Polinomios

1.- Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los números que se indican:

2.- Efectúa las multiplicaciones de los monomios siguientes:

3.- Siendo P(x) = 3x5-5x2+8x-3 , Q(x) = 2x4+6x3+3x2 , M(x) = x3-2x+1, efectúa las operaciones siguientes: a) P-Q+M b) P·M c)-P·M d) Q·(-M)

e) Q:M f) P:M g) P:Q h) (P-Q):M

4.- De algunas divisiones de polinomios se dan algunos datos y se piden otros: a) d(x) = 4x3-8, C(x) = 3x+9, r(x) = 2x-12, se pide D(x)

b) D(x) = x4-3x2+2x-1, d(x) = x2+1, C(x) = x2-4; se pide r(x) sin dividir.

5.- Desarrolla las expresiones siguientes:

6.- Utilizando la regla de Ruffini, haz las siguientes divisiones hallando cociente y resto:a) (3x2-2x+1) : (x-2)b) (5x3+3x2+x-2) : (x+3)c) (x4-7x3+6x2-2x+1) :(x+1)d) (x4-6x2+3) : (x+5)e) (x6-1) :(x+1)

7.- Halla el resto sin necesidad de hacer la división:a) (x3-3x2+2) : (x+3)b) (x4-6x3+3x2-1) :(x+2)c) (3x3-x+5) : (x-2)

8.- En la división (x4-2x+a) : (x-5), se pide el valor que ha de tomar a para los siguientes casos:a) para que el resto sea 24b) para que el resto sea –2c) para que sea una división exacta.

9.- En la división (5x4-2x3+cx2-4) : (x-2), se pide el valor que ha de tomar c para los siguientes casos:a) para que el resto sea cero.b) para que el resto sea 2/3

10.- Hallar el valor de m para que las siguientes divisiones sean exactas:a) (x5-9x2+m) : (x+1)b) (x4-mx2+3) : (x-1/2)c) (mx3-5x+3) : (x+3)d) (mx4-3x3+2x+4m) : (x-2)e) (1/3x5+m/3x3+mx2-5) : (x+3)

11.- Con los binomios (x-2), (x+2), (x-1/2), (2x-1), formar:a) un polinomio de cuarto grado.b) un polinomio de segundo grado

Sin hacer la división di cuál es el cociente de dividir el polinomio de 4º grado por el polinomio de 2º grado

12.- Hallar un polinomio de primer grado que al dividirlo por x-3 de, de resto 4 y al dividirlo por x+7 de, de resto -1.

13.- Hallar a y b para que el polinomio ax2+bx+6 sea divisible por (x-2) y (x-3).14.- El polinomio ax2+bx+3 es divisible por (x-1). Sabiendo que al dividirlo entre (x+2) da de resto 15, hallar a

y b.15.- Descomponer en factores el siguiente polinomio: P(x) = x4+3x3-x2-3x16.- Utilizando el teorema del resto calcula el valor de n sabiendo que el polinomio 2x4+9x3+x2-6x+3n tiene de

resto 12 al dividirlo por (x+2).17.- Hallar un polinomio de primer grado que al dividirlo por (x+1) de, de resto -5 y al dividirlo por (x-2) de,

de resto -1.18.- Hallar a y b para que el polinomio x4+x3-ax2-bx sea divisible por (x2-9).19.- Factorizar los siguientes polinomios:

a) P(x) = x4-7x3+17x2-17x+6b) P(x) = x4-4x3-x2+16x-12c) P(x) = x4+8x3+14x2-8x-15d) P(x) = x4+3x3-2x2-12x-8e) P(x) = x4-9x3+17x2+9x-18f) P(x) = x4-x3-10x2+4x+24

20.- Factorizar los siguientes polinomios:a) P(x) = x2-12x+35b) P(x) = x3+3x2+3x+1c) P(x) = x3+x2-x-1d) P(x) = x3-4x2-4x-5e) P(x) = x3-1f) P(x) = x4-2x2+1g) P(x) = x3-3x2+3x-1h) P(x) = x3+6x2+12x+8i) P(x) = x4-3x3-x+3

21.- Hallar máximo común divisor y mínimo común múltiplo de los polinomios siguientes: (ver ejercicio 20)a) 4 y 5b) 2 y 3c) 5 y 9d) 6 y 7

Solución 1.- a) 24 ; b) 47/9 2.- a) -54a9b11c2 ; b) -30x6

3.-

4.- a) D(x) = 12x4+36x3-22x-84 b) r(x) = 2x+3 5.- a) x6-6x4+12x2-8 b) 1/4x2+x-2+1 c) x4+2x3+3x2+2x+1 6.-

a) C(x) = 3x+4 , r(x) = 9b) C(x) = 5x2-12x+37 , r(x) = -113c) C(x) = x3-8x2+14x-16 , r(x) = 17d) C(x) = x3-5x2+19x-95 , r(x) = 478e) C(x) = x5-x4+x3-x2+x-1 , r(x) = 0

7.- a) -52 b) 75 c) 27 8.- a) a = -591 b) a = -617 c) a = -615 9.- a) c = -89/6 b) c = -15 10.- a) m = 10 b) m = 49/4 c) m = 2/3 d) m = 1 e) m = o12.- 1/2(x+5) 13.- x2-5x+6 14.- a = 1 ; b = -415.- x(x-1)(x+1)(x+3) 16.- n = 12 17.- P(x) = (4/3)x-11/318.- a = 9 ; b = 919.-

a) (x-2)(x-3)(x-1)2 b) (x-2)(x-3)(x-1)(x+2)c) (x-1)(x+1)(x+3)(x+5)d) (x+1)(x-2)(x+2)2

e) (x-1)(x+1)(x-3+3)(x-6)f) (x-3)(x-2)(x+2)2

20.- a) (x-5)(x-7)b) (x+1)3 c) (x+1)2(x-1)d) (x-5)(x2+x+1)e) (x-1)(x2+x+1)f) (x-1)2(x+1)2

g) (x-1)3

h) (x+2)3

i) (x-1)(x2+x+1)(x-3)21.-

a) m.c.d.= (x2+x+1) ; m.c.m.= (x2+x+1)(x-1)(x-5)b) m.c.d.= (x+1)2 ; m.c.m.= (x-1)(x+1)3

c) m.c.d.= (x2+x+1)(x-1) ; m.c.m.= (x2+x+1)(x-1)(x-3)d) m.c.d.= (x-1)2 ; ; m.c.m.= (x-1)3(x+1)

a) 3x5-2x4-5x3-8x2+6x-2b) 3x8-6x6-2x5+8x4+7x3-21x2+14xc) -3x8+6x6+2x5-8x4-7x3+21x2-14x+3d) -2x7-6x6+x5+10x4-3x2

e) C(x) = 2x+6 ; r(x) = 7x2+10x-6f) C(x) = 3x2+6 ; r(x) = -8x2+20x-9g) C(x) = (3/2)x-9/2 ; r(x) =

(45/2)x3+(17/2)x2+8x-3