ESTADISTICADISTRIBUCIONESAlbertoLuce noFranciscoJ.GonzalezDirectorioTabladeContenidoInicioArtculoCopyright c2003gonzaleof@unican.esActualizadoel:15demarzode2003 Version2.00TabladeContenido2.Distribucionesdiscretas3.DistribucionescontinuasSolucionesalosEjerciciosSecci on2:Distribucionesdiscretas 32. DistribucionesdiscretasEjercicio66. Suponiendo que cada bebe tiene una probabilidad 0,51deservaron, halleselaprobabilidaddequeunafamiliade6hijostenga:a). Por lo menos un ni no.b). Por lo menos una ni na.Ejercicio67. Si la probabilidad de acertar en un blanco es 1/5 y sehacen 10 disparos de forma independiente, cual es la probabilidad deacertar por lo menos dos veces?Ejercicio68.DemostrarquesilavariablealeatoriaXtienedistri-bucion binomial (X Bin(n, p)), se tiene:X= np ; 2X= npq.Ejercicio69. Se lanza una moneda 500 veces. Estimar la probabili-dad de que el n umero de caras este comprendido entre 240 y 260.TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 4Ejercicio70. En una regulacion de calles por semaforos, la luz verdeesta encendida durante 15 segundos, la luz ambar 5 segundos y la luzroja 55 segundos. Supongamos que las condiciones de traco inducenvariacionesaleatoriasenlostiemposdellegadadelosautomoviles,deformaquellegar cuandoel semaforoestaverdees unsucesoaleatorio. Para cinco coches que lleguen en tiempos diferentes e inde-terminados, calcular la probabilidad de que:a). solo tres encuentren la luz verde;b). a lo sumo cuatro encuentren la luz verde;c). mas de uno encuentre la luz verde.Ejercicio71. Una rma de pedidos por correo enva una carta a susclientes. La probabilidad de que un cliente elegido al azar conteste aesa carta es dep = 0,1. Hallar:a). Distribucion de probabilidad del n umeroXde cartas que debeenviar hasta obtener exactamente 1 respuesta.TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 5b). La esperanza y varianza matematica de la variableX.c). Distribucion de probabilidad del n umeroYde cartas que debeenviar para obtener exactamentek respuestas.d). La esperanza y varianza matematica de la variableY .Ejercicio72. Unacajacon12artculostiene4defectuosos. Si setomaunamuestrade3, enuncasoconreemplazamientoyenotrosin reemplazamiento, cual sera la probabilidad de no incluir artculosdefectuosos en la muestra?Ejercicio73. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta queaparece un 6. Si Xmide el n umero del lanzamiento en que ocurre. Sepide:a). Que funcion de probabilidad tiene la variable aleatoriaX?b). CalcularP(X = 3).c). CalcularP(X> 4).TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 6Ejercicio74. Sea Xuna variable aleatoria geometrica de parametrop. Demostrar que:P(X> a +b|X> a) = P(X> b),para cualesquiera constantes positivasa yb.Ejercicio75. Para controlar la natalidad, un poltico algo excentrico,propone para los nuevos matrimonios la siguiente norma: unicamentepodran tener hasta un varon y como maximo 5 hijos. Sea X la variablen umero de hijos y Vla variable n umero de varones de un matrimonio.Se pide:a). Probabilidad de que un matrimonio solo tenga un hijo.b). Probabilidad de que un matrimonio tengak hijos.c). N umero medio de hijos por matrimonio.d). N umero medio de varones por matrimonio.e). Reduce esta norma la frecuencia de varones en la poblacion?TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 7Ejercicio76. TrespersonasA, B, yClanzansucesivamenteenelordenA, B, Cundado. Laprimerapersonaquesaqueun6gana.Si peslaprobabilidaddesacarun6yq=1 p, cualessonsusrespectivas probabilidades de ganar?Ejercicio77. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta ob-tener dos seises y X mide el n umero del lanzamientos hasta que dichosuceso ocurre. Se pide:a). Que funcion de probabilidad tiene la variable aleatoriaX?b). P(X = 3).c). P(X> 4).Ejercicio78. Sea X una variable aleatoria binomial negativa NB(k, p).Demostrar que: =kp; 2x = kqp2.Ejercicio79. Se conoce de estudios anteriores que el tipo de grupoTocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 8sanguneo de una poblacion se distribuye de acuerdo a los siguientesdatos.Grupo A B AB OPorcentaje 43,2 14,2 6 36,6En determinada situacion de emergencia se necesitan realizar 5 trans-fusiones del tipo A. Se solicitan voluntarios a la poblacion y se realizanextracciones sucesivas. Cual es la probabilidad de cubrir la emergen-cia con el decimo donante?Ejercicio80.SeaXbinomial Bin(n, p)yseaY binomialnegativaNB(k, p), demostrar las siguientes relaciones entre ellas:a). P(Y n) = P(X k).b). P(Y> n) = P(X< k).Ejercicio81. La centralita telefonica de un hotel recibe un n umerode llamadas por minuto que sigue una ley de Poisson con media 0,5.Determinar la probabilidad de que en un minuto al azar:TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 9a). Se reciba una unica llamada.b). Se reciban un maximo de dos llamadas.c). La centralita quede bloqueada, sabiendo que no puede realizarmas de 3 conexiones por minuto.Ejercicio82.Enunagranciudadseproducen2incendiosanualespor termino medio. Cual es la probabilidad de que el proximo a no seproduzcan mas de cuatro?Ejercicio83. SeaXuna variable aleatoria de Poison de parametro,Po(). Demostrar que: = ; 2x = .Ejercicio84. Se lanza una moneda 500 veces. Hallar la probabilidaddequelafrecuenciarelativadecarasestecomprendidaentre0,45y0,65.Ejercicio85. Cuantas veces habra que lanzar una moneda regularTocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 10andeteneral menosun95 %deseguridaddequelafrecuenciarelativa de caras diste a lo mas 0,1 de la probabilidad teorica 0,5?Ejercicio86. Cuantas veces habra que lanzar un dado regular a nde tener al menos un 95 % de seguridad de que la frecuencia relativade caras diste a lo mas 0,1 de la probabilidad teorica 1/6?Ejercicio87. Una fabrica produce artculos defectuosos con una pro-babilidad del 5 %. Cuantas tornillos habra que inspeccionar para te-neral menosun98 %deseguridaddequelafrecuenciarelativadetornillos defectuososfDdiste de 0,05 en menos de 0,02? Contestar ala pregunta anterior si la probabilidad real de 0,05 es desconocida.Ejercicio88. Dos personas juegan a cara o cruz y han convenido encontinuarlapartidahastaquetantolacaracomolacruzsehayanpresentado por lo menos 3 veces. Hallar la probabilidad de que el juegono se acabe cuando se han hecho 10 tiradas.Ejercicio89. Un test psicotecnico comprende 50 preguntas, para ca-daunaexisteuna unicarespuestacorrectasobre5posibles. Cadarespuesta correcta vale 1 punto.TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 11a). Si se somete a una persona a este test y responde al azar, hallarla probabilidad de que obtenga cero puntos.b). Si fuesen200personasrespondiendoal azar, hallarel n umeromedio de personas que obtienen 10 puntos.Ejercicio90. Una gran empresa celebra, exactamente dentro de una no, su centenario. La direccion decide que todos los hijos de los traba-jadores que nazcan el da del centenario tendran derecho a una cuentade ahorro de 5000 euros. Suelen nacer 730 ni nos al a no, es decir, unos2 por da. El valor esperado del desembolso a efectuar es de 10000 eu-ros. La direccion destina 25000 euros para prevenir alguna desviacion.Cual es la probabilidad de que esta cantidad resulte insuciente?Ejercicio91.El 4 %delasreservasdeunvuelonosonutilizadas.Seg unestaobservacion,unacompa niadeaviacionvende75billetespara73plazas. Cual eslaprobabilidaddequetodoslospasajerosconsigan plaza?Ejercicio92. Supongase que en un estudio dental sobre ni nos se haTocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 12obtenidolaproporcionp=2/3delapoblacioninfantil quetienealguna caries. Calcular:a). Probabilidad de que haya que examinar 6 ni nos para encontraruno con caries.b). Probabilidad de que haya que examinar 15 ni nos para encontrar5 con caries.Ejercicio93. El departamento de matematicas propone un examende test consistente en 25 cuestiones. Cada cuestion tiene 5 respuestaslistadas. Si un estudiante no conoce la respuesta correcta de ningunacuestion y prueba suerte, calcular:a). Cualeseln umeroesperadoderespuestascorrectasysudes-viacion tpica?b). Suponiendo que cada respuesta acertada vale 1 punto, cuantodebe valer cada respuesta fallada para que la nota esperada delestudiante que prueba suerte sea nula?TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 13c). Si sepasael examencuandoserespondencorrectamente13cuestiones, cual es la probabilidad de que pase el alumno queha probado suerte?Ejercicio94. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta queaparece un 6. Si sabemos que no salio en la primera tirada, cual esla probabilidad de necesitar mas de 3 lanzamientos?Ejercicio95.Unacajacontiene100artculos,delosque4sonde-fectuosos. SeaXel n umerodeartculosdefectuososencontradosenuna muestra de 9.a). HallarP(X = 2).b). Aproximar la probabilidad anterior por una binomial.c). Aproximar la probabilidad anterior por una Poisson.Ejercicio96. Supongase que el n umero de llamadas telefonicas querecibe una operadora desde las 9:00 horas hasta las 9:05 horas sigueuna distribucion de Poisson con = 4. Hallar:TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 14a). Probabilidad de que la operadora no reciba ninguna llamada alda siguiente en ese intervalo de tiempo.b). Probabilidad de que en los dos proximos dias la operadora recibaun total de 3 llamadas en ese intervalo de tiempo.Ejercicio97. Un almacen suministra un determinado tipo de gr ua.El n umero de pedidos por da se ajusta a una distribuccion de Pois-son con parametro = 2. Tres de estas gr uas por lo general se tienendisponibles en el almacen. Si se piden mas de tres, el comprador debedesplazarse a una distancia considerable hasta una empresa de inge-niera.a). En un da cualquiera, cual es la probabilidad de que se realiceun viaje a la empresa de ingeniera?b). Cual es el n umero medio de pedidos por da?c). Cuantasgr uasderepuestodebenpermanecerenel almacenpara despachar a los compradores el 90 % de las veces?TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 15d). Cual es el n umero medio de compradores atendidos diariamenteen el almacen?e). Cual es el n umero esperado de veces que el compradores reali-zara el viaje a la empresa de ingeniera?Ejercicio98. Sesuponequeel n umerodeaccidentespor semanaqueocurrenenunafabricasigueunadistribuciondePoissonconparametro = 2. Se pide:a). Probabilidaddequeenunasemanacualquieraocurraunsoloaccidente.b). Probabilidaddeque, enungrupode10semanas, ocurran3accidentes en tres semanas distintas.c). Probabilidad de que en una semana haya mas de 3 accidentes.d). Funcion de densidad del tiempo entre dos accidentes.e). Probabilidad de que el tiempo entre dos accidentes sea superiora 3 semanas.TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 16Ejercicio99. Una agencia inmobiliaria dedicada a la venta de apar-tamentos en la Costa ha realizado un estudio de ventas, comprobandoque solo el 5 % de las personas que acuden a visitar el piso piloto com-pran un apartamento. Se pide:a). Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hastavender un apartamento.b). Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hastavender dos apartamentos.c). Se han tenido que recibir 10 visitas hasta vender 2 apartamen-tos. Cual eslaprobabilidaddequelas3primerasvisitasnoefectuaran ninguna compra?Ejercicio100. Unvideoclubtiene12pelculasinfantilesparaal-quilaradiario. Paraestegruposeestimaquelademandasigueunproceso de Poisson con tasa 10 pelculas/da. Se pide:a). Probabilidadde que enundase hayanalquiladotodas laspelculas.TocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 17b). Cuantas pelculas debera haber en existencia para que la pro-babilidaddenosatisfacerlademandadeundasolofuesedel0,07 %?Ejercicio101. Unlotede10motores electricos sedeberechazartotalmente o vender, seg un el resultado de la siguiente operacion: seescogen dos motores al azar sin sustitucion y se inspeccionan. Si unoomassondefectuosos, el loteserechaza; enotrocasoesaceptado.Supongamos que cada uno de los motores cuesta 75$ y se vende por100$. Si el lote contiene un motor defectuoso, c ual es benecio netoesperado del fabricante?Ejercicio102. A un hotel llegan dos carreteras A y B. El n umero dellegadasdiariasporcadacarreterasiguendistribucionesdePoissonindependientes con parametros 8 y 9 respectivamente.a). Si un da llegaron 12 personas, cual es la probabilidad de que7 llegaran por la carretera A?b). El coste diario de manutencion por persona es de 2000 euros siTocVolver Doc Doc Secci on2:Distribucionesdiscretas 18son menos de 5 personas y 1500 euros si son 5 o mas personas.Cual sera el coste diario esperado?Ejercicio103.Unaempresadefabricaciondeexplosivostienedossecciones una segura S y otra con riesgo de accidentes R. En la seccionShay2000empleadosdondeel n umerodeaccidentes XSpora nosigue una distribucion de Poisson de parametro 1 = 5 y en R hay 500empleados y el n umero de accidentes YR por a no sigue una distribucionde Poisson de parametro 2 = 10. Los accidentes se producen de formaindependiente en las dos secciones.a). Cualeslaprobabilidaddequeseproduzcancincoaccidentesen la seccion S?b). Cual es el n umero medio de accidentes por a no en la empresa?c). Si en un a no se han registrado 8 accidentes, cual es la proba-bilidaddequesehayanproducido6accidentesenlaseccionR?TocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 19La compa nia La Avispa.asegura a cada empleado de la seccionSporunaprimadep1eurosyacadaempleadodelaseccionR por una prima dep2 euros y una indemnizacion com un de 10millones por accidentado.d). Expresar los beneciosBpor a no de la compa nia.e). Cualessonlosvaloresmnimosjustosdelasprimasp1yp2,para que el benecio esperado por la compa nia no sea negativo?3. DistribucionescontinuasEjercicio104. Una variable aleatoriaXse distribuye de forma uni-forme en (2, 4). Se pide:a). P(X< 2,5)b). P(X> 3,2)c). P(2,2 < X< 3,5)TocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 20d). E(X) yV ar(X)Ejercicio105. Se sabe que la cantidad aleatoria demandada duranteunciertoperiododetiempoporpartedeunaempresatextil tienedistribucion uniforme y no supera la tonelada. Determinar para dichoperiodo de tiempo:a). Probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900kg.b). Probabilidaddequelacantidaddemandadaestecomprendidaentre 800 y 900 kg.c). La demanda esperada.Ejercicio106.Unaempresatieneunafunciondecostesquevienedada por C = 100,000+2X. En el mercado vende cada unidad a 5 eu-ros y la demanda X del citado artculo tiene una distribucion uniformeentre 25000 y 30000 unidades. Cual sera el benecio esperado?TocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 21Ejercicio107. Comprobar que si Tes exponencial de parametrose cumple la propiedadT=1; 2T=12.Ejercicio108. Comprobar que si Tes exponencial de parametrose cumple la propiedadP(T> s +t|T> s) = P(T> t)Ejercicio109.LavariablealeatoriaTesdetipoExponencial().Cual es la probabilidad de queTsea superior a su valor esperado?CualeslaprobabilidaddequeTseasuperioraldobledesuvaloresperado?Ejercicio110. La funcion de densidad del tiempo Tentre dos averasde una instalacion de calculo esf(t) = 0,25e0,25t.Para resolver un determinado problema es necesario que funcione laTocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 22instalacion sin fallos durante 3 minutos, que es el tiempo necesario pa-ra la resolucion del problema. Si falla la instalacion durante el periodode3minutoshayquevolveraempezarconelcalculodelproblemateniendoencuentaquelaexistenciadeunaaverasoloseapreciadespues de los tres minutos. SeaY el tiempo total necesario para laresolucion del problema. Hallar:a). Distribucion deY .b). Tiempo medio de resolucion del problema.c). Probabilidad de que en 18 minutos puedan ser resueltos 3 pro-blemas.Ejercicio111.LaduraciondelavidadeunabombillaesExp().La probabilidad de que sobrepase las 100 horas de uso es 0,9.a). Cual es la probabilidad de que sobrepase 200 horas de uso?b). Cuantas horas se mantiene funcionando con una probabilidad0,95?TocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 23Ejercicio112. El tiempo medio de funcionamiento de una bombillaesde120horas. Seponenenfuncionamiento6bombillasal mismotiempo. SeaTiel tiempoquetranscurrehastaqueseestropeanibombillas. DeterminarE[Ti] parai = 1, 3, 6.Ejercicio113. Enlagura1cadacomponentetieneunafunciondeabilidaddetipoexponencial conparametroi. Determinarlafuncion de abilidad del sistema y el tiempo medio de vida del sistema.Figura 1: Fiabilidad en serie y paraleloTocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 24Ejercicio114. En la gura 2 cada componente tiene la misma fun-ciondeabilidaddetipoexponencialconparametro.Determinarlafunciondeabilidaddel sistemayel tiempomediodevidadelsistema.Figura 2: Fiabilidad en serie y paraleloEjercicio115. En la gura 1 cada componente tiene una funcion deabilidaddetipoexponencial conparametroi. SeaAel sucesolacomponente 1 se estropea antes que la componente 2. Determinar laTocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 25probabilidad del sucesoA.Ejercicio116. Sean30instrumentos electronicos E1, E2, . . . , E30.TanprontocomofallaE1seactivaE2, yas sucesivamente. Si eltiempoenquefallaEi,paracualquieri,esdetipoexponencialconparametro = 0,1hora1yTes el tiempo total de funcionamientode los 30 instrumentos, hallar la probabilidad de que Tsupere las 350horas.Ejercicio117. SeaZunavariablealeatorianormal con=0y = 1. Calcular:a) p(Z 0) b) p(Z 1)c) p(Z> 1) d) p(Z> 1)e) p(1 < Z< 1) f) p(2 < Z< 1)Ejercicio118. SeaXunavariablealeatorianormalcon = 50y2= 25. Calcular:a) p(X 40) b) p(X 60)c) p(X> 65) d) p(X> 35)e) p(40 < X< 60) f) p(30 < X< 42)TocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 26Ejercicio119. Sesabequeel n umeroXdepersonas queentrandiariamente en unos grandes almacenes se distribuye normalmente. Sihay una probabilidad 0,58 de que entren menos de 75 clientes y unaprobabilidad 0,38 de que entren entre 75 y 80 clientes, determinar lamedia y la varianza de la variableX.Ejercicio120. La duracion aleatoria de un determinado tipo de artcu-los, enhoras, vienereguladaporlaleydeprobabilidadN(180, 5).Determinar la probabilidad de que la duracion de tal artculo:a). Sea superior a 170 horas.b). Sea inferior a 150 horas.Ejercicio121. Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina duran-te un cierto periodo de tiempo se comporta con arreglo a la ley normalde media 150000 litros y desviacion tpica 10000 litros, determinar lacantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho periodo parapoder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95.Ejercicio122. Uninstrumentoelectronicoestaformadopor tresTocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 27componentes. Dos formas posibles de disponer estas componentes son:i) en serie, ii ) en paralelo. Si los tiempos de fallo de cada componenteson independientes y siguen una distribucion exponencial con funcionde densidad:f(t) = 0,01 e0,01t,se desea saber:a). Probabilidad de que el instrumento funcione despues de 50 horasen los dos casos.b). Si el sistema no ha fallado durante 20 horas, cual es la proba-bilidad de que falle en las 30 horas siguientes?Ejercicio123. Para ganar el jubileo un peregrino decide ir, a golpede alpargata, desde su pueblo hasta Santiago de Compostela, siendola distancia entre ambos lugares de 300 km. Este peregrino es precisa-mente fabricante de dicho tipo de calzado y sus datos han permitidoestablecer a un ingeniero, que vive en el pueblo, a efectos de controldecalidad,queloskilometrosquesepuedenrecorrerconunpardeTocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 28alpargatas, antes de que queden inservibles, es una variable N(20, 16).Aunque el peregrino no le importa disciplinarse severamente, tampocoquiere correr un riesgo excesivo de destrozarse los pies. Por eso, quieresaber cual es el menor n umero de pares de alpargatas que debe llevarparatenerunagarantadealmenosun91 %dequenotendraquecaminar descalzo.Ejercicio124.Unindividuojuegaconprobabilidaddeganariguala 1/2 en cada juego. Si gana en un juego obtiene 5 euros y si pierdepaga 5 euros. Durante una tarde juega 400 veces. Con cuanto dinerodebe acudir si quiere tener una probabilidad de 0,95 de hacer frentea sus posibles perdidas?Ejercicio125. Un corredor de bolsa adquiere 50 acciones diferentes.Se sabe, por estudios anteriores, que los benecios de cada accion sedistribuyen uniformemente en el intervalo (1000, 2000), y que dichosbenecios son independientes. Dicho corredor concierta con sus clien-tesunaganancia,porcadaaccionde1200euros,queprobabilidadtiene de no perder dinero?Ejercicio126.Uninstitutodeopinionp ublicaquiereobtenerunaTocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 29muestra de votantes de un cierto estado, sucientemente grande paraquelaprobabilidaddeobtenerunaproporciondevotosafavordelcandidato A inferior al 50 %, sea de 0,01, si la intencion de voto a favorde dicho candidato es realmente del 52 %. Que tama no debera tenerla muestra?Ejercicio127.DosindividuosAyBrealizanunjuegobajolassi-guientes condiciones: selanzaundadoperfecto, si sale1o2eljugadorApaga6eurosaB,perosisale3,4,5o6eljugadorBpaga 21 euros a A.Se pide:a). Si juegan300partidasdeterminarlaprobabilidaddeAganeentre 175 y 230 euros.b). El benecio esperado para ambos jugadores en 300 partidas.c). SiBllevaenelbolsillo200euros,cuantaspartidasalmenoshay que jugar para que B lo pierda todo con una probabilidadde al menos 0,9772?TocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 30Ejercicio128. El contenido de un bote de cerveza se distribuye nor-malmente con media 30 cl, y desviacion tpica 2 cl.a). Cual es la probabilidad de que un bote determinado tenga masde 33 cl?b). En un envase de 6 botes cual es la probabilidad de que el con-tenido lquido total sea inferior a un litro y tres cuartos?Ejercicio129. Sabiendo que el 30 % de los enfermos con infartos demiocardio que ingresan en un hospital, fallecen en el mismo, y que ala no ingresan 2000, determinar la probabilidad de que fallezcan en elhospital un maximo de 550.Ejercicio130. En un proceso de fabricacion se sabe que el n umeroaleatorio de unidades defectuosas producidas diariamente, viene dadopor la ley de probabilidad:P(X = r) = e1010rr!r = 0, 1, 2, . . .TocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 31Determinar la probabilidad de que en 150 das, el n umero de unidadesdefectuosas producidas supere las 1.480 unidades.Ejercicio131. Unaempresasabequelademandaaleatoriadeunartculo que produce, se ajusta por la ley N(10000; 100). Si la empresadecideseguirproduciendoel artculoenel futuro, supuestoquelademanda este comprendida entre 9930 y 10170 unidades, determinarla probabilidad de que no siga produciendo tal artculo.Ejercicio132. Una tienda comercial dispone a la venta diariamentesolodos artculos aprecios p1yp2, deformaque: el 70 %delasunidades ofrecidas lo son del artculo de preciop1y el 30 % restantelo son del artculo de preciop2. Si en un da determinado se venden2000 unidades, determinar la probabilidad de que mas de 800 unidadescorrespondan al artculo de preciop2.Ejercicio133. Un concesionario de automoviles vende a particularesvehculosdelamismamarca. Sabiendoquelaprobabilidaddequeestetipodevehculos esteenserviciodos a nos despues es de0,8,determinar la probabilidad de quede 4000 automoviles vendidosmasde 3120 esten en servicio dentro de dos a nos.TocVolver Doc Doc Secci on3:Distribucionescontinuas 32Ejercicio134. La demanda de un producto oscila diariamente entre20y40unidades.Determinarlaprobabilidaddequeenunperiodode182das, el n0deunidadesdemandadassupere6370unidades,supuesta la independencia de la demanda de cada da respecto de lasrestantes.TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 33SolucionesalosEjerciciosEjercicio66. SeaXel n umerodevaronesdeentre6hijos. XBin(6; 0,51), luego:a). P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 q6= 1 0,496= 0.986b). P(X 5) = 1 P(X = 6) = 1 p6= 1 0,516= 0.982Ejercicio 66TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 34Ejercicio67. SeaXel n umero de aciertos de entre 10 disparos.X Bin(10; 15)luego:P(X 2) = 1 P(X 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1))= 1 q1010 p q9Ejercicio 67TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 35Ejercicio68. SeaXipara todoi una distribucion de Bernoulli conE[Xi] = p V ar(Xi) = pqComoX = X1 +X2 +. . . +Xnluego: = E[X] = E[X1] +E[X2] +. . . +E[Xn]= npy tomando varianzas para una suma de variables aleatorias identicase independientes2= V ar[X] = V ar[X1] +V ar[X2] +. . . +V ar[Xn]= npqEjercicio 68TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 36Ejercicio69.SeaXeln umero decarasobtenidoenlos500lanza-mientos.X B(500; 0,5), luegoP(240 X 260) =260

k=240_500k_0,5500k0,5k=260

k=240_500k_0,5500comonp = 250> 5 ynpq = 125> 5, aproximamos a la distribucionnormal B(500, 0,5) N( = 250, = 125), realizando el ajuste porcontinuidad:P_240 250 0,5125< z 1) = 1 P(X 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1)= 1 _50__15_0_45_5_51__15_1_45_4= 0, 26272Ejercicio 70TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 38Ejercicio71.a). Xse ajusta a una distribucion geometricaG(p = 0,1).b). SiX G(p = 0,1), entoncesX=1p= 10 V ar(X) =qp2c). Y seajustaaunadistribucionBinomial NegativaBN(k; p=0,1),d). SiY BN(k; p = 0,1), entoncesY=kp= 10 V ar(Y ) =kqp2Ejercicio 71TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 39Ejercicio72.Con reemplazamiento,Xsigue una distribucion BinomialBin(n = 3; p =412)luegoP(X = 0) = q3=_ 812_3= 0, 296Sin reemplazamiento, X sigue una distribucion HipergeometricaHG(N, E, n) = HG(12, 4, 3)P(X = 0) =_40__83__123_ =1455= 0, 254Ejercicio 72TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 40Ejercicio73. X sigue una distribucion geometrica o de Pascal G(p =16) luegoP(X = k) = p qk1P(X = 3) = p q2En la geometrica se tiene queP(X> k) = qk, luegoP(X> 4) = q4=_56_4Ejercicio 73TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 41Ejercicio74.Si Xesgeometrica,deparametrop,setiene kqueP(X> k) = qk, luego sia, b > 0 ,P(X> a +b|X> a) =P(X> a +b X> a)P(X> a)=P(X> a +b)P(X> a)=qa+bqa= qb= P(X> b)Ejercicio 74TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 42Ejercicio75. SeaXlavariablen umerodehijos yV lavariablen umero de varones de un matrimonio, y seap la probabilidad de quenazca un varon. Conguramos la funcion de distribucion en una tablapara ambas variablesX 1 2 3 4 5pXp p q p q2p q3p q4+q5V 1 1 1 1 1 0pVp p q p q2p q3p q4q5a). P(X = 1) = p.b). P(X = k) = p qk1con 1 k 4 yP(X = 5) = p q4+q5c). N umero medio de hijos por matrimonio:E[X] = 1 p + 2 p q + 3 p q2+ 4 p q3+ 5 (p q4+q5)= (sustituyendop por 1 q)= 1 +q +q2+q3+q4TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 43d). N umero medio de varones por matrimonio:E[V ] = 1 p + 1 p q + 1 p q2+ 1 p q3+ 1 p q4+ 0 q5)= p(1 +q +q2+q3+q4)e). ComoE[V ]E[X]= pla frecuencia de varones en la poblacion sigue siendo de p, es de-cir con ese criterio de parada en la descendencia, no se modicala proporcion entre hombres y mujeres.Ejercicio 75TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 44Ejercicio76. GanaA cuando ocurren los siguientes sucesos6, 6666, 6666666, 6666666666 razonando analogamente paraByC, se tiene:P(A) = p +p q3+p q6+ =p1 q3P(B) = p q +p q4+p q7+ =p q1 q3P(C) = p q2+p q5+p q8+ =p q21 q3Ejercicio 76TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 45Ejercicio77.a). Xsigue una distribucion binomial negativaBN(k= 2; p =16)luegoP(X = n) =_n 11_p2qn2n = 2, 3, b). P(X = 3) = 2 p2qc).P(X> 4) = 1 P(X 4) == 1 P(X = 2) P(X = 3) P(X = 4)= 1 p2q02 p2q 3 p2q2siendop = 1/6 yq = 5/6.Ejercicio 77TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 46Ejercicio 78. Sea X1 el n umero de intentos hasta el primer exito, X2el n umero de intentos desde el primer exito hasta el segundo exito,Xiel n umerodeintentosdesdeel (i 1)esimoexitohastael iesimoexito. EntoncesX = X1 +X2 + +XkXi G(p)Xes la suma de variables aleatorias identicas e igualmente distribui-das, {Xi}()i.i.d.), con E[Xi] =1py V ar[Xi] =qp2. Tomando esperan-zas y varianzas se llega aE[X] =kpV ar[X] =k qp2Ejercicio 78TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 47Ejercicio79. SeaXel n umerodeextraccioneshastaencontrarelquintodonanteconsangretipoA. ComoXsigueunadistribucionbinomial negativaBN(5; p), donde peslaprobabilidaddequeundonante cualquiera tenga sangre tipoA, es decirp = 0,432.P(X = 10) =_94_p5q5Ejercicio 79TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 48Ejercicio80.a). El suceso {Y n} en la hipergeometrica equivale a necesitar almenosnintentosparaobtenerloskexitos, loqueequivalealsuceso {X k} en la binomial.b). Es inmediato de lo anterior.Ejercicio 80TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 49Ejercicio81.LavariableXn umerodellamadasporminutosigueuna distribucion de PoissonPo( = 0,5), luegoa). P(X = 1) = e0,50,51!= 0,303b). P(X 2) = e0,5+e0,50,51!+e0,50,522!= 0,986c).P(X> 3) = 1 P(X 3) == 1 P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3)= 1 e0,5e0,50,51!e0,50,522!e0,50,533!= 0, 002Ejercicio 81TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 50Ejercicio82. La variableXn umero de incendios anuales sigue unadistribucion de PoissonPo( = 2), luegoP(X> 4) = 1 P(X 4) == 1 P(X = 0) P(X = 1) . . . P(X = 4)= 1 e2e2 21! e2222! e2233! e2244!= 0, 0527Ejercicio 82TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 51Ejercicio83. De las dos igualdades del calculo siguientes

k=0k kk!= e

k=0k2kk!= (2+) ey de la denicion deE[X] yV ar[X] se obtiene con facilidad que = ; 2x = .Ejercicio 83TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 52Ejercicio84. El n umerodecarassigueunadistribucionbinomialB(500; 0,5). A partir de la aproximacion deX B(n, p) N(np, = npq)la variable aleatoria frecuencia relativafrse aproxima afr =Xn N(p, =_pqn )luegoP(0,45 < fr< 0,65) = P__0,45 0,5_0,25500< z 3) = 1 e2_1 +21! + 222!+ 233!_= 0, 14288d). SeaTtiempo entre dos accidentes.Tsigue una distribucion detipo exponencial de parametro = 2.e). PideP(T> 3) = 1 FT(3) = e23= 0, 002.Ejercicio 98TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 68Ejercicio99.a). SeaXel n umero de visitas hasta vender un apartamento,XesG(p = 0,05)P(X = 10) = p q9= 0, 03151b). SeaZel n umero de visitas hasta vender dos apartamento,ZesBN(k = 2, p = 0,05)P(Z = 10) =_91_p2q8= 0, 01493c). Equivale a que las tres primeras han sido fracasos y en las sieterestantes dos exitos siendo uno de ellos la ultima visita, es decirP(Z> 3 sin exito en las tres primeras |Z = 10) ==q q q_61_p2q5P(Z = 10)=69Ejercicio 99TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 69Ejercicio100.a). SeaXel n umero de pelculas demandadas,P(X 12) = 1 P(X 11) = 1 11

i=0e10.10ii!= 0, 3032Este calculo se puede aproximar conPo(10) N(10, 2= 10).b). Sean n las pelculas almacenadas, entonces necesitamos calcularn para queP(X>n) 0,07 o bienP(X n) 0,93. Con laaproximacionPo(10) N(10, 2= 10) tendremosP(X n) = P(z n 1010= z0) 0,93de la tabla normalN(0, 1) obtenemosz0 = 1,48, luego resolve-mosz0 =n 1010= 1,48 n = 15 peliculasEjercicio 100TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 70Ejercicio 101. El n umero de defectuosos X sigue una hipergeometri-ca con N= 10, E = 1, N E = 9 y tama no de la muestra n = 2. SeaA el suceso el lote se acepta, entoncesP(A) = P(X = 0) =_10__92__1009_= 0,8benecio neto esperado del fabricanteBsera:E[B] = 25 P(A) 75 P(A) = 5Ejercicio 101TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 71Ejercicio102.a). SeaXAel n umerodeclientesquelleganporlacarreteraAyXBel n umero de clientes que llegan por la carretera B. El totalesT= XA +XBque es de Poisson de parametro = 17.P(XA = 7|T= 12) =P(XA = 7 yXB = 5)P(T= 12)==e8 877!e9 955!e17 171212!= 0, 16834b). SeaA el suceso llegan menos de 5 personas.P(A) = P(T< 5) = e174

i=017ii!= 0, 0002El coste esC = 2000.IA + 1500 IA, y el coste diario esperado:E[C] = 2000 P(A) + 1500.P(A) = 1500, 1Ejercicio 102TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 72Ejercicio103.a). P(XS = 5) = e5 555!= 0,1754b). 1 +2 = 15.c). SeaZ = XS +YRel n umero total de accidentes,P(YR = 6|Z = 8) =P(XS = 2, YR = 6)P(Z = 8)=e10 1066!e5 522!e15158/8!= 0,273d).B = 2000 p1 + 500 p2 106(XS +YR)e). Hacemos que sea justo para los empleados de la seccion S, con2000 p1 106E[XS] = 0, p1 = 2500 eurosTocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 73Lo mismo para los empleados de la seccion R, con500 p2 106E[YR] = 0, p2 = 20000 eurosOtra forma, es exigir que la razon de los ingresos por seccion seala razon de indices de accidentados por seccion , es decir2000 p1500 p2=12p1p2=18que junto a E[B] = 2000 p1 +500 p210615 = 0 proporciona lamisma solucion.Ejercicio 103TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 74Ejercicio104. SeaX U(2, 4) conf(x) =12FX=x 222 < x < 4a). P(X< 2,5) = FX(2,5) = 0,25b). P(X> 3,2) = 1 FX(3,2) = 1 0,6 = 0,4c). P(2,2 < X< 3,5) = FX(3,5) FX(2,2) = 0,75 0,1 = 0,65d). E[X] = 3 yV ar[X] =412Ejercicio 104TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 75Ejercicio105. SeaX U(0, 1) conf(x) = 1 FX= x 0 < x < 1a). P(X< 0,9) = 0,9b). P(0,8 < X< 0,9) = FX(0,9) FX(0,8) = 0,1c). E[X] =12Ejercicio 105TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 76Ejercicio106. SeaX U(25000, 30000) conf(x) =x 25000500025000 < x < 30000como los beneciosB = V CE[B] = E[5 X 100000 2 X) = 3 E[X] 100000 = 17500Ejercicio 106TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 77Ejercicio107. SeaT Exp() conf(t) = etFT(t) = 1 et0 < tE[T] =_0t et=(por partes)=_t et1 et_0=1ParalavarianzaV ar[T] =E[T2] E[T]2seintegradosvecesporpartes y se obtiene2T=12.Ejercicio 107TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 78Ejercicio108. SeaT Exp() conf(t) = etFT(t) = 1 et0 < tP(T> s +t|T> s) =P(T> s +t T> s)P(T> s)=P(T> s +t)P(T> s)=e(s+t)es= et= P(T> t)Ejercicio 108TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 79Ejercicio109. SeaT Exp() conf(t) = etFT(t) = 1 et0 < tP(T>1) = e1= e1yP(T> 2 1) = e21= e2Ejercicio 109TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 80Ejercicio110. La probabilidad de que la instalacion no se avere entres minutos esP(T> 3) = e0,253= e0,75= p = 0,472.a). Lavariable Y esgeometricaG(p)ypuedetomarlosvalores1, 2, 3, . . . en unidades de 3 minutos. La probabilidad de resolverel problemaenel k-esimointentoyportantoseempleen3kminutos esP(Y= k) = pqk1b). E[Y ] = e0,75= 6,35 minutos.c). SeaZel n umerodeproblemasresueltosen18minutos. Zsedistribuye como unaB(6, p), luegoP(Z = 3) =_63_p3q3= 0,7072Ejercicio 110TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 81Ejercicio111. SeaT Exp() conf(t) = etFT(t) = 1 et0 < tcomoP(T> 100) = e100= 0,9 = = 0,00105a). P(T> 200) = e200= 0,81b). Para hallart conP(T> t) = 0,95 resolvemoset= 0,95 = t = 48,85Ejercicio 111TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 82Ejercicio 112. El tiempo Bi de duracion de una bombilla es Exp(),la variable Mi = min(B1, B2, , Bi) es tambien exponencial Exp(i ).M6indicaeltiempoquetranscurrehastalaprimerarotura, M5in-dica el tiempo que transcurre entre la primera rotura y la segunda,yanalogamenteparaMi, entoncesT1=M6, T3=M6 + M5 + M4yT6 = M6 +M5 + +M1, luegoE[T1] =1206= 20E[T3] =1206+ 1205+ 1204= 74E[T6] =1206+ 1205+ + 1201= 220Ejercicio 112TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 83Ejercicio113.Sistema en serie. SeaT= min(T1, T2)P(T> t) = P(T1> t T2> t) = P(T1> t) P(T2> t)= e1te2t= e(1+2) t= 1 FT(t)luegofT(t) = (1 +2) e(1+2) tlo que muestra que Tsigue una distribucion Exp(1+2) y portanto la esperanza esE[T] =11 +2TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 84Sistema en paralelo. SeaT= max(T1, T2)P(T< t) = P(T1< t T2< t) = P(T1< t) P(T2< t)= (1 e1t) (1 e2t)= FT(t)y calculando la esperanza se tieneE[T] =11+1211 +2Ejercicio 113TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 85Ejercicio 114. En el sistema en paralelo el tiempo es T= max(T1, T2, T3)P(T< t) = P(T1< t T2< t T3< t) == P(T1< t) P(T2< t) P(T3< t)= (1 et)3= FT(t)el calculo de la esperanza por integracion por partes es algo pesado,y resultaE[T] =1(1 + 12 + 13)Ejercicio 114TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 86Ejercicio 115. Sea A el suceso la componente 1 se estropea antes quelacomponente2. Si T1esladuraciondelacomponente1, T2esladuracion de la componente 2, Tmin es la duracion mnima del sistemayTmaxes la duracion maxima del sistema, se tiene queTmax = Tmin +T2A+T1Ay tomando esperanzasE[Tmax] = E[Tmin] +E[T2] P(A) +E[T1] P(A)Sustituyendo las esperanzas del ejercicio 113, se obtieneP(A) =11 +2Ejercicio 115TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 87Ejercicio 116. Si el tiempoTi de cada instrumento esExp( = 0,1)conX= 10 y2X= 10, el tiempo total de funcionamiento de los 30instrumentos corresponde a la variableT= T1 +T2 +. . . +T30Por el Teorema Central del Lmite, la suma de las 30 variables i.i.d.se ajusta a unaN(n,_n2X)T N(300;3000)luegoP(D > 350) = 1 P_z 1) = 1 (1) = 0,1587d). P(Z> 1) = 1 (1) = (1) = 0,8413e). P(1 < Z< 1) = (1) (1) = 0,6826f). P(2 < Z< 1) = (1) (2) = (2) (1) = 0,1359Ejercicio 117TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 89Ejercicio118. Se obtienen tipicando a la variablez N(0; 1):a). P(X 40) = P_z 40 505_= (2) = 0,0228b). P(X 60) = P_z 60 505_= (2) = 0,9772c). P(X> 65) = P_z>65 505_= 1 (3) = 0,0013d). P(X> 35) = P_z>35 505_= (3) = 0,9987e). P(40 < X 60) = (2) (2) = 0,9544f). P(30 < X 42) = (1,6) (4) = 0,0548Ejercicio 118TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 90Ejercicio119. Suponemos queXse distribuyeN(, 2). Tenemos:P(X< 75) = 0,58, P(75 < X< 80) = 0,38tipicandoZ = (X )/ obtenemosP(Z t) P(T2> t) = G1(t) G2(t) == etet= e2ty as tenemos para el sistema en serie la funcion de distribuciony la funcion de densidad del tiempoTS:FS(t) = 1 e2tfS(t) = 2e2tluegoP(TS> 50) = GS(50) = e250= e1yP(TS> 50|TS> 20) =P(TS> 50yTS> 20)P(TS> 20)==GS(50)GS(20)= e0,6= 0,5488TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 94P(TS< 50|TS> 20) = 1 0,5488 = 0,4512SistemaenParalelo:Fp(t) = P(Tp< t) = P(T1< t) P(T2< t) == F1(t) F2(t) = (1 et)(1 et)y as, la funcion de supervivencia del tiempoTp:Gp(t) = 1 (1 et)(1 et)luegoP(Tp> 50) = Gp(50) = 1 (1 e50)2= 1 (1 e0,5)2= 0.8452yP(Tp> 50|Tp> 20) =P(Tp> 50yTp> 20)P(Tp> 20)=Gp(50)Gp(20)= e0,6P(Tp< 50|Tp> 20) = 1 0,8739 = 0,1261Ejercicio 122TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 95Ejercicio 123. SeaR1 el recorrido con el primer par de zapatillas, yRi el recorrido con el par iesimo de zapatillas. El recorrido total RTconn pares de zapatillas equivale a:RT= R1 +R2 +. . . +RnLa variableRTsigue una distribucion normalN(20 n; 2= 16 n).P(RT> 300) = P(Z>300 20n4n= z0) 0,951 (z0) 0,95 (z0) 0,05de las tablas obtenemosz0 = 1,65 y as300 20n4n= z0 1,65resolviendo esta ecuacion se obtienen 17. Ejercicio 123TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 96Ejercicio124.SeaClacantidadquellevaenelbolsillo.SeaXeln umerodepartidasganadasde400, detipoB(400; 1/2). SeaBelbenecioB= 5X 5(400 X) = 10X 2000.HayquecalcularCcon la condicionP(B +C 0) 0,95Es decirP(10X 2000 +C 0) = P_X 2000 C10_ 0,95AproximandoXpor la distribucion normalN(200; = 10) se tieneP_Z 2000C1020010= z0_ 0,95Como1 (z0) 0,95, buscandoenlatablaN(0; 1), obtenemosz0 = 1,65, luego resolviendo la ecuacion2000C1020010 1,65 C 165Ejercicio 124TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 97Ejercicio125. SeaXla ganancia por accion yG la ganancia totaldel corredor de bolsa. EntoncesG = 50X 1200,50 = 50X 60,000luegoP(G 0) = P(50X 60000 0)= P(X 1200)=_2000120011000dx = 0,8Ejercicio 125TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 98Ejercicio126. SeafAlafrecuenciaobtenidaconunamuestradetama non. Se tiene quefA N(p,_pq/n), siendo la proporcion realp = 0,52. Hay que determinarn con la condicionP(fA< 0,50) 0,01Tipicando, obtenemosP__Z 0,9772TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 100o seaP_XA 0,9772con la aproximacionXA N(2n3 ; 2=2 n9), se tieneP_Z 0,9772Como (2) = 0,9772, resolvemos la inecuacion200+6n272n3_2n/9 2y obtenemos n 28 partidas.Ejercicio 127TocVolver Doc Doc SolucionesalosEjercicios 101Ejercicio128.SeaElcontenidoXencl.deunbotedecervezaesX N(30; 2):a).P(X> 33) = 1 P(X 33) = 1 P(z 1,5)= 1 (1,5) = 1 0,9332 = 0,0668b). SiXies el contenido del botei-esimo, el contenido total de los6 botesSesS = X1 +X2 +. . . +X6siendoSlasumade6variablesaleatoriasnormalesi.i.d, S N(198,24)P(S< 175) = P(z