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Laboratorio: Sistemas Lineales
Lic. Luis Roca
Universidad Nacional Tecnologica de Lima Sur
20/06/2015
Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 1 / 21
1 Reacciones qumicas
2 Corrientes y voltajes en un circuito
3 Mnimos cuadrados
Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 2 / 21
Resolveremos el sistema:
2x1 2x2 x3 = 24x1 + x2 2x3 = 12x1 + x2 x3 = 3
En el editor de Matlab escriba el siguiente codigo
1 function x=EliminacionGauss(a,b)
2 n=size(a,1);
3 for j = 1:n-1
4 if abs(a(j,j))
13 x=zeros(n,1);
14 for i = n:-1:1
15 for j = i+1:n
16 b(i) = b(i) - a(i,j)*x(j) ;
17 end
18 x(i) = b(i) / a(i,i) ;
19 end
Guarde el archivo con el nombre EliminacionGauss.m en su carpeta detrabajo. Luego en la ventana de comandos de Matlab defina a y b:
1 a=[2 -2 -1;4 1 -2; -2 1 -1];
2 b=[ -2;1; -3];
Finalmente ejecutamos el script EliminacionGauss.m1 x=EliminacionGauss(a,b)
Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 4 / 21
Reacciones qumicas
Reacciones qumicas I
En un recipiente entran flujos de una sustancia a 2m3/min con unaconcentracion de 25mg/m3 y 1.5m3/min con una concentracion de10mg/m3, si sale un unico flujo a una velocidad de 3.5m3/min, cual serala concentracion de salida?.
Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 5 / 21
Reacciones qumicas
Como la masa se conserva entonces
Q1c1 + Q2c2 = Q3c3
es decir c3 = 18.6mg/m3.
Analicemos el siguiente esquema de mezclas
Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 6 / 21
Reacciones qumicas
por la conservacion de masa tenemos
Q01c01 + Q31c31 = Q15c15 + Q12c12
Q12c12 = Q25c25 + Q24c24 + Q23c23
Q03c03 + Q23c23 = Q31c31 + Q34c34
Q24c24 + Q54c54 + Q34c34 = Q44c44
Q15c15 + Q25c25 = Q54c54 + Q55c55
asumiendo que la concentraciones en el flujo salida son uniformes entonces
c15 = c12 = c1
c24 = c25 = c23 = c2
c31 = c34 = c3
c44 = c4
c54 = c55 = c5
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Reacciones qumicas
obtenemos el sistema de ecuaciones
(Q15 + Q12)c1 Q31c3 = Q01c01Q12c1 (Q25c2 + Q24c2 + Q23)c2 = 0
Q23c2 + (Q31 + Q34)c3 = Q03c03Q24c2 + Q34c3 Q44c4 + Q54c5 = 0Q15c1 + Q25c2 (Q54 + Q55)c5 = 0
o en forma matricialQ12+Q15 0 Q31 0 0Q12 (Q25+Q24+Q23) 0 0 00 Q23 Q31+Q34 0 00 Q24 Q34 0 Q54
Q15 Q25 0 0 Q54
[ c1c2c3c4c5
]=
Q01c010Q03c03Q44c44Q55c55
reemplazamos los datos 6 0 1 0 03 3 0 0 00 1 9 0 0
0 1 8 11 23 1 0 0 4
[ c1c2c3c4c5
]=
[500
16000
]
y la solucion es ......................................................Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 8 / 21
Corrientes y voltajes en un circuito
Corrientes y voltajes en un circuito I
Resolver el siguiente circuito
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Corrientes y voltajes en un circuito
de acuerdo a la ley de Kirchhoff (conservacion de la energa) tenemos encada nodo
i = 0 y en cada circuito cerrado
E iR = 0, es decir
i12 + i52 + i32 = 0
i65 i52 i54 = 0i43 i32 = 0i54 i43 = 0
y
i54R54 i43R43 i32R32 + i52R52 = 0i65R65 i52R52 + i12R12 200 = 0
remplazando los datos obtenemos 1 1 1 0 0 00 1 0 1 1 00 0 1 0 0 10 0 0 0 1 10 10 10 0 15 55 10 0 20 0 0
i12i52i32i65i54i43
= 000
00
200
y la solucion es ......................................................
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Mnimos cuadrados
Mnimos cuadrados I
Copiar el siguiente codigo con el nombre minimoscuadrados.m
1 function x=minimoscuadrados(A,b)
2 n = size(A,2); m = size(A,1);
3 P = eye(m,m); R = A;
4 for i=1:n
5 A1=R(i:m,i); // columna 1 de la matriz a transformar
6 r11 = -sign(A1(1))* norm(A1);
7 v = A1-r11*eye(m-i+1 ,1);
8 v=v./norm(v);// vector de rotacion de la columna 1
9 P1=eye(m,m);
10 P1(i:m,i:m)=eye(m-i+1,m-i+1)-2*v*v;// matriz de rotacion
11 R = P1*R;// rotamos la columna 1
12 P = P1*P;// almacenamos P
13 end
14 Q=P; //fin de la factorizacion QR, ahora A=QR
15 // resolvemos la ecuacion AA=Ab, solucion de minimos cuadrados
16 x= (R*R)\(R*Q*b);
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Mnimos cuadrados
Mnimos cuadrados II
Ejemplo
Ajustar la data mediante un polinomio de grado 2, y = ax2 + bx + c
xi yi0 2.11 7.72 13.63 27.24 40.95 61.1
formamos el sistema
c = 2.1
a + b + c = 7.7
4a + 2b + c = 13.6
9a + 3b + c = 27.2
16a + 4b + c = 40.9
25a + 5b + c = 61.1
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Mnimos cuadrados
Mnimos cuadrados III
Ejemplo
obtenemos
0 0 11 1 14 2 19 3 1
16 4 125 5 1
abc
=
2.17.7
13.627.240.961.1
y aplicando el metodo de mnimos cuadrados obtenemos la solucion.....................................
Codigo para graficar la solucion:
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Mnimos cuadrados
Mnimos cuadrados IV
1 % datos de entrada
2 DATOS = zeros (6,2)
3 DATOS (1,:) = [0 2.1];
4 DATOS (2,:) = [1 7.7];
5 DATOS (3,:) = [2 13.6];
6 DATOS (4,:) = [3 27.2];
7 DATOS (5,:) = [4 40.9];
8 DATOS (6,:) = [5 61.1];
9 % definimos la matriz A
10 MatrizA=zeros (6,3);
11 MatrizA (1 ,:)=[0 0 1];
12 MatrizA (2 ,:)=[1 1 1];
13 MatrizA (3 ,:)=[4 2 1];
14 MatrizA (4 ,:)=[9 3 1];
15 MatrizA (5 ,:)=[16 4 1];
16 MatrizA (6 ,:)=[25 5 1];
17 % la segunda columna de DATOS es
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Mnimos cuadrados
Mnimos cuadrados V18 % la matriz B
19 MatrizB=DATOS (:,2);
20
21 % Resolvemos Ax=B
22 % sol = [a; b; c]
23 sol=MatrizA\MatrizB;
24
25 % el dominio del grafico
26 x=[0:0.1:5] ;
27
28 % calculamos la curva de minimos cuadrados
29 % y = a*x^2 + b*x + c
30 y=[x.^2 , x , ones(size(x)) ]*sol;
31
32 % graficamos
33 plot(x,y,DATOS (:,1),DATOS (:,2),o)
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Mnimos cuadrados
Ejemplo
En 1601 el astronomo aleman Johannes Kepler formulo la tercera ley demovimiento planetario, T = Cx3/2, donde x es la distancia al sol medidaen millones de kilometros, T es el periodo orbital en das, y C es unaconstante. Los datos (x ,T ) para los cuatro primeros planetas son (58, 88),(108, 225), (150, 365), (228, 687).
Como ln(T ) = ln(C ) +3
2ln(x) podemos hacer un ajuste con los siguientes
datos Y = ln(T ), X =3
2ln(x)
Y X4.4773368 6.09066455.4161004 7.02319685.8998974 7.51595296.5323343 8.1440184
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Mnimos cuadrados
Ejemplo
para realizar un ajuste de la recta Y = a + X en base al siguiente sistema
a + 6.0906645 = 4.4773368
a + 7.0231968 = 5.4161004
a + 7.5159529 = 5.8998974
a + 8.1440184 = 6.5323343
obtenemos 1111
[a] =1.61332771.60709641.61605561.6116842
encontramos la solucion de mnimos cuadrados: la solucion esxsol = 1.612041 = a = ln(C ) = C = 0.1994801
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Mnimos cuadrados
Ejemplo
Los comandos para graficar la data y el ajuste
1 T=[88 ,225 ,365 ,687] ;
2 X=[58 ,108 ,150 ,228] ;
3 interv=linspace (50 ,250 ,100);
4 C=0.1994801;
5 T_aju=C*interv .^(1.5);
6 plot(X,T,o,interv ,T_aju );
7 xlabel(x (km x 10^6))
8 ylabel(T (dias))
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Mnimos cuadrados
Ejemplo
Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 19 / 21
Mnimos cuadrados
Ejercicios I
Aplique el metodo de mnimos cuadrados para el ajuste de curvas
1 Encuentre un polinomio de grado 3 que ajuste
x 0 2 4 6 9 11 12 15 17 19
y 5 6 7 6 9 8 7 10 12 12
2 Encuentre un polinomio de grado 4 que ajuste
x 6 7 11 15 17 21 23 29 29 37 39
y 29 21 29 14 21 15 7 7 13 0 3
3 Encuentre un polinomio de grado 3 que ajuste
x 2 4 6 7 10 11 14 17 20
y 1 2 5 2 8 7 6 9 12
4 Encuentre un polinomio de grado 4 que ajuste
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 1 1.5 2 3 4 5 8 10 13
5 Encuentre un polinomio de grado 3 que ajuste
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Mnimos cuadrados
Ejercicios IIx 0.75 2 3 4 6 8 8.5
y 1.2 1.95 2 2.4 2.4 2.7 2.6
6 Encuentre una funcion potencia y = axn que ajuste
x 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20
y 13 11 8.5 8.2 7 6.2 5.2 4.8 4.6 4.3
7 Encuentre una funcion exponencial y = aebx que ajuste
x 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.3
y 800 975 1500 1950 2900 3600
8 Encuentre una funcion y = axebx que ajuste
x 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 1.3 1.5 1.7 1.8
y 0.75 1.25 1.45 1.25 0.85 0.55 0.35 0.28 0.18
9 Encuentre una funcion k =ac2
b + c2que ajuste
c 0.5 0.8 1.5 2.5 4
k 1.1 2.4 5.3 7.6 8.9
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Mnimos cuadrados
Ejercicios III10 Encuentre una funcion x = e
yba que ajuste
x 1 2 3 4 5
y 0.5 2 2.9 3.5 4
11 Encuentre una funcion potencia y = axn que ajuste
x 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
y 3 3.5 3.6 3.7 3.8 3.85 3.8 4 3.95 4.1
12 Encuentre una funcion exponencial y = aebx que ajuste
x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y 1.21 0.94 0.74 0.57 0.45 0.35 0.27 0.21 0.16
13 Encuentre una funcion y = axebx que ajuste
x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y 1.65 1.83 1.81 1.67 1.49 1.29 1.09 0.91 0.75
14 Encuentre una funcion k =ac2
b + c2que ajuste
Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 22 / 21
Mnimos cuadrados
Ejercicios IV
c 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
k 0.14 0.52 1.07 1.7 2.33 2.93
15 Encuentre una funcion x = eyba que ajuste
x 1 2 3 4 5 6
y 1.62 1.32 1.08 0.89 0.73 0.59
Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 23 / 21
Reacciones qumicasCorrientes y voltajes en un circuitoMnimos cuadrados