FACULTAD DE INGENIERADIVISIN DE CIENCIAS BSICAS

DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD YESTADSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADSTICA Serie de los Temas III y IV

Semestre: 2007-1

1.- Determinar el rango (valores posibles) de la variable aleatoria

a) La variable aleatoria es el contenido de humedad de un lote de materiaprima, medido hasta el porcentaje entero ms cercano.

b) La variable aleatoria es el nmero de problemas en la superficie deuna bobina grande de acero galvanizado.

c) La variable aleatoria es el nmero de ciclos de reloj de unacomputadora necesarios para finalizar un determinado clculoaritmtico.

d) En la orden de pedido de un automvil puede seleccionarse el modelobase o aadir cualquier nmero de opciones, hasta 15. La variable esel nmero de opciones seleccionadas en un pedido.

e) Un entablado de madera puede pedirse en espesores de , o de

pulgada. La variable aleatoria es el espesor total del entablado de dospedidos.

2.- Un sistema de inspeccin ptica es capaz de distinguir cuatro partes distintas.La probabilidad de clasificar de manera correcta cualquier parte es 0.98.Suponer que se inspeccionan tres partes y que la clasificacin de stas esindependiente. Sea la variable aleatoria el nmero de partes clasificadascorrectamente. Determinar la funcin de probabilidad de .

Respuesta: Un valor de la funcin es

3.- Sea una variable aleatoria con funcin de densidad

Obtener y Respuesta: a) 0.3125

4.- Sea una variable aleatoria con la siguiente funcin de distribucin

a) Obtener la funcin de densidad para .b) Calcular .c) Calcular .d) Calcular .Respuesta: b) 0.4375 c) 0.8125

5.- Se sabe que la probabilidad de que sea posible conectarse en un momento dadocon una computadora desde una terminal remota es de 0.7. Sea el nmero deintentos que deben hacerse para tener acceso a la computadora.a) Encontrar los cuatro primero trminos de la tabla de probabilidad.b) Calcular una expresin cerrada para .c) Hallar .d) Calcular una expresin cerrada para .e) Usar para calcular la probabilidad de que deban hacerse cuando

mucho cuatro intentos para tener acceso a la computadora.f) Usar para calcular la probabilidad de que se requieran por lo menos

cinco intentos para tener acceso a la computadora.

6.- La demanda semanal de cierto artculo tiene un comportamiento probabilsticoque queda resumido en la funcin de distribucin siguiente:

Demanda ( ) 0 50 100 150

Probabilidad 0.4 0.3 0.2 0.1

a) Considerando que la demanda de una semana es independiente de otra,determinar la funcin de distribucin del artculo a nivel catorcenal(i.e., cada dos semanas).

b) Calcular la media y la variancia de la utilidad catorcenal, si la utilidaden funcin de la demanda catorcenal es .

Respuesta: a) 800, b) 500 000

Probabilidad y Estadstica 2

7.- El tiempo total, medido en unidades de 100 horas, que un adolescente escuchasu estreo durante un ao es una variable aleatoria continua que tiene lafuncin de densidad

Utilizar teoremas para calcular la media de la variable aleatoria, donde es igual al nmero de kilowatt-hora que se gastan

anualmente.

8.- Sea la variable aleatoria que representa el avance entre dos automvilesconsecutivos elegidos al azar, en segundos, en cierta situacin de flujo deautomviles. Supngase que la distribucin del tiempo de avance tiene la forma

a) Determinar el valor de para el cual es una funcin de densidadlegtima.

b) Obtener la funcin de distribucin acumulada.c) Utilizar la fda del inciso (b) para determinar la probabilidad de que el

avance exceda 2 [s] y tambin la probabilidad de que el avance estentre 2 y 3 [s].

d) Obtener el valor medio y la desviacin estndar del avance.e) Cul es la probabilidad de que el avance est dentro de una

desviacin estndar del valor medio?Respuestas: a) 3, c) 0.08796, d) 1.5, 0.866, e) 0.9245

9.- Un fabricante de computadoras espera que uno de sus dos clientes ordene unsistema (el sistema se compone de CPU y RAM). Sus estimaciones se muestranen la tabla. Si cada eleccin es independiente, determinar:a) La distribucin de probabilidad (funcin masa del precio total del

sistema ordenado).b) El valor medio del precio de venta.c) La variancia del precio de venta.d) El sesgo e interpretar el resultado.

Unidad Probabilidadde venta

Precio deventa

CPU nuevo 0.5 250CPU viejo 0.5 200RAM limitada 0.1 50RAM regular 0.5 100RAM grande 0.4 150

Respuestas: b) 340, c) 1650 y d) -0.17904

10.- El tiempo de terminacin para cierta tarea, es una variable aleatoria confuncin de densidad de probabilidad dada por

a) Obtener la funcin de distribucin acumulativa .

b) Usar la funcin obtenida en el inciso (a) para calcular:

b1)

b2)

b3)

c) Calcular el tiempo esperado de terminacin para la tarea.

d) Calcular la moda y la mediana.

e) Utilizar los resultados obtenidos en (c) y (d) para concluir acerca dela simetra de la distribucin.

Respuestas: b3) 0.821 , d)

11.- En una fbrica de circuitos electrnicos, se afirma que la proporcin deunidades defectuosas de cierto componente que sta produce, es del 5%. Unbuen comprador de estos componentes revisa 15 unidades seleccionadas al azary encuentra cuatro defectuosas. Si la compaa se encuentra en lo correcto yprevalecen las suposiciones para que la distribucin binomial sea el modelo deprobabilidad adecuado para esta situacin. Cul es la probabilidad de estehecho? Con base en el resultado anterior, puede concluirse que la compaaest equivocada?

Respuesta: 0.004852, pero se concluye con 0.005467

12.- Se forma una empresa de explotacin petrolera con suficiente capital parafinanciar 10 exploraciones. La probabilidad de que una exploracin enparticular sea exitosa es de 0.1. Si las exploraciones son independientes y setiene un costo fijo de 20,000 U.M. para preparar el equipo antes de la primeraexploracin; si cada exploracin exitosa cuesta 30,000 U.M. y cada exploracinfallida 15,000 U.M. Obtener el costo total esperado de la empresa para las diezexploraciones.

Probabilidad y Estadstica 3

13.- La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotesen cualquier perodo de un segundo, es igual a 0.1. Suponer que los clientesllegan de manera aleatoria y por lo tanto las llegadas en cada intervalo de unsegundo son independientes.a) Encontrar la probabilidad de que la primera llegada ocurra durante el

tercer intervalo de un segundo.b) Calcular la probabilidad de que la primera llegada no ocurra hasta al

menos el tercer intervalo de un segundo.Respuestas: a) 0.081, b) 0.81

14.- Supngase que se van a realizar cinco experimentos de laboratorio idnticos eindependientes. Cada experimento es extremadamente sensible a lascondiciones ambientales, y slo hay una probabilidad de que se terminar conxito. Obtener matemticamente el valor de que maximice la probabilidadde que el quinto ensayo sea el primer experimento no exitoso.

Respuesta:

15.- El 15% de los baleros producidos por una mquina son defectuosos, si seanaliza una muestra de cuatro baleros elegidos al azar, cul es la probabilidadde que:a) sean defectuosos ms de uno;b) el cuarto balero elegido sea el primer defectuoso;c) el cuarto balero elegido sea el segundo defectuoso?Respuesta: b) 0.09212

16.- Se aplican anlisis a los obreros de una empresa que fabrica material aislantea fin de detectar la existencia de asbesto en sus pulmones. La fbrica tiene quemandar a tres obreros con indicaciones positivas de asbesto a un Centro Mdicopara realizar ms pruebas. Considrese que 40% de los trabajadores tienenindicaciones positivas de asbesto en los pulmones.a) Determinar la probabilidad de que se tengan que examinar 10

operarios para encontrar tres "positivos".b) Si cada prueba cuesta 200 pesos, obtener el valor esperado y la

variancia del costo total de la realizacin de las pruebas necesariaspara localizar a tres empleados positivos.

17.- El nmero de solicitudes de asistencia recibido por un servicio de remolque devehculos con fallas es un proceso de Poisson con tasa de 4 solicitudes por hora.a) Calcular la probabilidad de que exactamente 10 solicitudes se reciban

durante un periodo en particular de dos horas.b) Si los operadores de las gras de remolque descansan durante 30

minutos para tomar alimentos, cul es la probabilidad de que no sepierda ninguna llamada de asistencia?

c) Cuntas llamadas se esperaran durante el descanso?

Respuestas: a) 0.099, b) 0.135, c) 2

18.- El nmero de colonias de bacterias en determinado tipo de muestras de aguacontaminada tiene una distribucin de Poisson con promedio de 2 porcentmetro cbico.a) Si se seleccionan en forma independiente cuatro muestras de un

centmetro cbico de agua, calcular la probabilidad de que por lomenos una muestra contenga una o ms colonias de bacterias.

b) Cuntas muestras de un centmetro cbico de agua debenseleccionarse para alcanzar una probabilidad aproximada de 0.98 dever por lo menos una colonia de bacterias?

Respuesta:

19.- De datos estadsticos se sabe que en promedio, dos de cada 1000 aspirantes aingresar a la Universidad, obtienen en el examen de admisin la mximacalificacin en la escala de cero a diez.a) Cul es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 3000

exmenes de admisin presentados por igual nmero de aspiranteshaya por lo menos seis dieces?

b) Cul es la probabilidad de que el evaluador encuentre el primer diezen el quinto examen que califique?

20.- Las llamadas para enlazarse, desde terminales remotas, llegan a un centro decmputo a una frecuencia de por minuto. Las llamadas siguen unadistribucin de Poisson. Si una llamada llega al principio de un minuto, calcularla probabilidad de que no llegue una segunda llamada en los segundossiguientes.Respuesta: 0.264

21.- Sea la variable aleatoria que representa la distancia en metros que un animalse mueve desde su lugar de nacimiento hasta el primer territorio vacante queencuentra. Supngase que para las ratas canguro, tiene distribucinexponencial con parmetro .

a) Cul es la probabilidad de que la distancia sea a lo sumo 100 [m]?Cuando mucho 200 [m]? Entre 100 y 200 [m]?

b) Cul es la probabilidad de que la distancia sea mayor que la distanciapromedio en ms de dos desviaciones estndar?

c) Cul es el valor de la mediana de la distancia?Respuestas: a) i) 0.74993, b) 0.04979 y c) 50.011

22.- Un constructor de casas debe solicitar ciertos materiales que tienen una demoraen su suministro, , con una distribucin continua uniforme en el intervalo deuno hasta cuatro das. Ya que puede prescindir de ellos durante dos das, elcosto de la demora se fij en $100 para cualquier demora de hasta dos das. Sinembargo, despus de dos das el costo de la demora es $100 ms $20 por cadada extra. Es decir, si el tiempo de demora es de 3.5 das, el costo es

. Calcular el valor esperado del costo para elconstructor debido a la demora en el suministro de los materiales.

Respuesta: 113.33

Probabilidad y Estadstica 4

23.- En cierto artculo cientfico, se sugiere que la concentracin de sustrato(mg/cm3) de flujo entrante a un reactor tiene una distribucin normal con

y .a) Cul es la probabilidad de que la concentracin sea mayor que 0.25?b) Cul es la probabilidad de que la concentracin sea a lo sumo 0.10?c) Cmo caracterizara el 5 % ms grande de los valores de

concentracin?Respuestas: a) 0.7967 , b) 0.0004

24.- Los marineros usan calcetines que tiene una vida media de 50 das con unavariancia de 64 (das)2. Suponiendo que la duracin de dichas medias estdistribuida de manera normal, de 150 000 pares enviados, cuntos se esperaque necesiten reposicin antes de 42 das ? Antes de 63 das ?

25.- En una ciudad 20% de los habitantes prefieren un coche blanco sobre cualquierotro color disponible, cul es la probabilidad de que entre 1000 coches que hayen la ciudad, existan entre 170 y 180 coches blancos?Respuesta: 0.0531

26.- Un administrador de un taller quiere elaborar un modelo de simulacin paraayudar a programar las tareas del taller. l ha evaluado los tiempos paracompletar las diferentes tareas. Para una tarea en particular, los tiempos determinacin se representan mediante la distribucin triangular:

Elaborar un generador de proceso para esta distribucin por medio del mtodode la transformada inversa.