivalentes.

En la figura siguiente se muestra un esquema de interconexin de tres mallas de tierra.

De acuerdo a lo indicado, la solucin del sistema esquematizado en la figura, implica formar la matriz de resistencias propias y mutuas para todos los electrodos equivalentes embebidos en el terreno, y resolver el sistema. La solucin permite determinar la resistencia del conjunto, las corrientes dispersadas por cada una de las partes y con estas calcular las solicitaciones de voltaje Vcont y Vpaso en cada malla.

Resistencia mutua entre puestas a tierra y conductores de interconexin.No es fcil deducir un criterio nico para el calculo aproximado de la resistencia mutua entre una puesta a tierra y un conductor de interconexin ubicado en cualquier posicin relativa. Una solucin posible, sobre la base de la siguiente figura es la que se muestra a continuacin.Con los parmetros definidos en la figura:y: