Universidad Nacional de Cajamarca Facultad de IngenieríaEscuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Curso:

Estadística

Docente:

Poemape

Ciclo:

II

Grupo:

B1

Alumna:

Villar Martos Katya, Ximena.

Año:

2015

Solución de los ejercicios del libro WALPOLE

Ejercicio 3.1. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:

X = el número de accidentes automovilísticos por año en Virginia. Variable Discreta.

Y = el tiempo para jugar 18 hoyos de golf. Variable Continua.

M = la cantidad de leche que una vaca específica produce anualmente. Variable Continua.

N = el número de huevos que una gallina pone mensualmente. Variable Discreta.

P = el número de permisos para construcción que emiten cada mes en una ciudad. Variable Discreta.

Q = el peso del grano producido por acre. Variable Continua.

Ejercicio 3.2. Un embarque foráneo de cinco automóviles extranjeros contiene 2 que tienen ligeras manchas de pintura. Si una agencia recibe 3 de estos automóviles al azar, liste los elementos del espacio muestral S con las letras B y N para “manchado” y “sin mancha”, respectivamente; luego a cada punto muestral asigne un valor x de la variable aleatoria X que representa el número de automóviles que la agencia compra con manchas de pintura.

B1, B2 = manchados

N= sin mancha

S ={(N,N,N); (B1,N,N); (N,B1,N);(N,N,B1);(B2,N,N);(N,B2,N);(N,N,B2);(B1,B2,N);(B1,N,B2), (N,B1,B2)}

P(X=0) = 0.1

P(x = 1)= 0.6

P(x=2) = 0.3

Ejercicio 3.3 Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.

C = cara

D= cruz

Espacio Muestral

(S)

W

CCC 3-0=3

CCD 2-1=1

CDC 2-1=1

DCC 2-1=1

DDC 1-2=-1

DCD 1-2=-1

CDD 1-2=-1

DDD 0-3=-3

Ejercicio 3.4. Se lanza una moneda hasta que ocurren 3 caras sucesivamente. Liste sólo aquellos elementos del espacio muestral que requieren 6 o menos lanzamientos. ¿Es un espacio muestral discreto? Explique.

C = cara

D= cruz

Es un espacio muestral discreto porque tiene un numero entero de posibilidades de obtener 3 caras sucesivamente.

Espacio Muestral

(A)

Nº de lanzamientos

CCC 3

DCCC 4

DDCCC 5

CDCCC 5

CCDCCC 6

CDDCCC 6

DCDCCC 6

DDDCCC 6

Ejercicio 3.5. Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X:

a) f ( x )=c (x2+4 ), x= 0,1,2,3;

∑x

f (x ) = 1

f (x) = c(02+4) + c(12+4) + c(22+4) + c(32+4) = 1

c= 1/30

b) f ( x )=c (¿x2)¿¿, para x = 0,1,2

f ( x )=c ( 20 )( 3

3 ) + c (21)( 3

2) + c (

22)( 3

1) = 1

c = 1/10

Ejercicio 3.6. La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene la función de densidad:

f ( x )={ 20000

( x+100 )3, x>0

0 , encualquier otrocaso}Encuentre la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida ùtil de:

a) Al menos 200 días.

P (X>200 )=∫200

∞

20000/(X+100)3dx

P (X>200 )=19

P (X>200 )=0.1111

b) Cualquier lapso entre 80 a 120 días

P (80<x<120 )=∫80

120

20000 /(X+100)3dx

P (80<X<120 )=10009801

P (80<X<120 )=0.102Ejercicio 3.7. El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad:

f ( x )={ x ,0<x<12−x ,1≤x ≤2

0 , encualquier otrocaso}Encuentre la probabilidad de que en un periodo de un año, una familia utilice su aspiradora

a) menos de 120 horas

P ( x<1.2 )=∫0

1

xdx+∫0

1.2

(2−x )dx= x2

2¿0

1+(2x− x2

2 )¿11.2=0.68

b) entre 50 y 100 horas.

P (0.5<x<1 )=∫0.5

1

xdx= x2

2¿0.5

1 =0.375

Ejercicio 3.8. Encuentre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria W del ejercicio 3.3; suponga que la moneda está cargada de manera que una cara tenga doble de probabilidad de ocurrir que una cruz.

f ( x )={−3 ,1( 1

3 )( 13 )( 1

3 )= 127

−1 ,3( 23 )( 1

3 )( 13 )= 6

27

1 ,3( 13 )( 2

3 )( 23 )=12

27

3 ,1( 23 )( 2

3 )( 23 )= 8

27

}W -3 -1 1 3P 1/27 6/27 12/27 8/27

Ejercicio 3.9. La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad:

a) Muestre que P (0 < x < 1) = 1.

P (0<X<1 )=∫0

12 (X+2 )

5dx

P (0<x<1 )=25(12x2+2 x)¿0

1

P (0 < x < 1) = 1

b) Encuentra la Probabilidad de que más de 1/4 pero menos de ½ de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.

P( 14< x< 1

2 )=∫14

12

2 ( x+2 )5

dx

P( 14< x< 1

2 )=25 ( 1

2x2+2x )¿1

4

12

P( 14< x< 1

2 )=0.2375

Ejercicio 3.10. Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que represente el resultado cuando se lanza una vez un solo dado.

X P(X)1 1/62 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6

Ejercicio 3.11. Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra azar de 3 de los televisores. Si x es el número unidades defectuosas que compra el hotel, encuentre la distribución de probabilidad de X. Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad.

Probabilidades: - Que ninguno salga defectuoso:

P (X=0 )=C03 ( 0.28570 ) (0.71433 )=0.36445

- Que 1 salga defectuoso:

P (X=1 )=C13 (0.28571 ) ( 0.71432 )=0.43731

- Que 2 salgan defectuosos:

P (X=2 )=C23 (0.28572 ) ( 0.71431 )=0.17491

Ejercicio 3.12. Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años. Dado que la función de distribución acumulada de T, el número de años de vencimiento para un bono que se elige al azar, es:

f (t )=¿Encuentre:

a) P (T = 5)

P (T=5 )=F (5 )−F ( 4 )=34−1

2=1

4b) P ( T ¿ 3 )

P (T>3 )=1−F (3 )=1−12=1

4c) P ( 1.4 ¿ T ¿ 5)

P (1.4<T <6 )=F (6 )−F (1.4 )=34−1

4=1

2

Ejercicio 3.13. La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones por 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por:

x 0 1 2 3 4f(X) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

f ( x )={0 , x<0

0.41 ,0≤ x<10.37 ,1≤ x<20.16 ,2≤ x<30.05 ,3≤x<4

0.01 , x ≥4}

Ejercicio 3.14. El tiempo de espera, en horas, entre conductores sucesivos que exceden los límites de velocidad detectados por un radar es una variable aleatoria continua con distribución acumulada:

F ( X )={ 0 , X<01−e−8 x , X ≥0}

Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre conductores sucesivos que exceden los límites de velocidad.

a) Usando la función de distribución acumulada de X.

P (X<0.2 )=F (0.2 )=1−e−1.6=0.7981

b) Utilizando la función de densidad de probabilidad de X.

f ( X )=F ( x )=8e−8x , entonces = 8∫0

0.2

e−8 xdx=−e−8x ¿00.2=0.7981

Ejercicios de distribución binomial

El almacenero del laboratorio reporta que de las treinta puntas de prueba de osciloscopios el 20% están malogradas, él desea saber la probabilidad de que:

a) Estén malogradas 4 puntas de prueba.

P (X=4 )=C430 (0.24 ) ( 0.826 )=0.1325

b) Ninguna punta de prueba esté malograda.

P (X=0 )=C030 (0.20 ) ( 0.830 )=0.0012

c) A lo más 3 puntas de prueba estén malogradas.

P (X ≤3 )=P ( x=0 )+P (X=1 )+P ( X=2 )+P (X=3 )=0.0012+0.009+0.034+0.079=0.123

d) Más de 2 puntas de prueba estén malogradas

P (X>2 )=P ( x=3 )+P ( X=4 )+P (X=5 )+P (X=6 )=0.079+0.1325+0.172+0.179=0.563