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ejercicios resueltos
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MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGELEl método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución
de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial
de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente
mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este
fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos.
ALGORITMO DE VOGEL
El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos
fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método.
PASO 1Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los
dos costos menores en filas y columnas.
PASO 2Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta
realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber
empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal).
PASO 3De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior
debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor
cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o
demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de
empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a
cero (0).
PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES- Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o
demanda, detenerse.
- Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva,
determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos
mínimos, detenerse.
- Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y
demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo,
detenerse.
- Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que
las ofertas y las demandas se hayan agotado.
EJEMPLO DEL MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL
Por medio de este método resolveremos el ejercicio de transporte resuelto en
módulos anteriores mediante programación lineal.
EL PROBLEMAUna empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación
para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá,
Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45
millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de
Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al
día respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW
entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
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Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las
necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos
asociados al transporte.
SOLUCIÓN PASO A PASOEl primer paso es determinar las medidas de penalización y consignarlas en el
tabulado de costos, tal como se muestra a continuación.
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El paso siguiente es escoger la mayor penalización, de esta manera:
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El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla
paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar
como el menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como
máximo 60 unidades "que es la capacidad de la planta 3".
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Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60
unidades) esta debe desaparecer.
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Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso
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Iniciamos una nueva iteración
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Continuamos con las iteraciones,
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Iniciamos otra iteración
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Al finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sin
tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y
hemos concluido el método.
MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO
El método del costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo
desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución,
arrojando mejores resultados que métodos como el de laesquina noroeste,
dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos.
El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores
dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de
unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda
menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método.
ALGORITMO DEL COSTO MÍNIMOPASO 1:De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este
se rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades
posible, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o
de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de
la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.
PASO 2:En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea
0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se
elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según
sea el caso.
PASO 3:Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo
renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método,
"detenerse".
La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso
iniciar nuevamente el "Paso 1".
EJEMPLO DEL MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO
Por medio de este método resolveremos el problema de transporte propuesto y
resuelto en módulos anteriores mediante programación lineal.
EL PROBLEMAUna empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación
para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá,
Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45
millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de
Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al
día respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW
entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
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Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las
necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos
asociados al transporte.
SOLUCIÓN PASO A PASO
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Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Bogotá y a la oferta de
la "Planta 3", en un proceso muy lógico. Dado que Bogotá se queda sin
demanda esta columna desaparece, y se repite el primer proceso.
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Nuevo proceso de asignación
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Nuevo proceso de asignación
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Nuevo proceso de asignación
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Una vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta que solo quedará
una fila, por ende asignamos las unidades y se ha terminado el método.
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El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente)
queda así:
Los costos asociados a la distribución son:
MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTEEl método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de
solucionar problemas de transporte o distribución mediante la consecución de
una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes sin
que esto implique que se alcance el costo óptimo total.
Este método tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de
su ejecución, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número
de fuentes y destinos sea muy elevado.
Su nombre se debe al génesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o
esquina Noroeste. Es común encontrar gran variedad de métodos que se
basen en la misma metodología de la esquina Noroeste, dado que podemos
encontrar de igual manera el método e la esquina Noreste, Sureste o Suroeste.
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE LA ESQUINA NOROESTE
Se parte por esbozar en forma matricial el problema, es decir, filas que
representen fuentes y columnas que representen destinos, luego el algoritmo
debe de iniciar en la celda, ruta o esquina Noroeste de la tabla (esquina
superior izquierda).
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PASO 1:En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima
cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las
restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a
ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad
asignada a la celda.
PASO 2:En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea
0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se
elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según
sea el caso.
PASO 3:Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo
renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método,
"detenerse".
La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso
iniciar nuevamente el "Paso 1".
EJEMPLO DEL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
Por medio de este método resolveremos el problema de transporte propuesto y
resuelto en módulos anteriores mediante programación lineal.
EL PROBLEMAUna empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación
para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá,
Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45
millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de
Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al
día respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW
entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
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Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las
necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos
asociados al transporte.
SOLUCIÓN PASO A PASO
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Ahora la cantidad asignada a la esquina noroeste es restada a la demanda de
Cali y a la oferta de la "Planta 1", en un procedimiento muy lógico. Dado que la
demanda de Cali una vez restada la cantidad asignada es cero (0), se procede
a eliminar la columna. El proceso de asignación nuevamente se repite.
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Continuamos con las iteraciones.
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En este caso nos encontramos frente a la elección de la fila o columna a
eliminar (tachar), sin embargo podemos utilizar un criterio mediante el cual
eliminemos la fila o columna que presente los costos más elevados. En este
caso la "Planta 2".
Nueva iteración.
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Una vez finalizada esta asignación, se elimina la "Planta 3" que ya ha sido
satisfecha con la asignación de 60 unidades, por ende nos queda una sola fila
a la cual le asignamos las unidades estrictamente requeridas y hemos
finalizado el método.
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El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente)
queda así:
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Los costos asociados a la distribución son:
Método del Cruce del arrollo
El método del cruce del arrollo también llamado algoritmo de Stepping –Stone, es un
método de programación lineal que consiste en calcular cuál sería la variación del costo
del envio de una unidad de cierto producto por cada una de las ruta posibles, es decir
asignar cierta cantidad de artículos desde varios origines (fabricas) a un conjunto de
destinos (clientes) de tal manera que se disminuyan los costos, hasta optimizar la función
objetivo.
Para mostrar el funcionamiento de este método Vamos a determinar la solución optima del
siguiente modelo con el método del cruce del arrollo
DESTINOS
Fuentes 1 2 3 4 Oferta
1 10 0 20 11 15
2 12 7 9 20 25
3 0 14 16 18 5
Demanda 5 15 15 10 45
Tenemos 4 destinos y 3 fuentes cada fuente es de donde va a salir el material, y los
destinos serian los clientes.
En la parte inferior de la tabla tenemos la demanda de cada cliente y en la parte derecha la
oferta de cada fuente
Queremos determinar cuánto material enviar de cada fuente a cada destino minimizando
los costos, en la parte superior derecha están el costo de envió cada celda, por ejemplo
por cada artículo que se envié de la fuente dos al cliente dos tendrá un costo de 7
unidades monetarias.
1. El primer paso es verificar que la oferta y la demanda son iguales, en cuanto a la
oferta15+25+5 serian 45 y la demanda seria 5+15+15+10 igual a 45, es decir que
son iguales
2. Hallar la solución inicial factible ya sea por el método de la esquina noroeste,
costo mínimo o aproximación de vogél, una vez hallada, se calcula la solución es
decir Z y verificamos si la solución es degenerada con la formula numero de
columnas mas numero de filas menos uno debe ser menor o igual al numero de
celda vacias ( #C + #F – 1 ≤ # celdas vacias)
DESTINOS
Fuentes 1 2 3 4 Oferta
1 10 0 20 11 15
2 12 7 9 20 25
3 0 14 16 18 5
Demanda 5 15 15 10 45
Z= 410
F+C-1 ≤numero de casillas llenas 4+3-1 ≤6 si se cumple
1. Luego pasamos esta solución a una nueva tabla para hacer la primera iteración
iniciamos colocando el número 10 en la parte derecha de la primera fila, también
puedes ser un cero por ejemplo y dará el mismo resultado, El numero 10 va a
representar toda la primera fila, así que procedemos a restar el costo de las
casillas llenas menos el numero 10.10 menos 10, cero, este número se coloca en
la parte arriba, luego 0 menos 10… Menos 10, no continuamos porque las
siguientes son vacías, así que continuamos con el -10 que representa la segunda
columna
2.
1. Debido a que se necesita hallar una solución optima mejor que la anterior hay que
asignarle una cantidad de material a una de las celdas vacías, así que
comenzamos a sumar los números que hayamos, en cada casilla vacia se suma el
numero de la fila mas el de la calumna.
Se marca con un punto las casillas en que la cantidad de material sea mayor al costo en
este caso son 17, 15 y 13, a la casilla que le vamos a asignar el material es a la que tenga
el menor costo de trasporte, en este caso es el 15 , pero si le asignamos un valor a esta
casilla la primera columna y la última fila quedan con material de sobra, por esto le
restamos esta misma cantidad a la fila y la columna, luego la primera fila queda con menos
material, por esto se le suma esta misma cantidad a la casilla del 10, entonces la segunda
columna queda con exceso de material, así q se le resta esta misma cantidad a la celda
siguiente que sería el 5 y finalmente para equilibrar la segunda fila se suma este valor a la
casilla del5 y de esta manera cerramos el ciclo, y la cantidad de material asignado que se
sumara y restara en las casillas será el menor valor de las casillas con signo negativo, en
este caso sería el 5
Luego repetimos una vez más el ciclo desde el paso 3, hallamos la solución Z y si la
solución es degenerada:
Hallamos el costo en esta solución optima y obtenemos
Z= 15(9)+10(20)= 335
De lo cual podemos observar que el costo mínimo es menor al hallado anteriormente.
Luego procedemos a verificar si la solución es degenerada #F + #C-1≤ casillas llenas
de lo cual tenemos: 4+3-1 ≤ 4
Debido a que no se cumple al inecuación podemos deducir que esta solución si es
degenerada por lo cual necesitaremos una cantidad muy pequeña llamada épsilon (E ) su
valor tiende a cero , serian dos para cumplir la desigualdad. Al finalizar obtenemos la
siguiente tabla y repetimos el ciclo. Sabremos que hemos terminado una vez el costo
mínimo (Z) deja de disminuir o deja de haber casillas marcadas con *
Z=7(10)+15(9)+10(11)=315
es decir que el costo disminuyo
Verificamos si la solución es degenerada y obtenemos 4+3-1≤5 no se cumple la
inecuación, por lo cual necesitamos un épsilon, Al finalizar obtenemos la siguiente
solución.
Si embargo en este caso no hay ninguna casilla en la que se pueda marcar * por lo cual la
respuesta con un costo de Z=315 es:
Método Modificado de distribución (Modi)
Partiendo de la solución básica factible encontrada por el método de vogel, aplicamos el
método de modi, para averiguar cual es la variable no básica que debe entrar y cual
la variable básica que debe salir. para ello efectuamos los siguientes pasos:
1. Construimos una tabla de costos para las variables básicas y en ella calculamos los
ui y los vj que cumplan Cij – ui – vj = 0
2. Construimos una tabla de costos ó coeficientes en la función objetiva para las
variables no básicas cuyo valor es Cij – ui – vj
Z = 2.650
Solución básica factible no degenerada lograda mediante el método de vogel, con m+n-
1=8 variables básicas. Tabla de costos para las variables básicas Calculamos los ui ^ vj de
tal forma que Cij – ui – vj = 0.
Se Asigna el primer valor de ui ó de
vj arbitrariamente, preferentemente 0 (Puede ser cualquier valor) en la fila ó columna, que
tenga a mayor cantidad de asignaciones (Variables Básicas), para nuestro caso,
fila 3 ó columna 5. Con base en éste primer valor, calculamos todos los ui y vj,
aplicando Cij – ui – vj = 0, para ui = Cij
V1 = C21 – u2 = 15 – 0 = 15
V3 = C23 – u2 = 13 – 0 = 13 V5 = C25 – u2 = 16 – 0 = 16
u1 = C15 – v5 = 16 – 16 = 0 U3 = C33 – v3 = 18 -13 = 5
u5 = C45 – v5 = 0 – 16 = -16 V2 = C32 – u3 = 15 – 5 = 10
V5 = C45 – u5 = 0 – (-16) = 16
Observe que el cálculo para cualquier ui ,es el costo menos el respectivo vj
y para cualquier vj, es el costo menos el respectivo ui
Tabla de costos para las variables no básicas Cij-ui -vj , así:
C11 – u1 – v1 = 20 – 0 – 15 = 5
C12 – u1 – v2 = 19 – 0 – 10 = 9
C13 – u1 – v3 = 14 – 0 – 13 = 1
C14 – u1 – v4 = 21 – 0 – 16 = 5
C 22 – u2 –v2 = 20 – 0 – 10 = 10
C24 – u2 –v4 = 19 – 0 – 16 = 3
C31 – u3 – v1 = 18 – 5 – 15 = -2
C34 – u3 – v4 = 20 – 5 – 16 = -1
C35 – u3 – v5 = M – 5 –16 = M-21
C41 – u4 – v1 = 0 – (-16) – 15 = 1 C42 – u4 – v2 = 0 – (-16) – 10 = 6
C43 – u4 – v3 = 0 – (-16) – 13 = 3
Observe que éstos cálculos se pueden hacer directamente sobre la tabla, aplicando para
las casillas de las variables no básicas Cij – ui – vj
Fíjese que en ésta última tabla, están todos los coeficientes de las variables no básicas
en la función objetiva, después de haber sumado múltiplos de las restricciones a la
función objetivo para eliminar las variables básicas. La nueva función objetivo es:
Z = 5X11 + 9X12 + X13 + 5X14 + 10X22 + 3X24 -2X31-X34 + (M-21)X35 + X41 + 6X42 +
3X43 + 2.650
La variable que al crecer hace que Z disminuya más es X31 , luego escogemos ésta
variable para entrar a la base.
Observe que en la tabla de costos para las variables no básicas se encuentran los valores
en que aumenta ó disminuye Z por cada unidad de crecimiento de las variables no
básicas.
Identificada la variable para entrar (X31), debemos determinar la variable para salir,
que debe ser aquella que primero se vuelva cero (0) a medida que la variable que entra
crezca. para ello, construimos un circuito cerrado de (+) y (-), empezando, sumando en la
casilla de la variable que entra X31. Observe que el circuito de (+) y (-) tiene como objetivo
preservar la suma de las filas y de las columnas, esto es, seguir satisfaciendo la oferta y la
demanda, conservando la factibilidad del problema.
Z=2.650 ; Variable que entra X31. Fíjese que
a medida que X31 crece, X21 y X33 decrecen en la misma cantidad. Aquí X21 y X33
llegan a cero al mismo tiempo. Escogemos arbitrariamente a X33 como variable que sale y
a X21 al restarle 30 quedará con un valor de ε ≅ 0
Z=(40)(15)+(0)(15)+(50)(13)+(10)(16)+(30)
(18)+ (40)(15)+(40)(0)+(10)(0) = 2.590
. Fíjese que m+n-1=8
. X21 es variable básica = 0
. La oferta es igual a la demanda.
. Z disminuye en 60 unidades; 2(30)=60 ⇒ 2.650 – 60 = 2.590
La pregunta aquí es: Ésta es la solución óptima?, la respuesta la conoceremos cuando
calculemos la nueva tabla de costos para las variables no básicas.
Tabla de costos para las variables básicas: Cij – ui – vj = 0
Tabla de costos para las variables no básicas: Cij – ui– vj
Fíjese que todos son > 0 ⇒ Estamos en la solución óptima
Solución óptima Variables básicas: X15* = 40
X21* = ε = 0
X23* = 50 X25* = 10
X31* = 30 X32* = 40
X54* = 40 X55* = 10
Z* = 40(16)+0(15)+50(13)+10(16)+30(18)+40(15)+ 40(0) +10(0) = 2.590
Interpretación de la solución
La forma óptima de hacer los envíos desde las fábricas (1,2,3) a los
distribuidores (1,2,3,4,5) para que los costos totales del transporte sean mínimos es:
Desde la fábrica 1 al distribuidor 5 enviar 40 unidades, a un costo de: $ 640
Desde la fábrica 2 al distribuidor 3 enviar 50 unidades, a un costo de: $ 650
Desde la fábrica 2 al distribuidor 5 enviar 100 unidades, a un costo de: $ 160
Desde la fábrica 3 al distribuidor 1 enviar 30 unidades, a un costo de: $ 540
Desde la fábrica 3 al distribuidor 2 enviar 40 unidades, a un costo de: $ 600
Total de unidades enviadas 170, a un costo total de $2.590
Observe que el distribuidor 4 se quedará sin sus 40 unidades y que el distribuidor 5 sin
sus 10 unidades, en total quedará una demanda insatisfecha de 50 unidades (Información
que conocimos desde el principio), lo relevante aquí, es que ahora sabemos a quien no
enviarle las 50 unidades que no tienen los distribuidores y que podemos tomar
decisiones administrativas referentes a la demanda no cubierta, tales como:
1. Conseguir las 50 unidades a través de la competencia agremiada, como consecuencia
de acuerdos previamente establecidos.
2. Acordar con el distribuidor 4 y 5 cubrir dicha demanda en el periodo de
producción siguiente.
3. Otras decisiones podrán ser tomadas en concordancia con la situación real