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Ejercicio del Curso de Estática
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERA
ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL
ESTTICA
TEMA :
DESARROLLO DE LA SEGUNDA PRCTICA CALIFICADA
DOCENTE:
ING. TARSICIO VALDERRAMA SORIANO
ALUMNOS :
ALTAMIRANO SEGURA, Roiser
CARRERA TERRONES, Jos Wilson
VASQUEZ AGIP, Jos Kevins
CICLO : VACACIONAL
FECHA : Cajamarca febrero de 2015
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
2 CENTRO DE GRAVEDAD
PROBLEMA UNICO: Hallar el centro de gravedad del rea que se muestra en la figura.
160
4
314899953.16
5
3
3
1
VSVE
mVQ
FG
BACL
CBKB
VA Es altura del AFD
Tmpano circula de radio 4 m DESARROLLO DEL EJERCICIO.
1. HALLAMOS LAS COORDENADAS DE TODOS LOS PUNTOS DE LA FIGURA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
3 CENTRO DE GRAVEDAD
a. Hallamos el punto L
|AL| = 3
5|BA|
= (-11, 3, -3)
|AB| = 11.78982612
|AB| = (0.93300782, 0.25445668, 0.25445668)
|AL| = 7.07389567
= (-6.6, 1.8, -1.8)
L = A +|AL|
b. Hallamos el punto C, en el rectngulo ABCD
= (3.75,3.55,17.3)
|AD| = 18.05422388 |AD| = (0.207707, -0.196630, -0.958224)
|BC| = 18.05422388
= (3.75, -3.55, -17.3)
C = + B
c. Hallamos el punto K
|KB| = 1
3|CB|
= (3.75, 3.55, 17.3)
|BC| = 18.05422388 |BC| = (0.207707, -0.196630, -0.958224)
|KB| = 6.01807463
= |KB| . |BC|
= (1.25,1.18333333, 5.76666667)
K = +
d. Hallamos el punto I
|CI| = 4
L = (-9.1, 25.3, -11.8)
C = (-9.75, 22.95, -30.3)
K = (-12.25, 25.31666667, -18.76666667)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
4 CENTRO DE GRAVEDAD
|CB| = (-0.207707, 0.196630, 0.958224)
= |CI| . |CB|
= (0.83083051, 0.78651955, 3.83284808)
= +
e. Hallamos el punto H
|CH| = 4 |CD| = (0.933008, -0.254457, 0.254457)
= |CH| . |CD|
= (3.73203129,1.01782672, 1.01782671)
= +
f. Hallamos el punto J
|HJ| = 4
|CI| = (-0.20770761, 0.19662989, 0.95812452)
= |HJ| . |CI|
= (-0.83083051, 0.78651955, 3.83284808)
= +
g. Hallamos el punto F
|FG| = 16.31489995
F = (X, Y, Z)
G = (-4, 26.4067345724, 21.1765433395)
Se tiene la siguiente ecuacin:
( + 4)2 + ( 26.40673457)2 + ( 21.17654334)2 = (16.31489995)2.
(1)
En el plano GFA, se tiene:
. = |FA| . |FG|
. cos(90) = 0
2 + 6.3 + 2 49.90673457 + 2 11.17654334 + 418.7928290= 0 (2)
En el plano FAGD, se tiene:
. ( ) = 0
I = (-10.58083051, 23.73651955, -26.46710192)
H = (-6.01796871, 21.93217328, -29.28217328)
J = (-6.8487992274, 22.71869283, -25.44927521)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
5 CENTRO DE GRAVEDAD
60.39022075X + 90.96203752Y 5.57525465Z = 2042.38487638 (3)
De las ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene:
X = 8
Y = 18
Z = 14
h. Hallamos el punto V
. = 0 2 5.5 + 2 41.5 + 2 4 + 263 = 0 . . (4)
. = 0 2 1.25 + 2 43.45 + 2 + 37.3 + 738.7 = 0 . . (5)
En el plano AFVD se tiene:
. ( ) = 0
180.35X + 271.65Y - 16.65Z 6099.4 = 0 (6)
De las ecuaciones (4), (5) y (6) se tiene:
X = 3.87397546
Y = 19.19196264
Z = -11.24515756
i. Hallamos el punto Q
|VQ| = 4 |VA| = (-0.81786782, 0.55277984, 0.15977066)
= |VQ| . |VA|
= (3.27147130, 2.21111937, 0.63908266)
= +
j. Hallamos los puntos E y S
|VE| = |VS| = 160
|FD| = (0.16112332, 0.04654674,0.98583603
= |VE| . |FD|
F = (8, 18, 14)
V = (3.87397546, 19.19196264, -11.24515756)
Q = (0.60250416, 21.40308201, -10.60607489)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
6 CENTRO DE GRAVEDAD
= (2.03806673, 0.58877483, 12.46994801)
= +
= |SV| . |FD|
= (2.03806673, 0.58877483, 12.46994901)
=
k. Hallamos el punto T
(|TV| )2 + (|VS| )2 = (|TS| )2
|TS| = |TV| + 4
|VS| = 160
|TV| = 18 |AV| = (0.81786782, -0.55277984, -0.15977067)
= |TV| . |AV|
= (14.72162087, -9.95003715, -2.87587199)
= +
l. Hallamos el ngulo
= arctan (
)
HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA ENJUTA PARABOLICA
E = (1.83590873, 19.78073748, -23.71510656)
S = (5.91204218, 18.60318781, 1.22479145)
T = (18.59559633, 9.24192549, -14.12102955)
= 35.0968012276
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
7 CENTRO DE GRAVEDAD
=
AREA=145.5697907
| | =3
4||
| | = 20.0756
= | |
| | =3
10| |
| | = 4.89447
= | |
C (3.375, 19.375, 8)
G (1.775, 21.8970203717, 10.1529630018)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
8 CENTRO DE GRAVEDAD
HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL RECTANGULO
=
AREA= 212.8561603524
| | =1
2| |
| | = 5.89491
= | |
| | =1
2| |
| | = 9.02711
= | |
C (-4.25, 21.45, -28.8)
G (-6.125, 23.225, -20.15)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
9 CENTRO DE GRAVEDAD
HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL TIMPANO CIRCULAR
=
AREA = 3.4336293856
| | =2| |
3(4)
| | = 3.106528244
= | |
| | = 4 2| |
3(4)
| | = 0.893471756
= | |
C (-8.9163838625, 22.722650144, -30.072650144)
G (-9.10196476, 22.898333395, 29.21650360)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
10 CENTRO DE GRAVEDAD
HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SEMIPARABOLA
=
AREA = 30.675058328
| | =5
8| |
| | = 2.94746
= | |
| | =3
5||
| | = 3.61084
= | |
C (-10.75, 25.75, -12.25)
G (-10, 25.04, -15.71)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
11 CENTRO DE GRAVEDAD
HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL TRIANGULO
=
AREA = 163.2460317282
|| =1
3(| | + | |)
| | = 22.50041440
= | |
| | =1
3||
| | = 2.59780177
= | |
C (4.3746584865, 19.0473208817, -8.1817191864)
G (2.250, 20.483333334, -7.766666667)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
12 CENTRO DE GRAVEDAD
HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL SEGMENTO CIRCULAR
=
AREA = 68.792501824
EL ANGULO DE = . , = = =
= .
= .
=()^
()
=(.)^
(.(.)(.)= . ,
=
| | = 19.613161791788
= | |
G (2.554622331822, 20.08368596503, -10.9874216248889)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
13 CENTRO DE GRAVEDAD
FIGURA AREA A *A *A *A
ENJUTA PARABOLICA 145.569791 1.775000 21.897020 10.152963 258.3863785 3187.54467 1477.9647
RECTANGULO 212.856160 -6.125000 23.225000 -20.150000 -1303.74398 4943.58432 -4289.05163
TIMPANO CIRCULAR -3.433629 -9.101965 22.898333 29.216504 31.25277367 -78.6243904 -100.318645
SEMIPARABOLA -30.675058 -10.000000 25.040000 -15.710000 306.7505833 -768.103461 481.905166
TRIANGULO 163.246032 2.250000 20.483333 -7.766667 367.3035714 3343.82288 -1267.87751
SEGMENTO CIRCULAR -68.792502 2.554622 20.083686 -10.987422 -175.738861 -1381.60700 755.852222
SUMA 418.770793 -515.789537 9246.61703 -2941.5257
Entonces el centro de gravedad de la figura es:
5-1.2316750
*
6
1
6
1
t
t
t
t
Ai
XAi
X
822.0803770
*
6
1
6
1
t
t
t
t
Ai
YAi
Y
0-7.0241902
*
6
1
6
1
t
t
t
t
Ai
ZAi
Z