Ejercicios Ecuaciones Parciales

8/17/2019 Ejercicios Ecuaciones Parciales

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UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

Prof. Gerardo Ramírez

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

Tema 2:Ecuaciones Lineales de Orden Superior

2.1- Ecuación Diferencial Lineal de orden n. Solución. Teorema de existencia yunicidad de soluciones. Teoremas sobre la solución de ecuaciones diferencialeslineales.

2.2- Dependencia e independencia lineal de funciones. El Wronskiano. Conjuntofundamental de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Principiode Superposición. Ecuación lineal de segundo orden: construcción de una segundasolución a partir de una conocida

2.3- Operador diferencial lineal. Propiedades.

2.4- Ecuación lineal homogénea de orden n, con coeficientes constantes. Ecuación

característica. Solución general.

2.5- Ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes.

2.6- Métodos para hallar soluciones particulares: Coeficientes indeterminados, Variaciónde parámetros.

2.7- Aplicaciones de ecuaciones lineales de segundo orden: vibraciones mecánicas yeléctricas.

2.8- Ecuaciones lineales con coeficientes variables. Ecuación de Euler homogénea y nohomogénea

2.9- Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Definición deFunción Analítica Real en un punto de su dominio. Puntos Ordinarios y PuntosSingulares de una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes variables.

2.10- Uso de Series de potencias para hallar soluciones de una ecuación lineal concoeficientes variables. Solución en series de potencias en la vecindad de un puntoordinario. Problemas de valor inicial. Ecuación de Legendre.

2.11- Solución en series de potencias en la vecindad de puntos singulares. Método deFrobenius.

2.12- Función Gamma. Propiedades. Ecuación de Bessel.


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Ecuaciones Lineales de orden “n”. Generalidades

1.- Demuestre que las funciones 21 y x y3

2 y x son dos soluciones diferentes de la

ecuación 2 4 6 0 x y xy y y que ambas satisfacen las condiciones iniciales 0 0 y , 0 0 y . Explique por qué este hecho no contradice el Teorema de

Existencia y Unicidad.

2.- En cada uno de los siguientes casos determine si las funciones dadas son linealmentedependientes o linealmente independientes:

a) 2 21 2 35 f x , f x cos x, f x sen x

b) 21 2 3 0 f x x, f x x ln x, f x x ln x ,x R: a) Linealmente Dependientes b) Linealmente Independientes

3.- Verifique que las funciones 21 y x y2

2 y x ln x constituyen un conjunto

fundamental de soluciones para la ecuación 2 3 4 0 x y xy y en 0 , . Formela solución general de la misma.

R: 2 21 2 y C x C x ln x

4.- a) Compruebe que 1 x y cos xe y 2

x y senxe constituyen un conjuntofundamental de soluciones para la ecuación 2 2 0 y y y .

b) Construya la solución general de a ecuaciónc) Determine la solución particular que satisface las condiciones de frontera 0 0 y ,

0 y

R: b) 1 2 x x y C cos x C senxe e , c) x y C senxe (infinitas soluciones)

5.- Sabiendo que 2 y es una solución de la ecuación 1 0 x y y , obtenga lasolución general de la misma.

R: 1 2 1 y C C ln x

6.- Dada la ecuación 2 4 6 0 x y xy y , x >0a) Demuestre que 2 y x es una solución de la misma b) Determine su solución general

R: 2 31 2 y C x C x


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Ecuación lineal homogénea de orden n, con coeficientes constantes. Ecuación

característica. Solución general.

1.- Si una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes es tal que su ecuacióncaracterística tiene raíces 1 2 32 1m , m m ¿Cuál es la ecuación?R: 3 2 0 y y y

2.- Obtenga la solución general de cada una de las ecuaciones planteadas a continuación

a) 0 y y R: 1 2 x x y C C e e

b) 4 4 0 y y y R: 2 21 2 x x

y C C xe e

c) 8 16 0 y y y R: 1 24 x y C C x e

d) 2 2 0 y y y R: 1 2 x y C cos x C senx e e) 8 16 0 y y y R: 1 2 3

4 x y C C C x e

f) 21 20 0 y y y R: 1 2 34 5 x x x y C C C e e e

g) 4 4 0 IV y y y y R: 1 2 3 42 2 x x x y C C C C e e e

h) 2 0 y y y R: 1 2 3 x x

y C C cos x C senxe e

i) 25 0 y y R: 1 25 5 y C cos x C sen x

j) 0 IV y y R: 1 2 3 4 x x y C C C cos x C senxe e

k)

0

IV

y y R:2

1 2 3 4

x

y C C C x C xe l) 4 4 0 IV y y y R: | |

1 2 3 42 2 y C C x cos x C C x sen x

3.- Resuelva el problema 0 y y , con las condiciones de frontera

a) 0 0 0 y , y

b) 0 0 1 y , y

c) 20 0 1 y , y R: a) infinitas soluciones y Csenx b) No tiene solución c) y senx

4.- Determine los valores del parámetro λ a fin de que el problema de valor en la frontera

0 0 0 0 y y , y , y L , tenga solución no trivial. ( L es una constante talque L > 0). Sugerencia: considere 3 casos: a) λ >0 (λ=ω2), b) λ =0, c) λ


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Ecuación lineal no homogénea de orden n, con coeficientes constantes. Métodos deCoeficientes Indeterminados y Variación de Parámetros.

1.- Resuelva las siguientes ecuaciones usando el método de Coeficientes Indeterminados

a) 3 2 60 y y y R: 1 2 2 30 x x y C C e e

b) 4 4 2 6 y y y x R: 1 22 2 1 1

2 x x y C C x xe e

c) 33 2 4 x y y y xe R: 1 22 32 3 x x x y C C xe e e

d) 2 5 x y y y senxe R: 1 21

2 23

x x y C cos x C sen x senxe e

e) 2 4 3 y y cos x x R: 21 22 4 8 3 3

5 5 4 4 x y C C cos x senx x xe

f) 23 x y y e R: 1 2 321

2 x x x y C C C e e e

g) 2 x y y y e R: 21 212

x x x y C C x xe e e

h)4 10 y y x senx

0 2 y , y R: 9 7 4 5 y cos x senx x x cos x

i) 36 9 1 x y y y x e R: 2 31 231 1

2 6

x y C C x x x e

j) 42 24 16 2 x y y y x e R:2

1 26 4 4 19 2

20 100 3 x x x x x

y C C e e e

k) 7 x x y y y y xe e R:

2

1 2 3 74 2 4 x

x x x x

y C C cos x C senx e

e e

2.- Utilice el método de Coeficientes Indeterminados para obtener una solución particular dela ecuación dada

a) 5 3 2 y y x R: 5 31 20

60 p y x x

b) 6 2 y y cos x R: 2 2 p y cos x

c) 4 2 y y senx sen x R:1 1

310 6 p

y cos x cos x


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d) 2 y y xsenx R: 21 1

2 2 p y x cos x xsenx

3.- Usando el método de variación de parámetros resuelva las ecuaciones siguientes

a) 2 y y tg x Respuestas

1 2 2 y C cos x C senx senx ln sec x tgx

b) 3 y y sec x 1 21

2 y C cos x C senx sec x tgx.senx

c) 3 2 x y y y sen e 1 2 2 2 x x x x y C C sene e e e

d) 2 x y y y e ln x 2 21 21 3

2 4 x

y C C x x ln x xe

4.- Utilice el método que considere conveniente para resolver las siguientes ecuaciones

a) 32 2 x y y y y e

Respuestas

1 2 32

3

8 x x

x x y C C C e

e e e

b) 16 4 y y ctg x 1 21

4 4 4 4 416

y C cos x C sen x sen x ln cosec x ctg x

c) y y sec x.tgx 1 2 y C cos x C senx senxln cos x x tgx cos x

d) 4 4 y y y cos x 1 22 1 3 4

25

x y C C x cos x senxe

e) 2 y y cos x 1 21 1

22 6

y C cos x C senx cos x

f)1

3 21 x

y y ye

1 22 2 1 x x x x x y C C lne e e e e

g) 5 6 2 8 y y y senx 1 2 32 3 1 1 4

5 5 3 x x y C C C senx cos x xe e

h)

2 13 24 9 36 y y y y

50 4 0 0 0 2 y , y , y

2 3 32 2

45 5

x x x

y xe e e

i) 36 13 2 x y y y x sen xe

2

1 232 22 2

8 16 x x cos x xsen x y C cos x C sen x e


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Aplicaciones de Ecuaciones Lineales: Vibraciones Mecánicas y Eléctricas

1) Se sabe que un cierto resorte se alarga 1 cm cuando se le aplica una fuerza de 10 kgf.Supongamos que se suspende de dicho resorte un peso de 9,8 kgf, el cual desplazamos 3cm hacia debajo de su posición de equilibrio y lo soltamos con una velocidad inicial nula.

Determine la ecuación del movimiento resultante. Tome 1kgf ≈ 10 N (kg m/seg2

).R: |0 03 10 10 x t , cos t

2) Un cuerpo de masa 40 kg está colgado de un resorte cuya constante elástica es k=100kgf/m. Determinar la posición del mismo en un instante t, si se aplica una fuerza externaigual a 5 2sen t kgf. Tomar 2 010 0 0 0g m / seg , x , x V .

R: 01 5 5

5 25 42 84

x t V sen t sen t

3) Un cuerpo de masa 1 unidad se suspende de un resorte cuya constante es k = 8 unidades.

La masa se pone inicialmente en movimiento, a partir de la posición de equilibrio y sinvelocidad inicial, debido a que se aplica una fuerza externa F(t)= 16 cos4t . Hallar laecuación del movimiento de la masa, sabiendo que la fuerza debida a la resistencia del airees numéricamente igual a 4 veces su velocidad instantánea. Suponga unidades consistentes.

R: 22 6 4 2

2 2 4 45 5 5 5

t x t cos t sen t sen t cos t e

4) Un cuerpo de masa 1 se encuentra unido a un sistema resorte-amortiguador. La masa se pone en movimiento desde una posición inicial 5 unidades por debajo de la posición deequilibrio, con una velocidad inicial de 10 unidades dirigida hacia arriba. Determine la

posición x t y estudie si el movimiento es sobreamortiguado, críticamente amortiguado

o subamortiguado. La constante del resorte es k=16 y el coeficiente de amortiguación es 8.Suponga unidades consistentes.

R: 4 45 10t t x t t e e 5) Un circuito eléctrico simple RCL, con R = 6 ohmnios, L=0,1 henrio y C= 0,02 faradios,

tiene un voltaje aplicado E(t) = 6 voltios. Suponiendo que no hay corriente inicial, ni cargainicial cuando se aplica el voltaje por primera vez (t=0), determine la carga resultante en elcondensador y la corriente en el circuito.

R: 50 1032

t t i t e e ,

10 503 3

2 10 50 25

t t

i t e e

6) Un circuito simple consta de un inductor de 2 henrios, una resistencia de 16 ohmnios y uncondensador de 0,02 faradios conectados en serie con una fuente de F.E.M. que proporciona un voltaje igual a E(t)= 100 sen3t voltios. Si en t = 0 tanto la carga en elcondensador como la corriente eran cero, determine la ecuación para la carga en cualquierinstante. ¿Cuál es la carga en estado estacionario?

R: 425 25

3 3 2 3 3 3 2 352 52

t q t cos t sen t cos t sen t e ,

253 3 2 3

52est q cos t sen t


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Ecuaciones Lineales con coeficientes variables. Ecuación de Euler

1.- Resuelva las ecuaciones dadas a continuación

a) 0 xy y Respuestas1 2 y C C ln x

b) 225 25 0 x y xy y 1 21 1

5 5 y C cos ln x C sen ln x

c) 2 2 0 x y xy y 1 2 y x C cos ln x C sen ln x

d) 3 6 0 x y y | |31 2 32 2 y C x C cos ln x C sen ln x e) 4 34 36 0 x y x y 2 31 2 3 4 y C C x C x C x

f)

2

1 0 1 4

3 0

y , y

x y xy

22 2 y x

g) 2 3 13 4 3 x y xy y x 2 1 23 4

3 310 13

y x C sen ln x C cos ln x x

h) 2 39 20 5 x y xy y x 2 10 31 217

y C x C x x

i) 2 3 x y xy y ln x 1 1 2 2 y x C C ln x ln x

2.- Sabiendo que1

2 y x cos x

es una solución de la ecuación 2 2 1 04

x y xy x y

Determine la solución general de la ecuación32 2 21 0

4 x y xy x y x , x

R:1 1 1

2 2 21 2 y C x cos x C x senx x

3.- Resolver la ecuación 2 21 2 2 1 x y xy y x , sabiendo que y x es unasolución de la ecuación homogénea asociada.

R: 2 2 2 21 21 11 1 11 2

x y C x C x x x ln x ln x

x


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Ecuaciones Lineales de orden 2 con coeficientes variables. Método de series de potencias

1.- Para cada una de las ecuaciones dadas a continuación obtenga dos soluciones linealmenteindependientes en forma de series de potencias centradas en x = 0

a) 2 0 y xy y

Respuestas 2 4 6

1 0

3 211

2 4 6

x x x y C ...

! ! !

3 5 7

2 1

5 453 5 7 x x x

y C x ...! ! !

b) 2 2 4 2 0 x y xy y 2 2 1

1 0 2 10 0

1 1

2 2

n nn n

n nn n

x x y C , y C

c) 2 1 6 12 0 x y xy y 2 4 31 0 2 11 6 y C x x , y C x x

d) 3 41 0 x y x y

6 9

1 0 1 30 72

x x y C ...

,

7 10

2 1 42 90 x x

y C x ...

e) 1 0 y x y y

2 3 4

1 0 1 2 6 6 x x x

y C ...

2 3 4

2 1 2 2 4 x x x

y C x ...

f) 2 1 4 2 0 x y xy y 2 2 11 0 2 10 0

n n

n n

y C x , y C x

2.- Usando series de potencias centradas en x = 0, resuelva las siguientes ecuaciones

a)

0 1 0 6

1 0

y , y

x y xy y ,

Respuestas

0

7 7n

n

x x y x xn!

e


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b)

2 0

0 1 0 0

y xy y ,

y , y

21 y x

c) 2 y xy x y x 4 6 3 5 3 5

0 11 12 90 6 40 6 40

x x x x x x y C .. C x .. ..

3.- Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine sus puntos singulares yclasifíquelos como regulares o irregulares.

a) 3 24 3 0 x y x y xy

Respuestas

x = 0 es un punto singular regular

b) 22 9 3 2 0 x y x y y

x = -3 es un punto singular regular x = 3 punto singular irregular

c) 3 4 2 6 0 x x y xy y x = 0, x = 2i y x = -2i son puntossingulares regulares

4.- Usando series de potencias centradas en x = 0, obtenga dos soluciones linealmenteindependientes para cada una de las ecuaciones dadas.

a) 3 2 0 xy x y y

Respuestas2 3

1 0 1 2 10 80 x x x

y C ...

2 313

2 1 1 3 18 162 x x x y C x ...

b) 1 3 2 0 x x y y y

4 2 31 02

2 1

1 2 3 4

21

3 3

y C x x x x ... ,

x x y C

c) 2 23 2 2 0 x y xy x y

2 42

1 0

2 4 613

2 1

1

26 1976

12 40 2640

x x y C x ... ,

x x x y C x ...

d) 2 24 4 3 4 0 x y xy x y 1 1

2 21 2 y x chx, y x shx


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e) 0 xy y y

1 0 2

0

1 n n

n

x y C

n!

,

2 3

2 1 1

5 23

2 4 27

x x

y y ln x y x ...

f) 34 0 xy y x y 2 2

1 2 y cos x , y senx

g) 2 0 xy y xy

2 2 11 1

1 0 2 10 02 2 1

n n

n n

x x y C x , y C x

n ! n !


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Ecuaciones de Legendre y Bessel

1.- Obtenga la solución polinómica de cada una de las siguientes ecuaciones

a) 21 2 2 0 x y xy y Respuestas

1 y P x x

b) 21 2 12 0 x y xy y 3

3

15 3

2 y P x x x

2.- Evaluar a) 6 , b)3

2

( x es la función Gamma )

R: a) 120, b)43

3.- Sabiendo que 1 x x x , demuestre que

1 1 2 2 1 1v n v n v n v n ... v v v

4.- La ecuación 2 2 2 2 0 x y xy x v y se denomina ecuación paramétrica deBessel. Demuestre que su solución general es 1 2v v y C J x C Y x

5.- Determine la solución general de las siguientes ecuaciones

a) 2 29 9 9 4 0 x y xy x y

Respuestas

2 23 31 2

y C J x C J x

b) 0 xy y xy 1 0 2 0 y C J x C Y x

c)2 2 1 0

4 x y xy x y

1 12 21 2

y C J x C J x

d) 4

0d

xy x ydx x

1 2 22 y C J x C Y x


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6.- Utilice el cambio de variable 1

2 y x v x

, para resolver la ecuación diferencial2 2 22 0 0 x y xy x y , x

R: 1

21 1 2 1

2 2 y x C J x C J x

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