INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

TEMA : TRABAJO Nº 2

SECCION : 38 H

PROFESOR : ARAUJO CAJAMARCA, Raúl

ALUMNO :

2011 - I

TRABAJO 02: EJERCICIOS DE TEORIA DE COLAS

EJERCICIO T18.4-2. Jim McDonald, gerente del restaurante de hamburguesas McBurger, sabe que proporcionar un servicio rápido es la clave del éxito. Es posible que los clientes que esperan mucho vayan a otro lugar la próxima vez. Estima que cada minuto que un cliente tiene que esperar antes de terminar su servicio le cuesta un promedio de 30 centavos en negocio futuro perdido. Por lo tanto, desea estar seguro de que siempre tiene suficientes cajas abiertas para que la espera sea mínima. Un empleado de tiempo parcial opera cada caja, obtiene la orden del cliente y cobra. El costo total de cada empleado es $9 por hora. Durante la hora del almuerzo, los clientes llegan según un proceso de Poisson con tasa media de 66 por hora. Se estima que el tiempo necesario para servir a un cliente tiene distribución exponencial con media de 2 minutos. Determine cuantas cajas debe abrir Jim durante este tiempo para minimizar su costo total esperado por hora.

SOLUCION:

ƛ = 66 clientes/hora 2 minutos -------> 1 cliente

µ = 30 clientes/hora 60 minutos --------> 30 clientes

c = Nº de cajas

U= ƛµ∗c

<1 c>ƛµ

c>6630

c>2.2 c >= 3, 4, 5,…., n

ρ = 2.2

Costo de un cliente que espera antes de terminar su servicio (CS) = 30

100$

min = 0.3

$/min. = 18 $/hora

Costo de un empleado en caja (CC) = 9 $/hora

Costo total = CS*LS + CC*c

Nº DE CAJAS (c)MEDIDAS DE DESEMPEÑO

3 4 5

U 73.33 % 55 % 44 %

P0 0.08147 0.10456 0.109437

Lq 1.490936 0.277199 0.06594Wq 0.02258 0.0041999 0.0009915WS 0.055923 0.037533 0.03433LS 3.69094 2.47720 2.26594

µ

RPTA: Vemos de la solución que para minimizar el costo total por hora se debería abrir 4 cajas.

EJERCICIO T18.4-3. La compañía Garret-Tompkins tiene 3 copiadoras para uso de los empleados. Sin embargo, debido a quejas recientes de la cantidad de tiempo que pierden esperando que se desocupe una copiadora, la gerencia planea agregar una o más. Durante las 2000 horas de trabajo al año, los empleados llegan al área de copiado según un proceso de Poisson con tasa media de 30 por hora. Se cree que el tiempo que cada empleado necesita una copiadora tiene distribución exponencial con media de 5 minutos. El costo promedio de la productividad perdida debida al tiempo que pasa un empleado en el área de copiado se estima en $25 por hora. La renta de cada copiadora es de $3000 por año. Determine cuántas copiadoras debe tener la compañía para minimizar su costo total esperado por hora.

SOLUCION:

ƛ = 30 empleados/hora 5 minutos -------> 1 empleado

µ = 12 empleados/hora 60 minutos -------> 12 empleados

c = Nº de copiadoras

ρ = 2.5

U= ƛµ∗c

<1 c>ƛµ

c>3012

c>2.5

c >= 3, 4, 5,…., n

Costo de un cliente que pasa en área de copiado (CS) = 25 $/hora

Costo de la renta de cada copiadora (CC) = 3000

$añ o

∗1añ o

2000horas=1.5

$h ora

Costo Mínimo mmo

µ

Nº DE CAJAS CS*LS CC*c COSTO TOTAL ($/hora)3 18*3.69094 9*3 93.43694 18*2.47720 9*4 80.58965 18*2.26594 9*5 85.7869

Costo total = CS*LS + CC*c

Nº DE COPIADORAS (c)

MEDIDAS DE DESEMPEÑO

3 4 5 6 7 8

U 83.33 % 62.5 % 50 % 41.67 % 35.71 % 31.25 %P0 0.04494 0.11212 0.08010 0.08162 0.08198 0.08206Lq 3.51124 0.81104 0.13037 0.03389 0.00858 0.00205

Wq 0.11704 0.02703 0.00435 0.00129 0.00029 0.000068WS 0.20037 0.11037 0.08768 0.08446 0.08362 0.08340LS 6.01124 3.31104 2.63037 2.53389 2.50858 2.50205

RPTA: Vemos de la solución que para minimizar el

costo total por hora la compañía debe tener 6 copiadoras.

FORMULAS DE MEDIDAS DE DESEMPEÑO UTILIZADAS:

ρ= ƛµ

; U= ƛµ∗C

<1

P0=1

∑n=0

c−1ρn

n!+(

ρc

c !∗c

c− ρ)

Costo Mínimo mmo

Nº DE COPIADORAS

CS*LS CC*c COSTO TOTAL ($/hora)

3 25*6.01124

1.5*3 154.7810

4 25*3.31104

1.5*4 88.7760

5 25*2.63037

1.5*5 73.2593

6 25*2.53389

1.5*6 72.3473

7 25*2.50858

1.5*7 73.2145

8 25*2.50205

1.5*8 74.5513

Lq=

ρ c+1

(c−1 ) !∗P0

(c−ρ)2

W q=Lqƛ

W S=W q+1µ

LS=ƛ∗W S

EJERCICIO 18.4-13* La compañía Seabuck and Roper tiene un almacén en el sur de

California para el inventario de bienes antes de que las mueblerías del área los

necesiten. Una cuadrilla de cuatro personas carga y descarga cada uno de los camiones

que llegan. El gerente está despidiendo personal para disminuir costos y debe decidir el

tamaño futuro de la cuadrilla. Los camiones tienen llegadas Poisson, con tasa media de

1 por hora. El tiempo que requiere la cuadrilla para cargar y/o descargar un camión tiene

distribución exponencial (independiente del tamaño de la cuadrilla). El tiempo esperado

con 4 hombres es 15 minutos. Si cambia el tamaño de la cuadrilla se estima que la tasa

media de servicio (ahora µ = 4 clientes/h) sería proporcional al tamaño.

El costo por cada miembro adicional de la cuadrilla es $20/h. El costo atribuible a la

espera de un camión (es decir, un camión parado en el muelle) se estima en $30/h.

a) Identifique los clientes y servidores de este sistema. ¿Cuántos servidores se

tiene por ahora?

Clientes: Los camiones que llegan al muelle para ser cargados y/o

descargados, población infinita.

Servidores: Cada una de las cuadrillas que cargan y/o descargan los

camiones, actualmente se tiene una cuadrilla es decir un servidor.

Camiónhora

Camiónhora

Camiónhora

Camiónhora

minutoscamión

minutoscamión

minutoscamión

minutoscamión

$hora

$hora

$hora

$hora

$hora

$hora

$hora

$hora

Camiónhora

clienteshora

b) Encontrar las medidas de desempeño para este sistema de cola con una

cuadrilla de cuatro.

c) Repita b con una cuadrilla de tres.

d) Repita b con una cuadrilla de dos.

e) Debe considerarse una cuadrilla de uno. Explique

f) Dado los resultados, ¿Qué cuadrilla debe elegir el gerente?

RPTA a)

CANTIDAD DE MIEMBROS DE LA CUADRILLA

4 3 2 1

Tasa de llegada 1=ג 1=ג 1=ג 1=ג

Tasa de servicio µ=15 µ=20 µ=30 µ=60

Costo por cada cuadrilla

(Cc)

80 60 40 20

Costo por cada camión que espera antes de terminar su servicio (Cs)

30 30 30 30

Conversión de la tasa de servicio a para una cuadrilla de 4

personas:

1 cliente 15 minutos

µ 60 minutos = 1 hora

µ = 4

clienteshora

clienteshora

Camiónhora

Camiónhora

Conversión de la tasa de servicio a para una cuadrilla de 3

personas:

1 cliente 20 minutos

µ 60 minutos = 1 hora

µ = 3

NÚMERO DE PERSONAS EN UNA CUADRILLA 4 3 2 1

Utilización (%) 25.00% 33.33% 50.00% 100.00%

ρ: Factor de utilización del servicio

0.25 0.33 0.50 1.00

Po: Probabilidad de que no existan clientes en el sistema

0.75 0.67 0.50 0.00

Lq: Nº promedio de clientes en la cola

0.08333 0.16667 0.50000 -

Wq: Tiempo promedio que los clientes pasan en la cola

0.08333 0.16667 0.50000 -

Ws: Tiempo promedio que los clientes pasan en el sistema

0.33333 0.50000 1.00000 -

Ls: Nº promedio de clientes en el sistema

0.33333 0.50000 1.00000 -

Conversión de la tasa de servicio a para una cuadrilla de 2

personas:

1 cliente 30 minutos

µ 60 minutos = 1 hora

µ = 2

RPTA: b), c), d)

Camiónhora

clienteshora

$hora

$hora

$hora

Conversión de la tasa de servicio a para una cuadrilla de 1

personas:

1 cliente 60 minutos

µ 60 minutos = 1 hora

µ = 1

RPTA e) No se debe considerar una cuadrilla de 1 personas pues es casi imposible

trabajar al 100% de utilización, ya que se debe proveer algunas demoras.

Hallando el costo total mínimo por hora

Nº de personas por

cuadrilla

Ls x Cs ( )

C x Cc ( )

Costo Total ( )

4 30 x 0.33333 20 x 4 90.00

3 30 x 0.50000 20 x 3 75.00

2 30 x 1.00000 20 x 2 70.00

RPTA f) El gerente debe optar por una cuadrilla de dos personas para logar minimizar

costos hasta $70 por hora.