Ejercicios Matemática I -S.Guerra 2008

SOLUCIONES DE EXAMENES DE MATEMATICA I

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE MATEMATICA IAUTOR : MG. SEGUNDO GUERRA RODRIGUEZ1)Tema : Dominio y Rango de una Funcin Ejercicios Resueltos:1. Halle el dominio de la funcin Para hallar el dominio es necesario que se cumpla :

2. Halle el dominio de la funcin :

Para hallar el dominio es necesario que se cumpla :

Usaremos el mtodo de los puntos crticos. Haciendo x 4 = 0, x + 3 = 0, x +1 = 0, x +4 = 0 , entonces x = 4, x = 3, x = 1, x = 4. Si los ubicamos en la recta numrica se tiene que

3. Hallar el rango de la funcin f (x) = x2 + 6x 5

Como x2 + 7x 10 = 4 (x 3)2 , y 4 (x 3)2 4 entonces f(x) 4. Luego

4. Hallar el rango de la funcin

Como entonces f(x) 3.Luego

Ejercicios Propuestos :

Dadas las siguientes funciones, halle su dominio y rango.a) f (x) = x2 6x + 8

f) f (x) = x2 8xb) h(x) = x2 + x 20

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

2) Tema : Grfico de una Funcin

Ejercicios Resueltos:

1. Graficar la funcin

Para graficar f construimos una tabla de valores y obtenemos as la figura :

Funcin : f(x) = x2 + 4x + 5xf(x)

-2-7

-10

05

18

29

38

45

50

6-7

2. Graficar la funcin:

Como en el ejemplo anterior hacemos una tabla de valores y obtenemos la figura :

x f(x)

-33

-22

-11

00

11

20

3-1

40

51

62

73


Graficar las funciones :

a)

h)

b)

i)

c)

j)

d) f(x) = [x + 2]

k) g(x) = [x 1] 1 e)

l) f(x) = |x| + [x]f)

g)

3) Tema : Composicin de FuncionesEjercicios Resueltos:

1. Dadas las funciones f(x ) = 2x2 1 y g(x) = |x 1| . Hallar fog y gof .

2. Dadas las funciones , hallar fog y gof. Ejercicios Propuestos :

Dadas las siguientes funciones hallar fog y gof :a) f(x) = x2 3x +1c) f(x) = 3x 2

e) f(x) = x 2

g(x) = 2x 3

g(x) = | x | 3

g(x) = 3x2 + x 2

b) f(x) =

d) f(x) = x2

f)

g(x) =

g(x) =

g(x) = | x |4) Tema : Lmites Indeterminados

Ejercicios Resueltos:1. Calcular el lmite

Se observa que , esto es, la expresin se indetermina cuando x = 1. Transformaremos la expresin para calcular el lmite.

2. Calcular el lmite



Calcular los siguientes lmites :

a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

d)

k) 5) Tema : Lmites TrigonomtricosEjercicios Resueltos1. Calcular el lmite


2. Calcular el lmite

Se observa que , esto es, la expresin se indetermina cuando x = 0. Transformaremos la expresin para calcular el lmite. Sea , entonces


Calcular los siguientes lmites :

a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

6) Tema : Derivadas de Funciones Algebraicas

Ejercicios Resueltos

1. Hallar la primera derivada de la funcin

Se observa que la funcin es un cociente, usaremos la regla de la derivada de un cociente.

. 2. Hallar la primera derivada de la funcin f(x) = (3x2 + 5 )8.Se observa que la funcin es una potencia, usaremos la regla de la cadena.

f (x) = 8(3x2 + 5 )76x f (x) = 24x(3x2 + 5 )73. Hallar la primera derivada de la funcin .La funcin se puede escribir como . La funcin es una diferencia de potencias. Derivando se obtiene .


Hallar las primeras derivadas de las siguientes funciones :

a)

h)

b)

i)

c)

j)

d)

k)

e)

l)

f)

m)

g)

7) Tema : Derivadas de Funciones Trigonomtricas e Inversas







Hallar la primera derivada de las siguientes funciones :

a)

p)

b)

q)

c)

r)

d)

s)

e)

t)

f)

u)

g)

v)

h)

w)

k)

x)

l)

y )

m) z)

8) Tema : Derivada de las Funciones Exponencial y Logaritmo






Primero escribimos la funcin dada como , ahora derivamos


a)

k)

b )

l)

c)

m)

d)

n)

e)

p)

f)

q)

g)

r)

h)

s)

i)

t)

j)

u)

9) Tema : Aplicaciones de la Derivada de una Funcin : Mximos y MnimosEjercicios Resueltos

1. Hallar los mximos y mnimos de la funcin .

Indique y justifique el mtodo que utilice. Construya la grfica de f Hallamos f (x) para ubicar los puntos crticos : .Hacemos f (x) = 0. Entonces los puntos crticos son x = 2, x = 0, x = 5.

Utilizaremos el criterio de la primera derivada. Los puntos crticos determinan 4 intervalos en el dominio de la funcin : .Despus de pequeos clculos tenemos :

.

Grfico de f Funcin:

2. Dada la funcin .a) Halle los mximos y mnimos de fb) Grafique fHallamos f (x) para ubicar los puntos crticos : . Hacemos f (x) = 0. Entonces los puntos crticos son x = 2, x = 5.

Utilizaremos el criterio de la segunda derivada. Hallamos .Entonces, para x = 2, f (2) = 18 indica que f(2) = 53 es un mximo.De otro lado, para x = 5 , f (5) = 18 indica que f(5) = 26 es un mnimo

Grfico de f

Funcin


1. Hallar los mximos y mnimos relativos de las funciones dadas, usando el criterio de la primera derivada.

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

2. Hallar los mximos y mnimos relativos de las funciones dadas, usando el criterio de la segunda derivada.

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

PROBLEMAS1. Una hoja de volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de material escrito, con un margen superior e inferior de 4 pulgadas y otro a cada lado de 2 pulgadas. Qu dimensiones debe tener la hoja para gastar la menor cantidad posible de papel?

2. Encuentre el volumen de la mayor caja que se puede construir de una pieza cuadrada de cartn de 20 pulgadas de lado cortando cuadros iguales de cada esquina y doblando los lados hacia arriba

3. Hallar dos nmeros cuya suma sea 120 y de forma que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea mximo.

4. Hallar la altura del cilindro circular recto de volumen mximo que se puede inscribir en una esfera de radio R.

5. Encuentre el volumen mximo que puede tener un cilindro circular recto cuando se inscribe en un cono circular recto, si la altura del cono es 20 pulgadas y el radio de su base es 6 pulgadas.

6. La Utilidad U obtenida por elaborar y vender x unidades de cierto producto frmaco esta dado por el siguiente modelo : U = 40x x2 . Graficar el modelo y determine el nmero de unidades que se debe elaborar y vender para obtener la mxima utilidad. Cul es la utilidad ?

7. La Utilidad U obtenida por la produccin y venta x de artculos de cierto producto esta dado por el siguiente modelo : U = 40 +6x x2 . Graficar el modelo y determinar el nivel de produccin que d la mxima utilidad. Cul es la utilidad ?a) Por la venta de x artculos mensuales se obtiene un ingreso en soles dado por el modelo: y = 12x 0.01x2b) Determinar el nivel de venta para maximizar el ingreso

c) Determinar el ingreso mximo

d) Graficar el modelo

EMBED PBrush

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