EJEMPLOS, EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROBABILIDAD
1) Veamos un ejemplo para ver lo que son experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y sucesos compuestos:
2) Lanza 100 veces una moneda. Construye una tabla con el resultado y las frecuencias absoluta y relativa.
Resultado Frecuencia absoluta Frecuencia relativaCARA 57 57/100=0,57CRUZ 43 43/100=0,43
100 1
3) Lanzamos un dado cbico cuyas caras estn numeradas del 1 al 6, y anotamos el resultado de la cara superior. Se pide:a) Espacio muestral b) Suceso obtener n par c) suceso obtener n impara) ={1,2,3,4,5,6}b) A={2,4,6}c) B={1,3,5}
4) En el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es ={1,2,3,4,5,6}, se consideran los siguientes sucesos: A={2,5,6}, B={1,3,4,5}, C={4,5,6}, D={3}
Forma los sucesos contrarios. Solucin:
A= {1,3,4} B= {2,6} C= {1,2,3} D= {1,2, 4,5,6}
5) Al lanzar dos dados, cul es el suceso contrario al suceso obtener suma menor que 5?Solucin:S= obtener suma mayor o igual que 5
6) En una urna hay bolas pero no sabemos cuntas ni de qu colores. Sacamos una bola, observamos el color y la devolvemos a la urna. Repetimos el proceso 200 veces y hemos anotado 96 bolas rojas, 25 bolas blancas y 79 bolas negras.a) confecciona una tabla de frecuenciasb) si al terminar la experiencia nos dicen que hay 40 bolas, cuntas crees que habr de cada
color?Solucin
a)Bolas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Bolas rojas 96 96/200=0,48Bolas blancas 25 25/200=0,125
Bolas negras 79 79/200=0,395b) Bolas rojas=0,48 . 40 =19,2 ...........hay 19 bolas rojas
Bolas blancas=0,125 . 40 = 5 ..........hay 5 bolas blancasBolas negras = 0,395 . 40 = 15,8 ....hay 16 bolas negras
7) Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Cul es la probabilidad que al extraer una, sta sea blanca?. Y negra?Solucin Antes de aplicar Laplace, hemos de ver si los sucesos son equiprobables. En este caso lo son. Si los sucesos no fueran equiprobables, no se podra aplicar Laplace. En estos casos la asignacin de probabilidades se hace despus de repetir los lanzamientos muchas veces
P(Blanca)=3/5 = 0,6P(Negra) =2/5 = 0,4
8) En una bolsa se han introducido 80 bolas de golf, de las cuales 6 estn marcadas con el logotipo de una marca comercial. Una persona extrae una bola al azar:a) Cul es la probabilidad de que tenga el logotipo?. b) Y de que no lo tenga?.Solucin
a) P(bola con logotipo)= 6/80 b) P(bola sin logotipo)= 74/80
9) Veamos como cuando todos los resultados de un experimento son equiprobables, calcularemos la probabilidad aplicando Laplace:
10) Rosa tiene 15 cartas con los nmeros siguientes: 1-2-2-2-3-3-4-5-5-6-7-7-7-8-9. Las pone boca abajo y despus las baraja. Juan coge una carta. Halla la probabilidad de que la carta escogida sea:a) el 3 b) el 7 c) mayor que 3 d)cualquiera e)divisible por 4 f) mltiplo de 13 g) impar h) menor que 7 i) menor o igual que 7Solucin:a) P(3)=2/15 b) P(7)= 3/15 c) P(mayor que 3)=9/15 d) P(cualquiera)=1e)P(divisible por 4)= 2/15 f) P(mltiplo de 13)=0 g) P(impar)=9/15=3/5h) P(menor que 7)=10/15=2/3 i) P(menor o igual que 7)=13/15
11) Una urna contiene 8 bolas rojas y 5 bolas blancas. Se sacan dos bolas una tras otra (sin devolucin). Halla la probabilidad de que:a) la 1 sea blanca y la segunda rojab) la 2 sea rojaSolucin:Esquematicemos la situacin en el siguiente diagrama en rbol (a veces muy conveniente):
a) P(1B2R)= 5/13 . 8/12 = 10/39
b) P(2R)= P(1B2R) + P(1R2R) = 8/13 . 7/12 + 5/13 . 8/12 = 8/13
12) En una baraja espaola de 40 cartas. Cul es la probabilidad de obtener dos ases al sacar dos cartas?Solucin:Consideremos los sucesos:
A= sacar un asB= sacar otro as
P(AB)= P(A).P(B/A)La baraja tiene 40 cartas y 4 ases: P(A)=4/40Si ya ha salido un as quedan 3 ases y 39 cartas, por tanto
P(B/A)=3/39
P(AB)=4/40 . 3/39 = 1/130 = 0.0076923
13) Cul es la probabilidad de que al tomar tres cartas de la baraja fueran los tres ases?Solucin:
P(as,as,as)= 4/40 . 3/39 . 2/38 = 0.0004048
14) Cuando lanzamos al aire dos veces consecutivas una moneda, el que la segunda vez salga cara o cruz no est influenciado por el primer resultado. Comprubalo mediante un diagrama de rbol.Solucin:
1erlanzamiento2 lanzamiento Resultado Probabilidad1/2 c cc P(cc)=P(c)P(c)=1/2.1/2=1/4
c 1/2 1/2 x cx P(cx)=P(c)P(x)=1/2.1/2=1/4
1/2 c xc P(xc)=P(x)P(c)=1/2.1/2=1/4 1/2 x
1/2 x xx P(xx)=P(x)P(x)=1/2.1/2=1/4
15) De una bolsa en la que hay 5 bolas rojas, 4 blancas y 3 negras, se toman tres bolas. Cul es la probabilidad de sacar roja-blanca-negra?Solucin:a) Sin devolucin: P(rbn)=P(r).P(b/r).P(n/rb)=5/12 . 4/11 .3/10=1/22=0.04545b) Con devolucin: P(rbn)=P(r).P(b).P(n)= 5/12 .4/12 .3/12 = 5/144 =0.03472
16) Un jugador que suele encestar el 70%de sus tiros, tiene que lanzar una falta personal. Si el jugador acierta el primer tiro, puede repetir el lanzamiento. Por lo tanto, es posible que consiga 0 puntos (fallando el primer lanzamiento) o 1 punto (acertando el primero y fallando el segundo) o 2 puntos (acertando los dos).Qu probabilidad tiene en cada caso?.Solucin:
1erlanzamiento 2lanzamiento Resultado Probabilidad0,7 Acierto AA P(AA)=0,7.0,7=0,49
Acierto0,7 0,3 Fallo AF P(AF)=0,7.0,3=0,21
0,3 Fallo F P(F)= 0,3 =0,3SUMA=1
Lo ms probable es que enceste y obtenga 2 puntos.
17) Una mesa de despacho tiene dos cajones. El primero contiene 4 rotuladores rojos y 2 azules. El segundo contiene 3 rotuladores rojos y 3 azules. Se abre un cajn al azar y se extrae un rotulador. Cul ser la probabilidad de que se haya abierto el segundo y se haya cogido un rotulador rojo?Solucin:
Cajones rotuladores resultado probabilidad
4/6 Rojo PR P(PR)=1/2 . 4/6 =4/12=1/3Primero
1/2 2/6 Azul PA P(PA)= 1/2 .2/6 =2/12=1/6
1/2 3/6 Rojo SR P(SR)=1/2 .3/6 =3/12=1/4Segundo
3/6 Azul SA P(SA)=1/2 .3/6 =3/12=1/4
P(segundo y rojo)=3/12 = 1/4
18) Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes. Otra urna contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes. Se toma al azar una bola de cada urna. Cul ser la probabilidad de que ambas sean del mismo color?.Y de que sean de distinto color?.Solucin:
1 urna 2 urna resultado Probabilidad2/5 R RR P(RR)= 3/5 . 2/5 = 6/25
Rojo3/5 3/5 V RV P(RV)= 3/5 . 3/5 =9/25
2/5 2/5 R VR P(VR)= 2/5 .2/5 = 4/25Verde
3/5 V VV P(VV)= 2/5 . 3/5= 6/25Probabilidad de que sean del mismo color: P(RR) + P(VV)=6/25 + 6/25=12/25Probabilidad de que sean de distinto color: P(RV) + P(VR)=9/25 + 4/25=13/25
De una urna que contiene 7 bolas azules y 5 verdes se extraen dos bolas al azar sin devolucin. Cules son las probabilidades de los resultados posibles?.
Solucin:1extraccin 2extraccin Resultado Probabilidad
6/11 A AA P(AA)=7/12 .6/11=42/132
A7/12 5/11 V AV P(AV)=7/12 .
5/11=35/132
5/12 7/11 A VA P(VA)=5/12 .7/11=35/132
V 4/11 V VV P(VV)=5/12 .
4/11=20/132
19) Cul ser la probabilidad de obtener tres copas al extraer tres cartas de una baraja de 40?. Y que ninguna sea copa?.Solucin:
P(CCC)= 10/40 . 9/39 . 8/38 = 0,012P(CCC)=30/40 . 29/39 . 28/38 = 0,411
20) En un instituto se est aplicando experimentalmente la E.S.O., y los alumnos estn repartidos de la siguiente forma: 40% en 1, 30% en 2, 20% en 3 y el resto en 4. El porcentaje de aprobados en cada curso est en el 70% en 1, 60% en 2, 40% en 3 y 30% en 4. Si elegimos un alumno de este instituto, cul ser la probabilidad de que haya aprobado? y de que haya suspendido?Solucin:Llamemos A=aprobar y A=suspender
P(A)= P(1y A)+P(2y A)+P(3y A)+P(4y A) = (0,4 . 0,7) +(0,3 . 0,6) + (0,2 . 0,4)+P(0,1 . 0,3)=0,57
P(A)= P(1y A)+P(2y A)+P(3y A)+P(4y A)=(0,4 . 0,3) +(0,3 . 0,4) + (0,2 . 0,6)+(0,1 . 0,7)=0,43
21) Una urna contiene 100 bolas numeradas as: 00, 01, 02,.....,99. Se extrae una bola al azar y sea a la 1 cifra del n y b la segunda. Escribe los sucesos elementales de los siguientes sucesos:a) la primera cifra es 5b) la suma a+b=8c) el producto a.b=12Solucin:a) 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 y 59b) 08, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 y 80c) 26, 62, 34, 43
22) En una urna hay 50 bolas entre blancas(B), rojas(R) y negras(N). Cuntas bolas hay de cada color en los siguientes casos: a) P(B)=2/5 y P(N)=1/10b) P(B)=2/5 y P(N)=P(R) ?.Solucin:a) P(B)=2/5 = 20/50 P(N)=5/50 . Hay 20 bolas blancas, 5 negras y 25 rojasb)P(B)=2/5=20/50. Hay 20 bolas blancas, 15 negras y 15 rojas.
23) Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que:a) no salga ningn 6b) salga un 6 en cada dadoc) el segundo sea 6, siendo 6 el primer resultadod) el segundo no sea 6, siendo 6 el primer resultadoe) el segundo no sea 6, no siendo 6 el primer resultadoSolucin:a) y e) P(6 6)=5/6 . 5/6 = 25/36b) y c) P(6 6)= 1/6 . 1/6 =1/36c) P(6 6)=1/6 . 5/6 = 5/36
24) En una urna hay bolas pero no sabemos cuantas ni de qu colores. Sacamos una bola, observamos el color y la devolvemos a la urna. Repetimos el proceso 200 veces y hemos anotado 96 bolas rojas, 25 bolas blancas y 79 bolas negras.a) Confecciona una tabla de frecuenciasb) Si al terminar la experiencia nos dicen que hay 40 bolas. cuntas crees que hay de cada
color?.Solucin:a) bolas ni fi
b. roja 96 0,48b.blanca 25 0,125b.negra 79 0,395
b) bolas rojas = 0,48.40 = 19,2 19 bolas rojas bolas blancas = 0,124.40 = 5 5 bolas blancas bolas negras = 0,395.40 = 15,8 16 bolas negras
25) Lanzamos 2 dados y sumamos sus resultados. Halla la probabilidad de que su suma sea 2, 7, y 9.Solucin:Formemos el espacio muestral:
