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Ejercicios de aplicación exponencial y logarítmica (35 a39)
INSTITUTO TECNOLOGICO DE PUEBLA
MATERIA:Matemáticas V 9-11am
CATEDRATICO:Mario Alberto Lezama Rojas
ALUMNOS:Rivera Sánchez Jesús AntonioZacarías Zepeda RaúlAmado Torres Juan Ulises
Interés Compuesto
“El interés compuestointerés compuesto es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos.” [Vidaurri,1997].
En otras palabras, si a un capital le agregamos los intereses que ha obtenido en un determinado período, y a este nuevo capital e intereses le pagamos un nuevo interés en un período siguiente, entonces, el interés pagado ha sido compuesto.
El interés compuesto se usa principalmente para operar los depósitos en los bancos y en las asociaciones de préstamos y ahorros.
Cuando se deposita el dinero en un banco, el depositante está prestando su dinero al banco por un tiempo definido con el fin de ganar intereses, es decir, está invirtiendo su dinero.
4
El período convenido para convertir el interés en capital se llama período de capitalización o período de conversiónperíodo de capitalización o período de conversión.
La expresión: “período de capitalización semestral”, significa que el interés generado se capitaliza; es decir, se suma al capital, al término de cada 6 meses.
Al igual que en el interés simple, la tasa de interés dada en un problema de interés compuesto será una tasa anual, exceptoque se diga lo contrario.
Tasa de interés nominal y efectiva
La tasa de interés anual aplicable a una inversión o a un préstamo a interés compuesto se llama tasa de interés tasa de interés nominalnominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en la operación financiera.
La tasa efectiva por períodotasa efectiva por período es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada período de capitalización. Esta tasa se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de períodos de capitalización que hay en un año.
Formula del interés compuesto:
Formula (1)
Donde:
P=Valor Presente
1=Constante
r=Interés anual (expresado en decimal)
n=Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,…
t= Años..
1n t
rA P
n
× = + ÷
Ejercicio No.35
Si $ 1,000 se invierten el 6% anual y el interés se capitaliza trimestralmente, encuentre el capital al final de:
a) 1 año
b) 2 años
c) 5 años
d) 10 año
primeramente transformamos el interés anual (6%) a decimales:
Entonces nuestro interés anual será: 0.06%.Y como se capitaliza trimestralmente, cada año tiene 4 trimestres así que n=4.
6 0.06100 =
a) 1 año
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
RESPUESTA
4 10.06
1000 14
A×
= + ÷
( ) 41000 1.015A =
( )1000 1.06136 $1061.36A = =
1n t
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 4t= 1
b) 2 años
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
RESPUESTA
4 20.06
1000 14
A×
= + ÷
( ) 81000 1.015A =
( )1000 1.12649 $1126.49A = =
1n t
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 4t= 2
c) 5 años
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
RESPUESTA
4 50.06
1000 14
A×
= + ÷
( ) 201000 1.015A =
( )1000 1.34685 $1346.86A = =
1n t
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 4t= 5
d) 10 años
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
RESPUESTA
4 100.06
1000 14
A×
= + ÷
( ) 401000 1.015A =
( )1000 1.181401 $1814.01A = =
1n t
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 4t= 10
Grafica
interés compuesto años
1061.36 1
1126.49 2
1346.86 5
1418.02 10
Podemos observar queel interés se comporta de manera crecientecon forme pasan los años el interés va aumentado
Ejercicio No.36
Si $ 1,000 se invierten el 6% anual y el interés se capitaliza mensualmente, encuentre el capital al final de:
a) 1 año
b) 2 años
c) 5 años
d) 10 año
primeramente transformamos el interés anual (6%) a decimales:
Entonces nuestro interés anual será: 0.06%.Y como se capitaliza mensualmente, cada año tiene 12 meses así que n=12.
6 0.06100 =
a) 1 año (t=1)
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
RESPUESTA
12 10.06
1000 112
A×
= + ÷
( ) 121000 1.005A =
( )1000 1.06167 $1061.67A = =
1n t
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 12t= 1
b) 2 años
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
RESPUESTA
12 20.06
1000 112
A×
= + ÷
( ) 241000 1.005A =
( )1000 1.12715 $1127.15A = =
1n t
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 12t= 2
c) 5 años
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
RESPUESTA
12 50.06
1000 112
A×
= + ÷
( ) 601000 1.005A =
( )1000 1.34885 $1348.85A = =
1n t
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 12t= 5
d) 10 años
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
RESPUESTA
12 100.06
1000 112
A×
= + ÷
( ) 1201000 1.005A =
( )1000 1.81939 $1819.39A = =
1n t
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 12t= 10
Grafica
interes compuesto años
1061.68 1
1127.16 2
1348.85 5
1819.4 10
Podemos observar queel interés se comporta de manera crecientecon forme pasan los años el interés va aumentado
Ejercicio No.37
Si $ 1,000 se invierten al 9% anual capitalizado semestralmente, encuentre el tiempo requerido para que el capital exceda a:
a) $ 15000
b) $ 20000
c) $ 30000
t=? Buscaremos el No. Correcto para que nos de la cantidad de los incisos
primeramente transformamos el interés anual (6%) a decimales:
Entonces nuestro interés anual será: 0.09%.Y como se capitaliza semestralmente, cada año tiene 2 semestres así que n=2.
9 0.09100 =
a) 1 año (t=1)
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
2 4.610.09
1000 12
A×
= + ÷
( )1000 1.5005 $15,005A = =
?
1n
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 2t= ? R=4.61 5 ≃
añosR=$15000
a) 1 año (t=1)
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
2 (7.88)0.09
1000 12
A×
= + ÷
( ) 15.761000 1.045A =
( )1000 2.0011 $20,011A = =
?
1n
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 2t= ? R=7.88 8 ≃
añosR=$20,000
a) 1 año (t=1)
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
2 (12.48)0.09
1000 12
A×
= + ÷
( ) 24.961000 1.045A =
( )1000 3.0001 $30,001A = =
?
1n
rA P
n
× = + ÷
Valores:P= $1000r= 0.06%n= 2t= ?
R=12.48 12.≃5 años
R=$15000
interes compuesto años
15000 5
20000 8
30000 12.5
Podemos observar queel interés se comporta de manera crecientecon forme pasan los años el interés va aumentado
Ejercicio 38
Un niño deposita $500 en una cuenta de ahorros que paga el interés a una tasa de 6% compuesto anual capitalizado semanalmente. ¿Cuánto tiene en la cuenta después de un año?
Primeramente transformamos el interés anual (6%) a decimales:
Entonces nuestro interés anual será: 0.06%.Y como se capitaliza semanalmente, cada año tiene 52 semestres así que n=52.
6 0.06100 =
Usando la formula (1)
Sustituimos valores
Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma
Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos
RESPUESTA
Valores:P= 500r= 0.06%n= 52t= 1
1n t
rA P
n
× = + ÷
52 10.06
500 152
A×
= + ÷
( ) 52500 1.00115A =
( )500 1.06158 $530.80A = =
años interes compuesto1 530.8
años interes compuesto
1 530.8
Podemos observar que la cantidad aumento de acuerdo a su interés
Conclusión
Como podemos observar, el uso de una formula nos ayuda a poder realizar más rápido un problema, sin embargo cuando al problema le hace falta una variable como en este caso el TIEMPO, es difícil saber cuál sería el numero indicado para poder dar con la solución, y hay que estar jugando con los numero hasta poder llegar al correcto ya sea entero o decimal como en los ejemplos.
Valor Futuro
El valor futuro de la serie uniforme ordinaria es un pago único futuro, el cual está ubicado al final del plazo o término de la serie, exactamente donde ocurre el último pago.
La fórmula para calcular el valor futuro es la siguiente:
Donde:
VF = Valor futuro
P = Cantidad presente
i = Tasa de interés anual (expresado en forma decimal)
n = Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,…
( )1n
VF P i= +
Comentario
El valor futuro, es aquel valor que por lo contrario del valor presente, se realiza con anticipación, pero generalmente se aplica en una serie de pagos, tomando como valor futuro el último pago a realizar.
Ejercicio 39
Calcular el valor futuro de $100,000a un año; al 32% anual
Usando la formula
Sustituimos valores
Resolvemos la exponencial y la suma
Resolvemos la multiplicación
( )1n
VF P i= +
( ) 1100000 1 0.32VF = +
( )100000 1.32VF =
( )100000 1.32 $132,000VF = =