Ejercicios Dinámica Beer

Universidad Católica de

Santa María

Facultad de Ciencias e Ingenierías Físicas y Formales. Programa. Profesional de Ingeniería Mecánica, Mecánica Eléctrica y Mecatrónica.

Guía de Laboratorio de Dinámica

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Tema CURSO DE VERANO

Docente Ing. F. Siles

Código del Estudiante

Grupo de Prácticas

Horario 7:00 – 9:30 am

Fecha 12 de Febrero del 2015

RESOLUCION PRIMER EXAMEN

Apellidos y Nombres

Problema Nro. 1

Un bloque de 2 lb descansa sobre la superficie lisa semicilíndrica . Una cuerda

elástica con rigidez k= 2 lb/pie está unida el bloque en B y a la base del semicilindro

en el punto C . Si el bloque es liberado del reposo en A(θ=0°) , determine la longitud

no alargada de la cuerda de manera que el bloque empiece a dejar el semicilindro

en el instante θ= 45° . Desprecie el tamaño del bloque

Calculando la longitud inicial del resorte:

∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛

2 × 𝑠𝑒𝑛 (45) =2

32.2(𝑉𝑣

2

1.5)

𝑉𝑏 = 5.8441𝑃𝑖𝑒𝑠

𝑠

http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=ucsm&source=images&cd=&cad=rja&docid=55itenWewvv8hM&tbnid=wCfnS00QzyKkXM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.markitopoder.net/2012/01/radio-ucsm.html&ei=kjkKUuK3LYryyAHDn4FQ&bvm=bv.50500085,d.b2I&psig=AFQjCNGZCNTGokp3oPorR3MdnEyuD-3xSA&ust=1376488199166980


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Apellidos y Nombres

Por principio de trabajo y energía entre A-B:

1

2× 𝑚 × 𝑣𝑎

2 + ∑𝑈𝐴−𝐵 =1

2× 𝑚 × 𝑣𝑏

2

0 +1

2(2)[𝜋(1.5) − 𝑙𝑜]

2 −1

2[3𝜋

4(1.5) − 𝑙𝑜]

2

− 2(1.5 × 𝑠𝑒𝑛(45)) =1

2(

2

32.2) (5.884)2

𝑙𝑜 = 2.77 𝑝𝑖𝑒𝑠

Problema Nro. 2

La bola de 0.5 kg cuyo tamaño no importa se lanza hacia arriba de la rampa circular

vertical lisa por medio de un émbolo de resorte . Éste mantiene el resorte comprimido

0.08 m cuando s=0 . Determine qué distancia se debe jalar s y soltar de modo que

la bola comience a perder el contacto con la rampa cuando θ=135°



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Apellidos y Nombres

Aplicando la segunda ley:

∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛(45)

0.5 × (9.81) × 𝑠𝑒𝑛(45) = 0.5 × (𝑣2

2

1.5)

Principio de tranajo y conservación de energía:

1

2× 𝑚 × 𝑣1

2 + ∑𝑈1−2 =1

2× 𝑚 × 𝑣2

2

0 + {(1

2× 500 × (𝑠 + 0.08)2) −

1

2× 500 × 0.082 − 0.5 × 9.81 × (1.5 + 1.5𝑠𝑒𝑛(45)) }

=1

2× 0.5 × 10.41

Donde S=179 mm



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Apellidos y Nombres

Problema Nro. 3

El collar tiene masa de 20 kg y está soportado sobre la barra lisa. Los resortes

unidos a él no están deformados cuando d = 0.5m. Determine la rapidez del

collar después de que la fuerza aplicada F = 100N provoca que se desplace

de manera que d = 0.3m. Cuando d = 0.5m el collar esta en reposo.

FS’ F

60°

W

FS

𝑇1 + ∑𝑈1−2 = 𝑇2

0 + 100𝑠𝑖𝑛60°(0.5 − 0.3) + 196.2(0.5 − 0.3) − [1

2(25)[0.4 + 0.2]2 −

1

2 (25)(0.4)2]

− [1

2(15)[0.4 − 0.2]2 −

1

2 (15)(0.4)2] =

1

2(20)𝑣𝐶

2

𝑣𝐶2 = 2.34𝑚 𝑠⁄



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Apellidos y Nombres

Problema Nro. 4

Los paquetes que tienen un peso de 50 Lb, son entregados a la canaleta a Va=

3 pies/ seg. Usando una banda transportadora. determine su rapidez cuando

llegan a los puntos B, C y D. calcule también la fuerza normal de la canaleta

sobre los paquetes en B y C. desprecie la fricción y el tamaño de los paquetes

𝑇𝐴 + ∑𝑈𝐴−𝐵 = 𝑇𝐵

1

2(

50

32.2) (3)2 + 50(5)(1 − 𝑐𝑜𝑠30°) =

1

2(

50

32.2) 𝑣𝐵

2

𝑣𝐵 = 7.221 = 7.22𝑓𝑡

𝑠



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Apellidos y Nombres

∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 − 𝑁𝐵 + 50𝑐𝑜𝑠30° = (50

32.2) [

(7.221)2

5]

𝑁𝐵 = 27.1 𝑙𝑏

𝑇𝐴 + ∑𝑈𝐴−𝐶 = 𝑇𝑐

1

2(

50

32.2) (3)2 + 50(5𝑐𝑜𝑠30°) =

1

2(

50

32.2) 𝑣𝑐

2

𝑣𝑐=16.97

Problema Nro. 5

El bloque A de 7 Kg. Suelta desde el reposo en la posición indicada . Ignore el

efecto de la fricción y la masa de las poleas y determine la velocidad del bloque

después de que se ha movido 0.6 m hacia arriba por la pendiente.



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Apellidos y Nombres

𝐷 = √. 22 + 0.62 − 2 × 1.2 × 0.6 × cos(15)

𝑑 = 0.646𝑚

V=trabajo.. utilizar “F”

..utilizar “d”

𝑢 = 140 × [1

2× (1.2 − 0.646)]

𝑢 = 39𝐽 -> fuerza de la polea

Ahora el trabajo del peso en el sistema

𝑢𝑝𝑒𝑠𝑜 = −7 × 9.8 × 𝑠𝑒𝑛(15) × 0.6

𝑢𝑝𝑒𝑠𝑜 = −10.66𝐽

Por principio de trabajo y energía

𝑇1 + 𝑈1−2 = 𝑇2

0 + (39 − 11.66) =1

2× 7 × 𝑣2

𝑣 = 2.84𝑚

𝑠𝑒𝑔



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Apellidos y Nombres

Problema Nro. 7

Una bolsa se empuja suavemente desde lo alto de una pared en A y se balancea

en un plano vertical en el extremo de una cuerda de longitud. a) Para cualquier

posición B de la bolsa determínese la componente tangencial de su aceleración

y obténgase su velocidad por integración. B) Determínese el valor de para el cual

se romperá la cuerda, sise sabe que puede soportar una tensión máxima igual

al doble del peso de la bolsa.

a) ∑𝐹𝑡=𝑚𝑎𝑡: 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑎𝑡 b) ∑𝐹𝑡=𝑚𝑎𝑡: 𝑇 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑟

𝑎𝑡 = 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑇 − 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 𝑣2

𝑙



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Apellidos y Nombres

𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑣= 𝑎𝑡 = 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑇 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑚 2𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑙= 3𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑣= 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑙𝑑𝜃) 𝑇 = 2𝑊 = 2𝑚𝑔

∫ 𝑣𝑑𝑣 = 𝑔𝑙 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃𝜃

0

𝑣

0 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2

3

1

2𝑣2 = 𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑝𝑡𝑎. − 𝜃 = 41.8°

𝑟𝑝𝑡𝑎. −𝑣 = √2𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃

Problema Nro. 8

El collar de 10 lB parte del reposo en A y es levantado aplicando una fuerza constante

F = 25 Lb a la cuerda. Si la barra es lisa , determine la potencia desarrollada por la

fuerza en el instante θ=60°



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Apellidos y Nombres

Potencia dada por la fuerza en 𝜃 = 60°

Principio detrabajo y energía entre 1-2

Momento 1: pasador al inicio del reposo.

Momento 2: pasador cuando 𝜃 = 60°

Los desplazamientos de la fuerza F y el peso del collar entre 1-2 son:

De F=25 lb hacia abajo : ∆𝑠𝐹 = 5 −6

√3

Del peso del collar de 10 lb: ∆𝑠𝐶 = 4 −3

√3

Reemplazando datos con la ecuación del principio del trabajo y la energía:

0 + (25 × 1.535898) − (10 × 2.2679) =1

2×

10

32.3× 𝑣2

𝑣 = 10.061𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑠

Con esto la potencia dada por la fuerza F es:

𝑃 = 𝐹 × 𝑣

𝑃 = 25 × cos(60°) × 10.061

𝑃 = 125.7625𝑝𝑖𝑒𝑠 × 𝑙𝑏

𝑠



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Apellidos y Nombres

Problema Nro. 10

Una masa de 0.5 kg. Se desliza por una varilla exenta de rozamiento y situada en un plano

vertical, según se indica en la figura. La longitud del resorte es 𝐿𝑜 = 250 𝑚𝑚. La constante del

resorte es de 𝐾 =600 N/m. y la distancia d = 800 mm. Si se suelta dicha masa partiendo del

reposo cuando b=300mm, determinar su celeridad en las posiciones A y B.

Principio del trabajo y la energía

Del tramo O hacia el punto A :

∑𝑇𝑜 + 𝑈1−2 = ∑𝑇𝐴

−1

2𝑘(𝑆𝐴

2 − 𝑆𝑂2) − 𝑚𝑔ℎ =

1

2𝑚(𝑉𝐴

2)

𝑉𝐴 = 7.34𝑚

𝑠

Del tramo O hacia el punto B:

∑𝑇𝑂 + 𝑈1−2 = ∑𝑇𝐵

−1

2𝑘(𝑆𝐵

2 − 𝑆𝑂2) − 𝑚𝑔ℎ =

1

2𝑚(𝑉𝐵

2)

𝑉𝐵 = 5.85𝑚

𝑠



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Apellidos y Nombres

Problema Nro. 1

El collar de 5 lb es liberado del reposo en A y viaja a lo largo de la guía lisa. Determina la

rapidez del collar justo antes de chocar con el tope en B. El resorte tiene una longitud

no alargada de 12 cm.

Trabajo y energia

∑𝑇𝐴 + 𝑈1−2 = ∑𝑇𝐵

Si 𝑉𝐴 = 0

0 + 𝑈𝑔 + 𝑈𝑟 =1

2𝑚𝑉𝐵

2

Obtenemos 𝑈𝑔 :

5(𝑆𝐵 − 𝑆𝐴) = 5(−2.2) = −11 𝑙𝑏.𝑚

Obtenemos 𝑈𝑟 :

𝑈𝑟 = −1

2𝑘(𝑆𝑏𝑟

2 − 𝑆𝑎𝑟2) = −

1

2𝑘(−4.84) = 4.84 𝑙𝑏. 𝑚

Entonces:

0 + 𝑈𝑔 + 𝑈𝑟 =1

2𝑚𝑉𝐵

2

0 − 11 + 4.84 =1

2(

5

32.2)𝑉𝐵

2

𝑉𝐵 = 8.91 𝑚/𝑠𝑒𝑔



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Apellidos y Nombres

Problema Nro. 2

El bloque de 2lb recibe una velocidad lineal inicial de 20 pies/seg cuando está en A. Si el resorte

tiene una longitud no alargada de 2 pies y su constante es k=100 lb/pie. Dtermine la velocidad

del bloque cuando s=1 pie

𝑉𝑔𝐴 = 𝑚𝑔ℎ𝐴 = 2(0) = 0

𝑉𝑔𝑐 = 𝑚𝑔ℎ𝑐 = 2(−𝑠) = −2𝑠

Si s= 1, entonces: 𝑉𝑔𝑐 = 𝑚𝑔ℎ𝑐 = 2(−1) = −2

Hallando las elongaciones en los puntos A y C

- Para A 𝑆𝐴 = 2 − 2 = 0

- Para C 𝑆𝑐 = (√22 + 12) − 2 = 1.24 − 2 = −0.76

Energia potenciales de los resortes

- En A 𝑉𝑒 =1

2𝑘 (𝑆𝐴)2 = 0

- En C 𝑉𝑒𝑐 =1

2𝑘 (𝑆𝑐)

2 = 28.88

Principio de conservación de la energía

∑𝑇𝐴 + ∑𝑉𝐴 = ∑𝑇𝐶 + ∑𝑉𝐶

1

2𝑚𝑉𝐴

2 + 𝑉𝑔𝐴 + 𝑉𝑒 = 1

2𝑚𝑉𝐶

2 + 𝑉𝑔𝑐 + 𝑉𝑒𝑐

1

2(

2

32.2)22 + 0 + 0 =

1

2(

2

32.2)𝑉𝐶

2 − 0.76 + 28.88

𝑉𝐶2 = 27.96

𝑉𝐶 = 5.29 𝑓𝑡/𝑠𝑒𝑔



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Apellidos y Nombres

Problema Nro. 3

El resorte tiene una rigidez k=3 lb/pie y longitud no alargada de 2 pies. Si esta sujeto al collar liso

de 5lb y el collar es liberado del reposo en A, determine la rapidez del collar justo antes que

toque el extremo de la barra situada en B. Desprecie el tamaño del collar.

Energía Potencial:

𝑉𝑔 = 5(4) = 20 𝑓𝑡. 𝑙𝑏

𝑉𝑟𝑖 =1

2(3)(√53 − 2)

2= 41.28 𝑓𝑡. 𝑙𝑏

𝑉𝑟𝑓 =1

2(3)(√14 − 2)

2= 45.50 𝑓𝑡. 𝑙𝑏

Conservación de la energía

∑𝑇𝐴 + ∑𝑉𝐴 = ∑𝑇𝐵 + ∑𝑉𝐵

0 + 20.0 + 41.82 = 1

2(

5

32.2)𝑉2

𝐵 + 4.550

𝑉𝐵 = 27.2𝑓𝑡

𝑠



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Apellidos y Nombres

Problema Nro. 4

Una varilla circular delgada se mantiene en un plano vertical mediante una brida colocada en A.

Unido a la brida y enrollado holgadamente alrededor de la varilla esta un resorte de constante

K= 40N/m y longitud no deformada igual al arco del circulo AB. Un collarín C de 200 g, que no

está unido al resorte, puede deslizarse sin fricción a lo largo de la varilla. Si el collarín se suelta

desde el reposo cuando α=30, determine a) La altura máxima que alcanza sobre el punto B, b)

su velocidad máxima

Conservación de la energía

Del tramo C a B

∑𝑇𝐶 + ∑𝑉𝐶 = ∑𝑇𝐵 + ∑𝑉𝐵

0 +1

2𝑘𝑆𝐶

2 + 𝑚𝑔ℎ =1

2𝑚 𝑉𝐵

2 + 0

1

2(40)0.312 + 0.2(9.81)(0.04) =

1

2(0.2) 𝑉𝐵

2

𝑉𝐵 = 4.47 𝑚/𝑠

Del tramo B a nuestro punto indeterminado H

∑𝑇𝐵 + ∑𝑉𝐵 = ∑𝑇𝐻 + ∑𝑉𝐻

1

2𝑚𝑉𝐵

2 + 0 =1

2𝑚 𝑉𝐻

2 + 𝑚𝑔ℎ

1

20.2)(4.47)2 =

1

2(0.2) (02) + 0.2(9.81)(𝐻)

𝐻 = 0.1 𝑚



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Apellidos y Nombres

Problema Nro. 5

Una varilla circular delgada se mantiene en un plano vertical mediante una brida colocada en A.

Unido a la brida y enrollado holgadamente alrededor de la varilla esta un resorte de constante

K= 40N/m y longitud no deformada igual al arco del circulo AB. Un collarín C de 200 g, que no

está unido al resorte, puede deslizarse sin fricción a lo largo de la varilla. Si el collarín se suelta

desde el reposo a un ángulo α respecto a la vertical, determine a) El valor mínimo de α para el

cual el collarín pasara por D y llegara al punto A, b) La velocidad del collarín cuando llegue al

punto A

-El angulo α ocurre cuando la velocidad en D tiende a 0 𝑉𝐶 = 0 𝑇𝐶 = 0 𝑉𝐷 = 0 𝑇𝐷 = 0

𝑉 = 𝑉𝑒 + 𝑉𝑔

En el punto C ∆𝐿𝐵𝐶 = 0.3(α)= 0.3 α m

𝑉𝐶𝑒=

1

2𝑘(∆𝐿𝐵𝐶)2 = 1.8α2

𝑉𝐶𝑔= 𝑊𝑅(1 − cos(α)) = 0.2(9.81)(0.3)(1 − cosα)

𝑉𝐶𝑔= 0.59(1 − cosα)

𝑉 = 0.59(1 − cosα) + 1.8α2 En el punto D 𝑉𝐷𝑒 = 0 el resorte no es tocado

𝑉𝐷𝑔 = 0.2(9.81)(2𝑥0.3) = 1.18 𝑁. 𝑚

∑𝑇𝐶 + ∑𝑉𝐶 = ∑𝑇𝐷 + ∑𝑉𝐷

0 + 0.59(1 − cosα) + 1.8α2 = 1.18 0.59 − 0.59𝑐𝑜𝑠α + 1.8α2 = 1.18

α =0.81 rad

Va



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PROBLEMA 6

Un collarín de 10lb está unido a un resorte y se desliza sin fricción a lo largo de una varilla fija

que se encuentra en un plano vertical. El resorte tiene longitud no deformada de 14in. y

constante k = 4lb/in. Si el collarín se suelta desde el reposos en la posición mostrada en la figura,

determine su velocidad en a) el punto A, b) en punto B.

Sol:

Masa del collar

𝑚 =𝑊

𝑔=

10

32.2= 0.31056

𝑙𝑏. 𝑠2

𝑓𝑡



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Apellidos y Nombres

𝐼1 = √(14 + 14)2 + (142) = 31.305 𝑖𝑛.

𝑥1 = 𝐼1 − 𝐼0 = 17.305 𝑖𝑛.

(𝑉1)𝑒 =1

2𝑘𝑥𝐴

2 = 49.910 𝑓𝑡. 𝑙𝑏

𝐼1 = √(14)2 + (142) = 19.799 𝑖𝑛.

𝑥1 = 𝐼1 − 𝐼0 = 5.799 𝑖𝑛.

(𝑉𝐴)𝑒 =1

2𝑘𝑥𝐴

2 = 5.605 𝑓𝑡. 𝑙𝑏

𝐼𝐵 = (14)2 + (142) = 28 𝑖𝑛.

𝑥𝐵 = 𝐼𝐵 − 𝐼0 = 14 𝑖𝑛.

(𝑉𝐵)𝑒 =1

2𝑘𝑥𝐴

2 = 32.667 𝑓𝑡. 𝑙𝑏

Energía potencial gravitatoria (En el nivel A)

(𝑉1)𝑔 = 0 (𝑉1)𝑔 = 0

(𝑉𝐵)𝑔 = 𝑊𝑦 = 10(−14) = −140𝑖𝑛. 𝑙𝑏 = −11.667 𝑓𝑡. 𝑙𝑏

Energía Potencial Tota 𝑉 = 𝑉𝑒 + 𝑉𝑔

𝑉1 = 49.910𝑓𝑡. 𝑙𝑏, 𝑉𝐴 = 5.605𝑓𝑡. 𝑙𝑏, 𝑉𝐵 = 21.0𝑓𝑡. 𝑙𝑏

Energía Cinética 𝑇1 = 0

𝑇𝐴 =1

2𝑚𝑣𝐴

2 = 0.15528𝑣𝐴2



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Apellidos y Nombres

𝑇𝐵 =1

2𝑚𝑣𝐵

2 = 0.15528𝑣𝐵2

Conservación de la energía 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇𝐴 + 𝑉𝐴

𝑣𝐴2 = 285.32 𝑓𝑡2/𝑠2

Conservación de la energía 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇𝐵 + 𝑉𝐵

𝑣𝐴2 = 186.18

𝑓𝑡2

𝑠2

Aceleración normal en A y B 𝑎𝑛 = 𝑣2/𝜌

𝜌 = 14 𝑖𝑛. = 1.16667 𝑓𝑡

(𝑎𝐴)𝑛 =285.32

𝑓𝑡2

𝑠2

1.16667 𝑓𝑡

(𝑎𝐴)𝑛 = 244.56 𝑓𝑡/𝑠2

(𝑎𝐵)𝑛 =189.10 𝑓𝑡2/𝑠2

1.16667 𝑓𝑡

(𝑎𝐵)𝑛 = 159.58 𝑓𝑡/𝑠2

Fuerzas de rosamiento en A y B: 𝐹 = 𝑘𝑥



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Apellidos y Nombres

𝐹𝐴 = (4)(5.799)

𝐹𝐴 = 23.196 𝑙𝑏.

𝐹𝐵 = (4)(14)

𝐹𝐵 = 56.0

Para determinar las fuerzas NA y NB extendidas por el rodillo en el collar, aplicamos la segunda

ley de newton.

En el punto A

∑𝐹 = 𝑚(𝑎𝐴)𝑛

𝑊 + 𝑁𝐴 − 𝐹𝐴 sin45° = 𝑚(𝑎𝐴)𝑛

10 + 𝑁𝐴 − 23.196 sin 45° = (0.31056)(244.56)

𝑁𝐴 = 82.4 𝑙𝑏

En el punto B

∑𝐹 = 𝑚(𝑎𝐵)𝑛

𝑁𝐵 = (0.31056)(159.58)

𝑁𝐴 = 49.6 𝑙𝑏

m(aA)n

m(aA)t w

NB

FB

M(aA)

m(aA)

W

FA NA



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PROBLEMA 9

Un collarín de 2.5Kg. está unido a un resorte y se desliza sin

fricción a lo largo de una varilla circular en un plano vertical.

El resorte tiene una longitud no deformada de 4in. Y constante

20lb/f. Si el collarín está en reposo en C, y se le da un ligero

empujón para ponerlo en movimiento. Si la velocidad máxima

del collarín se alcanza cuando este pasa por el punto A,

determine:

El punto A

El punto n.

𝑘. 𝑥 cos 𝜃

𝑀𝑐. 𝑔

Donde:

𝑀𝑐 = 1.2 𝑘𝑔.

𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸 = 4 𝑖𝑛.≫ 0.3332 𝑓𝑡.

𝐿𝑃𝑂 = 3 𝑖𝑛.≫ 0.2499 𝑓𝑡.

𝐿𝑂𝐴 = 𝐿𝑂𝐵 = 7 𝑖𝑛.≫ 0.5831 𝑓𝑡.

𝐿𝑃𝐶 = 4 𝑖𝑛.≫ 0.3332 𝑓𝑡.

𝑉𝐸𝑁 𝐶 = 0

FN

COLLARÍN

kx

P



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DETERMINANDO LA CONSTANTE DEL RESORTE “K”

𝐿𝐴𝑃 = √(0.2499𝑓𝑡)2 + (0.5831𝑓𝑡)2

𝐿𝐴𝑃 = 0.6344𝑓𝑡

DETERMINANDO LA VELOCIDAD EN “A” DEL COLLARÍN

Aplicando la conservación de la energía en los puntos “A” y “C” se cumple que:

𝑈𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐶" + 𝑉𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐶" = 𝑉𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐴" + 𝑇𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐴"

⇒ 𝑀𝐶 . 𝑔. 𝑅 =1

2. 𝑘(𝐿𝐴𝑃 − 𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸)2 +

1

2.𝑀𝐶 . 𝑣𝐴

2

⇒ 𝑣𝐴2 = −

𝑘

𝑀𝐶

(𝐿𝐴𝑃 − 𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸)2 + 2. 𝑔. 𝑅

⇒ 𝑣𝐴 = √2. 𝑔. 𝑅 −𝑘

𝑀𝐶

(𝐿𝐴𝑃 − 𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸)2

⇒ 𝑣𝐴 = √(2)(32.2)(0.5831) −20

2.5(0.6344 − 0.3332)2

∴ 𝑣𝐴 = 6.0684 𝑓𝑡

𝑠⁄

DETERMINANDO LA VELOCIDAD EN “B” DEL COLLARÍN


𝑈𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐴" + 𝑉𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐴" = 𝑉𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐵" + 𝑇𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐵"



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Apellidos y Nombres

⇒ 𝑀𝐴. 𝑔. 𝑅 +1

2.𝑀𝐴. 𝑣𝐴

2 =1

2. 𝑘(𝐿𝐵𝑃 − 𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸)2 +

1

2.𝑀𝐴. 𝑣𝐵

2

⇒ 𝑣𝐵 = √(2.5). (32.2). (0.5831) +

12 . (2.5). 6.06842 −

202

(0.833 − 0.3332)2

12 . (2.5)

∴ 𝑣𝐵 = 8.5076 𝑓𝑡

𝑠⁄

PROBLEMA 10

Un collarín de 2.5Kg. está unido a un resorte y se desliza sin fricción a lo largo de una varilla

circular en un plano vertical. El resorte tiene una longitud no deformada de 4in. Y constante k.

Si el collarín está en reposo en C, y se le da un ligero empujón para ponerlo en movimiento. Si la

velocidad máxima del collarín se alcanza cuando este pasa por el punto A, determine:

La constante del Resorte k.

La velocidad Máxima del Collarín.

𝑘. 𝑥 cos 𝜃

𝑀𝑐. 𝑔

FN

COLLARÍN

kx

P



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Donde:

𝑀𝑐 = 1.2 𝑘𝑔.

𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸 = 4 𝑖𝑛.≫ 0.1016 𝑚.

𝐿𝑃𝑂 = 3 𝑖𝑛.≫ 0.0762 𝑚.

𝐿𝑂𝐴 = 𝐿𝑂𝐵 = 7 𝑖𝑛.≫ 0.1778 𝑚.

𝐿𝑃𝐶 = 4 𝑖𝑛.≫ 0.1016 𝑚.

𝑉𝐸𝑁 𝐶 = 0

DETERMINANDO LA CONSTANTE DEL RESORTE “K”

𝐿𝐴𝑃 = √(0.0762𝑚)2 + (0.1778𝑚)2

𝐿𝐴𝑃 = 0.1934𝑚

Cuando la velocidad del collarín es máxima en “A” se cumple que:

+↑ ∑𝐹𝑡 = 0

⇒ 𝑘.𝑋 sin𝜃 − 𝑀𝑐 . 𝑔 = 0

⇒ 𝑘. (𝐿𝐴𝑃 − 𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸). sin 𝜃 = 𝑀𝐶 . 𝑔

⇒ 𝑘 =𝑀𝐶 . 𝑔

sin 𝜃 . (𝐿𝐴𝑃 − 𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸)=

(2.5). (9.81)

(0.07620.1934). (0.1934 − 0.1016)

∴ 𝑘 = 678𝑁𝑚⁄

DETERMINANDO LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL COLLARÍN


𝑈𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐶" + 𝑉𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐶" = 𝑉𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐴" + 𝑇𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿 𝐸𝑁 "𝐴"

⇒ 𝑀𝐶 . 𝑔. 𝑅 =1

2. 𝑘(𝐿𝐴𝑃 − 𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸)2 +

1

2.𝑀𝐶 . 𝑣𝑀𝐴𝑋

2



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⇒ 𝑣𝑀𝐴𝑋2 = −

𝑘

𝑀𝐶

(𝐿𝐴𝑃 − 𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸)2 + 2. 𝑔. 𝑅

⇒ 𝑣𝑀𝐴𝑋 = √2. 𝑔. 𝑅 −𝑘

𝑀𝐶

(𝐿𝐴𝑃 − 𝐿𝑅𝐸𝑆𝑂𝑅𝑇𝐸)2

⇒ 𝑣𝑀𝐴𝑋 = √(2)(9.81)(0.1778) −678

2.5(0.1934 − 0.1016)2

∴ 𝑣𝑀𝐴𝑋 𝐸𝑁 "𝐴" = 1.0968𝑚𝑠⁄

PROBLEMA 4 Una esfera A de 1.2 kg. que se mueve con una velocidad v0 paralela al piso y de magnitud v0 =2 m/s , golpea la cara inclinada de una cuña B de 4.8 Kg. la cual puede rodar con libertad sobre el piso y se encuentra al inicio en reposo. Sabiendo que θ= 600 y que el coeficiente de restitución entre la esfera y la cuña es de e= 1, determine la velocidad de la cuña inmediatamente después del impacto.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑒 =𝑣′𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎 − 𝑣’𝑐𝑢ñ𝑎

0 + 2𝑠𝑒𝑛60

1.73 = 𝑣′𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎 – 𝑣’𝑐𝑢ñ𝑎

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑃1 = 𝑃2

(1.2)(2𝑠𝑒𝑛30°) = 𝑣′𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎(1.2) + 𝑣’𝑐𝑢ñ𝑎(4.8)

Resolviendo las ecuaciones:

𝑣’𝑐𝑢ñ𝑎 = 0.7412𝑚\𝑠2



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Problema Nro. 6

Una esfera rebota como se muestra, después de golpear contra un plano inclinado con una

velocidad vertical V0 de magnitud Vo= 15 ft/s. Sabiendo que a=30° y e=0.8 entre la esfera y el plano

determine la altura h que alcanzada por la esfera.

𝑒 =𝑉𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎′ − 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑′

𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 − 𝑉𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎

0.8 =𝑉𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎′ − 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑′

0 − 15𝑠𝑒𝑛30

𝑉𝑝𝑒𝑙′ = 10.39𝑓𝑡

𝑠

𝐻𝑚𝑎𝑥 =𝑉𝑜𝑦

2𝑔

𝐻𝑚𝑎𝑥 =5.252

2 ∗ 32.2

𝐻𝑚𝑎𝑥 = 0.43 𝑓𝑡



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Problema Nro. 7

Dos paquetes se colocan sobre una pendiente como indica la figura. Los coeficientes de fricción son

us=0.30 y uk=0.25 entre la pendiente y el paquete A, y us=0.20 y uk=0.15 entre la pendiente y el

paquete B. Si los paquetes están en contacto cuando se sueltan, determine a) la velocidad de cada

paquete después de 3s., b) la fuerza ejercida por el paquete A sobre el paquete B.

∑𝐹𝑦 = 0;…𝑁𝑎 − 𝑚𝑎𝑔𝑐𝑜𝑠Ө = 0

∑𝐹𝑥 = 0;…𝑈𝑠𝑁𝑎 − 𝑚𝑎𝑔𝑠𝑖𝑛Ө = 0

𝑡𝑎𝑛Ө = 0.3 Ө = 16.7°

Dirección en x: 0 + (𝑚𝑎𝑔 + 𝑚𝑏𝑔)𝑡𝑠𝑒𝑛Ө − (𝑢𝑘𝑁𝑎 + 𝑢𝑘𝑏𝑁𝑏)𝑡 = (𝑚𝑎 + 𝑚𝑏)𝑣

Resolviendo para v:

𝑉 =(6 + 9)(9.81)(3)𝑠𝑒𝑛20° − [(0.25)(6) + 0.15(9)9.81𝑐𝑜𝑠20°](3)

6 + 9

𝑉 = 4,81𝑚\𝑠 𝑉𝑎 = 𝑉𝑏 = 4.81𝑚\𝑠

Dirección x:

0 + 𝑚𝑏𝑔𝑡𝑠𝑒𝑛Ө − 𝐹𝑎𝑏𝑡 − 𝑢𝑘𝑁𝑏𝑡 = 𝑚𝑏𝑣𝑏

𝐹𝑎𝑏 =(9)(9.81)(3)𝑠𝑒𝑛20° − 0.15(9)(9.81)𝑐𝑜𝑠20°(3) − (4.81)(9)

3

𝐹𝑎𝑏 = 3.32𝑁



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Problema Nro. 8

Sobre un bloque de 12 lb que puede deslizarse sin fricción en una superficie inclinada actúa una

fuerza P que varía en magnitud como se indica. Si el bloque está inicialmente en reposo, determine:

a) la velocidad en t=5s, b) el tiempo en que su velocidad es cero.

𝑃 = 20 − 4𝑡

𝑚𝑣1 − 𝑊𝑠𝑒𝑛30𝑡 + ∫𝑃𝑑𝑡 = 𝑚𝑣2

𝑡

0

−12𝑠𝑒𝑛30(5) + ∫ (20 − 4𝑡)𝑑𝑡 =12

32.2∗ 𝑉2

5

0

−30 + [20𝑡 − 2𝑡2]50 = 0.37267 𝑣2

𝑉2 = 53.7𝑓𝑡

𝑠

12

32.2∗ (53.7) = 6𝑡′

𝑡′ = 3.34 𝑡 = 5 + 𝑡′ = 8.34𝑠



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Problema Nro. 9

Una bala de 28g. recubierta con acero, se dispara a una velocidad de 650 m/s hacia una placa de

acero y rebota a lo largo de una trayectoria CD a velocidad de 500 m/s. Si la bala deja una marca de

50mm sobre la superficie de la placa y tiene velocidad promedio de 600 m/s mientras está en contacto

con la placa, determine la magnitud y dirección de la fuerza impulsiva ejercida por la placa sobre la

bala.

𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒: 𝑚 = 0.028𝑘𝑔 𝑣1:= 650𝑚\𝑠 𝑣2 = 500𝑚\𝑠

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 … 𝑚𝑣1𝑐𝑜𝑠20° − 𝐹𝑥𝑑𝑡 = 𝑚𝑣2𝑐𝑜𝑠10° 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠. 𝐹𝑥𝑑𝑡 = 𝑚𝑣1𝑐𝑜𝑠20° − 𝑚𝑣2𝑐𝑜𝑠10° = 0.028(650)𝑐𝑜𝑠20° − 0.028(500)𝑐𝑜𝑠10° = 3.3151𝑁 ∗ 𝑠

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 …… − 𝑚𝑣𝑠𝑒𝑛20° + 𝐹𝑡𝑑𝑡 = 𝑚𝑣2𝑠𝑒𝑛10° 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠. 𝐹𝑦𝑑𝑡 = 𝑚𝑣2𝑠𝑒𝑛10° + 0.028(650)𝑠𝑒𝑛20° = 8.6558 𝑁 ∗ 𝑠

𝐷𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 𝑑𝑡 =𝑑𝑥

𝑣𝑎=

0.05𝑚

600𝑚\𝑠… . . = 83.33𝑥10−6𝑠

𝐹𝑥 =3.3151

83.33𝑥10−6 = 39.78𝐾𝑁

𝐹 = 111.2𝐾𝑁 69.0°

𝐹𝑦 =8.6558

83.33𝑥10−6 = 103.87𝐾𝑁



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Problema Nro. 10

Un tenista golpea una pelota de tenis de 2oz con velocidad inicial horizontal de 54 ft/s a una altura de

4.5 ft. La pelota rebota en el punto A y asciende a una altura máxima de 3ft donde la velocidad es de

30 ft/s. Si el impacto dura 0.004 s, determine la fuerza impulsiv ejercida sobre la pelota en el punto A.

𝑚 = 2𝑜𝑧 (1𝑙𝑏

16𝑜𝑧) (

1

32.2𝑓𝑡\𝑠2) = 0.003882𝑙𝑏 ∗ 𝑠2\𝑓𝑡

𝑪𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂(𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒄𝒕𝒐) 1

2 𝑚(54)2 + 𝑚(32.2)(4.5) = ½ 𝑚(542 + 𝑣2𝑎𝑦)

𝑣𝐴𝑦 = 17.0235 𝑓𝑡\𝑠 (𝑗𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜) 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 (𝒅𝒆𝒔𝒑𝒖é𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒄𝒕𝒐)

1

2𝑚(𝑣’𝐴𝑦2 + (30)2) = ½ 𝑚 (30)2 + 𝑚(32.2)(3)

𝑉’𝑎𝑦 = 13.8996 (𝑗𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜)

+𝑥: 0.003882(54) − 𝐹𝐻(0.004) = 0.003882(30), 𝐹𝐻 = 23.292 +𝑦: − 0003882(17.0235) + 𝐹𝑣(0.004) = 0.003882(13.8996), 𝐹𝑣 = 30.011𝑙𝑏

𝐹𝐼 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑣𝑎 FI=38.0 lb 30°

23.292

30.011

FI=37.99



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Problema Nro. 11

Una bala de 1 oz se dispara hacia un bloque de madera de 8 lb en el cual queda incrustada. Si el

bloque y la bala se mueven entonces hacia arriba por una pendiente durante 1.2 s antes de detenerse,

determine a) la magnitud de la velocidad inicial de la bala, b) la magnitud del impulso de la fuerza

ejercida por la bala sobre el bloque.

𝑊𝐵 = 1/16 𝑙𝑏 = 0.00625𝑙𝑏 ; 𝑚𝐵 = (1/16)(1/32.2) = 0.001941 𝑙𝑏 ∗ 𝑠^2 \𝑓𝑡 𝑊𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 = 8𝑙𝑏 …… . 𝑚𝐵 = 0.248447 𝑙𝑏 ∗ 𝑠^2 \𝑓𝑡

𝐼𝑀𝑃𝐴𝐶𝑇𝑂 𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 . (𝑏𝑎𝑙𝑎 + 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒)

+𝑥: 𝑚𝐵𝑣𝑜 ∗ 𝑐𝑜𝑠30° + 0 = (𝑚𝐵 + 𝑚𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒)𝑣’ +𝑦 ∶ −𝑚𝐵𝑣𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° + 𝐹𝑑𝑡 = 0

𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜.



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𝑋: (𝑚𝐵 + 𝑚𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒)𝑣’ – (𝑚𝐵 + 𝑚𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒)(32.2)(1.2)𝑠𝑒𝑛15° = 0 𝑣’ − 𝑔𝑡𝑠𝑒𝑛15° = 10.001 𝑓𝑡\𝑠

𝑣𝑜 =

[ (𝑊𝑏 + 𝑊𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒)

𝑔[𝑊𝑏]

𝑔𝑐𝑜𝑠30°

𝑣′

]

=(8.0625)(10.001)

0.0625𝑐𝑜𝑠30°

𝐷𝑒 (1)

𝑉𝑜 = 1489.7 𝑓𝑡\𝑠 𝑣𝑜 = 1490 𝑓𝑡\𝑠 𝑏) 𝑆𝑜𝑙𝑜 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑙𝑎

𝑚𝐵𝑣𝑜 = (0.001941)(1489.7) = 2.8915; 𝑚𝐵𝑣’ = (0.001941)(10.001) = 0.01941 +𝑥 ∶ 𝑚𝐵𝑣𝑜 ∗ 𝑐𝑜𝑠15° + 𝐹𝑥𝑑𝑡 = 𝑚𝐵𝑣’𝑐𝑜𝑠15° +𝑦 ∶ −𝑚𝐵𝑣𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛15° + 𝐹𝑦𝑑𝑡 = 𝑚𝐵𝑣’𝑠𝑒𝑛15°

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜:

𝐹𝑥𝑑𝑡 = −2.7742 𝐹𝑦𝑑𝑡 = 0.7534

|𝐹𝑑𝑡| = 2.87𝑙𝑏 ∗ 𝑠



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Problema Nro. 12

Un bloque A de 2kg puede deslizarse sin fricción hacia abajo por la ranura de un bloque B de 10kg,

el cual puede deslizarse sin fricción sobre una superficie horizontal. Los dos bloques están en reposo

cuando A se suelta desde la posición mostrada en al figura. Justo antes de que el bloque A llegue al

extremo de la ranura, su velocidad en relación con el bloque B es de 3.59 m/s. Si se ignora la fricción

y los dos bloques se deslizan juntos después de que el bloque A golpea el extremo de la ranura,

determine a) el impulso ejercicio por el bloque B sobre el bloque A, b) la energía perdida en el impacto.

𝑉𝑎 =𝑉𝑎

𝑏+ 𝑉𝑏

𝑉𝑏 = 0.518𝑚

𝑠

−𝐹𝑎𝑡 = −𝑚𝑎𝑉𝑎 = −2(3.59 + 0.518)

𝐹𝑎𝑡 = 6.30𝑁

𝑠= 31.7°

𝑡 =1

2(2𝑉𝑎2)

1

2(10𝑉𝑏2)

𝑡 = (6.3038

2)2 + 5(0.51817)2 𝑡 = 11.25𝑠



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Problema Nro. 13

Una pelota B de 340 g cuelga de una cuerda inextensible unida a un soporte C. Una pelota A de 170g

golpea a B con velocidad Vo de 1.5 m/s de magnitud y a un ángulo de 600° con la vertical. Suponiendo

un impacto perfectamente elástico (e=1) y ninguna fricción, determine la altura que alcanza la pelota

“B”.

𝑉𝑎𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛60 +𝑚𝐵

𝑚𝐴(

𝑉𝑏𝑛

𝑠𝑒𝑛60) = −𝑉𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛60

𝑉𝑏𝑛 = −2𝑉𝑜.𝑚𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛602

(𝑚𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛602 + 𝑚𝐵)=

2(1.5)(0.17)(0.75)

(0.17 ∗ 0.75 + 0.34)

𝑉𝑏𝑛 = −0.818𝑚

𝑠

𝑉𝑏 𝑒𝑛 𝑋:

𝑉𝑏 = 0.945𝑚

𝑠

ℎ = 𝑉 𝑒𝑛 𝑋𝑏2

2∗ 𝑔 =

(0.945)2

2(9.81)

ℎ = 45.5 𝑚𝑚


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Ejercicios Dinámica Beer