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Problemas propuestos
1) Hallar el limite de las siguientes sucesiones con:
a)an=(−1)n−1
n
1 ,−0.5,0 .333 ,−0.25,0 .2,…,(−1)n−1
nan=
(−1)n−1
n
a1=1 , a2=−0.5 , a1000=−1∗10−3 , a1000000=−1∗10−6
an→0
EL LIMITE ES 0
B)an=n−1
n2
0,0.25,0 .222,0 .1875,0 .16 ,…,n−1
n2an=
n−1
n2
a1=0 , a2=0.25 ,a1000=9.99∗10−4 , a1000000=9.99999∗10−7
an→0
EL LIMITE ES 0
2) En los problemas siguientes calcular el limite que se indica:
a)limx→0
(x− 1x−1
)
¿( (0 )− 1(0 )−1 )=−1
−1=1
x→0 f (x)→1
b)limx→1
( x+1
x2−x−2)
¿( (1 )+1
(1 )2− (1 )−2 )= 2−2
=−1
x→1 f ( x )→−1
c)limx→0
(√3+x−√3x )
¿(√3+(0 )−√3( 0 ) )=√3−√3
0=0
0=0
limx→0
(√3+x−√3x )∗√3+x+√3
√3+x+√3=¿ lim
x→0 ( (√3+ x )2−(√3 )2
(x ) (√3+x+√3 ) )¿
limx→0 ( 3+x−3
( x ) (√3+x+√3 ) )=limx→0 ( x
(x ) (√3+x+√3 ) )=limx→0
1
√3+x+√3
¿ 1
√3+(0)+√3= 1
√3+√3= 1
2√3
x→0 f ( x )→ 1
2√3
d)limx→3
(√ x+1−2x−3 )
¿(√3+(1 )−2(3 )−3 )=√4−2
0=0
0=0
limx→3
(√x+1−2x−3 )∗√ x+1+2
√ x+1+2=¿ lim
x→3 ( (√x+1 )2−(2 )2
( x−3 ) (√x+1+2 ) )¿
limx→3 ( x+1−4
( x−3 ) (√ x+1+2 ) )=limx→3 ( x−3
( x−3 ) (√ x+1+2 ) )=limx→3
1
√ x+1+2
¿ 1
√(3 )+1+2= 1
√4+2= 1
2+2=1
4
x→3 f ( x )→ 14
e)limh→4 √ h
h+5 ( h2−16h−4 )
2
¿√ (4 )( 4 )+5 ( (4 )2−16
(4 )−4 )=√ 49=
00=0
limh→4 √ h
h+5 ( (h+4 ) (h−4 )h−4 )
2
=¿ limh→4 √ h
h+5(h+4 )2 ¿
¿√ (4 )( 4 )+5
( (4 )+4 )2=√ 49
(8 )2=( 23 ) (64 )=128
3
h→4 f (x )→ 1283
f)limx→1
x2−4x2−5 x+6
¿(1 )2−4
(1 )2−5 (1 )+6= 1−4
1−5+6= −3
−5+7=−3
2
x→1 f ( x )→−32
g) lim∆ x→0
( x+∆x2−x2
∆ x )
¿( (x+(0 ) )2−x2
(0 ) )= x2−x2
0=
00=0
lim∆ x→0
( (x+∆x )2−x2
∆ x )=lim∆x→0
[ (x+∆ x )+( x ) ] [ ( x+∆ x )−( x ) ]∆ x
lim∆ x→0 ( (2x+∆ x ) (∆ x )
∆ x )= lim∆x→0
2x+∆ x
¿2 x+0=2 x
∆ x→0 f ( x )→2x
h)limx→0 ( x
√2+ x−√2 )¿( (0 )
√2+(0 )−√2 )= 0
√2−√2=
00=0
lim∆ x→0
( x
√2+x−√2 )∗√2+x+√2
√2+x+√2=¿ lim
∆ x→0¿¿¿
lim∆ x→0
¿¿
¿√2+(0 )+√2=√2+√2=2√2
x→0 f ( x )→2√2
i)limx→2
( x5−32x−2 )
¿( (2 )5−32(2 )−2 )= x2−x2
0=
00=0
limx→2 ( (x4+2 x3+4 x2+8 x+16 ) ( x−2 )
( x−2 ) )=limx→2
¿ (x4+2 x3+4 x2+8 x+16 )¿
¿ (2 )4+2 (2 )3+4 (2 )2+8 (2 )+16=16+16+16+16+16=80
x→2 f ( x )→80
j)limh→1
(√b+2 (h−1 )−√bh−1 )
¿ √b+2 ( (1 )−1 )−√b(1 )−1
=00=0
lim∆ x→0
√b+2 ( (h )−1 )−√b(h )−1
∗√b+2 ( (h )−1 )+√b
√b+2 ( (h )−1 )+√b
¿ lim∆ x→0
(√b+2 ( (h )−1 ))2−(√b )2
( (h )−1 )(√b+2 ( (h )−1 )+√b)
¿ lim∆ x→0
(h−1 )b+2−b
( (h )−1 )(√b+2 ( (h )−1 )+√b)
¿ lim∆ x→0
2
(√b+2 ( (h )−1 )+√b)
¿ 2
(√b+2 ( (1 )−1 )+√b)= 2
(√b+√b )= 2
2√b= 1
√b
x→1 f ( x )→ 1
√b
k) limx→−1
( x3+1x+1 )
¿( (−1 )3+1(−1 )+1 )=0
0=0
limx→−1 ( (x2−x+1 ) ( x+1 )
( x+1 ) )= limx→−1
¿ (x2−x+1 )¿
¿ (−1 )2−(−1 )+1=1+1+1=3
x→−1 f ( x )→3
l)limx→0
( 1x+4
−14
x )
¿( 1(0 )+4
−14
(0 ) )=00=0
limx→0
( 4−( x+4 )( x+4 ) (4 )
x )=limx→0
¿( x4 x+16x )= lim
x→0x
( x ) ( 4 x+16 )=
limx→0
1
(4 x+16 )¿
¿ 1
(4 (0 )+16 )= 1
16
x→0 f ( x )→ 116
m)limx→5
(√ x−√5x−5 )
¿ √5−√55−5
=00=0
¿ limx→5
√x−√5x−5
∗√x+√5
√ x+√5
limx→5
(√ x )2−(√5 )2
( x−5 ) (√x+√5 )=limx→5
¿(x−5 )
( x−5 ) (√ x+√5 )=
limx→5
1
(√ x+√5 )¿
¿ 1
√5+√5= 1
2√5
x→5 f ( x )→ 1
2√5
n)limx→1 ( 1−x
√5−x2−2 )¿
1−(1 )
√5−(1 )2−2= 0
√5−1−2= 0
√4−2= 0
2−2=0
0=0
¿ limx→1
1−x
√5−x2−2∗√5−x2+2
√5−x2+2
limx→1
(1− x ) (√5− x2+2 )(√5−x2 )2
−(2 )2=limx→1
¿(1−x ) (√5−x2+2 )
5−x2−4¿
¿limx→1
(1−x )(√5−x2+2)
1−x2 =limx→1
(1−x )(√5−x2+2)
(1−x ) (1+x )
limx→1
(√5−x2+2)
1+x=
(√5−(1 )2+2)1+ (1 )
=(√5−1+2)
2=
(2+2)2
=42=2
x→5 f ( x )→2
ñ)limx→4 ( x−4
x (√x−2 ) )¿( (4 )−4
( 4 ) (√4−2 ) )= 0
(4 ) (√4−2 )=
0( 4 ) (2−2 )
=00=0
limx→ 4 ( (√ x−2 ) (√x+2 )
( x ) (√ x−2 ) )=¿ limx→ 4 ( (√ x+2 )
( x ) )¿
¿(√ (4 )+2 )
( 4 )=2+2
4=1
x→4 f ( x )→1
3) Dadas las siguientes funciones calcular ellimh→0
f (x+h )−f ( x )h
a)f ( x )=5 x3
limh→0
5 ( x+h )3−5 x3
h
limh→0
5 ( x+h )3−5 x3
h=
limh→0
5 x3+15 x2h+15 xh2+5h3−5x3
h
limh→0
(h )(15 x2+15 xh+5h2)
h=limh→0
15 x2+15xh+5h2
¿15 x2+15 x (0 )+5 (0 )2=15 x2
h→0 f (x )→15 x2
b)f ( x )=1x
limh→0
1x+h
−1x
h
limh→0
( x )−( x+h )( x+h ) (x )h
=limh→0
x−x+h(x+h ) ( x )h
=limh→0
h( x+h ) ( x )h
=limh→0
h
[ ( x+h ) ( x ) ] [h ]
limh→0
1
( x+h )(x)= 1
(x+(0 ) )(x )= 1
2 x
h→0 f (x )→ 12x
c)f ( x )=3 x2−5 x
limh→0
3 ( x+h )2−5 ( x+h )−(3 x2−5x )h
limh→0
3 x2+6 xh+3h2−5 x−5h−3 x2+5 xh
¿limh→0
6 xh+3h2−5h
h=limh→0
6 x+3h−5
¿6 x+3 (0 )−5=6 x−5
h→0 f ( x )→6 x−5
4) Encuentra los limites laterales que se indican:
a)lim
x→2+¿ √ x2−4x2−3x+2
¿
¿
x→2+¿¿
x f (x)2.1 1.93062.01 1.99262.001 1.99932.0001 1.9999x→2+¿ f ( x )→2¿
b)lim
x→1−¿ x−1
√x2−1¿
¿
x→1−¿ ¿
x f (x)0.9 No existe0.99 No existe
0.999 No existe0.9999 No existex→2+¿ f ( x )→Noexiste ¿
5) Determinar los limites, en el punto x = 2 de la funcion f definida por:
f ( x )={x2 , si x<24 , si x>2
x=2 , y=4
x→2 f ( x )→4
6) Dada la siguiente funcionf ( x )={ 3 x+5 si x←1x2+1 si−1<x<2
6−x si x>2 calcula (en caso de
existir) los siguientes limites:A) limx→−1
f (x)B)limx→1
f (x )
-15 -10 -5 5 10 15
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
A)x→−1 f ( x )→2 f (x )→2 existe el límiteB)x→1 f ( x )→2 f (x )→5No existe el límite
7) Encuentre los limites que se indican.A)limx→1
t 2+1t 2−1
¿(1)2+1
(1)2−1=2
0=∞
x→1 f (x )→∞
B)limx→∞
x2
3x+1
limx→∞
x2
3x=
limx→∞
x
3=∞
3=∞
x→∞ f ( x)→∞
8) Encuentre las asintotas verticales y horizontales y haga un bosquejo de la grafica de la funcion dada.A)f ( x )= 1
x−2
Asíntota vertical:
limx→2
1x−2
= 1(2 )−2
=10=±∞
x=2A.v.
Asíntota horizontal:
limx→∞
1x−2
=limx→∞
1
x= 1∞
=0
x=0A.H.
B)f ( x )= 1
( x−2 )2
Asíntota vertical:
limx→2
1
( x−2 )2= 1
( (2 )−2 )2=1
0=±∞
x=2A.v.
Asíntota horizontal:
limx→∞
1
( x−2 )2=
limx→∞
1
x2 = 1∞
=0
x=0A.H.
-15 -10 -5 5 10 15
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
f x = 1
x-2
9) Determinar la continuidad o discontinuidad de f ( x )= 5
x4−16
f ( x )= 5
x4−16= 5
(x2−4 ) (x2+4 )
Es discontinua en x=2 y X=-2 y continua en todo numero.
Es una función discontinua asintótica.
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
x y
-2.1 -0.14105
-1.9 -0.17222
-1 -0.29412
0 -.3125
1 -.333
1.9 -1. 6847
2.1 1. 4501
10) En que intervalos es continua f ( x )=5−√6−x2
f ( x )=5−√6−x2
6−x2≥0∴ (√6−x ) (√6+x )≥0
caso 1caso 2
√6−x≥0√6−x ≤0
x≤√6 x≥√6
√6+x ≥0 √6+x ≤0
x≥−√6 x≤−√6
x≤√6∩x≥−√6=(−√6 ,√6 )x ≥√6∩x ≤−√6=∅14
12
10
8
6
4
2
-2
-10 -5 5 10
