Ejercicios de lmites resueltos
(Esta relacin de ejercicios est RESUELTA al final de la pgina)
(Las ecuaciones pueden tardar algn tiempo en cargarse dada la
longitud de la pgina)
(Las ecuaciones pueden tardar algn tiempo en cargarse dada la
longitud de la pgina)
6. Estudiar los lmites laterales de las siguientes funciones en
los puntos que anulan al denominador:
A)
B)
7. Estudiar la existencia de lmite de las funciones siguientes
con uso de los lmites laterales)
(hacer
A)
B) 8. Calcular
A)
B) 9. Calcular:
10. Hallar una relacin entre los parmetros a y b de modo que
exista el lmite de la funcin f(x) en x=1
11. Calcular
12. Calcular
sabiendo que
13. Calcular
14. Calcular
15. Calcular
siendo:
SOLUCIONES:
- Tenemos que descomponer el numerador (ya est factorizado) y el
denominador para simplificar, si es posible. Factorizamos el
denominador:
- En este lmite no hay dos variables como pudiera parecer. En
realidad, slo hay una, h (puesto que es la variable que aparece en
la expresin del lmite). La x que aparece hay que considerarla como
un nmero concreto. - Haciendo operaciones:
- Sacando factor comn en el numerador y simplificando:
- Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador
(para quitar la raz cuadrada, buscando la expresin "suma por
diferencia"):
- Haciendo operaciones podemos ahora simplificar:
- Esta indeterminacin, en este caso, se puede resolver como las
de las sucesiones (ver) dividiendo por la mayor potencia de x. Como
veamos tambin entonces, basta con estudiar los grados de los
polinomios que aparecen en el numerador y denominador. - En nuestro
caso, tenemos mayor grado abajo, luego:
- Tenemos mayor grado arriba, luego basta con estudiar los
signos de los trminos de mayor grado.
6. Estudiar los lmites laterales de las siguientes funciones en
los puntos que anulan al denominador:
A)
B) Apartado A)
- El denominador se anula en x = 3 Lmite por la derecha
- En la ltima expresin tenemos: A) El lmite es infinito B) Al
ser h mayor que cero, el numerador y el denominador son siempre
positivos. - Por lo tanto:
Lmite por la izquierda
- En la ltima expresin tenemos:
A) El lmite es infinito B) Al ser h una cantidad infinitamente
pequea, pero mayor que cero, el numerador y el denominador son
siempre positivos. - Por lo tanto:
NOTA: Como los dos lmites laterales son iguales, podemos decir
que
Apartado B)
- El denominador se anula en x = 3 Lmite por la derecha
- Como en el caso anterior, en la ltima expresin tenemos: A) El
lmite es infinito B) Al ser h mayor que cero, el numerador y el
denominador son siempre positivos. - Por lo tanto:
Lmite por la izquierda
- En la ltima expresin tenemos: A) El lmite es infinito B) Al
ser h una cantidad infinitamente pequea, pero mayor que cero, el
numerador es siempre positivo, pero el denominador es siempre
negativo. El cociente, en consecuencia, es negativo - Por lo
tanto:
NOTA: Como los dos lmites laterales son distintos, podemos decir
que
7. Estudiar la existencia de lmite de las funciones siguientes
con (hacer uso de los lmites laterales)
A)
B) Apartado A)
Lmite por la derecha
- Como
, se tiene que
. Por lo tanto, se tiene que
Lmite por la izquierda
- Como
, se tiene que
. Por lo tanto, se tiene que
- En resumen, podemos concluir que :
Apartado B)
Lmite por la derecha
- Multiplicamos todos los trminos por
y tenemos:
- Como , se tiene que ser mayor que 0). Por lo tanto, se tiene
que:
(por
Lmite por la izquierda
- Por lo tanto:
8. Calcular
A)
B) SOLUCIN:
Apartado A) - Para calcular un lmite con x tendiendo a menos
infinito, basta con cambiar x por - x y hacer que tienda a ms
infinito.
Apartado B)
9. Calcular:
SOLUCIN: Apartado a)
- Se resuelve multiplicando y dividiendo por la raz y
descomponiendo el polinomio del denominador:
Apartado b)
- Se resuelve factorizando numerador y denominador. (Para
factorizar, al ser polinomios de 2 grado, se puede utilizar la
ecuacin de segundo grado).
Apartado c)
- Como vemos, no se trataba de una expresin indeterminada.
Apartado d)
- De nuevo, estamos ante una expresin que no era indeterminada.
(Conviene que antes de ponerse a resolver un lmite, nos cercionemos
de que estamos realmente ante un expresin indeterminada).
10. Hallar una relacin entre los parmetros a y b de modo que
exista el lmite de la funcin f(x) en x=1
SOLUCIN: - Calculamos los lmites laterales en el punto x=1 para
asegurarnos la existencia del lmite de la funcin en ese punto.
- Para que exista lmite en el punto 1, los dos lmites laterales
tienen que ser iguales, por lo tanto: a+b=b-a 2a = 0 - Es
decir:
11. Calcular SOLUCIN:
Sabemos que
12. Calcular SOLUCIN:
sabiendo que
Como
tambin se tiene que
13. Calcular SOLUCIN:
Sabemos que
- Vamos a calcular ahora el lmite del exponente. Para
calcularlo, hacemos uso de los lmites laterales en x = 0 (porque
sustituyendo en la expresin la x por 0 obtenemos (-4) dividido
entre - infinito)
- Tal y como se ha indicado entre corchetes, en este lmite la
cantidad del numerador es siempre positiva, mientras que las
cantidades del denominador son respectivamente positiva y negativa.
Por tanto el lmite es + infinito.
- En cambio, en este lmite, las cantidades son todas negativas
(con lo cual el lmite es - infinito)
- As pues, el lmite del exponente de la ltima expresin no
existe(por ser distintos los lmites laterales). Por tanto:
14. Calcular SOLUCIN:
- Para resolver este lmite, conviene que hagamos un cambio de
variable: - Llamaremos: - Con lo cual: z=x-2 x=z+2
- Adems:
- Con lo que:
- Con esto tenemos:
Sabemos que
luego:
15. Calcular SOLUCIN:
siendo:
Luego Nota: Como vemos, no importa el valor de la funcin en el
punto (que, en este caso, es 8) paracalcular el lmite de esa funcin
en ese punto.
