ANLISIS MATEMTICO DE FUNCIONES REALES DE

UNA Y VARIAS VARIABLES REALES

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIN

TEMAS 6 A 11 - EJERCICIO 8

1. Dada la funin r(t)peridia de periodo

2pi que aparee repre-sentada en la gura,

alular su serie de

Fourier S(t) y analizarsu onvergenia.

2. Una sustania porosa humedeida on ierto lquido y expuesta al aire,

pierde su humedad on una rapidez que suponemos omo hiptesis que

es proporional al uadrado del ontenido de lquido que ontiene.

a) Construir un modelo matemtio para alular la antidad de

lquido H(t) que ontiene la sustania en ada instante.

b) Calular la familia de funiones H(t).

) Calular y representar gramente la funin H(t) si se sabe quela humedad pasa del valor H = 1 al valor H = 1/7 en tres das.

3. Considerar las superies S1, S2 y S3 denidas abajo. Sea V el slidointerior a S2 y limitado por S1 y S3. Representar gramente V y

alular su volumen.

S1 : x2 + y2 = a(z b) (0 < a < b)

S2 : x2 + y2 = a2

S3 : z = 2b

4. Supongamos que la transformada de Laplae de ierta funin derivable

y(t) es Y (s). Calular la transformada de Laplae F (s) de la funinF (t) = teaty(t), donde a es una onstante real.

RESPUESTAS

1. r(t) par bn = 0 n N

a0 =1

pi

pi0

(t + pi) dt =3pi

2

an =2

pi

pi0

(t + pi) cosnt dt =

[u = t + pi du = dt

dv = cosnt dt v =sen nt

n

]=

=2

pi

((t + pi)

sennt

n

]pi0

1

n

pi0

sen nt dt

)=

2

pin2cosnt

pi0

=2

pin2((1)n 1) =

=

0 si n es par4

pin2si n es impar

S(t) =3pi

2

4

pi

k=0

cos(2k + 1)t

(2k + 1)2

Como r(t) es ontinua, S(t) = r(t) t R

2. a) H (t) = k H2(t)

b)

dH

H2= k dt

1

H= kt + C H =

1

kt + C

) H(0) = 1 1 = 1IC C = 1

H(3) = 1/7 1/7 =1

1 + 3k k = 2

H(t) =1

1 + 2t

3. Volumen=

= 4

pi2

0

a0

2b(2/a)+b

dz d d =

= 4

pi2

0

a0

(b 2/a) d d =

= 4

pi2

0

(1

2a2b

1

4a3)

d = (2a2ba3)pi

2

4. L (y) = Y ; L (y) = sY y(0)

L (ty) = (1)1d

ds(sY y(0)) = (Y + sY ) = sY Y

L (eatt y) = (s a)Y (s a) Y (s a)