Función superior y=√2−x2Función inferior y=x2

V 1=∬R

❑

f ( x , y )dAV 1=∫0

1

∫0

√1−x 2

√2−x2− y2dydxV 1=∫0

1 [ 12 ( y √2− x2− y2−(x2−2 ) tan−1( y√2− x2− y2 ))|√1−x20 ]dx

V 1=12∫01

(√1−x2√2−x2−(√1−x2 )2−(x2−2 ) tan−1( √1−x2

√2−x2−(√1−x2)2 ))V 1=

12∫01 [√1−x2√1−(x2−2 ) tan−1( √1−x2

1 )]dxV 1=

12× ( 13 √1−x2x−13 (x2−6 ) x tan−1 (√1−x2)+ 43 √2 tan−1( x

√2√1−x2 )−23sin−1 ( x ))|10

V 1=12×( 13 √1−11−13 (1−6 )1 tan−1 (√1−1 )+ 43 √2 tan−1( 1

√2√1−1 )−23 sin−1 (1 ))V 1=12×( 43 √2 π2−23π2 )

V 1=12×( 4 π √2−2π

6 )V 1=4 π √2−2 π3

Este de arriba esta multiplicado por 4 porque el volumen es en los primeros octantes

Función superior y=√1− x2Función inferior y=|x|

V 1=∬R

❑

f ( x , y )dAV 1=∫0

√22

∫0

√ 12−x2√1−x2− y2dydxV 1=∫

0

√22 [ 12 ( y√1−x2− y2− (x2−1 ) tan−1( y

√1−x2− y2 ))|√ 12−x20 ]dxV 1=

12∫0

√22 (√ 12−x2√1−x2−(√ 12−x2)

2

− (x2−1 ) tan−1( √ 12−x2√1−x2−(√ 12−x2)

2 ))V 1=

12∫0

√22 [√ 12−x2√ 12−(x2−1 ) tan−1( √ 12−x2√ 12 )]dx

V 1=12× ( 16 √1−2 x2 x−13 (x2−3 )x tan−1 (√1−2x2 )−13 tan

−1((2 x−1)√1−2x22 x2−1 )−13 tan−1((2x+1)√1−2 x22x2−1 )− sin−1 (√2 x )3√2 )|√22

0

V 1=12×(−13 3π

2−133π2

− π6√2

+ π12

+ π4 )V 1=12×(−12π−π √2+π+3π

12 )V 1=12×(−π √2−8π6 )

V 1=−π √2−8π

3

Por solidos de revolución sería más simple

V 1=2 π∫0

1

x (√2−x2−x2 )dx V 1=2π [ 112 (−3 x4−4√ (2−x2 )3−12)]|10

V 1=2 π [( 112 (−3×1−4√ (2−1 )3−12 ))−( 112 (−3×0−4 √(2−0 )3−12))] V 1= π (−3−4−12+0+8√2+12 )6

V 1=π (8√2−7 )

6

V 1=π∫1

√2

(√2− y2 )2dy+π∫0

1

√ y2dy V 1=π (2 y− y3

3 )|√21 + π ( y22 )|10 V 1=π (2√2−2√23 )−π (2−13 )+π (12 )

V 1=π (12√2−4√2−12+2+3 )

6 Si ese valor cambia a +2 el ejercicio termina con la respuesta pedidaV 1=

π (8√2−7 )6

V 1=π (12√2−4√2−12+2+2 )

6V 1=

π (8√2−8 )6

V 1=4 π (√2−1 )

3

V 1=2 π∫0

√22

x (√1−x2−|x|2 )dx V 1=2π [ 112 (−3 x4−4√ (1−x2 )3−3 )]|√220

V 1=2 π [( 112 (−3× 14−4√(1−12 )3

−3))−( 112 (−3×0−4 √(1−0 )3−3 ))] V 1= π (−34 −√2−3+0+4+3)6

V 1=π (13−4 √2 )

24

V 1=π∫√22

1

(√1− y2 )2dy+π∫0

√22

|y|2dy V 1=π ( y− y33 )| 1√22

+ π ( y33 )|√220

V 1=π (1−13 )−π (√22 −

2√283 )+π ( 2√283 )

V 1=π (24−8−12√2+2√2+2√2 )

24 V 1=

π (16−8√2 )24

V 1=π (2−√2 )3

Aun así hay muchas respuestas para un mismo

ejercicio, es un juego tratar de llegar a una respuesta exacta como la que me pides. De todas formas esto sería mi respuesta final los que están con amarillo y las otras más.