Ejercicios Óptica 2ª Parte

Ejercicio 1:

La fórmula del desfase al llegar al borde de la fibra viene dada por:

No obstante se tiene que el sustrato y que la cubierta tiene diferente índice, por lo que el desfase será diferente en cada una de las superficies, esto es, nos encontramos ante un caso de fibra no simétrica.

Como se ve en la formula, el desfase esta dado en función de θi, esto es el ángulo de incidencia en la fibra, con respecto a la normal del plano de incidencia:

Por otro lado, si se aplican las leyes de Sneell, se tiene que el ángulo critico será aquel, para el

que se consigue , esto es, .

Finalmente, los diferentes posibles valores producidos, respetando el valor mínimo del ángulo de incidencia en función del ángulo crítico es:

Don se observa que a mayor contraste entre los índices de refracción de los diferentes componentes de la fibra se tendrán pasa posibilidades para los posibles angulos mayores que el ángulo crítico.

No obstante, no todos los valores de ángulo son posibles, ya que la relación de dispersión limita el conjunto de angulos de incidencia que generan los modos guiados. Esta relación es la siguiente:

La resolución de esta relación ha de hacerse de forma analítica. Para el modo fundamental, esto es m = 0, se tiene que:

2K onf hcos (θ )=φ s+φc

Donde tanto el valor de la izquierda de la igualdad depende de θ, como las diferentes retardos dados por φ. Por ello, aplicando una resolución mediante Matlab.

Donde se observa la curva correspondiente a la expresión de la izquierda, en azul, mientras que se observan los diferentes retardos de la fibra. El punto para el cual se obtiene el modo m = 0, es para el cual se tiene el cruce entre la curva azul, y la curva negra.

En este caso el ángulo obtenido, haciendo uso de Matlab para encontrar el punto de intersección, es de 56.2º. El índice efectivo para este valor vendrá dado por:

N ef=sin (56.2 º )∗N f=N f∗0.838

A) Obtener el Índice efectivo para los diferentes valores

a. SOI. Para h = 0.25 µm

Aplicando las formulas anteriores: Θ = 56.2º

N ef=sin (56.2 º )∗N f=N f∗0.838=3.476∗0.838=0.91288

b. SOI. Para h = 0.4 µm

En esta nueva gráfica si la comparamos con la anterior se tiene que la expresión de la izquierda es un valor mayor, por lo que la caída se hace mas tarde y por lo tanto el punto de cruce también. Esto produce que el ángulo sea mayor y por lo tanto también el índice de refracción efectivo.

Aplicando las formulas anteriores: Θ = 66.416º

N ef=sin (69.9 º )∗N f=N f∗¿3.476∗0.9165=3.1856

c. SOI. Para h = 1 µm

Aplicando las formulas anteriores: Θ = 78.8526

N ef=sin (69.9 º )∗N f=N f∗¿3.476∗0.9811=3.1414

Se observa en este material como al aumentar el tamaño de la fibra, el índice efectivo resultante aumente, lo cual es indicativo de la onda al recorrer la fibra la mayor parte del material por el cual viaja es el del núcleo

d. SOI. Para h = 3.5 µm

De nuevo se observa, como al disminuir el contraste entre los índices de refracción de las diferentes elementos los posibles valores de angulos de incidentica disminuyen. Además, para que este primer modo se produzca es necesario aumentar considerablemente h.

Por otro lado el ángulo en el cual se propaga el primer modo, es:

Aplicando las formulas anteriores: Θ = 84.6936

N ef=sin (84.6936 º )∗N f=N f∗¿1.48∗0.9957=1.4737

Apartado B

Hallar la relación (h/λ) que garantiza que solo se propague el modo fundamental.

Para el modelo dado anteriormente, con h = 3.5 µm. Se tiene, en principio, que los modos aceptados son tanto el modo fundamental, m = 0, y otro modo para m = 1. Esto se observa entre el punto de cruce del grafo azul, y los grafos para m = 0, m = 1, m = 2, siendo solo para la última curva para la que el punto de cruce da un ángulo menor que el ángulo crítico, indicado con la línea discontinua.

Se tiene como para valores de h/λ menores de 2.053 se tendrá únicamente un modo. Esto viene dado por la fórmula:

Este es el factor que limita la posibilidad de que se transmita más de un modo. Por otro lado, para que se transmita un modo, su punto de cruce en la gráfica de la ecuación de la relación de dispersión sea con un ángulo superior al ángulo crítico

Para una fibra en la que el índice del sustrato y el de la cubierta es el mismo, se tendrá que siempre habrá un modo propagándose, esto puede observarse con una simulación, reduciendo significativamente el valor de la altura de la fibra:

A pesar de la se ha reducido considerablemente h, todavía se produce un punto de corte superior al Angulo crítico, en este caso prácticamente el propio Angulo crítico. Por tanto, el margen es el siguiente

h = (0, 2.258).

Para el otro material. Realizando una simulación con h = 0.5 µm:

Se ve como se admite el segundo y el primer modo sin problemas (Esto se percibe en el punto de corte de la curva del desfase producido por el modo m = 0 [negro], la curva del modo m=1 [morado] con respecto a la curva de desfase positivo generado en función de la altura de la fibra). Mientras que ya el tercer modo no respeta el ángulo crítico, propiciado por la diferencia de índice de refracción entre los elementos del revestimiento.

Realizando la simulación para M máximo:

Ahora se tendrán dos factores limitadores, ya que los índices de cubierta y sustrato son diferentes, por ello se ha de tomar el mas limitante, es decir, aquel que permite una relación menor. En este caso el que mas limita es la cubierta, lo cual es lógico ya que es la parte con menor índice y por lo tanto mas contraste. Este límite es de 0.1478.

Analíticamente, tomando el índice de la cubierta ya que es con el que más contraste se tiene que:

Es importante ver que este número máximo de modos solo viene limitado por esta fórmula aun cuando los dieléctricos que cubren el núcleo son diferentes. Esto es así ya que se toma para obtener el límite el dieléctrico más limitante, esto es, aquel con el que hay menos contraste. Además ns > nc

Mmax=2∗hλ0

∗√n f2−ns2

Para que haya solo un modo debe cumplirse M < 1 por lo que:

1> 2∗hλ0

∗√3.4752−1.4442= hλ0

∗6.656 ;

hλ0

<0.158

Que es un valor similar al obtenido a partir de la gráfica.

Por otro lado, se tiene que para diferentes valores de índice de refracción entre cubierta y sustrato que no haya ningún modo que se propague. El mínimo ángulo aceptado para que haya modo fundamente es el ángulo critico dado por el elemento con el cual hay menos contraste de índices. En este caso es para el sustrato, n = 1.44. El ángulo crítico para el sustrato se calcula a partir de:

θc=arcsen( nsnf )=arcsen( 1.443.576 )=26.38ºLo que se ha obtenido es el valor señalado en la siguiente gráfica. Pero, para obtener la relación (h/λ) minima, ha de obtenerse el desfase producido en ese punto.

Esto se realiza con matlab y el valor es de 0.6772 radianes. Por lo que tomando este valor y resolviendo cual sería el punto de cruce limitante con la curva azul, con la mínima relación:

0.6772=2∗2πλ

∗3.476∗h

Resolviendo la ecuación anterior se tiene que:

hλ=0.0155

Realizando una simulación para este valor:

En la imagen se ve como justo para ese valor de la relación se tiene que el punto de cruce es algo anterior al ángulo crítico del sustrato, por ello el valor se ha de tomar algo superior. Finalmente el rango de esta relación es el siguiente:

hλ=(0.0156 ,0.1580)

Apartado C

Para el material

Para el rango determinado anteriormente, de 0.0156 a 0.1502 para el cociente de h/λ, se garantizaba que existiera solo un modo. Según la teoría electromagnética el número de modos en una guía vendrá dado por su valor de frecuencia normalizada, obtenido a partir de:

V=hλ2∗π∗√nf2−ns2

Para los dos valores límite del rango anterior:

V max=3.1396

V min=0.3263

Para obtener los valores de b en función del rango anterior hay que obtener el valor de la variable “a”:

Que en este caso es de 0.1085, por lo que el valor más cercano será el del grafo de a = 0. En la siguiente gráfica se observa como para el rango anterior se tiene solo un modo disponible. Aun así, parece que el margen de la óptica geométrica es algo más restrictivo.

Color amarillo

Realizando lo mismo para el otro material, cuyo rango obtenido había sido:

hλ=(0 ,2.25)

Para este caso como no hay diferencia entre los índices de refracción de cubierta y sustrato se tendrá, a = 0, mientras que la frecuencia normalizada será:

V max=3.42

V min=0

En la siguiente gráfica se ve como según la teoría electromagnética solamente se propaga un modo para los rangos especificados anteriormente. Se indica el rango del material de alto contraste en rojo mientras que el material de bajo contraste esta en amarillo.

Apartado D

Simulación con FEXEN de los diferentes guías ondas.

Para el material de alto contraste:

a) h = 0.25e-6

X 10-6-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

E(V/m)

104

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5neff = 2.8823339+ j0.00017735101

b) h = 0.4e-6

X 10-6-6 -4 -2 0 2 4 6

E(V/m)

104

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3neff = 3.1795121+ j1.6450096e-05

c) h = 1e-6

X 10-6-6 -4 -2 0 2 4 6

E(V/m)

104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2neff = 3.4093506+ j1.9906502e-06

Para el material de bajo contraste: h = 3.5e-6

X 10-6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

E(V/m)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000neff = 1.4736573+ j3.2164344e-07

Ejercicio 2

Demostrar la equivalencia de la ecuación de dispersión según la óptica geométrica

2kohcos (θ )=∅ s+∅ c+2πm (1)

Con respecto a la ecuación según la teoría electromagnética:

tg−1[ γck yf ]+tg−1[ γ sK yf ]+πm=k yf h (2)

En primer lugar, se tomará la constante k yf referida al eje de coordenadas según la propagación en la óptica geométrica, referenciándola a la constante de propagación normalizada. Esto es:

k yf=k0 cos (θ )∗nf (3)

Sustituyendo en (2), y multiplicando todo por 2:

2 tg−1[ γ ck 0cos (θ )∗n f ]+2tg−1[ γ s

k0cos (θ )∗nf ]+πm=2k0cos (θ )n f h (4)

Por otro lado, los desfases por la reflexión en la cubierta o sustrato según la óptica geométrica vienen dados por, tomado para el sustrato:

∅ s=2∗tg−1(√sen (θ )2−( nsn f )

2

cos (θ ) ) (5)

Substituyendo en (1):

2 tg−1(√sen (θ )2−( nsnf )2

cos (θ ) )❑

+2tg−1( √sen (θ )2−( nsn f )2

cos (θ ) )+2 πm=2kohcos (θ )

(6)

Aplicando que la constante de desvanecimiento en cubierta y sustrato se puede expresar como:

γs=√β2−ns2 k02=√neff2 k 02−ns2 k02 (7)

Substituyendo en (4):

2 tg−1(√neff2 k02−ns2k 02k0 cos (θ )∗nf )+2 tg−1(√neff2 k02−nc2k02k0 cos (θ )∗n f )+2πm=2k 0cos (θ )nf h (8)

Tomando de óptica geométrica:

neff=n f sen (θ) (9)

Aplicando la ecuación anterior y manipulando los datos en (8)

2 tg−1(√n f2 sin 2(θ)−ns2cos (θ )∗nf )+2tg−1(√n f2 sin 2(θ)−nc2cos (θ )∗nf )+2πm=2k0 cos (θ )n f h (10)

Por lo que llevando el término nf, del denominador al numerado en los términos contenidos en la tangente:

2 tg−1(√sin 2(θ)−ns2

nfcos (θ ) )+2 tg−1(√sin 2(θ)−nc

2

nfcos (θ ) )+2πm=2k0 cos (θ )n f h

(11)

Con lo que nos queda la expresión utilizada en óptica geométrica para el cálculo de la relación de dispersión.

Ejercicio 3

Una línea biplaca tiene la siguiente estructura:

Donde lo que se tiene son dos planos conductores paralelos en x = 0 y x = b, siendo b la distanciante entre dichos planos. Según la teoría electromagnética, las ondas se transmitirán de la siguiente forma:

Donde se ha de cumplir la siguiente condición de guiado, también conocido como relación de dispersión:

Aplicando las siguientes expresiones:

βz=N2 πλ0

w2με=β2=(n 2πλ0 )2

Aplicando estas fórmulas, (donde N es el índice efectivo, mientras que n es el índice del dieléctrico entre los dos planos paralelos conductores):

(N 2 πλ0

)2

=(n 2πλ0 )2

−(mπb

)2

Dividiendo todo por n, y multiplicando todo por λ02π

:

( Nn

)2

=1−(

mπb

∗λ0

2π)

2

Aplicando estas expresiones:

qué para nuestro caso

que para nuestro caso

Donde h es la distancia entre las placas, esto es b, mientras que k = β. Por lo que aplicando estos cambios:

b2=1−(mπV

)2

Esta es la expresión b-V para una línea biplaca.

Enlace http://wcchew.ece.illinois.edu/chew/ece350/ee350-21.pdf

Ejercicio 4

Aproximación mediante Marcatili

En este método se debe dividir el SLAB 3D en sus equivalentes en dos dimensiones, tomando para la resolución de estas dos nuevas guías los modos TM y TE, resolviéndolos posteriormente y aplicando que:

Este problema se resolverá aplicando Fexen para los diferentes modos. Aplicando diferentes longitudes de w, que van de 400 a 1100nm de 50 en 50 nm.

W400 500 600 700 800 900 1000 1100

N eff

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3Ex

0,0Ex

1,0Ey

0,0Ey

1,0

Aproximación mediante el Método de Índices efectivos

W400 500 600 700 800 900 1000 1100

Nef

f

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3Ex

0,0

Ex1,0

Ey0,0

Ey1,0

Evaluación de los modos permitido para la guía propuesta.

Aunque se ha calculado el índice efectivo de la guía 3D en función de la longitud ‘W’, otro parámetro importante a calcular es si es posible que los modos indicados se propaguen para los diferentes valores dados de W. Para ello hace falta observar detenidamente la gráfica β-V de cada uno de los modos TM y TE en los que se ha dividido la guía 3D.