EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 6
EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 6
ECUACIN GENERAL DE LOS GASES
Ejercicio 5
Un gas ocupa un volumen de 20 L a 1 atm y se comprime (a
temperatura constante) hasta que su volumen se reduce a la quinta
parte. Cul ser ahora la presin que ejercer ahora el gas sobre las
paredes?
Lo primero que hay que hacer para enfrentarse a un problema es
tratar de visualizar la situacin de modo grfico, es decir, con
ayuda de dibujos. En nuestro caso tenemos un gas encerrado en un
recipiente cuyo volumen puede variar, de modo que sufre una
transformacin desde una situacin inicial (1) hasta una situacin
final (2):
P1, V1, T1, N1 P2, V2, T2, N2Las magnitudes que caracterizan
cada estado del gas son la presin (P), el volumen (V), la
temperatura (T) y el nmero de partculas (N). Nosotros conocemos P1
(1 atm), V1 (20 L) y V2 (20/5 L) (son nuestros datos) y tenemos que
determinar P2 (nuestra incgnita).
Como punto de partida, y teniendo en cuenta la teora cintica de
los gases, podemos esperar que aumente la presin si disminuye el
volumen mientras no cambie la temperatura ni el nmero de partculas.
En efecto, como la presin que ejerce el gas sobre las paredes
depende del nmero de choques por segundo (de las molculas con las
paredes) y de la violencia de esos choques, si disminuye el volumen
sin variar la temperatura aumentar el nmero de choques por segundo
sin variar la violencia de dichos choques; por lo tanto, la presin
debe de aumentar. Pero, cunto aumentar?
Para calcular cuanto aumentar la presin tenemos que recurrir a
la ecuacin general de los gases, que nos permite relacionar las
magnitudes que caracterizan al gas en diferentes estados:
Como C es una constante que vale siempre lo mismo,
independientemente del gas del que se trate y del estado en el que
se encuentre, podemos relacionar los valores de las magnitudes que
caracterizan al gas en diferentes estados mediante esa
constante:
y por lo que
Teniendo en cuenta que en el proceso de transformacin la
temperatura no cambia (T1=T2) y que no entra ni sale gas (N1=N2),
la ltima expresin se puede simplificar de modo que:
de donde podemos despejar nuestra incgnita
Esa expresin relaciona la presin en el estado final con nuestros
datos, y parece bastante fiable. De hecho, en el caso de que el
volumen no variara (V1=V2) nos encontraramos con que P1=P2, lo cul
resulta bastante lgico. Adems, esa expresin nos permite predecir
que si el volumen se reduce a la mitad (V2=V1/2), la presin se
duplicar (P2=2P1), o que si el volumen se reduce a la quinta parte
(V2=V1/5), la presin se har el quntuple (P2=5P1). Este ltimo es
precisamente nuestro caso, de modo que cabe esperar que la presin
final sea de 5 atm:
Ejercicio 6
Un gas se encuentra en un recipiente cerrado de paredes fijas y
750 cm3 de volumen, a una presin de 740 mm Hg y una temperatura de
20 C. Determinad el nuevo valor de la presin en, atmsferas, cuando
se eleve la temperatura hasta los 100 C.
En este caso se trata de una determinada cantidad de gas que
sufre una transformacin desde un estado inicial hasta un estado
final de modo que ni el volumen ni el nmero de partculas cambia
durante el proceso. Slo la presin y la temperatura del gas cambiarn
desde el estado inicial hasta el final.
P1, V1, T1, N1 P2, V2, T2, N2Como punto de partida, y teniendo
en cuenta la teora cintica de los gases, podemos emitir la hiptesis
de que la presin debe de aumentar si elevamos la temperatura,
siempre que no cambie ni el volumen ni el nmero de partculas. En
efecto, como la presin que ejerce el gas sobre las paredes depende
del nmero de choques por segundo (de las molculas con las paredes)
y de la violencia de esos choques, si aumentamos la temperatura
(sin variar el volumen ni el nmero de partculas) aumentar la
velocidad de las molculas y, consecuentemente, aumentar el nmero de
choques por segundo y la violencia de tales choques. Tan slo nos
queda cuantificar cunto aumentar la presin al elevar la temperatura
desde 20 C hasta 100 C
Nuestros datos son T1 (20 C), P1 (740 mm Hg) y T2 (100 C), y
nuestra incgnita es P2. El dato del volumen (750 cm3), tal y como
veremos, es un dato que no nos hace falta, ya que permanece
invariable durante todo el proceso (V1=V2). Debemos de buscar una
expresin que nos permita conocer P2 a partir de nuestros datos. Una
vez ms, podemos llegar a esa expresin si recurrimos a la ecuacin
general de los gases, que no permitir en este caso relacionar los
valores de las magnitudes que caracterizan al gas en los estados
inicial y final.
Como C es una constante que vale siempre lo mismo,
independientemente del gas del que se trate y del estado en el que
se encuentre, podemos relacionar los valores de las magnitudes que
caracterizan al gas en diferentes estados mediante esa
constante:
y por lo que
Teniendo en cuenta que en nuestro proceso de transformacin el
volumen no cambia (V1=V2) y que no entra ni sale gas (N1=N2), la
ltima expresin se puede simplificar de modo que:
de donde podemos despejar nuestra incgnita
Esa expresin relaciona la presin en el estado final con nuestros
datos, y parece bastante fiable. De hecho, en el caso de que la
temperatura no variara (T1=T2) nos encontraramos con que P1=P2, lo
cul resulta bastante lgico. Adems, esa expresin nos permite
predecir que si la temperatura se duplica (T2=2T1), la presin se
duplicar tambin (P2=2P1), o que si la temperatura se quintuplica
(V2=5V1), la presin se har tambin el quntuple (P2=5P1). Podra
pensarse que este ltimo es precisamente nuestro caso (100 = 520),
pero conviene recordar que siempre que se trabaje con la
temperatura en una ley fsica (como es la ecuacin general de los
gaes) hay que hacerlo en la escala Kelvin, que es la que realmente
representa el estado de movimiento de las molculas del gas:
y
Si comparamos ambas temperaturas podemos darnos cuenta de que
373 K no es ni siquiera el doble de 293 K. Por lo tanto, cabe
esperar que la presin final no sea ni siquiera el doble de la
presin inicial (740 mm Hg). Utilizando la expresin a la que hemos
llegado anteriormente:
que realmente no supone ni siquiera el doble de 740 mm Hg.
Finalmente, como quieren que expresemos ese resultado en
atmsferas, no tenemos ms que utilizar el factor de conversin entre
atm y mm Hg:
1 atm = 760 mm Hg
Por tanto:
Ejercicio 7
Un neumtico de un automvil contiene aire a una presin de 2,1 bar
(1 bar = 105 N/m2) y 15 C. En una parada realizada despus de
recorrer un largo trayecto el conductor volvi a medir la presin y
encontr un valor de 2,5 bar. Funcionaba mal el aparato? Determinad
la nueva temperatura del aire y explicad por qu se recomienda
siempre medir la presin de los neumticos en fro (antes de circular
con el vehculo)
Nota: Haced la aproximacin de suponer la variacin de volumen
despreciable.
En este problema nos encontramos con un gas (aire) encerrado en
la cmara de un neumtico y que sufre un proceso de transformacin
desde un estado inicial hasta un estado final. En esa transformacin
ha aumentado la presin que el aire ejerce sobre las paredes
internas del neumtico pero no ha variado ni el volumen que ocupa el
gas (se supone que la cmara del neumtico no cambia su volumen en el
desplazamiento) ni el nmero de molculas encerradas en el interior
del neumtico (no entra ni sale aire).
P1, V1, T1, N1 P2, V2, T2, N2Cuando nos pregunta el enunciado si
funcionaba mal el aparato, lo que realmente nos est planteando es
que si es posible que aumente la presin que ejerce el aire
encerrado sin que varen ni su volumen ni el nmero de molculas
encerradas. Pues la respuesta es que s que es posible. La presin
puede aumentar si aumenta la temperatura del aire encerrado, cosa
que ocurre porque en el desplazamiento las ruedas se calientan
debido al rozamiento entre el asfalto y los neumticos. Ese
calentamiento se transmite al interior del neumtico aumentando,
consecuentemente, la temperatura del aire encerrado. Como
consecuencia aumenta la velocidad con la que se mueven las molculas
y chocan con las paredes internas del neumtico ms veces por segundo
y con mayor violencia. Es por ello que aumenta la presin. Por
tanto, el aparato (llamado manmetro) no funcionaba mal.
Lo que nos queda determinar es cunto debe de haber aumentado la
temperatura para que la presin haya pasado de P1=2,1 bar hasta
P2=2,5 bar. Para calcular la temperatura final debemos de recurrir
una vez ms a la ecuacin general de los gases, recordando que los
valores de las temperaturas con los que debemos trabajar deben
estar en la escala Kelvin (T1 = 15 C = 288 K).
Como C es una constante que vale siempre lo mismo,
independientemente del gas del que se trate y del estado en el que
se encuentre, podemos relacionar los valores de las magnitudes que
caracterizan al gas en diferentes estados mediante esa
constante:
y por lo que
Teniendo en cuenta que en nuestra transformacin el volumen no
cambia (V1=V2) y que no entra ni sale gas del neumtico (N1=N2), la
ltima expresin se puede simplificar de modo que:
de donde podemos despejar nuestra incgnita
De esa expresin podemos deducir que si la presin final se
hubiera duplicado (P2=2P1) es porque la temperatura tambin se habra
dupllicado (T2=2T1) en grados Kelvin!! Sin embargo, en nuestro
caso, 2,5 bar no es ni siquiera el doble de 2,1 bar, por lo que
cabe esperar que la temperatura final no sea ni siquiera el doble
de 288 K:
que como se puede apreciar no es ni siquiera el doble de 288 K.
Finalmente, si pasamos esa temperatura a escala centgrada obtenemos
que la temperatura final del aire encerrado en la rueda deba ser
de:
Siempre aconsejan medir la presin de los neumticos en fro, es
decir, antes de circular con el vehculo, porque los valores de
referencia de la presin recomendados por el fabricante del coche (y
que varan en funcin del peso del coche, entre otras cosas) vienen
dados suponiendo el neumtico fro. El fabricante ya sabe que cuando
se caliente el neumtico la presin se elevar, y es esa presin en
caliente la ptima para circular. Si revisamos la presin en caliente
y dejamos la recomendada por el fabricante circularemos a una
presin menor que la ptima, gastando ms combustible y conduciendo
con menor seguridad.
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