Universidad Nacional de Colombia -Facultad deMinasCurso de
Control IIIEjercicio ilustrativoCreado por: Ing. Jairo Espinosa
M.Sc. Ph.D. [email protected]: Septiembre
2006IntroduccinEl presente ejercicio pretende aplicar los
principales elementos estudiados a lo largodel curso de Control
Multivariable. Este es undocumentoque recibe
continuasactualizacionesy la idea es que el lector(estudiante)
atravs de un estudio
activo(reproduciendoestosresultados)encuentrepreguntasnuevasylogreelobjetivodeaprender
adisear controladores multivariables. Envesus preguntas ami
correoelectrnico.La plantaLa planta utilizada en este ejemplo es un
reactor tanque agitado (CSTR -ContinuousStirred Tank Reactor). La
reaccin qumica que tiene lugar en el reactor convierte demanera
irreversible el componente A en un componente B. A B . Esta reaccin
esirreversible y tiene lugar en un tanque cilndrico agitado con una
capacidad total deVmax = 120 litros. El tanque es cilndrico con una
seccin de 20.2 m A = .Figura1 Diagrama de un reactor de tanque
agitadoEl reactanteentraal sistemaconunflujoq(t),
unatemperaturaTo=350Kyunaconcentracin de producto A Cao= 1 mol/l.
El reactor tiene un volumen instantneoCao, T0,
qCa,T,Vhqc,Tc0Ca,qo,TV(t), una temperatura T(t) y una concentracin
de producto A Ca(t). El fluido deja
elreactorconuncaudalqo(t)yunaconcentracinyunatemperaturaigual
alasqueexisten en el reactor. Ya que la reaccin es exotrmica el
sistema requiererefrigeracin para controlar la reaccin. Un serpentn
de refrigeracin con agua Tco =350K y con caudal qc(t) es utilizado
para controlar la temperatura del reactor.El sistema se puede
describir usando las siguientes ecuaciones:( )( )( )3( )0 0( )0 1(
)2 04( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 ( )( )( )( ) ( )cERT
tERT tkq t cCdCa t q tCa Ca t k Ca tedt VtdTt q tT Tt k Ca tedt Vtq
tk e T TtVtdVtq t k Vtdt= = +| |+ | |\ = Los valores de las
constantes estn dados por:01 2 3, ,c pcap p c pcCHk hk k kC C C = =
=, Parmetro Descripcin Valor Nominal0k Constante de velocidadde
reaccin.7.2 x 1010 min-14k Constante de la vlvulade salida del
tanque10l/(min m3/2)ER Energa de activacin 1 x 104 K0T Temperatura
del flujodel reactante350 K0 CT Temperatura del
liquidorefrigerante350 KH Calor de la reaccin -2 x 105 cal/mol,p
pcC C Calores especficos 1 cal/g/K,c Densidad de loslquidos1 x 103
g/lah Coeficiente detransferencia de calor7 x 105 cal/min/K0Ca
Concentracin deproducto A en laalimentacin del reactor1 mol/lTabla
1 Parmetros del reactorLos flujos qc(t) (refrigerante) yq(t)
(materia prima) estn limitados a un valormximo qcmax = qmax =120
l/min.Definicin del problema de ControlSerequierecontrolar el
reactor mostradoenlaseccinanterior deformaquelaconcentracin Ca y el
volumen V se puedan fijar en valores deseados. Los flujos
qc(t)(refrigerante)
yq(t)(materiaprima)sonlavariablesquesepuedenmanipular. Elobjetivo
es controlar el sistema alrededor de un punto de operacin definido
como:Variable Valor en el punto deoperacinCa 0.1 mol/lV 100 lq 100
l/minqc103.37 l/minT 438.54 KTabla 2 Punto de operacin del
ReactorSi suponemos que solo podemos medir las variables Ca y V,
nuestro sistema quedardefinido de la siguiente manera:Estados:
Ca(t), T(t), V(t)Salidas: Ca(t) y V(t)Entradas: q(t) y qc(t)Se
espera que el sistema en lazo cerrado presente un sobreimpulso
inferior al 10% yun tiempo de establecimiento de 7 minutos.
Observeque el sistema est descrito conel tiempo en
minutos.Linealizacin del sistemaAplicando el concepto de series de
Taylorse puede linealizar el sistema alrededor delpunto de operacin
mostrado en laTabla 2.* ** * * *( , )( , ) ( , )( , ) ( ) ( )x udxf
x udtf x u f x uf x u x x u ux x= + + * *( , ) ( , ),( )( ) ( )( )
, ,( ) ( )( )x ucf x u f x uA Bx uCa tq t Ca tx Tt u yq t VtVt = =
( (( (= = = (( ( ( Calculando la linealizacin sobre el sistema
descrito en el sistema de ecuacionesseobtiene:( )( )( )* ***3 3* **
**0 0 0 * *2 *2* **0 1 *2 * *21 * **2 0 2 *2 *4**0*0( )( )1 10 020c
cE ERT RTERTERTk kq q c cCq E qk e k Ca t e Ca CaV RT Vq q ET Tt k
Ca eV V RTA k eq qk e T T k eV VkVCa CaVTB ( ( ( ( + ( (=(| | | | (
| | ||(\ \ ( ( ( = ( ) ( )3 3* *** * 2 3 20 0 * * * ** * ** * *11
0( ) ( ) ( )1 0 0 0 0,0 0 1 0 00.1100 0.1438.54 , ,103.37 100100c
ck kq qC CcT k k ke T T e T TV V qVy t y Cx x D u uC Dx u y ( ( ( (
| | |( | (\ ( ( ( + + ((= = (( ( (( (= = = (( ( ( La anterior
derivacin es sencilla desde el punto de vista conceptual, sin
embargo, elclculo de este tipo de derivadas de forma manual puede
en algunos casos ser tediosoy susceptible de error. Por ello le
recomiendo que para sistemas muy complejos utiliceherramientas
computacionales como Mapleo elSymbolic Math ToolboxdeMatlabpara
realizar este clculo. Otra alternativa es utilizar funciones tales
como linmodque permite linealizar modelos en Simulink, sin embargo,
est ltima funciones puedegenerar confusin desde el punto de vista
conceptual, dado que esta funcin linealizatodos los estados
presentes en el modelo y genera matrices relacionadas con todas
lassalidas sealadas en el modelo, an sin que ellas sean fsicamente
medibles. Un ejemplo de linealizacin analtica del anterior problema
se puede calcular usandoel Symbolic Math Toolbox de Matlab de la
siguiente forma:Figura2 Derivacin analtica usando el toolbox de
Math Symbol de MatlabCalculando los valores de las matrices del
sistema se obtiene: MERGEFORMAT-9.9979 -0.046787 -0.0091799.6
7.3245 1.79990 0 -0.50.009 00.8854 0.87751 01 0 0 0 0,0 0 1 0 0ABC
D ( (= ( ( ( (= ( ( ((= = (( En este punto le sugiero que haga lo
siguiente:1) Implemente el modelo dado en la ecuacinen simulink.2)
Calcule de forma analtica en Matlab la linealizacin, preste
muchaatencin al significado de la linealizacin recuerde que este
texto no esauto contenido y es necesario que estudie la gua del
curso.3) Simule el sistema aplicando una pequea perturbacin
aleatoria en qc esaperturbacin debe tener una amplitud de 3 o 4
l/min, recuerde usar elvalor nominal de qc. 4) Implemente una
simulacin con el sistema lineal descrito por la matricesy aplique
la misma perturbacin, las respuestas deben ser muy parecidas,no
olvide sumar los valores de y* alas salidas y de restar u* a
lasentradas.5) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es
obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante
es que puedapreparar su evaluacin.syms Ca q V Ca0 k0 ER T T0 k1 k2
qc Tc k3 k4system =
[(q/V)*(Ca0-Ca)-k0*Ca*exp(-ER/T);(q/V)*(T0-T)+k1*Ca*exp(-ER/T)+k2*(qc/V)*(1-exp(-k3/qc))*(Tc-T);q-k4*sqrt(V)]
states = [Ca T V]inputs = [q qc]A = jacobian(system,states)B =
jacobian(system,inputs)Anlisis de Controlabilidad y
ObservabilidadCalculando a partir de la ecuacinlas matrices con
Controlabilidad y Observabilidadobtenemos:10.0090 0 -0.0576 0.0411
0.0414 -0.1098-0.8854 -0.8775 11.5111 -6.4272 -20.1645
26.80691.0000 0 -0.5000 0 0.2500 0rank( ) = 3nCo B AB A BCoCo ( = (
(= ( ( Lo que implica que el sistema es controlable. Para la
observabilidad se obtiene:11 0 00 0 1-9.9979 -0.0468 -0.00900 0
-0.515.7616 0.1251 0.01030 0 0.25rank( )=3TnOb C CA CAObOb ( = ( (
( (=( ( ( ( ( Lo que implica que el sistema es observable.En este
punto le sugiero que haga lo siguiente:1) Reproduzca los resultado
obtenidos en este punto usando MATLAB2) Aplique otros mtodos de
prueba de controlabilidad y observabilidadcomo PBH (Popov Belevitch
y Hautus)3) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es
obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante
es que puedapreparar su evaluacin.Anlisis de Ganancias Relativas
(RGA)Usando la linealizacin del sistema expresada por las matrices
de la ecuacin sepuede calcular la ganancia del sistema usando la
expresin:1( ) ( ) Gj Cj I A B D = +Es importante recordar que el
anlisis de ganancias relativas se debe realizar a dosvalores
distintos de frecuencia: Se debe realizar a frecuencia cero ( 0
rad/s = ) para entender la influencia delas variables manipuladas
enlasvariables controladas cuando se realizacontrol manual. Se debe
realizar a la frecuencia esperada de crossover( rad/sn =)
paraentender la influencia de las variables manipuladas
enlasvariablescontroladas cuando se realiza control
automtico.Tomando7min Ts =y Mp = 1.1 si aproximamos la respuesta
como una respuesta desegundo orden tendremos:[ ][ ]22122ln( 1)1
0.5912ln( 1)MpMp eMp = + = = +4 40.9666 rad/mins nn stt = = =usando
esos valores de frecuencia obtenemos las siguientes
ganancias:0.0056 0.0037(0)2 0G(=( -0.00320.0028 0.0038- 0.0010(
0.966)0.4222- 0.8162 0j jGjj+(=( 1calculando las matrices de
ganancias relativas se obtiene:0 1(0)1 0RGA (=( 0 1( 0.9666)1 0RGAj
(=( De acuerdo con las reglas de seleccin estudiadas:Las reglas de
seleccin se pueden resumir de la siguiente manera:1- Trate de hacer
lazos con aquellos elementos en los cuales el )) ( (cj G RGA loms
cercano posible al punto 1+j0 en el plano complejo.2- Evite hacer
lazos con aquellos pares que tienen valores negativos deganancia
relativa en estado estable )) 0 ( (G RGA.Ambos criterios se cumplen
perfectamente si se hacen controles con los pares entre laentrada 1
(q(t)) y la salida 2 V(t) y entre la entrada 2 (qc(t)) y la salida
1 Ca(t).En este punto le sugiero que haga lo siguiente:1)
Reproduzca los resultado obtenidos en este punto usando MATLAB2)
Cambie la matriz C del sistema por 1 0 00 1 0C (=( de manera que
lassalidas sean concentracin y temperatura y repite el anlisis de
RGA.Observe la contradiccin entre los resultados a frecuencia cero
y a lafrecuencia de crossover.3) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA.
Recuerde que no es obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir
informe, lo importante es que puedapreparar su evaluacin.1 Observe
que la frecuencia se dej en rad/min y no en rad/seg, esto debido a
que el modelo estaescalizado en minutos.Clculo de Controladores PID
sin desacopleUsando el flujo q(t) para controlar el volumen en el
reactor V(t) y qc(t) el flujo derefrigerante para controlar la
concentracin Ca(t), se dise un par de controladoresPID. Los
controladores se sintonizaron en el siguiente orden primero el que
controlael volumen y luego el que controla la concentracin. El
esquemadeconexindeloscontroladoressepuedeobservar
enlaFigura3.Observe quealaseal deactuacindelos PIDs seleaadeel
valor constantealrededor del cual se hizo la linealizacin.Los
valores obtenidos para los PID usandosintonizacin manual fueron:Kp
Ti TdLazo de Volumen 1 1 0Lazo deConcentracin.50 0.333 0.2Figura3
Diagrama de conexin de los controladores PID sin desacopladorSe
aplicaron seales tipo paso despus de 10 minutos para llevar el
nivel de 100 a 110litros y a los 50 minutos para llevar la
concentracin de 0.1 mol/l a 0.11 mol/l.En la figura se observa que
despus de sintonizados los PIDs el cambio en el nivelgenera un
impacto en la concentracin, sin embargo un cambio en concentracin
noafecta el nivel. Si queremos reducir este impacto podremos
construir un desacopladoresttico y recalcular los PIDs.Figura4
Resultados de la simulacin de sistema controlado con dos PID's sin
desacople2 En este punto le sugiero que haga lo siguiente:1)
Experimente cambiando los parmetros de los PID en el
archivoCSTRCoupledPID.mdl antes de correr esta simulacin debe
ejecutarel archivo cstrinit.m para inicializar los parmetros del
simulador.2) Trate de hacer su propia sintonizacin (Estoy seguro
que con un poco deesfuerzo podr obtener algo mejor!!)3) PREGUNTE LO
QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es obligatoriohacer estos
ejercicios ni rendir informe, lo importante es que puedapreparar su
evaluacin.Clculo de Controladores PID usando desacoplador.Si
observamos la ganancia esttica del sistema2 El archivo de simulink
CSTRCouplePID.mdl contiene los elementos necesarios para reproducir
estasimulacin.0.0056 0.0037(0)2 0G(=( es imposible aplicar las
formulas estudiadas enel cursopara diagonalizar estesistema,
yaquelasfrmulas, requierenqueloselementosenladiagonal
principalseandistintos decero. Haydos opciones unaes recalcular
unaformulaparaundesacoplador que no divida por los elementos de la
diagonal principal o intercambiarlas entradas de modo que la
ganancia en la diagonal principal sea distinta de cero. Quees lo
que haremos en las siguientes lneas:11 1221 22( )cq qGs G G CaG G
V=( ( Intercambiando las columnas de G(s) se obtiene:12 1122 21'(
)cq qGs G G CaG G V=( ( En este caso 11 1212 1121 2222 21( )' ( ) (
)( )( )' ( ) ( )( )( )' ( ) ( )( )( )' ( ) ( )( )cccCasG s G sq
sCasG s G sqsVsG s G sq sVsG s G sq s= == == == =Si calculamos la
expresin a frecuencia cero:0.0037 0.0056'(0)0 2G(=( Con esta
descripcin podremos construir un desacoplador usando la frmula:12
1121 221 '( ) '( )'( )'( ) '( ) 1G s G sDsG s G s(=( ya que el
desacoplador es esttico se obtiene:1 1.4878'(0)0 1D (=(
Observequeestedesacopladornosrelacionadosentradasf1(t)y
f2(t)queestarnacopladas con qc(t)y q(t) .1 2' '11 12' '21 22'( ) (
) ( )( ) ( )cf fDs q D s D sq D s D s=( ( si queremos que el
desacoplar funcione con nuestro sistema original G(s), bastar
conintercambiar las filas del desacoplador.1 2' '21 22' '11 12( ) (
) ( )( ) ( )cf fDs q D s D sq D s D s=( ( 0 1(0)1 1.4878D (=(
Comprobamos la condicin de desacople, calculando el producto 0.0037
0(0) (0)0 2G D (=( Efectivamente el sistema queda reducido a un
sistema desacoplado. La
sintonizacindelosPIDsesahoramssimpleyaquelosefectosdebidosalosotroslazossonmenores,
permitiendo una mayor libertad en el momento de sintonizar el
sistema.LosparmetrosdelosPIDsparaelsistemadesacopladoquedanresumidosenlasiguiente
tabla:Kp Ti TdLazo de Volumen 1 1 0Lazo deConcentracin.200 2 2.5El
esquema de conexin de los PIDs y el desacoplador se muestra en la
Figura5Figura5 Sistema controlado con desacoplador y PID33 El
archivo de simulink CSTRDeCouplePID.mdl contiene los elementos
necesarios para reproduciresta simulacin.La Figura6 muestra los
resultados de la simulacin del sistema con el desacoplador.Figura6
Resultados de la simulacin del sistema desacoplado y controlado con
PIDsEn este punto le sugiero que haga lo siguiente:1) Reproduzca
cuidadosamente los resultados y analice en detalle el diseodel
desacoplador. Observe que elproblema requiere un manejo especial.Si
no comprende este manejo. Pregunte!!!2) Experimente cambiando los
parmetros de los PID en el archivoCSTRDeCoupledPID.mdl antes de
correr esta simulacin debeejecutar el archivo cstrinit.m para
inicializar los parmetros delsimulador.3) Trate de hacer su propia
sintonizacin (Estoy seguro que con un poco deesfuerzo podr obtener
algo mejor!!)4) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es
obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante
es que puedapreparar su evaluacin.Diseo de un controlador
Multivariable LQR En nuestro ejemplo se pide controlar dos
variables (Concentracin y Volumen) concero error de estado
estacionario. Esta tarea exige que si queremos construir
uncontrolador por realimentacin de estado debamos extender el
sistema de modo queincluya un par de integradores sobre las
variables que deseamos controlar con ceroerror de estado
estacionario. El sistema extendido tendr la siguiente presentacin:[
]0 000refrefCa x A x BuV e C e D Ixy C Due ((((((= + + (((((( (= +
( donde el vector e representa la integral del error de
seguimiento, definido como:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ref Caref vCa t Ca
t e teV t Vt e t((= =(( Usando esta nueva representacin podremos
calcular un controlador LQR sidefinimos las matrices de la funcin
de costo:0( ) ( ) ( ) ( )T TJ x t Qx t u t Ru t dt ( = + de la
siguiente forma:1 0 0 0 00 1 0 0 01 0, 0 0 1 0 00 10 0 0 1 00 0 0 0
1Q R ( ( ( ( ( = =( ( ( ( Observe que todos los estados y las
entradas tienen la misma penalizacin.Obtenindose una matriz de
realimentacin de estado con los siguientes valores:125.7877 0.7120
1.4577 0.0788 -0.9969 -173.4768 -1.1591 -0.0897 -0.9969 -0.0788K
(=( Las tres primeras columnas corresponden a la realimentacin de
los 3estados"naturales" del sistema (Concentracin, Temperatura y
Volumen) (matriz Ks) los doscolumnas restantes corresponden a la
realimentacin de las integrales de los errores deseguimiento
(matriz KI).125.7877 0.7120 1.4577-173.4768 -1.1591 -0.08970.0788
-0.9969 -0.9969 0.0788SIKK (=( (=( Figura7 Diagrama de bloques de
lasimulacin lineal del controlador LQREs conveniente realizar la
sintona del controlador usando el modelo lineal, una
vezajustadosepuedemontar el controlador sobreel modelono-lineal.
LaFigura7muestra el diagrama de Simulink(CSTRLQRLin.mdl)
utilizadopara probar elsistema. El resultado generado por este
primer controlador (Figura8) no satisface losrequerimientos
exigidos por las condiciones del problema. 0 10 20 30 40 50 60 70
80 90 1000.060.080.10.12Concentration0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100100105110115Volume0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
10090100110120130Flows0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100435440445TemperatureFigura8 Respuesta del modelo lineal con
controlador LQR (Q=diag([1 1 1 1 1 1]) R=diag([1 1]))De la figura
es claro que la respuesta de la concentracin es particularmente
lenta, deotro lado el control de volumen llena las expectativas que
se requieren en el sistema.Intuitivamentepodemos tomar dos acciones
unapenalizandoladesviacindelaconcentracin (Ca) o penalizar la
integral del error de concentracin eCa. La idea esincrementar esta
penalizacin, mientras mantenemos los valores de los flujos dentrode
los lmites permitidos por el sistema. Las siguientes grficas
muestran el efecto delcambio en la penalizacin de la integral del
error de concentracin.0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
1000.060.080.10.12Concentration0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100100105110115Volume0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
10090100110120130Flows0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100435440445TemperatureFigura9 Respuesta del modelo lineal con
controlador LQR (Q=diag([1 1 11e4 1]) R=diag([1 1]))0 10 20 30 40
50 60 70 80 90 1000.060.080.10.12Concentration0 10 20 30 40 50 60
70 80 90 100100105110115Volume0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
10090100110120130Flows0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100435440445TemperatureFigura 10Respuesta del modelo lineal
concontrolador LQR(Q=diag([1 1 1150000 1])R=diag([1 1]))Observe que
finalmente con las matrices de costo:1 0 0 0 00 1 0 0 01 0, 0 0 1 0
00 10 0 0 50000 00 0 0 0 1Q R ( ( ( ( ( = =( ( ( ( el sistema
cumple con las especificaciones de control deseadas. Generando
unasmatrices de realimentacin de la forma:153.5413 0.9292 1.4970
58.0275 -0.9657
-257.9776 -1.8432 -0.1256 -215.9463 -0.2595K (=(
Quequedadistribuidaentrelarealimentacindelosestadosoriginalesylosdelaintegral
del error as:153.5413 0.9292 1.4970
-257.9776 -1.8432 -0.125658.0275 -0.9657-215.9463 -0.2595sIKK
(=( (=( Finalmente verificaremos el funcionamiento del sistema
conectando las matrices derealimentacin al sistema lineal original
de acuerdo con el diagrama mostrado en laFigura11 (CSTRLQR.mdl) Vol
ume Ref(Caa Tav)State of Li neari zati on-Ks* uState
Feedback1sIntegrator11sIntegrator-Ki * uIntegralState
FeedbackDemux103.37Constant1100 ConstantConc RefReactant
FlowCoolant FlowConcentrationTemperatureVolumeCST RFigura11
Diagrama de simulacin del controlador LQR con la planta no linealEl
desempeo del sistema es bastante similar al observado con el
sistema lineal comolo muestra la Figura12. Observe que el
controlador realiza automticamente la laborde desacoplamiento
reduciendo el impacto producido por los cambios en la referenciade
variables distintas.0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
1000.060.080.10.12Concentration0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100100105110115Volume0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
10090100110120130Flows0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100435440445TemperatureFigura12 Desempeo del sistema no linear con
el controlador LQREn este punto le sugiero que haga lo siguiente:1)
Reproduzca cuidadosamente los resultados y analice en detalle el
diseodel controlador, especialmente la implementacin y el uso de
losintegradores as como los ajustes donde se adiciona o restan los
valoresde referencia de linealizacin.2) Experimente cambiando los
parmetros Q y R y recalcule distintasrealimentaciones de estado,
realice la implementacin en CSTRLQRLiny analice los tiempos de
establecimiento.3) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es
obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante
es que puedapreparar su evaluacin.Diseo de un observador ptimo
(Kalman Filter).Para construir este observador asumimos que el
ruido de medicin de las salidas es:0.001mol/l1lCaVvv==y el "ruido
en los estados"0.007 mol/l4 Kelvin1.5 litrosCaTVwww===Si
asumimosdichosruidoscomonocorrelacionados,
tendremosunasmatricesdecovarianza de la siguiente forma:{ }{ }2
5222 620 0 4.9 10 0 0( ) ( ) 0 0 0 16 00 0 0 0 2.250 10 0( ) ( )0 0
121CaTw TvT CavVwR w t w t wwvR v tv tv (( ((= = = (( (( ((= = = ((
Ya que el ruido w(t) se asume entrando a cada estado de manera
individual, se puededecir que:1 0 00 1 00 0 1wB ( (= ( ( La
ganancia del observador se puede calcular, resolviendo la ecuacin
de Riccati obien usando directamente la funcin kalman incluida en
el toolbox de control deMatlab. Para utilizar la funcin kalman es
necesario entregar a la rutina un sistemadinmico con la siguiente
descripcin:[ ][ ]0K k wk kA A B B BC C D D= == =el prototipo de la
funcin es:[KEST,L,P] = KALMAN(SYS,QN,RN)donde KEST es un sistema
dinmico con el observador ya construido, L es laganancia del
observador y P la solucin de la ecuacin de Riccati. SYS es el
sistemadescrito por las matrices de la frmula(SYS=SS(AK,BK,CK,DK)),
QN es Rw y RNes Rv . Resolviendo obtenemos la matriz L que gobernar
la dinmica del observador.En la Figura13 se puede observar la
conexin del observador de estado. Esimportante resaltar que a la
seal de salida se le ha adicionado un ruido de medicincon varianza
igual a la diagonal de Rv. El diagrama est en el
archivoCSTRKALMAN.mdl. En laFigura14 se puede observar el diagrama
interno de laimplementacin del observador.Figura13 Conexin del
Observador de estado al sistema con el controlador LQRFigura14
Diagrama interno del observador incluyendo las adaptaciones para el
punto deoperacinEl desempeodel observador sepuede apreciar
enlasiguiente figura dondesecompara el estado original con el
estado estimado. Observe que a pesar de lo ruidosadelaseal
desalidaconel ruidodemedicinel sistemaescapazdehacer unaestimacin
bastante "limpia" de los estados.En este punto le sugiero que haga
lo siguiente:1) Reproduzca cuidadosamente los resultados y analice
en detalle el diseodel observador, especialmente la implementacin y
los ajustes donde seadiciona o restan los valores de referencia de
linealizacin.2) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es
obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante
es que puedapreparar su evaluacin.Figura15 Seales medidas
incluyendo el ruido de medicinFigura16 Estados estimados. Observe
la apreciable reduccin en la amplitud del ruido en lasseales
Concentracin y Volumen comparados con las seales
medidas.Controlador Cuadrtico Gaussiano (LQG)En esta fase no nos
resta sino cerrar el lazo de control de manera que conectemos
elcontrolador LQR al observador. La conexin se puede hacer de dos
maneras, 1. una es conectar al LQR las seales de salida (y)
directamente y conectar losestados entregados por el observador
(CSTRLQG2.mdl).2. la otra manera es conectar el LQR a las seales de
salida (ye) del observador yconectar los estados entregados por el
observador (CSTRLQG1.mdl).El desempeo de ambas opciones es
diferente como se muestra en las siguientesfiguras.Figura17
Desempeo del sistema con controlador LQG y realimentacin de la
salida estimada.En este punto le sugiero que haga lo siguiente:1)
Reproduzca cuidadosamente los resultados y analice en detalle
lasdiferencias entre las dos conexiones2) Reduzca los dos bloques
de controlador y observador a un bloque nicoeliminando posibles
ajustes de nivel que sean redundantes.3) Repase los pasos que tomo
para completar este diseo.4) Compare sus resultados con el sistema
que utilizo unicamente PID y PIDcon desacoplador5) Cual considera
ud. es ms fcil de disear.6) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde
que no es obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo
importante es que puedapreparar su evaluacin.Figura18 Desempeo del
sistema con controlador LQG y realimentacin de la salida
medida.
