TEMA: Problemas de Probabilidad y Teorema de Bayes

NOMBRE: Sonia Machay

CURSO: CA4-7

INGENIERO: Francisco Bahamonde

LUGARY FECHA: Quito 18 de Octubre de 2012

1) Se lanza un dado los eventos

A. Obtener un número parB. Obtener un número 3

Espacio muestral E {1,2,3,4,5,6 }

A= {2,4,6 }B= {3 }

P(A)= 36

= 0.5

P(A)= 16

= 0,17

2) Se lanza una moneda los eventos

A. Obtener caraB. Obtener sello

Espacio muestral E {C , S }

A= {C }B= { S }

P(A)= 12

= 0.5

P(B)= 12

= 0.5

3) El experimento consiste en lanzar dos dados .Se pide realizar lo siguiente

a) Elaborar el espacio muestral del experimento.b) Hallar la probabilidad que al lanzar los dados, la suma de las caras de

los dados es igual a 10.

a)

Espacio muestral E= {1,1 ;2,1 ;3,1; 4,1;5,1 ;6,11,2 ;2,2 ;3,2; 4,2;5,2 ;6,21,3 ;2,3 ;3,3; 4,3 ;5,3; 6,31,4 ;2,4 ;3,4 ; 4,4 ;5,4 ;6,41,5 ;2,5 ;3,5; 4,5 ;5,5; 6,51,6 ;2,6 ;3,6 ; 4,6 ;5,6 ;6,6

}b)P (b)= {(6,4 ) ; (5,5 ); (4,6)}=

336

= 0.0833

4) Se lanza un dado y se anota el número de cara superiores y si el suceso es

A. Se obtiene un número parCalcular la probabilidad de que Aocurra, si realizar los experimentos

Espacio muestral E = {1,2,3,4,5,6 }

P(A)= {2,4,6 }

P(A)= 36

= 50%

5) Si un lote de 50 televisores, 40 funcionan y 10 no funcionan. Se escoge un televisor al azar ¿Cuál es la probabilidad que sea el que no funcione?

Espacio muestral E= {Televisores }

A: Evento de televisores que no funcionan

P(A) ¿1050

= 20%

6) Se saca una carta de una baraja de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de que la carta elegida sea negra o un rey?

Espacio muestral E= {52 }

P(A ∪ B) = P(A)+P(B) – P(A ∩ B)

¿ 2652

+ 252

− 252

¿ 2852

=54 %

7) De 300 estudiantes de esta Facultad, 100 cursan auditoría y 80 administraciones de empresas, estas cifras incluyen a 30 estudiantes que siguen ambas carreras ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante, curse auditoría o administración o ambas carreras?

Espacio muestral E= {300 }

P(A ∪ B) = P(A) +P(B) – P(A ∩ B)

¿ 100300

+ 80300

− 30300

¿ 150300

=0.5

8) Se extrae un carta de un abaraja ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as o un rey?

Espacio muestral E= {52 }

P( A∪B )= P(A)+P(B)- P(A ∩ B ¿

¿ 452

+ 452

− 052

¿ 852

=15 %

9) En Quito la probabilidad que llueva el 1 de noviembre es de 0.50 y la probabilidad de que llueva el 1y 2 de noviembre es de 0.40 dado que llovió el 1 de noviembre ¿Cuál es la probabilidad de que llueva el día siguiente 2 de noviembre?

P(B/A)=P (A ∩B)

P( A )

= 0.400.50

=0.8=80 %

10) Determinar la probabilidad de obtener un 6 o un 5 sucesivamente al lanzar un dado dos veces.

Espacio muestral E= {1,2,3,4,5,6 }

P ( A∪B )=P ( A )+P(B)

¿16+ 1

60=1

3=30 %

11) Una urna contiene 6 bolitas blancas, y 4 negras .Se extrae 2 bolitas sucesivamente y sin restitución:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean blancas?2. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda

negra?3. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda

blanca?4. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?

Espacio muestral E={10 }

6 BolasBlancas4 BolasNegras

10

a) Cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas

P ( A ∩B )=P ( A )∗P ( B )

¿

610

∗5

9=

3090

b) Primera blanca , segunda negra

P ( A ∩B )=P ( A )∗P ( B )

¿

610

∗4

10=

2490

c) Primera negra , segunda blanca

P ( A ∩B )=P ( A )∗P ( B )

¿

410

∗6

9=

2490

d) Ambas negras

P ( A ∩B )=P ( A )∗P ( B )

¿

410

∗3

9=

1290

12) Si se extrae una carta de un paquete bien barajado de 52 cartas .Determinar la probabilidad de obtener

a. Un rey rojo b. Un 3,4,5 ó 6c. Una carta negrad. Un as rojo o un reina negra

a) Sea B el evento en el cual se obtiene un rey rojo

P ( R )=n(R)n(S)

= 252

=0.04=40 %

b) Sea A el evento en el cual se obtiene

P ( A )=n ( A )n (S )

=1652

=0.31=31%

c) Sea N el evento de obtener una carta negra

P ( A )=n ( A )n (S )

=1652

=0.5=50 %

d) Sea B el evento de sacar un as rojo o una reina negra

P (B )=n(B)n(S )

= 452

=0.08=80 %

13) Una familia tiene 3 hijos. Determinar todas las posibilidades permutaciones con respecto al sexo de los hijos .Bajo suposiciones adecuadas ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de los hijos tengan el mismo sexo? ¿Cuál es la probabilidad de tener un varón y 2 mujeres? ¿Cuál es la probabilidad de tener 3 hijos del mismo sexo?

Espacio muestral E= { hhh ;m hh ;hmmhh m;mmm ;m hm

h mh ;mmm }E={8 }

A) el evento de tener 2 hijos del mismo sexo

P(A)={hh m;mmhhmh ;h mmmhh ;m hm}

P(A)=68=0.75=75 %

B) El evento de tener un varón y 2 mujeres

P (B)= {mmh ;h mm;m hm }

P (B) = 38=0.38=38 %

C) El evento de tener 3 hijos del mismo sexo

P(C) ={hhh ;mmm }

P(C) =28=0.25=25 %

14) Si se selecciona al azar 3 libros de un estanque que contiene 5 libros de cálculo ,3 libros de termodinámica y un diccionario, determinar las siguientes probabilidades:

a. Que se tome el Diccionariob. Que se escoja 2 libros de cálculo y un libro de termodinámica

Espacio muestral E= { 5 librosdec á lculo3 librosdetermodin á mica

1diccionario9 libros

}a. Sea el evento de tomar el Diccionario

P( A)=

11∗8

293

=13=0.3=30 %

b. Sea el evento de escoger 2 libros de cálculo y un libro de termodinámica

P (B )=

52∗1

293

=3084

=0.36=36 %

15) De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar sucesivamente y sin devolución dos bolas.

A. Has un diagrama de árbol que representa el experimento B. Calcular la probabilidad de que la segunda bola sea negra condicionada

a que la primera ha sido blanca.

B3/5

B N2/3 2/5

N1/3 B

4/5

N 1/5

B) Evento que la segunda bola sea negra

P ( N )= P (N )P (S )

=25=0.4=40 %

4B2N

2B2N

3B1N

4B

3B2N

4B1N

3B1N

16) Lanzamos 2 monedas al aire

A. Has el diagrama de árbol B. Calcular la probabilidad de sacar dos caras

CC

CS

SS

SC

B. Evento de sacar 2 caras

P (b )=

12∗1

2=

14

17) Un 5% de las piezas producidas en un proceso de fabricación resultan defectuosas .Hallar la probabilidad de que en una muestra de 20 piezas elegidas al azar haya exactamente 2 piezas defectuosas.

A) Evento de piezas defectuosas (20; 0.05)

P(x=2)= (202

)= 0.052 *0.9518 = 0.1887

18) La probabilidad de un suceso A es 0.2 y la probabilidad de un suceso B es 0.35 .Calcular la probabilidad de intersección de A y B sabiendo que son sucesos independientes.

C

S

S

S

C

C

P ( A ∩B )=P ( A )∗P ( B ) = 0.2 * 0.35 = 0.07

19) Una bolsa de premios contiene 500 sobres, 75 de los cuales contienen $1000 en efectivo, 150 contienen $250 y 275 contienen $1000

A. ¿Cuál es el espacio muestral para las siguientes cantidades de dinero?B. ¿Asignar probabilidades a los elementos del espacio muestral y

después obtener la probabilidad de que el primer sobre que se seleccione contenga menos de $1000?

Espacio muestral E={100 ;250 ;1000 }

B) Evento de que el primer sobre contenga menos de 1000

P ( A ∩B )=P ( A )+P(B)

¿275500

+ 150500

=425500

=0.85=85 %

20) En un seminario especial de la facultad de ingeniería hay 100 alumnos .Algunos de estos alumnos estudian (E) mientras otros no lo hacen (E).Por otro lado, y por la forma de evaluar del profesor , algunos alumnos acreditan el curso (A) mientras que otros no lo acreditan (A) .La tabla siguiente muestra el número en cada categoría .Si de selecciona un alumno al azar y se descubre que ha acreditado

¿Cuál es la probabilidad de que haya estudiado?

E E

A 60 10 70

A 10 20 30

70 30 100

P(E/A) = P (A ∩ E)

P (A )=

6010070100

=67

Ejercicio 1

La policía plantea reformas el respeto a los límites de velocidad mediante la utilización de sistemas de radar en 4 diferentes sitios dentro de la ciudad .Los sistemas de radar en cada sitio L1,L2 ,L3 y L4

se ponen a funcionar, respectivamente , el 40% ,30%, 20% y 30% del tiempo, y si una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene , respectivamente, las probabilidades de 0.2,0.1,0.5 y 0.2 de pasar por algunos de estos sitios.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que le levanten una multa?b. Si la persona recibe una infracción por conducir a gran

velocidad rumbo a su trabajo, ¿Cuál es la probabilidad de que haya pasado el radar que se localiza en el sitio L2?

Sea L1 el evento en el cual el conductor pasa por el radar i,i =1,2,3,4; e I El evento en el cual le levantan una infracción (multa)

P(L1)= 0.2 P(L2)=0.1P(L3)= 0.5 P (L4)=0.2P(I /L1) =0.4 P (I /L2) =0.3P (I /L3) =0.2 P (I /L4) =0.3

Ejercicio 2

a. P ( I )=∑i=1

4

P ¿¿Li)

P( I )=∑i=1

4

P(Li) P (I /Li)

P (I) = P (L1) P (I /L1)+ P (L2) P (I /L2)+P (L3) P (I /L3)+ P (L4)P (I L4)

Sustituyendo:P(I)= (0.2)(0.4) + (0.1)(0.3) + (0.5)(0.2) + (0.2)(0.3)P(I)= 0.27

b. P(L2 /I) =P ( L2 ) P( I / L2)

P(I )

P (L2/ I)=0 .1(0 .3)

0 .27=1

9

Ejercicio 3

Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una compañía .La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran interés para el inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona son el producto nacional bruto .Si el PNB aumenta, la probabilidad de que el valor de las acciones aumenten es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si es PNB disminuye, la probabilidad 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos; el PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos meses

Sean los eventos:

A. El PNB aumenta M.El PNB es el mismo

Ejercicio 4

Una urna A contiene 6 bolitas grises, y 4 rojas, la urna B contiene 2 bolitas grises y 7 rojas. Se saca una bolita de la urna A, y se coloca en la B, enseguida se saca una bolita de urna B. Dado que la bolita extraída de B es gris ¿Cuál e s la probabilidad de que la bolita extraída de A también haya sido gris.

P(G1)= G/6 P (G2/G1) =3/10= P(G)=P(G1)P(G2/G1)

= 18

100

P (G2 /R1)=2/10 =P(G)= P(R1)P(G2/R1)

=8

100P (R1)= 1/10

La probabilidad que sea gris =18/100+8/100=26/100

P(G1)= probabilidad de que la bola sea gris cuando se saca de AP(G2)=probabilidad de que la bola sea roja cuando se saca de AP(G3)=probabilidad de que la bola sea roja cuando se saca de B

2+1Gris 7 Rojas

2 Grises7+1 Roja

6 Grises4 rojas

Ejercicio 5

Según teorema de Bayes

P(A/G)=P (G 1 ) P (

G 2G 1

)

P(G)=

610

∗3

10026100

=

1810026

100

=1826

Un almacén está considerando cambiar su política de otorgamiento de créditos para reducir el número de clientes que finalmente no pagan suscuentas.El gerente de crédito sugiere que en lo futuro el crédito le sea canceladoa cualquier cliente que sea demore una semana o más en sus pagos endos ocasiones distintas. La sugerencia del gerente que se basa en elhecho de que en el pasado, el 90% de todos los clientes que finalmenteno pagaron sus cuentas se habían demorado en sus pagos por lo menosen dos ocasiones.Suponga que de una investigación independiente encontramos que el 2%de todos los clientes (con crédito) finalmente no pagan sus cuentas y quede aquellas que finalmente si las pagan el 45% se han demorado en por lo menos dos ocasiones.

Encontrar la probabilidad de que un cliente que se demoró por lo menosen dos ocasiones, finalmente no pague su cuenta y con la informaciónobtenida analice la política que ha sugerido el gerente de ventas.

P (S∩P)= P(P) * P(S|P)= 0,98 * 0,45

=0,441

P(S∩P)= P(P) * P(S|P) = 0,02 * 0,90

= 0,018

P(P/S)=P (P∩ S)

P (S )

=

P ( P )∗P ( SP

)

P ( P )∗P( SP )+P (P )∗P(

SP

)

=0.441

0.441+0.018=0.96