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1
Estimación de productos y cocientes 20
Números decimales y números enteros
5º grado
5º grado
3er grado
Números y sus operaciones
Figuras
Fracciones
Múltiplos y divisores Múltiplos y múltiplos comunes 4 Divisores y divisores comunes 11 Un breve examen sobre múltiplos 118
3 23Fracciones Comparación de fracciones 24 Suma y resta con fracciones 29 Operaciones con fracciones y decimales 34
Cajas rectangulares
4º grado
Círculos y esferas
4 37Tipos de sólidos Prismas rectangulares y cubos 37 Redes 39 Perpendicularidad y paralelismo de caras y aristas 43 Prismas y cilindros 47 ¿Cuál es la distancia más corta? 51
56
5964
53
67
5 53Volumen Volumen Fórmulas para calcular el volumen Volúmenes grandes Volumen de un prisma El volumen de distintos cuerpos
96
90
94
91
98
92
100
93
6 Medición con otro tipo de unidad 70 Media aritmética 71
74 Midamos usando otro tipo de unidad Velocidad 81 El promedio y la aglomeración en relación con el medio ambiente 88
Tamaño y medida
Volumen
3er grado
División de números decimales
5º grado
1
2
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
4
668･････････････････････Repaso(1)
2
Multiplicación y división con fracciones (1)
Multiplicación y división con fracciones (2)
Área aproximada
7
8
9
Razones
Variación proporcional directa
Resumen
10
11
12
6 grado Vol.1 Estructura del Contenido6º grado vol. 2o
¡Estudiemos temas que te interesarán!
･････････････
･･･････････････････
････････････････････････
･････････････････････
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･･････････････････････････
･･･････････････････････
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････････････････
･･････
･･････
････････････････
･･････････････････
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･････
･･･
･･･
･･
･
･･
･･････････････････････
4
32
Haz equipo con uno de tus compañeros y acomoda cuadrados del
mismo tamaño como se muestra en la siguiente figura.Cómojugar
Configuraciones con cuadrados
▲El volumen de agua en la represa de Kurobe es doscientos millones de m3.
El volumen del molde
de pan es 5000 cm3.
▼El volumen de agua de la
piscina es 250 cm3.
▼El volumen de una
goma es 15 cm3.
▲
¡Piensa de manera inversa!
Inicia con el último cuadrado
que colocaste.
54
3 cm
2 cm
0
5 cm
5 cm
10 cm
15 cm
20 cm
10 cm
15 cm
0
Para resolver el problema utiliza tarjetas de 2 cm por
3 cm como se muestra en la página 5.
Alinea las tarjetas de izquierda a derecha y encuentra la relación entre
el número de tarjetas y el ancho del periódico mural.
Múltiplos y múltiplos comunes
Múltiplos
1
① Anota los datos del número de tarjetas y el ancho del periódico mural en
la siguiente tabla.
Número de tarjetas y ancho total
② Encuentra la relación que hay en los números que indican el
ancho de las tarjetas.
Identifica los números que son múltiplos de otro número, como lo hiciste
con la longitud y el número tarjetas.
Número de tarjetas 1 2 3 4 5 6 7 8
Ancho (cm) 3 6 9
Múltiplos y divisores
¿Cómo calculamos
el ancho y el largo
apropiado del
periódico mural?
Queremos hacer un periódico
mural rectangular para
mostrar unos dibujos que
hicimos. ¿Cómo debemos
construirlo para que no
queden huecos entre las
imágenes?
1
76
Acomoda las tarjetas de izquierda a derecha y de abajo para arriba para formar un cuadrado.
Los múltiplos de 3 son los números enteros que se obtienen
al multiplicar por 3, por ejemplo, 3×1, 3×2, 3×3, …
2 Alinea las tarjetas verticalmente, de arriba hacia abajo. Luego encuentra
la relación entre el número de tarjetas y la longitud correspondiente.
3① Completa la tabla y encuentra la relación entre el número de tarjetas y la
longitud.
② ¿De qué número son múltiplos esas longitudes?
① ¿Cuál es la altura de la torre formada
por 6 cajas?
② La altura de la torre cambia cada vez que
agregamos una caja. ¿De qué número son múltiplos las alturas de la torre?
Hagamos una torre con cajas de galletas
de 5 cm de altura.
1
① múltiplos de 8 ② múltiplos de 9
Escribe los primeros 5 múltiplos de los siguientes números.2
Múltiplos comunes
① ¿Cuántos cm miden los lados del cuadrado? Usa la cuadrícula de la pági-
na 5 para encontrar la respuesta.
② Marca con distintos colores los múltiplos de 2 y de 3 en la
siguiente recta numérica.
③ Se puede construir un cuadrado formado por rectángulos cuyo largo y
ancho sean múltiplos de 2 y de 3 respectivamente. Verifica eso usando la
cuadrícula de la página 5.
Si un número es múltiplo de 2 y de 3 se le llama múltiplo
común. El mínimo común múltiplo es el menor de los
múltiplos comunes.
5 cm
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24Múltiplos de 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24Múltiplos de 3
Número de tarjetas y longitud
Número de tarjetas 1 2 3 4 5 6 7 8
Longitud ( cm) 2 4 6
Colocaremos en la
pared un tapiz de
forma cuadrada hecho
con nuestros dibujos.
Ahora encuentra una fórmula
para la longitud.
El ancho y el largo
deben ser iguales.
98
La idea de Yoshio▼
④ ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2 y 3?
4 ¿Cómo podemos encontrar el mínimo común múltiplo de 3 y 4?
La idea de Keiko▼
•Escribe en la cinta los múltiplos de 2 arriba de los múltiplos de 3. Los
múltiplos comunes de 2 y 3 están donde quedan alineados los puntos
negros de ambas listas.
Construyamos listas de múltiplos
El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12.
Todos los múltiplos comunes de 3 y 4 son múltiplos del
mínimo común múltiplo.
5 En la siguiente figura
se muestran cajas
apiladas, las de galletas
miden 6 cm de altura y
las de malvaviscos 8 cm.
① ¿De qué número es múltiplo la altura total de las cajas de galletas?
② ¿De qué número es múltiplo la altura de la pila de cajas de malvaviscos?
③ ¿Qué altura deben tener las dos pilas de cajas para que sean iguales?
¿Cuántas cajas tiene cada pila?
④ Escribe los primeros 3 números en los que la altura de ambas pilas de
cajas es la misma.
Escribe los primeros 4 múltiplos comunes para cada una de las
siguientes parejas de números y encuentra su mínimo común múltiplo.
1
① ( 5 , 2 ) ② ( 3 , 9 ) ③ ( 4 , 6 )
Imagina dos torres hechas con cajas, en la primera torre la altura de cada
caja es 6 cm y en la segunda la altura de cada caja es 9 cm. ¿Cuál es la altura
mínima en la que las torres medirán lo mismo?
2
Anoto los múltiplos de 3 y 4 e identifico los múltiplos comunes.
Múltiplos de 3: 3 , 6 , 9 , 1 2 , 1 5 , 1 8 , 2 1 , 2 4 , …
Múltiplos de 4: 4 , 8 , 1 2 , 1 6 , 2 0 , 2 4 , 2 8 , 3 2 , …
De los múltiplos del 4, identifico los que son divisibles entre 3.
Múltiplos de 4: 4 , 8 , 1 2 , 1 6 , 2 0 , 2 4 , 2 8 , 3 2 , 3 6 , …
Los agujeros
muestran los
múltiplos.
1110
• En la tabla de abajo encerramos en un círculo cada múltiplo de 2.
¿Quedan alineados los múltiplos de 2?
Haz lo mismo para los múltiplos de otros
números.
¿Cómo ordenar los múltiplos? 2 Divisores y divisores comunes
Queremos cubrir con
cuadrados iguales
el marco que está
en la pared sin
dejar huecos.
¿Cómo calculamos
el ancho y largo
apropiados para
este marco?
Divisores
1 Cubre con cuadrados
del mismo tamaño un
rectángulo de 12 x 18 cm.
¿Cuántos cm puede medir
cada lado del cuadrado?
① ¿Cuántos cm pueden medir por lado los cuadrados para acomodarlos
verticalmente sobre una plantilla de 12 cm de largo sin dejar huecos?
B
B
Múltiplos de 3
Múltiplos de Múltiplos de
Marca los
múltiplos
de 3.
Múltiplos de 2
Para empezar trata de imaginar qué longitud
pueden tener los lados de los cuadrados si los
ordenas verticalmente y sin huecos.
18 cm
12 cm
1312
Cuando se ordenan verti-
calmente los cuadrados
en la plantilla de 12 cm
de largo, la longitud de
sus lados puede ser 1cm,
2 cm, 3 cm, 4 cm, 6 cm y
12 cm.
② Divide 12 entre 1, 2, 3, 4, 6, y 12.
Los divisores de 12 son los números enteros entre los que se
puede dividir 12 dejando cero como residuo.
1，2，3，4，6，12 son divisores de 12.
③ ¿Qué observas si se agrupan los divisores de 12 como se muestra a
continuación?
1×12＝12
2 ×6 ＝12
3 ×4 ＝12
En el conjunto de los divisores de un número entero se incluye el 1 y el
número mismo.
④ ¿Cuántos cm pueden medir por lado los cuadrados si los acomodamos
horizontalmente en una plantilla de 18 cm de largo sin dejar huecos?
Cuando se acomodan horizon-
talmente los cuadrados en la
plantilla de 18 cm de largo
sin dejar huecos, la longitud
de sus lados puede ser 1cm,
2cm, 3cm, 6cm, 9cm y 18cm.
1，2，3，6，9 y 18 son los divisores de 18.
Divisores comunes
⑤ ¿Cuántos cm pueden medir por lado los cuadrados si se colocan
vertical y horizontalmente sin dejar huecos?
Verticalmente…… (cm)
Horizontalmente… (cm)
Se llaman divisores comunes de 12 y 18 los números que
son divisores tanto de 12 como de 18.
El máximo común divisor es el mayor de los divisores
comunes.
Los divisores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6.
⑥ ¿Cuál es el máximo común divisor de 12 y 18?
Encuentra todos los divisores de 6, 8 y 36.
Escribe todos los divisores comunes de 8 y 36.
1
2
1 2 3 4 6
1 2 3 6 9 18
12
4 cm3 cm1 cm 2 cm
12 cm
4 cm3 cm1 cm 2 cm
18 cm
3 cm
3 cm
2 cm2 cm
1 cm1 cm
Trata de pronosticar qué longitud
tendrán los lados de distintos
cuadrados si los acomodamos
en la plantilla sin dejar huecos.
Recuerda que en un
cuadrado el largo y el
ancho miden lo mismo.
Se incluye el cuadrado de
18 cm por lado porque se
alinearon horizontalmente.
1514
Piensa en los divisores de 18.
Encuentra los divisores comunes y el máximo común divisor de las
siguientes parejas de números.
La idea de Yoshio ▼
2 Veamos cómo puedes encontrar los divisores comunes de 18 y 24.
El máximo común divisor de 18 y 24 es 6.24÷1＝24
24÷2＝12
3
① (8, 16) ② (15, 20) ③ (12, 42) ④ (13, 9)
Observa que en la pareja (13, 9) sólo hay un divisor común.
¿Entre cuántos alumnos podemos repartir equitativamente 8
lápices y 12 cuadernos?
Relación entre múltiplos y divisores
4
① Construye rectángulos usando 18 tarjetas cuadradas para encontrar los
divisores de 18.
② ¿18 es múltiplo de los divisores que encontraste en ①?
•3 y 6 son divisores de 18
•18 es múltiplo de 3 y 6
•2 y son divisores de 18
•18 es múltiplo de y 9.
Anoto los divisores de 18 y 24 para identificar los divisores comunes.
Divisores de 18 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
La idea de Keiko▼
Hago una lista de los divisores de 18 e identifico cuáles de ellos son
divisores de 24.
Divisores de 18 1, 2, 3, 6, 9, 18
•Algunos números como 2, 3, 5 y 7 sólo son divisibles entre 1 y
entre sí mismos. Busca ese tipo de números en la siguiente lista.
Divide entre 2, 3, 4, … para encontrarlos
Números que sólo son divisibles entre 1 y sí mismos
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
1716
① Identifica en la tabla los múltiplos de 3 y anótalos.
② Identifica en la tabla los múltiplos de 7 y anótalos.
③ Identifica en la tabla los múltiplos comunes de 3 y 7 y anótalos.
④ Identifica en la tabla los divisores de 28 y anótalos.
⑤ Identifica en la tabla los divisores de 32 y anótalos.
⑥ Identifica en la tabla los divisores comunes de 28 y 32 y anótalos.
Escribe los primeros 3 múltiplos comunes de las siguientes parejas de números
e identifica su mínimo común múltiplo.
Anota todos los divisores comunes de las siguientes parejas de números e
identifica su máximo común divisor.
Vamos a trabajar con los números del 1 al 50.1
páginas 13~14
páginas 7~8
① (3, 6) ② (8, 10) ③ (5, 15)
① (6, 12) ② (18, 20) ③ (32, 42)
Escribe 3 múltiplos de los siguientes números y ordénalos de menor a
mayor; encuentra también todos sus divisores.
Ir a la página 90
① 16 ② 13 ③ 24
Para las siguientes parejas de números escribe 3 múltiplos comunes de
menor a mayor y encuentra su mínimo común múltiplo.
① (3, 5) ② (12, 18) ③ (10, 20)
Anota todos los divisores comunes de las siguientes parejas de
números y encuentra su máximo común divisor.
① (9, 15) ② (4, 11) ③ (12, 24)
De la estación salen un tren y un autobús cada 12 y 8 minutos respecti-
vamente. A las 9 de la mañana coincide la salida de ambos transportes.
¿A qué hora volverán a salir juntos un tren y un autobús?
Toma una hoja de papel cuadriculado de 30 cm de ancho y 12 cm de
largo y recorta cuadrados del mismo tamaño de tal forma que no te sobre
papel. ¿Cuántos cm por lado puede medir el cuadrado más
grande?¿Cuántos cuadrados de ese tamaño puedes recortar?
Los números como el 2, el 3 y el 5 sólo pueden dividirse entre
1 y entre sí mismos. Encuentra el mayor número menor que 100
para el cual se cumple esta condición.
6
2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 13 14 15 16 17 18 19 20
22 23 24 25 26 27 28 29 30
32
1
11
21
31 33 34 35 36 37 38 39 40
4241 43 44 45 46 47 48 49 50
páginas 4~7, 11~13
・Encontrar múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo.
・Encontrar múltiplos y divisores.
・Resolver problemas usando múltiplos comunes o divisores comunes.
・Resolver problemas usando múltiplos comunes o divisores comunes.
・Entender que algunos números pueden dividirse sólo entre 1 y sí mismos.
・Encontrar divisores comunes y el máximo común divisor.
2
3
5
4
3
2
1
■ Ir a la página 18
Múltiplos de 21
① ¿10, 20 y 100 son múltiplos de 2? ¿Por qué?
② ¿34 y 35 son múltiplos de 2?
¿Por qué?
Si el último dígito es ,
el número es un múltiplo de 2.
Múltiplos de 42
① ¿100 es un múltiplo de 4? ¿Por qué?
② ¿136 y 137 son múltiplos de 4? ¿Por qué?
Si los dos últimos dígitos de un número son múltiplos de ,
el número es un múltiplo de 4.
Múltiplos de 53
¿20, 25 y 26 son múltiplos de 5?¿Por qué?
Múltiplos de 94
① Encuentra los mayores múltiplos de 9 que puedas restar de 10 y de 100. ¿Cuál es
la diferencia cuando esos múltiplos de 9 se restan de 10 y de 100?
② ¿234 es un múltiplo de 9?
Encuentra los mayores múltiplos
de 9 que puedas restar de 200,
30 y 4.
¿Cuál es la diferencia cuando
restas esos múltiplos de 9 de
200, 30 y 4?
¿La suma de esas diferencias es un múltiplo de 9?
③ Si la suma de los dígitos de un número es un múltiplo de 9, se cumple que ese
número es un múltiplo de 9. Trata de explicar por qué.
10
9 Múltiplo de 9
Diferencia 1
100
99 Múltiplo de 9
Diferencia 1
30 4
Diferencia 2
Diferencia 3
Diferencia 4
200
Si � ÷ ( ) es entero
con residuo cero,
� es un múltiplo de ( ).
1918
Un breve examen
sobre múltiplos
2120
Un elefante africano pesa 6350 Kg y
Yushiko 38 Kg.
¿Cuántas veces el peso de Yushiko es
igual al peso del elefante?
La escuela organizó un paseo al
que asistieron 315 estudiantes que
pagaron 190 yenes por su boleto
de tren para trasladarse al lugar.
¿cuánto se pagó aproximadamente
por los pasajes de tren?
190×315
2
② Encuentra el resultado de 6350÷38 con tu calculadora y compáralo
con la estimación que hiciste.
Aproximadamente, ¿cuántas veces
es la altura de la Torre de Tokio com-
parada con la de la Estatua de la
Libertad de Nueva York?
Estima el valor de los siguientes
cocientes y compara el resultado con
tu calculadora.
1
2
① 37960÷78
② 90135÷892 333 m 46 m
÷10 ÷10
1
① Para calcular el costo aproximado redondea el costo del boleto
de 190 a 00 y el número de estudiantes de 315 a 00.
② Estima el producto con los números redondeados:
190×315→200×300
③ Usa una calculadora para ver qué tan acertado es el resultado de
esta estimación.
① 498×706 ② 2130×587
Estima el resultado de las siguientes multiplicaciones.
① Redondea el divisor y el dividendo al valor posicional del primer dígito
y estima el cociente.
6000 ÷40
6350 ÷38
600 ÷ 4
× 3 1 5 �1 9 0
Estimación de productos y cocientes
2322
Escribe las equivalencias entre fracciones que se indican. Usa la siguiente
imagen para responder.
1
① 2 ＝ ＝3
② 1 ＝4
③ 3 ＝5
④ 5 ＝ ＝ ＝10
＝
Tres alumnos hicieron sándwiches de distintas formas.
¿Cuál de ellos tiene más pan?
Las rebanadas de pan son del mismo tamaño en todos los casos.
El sándwich de Yasuo▼
Dividí una rebanada en 4
partes iguales y utilicé 2.
El sándwich de Hiroshi▼
Dividí una rebanada de pan
en 3 partes iguales y usé 2.
El sándwich de Akiko ▼
Dividí una rebanada en 4
partes iguales y usé 3.
Si una rebanada de pan es 1 unidad, la cantidad de pan en el
sándwich de Yasuo puede expresarse como . Expresa la cantidad
de pan en los sándwiches de Hiroshi y Akiko usando fracciones.
Yasuo: de rebanada Hiroshi: de rebanada2
4
2
4
Akiko: de rebanada
3 Fracciones
2524
•Toma una hoja de papel y haz dobleces para expresar y como
fracciones con el mismo denominador.
Comparemos fracciones doblando papel
1 Comparación de fracciones
Comparemos fracciones con diferentes denominadores.
Piensa cómo comparar y .2
3
3
4
① Expresa de distintas formas con fracciones equivalentes.
Expresa en términos de sextos, novenos y doceavos.
¿Cuál es la relación entre los numeradores y denominadores de
fracciones equivalentes?
Obtenemos fracciones equivalentes si multiplicamos o
dividimos el numerador y el denominador por un mismo
número.
② Expresa en términos de , y .
③ Compara y expresándolos como fracciones con el mismo
denominador.
④ Observa el sándwich de la página 23, ¿cuál tiene más pan?
2 ＝3
3 ＝4
▲＝ ▲×■
●×■●
▲＝ ▲÷■
●÷■●，
Doblar en 3.
Doblar en 3.Doblar en 4.
Doblar en 4.
＝23 ＝34
112
2
3
2
3
1
12
1
16
3
4
1
8
8
3×4×
3
4 ＝ ＝
12
3×4×
3
4 ＝ ＝
16
3×4×
3
4 ＝ ＝
2
3
3
4
2
3
3
4
y pueden compararse
porque los denominadores son
iguales.
2
4
3
4
¿Cómo podemos comparar
y ?2
3
3
4
1
Una fracción puede expresarse
de diferentes maneras multiplicando
por el mismo número el numerador
y el denominador.
Ambas piezas de papel
están dobladas en 12
partes iguales.
2726
Común denominador
2 Compara y . Para ello construye fracciones equivalentes que
tengan igual denominador. ¿Qué denominadores puedes utilizar para
compararlas? Identifica y marca cada uno de ellos.
Puedes comparar fracciones con denominadores diferentes
si las transformas en fracciones que tengan el mismo
denominador.
3 Compara y . Utiliza fracciones equivalentes que tengan el mismo
denominador. Nota que los denominadores 21 y 42 son múltiplos de 3 y 7.
Los denominadores 21 y 42 son ambos múltiplos de 3 y 7.
Encontremos un común denominador
4 Encuentra fracciones equivalentes a y con el mismo denominador.
5 Transforma estas fracciones a fracciones equivalentes y compáralas.
③ y El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es .
2
21
3
42
3
4
4
5
5
6
7
8
4
7
2
3 ＝ ＝ 21 42
4
7 ＝ ＝
Así lo hizo Kenta ▼
Multipliqué los dos denominadores
para obtener un común
denominador.
Así lo hizo Yuko▼
Elegí el 24 como común denomi-
nador porque es el mínimo común
múltiplo de 6 y 8.
5 ＝ ＝6
5×6×
40
48
7 ＝ ＝8
7×8×
42
48
5 ＝ ＝6
5×6×
20
24
7 ＝ ＝8
7×8×
21
24
Es conveniente elegir el mínimo común múltiplo como denominador
común, es decir, el menor de los denominadores comunes.
3×4×
3
4 ＝ ＝ 5×6×
5
6 ＝ ＝
5
6
3
4
① y El mínimo común múltiplo de 4 y 7 es .
1×4×
1
4 ＝ ＝ 2×7×
2
7 ＝ ＝
2
7
1
4
② y El mínimo común múltiplo de 3 y 9 es .
1×3×
1
3 ＝ ＝
2
9
1
3
6
8
3
4
8
10
9
12
12
15
12
16
16
20
15
20
20
25
18
24
24
30
21
28
28
35
24
32
32
40
27
36
36
45
30
40
40
50
4
5
……
……
Encontrar “un común denominador” significa trans-
formar fracciones con denominadores diferentes en
fracciones equivalentes con el mismo denominador.
2928
Los envases de la figura tienen y litro de leche respectivamente.
Si se vierte el contenido de ambos en un solo envase, ¿cuántos litros de
leche hay?
1
Simplificación de fracciones
6 Encuentra la fracción equivalente que tenga el menor
numerador y el menor denominador.
Simplificar una fracción significa dividir el numerador
y denominador entre un divisor común para hacerla
más simple.
7 Explica el procedimiento que usaron estos alumnos para simpli-
ficar la fracción .
Decimos que hemos simplificado una fracción cuando obtenemos el
numerador y el denominador más pequeños.
Si divides el numerador y el denominador entre su
máximo común divisor, como lo hizo la niña de la
sección de la página anterior, simplificarás la
fracción en un sólo paso.
Obtén fracciones equivalentes con un común denominador para comparar
estas parejas de fracciones.
1
Simplifica al máximo las siguientes fracciones.2
2 Suma y resta con fracciones
① Imagina cómo calcular la respuesta.
Piensa cómo sumar fracciones con diferentes denominadores.
12
18
①
①
③ ④
2
3
4
5
8
10
16
20② 3
21
18
24
， ② 1
2
3
8， ③ 5
6
8
9， ④ 5
8，7
12
1
3
1
2
？＋13�
12�
1
3
1
2＋
Yo puedo hacer,
y , pero ....1
3
1
3
¿Qué estrategia puedes usar?
7
( ( ( () ) ) )
30 31
② Observa la figura de abajo para explicar cómo calcular + .
Puedes sumar fracciones con
denominadores diferentes si
obtienes fracciones equivalentes
con un denominador común.
2 Descubre cómo calcular .
Si simplificas las
fracciones, trata de
hacerlo tanto como te
sea posible.
3 Busca cómo sumar las siguientes fracciones.
4 ¿Cuál es la diferencia entre y de litro de jugo?
① Obtén un denominador común y verifica cuál es mayor. Escribe la
expresión para conocer la diferencia.
② Analiza cómo hacer la siguiente resta:
5
6 6
1
3 ＝＋ ＋
＝
＝
3
4
5
8
5
8
3
4 ＝
3
4
5
8 ＝－ －
＝
1
63 6
1
2 ＝＋
1
3
1
2�
＋
＝
④ 6
7
3
4－ ⑤ 5
8
1
4－ ⑥ 3
4
7
10－
③ 11
12
1
4＋① 3
8
7
10＋ ② 4
5
13
15＋① 2
3
1
4＋ ③ 2
5
1
6＋② 1
2
1
5＋
⑥ 1
4
3
20＋⑤ 5
12
1
3＋④ 1
2
1
10＋
3
10
1
6 ＝＋
3
10
1
6＋
＋
＝
＝
¿Cómo cambiarlos a frac-
ciones con el mismo
denominador?
Yo no puedo calcular la
respuesta porque los denomi-
nadores son diferentes.
Si usas el mismo denominador
sólo tienes que sumar los
numeradores para sumar las
fracciones
Cuando la respuesta
es mayor que 1 es
más fácil leerla si la
expresas como un
número mixto.
Todo lo que se necesitas es
obtener un denominador
común.
3332
Encuentra cómo calcular .
Puedes restar fracciones con denominadores diferentes
si obtienes fracciones equivalentes que tengan un
denominador común.
5 Encuentra cómo calcular .
Obtén un denominador común y compara las siguientes parejas
de fracciones.
página 28
páginas 26~27
Simplifica tanto como sea posible las siguientes fracciones.
Realiza las siguientes sumas y restas.
Masahiro tiene m de cinta e Hiroko tiene m de cinta.
① ¿Quién tiene más cinta? ¿Cuántos metros más tiene?
② ¿Cuánto miden las dos cintas juntas?
Revisa la operación ¿El cálculo es correcto? ¿Por qué?.5
páginas 29~32
páginas 29~32
páginas 29-31
②①
①
③
①
⑥
④ ⑤
2
7
1
4
2
3
1
2
21
28
11
12
16
24
75
100
， ② 3
4
5
7， ③ 1
6， ④ 4
9，
＋
⑤ 7
9
1
6－
＋ ＝
② 3
5
4
7＋ ③ 1
4
5
6＋
⑦ 8
7
3
4－7
8－
④ 5
61
3＋
⑧ 5
3
3
4－
④ 8
7
7
8－
① 2
3
1
6－
⑤ 7
6
3
4－ ⑥ 22
15
2
3－
③ 7
15
3
10－② 2
5
1
15－
4
8
6
9
5
18
5
12
34
4
5
1
3
2
5
3
8
3
10
5
6
67
5
5
6
3
10
5
6 ＝－ －
＝
＝
7
5
5
6 ＝－ －
＝
－
－
¿Qué diferencia hay
entre este caso y el de
la sección ?4
El procedimiento es el
mismo para fracciones
mayores que 1.
4
3
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
3534
① Encuentra el resultado transformando la
fracción a un número decimal.
＝0.1666……
Coloca en el el número correcto para encontrar una fracción equivalente.
Ir a la página 91
②①
Simplifica las siguientes fracciones a su expresión más simple.
Encuentra un común denominador para las siguientes fracciones y compáralas.
Realiza las siguientes operaciones.
Tenemos dos recipientes: uno con litros de leche, y el otro con de litro
de leche.
① ¿Cuál de los dos recipientes tiene más leche? ¿Cuántos litros más?
② ¿Cuántos litros de leche hay en total?
Elige 4 números entre el 3, 4, 5, 6 y 7 y anótalos en los siguientes recuadros.
A continuación realiza la operación que se indica y escribe el resultado.
¿Con cuál combinación de números obtienes el resultado mayor?
Yo transformé la fracción en
número decimal y luego comparé.
La idea de Miho ▼
Yo cambié el número decimal a
fracción y luego comparé.
Es conveniente hacer las operaciones con fracciones y
decimales expresando el decimal como fracción.
Cuál tiene más, ¿un recipiente con de litro de chocolate o un
recipiente con 0.7 litros
de leche. ¿Cuántos litros más?
Busca cómo calcular 0.2＋ .
② Calcula la respuesta expresando el decimal como fracción.
Chocolate l3
5leche 0.7 l
La idea de Takahiro ▼
②①
①
③
① ②
④ ⑤
1
5
1
4
1
4
2
5
5
10
1
12
5
18
24
32
30
42
45
100
， ② 2
3
1
6， ③ 5
6
7
9， ④ 4
9
3
7，
＋ 2
3＋ ④③ 4
9－
＋
3
4
5
7－
3
4
5
6
1
3
3
6＝ ＝
6
8
2
5
4
15＝ ＝
1
2
210
3
5
1
5
O O
0.2＝ ＝ 1
6
1
5＝＋ ＋ ＝
1
6
1
6
3
5＝ 3÷5＝
0.7－0.6＝
0.7＝ ， ＝
＝－
6
10
7
10
6
10
3
5
No puedo com-
parar fracciones y
decimales.
No puede
dividirse.
¿Cómo puedo
hacerlo?
・Encontrar fracciones equivalentes.
・Comprender la simplificación de fracciones.
・Comparar fracciones.
・Sumar y restar fracciones con denominadores diferentes.
・Usar sumas y restas con fracciones para resolver problemas.
・Construir expresiones con un propósito dado.
Operaciones con fracciones y decimales
6
5
4
3
2
1
■ Ir a la página 94
1 l 1 l
3736
Escribe el nombre de las partes de una caja.
Observa la caja de la siguiente
figura y responde.
2
①¿Qué tipo de cuadrilátero es la cara
ⓐ?
② ¿Cuántas aristas hay?
③ ¿Cuántos vértices hay?
Recolecta cajas de distintas formas y tamaños. Observa la forma de sus caras
para clasificar las cajas en grupos.
Prismas rectangulares y cubos
1 Kaori organizó las cajas de esta forma:
① ¿En qué se basó Kaori para formar los grupos?
Los cajas de la figura de arriba son cuerpos geométricos limitados por
superficies planas o curvas.
Observa la forma de las cajas y piensa cómo construirlas.
4 Tipos de sólidos
En tercer grado, estudiamos los
términos cara, vértice y aristas.
En los cuadriláteros, hemos estudiado el
cuadrado, rectángulo, paralelogramo,
rombo y trapecio.
1
1
3938
La figura de la derecha es un prisma rectangular.
Un cuerpo limitado por rectángulos, cuadrados, o ambos, se
llama prisma rectangular.
Al cuerpo limitado por cuadrados se le llama cubo.
2 Completa la siguiente tabla con los números y términos
que faltan.
Prisma rectangular Cubo
Caras
Rectángulos o cuadrados
Aristas
Vertices
Forma
Número
Longitud
Número
Número
Redes
Desarrollos planos de prismas rectangulares y cubos
1
① Abre y desdobla el prisma a lo largo de sus aristas.
② Arma la figura.
A la figura que se forma al cortar una caja por sus aristas y colocarla
sobre un plano se le llama desarrollo plano de la caja.
La superficie plana que forma la cara de un prisma rectangular
o de un cubo es un ejemplo de un plano.
Dos caras de un prisma o de un cubo están en planos que son
paralelos o son perpendiculares
cara cara
vértices
aristasaristasprisma rectangular cubo
2
4140
③ ¿Con cuáles de los siguientes desarrollos planos se puede formar un prisma
rectangular?
2 Arma la figura que se forma con el siguiente desarrollo plano.
① Colorea la cara opuesta a
la que forman los puntos
BGJM.
② Identifica y marca los
puntos que se superponen
con el punto L.
③ Colorea la arista que se
superpone a la arista HI.
3 Construye una caja igual al prisma
rectangular que se muestra a la derecha.
① Termina los trazos del desarrollo plano.
② Copia el desarrollo plano en una hoja de papel y ármalo.
A
B L
N
MCD
E F G
H
J K
I
1cm
1cm
5cm 5cm2cm
ⓐ
ⓑ ⓒ
4342
4 Dibuja un desarrollo plano con el que se pueda armar un
cubo con aristas de 5 cm.
② Diseña diferentes desarrollos planos con los que se pueda armar un cubo.
Perpendicularidad y paralelismo de caras y aristas
Caras perpendiculares y caras paralelas
1 Remueve la tapa de un prisma
rectangular y coloca escuadras en
las caras interiores.
2 Ahora coloca una escuadra
sobre las caras exteriores del cubo
para medir los ángulos rectos.
Las caras adyacentes de un cubo y de un prisma
rectangular son perpendiculares.
3 Observa la posición de las caras de una caja rectangular como la que
se muestra abajo.
① ¿Qué caras son perpendiculares?
② ¿Cuáles no lo son?
Las caras que no se intersectan, como ⓑ y ⓓ,ⓔ y ⓒ,
son caras paralelas.
¿Se puede armar un cubo con
desarrollos planos diferentes?
①¿Con cuáles de los siguientes desarrollos planos se puede armar un cubo?
3
ⓒⓑⓐ
4544
4 Identifica los pares de caras paralelas
en el prisma rectangular de la derecha.
5 Observa el siguiente prisma rectangular.
① ¿Qué aristas son perpendiculares a la
arista AB?
② ¿Qué aristas son paralelas a la arista AB?
6 Identifica el paralelismo y la perpendicularidad de las caras de
un cubo.
7 Coloca verticalmente un lápiz sobre el escritorio.
8 La figura de la derecha es un
prisma rectangular.
① Observa la arista BF,
¿es perpendicular a la cara EFGH?
② Observa la figura e identifica las
aristas perpendiculares a EFGH.
Identifica las aristas
perpendiculares al
piso del salón de
clases.
A
E G
C
D
B H
F
A
E G
C
D
B H
F
A
E
F
G
C
D
B HA
B
C
E
F
G
H
D
Considera este salón de clases.
① ¿Qué cara es paralela al piso
del salón?
②¿Qué caras son
perpendiculares al
piso del salón?
Caras y aristas perpendiculares
El lápiz en la imagen ⓑ es perpendicular a la cubierta del escritorio.
46 47
Dibuja un prisma rectangular de tal modo que puedas ver todas
sus caras.
Bosquejo
9
Un bosquejo es la representación
de una figura en la que puedes
ver todas sus partes, las aristas
paralelas mantienen su
propiedad en el dibujo.
Las dimensiones de un prisma rectangular son ancho, largo y alto
Podemos observarlas en 3 aristas que se unen en un
mismo vértice.
El tamaño de un cubo se determina por el largo de
una de sus aristas.
Prismas y cilindros
1 Observa que los siguientes cuerpos se construyen a partir de dos
caras paralelas.
① ¿Qué forma tienen las caras coloreadas en cada uno de ellos? Compara
la forma y el tamaño de esas caras.
② ¿Qué forma tienen las caras que no están coloreadas?¿Cuántas de esas
caras tiene cada cuerpo?
③ ¿Qué caras son perpendiculares?
A los cuerpos como ⓐ, ⓑ, ⓒ y ⓓse les llama prismas.
Las caras paralelas de un prisma que
tienen el mismo tamaño y forma, se
llaman bases.
Las caras rectangulares que unen las
bases de un prisma se llaman caras laterales.
Cuando las bases son triángulos se forma un prisma triangular;
cuando son cuadriláteros se forma un prisma cuadrangular; cuando
es un pentágono se forma un prisma pentagonal y así sucesivamente.
Los cubos son casos particulares de prismas.
altolargo
ancho
¿Desde que ángulo puedes
ver más caras de un prisma?
¿Cómo puedes
ver todas las
caras?
Traza las aristas que no
se pueden ver usando
líneas punteadas.
arista arista
arista
base
vértices
base
aristas
cara lateral
4
4948
④ ¿Cómo se llaman los cuerpos ⓐ, ⓑ, ⓒ y ⓓ de la página anterior?
⑤ Completa la siguiente tabla anotando el número de vértices,
aristas y caras de los prismas que se indican.
Prisma triangular
Número de vértices 3×2＝6
3×2＋3＝9
2＋3＝5
Número de aristas
Número de caras
Prisma cuadrangular
Prisma pentagonal
Prismahexagonal
2 Observa los siguientes cuerpos.
① ¿Qué forma tiene la cara que lo limita?
② Compara la forma y el tamaño de las caras paralelas.
El cuerpo que se muestra a
la derecha se llama cilindro.
Sus caras paralelas tienen la misma
forma y tamaño, las cuales se llaman
bases. La cara curva se llama cara
lateral.
La cara lateral del cilindro es
una superficie curva.
Repasemos las principales características de los prismas rectangulares y los cubos.
página 38① Los prismas rectangulares se clasifican de acuerdo a la
forma de sus .
② Un prisma rectangular posee caras de forma
o una combinación de rectángulos y cuadrados.
Las caras de los cubos son .
③ Los prismas rectangulares y los cubos
tienen aristas y vértices.
① ¿Cuál es el nombre del prisma de la derecha?
② ¿Qué tipo de figuras son las caras ⓑ, ⓒ y ⓓ?
③ ¿Cuáles caras son perpendiculares a la cara ⓑ.
Dibuja un desarrollo plano para armar el
prisma rectangular de la derecha.
Recorta en una hoja de papel las figuras que se indican y construye un prisma
rectangular. ¿Cuántas figuras de cada una necesitas?
Observa el siguiente prisma.4
página 41
páginas 39~40
páginas 47~48
5 cm3 cm
3 cm
4 cm
4 cm
6 cm
4 cm
6 cm
2 cm
2 cm
4 cm
Estos números
sugieren algunas
reglas, ¿cierto?
base
base
caralateral
3
2
1
5150
Observa el siguiente prisma rectangular.
・Entender la relación entre las aristas y entre caras y aristas.
■ Ir a la página 51
① ¿Qué aristas son perpendiculares a la arista AE?
② ¿Qué aristas son paralelas a la arista AE?
③ ¿Cuál de las caras es paralela a la cara ABCD?
④ ¿Qué aristas son perpendiculares a la cara ?
Dibuja los desarrollos planos para construir los siguientes cubos y prismas
rectangulares.
・Dibujar desarrollos planos de cubos y prismas rectangulares.
① Un cubo cuyas aristas miden 4 cm.
② Un prisma rectangular con 6 cm de largo,
4 cm de ancho y 2 cm de alto.
Añade las caras faltantes para completar los siguientes desarrollos planos.
・Diseñar diferentes desarrollos planos.
3
• Una hormiga debe recorrer el prisma de la siguiente figura desde el vértice A
hasta el vértice G para comerse la galleta.
¿Cuál es la distancia más corta?
① Verifica que la línea que
une a A con G es la más
corta.
② ¿En dónde cruza la línea
AG la arista BG?
• Si ahora la hormiga parte desde el vértice E y cruza las aristas AB y BC hacia
el vértice G, ¿cuál es la ruta más corta?
Dibuja un desarrollo plano para verificar tu respuesta.
• Dibuja un desarrollo plano para construir el prisma rectangular de arriba.
A
E
F
G
C
D
H
B
4 cm4 cm
4 cm
4 cm6 cm2 cm
E
4
4
12
A B
D
C
G
H
F
cm
cmcm
E H
AE H
F G
D
B C
F G
E H
① ②
Ir a la página 96
Yo creo que la ruta más corta
es de A a B y luego de B a G
siguiendo la diagonal.
La hormiga puede ir de A a C
siguiendo la diagonal y luego de C
a G. Pero la distancia es la misma
que la idea de Hiroshi.
¿Hay una ruta más corta?
¿Cuál es la distancia
más corta?
2
1
5352
¿Cómo se mide el área?
El área se expresa usando unidades .
¿Cómo se mide el volumen de agua en un recipiente?
Las unidades y se usan para medir el volumen.
¿Cómo se mide el peso?2
Las unidades y se usan para medir el peso.
Preparemos una gelatina.
Volumen
1 Preparamos dos porciones de gelatina como los que se muestran a continuación.
Veamos cómo comparar, expresar y calcular el volumen de cuerpos geométricos.
4cm3cm
2cm
3cm3cm
3cm
① Piensa cómo puedes comparar el volumen de ambas porciones.
5 VolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumen
2l
¿Podemos medir
el volumen de un
sólido?
1
3
1
2 cm
3 cm
3 cm
3 cm3 cm
4 cm
5554
Yo los pongo juntos y corto la parte extra para compararlos.
La idea de Yoko ▼
Yo corto secciones de 1 cm y cuento el número de cubos con aristas de 1 cm.
La idea de Mayumi ▼
Yo construí cuerpos de la misma forma con cubitos de 1 cm por lado.
Comparé su tamaño contando el número de bloques.
② Cuenta el número de cubos de gelatina de 1 cm por lado o cuenta el
número de bloques para comparar el volumen de cada cuerpo.
tiene cubos de gelatina
tiene cubos de gelatina
tiene cubos de gelatina
2 ¿Cuántos cubitos de 1 cm por lado se necesitan para construir el cubo y
el prisma rectangular que se muestran a continuación?
3 Construye diferentes cuerpos utilizando 12 cubitos de 1 cm por lado.
Nota que todos ellos tienen el mismo volumen.
La expresión numérica del tamaño de un cuerpo, como el
de la gelatina y el de los bloques, es la “medida del volumen”.
La idea de Satoshi ▼
2 cm2 cm
2 cm
2 cm2 cm
1 cm
2 cm3 cm
2 cm
① ② ③
3 cm3 cm
2 cm
4 cm4 cm
4 cm
5756
③ ¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay? ¿Cuántos centímetros cúbicos son?
Nota que el número de cubos de 1 cm3 en el largo es igual al largo del cuerpo,
el número de cubos de 1 cm3 de ancho es equivalente al ancho del cuerpo y la
altura corresponde al número de cubos de 1 cm3 apilados.
Calcula el volumen de los siguientes prismas rectangulares.
Imagina cómo calcular el volumen de
un prisma rectangular.
Un cubo cuyas aristas miden 1 cm es una unidad de volumen. El volumen de un
cuerpo es el número de cubos que lo conforman.
Al volumen de un cubo con aristas de 1 cm se le llama
“un centímetro cúbico” y se escribe 1cm3.
El cm3 es una unidad de volumen.
4 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
1
① ¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay en la
primera capa?
② ¿Cuántas capas hay?
2 3 4× × ＝ (cm3)
largo ancho altura volumen
2 3 4× × ＝
El volumen de un prisma rectangular se calcula con una
fórmula que relaciona el largo, el ancho y la altura.
Volumen de un prisma rectangular＝largo×ancho×altura
2
Cubos de largo
Cubos deancho
Cubos de alto
Total de cubos
8 cm4 cm
5 cm10 cm3 cm
3 cm
8 cm
5.4 cm 2.5 cm
① ②
① ② ③2 cm3 cm
4 cm
capa 1
capa 2
capa 3
capa 4
Fórmulas para calcular el volumen
1 cm 1 cm
1 cm
¿Qué necesitamos
para calcular el volumen
de un cuerpo?
2
2 cm
4 cm8 cm
5 cm
5 cm5 cm
5958
Calcula el volumen de este cubo.3
① ¿Cuántos cubos de 1 cm3 caben en
este cubo?
② ¿Cuántos cm3 mide su volumen?
En un cubo, el largo, ancho y la altura son iguales, por
esto su volumen puede calcularse usando esta fórmula:
Volumen del cubo＝ (arista)x(arista)x(arista)
① ②
Encuentra el volumen del prisma rectangular y el cubo que se muestran a continuación.
Localiza a tu alrededor un prisma rectangular y un cubo y calcula su
volumen.
Construye una caja cuyo volumen sea igual a 200 cm3
1 Piensa cómo calcular el volumen del prisma
rectangular de la derecha.
① ¿Cuántos cubos de 1 metro por lado
hay en ese prisma?
② ¿Cuántos metros cúbicos hay en el prisma rectangular del inciso anterior?
Al volumen de un cubo con aristas
de 1 metro de largo se le llama metro
cúbico y se escribe 1 m3.
① Si alineamos cubos de 1 cm3 sobre
la base, ¿cuántos cubos hay a lo largo
y ancho?
② ¿Cuántas capas hay?
③ ¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay en total?
¿Cuántos centímetros cúbicos son?
100 100 100× × ＝
2 Veamos cuántos centímetros cúbicos
equivalen a un metro cúbico.
3 cm3 cm
3 cm
2 m2 m 3 m
1 m
1 m1 m
1cm1cm1cm
capa 4capa 3capa 2capa 1
1 m
1 m
1 m
1m3＝1,000 000cm3
�Diseña distintas cajas cuyo
volumen sea 200 cm3.
3 Volúmenes grandes
1 m＝100 cm
largo volumenancho altura
1
2
6160
3 Calcula el volumen del
siguiente prisma rectangular.
① Imagina cómo calcular la
respuesta.
② ¿Cuántos metros cúbicos mide
el volumen de este prisma?
¿A cuántos centímetros cúbicos
equivale su volumen?
Calcula el volumen de este
prisma rectangular.
2
•¿Cuántos niños caben en una
caja de 1 m3 ?
La capacidad de 1m3
4 Observa la relación que hay entre cantidad de agua y el volumen.
① ¿Cuántos cm3 caben en un
recipiente de 1 l?
② 1 l = 1000 ml¿Cuántos cm3 es 1 ml?
③ ¿Cuántos litros de agua
caben en un tanque de 1 m3?
1 l cm3＝
1 ml cm3＝
1 m3 cm3＝
l＝
5 Imagina cómo calcular el volumen
del siguiente cuerpo.
¿Qué puedes hacer para
calcular el área del cuerpo
con esta forma ?
¿Cuántos metros cúbicos mide el
volumen de este prisma rectangular?
¿A cuántos centímetros cúbicos equivale
su volumen?
2 m
3 m50 cm
2 m20 cm20 cm
1 m3 m0.5 m
1 m1 m10 cm
1 cm 1 cm
1 cm 1 cm
10 cm10 cm
1 m
1 m
3
3
8 cm 5 cm
5 cm
3 cm7 cm
1
6cm
6cm6cm
5cm
2cm2cm
6362
Yo lo separé en 2 prismas
rectangulares.
5×3×7＋5×5×4
＝105＋100
＝205 Respuesta: 205 cm3
La idea de Yuko ▼
Yo resté el prisma rectangular pequeño
al prisma rectangular grande.
8×5×7－5×5×3
＝280－75
＝205 Respuesta: 205 cm3
6 Moldeamos un elefante con la plastilina de un prisma rectangular
y un cubo. Calcula el volumen del elefante.
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
¿Cuál es el volumen en m3 del cubo y el prisma rectangular que se muestran
a continuación?
páginas 57~58
páginas 59~60
¿Cuál es el volumen en cm3 y m3 de 400l de agua?
Calcula el volumen del siguiente cuerpo.4
páginas 61~62
La idea de Akira ▼
página 61
12 cm
7cm6 cm
9 cm
9 cm9 cm
60 cm
6 cm
3 cm
4 m
4 m
4 m
6 cm 4 cm
3 cm6 cm8 cm
3 cm
5 cm
5 cm5 cm
4 cm
7 cm
5 cm
5 cm
3 cm5 cm
8 cm
7 cm
① ②
① ②
3
2
1
6564
Volumen de un prisma
1 Considera el prisma rectangular
que se muestra a continuación.
① Escribe la fórmula para calcular el
volumen de un prisma rectangular.
② La base de este prisma rectangular es un
rectángulo. ¿Qué parte del prisma se
expresa con la multiplicación largo x ancho
en la fórmula del inciso anterior?
× ×
largo ancho alto× ×
de base
El volumen de cualquier prisma puede calcularse con
la expresión:
2 Calcula el volumen del prisma que se
muestra a continuación. Considera que
la base es un triángulo rectángulo.
Como el volumen es la mitad del prisma
rectangular se tiene que:
(3×4×8)÷2
＝96÷2
＝48 Respuesta: 48cm3
La base del prisma triangular es un triángulo
rectángulo por lo que el volumen puede
calcularse así:
área de la base × altura
＝(4×3÷2)×8
＝6×8
＝48 Respuesta: 48cm3
La idea de Mami ▼
3 Considera el siguiente cuerpo
como un prisma para calcular
su volumen.
La idea de Hisashi ▼
7cm 8 cm
5 cm
5 cm3 cm
altura
base
base
8 cm
3 cm4 cm
altura
base
base
8 cm
3 cm4 cm
Volumen de un prisma＝área de la base × altura
largo ancho altura
Puedes hacer un
prisma rectangular
apilando hojas de
papel.
Puedes imaginar este
cuerpo como un prisma que
tiene una base formada
como esta: .
6766
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
・Utilizar una fórmula para el cálculo del volumen.
Ir a la página 92
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
・Encontrar distintas formas para calcular el volumen.
Calcula el volumen del prisma
rectangular que se forma a partir de
este desarrollo plano.
・Calcular el volumen a partir del desarrollo plano de un
cuerpo.
¿Con cuántas cubetas de agua
puedes llenar el depósito que
se muestra?
・Expresar el volumen con diferentes
unidades.
•Todos los cuerpos tienen volumen. ¿Cómo podemos encontrar el volumen de un
cuerpo que no sea un cubo o un prisma rectangular?
Podemos calcular el volumen de un objeto irregular, por ejemplo, una piedra.
La colocamos en agua, la altura del agua se incrementará debido al volumen de la
piedra. Veamos esto a continuación.
• Mide el volumen de tu cuerpo usando la tina de baño o un estanque.
12 cm
9 cm5 cm
5 m
5 m5 m
3 cm3 cm
4 cm 4 cm
9 cm 5 cm5 m5 m
2 m
1 m1 m
2 cm
2 cm
2 cm
① ②
③ ④1cmmás altomarca
1 litro
10cm10cm
60cm
20cm30cm
El volumen de
distintos cuerpos
4
3
2
1
Ir a la página 67 ■ Ir a la página 98
① ¿Qué caras son perpendiculares a la cara ⓐ?
¿Qué cara es paralela a la cara ⓐ?
② ¿Qué aristas son perpendiculares a la arista AB?
¿Qué aristas son paralelas a la arista AB?
6968
Encuentra los 3 primeros múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo de los
siguientes pares de números.
① ( 9 , 12 ) ② ( 15 , 5 ) ③ ( 7 , 11 )
Encuentra todos los divisores y el máximo común divisor de las siguientes
parejas de números.
① ( 6 , 15 ) ② ( 14 , 28 ) ③ ( 16 , 9 )
Para una actividad es necesario dividir al grupo en equipos del mismo
tamaño. Si hacemos grupos de 6 o 7 alumnos, tres de ellos se quedan sin equipo.
Se sabe también que hay menos de 50 alumnos.
¿Cuántos alumnos hay?
Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión.
Transforma las parejas de fracciones en fracciones equivalentes con
común denominador.
Realiza las siguientes sumas y restas.
②①
①
③
②① ③
④ ⑤
Observa el siguiente prisma rectangular y responde a las preguntas.
Dibuja el desarrollo plano para el cubo que se muestra
a continuación.
Calcula el volumen de cada uno de los 4 cuerpos que se muestran a continuación.9 5
A
H
D
G
F
B
E
C
3cm
3cm3cm
3cm
4cm8cm
2cm
2cm2cm
8cm
6cm
9cm4cm
3cm 3cm
3cm3cm
3cm3cm
3cm9cm
9cm
10cm
①②
③ ④
1
3
3
7
4
9
2
3
8
12
5
12
7
15
12
16
5
12
30
45
20
48
36
60
( ), ② 5
8
2
7( ), ③ ( ),
＋ 3
5
3
4＋ 5
6＋
⑤④ ⑥4
5
2
3
13
10－ 5
6
7
9－ 4
5－
6
5
4
3
2
1
7
8
1
1
1
3
3
3
4
4
7170
Cada mañana los alumnos de 6º grado leen un libro. Hiromi y Kenji escogieron el
mismo título, sin embargo, Hiromi leyó durante cinco días y Kenji cuatro días
porque faltó un día a la escuela. Compara el número de páginas que lee cada uno
de ellos por día.
Páginas leídas por Hiromi
Páginas leídas por Kenji
Día Primer día Segundo día Tercer día Cuarto día Quinto día Total
Número de páginas 5 7 3 4 6 25
Día Primer día Segundo día Tercer día Cuarto día Total
Número de páginas 8 5 5 6 24
Media aritmética
1 Si ambos hubieran leído el mismo número de páginas por día,
¿cuántas páginas leería cada uno por día?
① ¿Cuántas páginas leyó Hiromi por día?
② ¿Cuántas páginas leyó Kenji por día?
③ ¿Quién leyó más páginas por día?
(páginas)8
6
4
2
0 Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Quinto día
8
6
4
2
0
（páginas）Prim
er día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Quinto día
8
6
4
2
0
（páginas）
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
8
6
4
2
0
（páginas）
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Medición con otro tipo de unidad
El número de días de lectura y el
total de páginas son diferentes.
¿Cómo se puede calcular el número
de páginas que leen por día?
1
7372
La siguiente tabla muestra el número de libros que leyeron 5 alumnos
en el grupo de Tadashi durante agosto.
¿Cuántos libros en promedio lee cada alumno?
Al proceso en el cual se representan diferentes cantidades por una sola se
le llama “promediar”
② Reflexiona cómo calcular el promedio.
2 Observa los siguientes envases con jugo.
① Vamos a promediar la cantidad de jugo
para que cada uno de los envases contenga
la misma cantidad.2 1 5
( 4＋2＋1＋5 ) ÷ 4 ＝
Para calcular el promedio dividimos la cantidad total de jugo entre
los 4 envases.
Al resultado que se obtiene al promediar números o canti-
dades se le llama media aritmética.
En el caso del jugo tenemos:
Puedes calcular el promedio si conoces la cantidad
total y el número de objetos.
La media aritmética puede incluir decimales. La parte decimal aparente-
mente no tiene sentido, como ocurre con el número de libros, pero da infor-
mación importante
Términos
平 均
Libros leídos por alumno
3 ¿Cuál de las siguientes gallinas pone los huevos más pesados?
Encuentra el peso promedio en cada caso y compáralos.
4
La idea de Kumiko ▼ La idea de Yasuo ▼
De los recipientes que contienen
mayor cantidad de jugo,
extraigo parte de éste y lo
paso a los que tienen menos.
Vierto todo el jugo en otro recipiente y
después reparto equitativamente el jugo
entre los recipientes pequeños.
número deenvases
Jugo en los 4 envases promedio de jugo por envase
Promedio＝total de jugo÷número de envases
Nombre Tadashi Yutaka Kenta Sayaka Yuko
Número de libros 4 3 0 5 2
56g 58g 56g 61g 54g 57g
57g 53g 60g 58g 56g 53g 55g
Significa emparejarSignifica
plano
En japonés “media aritmética” es 平均..
① ¿En cuál de las fotografías hay más aglomeración?
•en o en →
• o →
• o →
7574
Cuando el número de tapetes es el mismo, la fotografía con
alumnos es la que tiene más aglomeración.
Cuando se tiene el mismo número de alumnos, la fotografía con
tapetes es la más aglomerada.
② Veamos cuántos alumnos están sobre cada tapete.
Midamos usando otro tipo de unidad
1 Las fotografías ⓐ, ⓑ y ⓒ muestran a un conjunto de alumnos parados sobre unostapetes. ¿En cuál de las ilustraciones ⓐ,ⓑy ⓒ se presenta la mayor aglomeración dealumnos por tapete?
2 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 15 alumnos
Piensa cómo medir la aglomeración de alumnos
2 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 15 alumnos
¿Qué tal si promediamos
respecto al número de
tapetes?
El número de tapetes y alumnos
es distinto en cada caso.
2
ⓐ
ⓐ
ⓑ ⓑ
ⓑ
ⓐ
ⓒ
ⓒ
ⓒ
ⓐ
ⓑ
ⓒ
ⓐ ⓑ ⓒ
7776
③ El área de cada tapete es 1m2. ¿Cuántos alumnos hay por metro cuadrado?
12 ÷ 2 ＝
12 ÷ 3 ＝
15 ÷ 3 ＝
La aglomeración se expresa mediante la razón de dos
cantidades: el número de alumnos y el área.
Para el área se utilizan unidades como el m2 o el Km2.
Cuando se agrupan personas de forma desordenada el
número de ellas por m2 permite medir la aglomeración.
En un arenero de 8 m2 se encuentran jugando 10 niños. En otro arenero de
13 m2, hay 13 niños jugando. ¿En cuál de ellos hay una aglomeración mayor?
En un tren de 7 vagones viajan 1,260 pasajeros mientras que en el de 8
vagones viajan 1,850 pasajeros.
¿En cuál hay mayor aglomeración?
1
2
Número deniños
Área Número de niños por m2
2 La tabla de la derecha muestra la
población y el área de las ciudades
del Este y el Centro Oeste.
Calcula cuántos habitantes
hay por Km2 para ver en cuál de
ellas está más aglomerada la
población.
Población y área
Población
(habitantes)Área (Km2)
Centro Oeste 22,100 17
Ciudad
del Este273,600 72
Al número de habitantes por Km2 se le llama densidad
de población y con ese valor se puede medir la
aglomeración en una ciudad o municipio.
Calcula la densidad de población de
cada una de las siguientes prefecturas,
redondea el resultado al primer
decimal.
Fukuoka4,971 Km2
5,001,592
Hiroshima8,477 Km2
2,870,542
Niigata12,582 Km2
2,463,740
Hokkaido83,453 Km2
5,662,856
Tokyo2,187 Km2
11,996,460
Kagoshima9,187 Km2
1,775,636
Kochi7,105 Km2
813,237
Kagawa1,876 Km2
1,031,185
Kumamoto7,404 Km2
1,866,553
Aomori9,606 Km2
1,487,451Osaka1,893 Km2
8,643,677
Shizuoka7,779 Km2
3,769,776
Okinawa2,271 Km2
1,353,212
Población en 2003
¿Cuál es la densidad
de población donde
tú vives?
ⓐ
ⓑ
ⓒ
7978
3 Los alumnos cultivaron papas
en el huerto escolar y lograron cosechar
43.2 Kg de la parcela de 6 m2 y
62.1 Kg de la parcela de 9 m2.
¿Cuál parcela es más productiva?
Compara con los valores del peso de
las papas por m2.
4
Peso (Kg) ? 43.2
Área (m2) 1 6
Peso (Kg) ? 62.1
Área (m2) 1 9
Peso (g) 20 ?
Longitud (m) 1 15
Peso (g) 20 340
Longitud (m) 1 ?
0
0
1
43.2 （Kg）
0
0
1
62.1 （Kg）
PesoÁrea
PesoÁrea
0
0
1 10 (cuadernos）
1200 （yenes）Costo
Número decuadernos
0
0
1 8 (cuadernos）
1040 （yenes）Costo
Número decuadernos
5 En la tlapalería hay dos tipos de rollos de alambre; uno de ellos mide
6 m y pesa 390 g y el otro mide
8 m y pesa 480 g.
¿Cuál de esos alambres es más
pesado?
Compara el peso por metro
de alambre.
0
0
1
PesoLongitud
0
0
1
PesoLongitud
A indicadores como la densidad de población, cosecha por m2,
costo por ejemplar, entro otros, se les llama medida por unidad.
6 Imagina un alambre que pesa 20 g por metro y responde a las
siguientes preguntas.
① ¿Cuánto pesa un rollo de ese alambre que mide 15 m de largo?
② Si recortamos un segmento de ese alambre y su peso es de 340g,
¿cuántos metros mide ese segmento?
Peso Total peso por 1m longitud＝ ×
0
0
1
20Peso
Longitud
0
0
1
20Peso
Longitud
En la papelería puedes comprar un paquete de 10 cuadernos
por 1,200 yenes o un paquete de
8 cuadernos por 1,040 yenes.
¿Cuál de los paquetes es más caro?
Compara el costo por cuaderno.
Un equipo de alumnos construyó modelos a escala de autos solares y quieren
conocer a qué velocidad pueden desplazarse.
Para investigarlo, se dividieron en dos grupos. Uno de ellos midió el tiempo que
necesita el vehículo para trasladarse cierta distancia y el otro registró la distancia
que recorrió el auto en un tiempo determinado.
8180
7 Una máquina puede bombear 240l de agua en 8 minutos y una segunda
máquina puede bombear 300 l de agua en 12 minutos.
¿Cuál de esas máquinas bombea más agua por minuto?
8 Las fotocopiadoras ⓐ de la papelería pueden
reproducir 300 hojas en 4 minutos y la ⓑ380 hojas en 5 minutos.
① ¿Cuál de las fotocopiadoras es más rápida?
② ¿Cuántas hojas puede reproducir la
copiadora ⓐ en 7 minutos?
③ ¿En cuántos minutos puede la
fotocopiadora ⓑ producir 1,140 copias?
Si un pequeño tractor puede arar 900m2 de tierra en 3 horas, ¿cuántos m2
puede arar en 8 horas?
0
0
1 8 (minutos）
Volumen deagua
Tiempo0
0
1 12 (minutos）
Volumen deagua
Tiempo
Número de hojas
Minutos
Número de hojas
Minutos
0
0
1
（hojas）
（minutos）
Número dehojas
Tiempo
3 Velocidad
Cómo medir la velocidad
Piensa cómo puedes decidir cuál de los autos es el más rápido.
Si la distancia es la misma,
el auto que la recorre en el
menor tiempo es el más
rápido.
Si el tiempo de recorrido es
el mismo, el auto que cubre
la mayor distancia es el
más rápido.
Si la distancia y tiempo son
diferentes para cada vehículo,
¿cómo puedo comparar su
velocidad?
¿Por qué no las comparamos
como lo hicimos para medir
la aglomeración en los
tapetes?
8382
En la siguiente tabla se registraron las distancias y el tiempo de
recorrido de los autos solares.
① ¿Qué auto es el más rápido?
Compara la velocidad de
los autos solares.
•Entre ⓐ y ⓑ. es más rapido.
•Entre ⓑ y ⓒ. es más rapido.
•Entre ⓐ y ⓒ. es más rapido.
La velocidad se puede comparar si el tiempo es el mismo o si la distancia es la misma.
1
Mismo tiempo Misma distancia
El tiempo que cada auto tardó en recorrer la distancia.
② Calcula cuántos metros por minuto recorrió cada auto y compara la velocidad.
③ Calcula cuánto tiempo tardan en recorrer 1 m y compara su velocidad.
Si comparamos la velocidad con los tiempos de recorrido de los autos por unidad de
distancia, el menor tiempo es el del más rápido.
Si comparamos la velocidad con las distancias que recorrieron por unidad de tiempo,
la mayor distancia es la del más rápido.
La velocidad se mide como la distancia recorrida por unidad
de tiempo.
2 El tren bala Hikari recorre los
553 Km entre Tokio y Shin-
Osaka en 3 horas.
El tren Toki recorre los 334 Km
entre Tokio y Niigata en
2 horas.
② ¿A cuántos Km por hora viaja el tren Toki?
① ¿Cuál de esos trenes es
más rápido?
La velocidad se puede expresar de distintas formas dependiendo
de la unidad de tiempo. La velocidad se mide por unidad:
Velocidad por hora: se expresa en términos de la distancia
recorrida en una hora.
Velocidad por minuto: se expresa en términos de la distancia
recorrida en un minuto.
Velocidad por segundo: se expresa en términos de la distancia
recorrida en un segundo.
Una persona recorrió 50 metros en 8 segundos y otra 60 metros en 10 segundos.
¿Quién es más rápido? Compara la velocidad expresándola en metros por segundo.
Una persona caminó 432 m en 6 minutos y otra 280 m en 4 minutos. ¿Quién es más
rápido? Compara su velocidad expresándola en metros por minuto.
1
2
Velocidad＝distancia÷tiempoDistancia y tiempo
Auto Distancia (m) Tiempo(min)
30 4
30 5
40 5
La distancia que recorrió cada auto en 1 minuto.
8584
Si una bicicleta recorre 400 metros por segundo, ¿cuántos minutos
tarda en recorrer 2,400 metros?
3 Un maratonista recorrió
36 Km en 2 horas.
① ¿Cuántos Km por hora recorrió?
② ¿Cuántos metros por minuto
recorrió?
③ ¿Cuántos metros por segundo
recorrió?
Analiza los casos ⓐ, ⓑ y ⓒ para identificar cuál es el más rápido.
ⓐ Un auto que viaja a 30 Km por hora.
ⓑ Una bicicleta que recorre 510 metros por minuto.
ⓒ Un corredor de 100 m planos recorre 10 metros por segundo.
•Mide el tiempo que necesitas para caminar 50 m y calcula tu velocidad por
segundo, por minuto y por hora.
Velocidad al caminar
por segundopor 60 segundos
por minuto
por 60 minutos
por hora
Calculemos la distancia y el tiempo
4 Piensa en un auto que circula a 40 Km por hora.
① ¿Cuántos Km recorre en 2 horas?
② ¿Cuántos Km recorre en 3 horas?
0
0
1 2 (horas）
36 （Km）DistanciaTiempo
0
0
1 2 3 ( horas）
40DistanciaTiempo
Distancia＝velocidad×tiempo
Tiempo＝distancia÷velocidad
5
Si se tarda minutos en recorrer la distancia, podemos calcular la respuesta de esta manera:
Responde las siguientes preguntas acerca de una persona que
camina 80 metros por minuto.
① ¿Cuántos metros recorre en 5 minutos?
② ¿Cuántos minutos tarda en recorrer 2,000 metros?
Distancia velocidad tiempo＝ ×2400 400＝ ×
2400 400＝ ÷
0
0
1 （minutos）
2400（C）400DistanciaTiempo
velocidad por
segundo
velocidad por
minuto
velocidad por
hora
×60
÷60
Distancia (Km) 40 ？ ？
Tiempo(horas) 1 2 3
Distancia (m) 400 2400
Tiempo (minutos) 1 ？
Maratón Oume (Ciudad de Oume, Tokio)
¡Haz un diagrama
para resolver
esto!
Es útil promediar
la velocidad a la
que caminas.
×60
÷60
(m)
8786
En la papelería hay dos tipos de cajas de lápices de colores, la primera tiene
12 lápices y cuesta 600 yenes; la segunda tiene 8 lápices y cuesta 440 yenes.
¿Qué caja es más cara?
Una huerta de 180 m2 produce 432 Kg de naranjas.
¿Cuántos Kg de naranjas produce por m2
Un automóvil que circula a una velocidad de 48 Km por hora demora
4 minutos en atravesar un túnel.
① ¿Cuántos metros por minuto
equivalen a 48 Km por hora?
② ¿Cuántos metros mide de
largo el túnel?
La siguiente tabla muestra el número de latas vacías que recolectó Masako en cinco
días. ¿Cuántas latas recolectó por día en promedio?
¿En cuál de los trenes ⓐ y ⓑ van más
aglomerados los pasajeros?
ⓐ 1,080 pasajeros en 6 vagones
ⓑ 1,640 pasajeros en 8 vagones
2
página 72
página 78
página 78
páginas 74~77
En la ciudad donde vive Yoshiko habitan alrededor de 39,000 personas en una
área de aproximadamente 50 Km2. Calcula la densidad de población de esa ciudad.
・Entender cómo calcular la densidad de población.
El tren ⓐ viaja a 1.8 Km por minuto y el tren ⓑ a 100 Km por hora. ¿Cuál
tren es más rápido? ・Entender el cambio de unidades, por minuto y por hora.
Un tifón se movió a una velocidad de 25 Km por hora.
① ¿Cuántos Km se desplaza en 12 horas?
② Considerando la misma velocidad,
¿cuántas horas tardará en trasladarse
400 Km?
Takashi se propuso leer 25 páginas de un libro por día. Leyó un promedio de
23 páginas durante 6 días, de domingo a viernes. ¿Cuántas páginas debe leer el
sábado para cumplir su propósito?
Se obtuvo la siguiente información de los alumnos del sexto grado durante un concurso
de barra fija en la escuela de Masao.
A partir de la tabla, calcula el promedio de dominadas que hizo un alumno considerando a
todos los alumnos del sexto grado.
5
Número de dominadas 0 1 8 9 10
Número de alumnos 3 0 4 6 1
2 3 4 5 6
2 4 5 16 9
7
10
Número de latas
Número de dominadas y número de alumnos de sexto grado
páginas 82~83
■ Ir a la página 93
Día Uno Dos Tres Cuatro Cinco
Número de latas 6 7 5 8 8
・Entender la expresión promedio = total : número de eventos
・Entender la media aritmética como unidad de medición.
・Entender la relación: distancia = velocidad x tiempo.
5
4
3
1
4
3
2
1
■ Ir a la página 88 ■ Ir a la página 100
En Japón la población no es ajena a los cambios que provoca el calentamiento
global, como la elevación del nivel del mar y la reducción en la producción de
alimentos. Una de las causas del calentamiento global son los altos índices de
bióxido de carbono en el ambiente.
Analicemos cuánto bióxido de carbono se genera
en Japón por persona.
1
Generación de bióxido de carbono anual y población
Producción de bióxido de carbono por habitante en diferentes países (1996）
AñoBióxido de carbono
(por diez mil Kg)
Población
(por diez mil)
Producción de bióxido
de carbono por persona
2000 36,610,000 12,693
1960 6,960,000 9,430
1970 22,200,000 10,467
1980 27,270,000 11,706
1990 30,860,000 12,361
Estados UnidosRusiaJapónFrancia
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000（M）
ChinaIndia
Secretos del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor
Descifrando un código secreto
¿Cómo es una caja de 1,000 cm3?
El juego de la velocidad
Suma y resta con números mixtos
Construyamos cubos y rellenémoslos
Construyamos la caja con capacidad máxima
¿Cuántas monedas hay? 6
8988
El promedio y la
aglomeración en relación
con el medio ambiente.
La siguiente tabla muestra la producción de bióxido de carbono por habitante
en diferentes países. ¿Qué conclusiones obtienes de esto?
2
6
1
3
5
3
4
5
Secretos del mínimo común múltiplo
y del máximo común divisor
① Anota tus conclusiones.
② A partir de tus conclusiones calcula el mínimo común múltiplo y el máximo
común divisor para las siguientes parejas de números.
•Encuentra el mínimo común múltiplo ⓒ y el máximo común divisor de los
números ⓐ y ⓑ como se muestra en el ejemplo.
(18, 27) (21, 28) (18, 32)
Descifrando un código secreto
•Relaciona el resultado de las siguientes sumas y restas con el código en las tarjetas.
Debes completar todos los cuadros para ver el mensaje.
•Guarda tu código secreto y pídele a tus compañeros que intenten descifrarlo.
1 ＋ ＝1
42
A
1 ＋ ＝1
32
C
1 ＋ ＝1
54
E
1 ＋ ＝1
64
G
1 － ＝1
63
B
1 － ＝1
43
D
1 － ＝1
65
F
1 － ＝1
86
H
A B C D E F G H
8
15
1
6 i
x
1
30
512 i
1
12
9
20 e1
24 o4
9 r 5
6 s
3
4
× Mínimo comúnmúltiplo
Máximocomún divisor
6 9 54 18 3
4 8
7 14
5 20
12 16
4 6
3 5
9 12
10 30
8 24
9 36
14 28
13 11
28 30
32 42
Código secreto
¡Este es el mensaje!
Secreto
Tarjetas de respuestas
r t m
9190
Probablemente
necesites una
columna extra.
Si me desplazo horas a Km por hora, la distancia recorrida es .
La velocidad al desplazarse Km en hora (s) es Km por hora.
El tiempo de recorrido cuando se desplaza Km a una velocidad
de Km por hora es horas.
¿Cómo es una caja de 1,000 cm3?
① Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
② Busca a tu alrededor cuerpos cuyo volumen sea aproximadamente 1,000 cm3 y
registra sus medidas en una tabla como la que se muestra a continuación.
Comparte tu tabla con tus compañeros.
•Observa a tu alrededor e identifica
cajas cuya capacidad sea aproxi-
madamente de 1,000 cm3.
El juego de la velocidad
③ Calcula la distancia que te mueves usando la velocidad por hora
y el tiempo que obtuviste al tirar los dados.
④ Marca la distancia que recorres sobre el tablero de juego.
Gana el primer jugador que llega a la meta en el Km 40.
•¡A jugar!
10 cm
10 cm10 cm
1,000 cm3
0 10 20 30
SalidaMeta
B
B
B
B
B
B
BB
B
B
B
B
B
B
B
❶ ❷
❸
(Redondea al décimo más cercano)
① Decidan quién inicia con “piedra-papel-tijera”
② El jugador lanza el dado cuatro veces.
Calcula la velocidad usando los dígitos de los primeros dos lanzamientos
(❶, ❷) y el tiempo de recorrido con los dígitos de los siguientes
lanzamientos (❸, ❹).
Reglas
9392
❹
Largo Ancho Alto VolumenNombre
Diccionario 19 cm 14 cm 4 cm 1064 cm3
●
●
▲
▲
cm
cmcm cm
cm
cmcm
cm
cmcm
cm
cm
cm
cm
cm
La idea de Yoshie ▼
Cambié las fracciones mixtas a
fracciones impropias:
Después hice el cálculo:
Por último reduje la respuesta a los términos más simples:
① Escribe una expresión matemática para obtener la respuesta.
② Piensa cómo realizar los cálculos.
1 Si almacenamos Kg de papel en una caja que pesa Kg,
¿cuál es el peso del papel y la caja juntos?
112 1
2
3
La idea de Hisashi ▼
Cambié las fracciones mixtas a
fracciones impropias:
Después calculé la suma:
Por último cambié a fracción mixta .
11＋1
2
2
3＝
2＋
3＝
6＋
6＝
6
11
2＝ ，
21
2
3＝
3
6 6＝
11－2
2
5
6＝
2－
6＝
6－
6＝
6
21
2＝ ，
21
5
6＝
6
6＝
2 Haz las siguientes sumas.
①
②
31＋1
8
1
2
21＋1
3
3
4
La idea de Masayo ▼
Sumé los números enteros y las
fracciones propias por separado.
11 ＝＋1
2
2
31
61＋
6
3 En casa de la familia Midori había un garrafón con litros de jugo naranja.
Durante la semana se consumió litros de jugo. ¿Cuánto jugo queda en el garrafón?
① Escribe una expresión matemática para encontrar el resultado.
② Piensa cómo hacer los cálculos.
21
2
15
6
La idea de Akira ▼
Hice las operaciones con números
enteros y las fracciones por separado.
por lo que expresé el 2 como 1+1 en la fracción:
Encontré que no puede restar de
11－2
2
5
6
5
6
3
6
31－2
6
5
6
31＝2
6
9
6
91 ＝－1
6
5
6
＝
4 Haz las siguientes restas.
①
②
31－2
4
1
6
11－3
3
3
4
6＝
6＝ 6
＝
9594
Intenta resolver las
operaciones que aún
no has logrado
hacer.
Marca con un ✔ las
operaciones que
puedes resolver.
Suma y resta con números mixtosSuma y resta con números mixtos
3 cm 7 cm
5 cm
Construyamos cubos y rellenémoslos
10 cm30 cm
10 cm
Apila prismas rectangulares del mismo
tamaño para construir un cubo.
¿Puedes hacerlo?
1 Apila bloques como los que se muestran a
continuación y construye un cubo.
① Completa la siguiente tabla con múltiplos del
largo, ancho y alto del bloque.
② Anota 3 múltiplos comunes del
largo, ancho y alto.
③ ¿Cuántos cm puede medir la arista más pequeña del cubo?
2 Construye un cubo usando los siguientes bloques.
¿Cuántos cmmide la arista del cubo más pequeño que se puede construir?
Este prisma rectangular está lleno de
cubos.
¿Puedes calcular qué tamaño deben tener los
cubos para rellenar por completo con ellos
cualquier prisma rectangular?
3 Vamos a llenar la caja que se
muestra a continuación con cubos,
sin dejar huecos.
¿Cuántos cm deben medir las
aristas del cubo?
① Encuentra los divisores del largo, ancho y alto de la caja.
② Anota todos los divisores comunes del largo, ancho y alto.
③ ¿Cuántos cm miden las aristas del cubo de mayor tamaño con el que
puedes rellenar la caja sin dejar huecos? ¿Cuántos cubos de este tamaño
se necesitan?
4 Intenta llenar con cubos los prismas rectangulares que se muestran a continuación
y encuentra el largo máximo que puede medir la arista de los cubos para rellenar cada
prisma sin dejar huecos. ¿Cuántos cubos de ese tamaño se necesitan?
Divisores de 12（ ）Divisores de 18（ ）Divisores de 6 （ ）
2 cm6 cm
4 cm
5 cm 7 cm
3 cm
12 cm 18 cm6 cm
24 cm 36 cm
12 cm
10 cm 30 cm10 cm
Alto (cm)
2 4Largo (cm)
6 12Ancho (cm)
4 8
② ③①
9796
Los múltiplos comunes
representan posibles longi-
tudes de los lados del cubo.
②①
El divisor común
determina la longitud de
las aristas del cubo.
Construyamos cubos y rellenémoslos
Construyamos la caja con capacidad máxima
① Si la altura de la caja es 3 cm, ¿cuántos cm mide de largo y ancho?
¿De cuantos cm3 es el volumen de la caja?
② Si varía el alto de la caja de 0.5 cm a 1 cm, 1.5 cm, 2 cm y
así sucesivamente; ¿cuánto cambia su largo, su ancho y su
volumen? Completa la siguiente tabla.
③ Expresa la relación entre la altura de la caja y su volumen
en un gráfico de líneas.
④ ¿Cuántos cm mide el alto de la caja cuando la gráfica muestra el mayor
volumen?
Alto (cm) 0.5 1 4.5 5
Volumen (cm3) 60.5 100
1.5 2 2.5 3 3.5 4
Largo (cm) 11 10 9 8
Ancho (cm) 11 10 9
150
100
50
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Volumen
Altura
Construye una caja sin tapa
a partir de un cuadrado cuyos
lados miden 12 cm.
Dibuja en una hoja de papel
los desarrollos planos que se
muestran en la siguiente figura
y arma dos cajas.
9998
¿Qué volumen se obtiene
cuando la altura es 1.99
cm y 2.01 cm?
Construyamos la caja con capacidad máxima
(cm2)
(cm)
¿Cuántas monedas hay?
El número de monedas en cada
celda de la tabla de multiplicar es
igual al resultado de la multiplicación
a que corresponde.
¿Cuál es el número total de monedas?
La idea de Koichi ▼
Total del renglón del 1: 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
Total del renglón del 2: 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝90
Total del renglón del 3: 3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＝135
Noté que la suma total de cada renglón es múltiplo de 45 .Tenemos 45 grupos de
45 monedas del renglón del 1 al del 9, entonces tenemos 45x45＝2,025 monedas.
La idea de Masumi▼
La media aritmética del renglón del 1 es:
(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)÷9＝5
Por lo anterior podemos reemplazar la respuesta con el valor de la media
aritmética, como se observa en la tabla de multiplicación del ①. Después podemos
calcular la media aritmética para las otras columnas como sigue:
(5＋10＋15＋20＋25＋30＋35＋40＋45)÷9＝25
El resultado de la media aritmética para todos los productos de la tabla de
multiplicación es 25, como se indica en la tabla ②. Como hay 81 grupos de 25
monedas, la respuesta es 25x81=2,025
Intenta calcular el número de monedas
con otras estrategias.
………
Respuestas en la tabla de multiplicar
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
5 5 5 5 5 5 5 5 510 10 10 10 10 10 10 10 1015 15 15 15 15 15 15 15 1520 20 20 20 20 20 20 20 2025 25 25 25 25 25 25 25 2530 30 30 30 30 30 30 30 3035 35 35 35 35 35 35 35 3540 40 40 40 40 40 40 40 4045 45 45 45 45 45 45 45 45
25 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
Yo quiero
intentar con
grupos de 9
números
como éstos.
① Media del número de monedas para cada renglón. ② Media del número de monedas para todos los renglones.
101100
¿Eso significa que necesito
sumar todos los productos que
muestra la tabla de multiplicar?
Podemos encontrar la
respuesta si sumamos
1＋2＋3＋4＋5＋…
¡Eso toma mucho
tiempo!
¿Hay una forma
más fácil?
¿Cuántas monedas hay?
103102
①
( , )
( , )
①
③
②
③
3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48
7，14，21，28，35，42，49
1，2，4，7，14，28
1，2，4，8，16，32
1，2，4
504cm3
64m3
400000cm3，0.4m3
216cm3
729cm3
10.8cm3
Múltiplos comunes…6，12，18
cara
cara
prisma triangular
área
arista vértice
rectángulo 12 8
Mínimo común múltiplo…6
Múltiplos comunes…40，80，120
Mínimo común múltiplo…40
Múltiplos comunes…15，30，45
Mínimo común múltiplo…15
21，42
①
Divisores comunes…1，2，3，6
， ，
Máximo común divisor…6
Divisores comunes…1，2
Máximo común divisor…2
Divisores comunes…1，2
Máximo común divisor…2
Fracciones grandes
①
②
②
②
③
Múltiplos comunes…36，72，108
Mínimo común múltiplo…36
Múltiplos comunes…15，30，45
Mínimo común múltiplo…15
Múltiplos comunes…77，154，231
Mínimo común múltiplo…77
①
②
①
②
③
①②
③12，8③
②
② ③①
rectángulo, cuadrado
cubo con 4cm aristas…6 de
prisma rectangular con 2cm，4cm y
6cm aristas…2 de ，2 de ， 2 de
prisma rectangular con 2cm，4cm y
4cm aristas…2 de ，4 de
prisma rectangular con 4cm，4cm y
6cm aristas…2 de ，4 de
①
②①②①
④⑤⑥
，
① 23
34
12
34
23
34
23
76
49
46
，12
28
69
24 ，3
6 ，48
② ③
⑤
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
④
① ② ③ ④
23
35
49
69
34
23
12
54
⑤
① ② ③
①
②
③
④
① ② ③ ④
③ ④
1528
4135
1312
1118
124
1128
1112
3120
518
512
6
① ② ③
④ ⑤ ⑥
①
②
La cinta de Hiroko es mayor por m.
m
rectángulo
…Cara perpendicular
， ， ，cara paralela…
aristas paralelas…DC，HG，EF
aristas perpendiculares…
AD，BC，AE，BF
el segundo tipo
6.8 latas
rectángulo
rectángulo
l，dl (ml)
Kg, g
( , )
96cm3
336cm3
8cm3
540cm3
2.4 Kg
②①
800 m por minuto
3,200 m②①
④③
Respuestas Respuestas
Página 16 Página 36
Página 49
Página 52
Página 86
Páginas 68~69
Página 63
Página 22
Página 33
120
3556
2560
1621
1656
2860
2720
215
118
45 alumnos
Divisor común…1
Máximo común divisor…1
③
Divisores comunes…1，2，7，14
Máximo común divisor…14
②
Divisores comunes…1，3
Máximo común divisor…3
①
1
2
3
1
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
3
9
7
104
104
04 ･･････････････････････(2) osapeR
92
98
95
93
97
94
11 443･･･Variación proporcional directa Proporcionalidad directa 446･･
････････ ･･
･･･････ ･･
Gráficas de proporcionalidad directa ･･52 Aplicaciones de la proporcionalidad directa ･･55 Pronósticos del clima global ･･･58
1
2
3
7 Multiplicación y división con fracciones (1) ･････2
3 ･･･ ･･･6 Tiempo, hora y fracciones ･････12･･･
1
2
10 Razones y proporciones ･･･････31 Razones
Operaciones con “fracción x números enteros” Operaciones con “fracción ÷ números enteros”
31 ･････････････････････････････････ Razones equivalentes ････
Cálculo de longitudes reales usando proporciones ･･39
Valora lo que usas en la escuela ･･････59
Resumen ････････････････････6312
･････71
Multiplicación y división con
números decimales.
5º grado
5º grado
4º grado
Cantidades que cambian juntas
8 Multiplicación y división con fracciones (2) ･･13 ･････13 ･････17･･･
････ Otras expresiones matemáticas ･･････20 Propiedades de las operaciones ･･････････23
･････････････････････ Problemas
1
2
3
Razones y “número de veces” ･･･ 26
9 Área aproximada ･････････････29Área
4º grado
1
2
Múltiplos y divisores
Estimación de productos y cocientes
Fracciones
1
2
3
Tipos de sólidos
Volumen
Medición con otro tipo de unidad
4
5
6
Around
6 grado vol. 2 Estructura del contenido 6o grado vol.1
Tamaño y medida
Cómo Cambian
Cálculo de múltiplos（decimales）
･･･24
El mundo de las maravillas matemáticas
o
¡Estudiemos temas que te interesarán!Números y sus operaciones
33
Cálculos del tipo “fracción x fracción”Cálculos de “fracción ÷ fracción”
1 1
1
1
0 1 2 3
3Pintura
m
mmm
d
32
1 dl de pintura alcanza para
pintar una superficie de m2
de esta cerca.
¿Para cuántos m2 de cerca
alcanzan 3 dl de pintura?
1 Operaciones con “fracciones x números enteros”
③ Piensa cómo obtener la respuesta.
② Escribe una expresión matemática
para calcular el área.
① Ilumina el área en la siguiente ilustración.1
1
0 152 2
1
m
m
m
Pintura
Área pintada con 1 dl de pintura
Cantidad de pintura (dl)
1
�
Números decimales Fracciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Números enteros
Anota en la siguiente tabla los aspectos más importantes que recuerdes sobre los
números y sus operaciones.
Multiplicación y división con fracciones (1)
Piensa en situaciones donde puedas usar la multiplicación de
fracciones y cómo calcular la respuesta.
¿Qué nos falta
por aprender?
Una fracción unitaria tiene un 1 en el numerador.
En segundo grado
estudiamos la tabla
de multiplicar.
En cuarto grado
aprendimos a sumar
y restar con
números decimales.
En primer grado
estudiamos
la suma y la resta.
En tercer grado
estudiamos
la división.
En quinto grado
aprendimos a sumar y
restar con fracciones.
Para los números decimales vemos cuántas
veces cabe 0.1 en un número entero.
También podemos encontrar cuántas veces
debemos tomar una fracción unitaria para
formar una fracción.
A mi me gustaría
cambiar las
divisiones por
fracciones.
25
1m 1m 1m
1m
(dl)
(dl)
4 5
Para multiplicar una fracción propia por un número
entero, multiplicamos el numerador por el número entero y
dejamos el denominador como está.
2 1
La idea de Yoshiko ▼
m2 es dos veces m2.
�3 es tres veces m2.
Por lo tanto �3 son
(2 � 3) veces . （2×3）grupos de m
1m
1m1m1m
15
2
2 �3＝5
＝2�3
5
La idea de Hiroshi ▼
Si expresamos la fracción como una división
tenemos: ＝ 2÷5.
＝ (2÷5)�3
＝(2�3)÷5
Si expresamos esta división como fracción
tenemos:
2
52 �35
2 �3＝5＝2�3
5
Si utilizamos la misma pintura de la sección , ¿cuántos m2 de
cerca se pueden pintar con 4 dl?
1 1 1
1
1
0 1 2 3
4
4
Pintura
d
▲�█＝▲�█��
Observa los métodos y para calcular3
Es más sencillo si simplificas la fracción antes de realizar la multiplicación.
Para una actividad necesitamos cuatro trozos de cinta de m de largo.
¿Cuánta cinta necesitamos?
4
0
0
1 4 (trozos de cinta)
（C）Longitud
Trozos de Cinta
75
① ② ③ ④2 �25
5 �43
3 �28
7 �46
2 �39
7
5
6
93
2
2�3
9
2
9 �3＝
＝
＝
2�3
9
2
9 �3＝
＝
1
3
Si el numerador fuera 10
en lugar de 2, tenemos que:
(10÷5)�3＝6,
(10�3)÷5＝6,
Por lo tanto, pueden inter-
cambiarse las operaciones
÷5 y �3
1
5
2
5
1
52
52
52
5
1 m 1 m 1 m 1 m
(m)
1 m
(dl)
76
2 Operaciones con “fracción÷número entero”
2 dl de pintura alcanzan para pintar m2 de
barda. ¿Cuántos m2 pueden pintarse con 1 dl
de pintura?
② ¿Cuántos m2 pueden pintarse con 1 dl de
pintura? Ilumina en la siguiente figura el área
correspondiente para encontrar la respuesta.
1 5
6
Hay 5 secciones de
m2.
La mitad de es .....
1
61
6
1
1
0 2
2Pintura
m
m
1
1
0 21
21 Pintura
Pintura
dd
m
m
Se requieren 3 dl de pintura para pintar
m2 de esta cerca.
¿Cuántos m2 pueden pintarse con 1 dl
de pintura?
① Escribe una expresión matemática
para calcular el área.
② ¿Cuántos m2 de barda pueden pintarse
con un dl de pintura?
Ilumina los espacios en la siguiente figura
para obtener la respuesta.
③ Piensa cómo hacer los cálculos para obtener el área.
2
5
61
1
0 31 2
3Pintura
m
m
d
1
0 321
1
3Pintura
Pintura
m
m1
d
d
Piensa en situaciones en las que se dividen fracciones entre números
enteros y en cómo realizar el cálculo.
① Escribe una expresión matemática para
este problema.
Área pintada Pintura (dl)
÷
En la figura puedes ver cuántas fraccionesunitarias hay. Puedes hacer los cálculos aplicando
las propiedades de la división para
transformarla en una operación con
números enteros.
Podemos obtener la respuestacon el método que utilizamospara la multiplicación confracciones.
(dl)
(dl)
(dl)
98
10
2814
5
10
7�4
10
7 ÷4＝
＝
＝
10
7�4
10
7 ÷4＝
＝
5
2
La idea de Mayumi ▼
El área de un es m2.
El área que se puede pintar con 1 dl de
pintura es cinco veces de m2.
16×3
5 veces
0 1 2 3
1
1
m
m
m2
5 ÷3＝6
＝
1
6�3
1
6�3
5
6�3
La idea de Yoshiko ▼
Yo usé la propiedad de la división que dice: “el resultado es el mismo si
multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número”.
( )÷(3�6)
＝5÷(3�6)
＝5÷(6�3)
5 ÷3＝6
5�66
5 ÷3＝6 ＝5
6�3
La idea de Jiro ▼
Yo utilicé el mismo método que uso con la multiplicación:
Después multipliqué el numerador y el denominador por 3 para poder
dividir el numerador entre 3.
5 ÷3＝6
5÷3
6
5 ÷3＝6
5�3
6�3 ＝5�3÷3
6�3÷3＝ ＝ 5
6�3
¿Cuántos l de jugo de naranja recibirán
5 alumnos si se reparten equitativamente
l de jugo?
3
Para dividir una fracción propia entre un número entero,
se multiplica el numerador por el número entero, el denominador
se deja como está.
Compara los procedimientos y para calcular ( )÷4.4
① ② ③ ④1 ÷42
3 ÷24
5 ÷46
7 ÷58
⑤ ⑥ ⑦ ⑧2 ÷23
6 ÷37
7 ÷34
8 ÷43
0 1 5 （alumnos）
O34
3
4
▲÷█＝ ▲��█�
El procedimiento es más sencillo si simplificas la fracción antes
de hacer el cálculo.
10
7
Luego expresé esto como
una fracción:
(dl)
Realiza las siguientes multiplicaciones.
Repasemos cómo hacer cálculos de la forma “fracción x número entero”.
página 5
2 �3＝7
＝
�
① ② ③ ④2 �55
7 �69
5 �86
7 �124
⑤ ⑥ ⑦ ⑧�33 �287
�7 �100
Si una persona bebe l de leche al día,
¿cuántos l consumirá en 3 días?
Repasemos cómo hacer cálculos de la forma “fracción ÷ número entero”.
5 ÷3＝7
＝
�
Realiza las siguientes divisiones.
① ② ③ ④5 ÷46
4 ÷27
3 ÷38
5 ÷38
⑤ ⑥ ⑦ ⑧÷62 ÷75
3 ÷22
÷10
Necesitamos repartir equitativamente l de leche en tres
botellas, ¿qué cantidad de leche debemos poner en cada botella?
páginas 3-5
página 5
páginas 7-9
página 9
página 9
Encuentra los errores que se cometieron en las siguientes operaciones,
corrígelos y obtén el resultado correcto.
2 �10＝5
＝2
5�10
1
25
7 ÷4＝8
＝7�4
8
7
2
1
5
2
1
• Entender el método de cálculo.
Realiza las siguientes operaciones.
① ② ③
④
1 �56
5 �68
7 �126
4 ÷39
⑤ ⑥12 ÷413
10 ÷69
• Calcular “fracción x número entero” y “fracción ÷ número entero”
¿Cuántos metros de listón recibirán 5 alumnos si repartes equitativamente
m de listón?
Kenta camina a una velocidad de Km por hora, ¿cuántos kilómetros recorre
en tres horas?
Inventa un problema que se pueda resolver con cada una de las
siguientes operaciones.
5
①
②
3 �45
• Escribir una expresión con fracciones.
• Calcular la velocidad de un móvil usando fracciones.
• Redactar un problema a partir de una operación dada.
5
6
7
6
5
12
9
14
3
10
3
10
10
7
7
10
11
6
①
■ Ir a la página 12 ■ Ir a la página 92
② 3 ÷74
1110
1
2
3
4
5
6
4
3
2
1
① Observa cómo resolvieron otros alumnos el
problema.
Akira: de una hora
Simplifica: de una hora
Yoko: de una hora
Simplifica: de una hora
Kenji : de una hora
1
3
1
3
1
3
1 Cálculos del tipo “fracción x fracción”
1 dl de pintura alcanza para pintar una
superficie de m2.
① ¿Cuántos m2 podemos pintar con
dl de pintura? Construye una expresión
para resolver este problema y verifica tu
respuesta usando la ilustración de la derecha.
③ Ilumina en la imagen de la derecha el área
que puede pintarse con de decilitro de
esta pintura.
④ Piensa cómo obtener el área que puede pintarse con dl de pintura.
② ¿Para cuántos m2 alcanzarán dl de
pintura? Construye una expresión para
calcular el área.
1
4
5
1
3
1
1
0 1
54 2
1Pintura
m
mm
d
2
3
2
3
2
3
20
60
4
12
• ¿Cuántas horas son 20 minutos?
Expresa tu respuesta usando una fracción.
• Pensemos en las unidades de tiempo:
① ¿Cuántos segundos son de un minuto?
31
32
1
1
0 1
1Pintura
d
m
m
31
32
1
1
0 1
1Pintura
d
m
m
Multiplicación y división con fracciones (2)
1312
Piensa en otras situaciones donde necesites usar la multiplicación
de fracciones.
3 � ＝4
(segundos)
3
4
10 minutos ＝ hora 25 segundos ＝ minuto
minuto ＝ segundos
② ¿Qué fracción de una hora son 15 minutos?
15÷ ＝ ＝ (hora)
③ Anota los números correctos en el .
4
5
1hora＝60 minutos1minuto＝60 segundos¿correcto?
Este es un problema de
multiplicación, pero la cantidad
de pintura es una fracción.
Tiempo, hora
y fracciones
(dl)
(dl)
(dl)
Hora Minuto Segundo
1 m
1 m
1 m
1 m
1 m
1 m
1514
La idea de Mami▼
El área que podemos cubrir con dl de pintura
es ( )÷3 m2 y dl es dos veces dl.
Entonces tenemos:
0
0
1
área pintada
Cantidad de Pintura2
2
3
3
45
13
23
(m2)
(d )
4 ÷3�2＝5
＝
＝
1
3
1
3
4
5�3
La idea de Yumi ▼
Dividí en partes iguales 1 m2, horizontalmente en 5 partes y verticalmente
en 3 partes. Así observé que el área de cada sección es
m2
Como hay (4�2) veces m2
el área es
La idea de Kenji ▼
Yo transformé la fracción en un
número entero, como lo hice antes para
calcular con números decimales.
4
5 ＝
4
52
3
�2
4�2
5�3
1
5�3
1
5�34�2
5�3 2＝
＝
4�2
5�33
4
5�
� 2
3
�5 �3 ÷15
4 � 2 ＝ 8
Si utilizas la misma pintura
que en la sección , ¿para
cuantos m2 alcanzan dl?
① Construye una expresión
para calcular el área.
② Colorea la figura.
③ Haz los cálculos.
2
4
3
0
0
1
Peso
Longitud
415
56
Cuando se multiplica una fracción por otra fracción,
multiplicamos los numeradores
y los denominadores.＝▲�●� ■■
▲
●�
Si un metro de una viga de fierro pesa Kg, ¿cuánto pesa una
sección de m de esa viga?
3
34
1
0 1 2
1
1
34Pintura
m m
m
＝
4
15�6
�55� ＝6
4
15�6
�5＝
① ② ③ ④1
2
3
4� 3
8
3
5� 5
3
5
4� 3
2�
4
155
6
4
15
14
9
El cálculo se facilita
si simplificas las
fracciones.
1
(dl)
(Kg)
(m)
（4×2）grupos de
m
1m
1m
15 3
2
1716
Piensa cómo hacer los siguientes cálculos.4
Si expresas los números enteros como fracciones, puedes hacer estas
operaciones como “fracción x fracción”.
3＝52� 2 � 3
5
＝
4 ＝5�3
3�45
＝
Calcula el área del siguiente paralelogramo.5
23
34
m
m
① ② ③ ④35�
7
53�
6
14�
2
5 �28
Una parcela produce Kg de arroz por m2. ¿Cuántos
Kg de arroz pueden obtenerse de una parcela que mide m2?
2
3
8
95
2
Realiza las siguientes operaciones.
① ② ③
④
5�6
⑤ ⑥54�
6
3 �84
2
3
6�7
4�7
7
9
2�3
9
4
2 Cálculo de “fracción ÷ fracción”
Con dl de pintura pintamos m2 de
una cerca. ¿Cuántos m2 podremos pintar
con un decilitro?
1
① Construye una expresión matemática
para obtener la respuesta.
② ¿Cuántos m2 de esa cerca pueden pintarse
con 1 dl de pintura? Verifica tu respuesta
iluminando en la siguiente figura.
③ Pensemos cómo obtener la respuesta.
52 2
43
1
1
0 1
1Pintura
d
m
m
m
2
5
3
4
Pensemos cómo dividir una fracción entre otra fracción.
① ②
14
3
Realiza las siguientes multiplicaciones.1
Calcula el área de un cuadrado cuyos lados miden m.2
43
41
1
0 142
11PinturaPintura
d d
m
páginas 15-16
páginas 15-16
Yo obtendré la respuesta aplicando
las propiedades de la división
y transformando las fracciones
en números enteros.
Primero calculemos cuántos m2
podemos pintar con dl. Sólo
nos faltaría multiplicar ese
número por 4.
1
4
Yo contaré las fracciones
unitarias en la figura.
¿Es una división aunque la
cantidad de pintura sea
una fracción?
(dl)
(dl)
1
2
1918
La idea de Mayumi ▼
El área que puede pintarse con dl
de pintura es �3 (m2)
0
0
1
Área pintada
Cantidad de pintura
4
4
3
314
34
25
＝
1
4
2
5�3
La idea de Yuuta ▼
Dividí horizontalmente 1 m2 en 3 partes iguales y luego lo dividí verticalmente
en 5 partes iguales.
Así, el área de cada es m2
Por lo tanto, el área que puede pintarse
con 1 dl es m2
�4
2�4
5�3
（2×4）veces de
m
1m
1m
0 1
15 3 1
434
24
2
1
5�3
1
5�3
2�4
5�3
3 ＝
＝ .
1
5�34
2
5�
2
5
2 �3�45
� 3
4＝
＝
＝
�(2�4)
＝
La idea de Yoshiko ▼
Podemos hacer esta división si multiplicamos el divisor y el dividendo por
el mismo número.
( ) ( )＝(2�4)�(3�5)
2
5
2 �205
� 3
4＝ � 3 �20
4
2�4
3�5＝ 2�4
5�3＝ ＝
Observa que para dividir una fracción entre otra, puedes
intercambiar el numerador y el denominador de una de ellas
y luego multiplicas las fracciones. ＝▲�█
��█▲��
Piensa cómo hacer las siguientes operaciones.2
12 ＝ 8�3�5
83
�
＝
2
＝ 3�1�
53�
＝
25
31
�＝
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
1
3
1
4�
4
9
16
7�
3
4
2
7�
2
3
4
3� 3
54�
7
8
2
3�
2
38�
7
4
3
5�
Por esto, el área que podemos pintar con
1 dl de pintura es �3�4 (m2).
2
5
① ②
2
5
El cálculo es más
sencillo si simplificas
las fracciones.
Es el mismo
método que para
“fracción ÷ fracción”
(dl)
(dl)
(m2)
2120
Otras expresiones matemáticas
Una viga de fierro que mide m pesa Kg. ¿Cuánto pesa un metro
de esa viga?
1
0
0
1
Peso Longitud
34
95 (Kg)
(m)
Para pintar los muros del pasillo utilizamos dl por m2 . ¿Cuántos
decilitros necesitamos para pintar m2 de otro muro?
① ¿Qué datos tenemos?
② Escribe en los de la figura los datos que tienes.
③ ¿Qué operación puedes usar para obtener la respuesta?
2
Cantidad total Cantidad por unidad
Nuestra viga
0
0Cantidad de pintura
Área1
53
Cantidad total
0
0DistanciaTiempo
（D）
（hora）1
Cantidad totalCantidad por hora
Nos tomó de hora recorrer 60 Km en auto.
Calcula la velocidad a que íbamos (Km por hora).
3
4 Akira inventó el siguiente problema.
① Resuelve el problema que inventó Akira.
② A partir del problema de Akira, Hiroko inventó otro problema.
Resuélvelo.
③ Inventa otros problemas de multiplicación y división cambiando los
números y las palabras en los de arriba.
34
95
52
53
43
Cantidad por unidad
Cuánto más
Si usamos 2 dl de pintura para cubrir
1 m2, ¿cuántos dl necesitamos para
pintar 3 m2?
Cuánto
Si nos tomara
2 horas recorrer
60 km…
Si usamos de litro de agua para irrigar un jardín de 1 m2,
necesitaremos litros para regar un jardín de m2.
Escribe el número que falta en el .
67
23
Si usamos de litro de agua para irrigar un jardín de 1 m2, con
l podemos regar un jardín de m2.
Escribe en el el número que falta.
67
47
Si 2 m de viga pesan
6 Kg, entonces 1 m
de viga pesa …
(dl)
(m2)
(Km)
(hora)
3
En quinto grado estudiamos las siguientes propiedades de las operaciones.
Ahora vamos a ver cómo aplicarlas en los cálculos con fracciones.
1
2322
23
12
67
m
m
m
Realiza las siguientes multiplicaciones.
Recordemos cómo multiplicar dos fracciones.
páginas 13-15
páginas 15-16
Una barra de fierro de un metro de largo pesa Kg.
¿Cuántos Kg pesan de metro de esa barra?
7
4página 15
Recordemos cómo dividir una fracción entre otra.
Resuelve las siguientes divisiones.
Compramos de metro de cinta en 68 yenes.
¿Cuánto cuesta un metro de esta cinta?
64
5
páginas 17-19
páginas 20-21
página 19
Propiedades de las operaciones
① Calcula el volumen del prisma rectangular
que se muestra a continuación.
La propiedad también puede usarse para operar con fracciones.
Eso significa que podemos simplificar las
fracciones para facilitar cálculos como éste:
② Sustituye las figuras por los valores numéricos que se indican:
▉＝ ,▲＝ y �＝ . Haz las operaciones que resultan y
verifica que puedes usar las reglas , y .
El método de Hiroshi ▼
( )1 � � ＝
＝
�2
6
7
2
3
2
7
2
3
1�6
2�7
＝
＝
3�2
7�3
3 �7
2
3
3
1
1
1
El método de Yuko ▼
( )1 � � ＝
＝
�2
6
7
2
3
2
7
1
2
6�2
7�3
＝
＝
1�4
2�7
1 �2
4
7
2
1
2
1
12
23
27
1�6�2
2�7�3
67
� ＝ ＝�2 1
1 1
23
34
67
2 � ＝
＝
�
�3
7
4
3 � ＝
＝
�
�4
5
9
① ② ③ ④ 4 �
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 12�
1 �4
1
3
2 � � �3
3
5
� 3
7
2
5
2
7
5
6
5 �6
5
9
7
10
5
14
5
14
11
12
9
20
① ② ③ ④ 12�
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
5 �6
2
5
3 � � � �5
� 1
6
3
4
7
8
2
�
3
4
9
3
5
5
6
2
3
9
10
4
15
9
10
5
14
█�▲＝▲�█(█�▲)��＝█�(▲��)
(█＋▲)��＝█��＋▲��(█－▲)��＝█��－▲��
5
4
3
2
1
2524
Septiembre 10 Septiembre 13
Encestados 7 6
Intentos 14 10
① ② ③ ④ 15�
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 8�
Realiza las siguientes operaciones.
En una parcela se pueden cosechar Kg de arroz por metro cuadrado.
¿Cuántos Kg de arroz podemos obtener de una parcela de m2?
7 �8
4
5
1 � � �3
1
4
� 2
3
7
9
5 �8
5
6
4
75
8
Una jardinera rectangular tiene un área de
m2 y mide m de largo, ¿cuántos metros
mide de ancho?
7
83
4
Calcula el área de la jardinera triangular que
se muestra a la derecha.
C
• Escribe en el números del 2 al 9 para construir las operaciones que se indican a continuación.
Hagamos varios problemas para calcular
① Operaciones cuyo resultado sea 1
② Operaciones cuyo resultado sea 2
C
C
�
9
14
5
12
4
15
10
13
4
15
12
13
• Multiplicar y dividir con fracciones.
• Construir expresiones matemáticas donde se usen fracciones.
• Aplicar la fórmula para el área usando fracciones.
• Realizar cálculos con números enteros y fracciones.
■ Ir a la página 93
La siguiente figura muestra un arreglo
que se hizo con canicas.
① Encuentra la razón entre el número de
canicas negras y el total de las canicas.
Razón
En la siguiente tabla se muestra el número
de intentos que hizo Kazuco para encestar el
balón. ¿Cuándo logró su mejor resultado?,
¿el 10 o el 13 de septiembre?
2
Cantidad a comparar
� ＝
② Encuentra la razón entre el número de canicas blancas y el total de las canicas.
Septiembre 10
Septiembre 13
� ＝
� ＝
� ＝
El número de canicas negras es la
“cantidad a comparar” y el número total de
canicas es la “cantidad de referencia”
Compara los resultados calculando la razón del
número de intentos en cada día.
Problemas que involucran fracciones
Cantidad de referencia
1
2m
4
5m
3
4m
1
2
3
4
■ Ir abajo
1
■ Ir a la página 95
2726
Razones y fracciones
En una práctica de beisbol, Yukiko y sus amigas
compararon la distancia a la que pueden lanzar
una pelota. La distancia promedio fue 18 metros.
① La distancia que logró Yukiko fue 24 metros. ¿Cuántas veces es esta
distancia comparada con el promedio? ¿Cómo podemos expresar esto
mediante una fracción?
2
② Hiroko logró una distancia de 15 metros. ¿Qué parte del promedio
es 15 metros?
24 18
Una razón puede expresarse mediante una fracción.
0 1
Promedio
Lanzamientode YukikoProporción
（# de veces）
0 1 (# de veces）
PromedioLanzamientode Hiroko
Razón
① 15 m es veces 9 m ② 35 Kg es veces 42 Kg.
Escribe en los las fracciones que faltan.
� ＝
Observa la longitud de estos puentes. 1
① ¿Cuántas veces es más largo el puente Sakura que el puente Nakagawa?
② Calcula la razón entre las longitudes del puente Nakagawa y del
puente Sakura.
20C
50C
0 1 2 3（múltiplo）
Puente Nakagawa
Puente Sakura
Cuando comparamos dos cantidades, algunas veces tomamos a una de
ellas como “cantidad de referencia”. En ese caso estamos calculando la
razón entre esas cantidades. Cuando esta razón es mayor que 1, la razón
nos indica cuántas veces una cantidad es mayor que la otra.
0 0.5 1 (múltiplo）
20C
50C
Puente Nakagawa
Puente Sakura
Razón
50 20� ＝
Razones y “número de veces” Razones y “número de veces”
Cantidad a comparar
20m
18 m
18 m
15 m
24 m
20 m
50m
50 m
Cantidad de referencia
Númerode veces
Cantidad a comparar
Cantidad de referencia
Númerode veces
2928
1
Calcula el área de las hojas de
distintas plantas utilizando el
método que usaste en .
2
1
1cm1cm
Takeshi y sus amigos también lanzaron pelotas de beisbol obteniendo una
distancia promedio de 30 metros. La distancia que logró Takeshi fue veces
la distancia promedio. ¿De cuántos metros fue el lanzamiento de Takeshi?
3
El profesor lanzó la pelota a una distancia de 56 metros. El lanzamiento fue veces
la distancia promedio entre todos los profesores. ¿Cuántos metros fue el promedio?
4
Escribe una expresión matemática para obtener la distancia promedio.
7
6
76 ＝56
＝56
�
76
�
Razón
� ＝
① veces 5 Kg es Kg. ② veces Kg es 50 Kg.
Escribe en los los números que faltan. .
Distancia
(m)30 6 ?
Razón
(# de veces) ( )5
5
1
5
7
5
Distancia
(m)? 8 56
Razón
(# de veces)
1
6
7
6
6
5
5
6
1
( )6
61
① ¿Cuántas unidades cuadradas
contiene el área marcada?
Calcula la superficie del terreno
considerando que el área de
cada una de las unidades
cuadradas es 100 m2.
② Calcula el área del terreno
aproximando su superficie con
la de un triángulo.
¿Cuál es el área del terreno
bordeado por el río? Analiza
la figura.
10
10m
m
50
40 m
m
Cantidad a comparar
75
Área aproximada
30 m
56 m
m
m
Cantidad de referencia
0 1
Promediolanzamientode Takeshi
Razón（# de veces）1
575
0 1
PromedioLanzamientodel ProfesorProporción
16 （ # de veces）7
6
3130
A continuación se muestran unas tarjetas de forma rectangular.1
Razones
① Mide el largo y ancho de cada una de las tarjetas.
Calculemos el área de lagos y otras superficies como las que vemos
en los mapas.
3
③ Calcula el área de otros lagos de la localidad en la que vives utilizando
un mapa.
② Ahora, considera que el lago Ikeda tiene forma circular y calcula el
área aproximada. Después considéralo como un trapezoide y calcula
nuevamente la superficie.
¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área real?
① La fotografía es del lago Ikeda, en la ciudad de Ibusuki, ubicada en la
Prefectura de Kagoshima. Calcula el área del lago con el método que
aplicaste en el inciso ① de la sección .
Busca el área del lago en una enciclopedia o en Internet y
compárala con tu resultado.
1
1Km
Km
2 Km3
2
Km
Km
Km
5
1
Razones y proporciones
Los peces en
y parecen
iguales.
1
32 33
largo 2 cm, ancho 3 cm.
largo cm, ancho cm.
largo cm, ancho cm.
largo cm, ancho cm.
largo cm, ancho cm.
La razón entre el largo y ancho se expresa .
se lee “dos tercios”, “dos entre 3” o “dos es a tres”.
Si una razón es equivalente a otra, por ejemplo , esta
equivalencia se expresa como = .
Esta expresión se lee “2 es a 3 como 4 es a 6”. A esta
igualdad se le llama proporción.
① ②
En cada uno de los siguientes incisos se muestran sustancias que se mezclarán.
2 Razones equivalentes
Observa las medidas del siguiente
rectángulo.
① Escribe la razón entre el largo y el
ancho de ese rectángulo.
1
② ¿Cómo expresamos la razón entre el largo y el ancho de los lados de un rectángulo?
③ Expresa la razón entre el largo y el ancho de cada uno de los rectángulos.
Si encuentras dos razones equivalentes exprésalas como una proporción.
¿Qué notas en las imágenes de las tarjetas cuyas razones entre sus lados
son equivalentes?
agua 80P salsa 40P 10P 15P
Vinagre aceite salado
② El largo y el ancho del rectángulo se
han dividido en partes iguales. Escribe
la razón entre el largo y el ancho con-
siderando como unidad el número de
partes iguales.
ⓐ Ahora dividamos el largo y el ancho en segmentos de 2 cm.
Largo: 4 segmentos Ancho: … secciones.
La razón entre el largo y el ancho es:
ⓑ Ahora dividamos el largo y el
ancho en segmentos de 4 cm.
La razón entre el largo y el ancho es:
es a
Largo: 2 partes Ancho: partes.Añadimos 4 vasos de agua a un recipiente que contiene una bebida concentrada de
ácido láctico. Expresa la razón entre la cantidad de agua vertida y la del ácido láctico.
2
agua bebida concentradade ácido láctico
B
B
¡Las tres razones anteriores son equivalentes porque se
trata del mismo rectángulo!
En este caso la proporción es: =
4partes
partes
partes
2partes
23
23 4
623
46
Agua 80 ml Salsa 40 ml 10 ml 15 ml
8
4
812
46
12 cm
8 cm
3534
Observa los rectángulos , y .2
BBB
B
B
B
Una razón a / b no se altera si multiplicamos a y b por el
mismo número o si los dividimos entre el mismo número.
¿Cuántos ml de agua y de jugo concentrado necesitamos para preparar
una bebida para 3 alumnos? Considera que una
porción individual se prepara con 120 ml de
agua y 30 ml de jugo concentrado.
3
para un alumno
para dos alumnos
para tres alumnos
Para preparar 4 pastelillos se necesitan 200 gramos de harina y 150
gramos de leche. ¿Cuántos gramos de harina y de leche son necesarios
para preparar 2 pastelillos?
4
para 4 pastelillos
para 2 pastelillos
①
③
②
④
Escribe los números que faltan en los .1
Dibujamos un rectángulo en el que la razón entre largo y ancho es . Si dibujamos otro
rectángulo cuyo largo mide 12 cm, ¿cuántos cm debe medir de ancho?
2
② Dado que las razones en y son iguales, podemos afirmar que:
Afirmamos esto porque:
�
① Encuentra la razón entre el largo y el ancho en cada uno de los rectángulos.
③ Dado que las razones entre el largo y el ancho en y son iguales,
podemos afirmar que:
Encuentra cuáles de las siguientes razones son equivalentes a .
① ② ③ ④ ⑤
Construye tres razones equivalentes a .
1
2
Para conservar el sabor
en los pastelillos es
necesario usar la misma
razón entre los ingredientes,
¿de acuerdo?
Para preparar
bebidas iguales, las
razones deben ser
equivalentes.
3 cm
2 cm4 cm
8 cm
6 cm 12 cm
6
2
46
23
＝
23
812
＝
46
23 2
346
＝
＝＝(3 x )
(2 x )
�
23
812
＝
＝(12� )
�8
1223
＝
�
( 8 � )
31
69
63
62
13
1310
93
�12030
＝
�
�200150
＝
＝
�
23
12
3＝4 100
5
＝12 35
＝45
20
3736
C
C
2
1
Calculemos la altura de un árbol a partir de la longitud de su sombra.
① En el triángulo ABC, elegimos el punto E sobre el lado BC y trazamos
el triángulo rectángulo BDE. Completa las siguientes razones y verifica
si son equivalentes midiendo la longitud de los segmentos.
5
Usa los datos del problema del inciso ② para calcular la altura de un árbol que
proyecta una sombra de 15 m de largo.
Obtén las siguientes razones.
Encuentra tres razones equivalentes a .
Escribe los números correctos en los .
página 32
La razón entre la longitud de los lados de los cuadrados de abajo es .
¿Cuántos cm mide por lado el cuadrado grande si la longitud del lado del cuadrado
chico es 12 cm? página 36
Dibuja un triángulo en el que la razón entre el largo y ancho sea .
Si el ancho mide 18 cm, ¿cuántos cm debe medir el largo?
página 35
páginas 34 - 35
páginas 33 - 34
Aceite salado Vinagre
BB＝
Escribe una expresión matemática para obtener
razones equivalentes. Considera que la altura del
árbol es m y luego escribe en cada recuadro
los números que faltan.
① La razón entre la cantidad de aceite
salado y vinagre.
② La razón entre la longitud de los lados
AB y AC de este triángulo.
B
B
C
C
② Un árbol que mide 2 metros de altura proyecta una sombra de 3 metros
de largo. A la misma hora, otro árbol proyecta una
sombra que mide 12 metros. ¿Cuántos metros
mide la altura de ese árbol?
DEEB
＝ACCB
BE C
A
D
3 m12 m
2 m
m
�23 12
＝
� 4
128
50 ml 50 ml 50 ml
CB
A
16 cm8 cm
12 cm
cm
①
③
②
④
＝35 10
＝7 354
＝80 58
＝53
125
23
45
1
2
3
4
5
3938
Para cocinar sekihan para 4 personas se utilizan 400 gramos de arroz y 40
gramos de ejotes. (Sekihan es arroz con ejotes rojos).
① ¿Cuántos gramos de arroz y ejotes se necesitan para cocinar sekihan para
2 personas?
② ¿Cuántos gramos de arroz y ejotes se necesitan para cocinar sekihan para
8 personas?
③ Si tenemos 600 gramos de arroz y usamos la receta para preparar 4 porciones,
¿cuántos gramos de ejotes necesitamos para cocinar sekihan?
En la urna de la derecha, la razón entre canicas rojas
y las blancas es . Si hay 28 canicas blancas, ¿cuántas
canicas rojas debe haber?
Se sobreponen dos triángulos haciendo coincidir su
ángulo recto (como se muestra en la figura).
Calcula la longitud del lado DE.
Escribe los números correctos en los .3
• Aplicar el concepto de razones equivalentes.
• Expresar la razón entre dos cantidades.
• Encontrar el valor faltante en dos razones equivalentes.
• Encontrar razones equivalentes a partir de un diagrama.
• En el mapa se muestra una carretera que cruza
el mar en la prefectura de Okinawa. El mapa
está trazado en una razón (o escala) de
. Esto significa que el tamaño
real es 50,000 veces la longitud indicada
en el mapa.
① ¿A cuántos cm equivalen 5 Km en el mapa?
② ¿Cuál es la distancia real, en Km, entre el
punto A y el punto B en este mapa?
③ Calcula la longitud real de las secciones CD,
EF y GH de la carretera.
■ Ir a la página 94
Carretera sobre el mar.
(Ciudad de Uruma en la Prefectura de Okinawa)
E
F
C
D
A
B
V
H
Cálculo de longitudes
reales usando
proporciones.
34
①
③
②
④
＝58 200
＝180 6150
＝100 107
＝32
60
12 cm
2 cm
4 cm
BE
C
A
D
150,000
2
1
4
■ Ir a la página 39 ■ Ir a la página 97
4140
Un tramo de 5 metros de manguera de hule cuesta 1400 yenes.
① ¿Cuánto cuesta 1 metro de manguera?
② ¿Cuánto cuestan 7 metros de manguera?
¿Qué viaja más rápido, un avión a 900 Km
por hora o el sonido a 340 m por segundo?
Compara la velocidad en Km por hora y
metros por segundo.
De las siguientes fracciones elige dos, de manera que al restar
una de la otra te dé el mismo resultado que obtienes si las multiplicas.
① ② ③
④
2 �7
⑤ ⑥9�22
6
11
5 �6
20
9
3
5
5 �8
2
3
8 �9
15
16
5 �21
7
4
3
3
4
2
3
2
5
1
5
① ¿Cuántos Kg pesan l de arroz?
② ¿Cuántos Kg pesan l de arroz?
Dibuja un rectángulo en el que la razón entre el largo y ancho sea .
① Si el largo mide 8 cm, el ancho debe medir cm.
② Si el ancho mide 12 cm, el largo debe medir cm.
③ Si el ancho mide 24 cm, el largo debe medir cm.
En una competencia, Hitoshi saltó 320 cm, Miyuki
saltó 240 cm y Junichi saltó veces la longitud del
salto de Hitoshi.
① ¿Cuántas veces más largo fue el salto de Hitoshi que
el de Miyuki?
② ¿Cuántos cm midió el salto de Junichi?
Escribe los números correctos en los .
Si recortamos una cinta de 12 metros en trozos de m,
¿cuántos trozos tendremos?
14
5
4
5
4
5
98
43
－ ＝ �
Un litro de arroz pesa Kg. 85
6
②① ＝1236
＝18 342 18
＝ 1
1
2
Realiza las siguientes operaciones.3
4
5
6
7
8
9
6
6
8
8
8
10
10
4342
Unos alumnos recolectaron papel usado de la fotocopiadora para utilizarlo en
otras actividades. ¿Cómo puedes contar el número de hojas que han reunido?
Encuentra las dos cantidades que cambian juntas en las siguientes situaciones.1
(1) Cuando construimos
rectángulos con 24 m
de cuerda.
(2) Cuando vertemos agua en una botella
como se muestra en la figura.
(3) Cuando cortamos una cuerda en trozos.
(4) Cuando un automóvil se desplaza a 40 Km por hora.
Veamos cómo podemos relacionar dos magnitudes que cambian
juntas.
① ¿Qué otra magnitud cambia cuando se incrementa el número de hojas?
11 Variación proporcional directa
Al recortar una vez, hay dos
trozos. Cuando cortamos
dos veces …
Primero el nivel del
agua se incrementa
lentamente, pero después
mucho más rápido.
Puedes hacer
muchos cuadrados y
rectángulos, anchos
o angostos.
Cuando recorremos en
automóvil una distancia
grande a la misma
velocidad.
¿Cómo podemos
contar el número
de hojas?
¡Contando hoja
por hoja nos
llevará mucho
tiempo!
Cuando se incrementa
el número de hojas
aumenta la altura de la
pila de papel.
Cuando aumenta el
número de hojas no
puedo sostener la pila con
mis manos.
4544
① Mide el peso de 10, 20, 30, 40 y 50 hojas. Registra esos datos en la
siguiente tabla.
② Piensa cómo calcular el número de hojas de papel a partir de los
resultados del experimento.
Indaga la relación que hay entre la cantidad de papel y su peso para encontrar el
número de hojas de una pila de papel.
① Construye pilas de hojas de 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm y 5 cm. Anota los
resultados en la tabla de abajo.
② Piensa cómo calcular el número de hojas de papel a partir del
experimento.
Observemos la relación que hay entre el número de hojas y el grosor de la
pila para encontrar cuántas hojas hay.
Número de hojas 10 20 30 40 50
Peso ( g )
Número de hojas
Grosor (cm) 1 2 3 4 5
Número de hojas y su peso Numero de hojas y grosor de la pila
Experimentemos Experimentemos
No es fácil contar
las hojas.
¿Cuántas hojas
de papel hay en
esta pila?Podemos contarlas a
través del peso de la
pila, ¿de acuerdo?
Hay una relación directa entre el peso
del papel y el número de hojas,
porque la pila de papel pesa más al
aumentar el número de hojas.
¿Con qué más
podemos relacionar
el número de hojas?
La altura de la pila de papel se relaciona
directamente con el número de hojas de
papel… La altura aumenta cuando aumen-
tamos el número de hojas.
¿Podemos calcular
el número de hojas
con otro método?
Contemos cuántas hojas
hay en una pila de un
centímetro de altura.
4746
1 Proporcionalidad directa
Analiza la relación que hay entre el número de hojas de papel y su peso.1
① ¿Cómo cambia el peso de la pila de papel cuando el número de hojas
aumenta 2 veces, 3 veces, 4 veces y 5 veces?
② ¿Cuántos gramos pesará una pila de 90 hojas de papel?
Estudia la relación que hay entre el número de hojas de papel y el
grosor de cada pila.
2
Estudiemos otras magnitudes que cambian juntas.
① Completa la siguiente tabla.
3
① El grosor de la pila de papel se incrementa 2 veces, 3 veces, 4 veces y
5 veces. ¿Cómo aumenta el número de hojas de papel?
② ¿Cuántas hojas de papel hay en una pila cuya altura es 9 cm?
② De los casos anteriores, ¿en cuáles se presenta la misma relación que
vimos en y ?
③ ¿Cuántas hojas hay en una pila de papel que pesa 700 gramos?
La idea de Kenta
Como el número de hojas es 9 veces 10,
el peso también aumentará 9 veces.
70�9＝ 0
0 9010
70
Número de hojasPeso(g）
9 veces
9 veces
La idea de Mai
El peso de 90 hojas de papel es la suma del peso de 40 hojas y 50 hojas.
280＋350＝
1 2
Número de hojas 10 20 30 40 50
Peso ( g ) 70 140 210 280 350
Número de hojas 105 210 315 420 525
Grosor (cm) 1 2 3 4 5Número de hojas y su peso
Número de hojas y grosor de la pila
Longitud (m) 1 2 3 4 5
Peso (g) 20 40
Longitud y peso de un cable
Número de cortes 1 2 3 4 5
Número de trozos 2 3
Volumen de agua(l)
1 2 3 4 5
Profundidad
(cm)2 4
Volumen y profundidad del agua en un recipiente.
Cortes en una cinta y número de trozos.
4948
Aumenta en 1 Aumenta en 1
Aumenta en 2
Aumenta en 3 Aumenta en 4
Aumenta en Aumenta en Aumenta en
Podemos afirmar que cada vez que se vierte
un litro de agua en el tanque, la profundidad
se incrementa en cm.
1.5veces2.5veces veces
veces
vecesveces
vecesveces
13 1
2
2 veces
4 veces
3 veces 2 veces
veces
vecesveces
veces
Estudiemos la relación que hay entre la longitud y el peso de un cable.
① Si la longitud del cable se incrementa en 2, 3, 4 veces y 5 veces, ¿cómo
varía el peso?
4
Cuando tenemos dos magnitudes en las que si aumenta
una también aumenta la otra, o si disminuye una también
disminuye la otra, se dice que esas magnitudes varían en
forma directamente proporcional.
Por ejemplo, si una aumenta o disminuye 2, 3, 4 veces, la
otra cambia de la misma manera.
② Si el peso de un objeto es directamente proporcional a su longitud,
¿cómo cambiará su peso si su longitud aumenta 1.5 y 2.5 veces?
③ Si el peso de un objeto es directamente proporcional a su longitud,
¿cómo cambia su peso cuando su longitud disminuye a y
de su tamaño original?
1
21
3
Algo más sobre proporcionalidad directa
La siguiente tabla muestra la relación entre
el volumen de agua y la profundidad al llenar
un tanque.
5
① ¿Podemos afirmar que la profundidad y el volumen de agua en el tanque
varían en forma directamente proporcional?
② Observa cómo aumenta la profundidad cuando el volumen se incrementa
en un litro. ¿Cuántos cm aumenta la profundidad?
Longitud (m) 1 2 3 4 5 6 7 8
Peso (g) 20 40 60 80 100 120 140 160
Longitud (m) 2 3 5 6 18
Peso (g) 40 60 100 120 360
9
180
Volumen de agua (l) 0 1 2 3 5 8 11 15 17
Profundidad
(cm)0 2 4 6 10 16 22 30 34
Volumen y profundidad del agua en el tanque
Volumen de agua (l) 0 1 2 5 8 11 15 17
Profundidad
(cm)0 2 4 10 16 22 30 34
5150
③ Calculemos los valores del cociente
profundidad ÷ volumen con los datos de
la tabla en la página anterior.
④ Analiza en la tabla la relación entre el volumen y la profundidad del
agua en el tanque.
2÷1 ＝4÷2 ＝ 6÷3 ＝
ⓐ ¿Cuál es el significado del cociente “profundidad ÷ volumen”?
Compara los resultados del cociente “profundidad ÷ volumen” con
la afirmación que hicimos en la página anterior acerca del incremento
del agua en el tanque.
Profundidad de un litro (cm) Profundidad del agua (cm)Volumen del agua (l)
2
2
2
2
2
2
0
1
2
3
4
5
0
2
4
6
8
10
××××××
＝＝＝＝＝＝
× ＝Volumen del agua Profundidad del agua
Cantidad variable Cantidad variable
⑤ Usa la expresión matemática anterior para calcular la profundidad que
corresponde a 10 y 20 litros de agua.
Estudia la relación entre la longitud y el peso de un cable y represéntala
mediante una expresión matemática.
6
① Usa los datos de la tabla anterior para calcular los valores del cociente
“peso ÷ longitud”
② Describe la relación entre la longitud y el peso del cable mediante una
expresión matemática. Puedes usar tus propias palabras.
③ ¿Cuánto pesan 8 metros de cable?
×longitud ＝
Longitud (m) 0 1 2 3 4 6
Peso (g) 0 20 40 60 80 120
Longitud y peso de un cable
5
100
Describe mediante una expresión matemática la relación entre las siguientes
cantidades.
Tiempo (horas) 1 2 3 4 5
Distancia (Km) 40 80 120 160 200
6
240
Longitud (m) 1 2 3 4 5
Costo (yenes) 150 300 450 600 750
6
900
Tiempo y distancia cuando la velocidad es 40 Km por hora
Longitud y costo de una cinta
Número de hojas 1 2 3 4 5
Peso (g) 7 14 21 28 35
6
42
Número de hojas de papel y su pesoCantidad constante
②
③
①
5352
Gráficas de proporcionalidad directa
Construyamos la gráfica que representa la relación entre el volumen y
la profundidad del agua en el tanque.
1
① Usa los datos de la
tabla anterior para
marcar en la gráfica
los puntos que
corresponden a cada
pareja de números.
② ¿Qué forma sugieren los
puntos de la gráfica?
¿Podemos unir los puntos con una línea recta?
Cada puntoestá en laparte másalta de cadabarra.
③ Completa la siguiente tabla y marca en la gráfica los puntos que
corresponden a cada pareja de números (volumen y profundidad).
0 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5 Volumen
Profundidad
④ ¿Podemos unir todos los
puntos de la gráfica con
una línea recta?
La gráfica de una relación directamente proporcional es una
línea recta pasa por el punto (0,0), este punto es donde se
cruzan el eje vertical y el horizontal.
Volumen de agua 0 1 2 3 4 5
Profundidad (cm) 0 2 4 6 8 10
Volumen y profundidad del agua en el tanque
Volumen y profundidad del agua (cm)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Profundidad
1 2 3 4 5 ( l )
Volumen del agua
Volumen de agua (l ) 0 0.1 0.2 0.5 1 3.9
Profundidad (cm) 0 2
Volumen y profundidad del agua en el tanque
2.4
O O O
Volumen y profundidad del agua en el tanque
Dicho con palabras
es “2 x volumen =
profundidad” ,
¿de acuerdo?
Podemos expresar el
volumen usando
unidades y números tan
pequeños como sea
necesario.
( l )
(cm)
2
5554
La siguiente gráfica muestra la relación entre la longitud y el peso
para los tipos de cable y .
2
① ¿Cuál de los cables
es más pesado?
¿Qué debemos obser-
var en la gráfica para
responder esta
pregunta?
② Encuentra en la grá-
fica los datos que se
indican en cada caso.
El peso de 2.4
metros de cada tipo
de cable.
La longitud de
cada cable cuando su
peso es 48 gramos.
③ ¿Cuánto pesa un
metro de cada tipo
de cable?
④ A qué tipo de cable, ó corresponden estos datos?
ⓐ 3.8 metros de cable pesan 114 gramos.
ⓑ El peso de 4.2 metros de cable es 168 gramos.
3 Aplicaciones de la proporcionalidad directa
La siguiente tabla muestra la relación entre el volumen
de un jugo enlatado y su contenido de azúcar.
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.5 1 1.5Longitud
Peso
2 2.5 3 (m)
(g)Longitud y peso de los cables
① ¿El peso del azúcar es directamente proporcional al volumen del jugo?
② ¿Cuántos gramos de azúcar hay en 250 mililitros de jugo?
Idea de Yoshio ▼
Como 250 ml es 5 veces 50 ml,
el peso del azúcar será 5 veces el
que hay en 50 ml.
Idea de Yasuko ▼
Podemos obtener la respuesta si
conocemos cuanta azúcar hay en
1 ml de jugo.
0
0 15010050
6 12 18
2501Jugo
Azúcar
5 vecesveces
vecesveces
Calcula la respuesta con el método de Yoshio.
Obtén la respuesta usando esta expresión matemática que relaciona el
volumen del jugo y su contenido de azúcar.
× volumen del jugo ＝ peso del azúcar
③ ¿Cuántos gramos de azúcar hay en 180 mililitros de jugo?
Jugo (ml) 0 1 50 100 250
Azúcar (g) 0 6 12
Volumen de jugo y contenido de azúcar
150 180
18
El peso de un cubito
de azúcar es de 3 g,
¡Este jugo contiene
demasiada azúcar!
(ml)
(g)
Longitud (m)
Costo (yenes)
Longitud (cm)
Peso (g)
5756
1 2 3 4 5
600
500
400
300
200
100
0
（yen）
（C）Longitud
Costo
Completa la siguiente tabla. página 47
Expresa la relación matemática entre estas cantidades usando tus propias
palabras.
①
②
Un metro de listón cuesta 80 yenes.
① Resume la relación entre la longitud y
el costo del listón en la siguiente tabla.
3
② Expresa con tus propias palabras la
relación matemática que hay entre la
longitud del listón y su costo.
③ Construye una gráfica que represente la
relación entre la longitud y el costo del listón.
página 51
páginas 52-53
Un metro de cierto listón cuesta 150 yenes.
① Calcula el costo para 1, 2, 3, 4, 5 y 6 metros de listón. Resume tus resultados
en la siguiente tabla.
② ¿El costo del listón es directamente
proporcional a su longitud?
③ Expresa con tus propias palabras la
relación matemática que hay entre la
longitud y el costo del listón.
④ Construye una gráfica que
represente la relación entre la
longitud y el costo del listón.
1 2 3 4 5 6
6007008009001000
500400300200100
0
（yen）
Longitud
Costo
（C）
① ¿El peso de los clavos es directamente proporcional al número de ellos?
② Encuentra los valores de , y en la tabla anterior.
③ Haz una gráfica que represente la relación entre el número de clavos y su peso.
Encuentra a cuántos clavos corresponde un peso de 240 gramos.
La siguiente tabla muestra la relación entre el número de clavos y su peso.2
Número 1 2 3 4 5
Costo (yenes) 50 100
Número y costo de los lápices
Tiempo(horas)
1 2 3 4 5
Distancia (Km) 4 8
Tiempo y distancia recorrida
0 1 2 3 6
0 3 6 9 18
Longitud y peso de un cable
4 5
12 15
Longitud (cm) 0 1 2 3 4 5
Costo (yenes) 0 80
0 1 2 3 6
0 150
Longitud y costo del listón
4 5
…
• Expresar relaciones numéricas en una tabla.
・Entender el concepto de proporcionalidad directa.
・Expresar con palabras una relación matemática.
・Construir gráficas que representen relaciones.
• Resolver problemas de proporcionalidad directa.
Longitud y costo del listón
Longitud y costo del listón
Número de clavos 0 1 50 100 250
Peso de los clavos 0 300 600
150 200
900
■ Ir a la página 98
Longitud y costo del listón
(yenes)
(yenes)
(m)
(m)
2
1 1
■ Ir a la página 58
Hay varias teorías acerca del tiempo en el que aumentará el nivel del mar.
Considera las tres predicciones siguientes y usa el concepto de proporcionalidad
directa para trazar una gráfica que permita pronosticar cuántos centímetros se
elevará el nivel actual de los océanos dentro de algunos años.
1
¿En cuántos años quedarán bajo
el agua los lugares que actualmente
están a 50 cm sobre el nivel del mar?
2
• Se prevé que el calentamiento global tendrá un impacto significativo en nuestras
vidas. Por ejemplo, al derretirse el hielo en los polos se elevará el nivel del mar,
lo cual reducirá la superficie de la tierra que las personas pueden habitar.
El nivel del mar se ha elevado 12 cm en los últimos 100 años y continuará
elevándose en esta proporción cada 100 años.
El nivel del mar se elevará 4 cm cada 10 años.
El nivel del mar se elevará 6 cm cada 10 años.
0
50
100
50 100
Predicciones sobre el aumento del nivel del mar(cm)
(año)
• Diariamente gastamos mucha agua y energía eléctrica en la escuela. Analicemos la
cantidad de energía y los sobrantes de alimentos y otras cosas más.
(Isla Funafuti en Tuvalu)
Valora lo que usas en la escuela
5958
Yo investigaré el consumo
de energía eléctrica.
Yo investigaré
el consumo de
agua.
Yo investigaré
el consumo de gas.
Hay muchos niños en el mundo
que carecen de alimentos. Yo
quiero investigar cuánta comida
se desperdicia en los almuerzos
escolares.
Pronósticos del
clima global
6160
La siguiente tabla muestra el volumen de agua que se consume en la
escuela. La lectura de abril indica el volumen de agua que se usó hasta
finalizar marzo, la de mayo el volumen que se usó hasta finalizar abril.
Consumo de agua en la escuela
① Si en la escuela hay 504 alumnos, calcula el consumo por
alumno en cada mes.
Abril m3
m3
m3
Julio m3
m3Agosto
Mayo Junio
② ¿Qué muestra esta tabla?
Se gasta más agua en junio y julio porque inicia la temporada de
calor y se usa la alberca.
En agosto se usa menos agua porque son las vacaciones
de verano.
La siguiente información fue proporcionada por la
subdirección de la escuela y corresponde a los almuerzos del mes de abril.
Desperdicio de alimentos en la escuela
Menú
Sardinas cocidas
Frijol de soya
Arroz y cebada
Pescado frito
Espinacas con fideos y ajonjolí
Porcentaje consumido
100
99 . 0
93 . 8
90 . 4
77 . 2
Lectura del mes
anterior (m3)
Lectura del mesactual (m3)
Consumo de agua por mes (m3)
Abril 2354 3098
Mayo 3098 3752
Junio 3752 4890
Julio 4890 6243
Agosto 6243 6736
(m3)
Completa en la siguiente tabla el registro del consumo mensual de agua
en la escuela.
Kenta investigó el desperdicio de comida durante el almuerzo escolar.
Escribe los números correctos en los de la siguiente página.
es 9 veces .es veces de .
6362
Los porcentajes en la tabla de la página anterior se calcularon como
se muestra a continuación:
(Peso total – Peso de los sobrantes) ÷ Peso total x 100
Con esos datos no podemos calcular cuánto alimento de cada
tipo se ha desperdiciado. Por lo que hemos calculado el peso del
desperdicio como sigue:
• Si la porción de arroz y cebada para cada alumno es 150 gramos,
para 504 alumnos el peso total es g.
El porcentaje de desperdicio es %.
El peso de los desperdicios es g.
Esta cantidad alcanza para aproximadamente alumnos.
Información que nos proporcionan estos datos
Pensábamos que alumnos consumían casi totalmente sus alimentos.
Nos sorprendimos al ver la cantidad de desperdicio.
Necesitamos ser cuidadosos con los alimentos que nos dan.
Una solución es usar el desperdicio para abonar las plantas o
alimentar a los animales.
Números y sus operaciones
Trata de resolver los siguientes problemas aplicando lo que has aprendido en los 6 años de la
primaria. Después de obtener las respuestas compáralas con las correctas en la sección
correspondiente de este libro. Si tuviste errores intenta resolverlos nuevamente.
Repasemos lo aprendido sobre los números enteros y los decimales.
① ¿Qué valores representan los dígitos 3, 5 y 7 en los siguientes números?
35,700 3,050,070
35.07 3.057
② ¿Cuántas veces debes repetir el número que está entre paréntesis para
formar las cantidades que se indican?
23,000 (100) 23,000 (1000)
2.3 (0.1) 2.3 (0.01)
1
Resumen de las fracciones
① Indica qué fracción es la mayor en cada una de las siguientes parejas.
2
② Escribe los números correctos en los .
3，
25 5
3，
6115
2，
25 7
135 5
97
40 grado
50, 60 grado
En Japón hay 7,600,000 niños, si todos reciben 150 g de arroz y cebada y se
desperdicia el porcentaje que vimos, ¿a cuántos niños se podría alimentar si no
hubiera desperdicio?
Resumen
50 grado
Repaso de las operaciones.
① Realiza las siguientes operaciones.
4＋2×6−3 （4＋2）× 6−3 4＋2×(6−3)
4.2＋1.5 4.2−1.5 4.2×1.5 4.2÷1.5
6564
③ Expresa las siguientes fracciones impropias como números mixtos.
② Ordena los siguientes 5 números en orden desde el menor al mayor.
40 grado
40, 50, 60 grado
3 1352
74
83
Resumen de la relación entre los números enteros, los decimales y las
fracciones.
① Expresa los números enteros y los decimales como fracciones, y las
fracciones como números decimales.
3
Repaso de las propiedades de los números enteros.
① Encuentra todos los números enteros que sólo tienen 3 divisores y son
menores que 50.
② Encuentra el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de las
siguientes parejas de números.
(12，18) ( 8，16)
5
4
4 0.7 3.08 1325
134
0.4125
13
715 0.3，，，，
2＋
135
2−
135
2 × 135
2 ÷ 135
50 grado
60 grado
Cantidad y medida
Repaso de las unidades de medida.
① Escribe en el las unidades que corresponden.
El área de la cubierta de un libro es de aproximadamente 470 .
La capacidad de un envase individual de leche es
aproximadamente 200 .
Un huevo de gallina pesa aproximadamente 50 .
El río más largo en Japón es el Shinano y mide aproximadamente
367 .
1
② Responde las siguientes preguntas.
¿Cuántos metros le faltan por recorrer a Hiroko para alcanzar 2 Km
si ya caminó 1.6 Km?
¿De cuántos m2 es el área de una jardinera rectangular que mide
1 metro de ancho por 3 metros de largo? ¿A cuantos cm2 equivale?
Hay 4 botellas de agua con una capacidad de 500 ml cada una.
¿Cuántos litros de agua hay en total? ¿Cuántos decilitros son?
Repaso sobre el cálculo de áreas.
① Escribe la fórmula para calcular el área de las siguientes figuras.
Área de un rectángulo =
Área de un cuadrado =
Área de un paralelogramo =
Área de un triángulo =
Área de un círculo =
2 40, 50 grado
30, 40 grado
×××× ÷
××② Dibuja dos figuras cuya área mida 20 cm2.
12 cm10 cm
20 cm
15 cm12 cm
15B
12B12B10 cm
8B8 cm
5 cm10 cm
10 cm 15 cm
12 cm
6�cm
2.3�cm
20B
4 cm
3 cm
4.6 cm 20 cm
① Calcula el área de las regiones sombreadas.
6766
Hagamos un resumen de cómo calcular volúmenes.
① Escribe las fórmulas para calcular el volumen de un prisma rectangular
y de un cubo.
② Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
3 60 grado
Figuras
Repasemos las propiedades de las figuras.
① De la siguiente lista, elige todas las propiedades que se puedan asociar
a un paralelogramo, a un rombo, a un rectángulo y a un cuadrado.
1
Tiene 2 lados paralelos.
Sus 4 ángulos son rectos.
Los 4 lados miden lo mismo.
Sus diagonales son perpendiculares.
La suma de cualesquiera dos de sus ángulos es 180 grados.
② Escribe los números que faltan en los .
Paralelogramo
50 grado
Repaso sobre el concepto de velocidad.
① Escribe la expresión matemática que relaciona la velocidad con la
distancia y el tiempo.
② Una persona quiere recorrer 8 Km durante una caminata. Si camina a una
velocidad de 4 Km por hora, a qué distancia estará de la meta en 1.5 horas?
4
Paralelogramo, Rombo, Rectángulo, Cuadrado
30, 50 grados
60 grado
Paralelogramo
Un hexágono formado por
6 triángulos equiláteros.
6968
① Considera el siguiente prisma rectangular.
¿Cuál de las caras es paralela a
la cara ABCD?
¿Cuál de los lados es paralelo
al lado AB?
60 grado
A
E
F
G
C
D
B H
Traza las siguientes figuras.
① Un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 centímetros respectivamente.
② Un paralelogramo cuyos lados adyacentes miden 6 cm y 8 cm.
El ángulo formado por ellos debe medir 60º.
③ Un rombo en el que uno de sus lados mide 5 cm y tiene un ángulo
de 30º.
2
3
3 cm 4 cm
2 cm
40, 50 grados
Relación entre cantidades
Repasemos cómo expresar las relaciones entre cantidades.
① ¿Qué tipo de gráfica es más útil para representar cada una de las
siguientes situaciones?
La distribución de las importaciones de acuerdo a su tipo y valor.
La variación en las exportaciones.
La producción de arroz en distintos países.
1
50 grado
18.3
14.1
1990 2000
58.4
26
16.5
13.3
59.4
29.6
Revistassemanales
Libros
Total
Revistasmensuales
（cien millones）El Número de libros y revistas
② La siguiente tabla resume el porcentaje de libros y
revistas que se publicaron en
los años 1990 y 2000.
¿Cuál es el porcentaje total de revis-
tas que se publican mensualmente?
Usa los datos de la tabla para
construir una gráfica de barras y
anota tus observaciones.
③ Para preparar harina dulce de frijol de soya se necesitan 35 gramos
de harina 14 gramos de azúcar.
¿Cuánta harina dulce podemos hacer con 2 gramos de azúcar?
50 grado
60 grado
60 gradoDibuja el desarrollo plano para construir el
siguiente prisma rectangular.
Con los mismos datos del problema anterior, ¿cuántos gramos de
azúcar necesitamos para preparar 140 gramos de harina dulce?
＝35
14 2
② Encuentra la relación matemática que hay entre las cantidades
registradas en las siguientes tablas.
De las relaciones que encontraste, ¿cuáles son directamente
proporcionales?
¿En cuál de ellas una de las cantidades decrece mientras la otra aumenta?
Construye la gráfica de las relaciones que son directamente
proporcionales.
60 grado
Juegos con la calculadora
Ir a la página 72
¡Prueba tu suerte!
Ir a la página 87
Número de personas que reciben un tramo de cuerda. 2 3 4 6 8
Largo de cada tramo (m) 12 8 6 4 3
Largo de un cordón (m) 1 2 3 4 5
Peso del cordón (g) 8 16 24 32 40
¡Aquí encontrarás
historias y problemas para
resolver en grupo o
individualmente! Puedes
iniciar donde prefieras.
717171717171717171717171717171717170
Resuelve los siguientes problemas usando expresiones matemáticas y gráficas.
① ¿Cuánto miden la altura del triángulo y la base del paralelogramo?
2
20 cm2
68 cm2
8 cm
8 cm
50 grado
El mundo de las
mar
av
illas matemáticas
Historia de lasmatemáticas
Ir a la página 74
En busca de regularidades
Ir a la página 85
Resolución de problemas usando
tablasIr a la página 83
7372
¿Qué tipo de número será el resultado?
78×77＝78×777＝
78×7777＝78×77777＝
78×777777＝
6×7＝66×67＝
666×667＝6666×6667＝
0×9＋1＝1×9＋2＝
12×9＋3＝123×9＋4＝
1234×9＋5＝12345×9＋6＝
123456×9＋7＝1234567×9＋8＝
1×1＝11×11＝
111×111＝1111×1111＝
11111×11111＝
1
4
Juegos con la calculadora
¿Qué pasará con
78×7777777?
¿Qué ocurre con
66666×66667?
¿Con qué operación
obtendremos
444444222222 ?
¡Podemos
obtener números
aún más grandes!
¡Hay muchas
operaciones que arrojan
resultados interesantes!
¿Qué observas en los
números que resultan de
estas multiplicaciones?
1
2
3
7574
En Japón medían las longitudes de las cosas usando como unidades partes
de su cuerpo.
Al ancho del pulgar se
le llamaba “sun” en
japonés.
Al ancho del puño se
llamaba “tsuka” en
japonés.
Al la distancia entre el pulgar y
el medio de una mano estirada se
le llamaba “ata” en japonés.
A la longitud de los brazos extendidos se le
llamaba “hiro”, un hiro es aproximadamente
la altura de la persona. El hiro se utilizaba
para medir la longitud de una cuerda y la
profundidad del agua.
A la distancia que abarcamos al
dar un paso con la pierna derecha y
uno con la pierna izquierda se le
llamaba “ho”; dos veces un ho es
aproximadamente 180 cm.
① ② ③
④ ⑤
Leibnitz
(Alemania 1646～1716 )
En 1631, el inglés William Oughtred
publicó en un libro por primera vez
el símbolo “x”.
El matemático alemán Gottfried
Leibniz utilizó “·” en lugar de “x”
para no confundirlo con la letra equis
del alfabeto.
Origen de los símbolos matemáticos1
Historia de las matemáticasEl cuerpo humano como unidad de medida en la antigüedad2
La palabra “restar” proviene del término latino “minus”. Los
historiadores muestran que su representación gráfica cambió
como se muestra a continuación:
Otra teoría sobre el origen del símbolo de restar es que los
marineros marcaban los barriles con una línea horizontal
para indicar el nivel de agua contenida en ellos.
La palabra “más” proviene del latín “et”. Hace muchos años la
gente acostumbraba decir “2 et 3”.
Los documentos históricos indican que hace 1400 años se inició un
cambio en la escritura de “et” como se muestra en la siguiente figura.
−
×
×
7776
Hace muchos años el área se expresaba
en términos de la cantidad del producto
recolectado en la cosecha. A la superfi-
cie que se ocupaba para cultivar la
cantidad de arroz que un hombre
podía sostener entre sus brazos se le
llamaba “hitoshiro”, un hitoshiro
mide aproximadamente 20 m2.
En Japón, en el año 701, se
estableció como norma expresar
el área de una superficie como
“largo por largo”. Con 6 “ho” de
largo y 60 ho de ancho se obtenía un tan. Tiempo después se estableció
que un tan es 5 ho x 60 ho, que es aproximadamente 1000 m2 .
En Inglaterra se le llamaba
“acre” al área que podía ser
cultivada con dos bueyes.
Hoy en día un acre es aproxi-
madamente 4000 m2.
① Anota el tamaño de un Kyo Masu y un Furu Masu y calcula el
volumen de agua que pueden contener cada uno de ellos.
Desde China llegaron a Japón diversas vasijas para medir la cantidad de
granos o semillas, “Furu Masu”, “Kyo Masu” y “Edo Masu” estaban entre
algunas de esas vasijas, las cuales variaban de tamaño dependiendo de la
región en Japón. En el periodo Edo, se
asignó a Kyo Masu la categoría de
medida oficial.
Un Kyo Masu es 0.3 cm
más corto y 0.6 cm
más profundo que un
Furu Masu.
1 acre 京ますKyo masu
古ますFuru masu
15 cm15 cm
14.7 cm14.7 cm
8.1 cm
7.5 cm
Unidades de área que provienen de la agricultura3 Historia de recipientes y medidas4
1代hitoshiro
60歩
6歩
7978
56 56 44 44 EdoKyo
480
Hermano mayor Hermano menorPrimer día Segundo día Primer díaSegundo día
Km Km Km
Km
Km
Durante el periodo Edo se desarrolló en Japón el sistema matemático
llamado “Wasan” (Matemáticas Japonesas). El ábaco llegó de China y en
Japón se publicó un libro que explicaba cómo usarlo. El ábaco se utilizaba
para hacer divisiones y posteriormente para resolver problemas cotidianos,
como calcular longitudes y áreas.
Posteriormente se pidió a personajes distinguidos que plantearan y
resolvieran problemas matemáticos para dedicarlos a santuarios, este
trabajo dio las bases para construir el “Sangaku” (cuadro matemático).
El matemático Takakazu Seki calculó la
razón entre la circunferencia y el diámetro
(pi) con 12 cifras decimales y realizó
grandes contribuciones al desarrollo del
Wasan. Mitsuyoshi Yoshida escribió el
libro “Jinkoki” basado en el Wasan.
Este libro fue muy popular y lo leyeron
muchas personas.
Este problema fue tomado del libro “Jinkoki”.
El siguiente problema apareció en otro libro japonés, las unidades
originales están expresadas en unidades actuales.
Cuatro personas van a recorrer 6 ri
con tres caballos, se turnan para mon-
tar el caballo. Si cada persona debe
recorrer la misma distancia a caballo,
¿qué distancia recorrerá cabalgando
cada uno?
1 ri es aproximadamente 4 Km.
② Inventa más problemas como éste y construye un “Sangaku” (cuadros
matemáticos).
▲Sangaku (Santuario Toengi)
▲Jinkoki
Matemáticas japonesas (Wasan)5
Había dos hermanos que trabajaban como mensajeros (hikyaku) viajando de
Edo a Kyo. La distancia entre estas dos poblaciones es 480 Km. El hermano
mayor podía recorrer 56 Km por día y el menor 44 Km. Si el hermano mayor
salió de Kyo rumbo a Edo al mismo tiempo que su hermano lo hacía de Edo
hacia Kyo, ¿cuántos días después se cruzarán en el camino?
Un hikyaku era un hombre que llevaba cartas en el
periodo Edo.
¿Cuántos kilómetros
se acercan uno al
otro cada día?
① Veamos cómo resolver el problema de los hikyaku.
8180
El matemático francés Blaise Pascal (siglo XVII) creó la frase
“un humano es un junco pensante”. Un junco es una planta que crece junto
a los ríos y se parece a la hierba de la pampa japonesa. Lo que Pascal
quería decir es que las personas somos criaturas frágiles como los juncos,
pero somos fuertes porque tenemos la capacidad de pensar. Otra más
de las muchas contribuciones de Pascal fue el triángulo que se muestra a
continuación, al que se le conoce como Triángulo de Pascal.
① ¿Qué regularidad observas en el orden de los números en este
triángulo? Escribe en los espacios en blanco los números que faltan.
② Observa la suma de cada renglón del triángulo de Pascal.
③ Usa el Triángulo de Pascal como referencia y completa la siguiente
tabla.
Encuentra una regla para construir los valores de la tabla.
Observa qué ocurre con la suma de los números cuando pasas
de un escalón al siguiente.
1 ＋ ＋4 6 ＋ 4 ＋ 1 ＝
1 ＋ ＋3 3 ＋ 1 ＝
1 ＋ ＋2 1 ＝
1 ＋ 1 ＝ 2
1
Triángulo de Pascal6
Escalón 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Suma 1 2 4 8 16
Si usamos flechas podemos des-
cubrir la estructura del triángulo de
Pascal como se muestra en la figura.
Explica por qué esta figura nos
permite encontrar la regla para
obtener los números que van en cada
escalón del Triángulo de Pascal.
8382
1111111111111111
116120560182043688008114401287011440800843681820560120161510545513653003500564356435500530031365455105151491364100120023003343230032002100136491141378286715128717161716128771528678131266220495792924792495220661211551653304624623301655511104512021025221012045109368412612684369828567056288721353521761520156510105464332
1111111111111111
paso 15paso 16
paso 17
④ Colorea todos los múltiplos de 5 en los 15 escalones del triángulo
de Pascal que se muestra a continuación.
⑤ A partir de lo que descubriste en el inciso ④, predice dónde estarán
ubicados los múltiplos de 5 en los escalones 18 y 19.
En un estanque hay cierto número de grullas y tortugas. En total hay 7
animales y 22 patas. ¿Cuántas grullas y cuántas tortugas hay?
Este tipo de problema se llama Tsurukamezan (problemas sobre grullas
y tortugas). Se cree que estos problemas fueron creados en China y llegaron
a Japón hace 360 años. En un principio se referían a gallinas y conejos
y hace 180 años fueron cambiados a grullas y tortugas; ambas especies
gozan de un largo periodo de vida.
Manzanas 0
Naranjas 10
Costo (yenes) 800 820
1
9
En la canasta hay 10 piezas de fruta; las
manzanas cuestan 100 yenes y las naranjas 80
yenes. El costo total de la fruta en la canasta es
920 yenes.
¿Cuántas manzanas y cuántas naranjas hay?
El número de grullas y tortugas1
Solving Problems with Tables
¿Puedes hacer lo
mismo para los
múltiplos de 2 y 3?
Resolución de problemas usando tablas
100
50
200
100
50
200
100
50
200
(cm2)
(cm) (cm) (cm)
(cm2) (cm2)
B
B
8584
① Anota en las siguientes tablas cómo cambian las áreas de y de .
② Anota en la siguiente tabla cómo cambia la suma de + .
③ Expresemos gráficamente el cambio en las tres áreas.
¿Cuál gráfica corresponde a las tablas ⑴, ⑵ y ⑶?
Podemos formar triángulos equiláteros si acomodamos las fichas
como se muestra abajo.
El número de fichas en cada triángulo es 1, 3, 6, 10, 15, y así
sucesivamente. Construye más triángulos equiláteros como estos.
① Hay una regla que rige cómo va aumentando el número de fichas.
Analiza las figuras y descubre esa regla.
② Encuentra el número de fichas que forman los triángulos equiláteros
que van después del que tiene 15 y el que le sigue.
1，3，6，10，15， ，
③ Si hay 10 fichas en la base
del triángulo, ¿cuántos fichas
hay en total?
Largo de la sección doblada (cm) 0
Área de (cm2) 0
1 2 3
5 10 15
Largo de la sección doblada (cm) 0
Área de (cm2) 100
1 2 3
90 80 70
⑴
⑵
Largo de la sección doblada (cm) 0
Área de + (cm2) 100
1 2 3
95 90 85
⑶
10 fichas
1 3 6 10 15
Arreglos de fichas1
En busca de regularidadesÁrea de figuras dobladas y sobrepuestas2
¿Cómo puedes doblar el rectángulo para que la suma de las áreas de
y sea la más pequeña?
Construye un rectángulo de 5 cm de largo y 20 cm de ancho y dóblalo como se
muestra a continuación. Llama al doblez que queda al frente y a la sección
que se alcanza a ver del doblez de atrás.
20 cm
5 cm
8786
Apilemos algunas piedras
Primer nivel Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel
El número de piedras en los primeros cinco niveles es:
1, 4, 9, 16, 25
① Descubre cuál es la regla que define cómo aumenta el número de
piedras en cada nivel.
② Encuentra el número de piedras que hay en los dos niveles que siguen al
que tiene 25 piedras. Usa la regla que descubriste en el inciso ①.
1，4，9，16，25， ，
③ 1, 4, 9, 16, 25......
Analiza la serie numérica 1, 4, 9, 16, 25 y encuentra una regla distinta a
la del inciso 1. Estudia la figura, eso puede ayudarte a responder.
④ ¿Cuántas piedras hay en el décimo nivel?
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
① ¿Cuántos amigos serán paa el quinto día?
② ¿Cómo puedes expresar el aumento en el número de amigos?
③ ¿En cuántos días serán amigos todos los habitantes de Japón?
Supongamos que cada niño logra tener un nuevo amigo cada día.
Tengamos nuevos amigos1
¡Intenta resolver este reto!Apilando piedras2
Puedes encontrar las respuestas
en la tabla de multiplicar.
Día 10 – Día 20
Día 20 – Día 30
Día 50 – Día 60
Día 150 – Día 160
En 2003, la población en Japón era 127 millones
650 mil habitantes.
Predicciones
4cm
Líneacentral
3cm
HeightHeightAltura
8988
Área del Altura ＝ ×
Dibuja a la mitad de la altura de un triángulo una línea paralela a la base.
Haz los dobleces que indican las flechas y formarás un rectángulo.
Si llamamos a la línea punteada “línea central”,
podemos escribir la siguiente expresión
matemática:
Línea central
largo × ancho es equivalente a Línea central × Altura
Línea central × Altura
Para este caso también se
expresa como
Dividiendo un
Altura×Línea central
(radio)(radio × 3.14) La línea central tiene la misma longitud
que la circunferencia de un círculo cuyo
radio es igual a la mitad del círculo original.
Diseñamos el siguiente desarrollo
plano de un cubo, en cuatro de sus caras
se deletrea la palabra “MATE”.
Escribe las letras faltantes en cada casilla de manera que al armar el
cubo siga leyéndose la palabra MATE.① ②
③ ④
Escribe la letra “A” en otra casilla e intenta de nuevo.
① ②
y un
Esto también se cumple para un
también.Línea central
HeightA
ltura
Línea central
HeightA
ltura
Central lCentral lLínea central
HeightA
ltura
A T
AM T E
Una fórmula única para obtener el área de las figuras2 Desarrollos planos3
2
en 8 partes
iguales,
obtenemos:
1
A
A
A
A
Características de las figuras de un sólo trazo
9190
Dibuja la siguiente figura sin levantar el lápiz del
papel y sin pasar una arista dos veces.
Estas figuras se estudian en una importante rama
de las matemáticas que se llama Teoría de Gráficas.
¿Cuál de las siguientes figuras se puede hacer sin levantar el lápiz y
sin pasar por una arista dos veces?
① ②
③ ④
(1) El número de líneas que se unen en cada
vértice es par.
(2) Si hay dos vértices con un número impar de líneas,
la figura puede trazarse de un sólo trazo si se
empieza desde un vértice impar.
(3) Una figura con otras características no puede
dibujarse en un solo trazo.
Otro reto: figuras de un sólo trazo4
¿Puedes encontrar la operación? Primera parte
¿Puedes encontrar la operación? Segunda parte
¿Qué está oculto?
Transformemos la división en multiplicación
- Números recíprocos -
Dividamos en una razón dada
¿Qué tipo de gráfica es?
- Proporcionalidad inversa -
1
10
11
8
10
8
7
¿Puedes encontrar la operación? Primera parte
Forma expresiones del tipo (fracción propia) x (número entero) cuyo resultado sea igual a 1.
¿Puedes encontrar la operación? Segunda parte
• Observa las siguientes tarjetas:
Colócalas en los para formar operaciones que correspondan a la
respuesta que se indica.
① ＝ 1× ②
③ ④
Forma expresiones del tipo (fracción propia) x (número entero) cuyo resultado sea igual a .2
①1
6②
③ ④
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
Acomódalas en los para formar expresiones del tipo
(fracción) x (fracción) de manera que el resultado sea un número entero.
①
＝ 1×
＝ 1×
＝÷
1
6＝÷
1
6
1
6
＝÷
1
6＝÷
• Observa las siguientes tarjetas:
＝×
③ ＝×
⑤ ＝×
⑦ ＝×
⑨ ＝×
⑪ ＝×
② ＝×
④ ＝×
⑥ ＝×
⑧ ＝×
⑩ ＝×
⑫ ＝×
1 2 3 4Bueno★ Excelente★★
1 2 3 4Bueno★ Excelente★★
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
★ ★★ ★★★ ★★★★
9392
＝ 1×
Colorea el número de
respuestas correctas
que obtuviste.
Marca el número de
respuestas correctas
que obtuviste.
Yo comprobaré formando
expresiones con fracción
x fracción.
Yo formaré las
expresiones a partir de
las respuestas.
Colorea el número de
respuestas correctas
que obtuviste.
¿Cuántas estrellas
lograste?
1
¿Qué está oculto?
1 Piensa en multiplicaciones cuyas respuestas sean 1. Escribe en
los los números correctos.
2
3 × ＝ 1 ×4 ＝ 1
① ¿Que características deben tener el multiplicador y el multiplicando
para que el resultado sea 1?
② Si el largo se acorta a m pero el área
sigue siendo 1 m2, ¿cuántos metros debe
medir de ancho?
Cuando el producto de dos números es igual a 1, decimos
que uno de los números es el recíproco del otro.
2
El 6 puede expresarse como la fracción , por lo tanto .
El recíproco de 6 es .
0.4 puede expresarse como ＝ , por lo tanto
El recíproco de es 0.4 .
Encuentra los recíprocos de 6 y 0.4.
6
1
2
5
4
10
6
1＝1×
2
5＝ 1×
3 Encuentra los recíprocos de los siguientes números.
① ② ③ 7 ④ 0.64
5
1
8
Transformemos la división en multiplicación
-Números recíprocos-
1m
1m
m
m23
m13
• En las ventanas de un edificio se escribieron algunas razones. Colorea las
que son equivalentes.
9594
2
3
4 Veamos cómo calcular ÷ usando el concepto de números recíprocos.
La respuesta en una división es la misma si multiplicamos el dividendo y el
divisor por el mismo número. En este caso, multiplicamos ambos números
por , que es el recíproco de .
3
42
5 ÷ 4
3
2
5 ×＝ ÷
＝
＝
( )
( )
( )4
3
2
5 × ÷ 1
4
3
3
4 ×
4
3
2
5 ×
Una división se transforma en multiplicación si usamos el
recíproco del divisor.
5 Piensa cómo realizar los siguientes cálculos.
÷56 35 15 56× ＝ ＝
＝
× ×1
1556×15
5
8× 1.6 ÷ ＝0.25
①
②5
8× 16
10÷ 25
100＝
5
8× 16
10×
＝
＝
5×16×8×10×
6 Realiza las siguientes operaciones.
① ② 1
3÷ 0.4 0.6××76 54 36÷
Dividamos en una razón dada
1 Dobla un alambre de 64 cm de largo para formar un rectángulo cuya
razón entre el largo y ancho sea .
① ¿Cuántos cm suman el largo y ancho?
② ¿Cuántos cm miden el largo y el ancho respectivamente?
La idea de Yukiko ▼
Yo calculo el ancho usando las razones entre el largo
y la suma y entre el largo y el ancho.
Largo ＝
La idea de Seiji ▼
Si pensamos el total del largo y
el ancho como 1, el largo es .
Entonces el largo es 32 × =
Si Kenji y su padre beben 750 ml en la razón . ¿Cuántos ml de leche
bebe Kenji?
Ancho
LargoLargo 3 Ancho 5
cm
Largo Ancho
1
83
85
③ ¿Cuántos cm2 mide el área del rectángulo?
9796
El largo más
el ancho es
3 + 5 ＝ 8.
Podemos encontrar el ancho con el mismo
método, pero en este caso necesitamos restar
el largo a la suma.
2
5
3
4
3
4
3
5
3
8
3
83
8
2
3
4
3
32
LargoAncho
20
15
10
5
（B）
（B）
5 10 15 200
¿Qué tipo de gráfica es?-Proporcionalidad inversa-
1 Imagina varios rectángulos que tienen un área de 24 m2.
① La siguiente tabla resume la relación entre el ancho y el largo de varios
rectángulos cuya área es 24 m2.
× ＝ 24
Largo
② Con los datos de la tabla dibuja algunos rectángulos en la siguiente página.
Usa una escala de 1 cm y dibuja los rectángulos partiendo de la esquina inferi-
or izquierda, en el punto 0.
③ Cuando el ancho se duplica, se triplica y así sucesivamente, ¿cómo
cambia el largo correspondiente?
Cuando dos cantidades cambian juntas y una de ellas disminuye
a la mitad, la tercera parte y así sucesivamente, mientras la otra
aumenta al doble, al triple y así sucesivamente, decimos que
esas cantidades varían de forma inversamente proporcional.
④ Observa los rectángulos que están en la gráfica y los que dibujaste.
Platica con tus compañeros sobre la
forma de la gráfica que representa una
relación de proporcionalidad inversa.
⑤ Busca dos magnitudes que varíen en forma inversamente proporcional.
Ancho (cm) 1 2 3 4 6 8 12 24
Largo (cm) 24
Ancho y largo de rectángulos de 24 m2
Ancho
1 2 3 4 6 8 12 24 Ancho (cm)
Longitud (cm)
2 veces3 veces 2 veces4 veces
vecesvecesveces veces
9998
Una gráfica de
proporcionalidad directa es
una línea recta que llega al 0,
pero la gráfica de la
proporcionalidad inversa
no es una línea recta.
Veamos cómo cambia
el largo cuando
disminuye el ancho.
La esquina superior derecha
de cada rectángulo es un punto
de la gráfica.
(cm)
(cm)
5 cm
101100
2, 3, 7,
5, 7, 3,
Página 10
l
Página 16
Página 22
2, 7, 3, 4,
Kg
85 yenes
Página 25
① 15, 50, 0.3 ② 35, 50, 0.7
7, 14, 0.5, 6, 10, 0.6
El mejor registro fue el 13 de septiembre.
Página 37
① 2：1(100：50)② 1：2(8：16)
Ejemplos 3：2, 6：4, 24：16
① 6 ② 20 ③ 128 ④ 75
12 cm
15 cm
Páginas 40-41
① 280 yenes ② 1960 yenes
El aeroplano viaja a una velocidad de
250 m por segundo.
El sonido viaja a una velocidad de
340 m por segundo.
El sonido es más rápido.
15 piezas
① 7 ② 6, 3
① ② ③6 cm 16 cm 18 cm
2
4 13, 33, 10
5.7, 2.7, 6.3, 2.8
5
Páginas 65-66
① cm2
g
ml
Km
② 400 m 3 m2, 30000 cm2
2 l，20 dl
1
2 ① Rectángulo … Largo, Ancho
Cuadrado … Un lado, Un Lado
Paralelogramo… Base, Altura
Triángulo … Base, Altura, 2
Círculo …Radio, Radio, 3.14
③ 6.9 cm2 6 cm2 157 cm2
Páginas 67-68
1 ① Paralelogramo, Rombo
Rectángulo, Cuadrado
Rectángulo, Cuadrado
Rombo, Cuadrado
Rombo, Cuadrado
Paralelógramo, Rombo
Rectángulo, Cuadrado
Páginas 69-70
1 ① Gráfica de barras, gráfica circular
Gráfica de línea
② 1985… cercano al 43%
1995… cercano al 48%
Gráfica de barras
② 15
③ Cara EFGH
Arista DC, Arista EF, Arista HG
120
68
60
③ 5 cm 56 g
① 8.5 cm
②
2
Páginas 72-73
6006，60606，606606，6066606，
60666606，606666606
42，4422，444222，44442222，
4444422222，666666×666667
1，11，111，1111，11111，
111111，1111111，11111111
1，121，12321，1234321，
123454321
① 143
1254
2
92
② ③
⑤ ⑥ ⑦
203
④ 21
⑧ 30
67
52
521
524
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
① ② ③ ④524
27
18
120
235
34
17
l718
209
32
6
① ② ③
④ ⑤ ⑥
59
4
49
103
76
113
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
① ② ③ ④112
635
38
25
521
14
203
Kg58
3, 9, 4, 5, 2720
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
① ② ③ ④ 2512
92
32
23
4920
32
258
18
38
512
① ② ③
④ ⑤ ⑥
635
56
1516
43
y23
25
① Kg ② Kg23
73
① veces ② 360 cm43
Página 56
① 3 4 5
150 200 250
② 3 4 5
12 16 20
2 3 4 5
160 240 320 400
3 × largo ＝Peso
80 × largo ＝ costo
①
②
Páginas 63-64
1 ① 3 grupos de 10 000, 5 grupos de
1000,7 grupos de 100
3 grupos de 1000 000, 5 grupos de
10 000,7 grupos de 10
3 grupos de 10, 5 grupos de 1,
7 grupos de 0,01
3 grupos de 1. 5 grupos de 0.01,
7 grupos de 0.001
② 230 veces 23 veces
23 veces 230 veces
35
35
25
①
37725
41
710
①
② 317
③ 1 235
12
1 223
34
0.52 1.75
0.3, , , 0.41,13
25
715
1115
115
215
65
①
②
②
4，9，25，49
36, 6 16, 8
3 ① Prisma rectangular…Largo x Ancho x Altura
Cubo…Arista x Arista x Arista
② 800 cm3 1728 cm3
3750 cm3
4 ① Velocidad x Tiempo＝Distancia
2 Km②
2
7
3
Respuestas Respuestas
,
, , ,
1
2
3
4
2
1
6
5
4
3
2
1
1
8
9
6
5
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1 1
2
3
4
5
103102
②
③
4，8，16
32，64，128，256，512
2 veces
Página 83
6 manzanas, 4 naranjas
Página 84
① (1)
(2)
(3)
4 5 6 7 8 9 10 11
20 25 30 35 40 45 50 45
②
4 5 6 7 8 9 10 11
60 50 40 30 20 10 0 10
4 5 6 7 8 9 10 11
80 75 70 65 60 55 50 55
③ −(1)， −(3)， −(2)
Página 85
① Aumenta en 1, 2, 3, 4, 5, etc.
② 21,28 ③ 55 fichas
Página 86
① Aumenta en 2, 3, 5, 7, 9 etc.
② 36，49
③ Los números que están
en la diagonal de la tabla
de multiplicar.
④ 100 piedras
Página 87
① 32 niños
② 2 veces el número de ayer
③ Predicción de , Día 27
Página 89
① ②
③ ④
Página 90
①，③，④
Página 77
①
①
Furu masu 1687.5 cm3
Kyo masu 1750.329 cm3
Furu masu es mayor.
Página 79
Dia 5
Páginas 80-81
①
1 9 36 84 12612684 36 9 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Respuestas
¿Conoces la Montaña de las Matemáticas?
No se puede encontrar en un mapa, está en nuestra mente. Has estudiado
matemáticas por 6 años, ahora estás en la cima de la montaña.
Has desarrollado tus habilidades, esto es similar a escalar una montaña por ti
mismo, con tu esfuerzo y el apoyo de cada uno de tus compañeros. El camino no
siempre es plano. En ocasiones una cuesta te puede costar mucho sudor. Quizá te
perdiste o te equivocaste en varias ocasiones, pero has escalado la montaña paso a
paso con tus piernas, debes sentirte orgulloso de lo que has logrado.
Te presente que lo más importante al estudiar matemáticas es continuar desafián-
dote a ti mismo, no debes frustrarte al cometer un error. Disfrutas el poder real de
las matemáticas cuando descubres que encontrar las respuestas fue extremadamente
difícil al inicio y que ese esfuerzo te proporcioné nuevos y valiosos conocimientos.
Ahora puedes mirar atrás, son seis años que invertiste en escalar hacia la
cima de la montaña.
Pero puedes también mirar hacia delante, hacia una nueva Montaña de las
Matemáticas. ¿Qué descubrimientos interesantes habrá en ella?
¡Existe mucho más por aprender en el mundo de las matemáticas!
En la cima de la
montaña de las
matemáticas
1
1
MA
T
E
E TMA
A
AT
M
E
T E M
104
