EJERCICIOS SISTEMAS NO LINEALES – CALCULO DE RAICES

1. El crecimiento de poblaciones grandes puede modelarse en períodos cortos suponiendo que el crecimiento de la población es una función continua en t mediante una ecuación diferencial cuya solución es

N (t)=N0eλt+ vλ(eλt−1)

donde N (t) es el número de individuos en el tiempo t (medido en años), λ es la razón de natalidad, N0 es la población inicial y v es un razón constante de inmigración, que se mide en número de inmigrantes al año. Suponga que una población dada tiene un millón de individuos inicialmente y una inmigración de 400,000 individuos al año. Se observa que al final del primer año la población es de 1,506 ,000 individuos.

a) Determine la tasa de natalidad, usando el método de Newton-Rapshon para un dato inicial x1=1 y usando la tolerancia =10−5 .

b) Calcule una previsión de la población al cabo de tres años.

2. Use el método de Newton-Raphson para encontrar la solución del sistema de ecuaciones no lineal. Emplee como valores iniciales x = 1.5, y = 3.5

x 2+xy−10=0 y+3xy2−57=0

3. Determine la mayor raíz real de

f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6.1

Usando el método de la secante (tres iteraciones, x0=2.5; x1=3.5)

4. La resistividad ρ del silicon dopado esta basado en la carga q del electrón, la densidad del electrón n , y la movilidad del electrón μ . La densidad del electron esta dada en terminos de la densidad del dopado N y la densidad intrinseca del portador ni . La movilidad del electrón es descrita por la temperatura T , la temperatura de referencia

T 0 y la movilidad de referencia μ0 . Las ecuaciones que se requieren para calcular la resistividad son:

ρ= 1qnμ

donde

n= 12(N +√ N 2+4n i

2) y μ=μ0(TT 0

)−2.42

Determine N con el método de bisección. dado T 0=300K , T=1000K , μ0=1360cm2(Vs)−1 , q=1.7 x 10−19 C , ni=6.21 x 109 cm−3 y una

resistividad deseada de ρ=6.5 x 106 V s cm /C . Emplee valores iniciales de N =0y N =2.5 x 1010 .