-
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERIA
SIMULACIN DE SISTEMAS (Hoja de ejercicios)
Captulos 1 y 2 Simulacin Manual
Pregunta 1 En un proceso de fabricacin, se han determinado los
tiempos entre llegadas y los tiempos de procesamiento. La
probabilidad de que los productos sean no defectuosos es de 70%. Si
son defectuosos pasan a un reproceso en otra mquina. Para saber si
un producto debe pasar a la segunda mquina para reproceso use la
tabla de nmeros aleatorios inferior:
0.20 0.57 0.69 0.86 0.09 0.23 0.96 0.05 0.71 0.81 .
Cliente T entre llegadas T de servicio
mquina 1 T de servicio
mquina 2 1 ---- 4 10 2 8 5 11 3 3 7 11 4 8 5 8 5 8 7 16 6 3 7 11
7 7 7 12 8 6 7 8 9 7 4 8 10 7 8 9
Calcular las siguientes mtricas:
a) % de tiempo desocupado de cada mquina b) Tiempo promedio de
espera en fila 1 y fila 2 c) Fraccin de productos que pasan a
reproceso d) Fraccin de productos que tienen que esperar en la fila
1 y fila 2
Pregunta 2 Utilice simulacin manual para estimar el rea del lago
que se muestra en la figura siguiente. Determine su estimacin con
los 50 nmeros aleatorios de la tabla mostrada.
Para el eje X utilice las primeras 5 filas de la tabla de
izquierda a derecha y para el eje Y utilice los nmeros aleatorios
de la fila 6 a la fila 10 tambin de izquierda a derecha.
Millas
Milla
s
0 1 2 3 74 5 6
1
2
3
4
-
0.23 0.87 0.58 0.43 0.29 0.62 0.68 0.92 0.38 0.62 0.16 0.23 0.98
0.10 0.38 0.41 0.19 0.38 0.04 0.06 0.03 0.94 0.08 0.15 0.81 0.69
0.32 0.77 0.90 0.02 0.79 0.40 0.97 0.13 0.04 0.66 0.51 0.59 0.62
0.98 0.87 0.03 0.18 0.42 0.95 0.18 0.72 0.44 0.75 0.33 0.20 0.57
0.69 0.86 0.09 0.23 0.96 0.05 0.71 0.81 0.75 0.51 0.52 0.25 0.33
0.54 0.99 0.81 0.37 0.53 0.76 0.61 0.72 0.14 0.50 0.88 0.29 0.03
0.82 0.98 0.88 0.71 0.33 0.77 0.81 0.86 0.77 0.85 0.01 0.99 0.69
0.05 0.44 0.51 0.64 0.33 0.15 0.28 0.23 0.85
Pregunta 3 Considere un restaurante donde dos mozos, Walter y
Lucho toman las rdenes de los clientes y llevan la comida a los
automviles. Los vehculos arriban de acuerdo a lo mostrado en la
tabla 1.
Tabla 1: Distribucin entre arribos de autos Tiempo entre arribos
Probabilidad Prob. Acumulada
1 min. 0.25 2 min. 0.40 3 min. 0.20 4 min. 0.15
Walter hace mejor su trabajo y es ms rpido que Lucho. La
distribucin de tiempos de servicio es la mostrada en la tabla 2 y
3.
Tabla 2: Distribucin de servicios de Walter Tiempo de servicio
Probabilidad Prob. Acumulada
2 min. 0.30 3 min. 0.28 4 min. 0.25 5 min. 0.17
Tabla 3: Distribucin de servicios de Lucho Tiempo entre arribos
Probabilidad Prob. Acumulada
3 min. 0.35 4 min. 0.25 5 min. 0.20 6 min. 0.20
Si ambos mozos estn desocupados y se produce un arribo, Walter
toma el trabajo. El problema es estimar qu tan buena es la
modalidad de trabajo actual. Para ello se realizar una simulacin de
una hora. (Asuma que en el tiempo cero no hay llegada de autos).
Complete las tablas 1, 2 y 3.
a) Realice una simulacin manual completando la tabla 4 de la
hoja anexa usando los nmeros aleatorios que se detallan al final.
(3 puntos)
b) Estimar adems las siguientes estadsticas: b1) Porcentaje de
tiempo ocioso de Walter y Lucho (1 punto) b2) Cantidad de clientes
que tuvieron que esperar (0.5 puntos) b3) Tiempo promedio de espera
de todos los clientes (0.5 puntos)
c) Sugiera su opinin acerca si el sistema est balanceado y si es
necesario otro mozo. (1 punto)
Nmeros aleatorios para las llegadas: (x100)
26-98-90-26-42-74-80-68-22-48-34-45-24-34-63-38-80-42-56-89-18-51-71-16-92
Nmeros aleatorios para los servicios: (x100)
95-21-51-92-89-38-13-61-50-49-39-53-88-01-81-53-81-64-01-67-01-47-75-57-87-47
-
Pregunta 4 Taxi Chi-cha opera un vehculo entre las 9:00am y las
5:00pm. Actualmente se est considerando adicionar un segundo taxi a
la flota. La demanda de taxis sigue la distribucin que se muestra a
continuacin:
Tiempo entre llegadas (minutos) 15 20 25 30 35 Probabilidad 0.14
0.22 0.43 0.17 0.04
La distribucin del tiempo para completar un servicio es la
siguiente:
Tiempo de servicio (minutos) 5 15 25 35 45 Probabilidad 0.12
0.35 0.43 0.06 0.04
Se pide: a) Construir una tabla para simular la operacin del
sistema actual y del sistema con un
taxi adicional (1 punto) b) En la tabla generada simule un da de
operacin para ambas situaciones (3 puntos) c) Comparar los dos
sistemas con respecto a los tiempos de espera de los clientes y
otras medidas que considere relevantes
Pregunta 5 Usted es el afortunado ganador de un concurso
internacional. El premio es un viaje con todo pagado a uno de los
hoteles ms importantes de Arequipa, que incluye fichas para apostar
en el casino del hotel.Al entrar al casino, se da cuenta que adems
de los juegos tradicionales (blackjack, ruleta, etc.) ofrecen un
nuevo juego con las siguientes reglas:
Reglas del juego 1. En cada jugada se lanza una moneda no
alterada repetidas veces hasta que la
diferencia entre el nmero de caras y cruces que aparecen es
tres. 2. Si se decide participar se paga $1 cada vez que se lanza
la moneda. NO se puede
abandonar el juego hasta que acaba. 3. Se reciben $8 al final de
cada juego.
Determinar si conviene o no participar del juego. Hacer 5
simulaciones
Utilice los siguientes nmeros aleatorios. Nmeros aleatorios
Rplica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 0.74 0.00 0.04 0.05
0.63 0.86 0.03 0.26 0.70 0.43 0.62 0.38 0.49 0.38 0.58 2 0.26 0.73
0.60 0.90 0.70 0.04 0.54 0.91 0.25 0.42 0.08 0.61 0.12 0.44 0.90 3
0.63 0.82 0.74 0.85 0.87 0.05 0.98 0.10 0.99 0.95 0.14 0.13 0.26
0.75 0.37 4 0.67 0.54 0.97 0.49 0.65 0.87 0.22 0.12 0.04 0.71 0.36
0.01 0.82 0.70 0.06 5 0.86 0.30 0.36 0.86 0.52 0.01 0.71 0.10 0.80
0.33 0.30 0.35 0.13 0.93 0.48
Pregunta 6 Se sabe que en cierto juego de lanzamiento de dardos
existe una probabilidad de 30% de fallar el lanzamiento y un 70% de
probabilidad de acertar en algn lugar del blanco que se muestra a
la derecha. Emplee los nmeros aleatorios de la tabla inferior para
simular el lanzamiento de 12 dardos al blanco. Si sabe que el mximo
puntaje logrado hasta el momento es de 2300 puntos. Cree usted que
podr superar dicho puntaje?
Nota: Para simular el tiro i deber emplear cada uno de los
nmeros aleatorios contenidos en la columna i, es decir debe llegar
a definir cada uno de los tiros en funcin de tres aleatorios.
500500200
200 10040
100
40 25
25
0 1 2 4
-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fila1 0,632 0,099 0,650 0,948 0,563 0,910 0,654 0,492 0,546
0,782 0,045 0,055
fila2 0,095 0,616 0,628 0,284 0,034 0,016 0,939 0,161 0,486
0,770 0,038 0,358
fila 3 0,509 0,877 0,483 0,777 0,135 0,805 0,054 0,441 0,992
0,969 0,155 0,521
Generadores de nmero aleatorios
Pregunta 7 Sin calcular ninguno de los
iZ , determine cual de los siguientes generadores congruenciales
lineales tiene periodo completo. Indique por qu lo tiene, por qu no
lo tiene o por qu no se puede determinar.
a) 16mod)1313( 1 += ii ZZ b) 16mod)1312( 1 += ii ZZ c)
16mod)1213( 1 += ii ZZ d) 13mod)12( 1 += ii ZZ
Pregunta 8 El servicio de meteorologa (sabiendo que la
probabilidad de que llueva es de 0.3) quiere estimar cuntos das va
a llover de los prximos 6. Por ello generan 6 nmeros aleatorios
mediante el siguiente generador congruencial lineal 7mod)3( 1= ii
ZZ con 10 =Z . Halle el nmero de das que el servicio de meteorologa
estima que llover.
Pregunta 9 Para el generador congruencial lineal se pide: a)
Establezca los parmetros que generen no ms de 70 nmeros ni menos de
60. b) Muestre los nmeros generados. c) Realice la prueba de las
corridas de arriba y abajo para verificar la aleatoriedad de
los
datos
Pregunta 10 a) Indique si el siguiente generador congruencial
lineal tiene periodo completo. Justifique su
respuesta: m = 256, a = 9 y c = 11 b) Considerando los datos de
a), y Z0 = 15, genere los nmeros aleatorios suficientes para
generar una variable aleatoria Chi2 con 3 grados de libertad. c)
Considerando los datos anteriores (partes a y b), genere una
variable t-student de 3 grados
de libertad
Pregunta 11 Por el mtodo de la transformada inversa, obtener un
generador de nmeros aleatorios que sigan la siguiente distribucin
de probabilidad:
f(x)
5/4
1/4
1 2 x
-
Pruebas de aleatoriedad
Pregunta 12 Verificar que los siguientes nmeros aleatorios
cumplen con la prueba de las corridas de arriba y debajo de la
media (Use = 0.05, donde Z0.975 = Z0.0.025 = 1.96 y Z0.95 = Z0.05
=1.645 , dependiendo de la nomenclatura usada). Trabajar por
columnas.
0.17 0.76 0.79 0.66 0.08 0.23 0.23 0.11 0.58 0.80 0.95 0.83 0.87
0.45 0.74 0.56 0.43 0.79 0.77 0.71
Arriba y abajo: 3
12 =
N 90
29162 =
N
Arriba y debajo de la media: 212 21 +=
Nnn )1(
)2(22
21212
=
NNNnnnn
Pregunta13 Se generaron 50 nmeros pseudo-aleatorios, para cada
uno de los siguientes casos. Para cada uno de ellos, se gener el
histograma respectivo, donde se indican las marcas de clase
utilizadas.
Caso 1
Caso 2
Histograma
01234567
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
y may
or...
Clase
Frec
uen
cia
Histograma
012345678
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
y may
or...
Clase
Frec
uen
cia
-
Caso 3
Histograma
0123456789
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
y may
or...
Clase
Frec
uen
cia
Explique para cada uno de los casos, qu esperara obtener si es
que aplicara la prueba de corridas de arriba y abajo y la prueba de
corridas de arriba y debajo de la media. (No realice la prueba)
Justifique su respuesta.
Pregunta 14 Los nmeros pseudo aleatorios (Ri) de los grficos
mostrados fueron generados utilizando la siguiente relacin: 3
261
pi
Uik
Ri =
Para ello se generaron 1000 aleatorios (Ui) en Excel (funcin
ALEATORIO()), se calcul el
32
6pi
Ui para cada aleatorio y se dividieron todos entre k = mximo
3
26
pi
Ui .
a) Basndose slo en los dos grficos anteriores, qu puede decir
respecto al comportamiento de los nmeros generados? Pasaran las
pruebas de corridas arriba y abajo; y arriba y abajo de la media?
Sea breve y conciso. (2 puntos)
b) Si a = 650, b = 246 y n2 = 136. Calcule los estadsticos
asociados a las 2 pruebas mencionadas en a) usando como valor
crtico Z1-/2 = 1.96. Presente sus conclusiones. (4 puntos)
Nmeros Pseudo aleatorios Generados
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0 200 400 600 800 1000Nmero (i) pseudo aleatorio
Valo
r de
R(
i)
Histograma de los Ri
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0.18
0.27
0.33
0.39
0.45
0.50
0.56
0.62
0.68
0.74
0.80
0.85
0.91
0.97
Clase
Fre
cu
en
cia
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
Frecuencia% acumulado
-
Pregunta 15 El fascinante valor de PI () La conocida constante
matemtica que describe la relacin entre la circunferencia de un
crculo y su dimetro ha sido siempre ms que una constante: miles de
cientficos, matemticos y curiosos han estado obsesionados con
calcular la mayor cantidad de dgitos decimales de PI. Es ms, dicha
constante aparece en muchas relaciones geomtricas, fsicas, etc., y
alrededor de ella se han desarrollado aplicaciones de numerosas
tcnicas matemticas.
Se han escrito muchas curiosidades alrededor de PI. Dicen, por
ejemplo, que todos los nmeros estn en PI. Esto quiere decir que
cualquier nmero natural que uno imagine seguramente lo podr
encontrar escrito en la infinidad de dgitos de PI. La explicacin
tiene que ver con que los dgitos decimales de PI parecen estar
distribuidos al azar y dada la cantidad de dgitos que existen es de
esperar que uno pueda encontrar cualquier nmero natural escrito por
ah. Es adems muy fcil demostrar que un suceso que tiene
probabilidad de ocurrir mayor que cero efectivamente ocurra luego
de infinitas rplicas, con lo cual cualquier secuencia de nmeros se
podr encontrar en los decimales de PI.
Pero vayamos ms all y cuestionemos la aleatoriedad de aparicin
de los dgitos de PI. Para simplificar las cosas agruparemos los
dgitos de PI en secuencias de 4 dgitos para formar varios nmeros
naturales. Por ejemplo, a partir de 3.
14159265358979323846264338327950288419... formaremos los nmeros
1415, 9265, 3589, etc., y trataremos de probar de que esos nmeros
son efectivamente aleatorios.
1. En funcin a los cuadros que se presentan a continuacin, sin
realizar calculo alguno, indique y justifique qu esperara en los
resultados, si ejecutara las pruebas de arriba y abajo y de arriba
y debajo de la media.
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
secuencia
val
or
-
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
valor j
val
or
j+1
2. Ejecute las pruebas de arriba y abajo y de arriba y debajo de
la media para descartar o no la aleatoriedad de los dgitos de PI.
Utilice los primeros 20 nmeros de 4 dgitos formados con los
decimales de PI:
1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 7950 2884 1971 6939 9375 1058
2097 4944 5923 0781 6406 2862 0899
Pregunta 16 Un curioso programa de televisin denominado
MithBusters (Cazadores de Mitos) que dan en Discovery Channel se
dedica a probar si determinados mitos son en realidad ciertos o no.
Para ello un grupo de cientficos disean diversos experimentos con
el objetivo de probar o descartar las hiptesis que postulan los
mitos. En uno de los episodios se intent demostrar la validez de
este mito: cuando una tostada con mantequilla cae al suelo la cara
que siempre da al suelo es justamente la que tiene untada la
mantequilla. Para probar la hiptesis anterior los cientficos tenan
que ver la manera de disear un experimento que reprodujera el
fenmeno de cada de una tostada al suelo de la mejor manera, para
que usando ese experimento pudieran probar si el untar mantequilla
a una tostada alteraba efectivamente el fenmeno. A continuacin se
listan los experimentos ensayados:
Experimento Descripcin Ensayos # veces que la tostada sin
mantequilla cay
boca arriba
# corridas (veces seguidas que cay la tostadaboca arriba
o boca abajo) 1 Lanzamiento manual
desde una mesa 89 43 20
2 Lanzamiento desde una mesa con mecanismo
70 34 45
3 Lanzamiento desde un techo con mecanismo
80 40 32
a) Utilice la prueba de aleatoriedad arriba y abajo para
determinar cul de los 3 experimentos reproduce mejor un ambiente
para ensayar la cada de tostadas con o sin mantequilla (un ambiente
aleatorio) y poder probar la hiptesis que plantea el mito.
Justifique.
-
Generacin de variables aleatorias
Pregunta 17 Se tiene la variable aleatoria X con la siguiente
funcin de densidad:
-
Al elevador le toma un minuto subir al segundo piso, dos minutos
para descargar el material y un minuto para regresar al primer
piso. El elevador no deja el primer piso hasta que no tenga la
carga completa. Asuma que en el instante cero no hay cajas para
transportar.
a) Simular 30 minutos de operacin del sistema. b) Cul es el
tiempo promedio de viaje de una caja de material A (desde que llega
hasta
que es descargada)? c) Cul es el tiempo promedio de espera de
una caja de material B? d) Cuntas cajas de material C fueron
transportadas en 30 minutos? e) Qu sucede si simulamos el proceso
para 10 horas? y para 10 minutos? Se vern
afectados significativamente los resultados? Explique
Utilice los siguientes nmeros aleatorios para generar los
tiempos entre llegadas para las cajas A, B y C.
Pregunta 20 Los buses arriban a la parada de autobuses de
acuerdo con un proceso Poisson con una media de un bus cada 15
minutos. Genere tres variables aleatorias N, que representen el
nmero de arribos durante intervalos de 1 hora.
Use los siguientes nmeros aleatorios por filas.
0.6040 0.3530 0.5504 0.2578 0.52350.1695 0.5369 0.0294 0.8457
0.92450.2966 0.0007 0.4710 0.2511 0.28370.3463 0.1984 0.7846 0.2323
0.13890.0503 0.7501 0.7217 0.9923 0.3804
Pregunta 21 Suponga que tenemos un mtodo para generar una
variable aleatoria con funcin de densidad
)(xg . Podemos utilizarlo como base para generar variables
aleatorias a partir de la distribucin continua )(xf : se genera Y a
partir de g y luego se acepta este valor generado con una
probabilidad proporcional a )(/)( Ygyf . En concreto, sea c una
constante tal que:
A B C 0.40 0.40 0.89 0.20 0.13 0.69 0.17 0.93 0.49 0.48 0.25
0.32 0.17 0.29 0.92 0.71 0.02 0.25 0.90 0.67 0.27 0.67 0.94 0.58
0.95 0.12 0.57 0.07 0.09 0.95 0.47 0.24 0.65 0.09 0.02 0.74 0.85
0.61 0.41 0.44 0.83 0.56 0.16 0.12 0.13 0.71 0.67 0.70 0.88 0.06
0.52 0.29 0.92 0.03 0.03 0.13 0.81 0.48 0.02 0.07
-
ytodoparacygyf )()(
.
Con lo cual se presenta el siguiente mtodo para generar una
variable aleatoria X con densidad f : PASO 1 Generar Y con densidad
g PASO 2 Generar un nmero aleatorio U
PASO 3 Si, .,)()( YXhacer
YcgYfU = En caso contrario, regresar al paso 1.
Se quiere utilizar el mtodo de rechazo para generar una variable
aleatoria con funcin de densidad 3)1(20)( xxxf = , 10
-
Pregunta 23 Desarrolle un generador para la siguiente funcin de
densidad de la variable aleatoria X, utilizando los mtodos que se
solicitan.
a) Desarrolle el generando utilizando el mtodo de aceptacin y
rechazo. b) Desarrolle el generador utilizando el mtodo de la
transformada inversa. c) Desarrolle el generador utilizando el
mtodo de convolucin.
Pregunta 24 Un banco tiene un sistema de cliente-servidor para
el procesamiento de transacciones desde terminales que opera bajo
el esquema de la figura mostrada.
Desde cada terminal i se enva una transaccin al servidor central
cada T segundos con T~exp(25). El procesamiento de las consultas en
el servidor es una variable uniforme con parmetros 12 y 15
segundos. El tiempo de respuesta a cada transaccin se define como
la diferencia entre el instante en que sta sali del terminal y el
instante en que retorna totalmente procesada (los tiempos de viaje
entre terminal y servidor se asumen despreciables). El sistema est
diseado con un nivel de servicio de 80% en 20 segundos (el 80% de
las transacciones tendrn un tiempo de respuesta menor o igual a 10
segundos).
a) Simule 10 transacciones hacia el CPU usando la primera fila
de nmeros aleatorios para la generacin de transacciones (1
aleatorio por transaccin) y la segunda fila para los tiempos de
procesamiento. Asuma que en el instante cero ninguna transaccin est
siendo procesada en el servidor y que la primera transaccin se enva
al inicio de la simulacin.
1
2
n
CPU
Consulta procesada
-
0.28812 0.95931 0.59944 0.30906 0.51010 0.90977 0.05152 0.14404
0.83771 0.38975 0.69464 0.98257 0.07497 0.47362 0.59285 0.62618
0.88835 0.68263 0.35521 0.71637
b) Calcule el tiempo promedio de respuesta para las
transacciones simuladas. c) Existen evidencias suficientes para
descartar que el sistema est diseado con los
parmetros indicados? Explique. d) A travs de un cambio en el
diseo del sistema es posible que algunas transacciones se
enven en lote a otro servidor, lo que hara que los tiempos entre
llegadas de transacciones al sistema analizado se convierta en una
variable aleatoria con distribucin normal de media 25 y desviacin
estndar 10. Funcionara mejor el sistema?
Pregunta 25 Considere las variables A, B y C aleatorias e
independientes, y D una variable correlacionada con las tres
anteriores Sea A N(100,20), B puede tomar los valores 0,1,2,3 y 4
con igual probabilidad. La variable C se distribuye de acuerdo a la
siguiente tabla
Valor de C Probabilidad 10 0.10 20 0.25 30 0.50 40 0.15
Use Simulacin (5 muestras, con los nmeros aleatorios de la tabla
de abajo) para estimar el valor de la variable D definida como:
( )C
BAD2
25=
Para A Para B Para C 0.7876 0.8949 0.8183 0.5199 0.9191 0.0680
0.6358 0.9305 0.2064 0.7472 0.1920 0.7270 0.8954 0.6021 0.3029
Pregunta 26 a) Se tienen los datos de la siguiente distribucin
emprica (100 observaciones) para la
variable aleatoria continua X
Intervalo Frecuencia
0 16x< 12 16 30x< 25 30 45x< 29 45 60x< 34
Se pide: Construir la funcin de distribucin acumulada de X
Generar un par de valores de X utilizando los siguientes nmeros
aleatorios:
0.3435 y 0.6753.
b) La probabilidad que llueva un da de verano en Arequipa es
0.75 y usted est organizando un campeonato de canicas al aire
libre. El campeonato durar 5 das.
Se pide simular el nmero de das que llover (dentro de los cinco
das del campeonato). Asumir independencia y utilizar los siguientes
nmeros aleatorios: 0.345, 0.712, 0.032, 0.548, 0.765.
-
Se pide simular 3 valores de la siguiente variable aleatoria: El
da (el nmero del mismo) en que ocurre la primera lluvia. Asumir
independencia y utilizar los 3 primeros nmeros aleatorios del
acpite anterior.
c) Una variable aleatoria X ~ Erlang ( , )K coincide con la
distribucin de la suma de K variables aleatorias exponenciales
independientes, ( 1,..., )iX i K= cada una con media igual a 1K
.
Demostrar que la variable X puede ser generada con: 1
1 lnK
ii
X RK
=
=
(2
puntos) Los camiones llegan a un almacn siguiendo un proceso de
Poisson con una tasa de
10 = camiones por hora. El guardia de la puerta manda
alternadamente los camiones a la puertas norte y sur. El analista
Waldo Peace ha desarrollado un modelo de estudio para el
embarco/desembarco de camiones en la puerta sur. El tiempo entre
arribos Y entre camiones sucesivos que llegan a la puerta sur es
igual a la suma de dos tiempos entre arribos en la entrada
principal. Encontrar la distribucin de la variable Y y simular un
valor de la variables utilizando los siguiente nmeros aleatorios 1
20.937, 0.217R R= = .
Pregunta 27 Dada la siguiente funcin
a) Empleando el mtodo de aceptacin y rechazo, con la fila 1
genere una variable aleatoria Y con densidad g. Evale )(
)(YcgYf
contra los nmeros aleatorios U obtenidos a partir de la
fila 2 e indicar las variables aleatorias X con densidad f que
se generan mediante este mtodo.
Fila 1 0.0280 0.6182 0.4070 0.3119 0.2367 0.7125 0.8578 Fila 2
0.0592 0.8318 0.6852 0.6806 0.9778 0.9681 0.7539
Sugerencia: defina f(x) para cada tramo
Empleando el mtodo de convolucin genere una variable aleatoria X
usando los siguientes nmeros aleatorios 0.1425, 0.2697 y
0.7419.
-
Pregunta 28 Distribucin Rayleigh
La distribucin de Rayleigh aparece asociada a la fiabilidad de
sistemas a travs de la modelizacin del tiempo hasta el fallo de un
dispositivo.
La notacin de esta distribucin esta dada por:
=
2
21
2)(
x
ex
xf siendo > 0
Demuestre que el generador de variables aleatorias )Rayleigh(~ X
tiene la siguiente forma:
)ln(RX =
Pregunta 29 Se define una variable aleatoria tal que:
321 XXX ++=
Donde 321 , XyXX pueden ser obtenidos a partir de las siguientes
funciones respectivamente:
)25,0(21
2
2/1)( += XXexf
pi
25.02 2
1)( Xexf =pi
2
5,115.0
3 25,11)(
=
X
exfpi
Simule cinco (05) valores de la variable aleatoria si se dispone
de los siguientes nmeros aleatorios 0.4589, 0.2487, 0.7391, 0.4485
y 0.4883
Nota: Emplee el siguiente generador de Schmeiser que da una
distribucin aproximada a la normal estndar
1975.0)1( 135.0135.0 RRY =
-
Pregunta 30 Dada la siguiente grfica f(x)
Se le pide lo siguiente:
a) Genere 3 variables aleatorias (v.a.) X, empleando el mtodo de
aceptacin y rechazo, para ello se le da tres pares de nmeros
aleatorios (use la fila 2 para generar los U)
Fila 1 0.4789 0.8351 0.9008
Fila 2 0.8087 0.7848 0.0866
b) Desarrolle un generador de v.a. X, empleando el mtodo de
convolucin
Pregunta 31
La llegada de camiones al puerto del Callao puede ser modelada
con un proceso Poisson con una razn de 0.05 horas por camin. El
guardia en la entrada del puerto enva alternativamente los camiones
a los muelles norte y sur respectivamente. El futuro PhD Luis
Chavez Bedoya, profesor de la Facultad de Ciencias e Ingeniera, ha
desarrollado un modelo que estudia el proceso de carga y descarga
en el muelle sur y necesita un modelo para el proceso de llegadas a
dicho muelle solamente. Un tiempo entre llegadas de camiones
sucesivos en el muelle sur X es igual a la suma de dos tiempos
entre llegadas a la entrada al puerto.
Una variable aleatoria X ~ Erlang (k,) coincide con la
distribucin de k variables aleatorias exponenciales independientes
Xi (i= 1, 2, k) cada una con media igual 1/k.
a) Cul es la relacin entre Poisson y Exponencial? b) Demostrar
que la variable X puede ser generada con:
=
=
k
iiRLnk
X1
.
1
c) Simular todos los valores posibles de la variable aleatoria
utilizada con nmeros aleatorios generados por el mtodo del cuadrado
medio con semilla = 1009. Cuntos camiones llegan al muelle sur en
90 minutos de operacin de este sistema?
d) Por qu el generador de nmeros aleatorios utilizado no es
recomendable y qu impacto podra tener esto en nuestra
simulacin?
-
Pruebas de bondad de ajuste
Pregunta 32 Los tiempos entre llegadas (en segundos) de los
autos que ingresan a un centro comercial se muestran en la
siguiente tabla:
19.40 18.62 19.35 23.32 17.11 14.84 21.39 20.14 24.41 20.89
17.44 16.62 19.26 16.78 18.31 22.90 20.65 21.66 22.89 21.24 20.49
16.31 22.69 21.08 16.96 17.44 18.12 21.72 22.61 20.43 22.55 18.04
19.83 21.80 19.27 18.69 19.52 18.73 20.23 17.95 22.40 18.45 19.63
23.84 19.94 21.52 20.26 18.15 20.00 22.48 23.47 15.76 18.97 19.83
20.06 20.93 21.12 22.22 20.91 19.38 15.63 18.86 23.94 18.95 19.35
21.75 20.28 17.60 19.95 18.32 19.53 19.19 21.73 21.35 24.39 21.19
18.18 16.88 17.89 18.36 22.19 20.27 24.75 19.24 16.52 17.26 23.77
21.42 16.45 19.14 17.83 19.27 18.69 21.52 18.53 17.77 20.97 21.28
21.66 19.09
Con dichos datos se construy el siguiente histograma: (primer
intervalo es desde 14.84 hasta 16.08 inclusive, el siguiente para
datos mayores a 16.08 hasta 17.32 inclusive, y as
sucesivamente),
0
5
10
15
20
25
14.84 16.08 17.32 18.56 19.80 21.04 22.28 23.52
Clase
Fre
cu
en
cia
a) Identifique que distribucin siguen. Decida entre una
distribucin normal, una triangular y una uniforme. (Indique dos de
ellas)
b) Estime los parmetros que son necesarios para las
distribuciones seleccionadas. Para una distribucin normal los
parmetros son la media y la desviacin estndar , para una triangular
el valor de la moda y para la uniforme no es necesario estimar
ningn parmetro (los valores mximo y mnimo no se consideran como
parmetros).
c) Realice una prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado para
verificar si los datos siguen las distribuciones que se han
seleccionado.
Limite superior
Frecuencia
16.08 3 17.32 9 18.56 16 19.80 21 21.04 18 22.28 18 23.52 9
24.76 6
-
Pregunta 33 Dada la siguiente informacin:
Intervalo Frecuencia Observada 580 584 5
584 588 3
588 592 10
592 596 23
596 600 20
600 604 28
604 608 24
608 612 12
612 616 3
616 620 3
Pruebe si los datos con que se construy este cuadro de
frecuencias siguen una distribucin normal (Datos de la muestra:
Promedio = 600, Desviacin estndar = 5)
Pregunta 34 Fabiola, Keko y Lleta han estado observando durante
170 das cuantos accidentes ocurran en la interseccin de una
concurrida avenida, los datos son los siguientes:
Daos por da Frecuencia de Ocurrencia 0 45 1 40 2 33 3 16 4 14 5
12 6 7 7 2 8 1
Aplique las pruebas de Kolmogorov-Smirnov y la chi-cuadrado ( =
0.5) para verificar la hiptesis de que la data sigue una
distribucin Poisson
Pregunta 35 Se han recogido los tiempos de atencin en la
ventanilla de solicitudes de crditos y se muestran en la siguiente
tabla.
27.29 11.77 27.47 22.80 32.84 30.41 36.03 14.31 25.48 24.82
24.10 36.72 27.63 27.12 14.37 16.78 14.69 33.77 36.08 45.85 16.93
13.38 21.69 23.82 35.03 20.15 23.56 18.13 23.74 30.89 28.81 28.50
19.46 28.51 22.93 26.20 25.03 22.98 32.66 18.77 24.91 19.55 37.37
36.15 52.85 25.86 18.95 18.10 21.21 19.87 21.39 27.24 21.52 29.60
28.50 24.10 14.13 17.19 28.29 22.44 22.91 25.46 38.80 23.07 20.97
27.00 26.45 16.51 33.77 37.78 31.46 14.66 25.96 15.91 37.80 32.60
13.09 22.25 18.03 26.16
-
19.16 19.83 22.09 33.78 20.04 30.34 26.68 24.74 23.07 13.50
32.72 33.51 18.53 27.79 22.89 22.81 32.22 39.71 30.87 20.04
d) Construya un histograma e identifique que distribucin siguen.
Solamente decida entre una distribucin normal y una Chi2.
e) Estime los parmetros que son necesarios para la distribucin
seleccionada. Para una distribucin normal los parmetros son la
media y la desviacin estndar . Para la distribucin Chi2 el parmetro
es el nmero de grados de libertad gl = .
Realice una prueba de bondad de ajuste (mtodo Chi2) para
verificar si los datos siguen la distribucin que ha
seleccionado
Pregunta 36 Al usar varias leyes de falla se ha encontrado que
la distribucin exponencial desempea un papel muy importante y que,
por tanto, interesa poder decidir si una muestra particular de
tiempos para que se presente la falla proviene de una distribucin
exponencial. Supngase que un ingeniero piensa que la duracin de una
marca particular de bombillas (en horas) tiene una distribucin
exponencial con media de 124 horas y para ello l ha seleccionado al
azar 106 bombillas de esta marca encontrndose la siguiente
distribucin de frecuencias de sus duraciones en horas:
Intervalo Frecuencia Observada [4, 72[
[72, 140[ [140, 208[ [208, 276[ [276, 344[ [344, 412[ [412,
480]
26 23 21 15 12 6 3
Muestran estos datos, a nivel de significacin de a = 0.05, que
la hiptesis del ingeniero es correcta. Para contrastar la hiptesis
del ingeniero:
a) Utilice la prueba de contraste de bondad de ajuste Chi 2 b)
Utilice la prueba de contraste de bondad de ajuste K-S
Pregunta 37 La tabla siguiente presenta la distribucin de
frecuencia del nmero de defectos encontrados en el anlisis de los
ltimos 200 artculos producidos en un proceso de produccin. Usando
un nivel de confianza del 5% se desea verificar mediante una prueba
chi cuadrado si dichos valores proceden de una distribucin de
Poisson con una media () de 3.5 defectos por artculo.
Recordemos que:
Si, X ~ P () Entonces, tiene una Funcin de Probabilidad:
=
=
..0
,...2,1,0!)(
ccen
xxxPe
x
-
Pregunta 38 Cierto proceso de fabricacin de chips de alto
rendimiento, genera una cantidad apreciable de unidades
defectuosas, como es usual en estos casos. Se conjetura que el
nmero de chips probados x para encontrar un chip aceptable o bueno
(los primeros x-1 chips son malos), sigue una distribucin
geomtrica,
P (x) = P ( 1 - P ) x -1 donde: x = 1, 2, 3, ..... p :
probabilidad de que un chip cualquiera sea bueno
= 1/ p
2 = (1-p) / p
2
Realizar una prueba Chi-Cuadrado con un nivel de confianza del
95% con relacin a la siguiente muestra consistente en 300 chips
probados, para indagar si este nmero de pruebas sigue una
distribucin Geomtrica con parmetro p. Notar que la frecuencia
observada se refiere entonces al nmero de veces en las que se
encontr un chip aceptable al primer intento, al segundo intento, y
as sucesivamente.
Referirse al segmento de la Tabla Chi-Cuadrado que se muestra a
continuacin de la siguiente tabla, para completar la prueba.
X i Frecuencia observada ( f o i )
1 194
2 70
3 20
4 12
5 o mas 4 * Totales: 300
Para esta muestra en particular, no hubo casos en que se encontr
un chip aceptable en 6 intentos o mas.
Pregunta 39 Al usar varias leyes de falla se ha encontrado que
la distribucin exponencial desempea un papel muy importante y que,
por tanto, interesa poder decidir si una muestra particular de
tiempos para que se presente la falla proviene de una distribucin
exponencial. Supngase que un ingeniero piensa que la duracin de una
marca particular de bombillas (en horas) tiene una distribucin
exponencial con media de 124 horas y para ello l ha seleccionado al
azar 106 bombillas de esta marca encontrndose la siguiente
distribucin de frecuencias de sus duraciones en horas:
Intervalo Frecuencia Observada [4, 72[
[72, 140[ [140, 208[ [208, 276[ [276, 344[ [344, 412[ [412,
480]
26 23 21 15 12 6 3
Muestran estos datos, a nivel de significacin de a = 0.05, que
la hiptesis del ingeniero es correcta. Para contrastar la hiptesis
del ingeniero:
c) Utilice la prueba de contraste de bondad de ajuste Chi 2 d)
Utilice la prueba de contraste de bondad de ajuste K-S
-
Pregunta 40 Dado el siguiente histograma, efecte lo
siguiente:
1. Plante el generador a utilizar. 2. En funcin a los siguientes
aleatorios, y utilizando el generador encontrado, genere
variables aleatorias que siguen dicha distribucin muestral
utilizando el mtodo de la transformada inversa. Utilice los nmeros
aleatorios de izquierda a derecha.
0.5296 0.1033 0.0502 0.2815 0.8840 0.8782 0.0203 0.1918 0.1955
0.1066 0.2023 0.5153 0.2906 0.1095 0.9043 0.2010 0.8450 0.7197
0.2137 0.3934
3. Utilice la prueba de bondad de ajuste de Kolmorogov-Smirnov
para verificar si estos datos se ajustan a una distribucin terica
triangular.
Recordemos que la distribucin triangular posee tres parmetros,
a=mnimo, b=mximo y c=moda. Las frmulas de la funcin de probabilidad
(P(x)) y la de distribucin acumulada (D(x)) son las siguientes:
Pregunta 41 En un juego de dados la suma de los valores
arrojados pueden ser 2, 3, 4 ....11 y 12 con probabilidades
respectivas de 1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12,
1/18 y 1/36.
a) Defina un generador de variables aleatorias para este caso
mediante una distribucin emprica adecuada que permita obtener los
resultados generados por cada dado. (Observe que el mismo generador
se usa para la suma de ambos dados).
b) Simule 50 tiros independientes e indique los resultados c)
Aplique la prueba de Kolmogorov-Smirnov a los resultados hallados y
concluya.
-
Use los siguientes nmeros aleatorios ordenados por columnas para
simular el resultado de los dados
Tiro Nmero Aleatorio Tiro Nmero Aleatorio Tiro
Nmero Aleatorio Tiro
Nmero Aleatorio Tiro
Nmero Aleatorio
1 0.736 11 0.891 21 0.684 31 0.895 41 0.177 2 0.442 12 0.790 22
0.616 32 0.751 42 0.310 3 0.101 13 0.543 23 0.123 33 0.771 43 0.518
4 0.719 14 0.529 24 0.382 34 0.647 44 0.176 5 0.288 15 0.994 25
0.835 35 0.688 45 0.099 6 0.851 16 0.440 26 0.712 36 0.706 46 0.704
7 0.242 17 0.467 27 0.831 37 0.507 47 0.986 8 0.816 18 0.485 28
0.023 38 0.633 48 0.154 9 0.035 19 0.885 29 0.526 39 0.363 49 0.142
10 0.797 20 0.179 30 0.934 40 0.087 50 0.396
Pregunta 42 (Simulacin Manual y Generacin de variables
aleatorias) Considere un sistema de fabricacin en donde se cuenta
con dos mquinas y un solo operador quien se comparte entre las dos
mquinas. Las piezas a ser trabajadas llegan segn una distribucin
exponencial con media 3 minutos, Las piezas son de dos tipos. El
60% del tipo A y son procesadas en la mquina 1y 40% del tipo B para
ser procesadas en la mquina 2
El proceso requiere que el operador inicie el trabajo en la
mquina demorndose 1.5 minutos, luego la maquina trabaja sola. El
tiempo de procesamiento para la mquina 1 es exponencial con media 3
minutos y la mquina 2 es lognormal con media 1 y desviacin estndar
0.5 (medidos despus de la salida del operario)
a) Simule la llegada y procesamiento de por lo menos 6 productos
con una tabla como la siguiente:
Nmero Aleatorio
Tiempo entre
llegada A
Tiempo de
llegada B
Nmero Aleatorio
Tipo de producto
C
Inicio uso de
operario y mquina
D
Fin de uso de operario
E
Nmero Aleatorio
Tiempo de uso de mquina
F
Fin de uso de
mquina G
0.394 0.875 0.805 0.295 0.538 0.065 0.180 0.624 0.105 0.170
0.374 0.446 0.902 0.941 0.776 0.540 0.014 0.881
NOTA: Si X Lognormal (, ), entonces Ln(X) Normal (, )
X ~ exp ()
