ejercicio 4

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TEXTIL

2010

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ISeparata N°4

TEMA :PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y

ASIGNACIÓN

PROFESOR : ING. MAURO PÉREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICAY TEXTIL Ing. Mauro Pérez

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

CUARTO TALLER

P1. Un fabricante elabora un producto en tres plantas y lo distribuye al mercado a través de cuatro bodegas. Se cuenta con los siguientes datos:

Bodega Precio a venta $/unidad Demanda anual (unidades)1 1.00 400002 1.10 10000

3 1.00 20000

4 0.60 25000

Planta Costo de producción ($/unid)

Capacidad anual (unidades)

A 0.40 40000B 0.35 30000C 0.45 45000

COSTOS DE TRANSPORTE (Unidad)

DesdeHasta

Bodega1 2 3 4

Planta A 0.20 0.20 0.30 0.30B 0.20 0.10 0.35 0.40C 0.45 0.30 0.20 0.20

a) Determinar el programa que optimice las operaciones que realiza el fabricante.

Se sabe que: Pv = Pc + g (por unidad) g = Pv – Pc(#/unidad)

Caso: A1 gA1 = 10 – (0.4 + 0.2) = 0.4 #unidad Así sucesivamente llenamos la tabla.

Debe Hasta

Bodegas 1 2 3 4

PlantasA 0.4 0.50 0.3 -0.1B 0.45 0.65 0.3 -0.15C 0.10 0.35 0.35 -0.05

Ganancias por transportar cada unidad (#/unidad)Entonces se sabe que: Min = -Max

Des Bodegas Capacida

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 1


Hasta

d anual (unidade

s)1 2 3 4

Planta A -0.4 -0.50 -0.3 0.1 40 000B -0.45 -0.65 -0.3 0.15 30 000C -0.10 -0.35 -0.35 0.05 45 000

Demanda anual (unid.)

40 000 10 000 20 000 25 000

Hallando un programa que optimice las operaciones:Maximizando ganancias

Zmax = -0.4XA1 - 0.5XA2 - -0.3XA3 + 0.1XA4 - 0.45XB1 - 0.65XB2 - 0.3XB3 + 0.15XB4 - 0.1XC1 + 0.35XC2 - 0.35XC3 + 0.05XC4

XA1 + AX2 + XA3 + XA4 = 40 000XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 30 000XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 45 000YA1 + XB1 + XC1 = 40 000YA2 + XB2 + XC2 = 10 000YA3 + XB3 + XC3 = 20 000YA4 + XB4 + XC4 = 45 000

∀ Xij ≥ (i = A,B,C ; j = 1,2,3,4)

b) Aplicar el método Vogel para determinar la asignación óptima.B) Aplicando el método Vogel: Ordenados adecuadamente

Desp.Hasta

Bodegas Capacidad anual1 2 3 4 5

Planta

A -0.4 -0.5 -0.3 0.1 0 40 000B -0.45 -0.65 -0.3 0.15 0 30 000C -0.1 -0.35 -0.35 0.05 0 45 000

Demanda 40 000 10 000 20 000 25 000 20 000115 000

115 000

Penalizaciones

-0.4 -0.5 -0.3 0.1 0 0.10.10

0.4 0.4 0.1

-0.45

-0.65

-0.30.15

0 0.20.15

0.45

-0.1-

0.35-

0.350.05

00.05

0.25

0.1 0.10.05

Penalizaciones 0.0 0.1 0.0 0.0 0



5 5 5 50.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.3 0.05

0.05

Matriz de asignación I:20

00020 000 40

00020 000

0

20 000

10 000 30

00020 000

0

20 000 25 000

045 000

5 0000

40 000

10 000

200000 25 000

20 000

20 000

0 0 0 0

0

Costo (-Ganancia) = 20000(-0.4) + 20000(-0.45)+10000(-0.65) + 20000(-0.35) + 25000(0.05) + 20000(0)= $ - 29250

Verificando si es óptima la tabla:Zj

-0.4 -0.6 -0.4 0 0 0.05

-0.45

-0.65

-0.45

-0.05

-0.05

0

-0.35

-0.55

-0.35

0.05 0.05 0.1

-0.45

-0.65

-0.45

-0.05

-0.05

Cj – Zj >=00 0.1 0.1 0.1 00 0 0 0.15 0.2



0.25 0.2 0.2 0 0

Entonces es el óptimo.Con ganancia = -(-$29250) = $ 29 250

Se venderán las siguientes cantidades:

20000 productos de la planta “A” se venderán por la bodega 1

20000 productos de la planta “B” se venderán por la bodega 110000 productos de la planta “B” se venderán por la bodega 220000 productos de la planta “C” se venderán por la bodega 325000 productos de la planta “C” se venderán por la bodega 4

P2. Suponga que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, cebada y avena en el mundo. La demanda de trigo requiere que se dediquen 125 millones de acres a la producción de este cereal. De igual manera se necesitan 60 millones de acres para cebada y 75 millones de acres para avena. La cantidad total de tierra disponible es suficiente para los tres productos en los tres países. El número de horas de mano de obra necesaria para producir un acre de trigo en los respectivos países es 18, 13 y 16 horas. La producción de un acre de cebada requiere 15, 12 y 12 horas de mano de obra en Inglaterra, Francia y España y el número de horas de mano de obra necesarias para producir un acre de avena es 12, 10 y 16 respectivamente. El costo de mano de obra por hora en los tres países respectivos es $3.00, $2.40 y $ 3.30 para la producción de trigo; $2.70, $3.00 y $ 2.80 para la producción de cebada y $2.30, $ 2.50 y $ 2.10 para la producción de avena. El problema es asignar un solo producto a uno de los países.El objetivo al hacer esta asignación es minimizar el costo total de la producción.

a) Formular el problema como uno de asignación.

- Número de horas de mano de obra para producir un acre de cada cereal (horas/acre):

Productores

Cereales Inglaterra Francia EspañaTerreno

(millones acres)Trigo 18 13 16 125

Cebada 15 12 12 60

Avena 12 10 16 75



- Costo de mano de obra por hora de cada cereal en los tres países respectivos ($/hora):

Productores

Cereales Inglaterra Francia España

Trigo 3.00 2.40 3.30

Cebada 2.70 3.00 2.80

Avena 2.30 2.50 2.10

- Para obtener la matriz de asignación multiplicamos la primera matriz por la segunda y por los acres de terreno disponible por cada cereal, así obtenemos la matriz de asignación final:

Productores


Trigo 6 750 3 900 6 600

Cebada 2 430 2 160 2 016

Avena 2 070 1 875 2 520

b) Resolver utilizando el método Húngaro.

- Restando a cada fila el mínimo número de sus elementos:Productores


Trigo 6 750 3 900 6 600 3 900

Cebada 2 430 2 160 2 016 2 016

Avena 2 070 1 875 2 520 1 875

Productores


Trigo 2 850 0 2700

Cebada 414 144 0

Avena 195 0 645

- Restando a cada columna el mínimo de sus elementos:Productores


Trigo 2 850 0 2700

Cebada 414 144 0



Avena 195 0 645

195 0 0

Productores


Trigo 2 655 0 2700

Cebada 219 144 0

Avena 0 0 645

Como el número de ceros es igual a 3(orden de la matriz) hemos llegado al óptimo.Asignaciones óptimas: X12 = 1

X23 = 1 X31 = 1 Costo mínimo: 19 252.8

P3. Considere el siguiente problema de transporte con la tabla de costos y requerimientos que se muestren enseguida:

Destino Recurso1 2 3 4 5 6

Origen 12345

131431830

10130924

2216M1934

2921112336

18M61128

00000

56743

Demanda 3 5 4 5 6 2

Utilice cada uno de los siguientes criterios para obtener una solución inicial BF. Compare los valores de la función objetivo para estas soluciones.

a) Regla de la esquina Noroeste.b) Método de la aproximación de Vogel.

( a ) Esquina NoroesteSe considera M = 100Cij

13 10 22 29 18 014 13 16 21 100 03 0 100 11 6 018 9 19 23 11 030 24 34 36 28 0



Matriz Asignación I

3 2 5 3 3 6 1 5 1 7 4 4 1 2 3

3 5 4 5 6 2 25

25 Costo = 879

Zij

13 10 13 -16 -81 -109 -10916 13 16 -73 -78 -106 -106100 97 100 11 6 -22 -22105 102 105 16 11 -17 -17122 119 122 33 28 0 0122 119 122 33 28 0

Cij – Zij

0 0 9 105 99 109-2 0 0 94 178 106-97 -97 0 0 0 22-87 -93 -86 7 0 17-92 -95 -88 3 0 0

Punto de mejora: X31

3-X 2+X 3-X 3+X 1-X 5 1 4 1 2

X = 1

Matriz de Asignación II

2 3



2 4 1 5 1 4 1 2

COSTO = 282

Zij13 10 13 21 16 -1216 13 16 24 19 -93 0 3 11 6 -228 5 8 16 11 -1725 22 25 33 28 0



Cij - Zij

0 0 9 8 2 12-2 0 0 -3 81 90 0 97 0 0 2210 4 11 7 0 175 2 9 3 0 0

Mejorando Matriz 2-X 3+X

2-X 4 X 1+X 5-X 1

4 1 2

X = 2

Matriz de Asignación III

5 0 4 2 3 3 1 4 1 2

COSTO = 276

Zij

10 10 13 18 13 -1513 13 16 21 16 -123 3 6 11 6 -228 8 11 16 11 -1725 25 28 33 28 0

Cij - Zij

3 0 9 11 5 151 0 0 0 84 120 -3 94 0 0 2210 1 8 7 0 175 -1 6 3 0 0

Punto de mejora X32



5 0-X 4 2+X 3 X 3-X 1 4 1 2

X = 0Matriz de Asignación IV

5 4 2 3 0 3 1 4 1 2

COSTO = 276

Zij

13 10 21 16 16 -1513 10 16 21 16 -123 0 6 11 6 -228 5 11 16 11 -1728 22 28 33 28 0

Cij - Zij

0 0 6 8 2 121 3 0 0 84 120 0 94 0 0 2210 4 8 7 0 172 2 6 3 0 0

Punto optimo alternativo X11

Matriz X alternativa

X 5-X 4 2

3-X 0-X 3 1 4 1 2

X = 3

Matriz de Asignación Alternativa



3 2 4 2 3 3 1 4 1 2

COSTO = 276

( b )METODO VOGEL:

13 10 22 29 18 014 13 16 21 100 03 0 100 11 6 018 9 19 23 11 030 24 34 36 28 0

PenalizacionesEn las filas

10 3 8 8 13 1 3 3 3 33 3 6 9 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4

En las columnas10 9 3 10 5 010 9 3 10 5 9 3 10 5 1 3 2 7 4 3 2 17

11 18 15 72

Matriz de asignación I

5 5 0 4 1 1 63 4 7 4 4 1 2 33 5 4 5 6 2

COSTO = 360

10 10 13 18 97 -6913 13 16 21 100 72



3 3 6 11 90 62-76 -76 -73 -68 11 -17-59 -59 -56 -51 28 0

3 0 9 11 -79 -691 0 0 0 0 -720 -3 94 0 -84 -6294 85 92 91 0 1789 83 90 87 0 0

Punto de mejora : X35

Matriz de asignación 5 0 4 1+X 1-X 3 4-X X 4 1 2

Matriz de Asignación II

5 0 4 2 3 3 1 4 1 2

COSTO = 276

Esta matriz es igual a la matriz III del método de la ESQUINA NOROESTE, entonces se procederá como lo ya hecho antes.

Problema

MTI posee tres plantas de ensamblado de microcomputadoras. La que se encuentra localizado en San Francisco tiene una capacidad de producción mensual de 1700 unidades, la que esta localizada en los Ángeles tiene una capacidad mensual de 2000 unidades y la de Phoenix tiene una capacidad de producción mensual de 1700 unidades.Las microcomputadoras son vendidas a través de tiendas al menudeo. Para el mes siguiente, la tienda que se encuentra en San Diego ha hecho un pedido de 1700 unidades, la que esta en Barstow tiene un pedido de 1000 unidades, la de Tucson ha pedido 1500 unidades y la situada en Dallas tiene un pedido de 1200 unidades. El costo

de envió de una microcomputadora desde cada planta de ensamblado a cada una de las diferentes tiendas se presenta en la tabal siguiente. costo de embarque (dólares/maquina)



Tiendas Plantas San Diego Barstow Tucson Dallas

San Francisco 5 3 2 6

Los Ángeles 4 7 8 10

Phoenix 6 5 3 8

Resolver el problema utilizando el método de la esquina Nor-Oeste.

Solución:

La suma de ofertas= 1700 + 2000 + 1700= 5400La suma de demandas= 1700 + 1000 + 1500 + 1200 = 5400

EL SIMPLEX

Min Z = 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4S.A= XA1 + XA2 + XA3 + XA4= 1700 XB1 + XB2 + XB3 + XB4= 2000 XC1 + XC2 + XC3 + XC4= 1700 XA1 + XB1 + XC1= 1700 XA2 + XB2 + XC2= 1000 XA3 + XB3 + XC3= 1500

XA4 + XB4 + XC4= 1200 Xi; j ≥ o (i= A, B, C) …

(J= 1…...4)



METODO DE LA ESQUINA NORESTE

1 2 3 4 OFERTAS A 1700 1700 0 B 0 1000 1000 2000 1000 0

C 500 1200 1700 1200 0

DEMANDA 1700 1000 1500 1200

0 0 0 0

a.1) Matriz: I

1 2 3 4 A

B C

Evaluación de la matriz Cij= Ri + Kj Ecuaciones: R1 + K1= 5 R1= 1 R2 + K2= 7 R2 + K3= 8 R2= 0 R3 + K3= 3 R3 + K4= 8 R3= -5 R2 + K1= 4 Haciendo R2=0

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

SAN DIEGO BARTOW TUCSON DALLAS OFERTA

A = SAN FRANCISCO 5 3 2 6 1700B= LOS ANGELES 4 7 8 10 2000C= PHOTENIX 6 5 3 8 1700

DEMANDA 1700 1000 1500 1200

14

1700

0 1000 1000

500 1200

5 8 9 14

4 7 8 13

-1 2 3 8


Matriz Cij – Zij

La matriz no es óptima.

a.2) Mejorando la matriz

x = 1000

Matriz II

CTR= 26 600 dólares

R1 + K1= 5 R2 + K1= 4 R2 + K2= 7 R2 + K3= 8 R2= 0 R3 + K3= 3 R1 + K3= 6 R3 + K4= 8

Matriz Cij – Zij


0 -5 -7 -8

0 0 0 -3 7 3 0 0

1700 - x x x

X 1000 1000 - x

500 + x 1200 - x

1600 1000

1000 1000 0

1500 200

5 6

4 7 8

3 8

0 -5 1 0

0 0 8 5

-1 -5 0 0


Mejorando la matriz II

X=1000

Matriz III

CTR= 23100 dolares

Matriz Zij

Matriz optima:

Se verifica que la Matriz de Asignación III es la óptima.

CTR=23100 dólares valor optimo.


1600-x x 1000

1000+x 1000-x 0

1500 200

0 700 0 1000

1700 300 0 0

0 0 1500 200

0 3 1 6

4 7 5 10

2 5 3 8

5 0 1 0

0 0 3 0

4 0 0 0


Problema La Heinson Fisheries Incorporated (HFI) tiene cuartos fríos en sus almacenes localizadas en Boston, Nueva Cork y Washington D.C. , en cada almacén la HFI procesa y distribuye langostas para vendedores de pescado localizados en varias ciudades del país. La demanda semanal estimada por Pedido langostas es como sigue

Ciudad Numero de cajas Miami 30

Chicago 50

Philadelphia 65

Dallas 55

Los costos de transporte aéreo por caja entre las plantas y los vendedores son como sigue:

Hacia Desde Miami Chicago Philadelphia Dallas

Boston 14 16 12 20

Nueva York 12 14 10 8

Washington DC 10 16 8 15

En la próxima semana se espera tener el siguiente suministro de langostas disponible.

Plantas Suministro

Boston 100

Nueva York 40

Washington 60

Resolver el problema utilizando el método de la esquina Nor – Oeste.



Solución:

Matriz (i)

(1) (2) (3) (4) Miami Chicago Pliladelphia Dallas Oferta (A) Boston 14 16 12 20 100

(B) Nueva York 12 14 10 8 40

(C) Washington 10 16 8 15 60 Demanda 30 50 65 55

La suma de ofertas: 100 + 40 + 60 =200La suma de demandas: 30 + 50 + 65 + 55=200

Hallando la Matriz I 1 2 3 4

A 30 50 20 100 70 20 0

B 40 40 0

C 5 55 60 55 0

Demanda 30 50 65 55 0 0 45 0 5 0

Matriz I

1 2 3 4

A 30 50 20

B 40 CTR=2725, 00 dólares

C 5 55



Evaluación de la Matriz de Asignación I

Matriz Zij

1 2 3 4 R1 + K1=14 Sea R1=0

A 14 16 12 19 R1=0 R1 + K2=16 R1 + K3=12B 12 14 10 17 R2=-2 R2 + K3=10 R3 + K3=8C 10 12 8 15 R3=-4 R3 + K4=15 K1 K2 K3 K4 14 16 12 19

Matriz Cij – Zij

1 2 3 4

A 0 0 0 1

B 0 0 0 -9 La matriz no es óptima

C 0 4 0 0

Mejorando la solución

Punto de Mejora (2:4)

Matriz II

1 2 3 4

A 30 50 20 X=40 B 40-X X

C 5+X 55-X



1 2 3 4

A 30 50 20 CTR=2365, 00 dólares B 40

C 45 15

Evaluación de la Matriz II Matriz Zij

1 2 3 4

R1 + K1=14 A 14 16 12 19 R1=0 R1 + K2=16 R1 + K3=12 Sea R1=0 B 3 5 1 8 R2=-11 R2 + K4=8 R3 + K3=8 C 10 12 8 15 R3=-4 R3 + K4=15 K1 K2 K3 K4 14 16 12 19

Matriz Cij – Zij

1 2 3 4

A 0 0 0 1 La Matriz II, es la óptima. B 9 9 9 0

C 0 4 0 0



Finalmente

El patrón de embarque de costo mínimo es:

Destinos 1 2 3 4

A 30 50 20

Orígenes B 40

C 45 15

Es decir: De A se envía a 1: 30 cajas

De A se envía a 2: 50 cajas

De A se envía a 3: 20 cajas

De C se envía a 3: 45 cajas

De B se envía a 4: 40 cajas

De C se envía a 4: 15 cajas.

Min (z) = 30(14) + 50(16) + 20(12) + 45(8) + 40(8) + 15(15)

Min z).= 2365.00 dólares

Problema

La Santa Bárbara Oil Company tiene refinerías en los Ángeles, Houston y St Louis. La gerencia necesita un plan de distribución óptimo entre las refinerías y lasa instalaciones regionales de almacenamiento, localizadas en Denver, Seattle, Chicago y Buffalo. Los datos siguientes son representativos para las operaciones de un mes tipico.



Hacia Desde Buffalo Seattle Chicago Denver Los Ángeles 8 5 8 4

Houston 9 5 5 5

St. Louis 9 8 4 4

Refineria Capacidad mensual disponible Costo variable (Millones de barriles) (Dólares / barriles)

Los Angeles 150 5

Houston 80 4 St. Louis 100 3

Instalacion regional Ventas mensuales De almacenamiento (Millones de barriles)

Buffalo 50

Seattle 100

Chicago 50

Denver 100

Resolver este problema utilizando el método de VOGEL.



Solucion:

Costo total= costo de envió + costo variable (Dólares/barril) (Dólares / barril)

Buffalo Seattle Chicago Denver Ofertas

13 10 13 9 150

13 9 9 9 80

12 11 7 7 100

Demandas 50 100 50 100

Suma de ofertas: 150 + 80 + 100 = 330Suma de demandas: 50 + 100 + 50 + 100 = 300

Se sabe que: Demanda tiene que ser igual a la oferta por lo tanto se le adiciona columna.

Ofertas

13 10 13 9 0 150

13 9 9 9 0 80

12 11 7 7 0 100

Demandas 50 100 50 100 30



Vogel: Mayor penalización

9 1 1 1

9 4 1 4 1 4

7 4 2 4 2

1 2 2 2 0 1 2 2 2 1 2 2 2 0 1 0

Para determinar la matriz asignación consideramos lo sgte:

En la fila 2 y 3 observamos que el menor valor es cero pero esa columna ha sido cancelada ya que consumimos la demanda ( 30 dólares) en su totalidad en la posición A14.

Lo que nos queda es desempacar con el sgte menor valor.

En la fila II tenemos un triple empate, escogemos el primero de izquierda a derecha.

En la fila III tomamos el mismo criterio para eliminar el doble empate. Completando los valores obtenemos la sgte MATRIZ DE ASIGNACION.

50 20 0 50 30 150 120

0 80 0 0 0 80 0

0 0 50 50 0 100 50 0

50 100 50 100 30

0 20 0 50 0

0 0


13 10 13 9 0

13

9 9 9 0

12 11

7 7 0


Matriz Zj Matriz Cj – Zj >=0

Observamos que es la tabla optima.

Finalmente la distribución optima es

Buffalo Seattle Chicago Denver Otro

Los Ángeles

Houston

St. Louis

Observamos que para llegar a tener un resultado optimo deberíamos buscar otra inslacion adicional para cumplir con las demandas requeridas. Teniendo como costo: 2720 dólares


13 10 9 9 0

12 9 8 8 -1

11 8 7 7 -2

0 0 4 0 0

1 0 1 1 1

1 3 0 0 2

50 20 50 30

80

50 50

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ejercicio 4